Jürgen Roth Didaktik der Geometrie

Jürgen Roth
Didaktik der Geometrie
Modul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.1
Inhalt
Didaktik der Geometrie
1
Ziele und Inhalte
2
Begriffsbildung
3
Konstruieren
4
Argumentieren und Beweisen
5
Problemlösen
6
Entdeckendes Lernen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.2
Didaktik der Geometrie
Kapitel 4: Argumentieren
und Beweisen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.3
Inhalt
Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen
4.1 Beweisen?
4.2 Niveaustufen des Beweisens
4.3 Beispiel: Satzgruppe des Pythagoras
4.4 Beweisen als Tätigkeit
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.4
Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen
4.1 Beweisen?
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.5
Was ist ein Beweis?
Ein Beweis …
ist eine „logische Operation, die unter Zuhilfenahme
von allgemein akzeptierten Gedankengängen aus schon
gegebenen Voraussetzungen neue Erkenntnisse gewinnt.“
Lexikon der Mathematik
eines mathematischen Satzes 𝑆𝑆 ist dessen logische
Zurückführung auf andere mathematische Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛.
Ist 𝑆𝑆 mit Hilfe von 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 bewiesen, so folgt die Gültigkeit
des Satzes 𝑆𝑆 aus der Gültigkeit der Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛.
Das bedeutet:
Wenn 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 wahre Aussagen sind,
dann ist auch 𝑆𝑆 eine wahre Aussage.
Wenn man die Gültigkeit der Sätze 𝑆𝑆1, 𝑆𝑆2, … , 𝑆𝑆𝑛𝑛 anerkennt,
dann kann man die Gültigkeit von 𝑆𝑆 nicht bestreiten.
Holland, G. (2001). Geometrie in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 33
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4.6
Warum Beweisen?
Anwendungsaspekt
Ist die Allgemeingültigkeit
einer Aussage
nicht anschaulich klar, so dient
ein Beweis dieser Aussage
dazu einzusehen, dass
anschaulich klar, dann kann
ein Beweis dazu dienen, zu
verstehen, warum
die Aussage allgemeingültig ist.
Struktureller Aspekt
Spielt in der Sek. I
praktisch keine Rolle
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Deduktiver Aspekt
Kann man den Satz mit
Hilfe bereits bekannter
Sätze herleiten?
(Prozessziel des Beweisens)
Aspekt des Problemlösens
Beweisfindung – nicht
Beweisdarstellung –
steht im Vordergrund
Ziel des Beweisens:
Beitrag zu Prozesszielen
des Problemlösens
4.7
Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen
4.2 Niveaustufen des Beweisens
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4.8
Verschiedene
Begründungsweisen
Erfahren von
Handlungsspielräumen
und Sachzwängen
Konstruiere ein Dreieck mit
folgenden Innenwinkelgrößen:
𝛼𝛼 = 40°, 𝛽𝛽 = 55°, 𝛾𝛾 = 100°
Probieren
Messen
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α
β
γ
α+β+γ
31°
44,5°
105°
180,5°
51°
92°
36°
179°
4.9
Verschiedene
Begründungsweisen
Sonderfälle
Innenwinkelsumme
im Rechteck:
4 � 90° = 360°
Innenwinkelsumme
im rechtw. Dreieck:
180° + 180°
γ1 γ2
β
α
360°
2
= 180°
= 𝛼𝛼 + 90° + 𝛾𝛾1 + 90° + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾2
= 𝛼𝛼 + 90° + 𝛾𝛾1 + 90° + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾2
= 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾1 + 𝛾𝛾2 + 180°
=𝛾𝛾
Klassischer Beweis
⇒ 180° = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝛾𝛾
C
Winkelverschiebung
http://www.juergen-roth.de/dynageo/winkelverschiebung/innenwinkelsumme_dreieck.html
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4.10
Niveaustufen des Beweisens
Stufe des Argumentierens
Nur mündliche Argumentation
Bezugnahme auf die Beweisfigur
Veranschaulichende Hilfsmittel
Beweisverständnis wird nicht angestrebt
Ziel
Unterschied zwischen einer Vermutung
und der Einsicht in das „Warum“ erfahren
Tätigkeiten
Argumente angeben
Argumente aufgreifen und weiterführen oder widerlegen
Beweisgedanken verstehen & in eigenen Worten wiedergeben
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4.11
Niveaustufen des Beweisens
Stufe des inhaltlichen Schließens
Notation als Sequenz von Beweisschritten
Die Schülertätigkeit beschreibende Darstellung
keine lückenlose Angabe der benutzten Sätze
Bezug auf die Beweisfigur bei Aussagen zur Anordnung erlaubt
Ziel
Sicherung und/oder Verständnis der Allgemeingültigkeit
Tätigkeiten
Die zum Beweis benutzten Sätze angeben
Einen Beweis schriftlich reproduzieren
Fallunterscheidungen durchführen
einfache Beweise selbst finden
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4.12
Niveaustufen des Beweisens
Stufe des formalen Schließens
Beweisen hauptsächlich unter dem
Gesichtspunkt der Geometrie als formaler Theorie
Ziel:
Ein in Beweiszeilen dargestellter Beweis.
