Wellen ) ()0,(),( tcxssxstxs ⋅− = =
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Wellen (1) Wellenausbreitung : Durch räumliche Kopplung vieler lokaler Oszillatoren Ausbreitung einer Störung in Raum + Zeit = Schwingungszustand Physikalischer Zustand / Energie / Impuls / Signal t = 0s t > 0s s(x,t) Störung bewegt sich ohne Formänderung des Wellenprofils durch das Trägermedium. Mechanische Wellen benötigen Trägermedium – elektromagnetische Wellen nicht ! Durch Kopplung der Oszillatoren pflanzt sich die eingespeisste Störung zeitlich verzögert fort. Störung muss nicht harmonische Form haben ! Bewegung der Störung s mit v = c : Zur Zeit t = 0s an der Stelle x0 x0 x = x0 + c·t Zur späteren Zeit t an der Stelle x = x0 + c·t Mathematische Form der Störungsausbreitung s(x,t) : s ( x , t ) = s ( x 0 ,0 s ) = s ( x − c ⋅ t ) s( x - c·t ) : In positive x-Richtung s( x + c·t ) : In negative x-Richtung Jede Funktion s(x,t) die eine Wellenbewegung beschreibt, muss Funktion des Arguments x - c·t oder x + c·t sein! Keine andere x,t-Kombination! Funktion s muss kein Sinus oder Cosinus sein - nur bei harmonischen Wellen der Fall ! © H.Neuendorf (2) Wellenausbreitung Kopplung vieler Oszillatoren die periodisch um ihre Ruhelage schwingen Verzögerte Übertragung Bewegungszustand + Schwingungsenergie auf Nachbarn Räumliche Ausbreitung des Schwingungszustandes - Oszillatoren bleiben am Ort Bei Wellenbewegung wird keine Materie transportiert, sondern Energie + Impuls Durch Ausbreitungsgeschwindigkeit c charakterisiert → Phasengeschwindigkeit c Geschwindigkeit der Oszillatoren v ≠ Phasengeschwindigkeit c der Welle ! Räumliche + zeitliche Reproduktion des physikalischen Zustands Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung = Transversalwelle zB El.Mag.Wellen Nur Transversalwellen zeigen Polarisation Zeitliche Periodizität: s( x,t ) = s( x, t + T ) Räumliche Periodizität: s( x,t ) = s( x + λ , T ) © H.Neuendorf Wellenfunktion muss von Ort und Zeit abhängen Schwingung parallel zur Ausbreitungsrichtung = Longitudinalwelle zB Schallwellen (3) Wellenlänge Wellenlänge λ = Abstand zweier Punkte gleichen Schwingungszustandes = Gleicher Phase Schwingungsdauer T = Zeit zur Reproduktion des gleichen Schwingungszustandes Ausbreitungsgeschwindigkeit c = Phasengeschwindigkeit des Schwingungszustand c= Weg λ = =λ⋅ f Laufzeit T Nach Ablauf von T ist Wellenberg um Strecke λ weitergewandert Harmonische Wellen = Sinusförmig Auch andere Formen in Natur anzutreffen Generell nimmt c mit Stärke der Kopplung zwischen den Oszillatoren zu ! Bsp: Schall in Festkörpern schneller als in Gasen Annahme : Keine Reibungsverluste + keine Dispersion Keine Formänderung bei Ausbreitung der Welle © H.Neuendorf Longitidinale Wellen → Schall ... (4) Reproduktion des Schwingungszustandes = Periodische Abfolge von Verdichtungen und Verdünnungen = raumzeitliche Druckschwankungen = Dichtewellen, die parallel zur Ausbreitungsrichtung durch das Medium wandern In Gasen und Flüssigkeiten können nur Longitudinalwellen entstehen, da kein Widerstand (Scheerkräfte) gegen seitliche Verrückung auftritt ! In Festkörpern sind Transversal- und Longitudinalwellen möglich. ElMag-Wellen