Jede Zeile ist entweder eine Voraussetzung oder
folgt aus darüber stehenden Beweiszeilen.
Tätigkeiten
Als Sequenz von Beweiszeilen notieren
Auf Schlüssigkeit und Lückenlosigkeit überprüfen
Beweise durch Einfügen zusätzlicher Schritte verfeinern
Verschiedene Beweise zum selben Sachverhalt im
Hinblick auf die verwendeten Beweismittel bewerten
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4.13
Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen
4.3 Beispiel: Satzgruppe
des Pythagoras
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4.14
Satz des Pythagoras
C
Satzgruppe des Pythagoras
Bezieht sich auf rechtwinklige Dreiecke.
Zu ihr gehören folgende Sätze:
b
a
h
p
q
A
Satz des Pythagoras
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist die
Summe der Flächeninhalte der Quadrate
über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse.
𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐2
B
D c
a²
C
b²
b
a
c
B
A
c²
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/
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4.15
Kathetensatz und Höhensatz
Kathetensatz
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat ein
Kathetenquadrat denselben Flächeninhalt
wie das Rechteck aus der Hypotenuse und
dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 � 𝑝𝑝
und
a²
b²
𝑏𝑏2 = 𝑐𝑐 � 𝑞𝑞
c⋅q
Höhensatz
Bei jedem rechtwinkligen Dreieck hat das
Höhenquadrat denselben Flächeninhalt wie
das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.
ℎ2
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= 𝑝𝑝 � 𝑞𝑞
c⋅p
C
h
h²
D
A
q
p
p⋅q
B
4.16
Logische Struktur
der Satzgruppe
Satz  Kehrsatzproblematik!
Satz des Pythagoras  Ägyptische Seilspanner
Logische Abhängigkeit der Sätze:
• Satz des Pythagoras ⇔ Kathetensatz
• Satz des Pythagoras ⇒ Höhensatz
• Kathetensatz ⇒ Höhensatz
• Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Satz des Pythagoras
• Höhensatz ∧ Satz des Thales ⇒ Kathetensatz
a²
C
b²
b
a
c
B
A
⇔
c²
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
a²
b²
c⋅q
c⋅p
?