sind Transversalwellen, die sich ohne Trägermedium ausbreiten ! c= λ T =λ⋅ f Hochfrequente Festkörperwellen = Phononen mit f = 10 13 Hz. Tragen maßgeblich zum Wärmetransport bei. Minimale Wellenlänge λ ist Abstand der Atome im Festkörper ≈ 1 nm © H.Neuendorf Wellen : Reflexion + Transmission (Transversalwellen) 1. Reflexion am festen und am losen Ende Auslenkung ändert Vorzeichen Randbedingungen s( x = L, t ) = 0 a) Festes Ende Reflexion + Inversion (5) Phasensprung um "180°= π" Grund : Inversion aufgrund Kraft des festen Endes auf eintreffende Welle b) Loses Ende Reflexion ohne Inversion Kein Phasensprung s( x = L, t ) = max 2. Kopplung / Grenze zweier Trägermedien unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit c Aufspaltung der Welle in zwei Anteile : Teil der Welle / Energie läuft ohne Inversion weiter = Transmittierter Anteil Rest der Welle / Energie wird reflektiert = Reflektierter Anteil a) Reflexion am Medium kleinerer Ausbreitungsgeschwindigkeit c Inversion (π π) b) Reflexion am Medium höherer Ausbreitungsgeschwindigkeit c Keine Inversion Bei Reflexion von (Licht-) Wellen am (optisch) dichteren / dünneren Medium mit niedrigerer / höherer Ausbreitungsgeschwindigkeit erfolgt eine / keine Inversion © H.Neuendorf (6) Wellenfronten + Wellenstrahlen Wellenfront = Orte gleichphasiger Schwingungszustände - zB alle Wellenberge Wellenstrahl = Wellennormale = Vektor senkrecht auf Wellenfront zeigt in Ausbreitungsrichtung a) Ebene Wellen : Aussendung paralleler Wellenfronten durch ebene Strahler (Große Lautsprechermembran) Wellenstrahlen parallel Auch näherungsweise bei Kugelwellen in großen Abständen vom Erregerzentrum b) Kugelwellen : Aussendung kreis- oder kugelförmiger Wellenfronten durch punktförmige Strahler Wellenstrahlen vom Zentrum nach Außen Punktförmiger Erreger (Kleiner Knallkörper kugelförmige Verdichtungswelle) Mechanische Wellen benötigen stets Trägermedium Dessen materialspezifische atomaren Bindungskräfte = rücktreibende Kräfte bestimmen die Ausbreitungsgeschwindigkeit c © H.Neuendorf Luft : c = 332 m/s Kupfer : c = 3700 m/s → k → | k |= 2π λ (7) Harmonische Wellen - mathematische Beschreibung Muss Funktion y(x,t) des Ortes und der Zeit sein : 1. Betrachtung Teilchen am festen Ort x0 = 0 m zur Zeit t* Vollführt sinusförmige Schwingung : y (t * , x = 0m ) = A ⋅ sin(ω ⋅ t * ) = A ⋅ sin 2. Rechtes Nachbarteilchen im Abstand x 2π * ⋅t T Welle wandere nach rechts c= Vollführt auch Schwingung - jedoch zeitlich verzögert Zeitliche Verzögerung ∆t = x / c 2π x y (t , x ) = A ⋅ sin(ω ⋅ ( t − ∆t )) = A ⋅ sin ω ⋅ t − ω ⋅ = A ⋅ sin ω ⋅ t − c T = A ⋅ sin ω ⋅ t − 2π λ ⋅x = A ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) ⋅ λ T x Erst zu einer um ∆t späteren Zeit t hat man am Ort x > 0m gleiche Verhältnisse wie am Ort x = 0m zur Zeit t* , so dass auch das Funktionsargument von y erst für entsprechend größere Werte von t den gleichen Wert annimmt. k := 2π λ k = Wellenzahl t = const Momentanbild der Welle, örtliche Verteilung der Auslenkungen x = const Zeitlicher Verlauf der Bewegung des Teilchens am festen Ort x Gleichung der Wellenfront = Orte gleicher Phase : © H.Neuendorf T λ Für x = λ oder t = T wird