⇐
⇒
C
D
A
∧
h
h²
q
p
p⋅q
C
A
M
B
B
4.17
Übergänge in der Satzgruppe
des Pythagoras: Beweisideen
Pythagoras ⇒ Kathetensatz bzw. Höhensatz
Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die Teildreiecke
Arithmetische Umformungen
Höhensatz + Satz d. Thales ⇒ Satz d. Pythagoras / Kathetensatz
Einzeichnen eines geeigneten Thaleskreises
Anwendung des Höhensatzes auf ein geeignetes Teildreieck
Kathetensatz ⇒ Höhensatz
Mehrfache Anwendung des Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke
http://www.dmuw.de/material/pythagoras
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4.18
Satz des Pythagoras
Beweistypen bzw. -methoden
(1) Kongruenzbeweis
(2) Abbildungsbeweis
(3) Prinzip der Zerlegungsgleichheit
(4) Prinzip der Ergänzungsgleichheit
(5) Arithmetischer Beweis
(6) Ähnlichkeitsbeweis
(7) Methoden der analytischen Geometrie
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/
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4.19
Kongruenzbeweis
Beweis:
H
F
C
J
A
L1
𝐴𝐴𝐴𝐴 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
(II) 𝐶𝐶𝐿𝐿1 ∥ 𝐵𝐵𝐵𝐵 ⇒ 𝐴𝐴Δ𝐿𝐿1𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
G
Euklid:
Euklid:
Die Elemente
Elemente
(I)
B
(III) Zu zeigen:
(1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 =
(2) ∡𝐹𝐹𝐹𝐹𝐴𝐴
(3) 𝐵𝐵𝐹𝐹 =
𝑆𝑆𝑊𝑊𝑊𝑊
1 , 2 ,(3)
Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
[Hypotenuse 𝑐𝑐]
𝐸𝐸𝐵𝐵
= ∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐸𝐸
[90° + 𝛽𝛽]
𝐵𝐵𝐵𝐵
[Kathete 𝑎𝑎]
Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
AΔ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
Kongruenzbeweis
𝐴𝐴Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝐴𝐴Δ𝐿𝐿1𝐵𝐵𝐵𝐵
[Kathetensatz 1. Teil]
⇒ 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1 𝐵𝐵
Analog ergibt sich:
E
L
D
[Kathetensatz 2. Teil]
𝑏𝑏 2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐴𝐴𝐿𝐿1
⇒ 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1 𝐵𝐵 + 𝑐𝑐 ⋅ 𝐴𝐴𝐿𝐿1 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝐿𝐿1 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴𝐿𝐿1 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝑐𝑐 = 𝑐𝑐 2 ∎
2
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras4.html
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4.20
Abbildungsbeweis
(Im Unterricht über Flächeninhaltsvergleiche)
Scherung → Drehung → Scherung
C
A
C
B
A
B
A
B
A
C
C
A
C
C
B
A
B
C
B
A
B
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras1.html
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4.21
Prinzip der Zerlegungsgleichheit
Stuhl der Braut
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras5.html
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4.22
Prinzip der Ergänzungsgleichheit
Altindischer Ergänzungsbeweis
4
3
4
3
1
2
c²
1
2
a²
b²
http://www.juergen-roth.de/dynageo/pythagoras/pythagoras6.html
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4.23
Prinzip der Ergänzungsgleichheit
Puzzle-Beweis
Roth: Pythagoras – Ergänzungsbeweispuzzle – Arbeitsblatt (Textdatenbank)
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.24
Prinzip der Ergänzungsgleichheit
Puzzle-Beweis
Roth: Pythagoras – Ergänzungsbeweispuzzle – Arbeitsblatt (Textdatenbank)
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.25
Prinzip der Ergänzungsgleichheit
Puzzle-Beweis
Roth: Pythagoras – Ergänzungsbeweispuzzle – Arbeitsblatt (Textdatenbank)
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.26
Prinzip der Ergänzungsgleichheit
Puzzle-Beweis
Roth: Pythagoras – Ergänzungsbeweispuzzle – Arbeitsblatt (Textdatenbank)
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.27
Arithmetischer Beweis
Hinweis
Ein Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn
(evtl. anhand einer vorliegenden Figur) ausschließlich
algebraische Umformungen durchgeführt werden.
Beispiel
Kathetensatz ⟹ Satz des Pythagoras
Vor: 𝒂𝒂2 = c ⋅ 𝒑𝒑 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝒃𝒃2 = 𝑐𝑐 ⋅ 𝒒𝒒
⇒ 𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2
= 𝑐𝑐 � 𝒑𝒑 + 𝑐𝑐 � 𝒒𝒒
= 𝑐𝑐 � (𝒑𝒑 + 𝒒𝒒)
= 𝑐𝑐 � 𝑐𝑐
= 𝑐𝑐 2
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
∎
𝒂𝒂𝟐𝟐
𝒃𝒃𝒃
𝒄𝒄 ⋅ 𝒒𝒒
𝒄𝒄 ⋅ 𝒑𝒑
4.28
Algebraischer Beweis
Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident der U.S.A.)
(1) 𝐴𝐴Trapez = 𝐴𝐴Δ1 + 𝐴𝐴Δ2 + 𝐴𝐴Δ3
(2)
1
1
1
= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
2
2
2
1
= 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
2
𝑎𝑎+𝑐𝑐
𝒂𝒂+𝒃𝒃
𝐴𝐴Trapez =
⋅ℎ =
2
2
1
= 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2
2
1
= 𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2
2
⋅ (𝒂𝒂 + 𝒃𝒃)
𝒂𝒂
Gleichsetzen der Terme aus (1) und (2) liefert:
1
2
1
2
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2 = 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒄𝒄2
𝒂𝒂2 + 𝒃𝒃2 = 𝒄𝒄2
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
|⋅2
𝚫𝚫𝟏𝟏
𝐴𝐴Trapez: Flächeninhalt
des Trapezes
𝒄𝒄
𝚫𝚫𝟑𝟑
𝒂𝒂
𝒃𝒃
| − 2𝑎𝑎𝑎𝑎
𝒄𝒄
∎
𝚫𝚫𝟐𝟐
𝒃𝒃
4.29
Ähnlichkeitsbeweis
C
b
p
q
A
a
h
B
D c
Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∼ Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐷𝐷 ∼ Δ𝐶𝐶𝐶𝐶𝐷𝐷
⇒
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
ℎ
𝑝𝑝
𝑏𝑏
𝑞𝑞
𝑎𝑎
𝑝𝑝
=
=
=
𝑞𝑞
ℎ
𝑐𝑐
𝑏𝑏
𝑐𝑐
𝑎𝑎
(𝑤𝑤𝑤𝑤)
⇒ ℎ2 = 𝑝𝑝 � 𝑞𝑞
⇒ 𝑏𝑏 2 = 𝑐𝑐 � 𝑞𝑞
⇒ 𝑎𝑎2 = 𝑐𝑐 � 𝑝𝑝
Höhensatz
Kathetensatz
∎
4.30
Kriterien zur Auswahl
von Beweismethoden
Eigentätigkeit
Großteil der Schüler muss in
der Lage sein, durch Eigentätigkeit, den Beweis oder die
entscheidende Beweisidee
selbst zu entdecken bzw. einen
wesentlichen Beitrag dazu zu
leisten
Vielfalt
Schüler sollen unterschiedliche
Beweismethoden kennen lernen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Anschauen und Begreifen
Beweis lässt sich gut
visualisieren oder enaktiv
erarbeiten.
Verständnis fördern
Beweis ist leicht durchschaubar
Beweis erleichtert eine wichtige
Erkenntnis
Beispiel:
Satzgruppe des Pythagoras:
Aussagen über Flächeninhalte
Sollte beim Beweis direkt
erkennbar sein
4.31
Satzgruppe des Pythagoras
Anwendungen
Ebene Geometrie
Raumgeometrie
Berechnungen
Diagonale des Rechtecks
Höhe & Flächeninhalt eines
gleichseitigen Dreiecks
Abstand zweier Punkte
(im Koordinatensystem)
Kreistangenten und Sehnen
Reguläre n-Ecke
Kosinussatz
Konstruktionen
Flächenverwandlung
Strecken der Länge 𝑛𝑛
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Berechnungen
Raumdiagonalen
Längen im Raum
3
2
4.32
Satzgruppe des Pythagoras
Anwendungen
Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat
Kathetensatz
Höhensatz






l
c

Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie


q

b


4.33
Satzgruppe des Pythagoras
Anwendungen
Verwandlung eines Rechtecks in ein inhaltsgleiches Quadrat
Kathetensatz
Ausgangspunkt:
Figur zum
Kathetensatz




q
c


Kann man ein Quadrat der Figur konstruieren, wenn man
ein Rechteck hat?
a²
b²
c⋅q
c⋅p
→ Konstruktion der
entsprechenden Kathete.
Welche Schritte sind notwendig?
…
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.34
Kapitel 4: Argumentieren und Beweisen
4.4 Beweisen als Tätigkeit
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.35
Beweisen als Tätigkeit
Beweisen
Beweisfindung
= Problemlösen
Beweisdarstellung
Vorwärtsarbeiten
direkt
indirekt
Rückwärtsarbeiten
heuristische
Hilfsmittel
Spezialfall
Analogon
Voraussetzung
& Behauptung
erschließen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
beschreibend
symbolisch
verständlich
evtl. unübersichtlich
übersichtlich
evtl. unverständlich
Skizze
Hilfslinien
4.36
Beweisdarstellung
Aussage
Jeder Punkt 𝑃𝑃 der Mittelsenkrechten 𝑚𝑚 einer Strecke [𝐴𝐴𝐴𝐴] ist
gleich weit von den beiden Endpunkten der Strecke entfernt.
𝑚𝑚
Voraussetzung
(1) 𝑃𝑃 ∈ 𝑚𝑚
(2) 𝑚𝑚 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
(3) 𝑀𝑀 ∈ 𝑚𝑚 ∩ 𝐴𝐴𝐴𝐴
(4) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Behauptung
𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
𝐴𝐴
𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝐵𝐵
4.37
Beweisdarstellung
Beschreibend
Wir betrachten die Dreiecke Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 und 𝑚𝑚
Δ𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 und zeigen deren Kongruenz.
𝑃𝑃
𝑚𝑚 ist Mittelsenkrechte der Seite [𝐴𝐴𝐴𝐴].
m steht also senkrecht auf der
Seite [𝐴𝐴𝐴𝐴] und halbiert sie im
Schnittpunkt 𝑀𝑀. Damit ist die
Seite [𝐴𝐴𝐴𝐴] des Dreiecks Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
genau so lang wie die Seite
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝑀𝑀
[𝑀𝑀𝑀𝑀] des Dreiecks Δ𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀.
Die bei 𝑀𝑀 liegenden Innenwinkel der beiden
Dreiecke sind jeweils rechte Winkel und damit
gleich groß.
Schließlich ist die Seite [𝑀𝑀𝑀𝑀]
beiden Dreiecken gemeinsam.
Damit stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten
und dem eingeschlossenen Winkel überein, sind
also nach dem Kongruenzsatz SWS kongruent.
Da kongruente Dreiecke in allen sich
entsprechenden Teilen kongruent sind, stimmen
auch die dritten Seiten überein, d. h. die Strecken
[𝐴𝐴𝐴𝐴] und [𝐵𝐵𝐵𝐵] sind gleich lang. ∎
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Symbolisch
Vor.: a) 𝑃𝑃 ∈ 𝑚𝑚
b) 𝑚𝑚 ⊥ 𝐴𝐴𝐴𝐴
c) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Beh.: 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Bew.: Beweisidee: Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ Δ𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
(1) 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
Vor. c)
(2) ∡𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 = ∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 90° Vor. b)
(3) |𝑃𝑃𝑃𝑃| = |𝑃𝑃𝑃𝑃|
Identität
⇒ Δ𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ≅ Δ𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝐵𝐵𝐵𝐵
(1);(2);(3);SWS
entspr. Seiten
in kongruenten Δ
∎
4.38
Beweistechniken
direkter Beweis
𝑝𝑝 ⇒ 𝑞𝑞
indirekter Beweis
(Beweis durch Kontraposition)
¬𝑞𝑞 ⇒ ¬𝑝𝑝
Widerspruchsbeweis
𝑝𝑝 ∧ ¬𝑞𝑞
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
Abkürzungen:
𝑝𝑝: Voraussetzung des Satzes
𝑞𝑞: Behauptung des Satzes
4.39
Wiederspruchsbeweis
Satz
Eine Gerade, die mit einem Kreis genau einen Punkt gemeinsam
hat, ist Lot zum Kreisradius durch diesen Punkt.
Vor.: 𝑔𝑔 ∩ 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) = {𝑃𝑃}
𝑘𝑘
Beh.: 𝑔𝑔 ⊥ 𝑃𝑃𝑃𝑃
𝑀𝑀
𝑟𝑟
Beweis (Widerspruchsbeweis)
Annahme: 𝑔𝑔 ∩ 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) = {𝑃𝑃} und ∠(𝑔𝑔, 𝑃𝑃𝑃𝑃) ≠ 90°
𝑃𝑃
𝑄𝑄
⇒ Der Fußpunkt 𝑄𝑄 des von 𝑀𝑀 auf 𝑔𝑔
𝑔𝑔
gefällten Lotes ist von 𝑃𝑃 verschieden.
⇒ Im rechtwinkligen Dreieck Δ𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 gilt |𝑄𝑄𝑄𝑄| < |𝑃𝑃𝑃𝑃| = 𝑟𝑟,
da dem größten Winkel die längste Seite gegenüberliegt.
⇒ Der Punkt 𝑄𝑄∈𝑔𝑔 liegt, wegen |𝑄𝑄𝑄𝑄| < 𝑟𝑟 innerhalb des Kreises.
⇒ Die Gerade 𝑔𝑔 schneidet 𝑘𝑘(𝑀𝑀; 𝑟𝑟) in zwei Punkten.  Widerspruch
zur Vor.!!
⇒ Die Annahme war also falsch und es gilt ∠(𝑔𝑔, 𝑃𝑃𝑃𝑃) = 90°. ∎
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.40
Beweisen als lokales Ordnen
Beweisen
Aufbau einer Hierarchie von Sätzen von der Voraussetzung
bis hin zur Behauptung der zu beweisenden Aussage.
Das lokale Ordnen besteht in dieser Rückführung
der Behauptung auf andere Aussagen.
Suche nach geeigneten Sätzen.
Entschieden, ob eine untergeordnete
Aussage bewiesen werden muss.
Voraussetzung: Fähigkeit, zwischen einem Satz
und einer Definition zu unterscheiden.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.41
Beweisen als lokales Ordnen
Beispiel
Zu zeigen: In jedem gleichschenkligen Dreieck
sind die Winkel an der Basis gleich groß. (Basiswinkelsatz)
Aus
„Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei
gleich langen Seiten (die dritte Seite heißt Basis).“
(Definition)
folgt
„In gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende
der Basis auch deren Mittelsenkrechte.“
(Beweisen!)
folgt
„Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch
bzgl. der Mittelsenkrechten der Basis.“
(Beweisen!)
folgt
die Behauptung des Basiswinkelsatzes.
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.42
Lokales Ordnen
Weigand et al. (2014): Didaktik der Geometrie in der Sekundarstufe I. Heidelberg: Springer Spektrum, S. 27f
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.43
Argumente für das
Argumentieren und Beweisen
Beweisen bedingt die Entwicklung vieler
für den Alltag wichtiger Fähigkeiten:
Notwendigkeit einer gemeinsamen
Argumentationsgrundlage erkennen
Schlüssigkeit und Wahrheitsgehalt von Aussagen beurteilen
vollständig und richtig argumentieren
generalisieren, spezialisieren, analogisieren
Probleme lösen
Phantasie und Akribie
individuelle Leistungsbereitschaft und kooperatives Denken
Bescheidenheit und Selbstbewusstsein
Einsicht in (mathematische) Sachverhalte gewinnen
Beweisen ist eine wesentliche Facette der Mathematik
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.44
Methodische Überlegungen
zum Beweisen
Erst Satzfindung, dann Beweisfindung!
Satz ergibt sich meist aus einem Problem
Auffälliges entdecken
Besonderes ↔ Selbstverständliches
Phasenmodell zum Beweisen im MU
Verbalisieren des Satzes
Einsicht in die Notwendigkeit
einer Begründung
Beweisfindung
Verbalisieren des Beweises
Rückblick
Satz einordnen
Variieren – Weiterfragen
Jürgen Roth • Didaktik der Geometrie
4.45