wieder der gleiche Schwingungszustand erreicht ω ⋅ t − k ⋅ x = const (8) Phasengeschwindigkeit c der Welle Nicht die Geschwindigkeit der Bewegung des einzelnen Oszillators, sondern .... Phasengeschwindigkeit : Wie schnell bewegt sich ein Schwingungszustand konstanter Phase (zB Wellenberg, Wellental, Nulldurchgang) = Wellenfront in Ausbreitungsrichtung x Festlegung des aktuellen Phasenwerts : Durch Argument ω·t ± k·x y (t ) = A ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) ω ⋅ t − k ⋅ x = const x= c= ω ⋅ t − const dx ω = dt k k= 2π λ Berechnung für nach rechts laufende Welle Zustand konstanter Phase = Wellenfront Orte konstanter Phase in Ausbreitungsrichtung x k = ω ⋅ λ 2π f ⋅ λ = = f ⋅λ 2π 2π ω = c⋅k Berechnung für nach links laufende Welle Geschwindigkeit des einzelnen Oszillators v(t) = dy/dt ≠ const Phasengeschwindigkeit c = dx/dt = const = ± ω / k Es ist typischerweise v << c ! © H.Neuendorf y (t ) = A ⋅ sin (ω ⋅ t + k ⋅ x ) ω ⋅ t + k ⋅ x = const x= ≠ c= − ω ⋅ t + const k dx ω =− dt k (9) Harmonische Wellen - 3d Beschreibung : → Funktion y(r,t) des 3d-Ortes und der Zeit : Ort r und Wellenvektor k nun dreikomponentige Vektoren → kx x → k = ky kz → k⋅ r = k x ⋅ x + k y ⋅ y + kz ⋅ z z k = k +k +k = 2 x 2 y 2 z y ( r , t ) = A ⋅ sin ω ⋅ t − k ⋅ r → → r= y 2π λ → ω = k ⋅c → → → → k ⋅ r = const : Gleichung aller Punkte einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung k = Wellenfront Gedämpfte Wellen - raümliche Beschreibung : y ( x , t ) = e −α ⋅ x ⋅ A0 ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) y(x,t) Absorption von Energie bei Ausbreitung durch Erwärmung des Wellenträgers Abklingen der Amplitude längs Weg Räumliche Dämpfung der Welle – keine zeitliche Dämpfung wie bei Schwingung ! Einzelnes Teilchen schwingt stets mit gleicher Amplitude, da Dämpfungsverluste durch Energienachschub ausgeglichen Ungedämpft schwingender Erreger sendet räumlich gedämpfte Welle über absorbierenden Träger © H.Neuendorf x λ Exponentieller Dämpfungsterm ist Funktion des Ortes – nicht der Zeit ! (10) Wellen - Energietransport Betrachtung der Schwingungsenergie dE im Volumenelement dV Gesamtenergie = kinetische Energie + potentielle Energie y ( x , t ) = A ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ x ) v= → Masse dm = ρ·dV Eges = E k, max = E p, max dy = A ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) dt v max = A ⋅ ω 1 1 1 2 2 dE = dE k , max = dm ⋅ v max = ρ ⋅ dV ⋅ v max = ρ ⋅ dV ⋅ ω 2 ⋅ A 2 2 2 2 a) Energiedichte w mechanischer Wellen : w= dE 1 = ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 dV 2 J m3 b) Intensität I : Energie pro Zeit dt und senkrecht durchsetzter Fläche da = dy⋅dz Welle wandert in x-Richtung I= dE dxdydz 1 1 1 = ⋅ ρ ⋅ dV ⋅ ω 2 ⋅ A 2 = ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 = dt da dt da 2 dt dydz 2 = © H.Neuendorf dV = dx⋅dy⋅dz 1 dx 1 ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 = c ⋅ ρ ⋅ ω 2 ⋅ A2 = c ⋅ w 2 dt 2 W m2 (11) Wellen - Intensitätsverlauf Ebene Wellen : Energiedichte + Amplitude in Ausbreitungsrichtung konstant Kugelwellen : Energiedurchsatz verteilt sich auf immer größere Kugelflächen 4π π r2 P = const = I ⋅ 4π ⋅ r 2 I= P 1 ∝ 4π ⋅ r 2 r 2 ∝ A2 Intensität nimmt mit 1/r2 ab Amplitude A2 ∝ I ∝ 1 / r2 nimmt mit Abstand r vom Erregerzentrum ab : A(r) ∝ 1 /r Gleichung für Kugelwellen : A0 y (t , x ) = ⋅ sin (ω ⋅ t − k ⋅ r ) r/m 4π ⋅ r 2 Übung : Sender mit P = const © H.Neuendorf Wie sieht das Amplitidenverhalten für Zylinderwellen um einen langen dünnen Sender aus ? Bsp : Zylinderwelle hinter dünnem Spalt, Autobahnteilstück, … r L (13) Kohärente versus inkohärente Wellen Inkohärente Wellen : Vielzahl einzelner unkorrelierter Strahlungsereignisse mit kurzen Wellenzügen t © H.Neuendorf Kohärente vs. Inkohärente Überlagerung von Wellen Zeitlicher Mittelwert der Intensität sich überlagernder Wellen : Gleiche Frequenz und Ausbreitungsrichtung (14) Gleiche Polariastion y = y1(x,t) + y2(x,t) Kohärente Wellen Konstante Phasendifferenz ϕ = ϕ0 = const Inkohärente Wellen Phasendifferenz ϕ schwankt statistisch zwischen [-π π, + π] Intensität ∝ Amplitude 2 → y( x, t ) = → Vektorielle Addition, da phasenbehaftete Größen - analog Zeigerdiagramm y1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) → → I ∝ y = y1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) 2 Betrachtung zweier Wellen am gleichen Ort zur gleichen Zeit → 2 = Zeitliche Mittelung erforderlich, wenn Detektor bei hoher Frequenz der schnellen Schwankung der Intensität nicht mehr folgen kann – Beispiel : Licht ! = y12 ( x , t ) + y 22 ( x , t ) + 2 ⋅ y1 ( x , t ) ⋅ y 2 ( x , t ) ⋅ cos(ϕ ) Schirm I1 ∝ y12 ( x , t ) I 2 ∝ y 22 ( x, t ) I res = I1 + I 2 + 2 ⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅ cos(ϕ ) S1 S2 y1 y2 Quellen Interferenzterm © H.Neuendorf (x,t) Überlagerungspunkt Kohärente vs. Inkohärente Überlagerung von Wellen Berechnung der zeitlichen Mittelwerte für kohärenten + inkohärenten Fall a) Kohärenz : cos(ϕ ) = cos(ϕ 0 ) I = I1 + I 2 + 2 ⋅ I1 ⋅ I 2 ⋅ cos(ϕ 0 ) ≠ I1 + I 2 !!!!! (15) Wellenfelder mit gleicher Frequenz und konstantem Phasenunterschied sind kohärent Beispiel : Laser ! Bei kohärenter Überlagerung ist die mittlere Intensität proportional zum Quadrat der Amplitude der resultierenden Welle : Typischer Interferenzterm ! Spezialfälle : cos(ϕ0) = +1 Konstruktive Interferenz Interferenzüberhöhung cos(ϕ0) = - 1 b) Inkohärenz : I = I1 + I 2 Destruktive Interferenz cos(ϕ ) = 0 I = I 1 + I 2 + 2 ⋅ I1 ⋅ I 2 I = I 1 + I 2 − 2 ⋅ I1 ⋅ I 2 Unterschiedliches Vorgehen zur Berechnung der mittleren Intensität aus Einzelwellen Bei inkohärenter Überlagerung ist mittlere Intensität die Summe der Intensitäten der Beispiel : Glühlampenlicht beiden Einzelwellen. Es tritt kein Interferenzterm auf ! Intensität ist kleiner als die Intensität bei konstruktiver Überlagerung kohärenter Wellen © H.Neuendorf Allgemeine Wellen-Differentialgleichung Euler (1707-1783) (18) Alle Wellenerscheinungen der Natur werden durch diesen Typ DGL beschrieben ! Herleitung für konkrete Systeme : 1. Mechanik : Druckwelle, Welle auf Saite, Torsionswelle, .... Aufstellen der Newtonschen-Bewegungsgleichung m·a = F Liefert in Mechanik auch DGL der Wellenausbreitung aus Newtons Physik erhaltbar Problem : Einfache Herleitungen enthalten oft willkürliche Vereinfachungen 2. Elektrodynamik : Elektromagnetische Wellen (Maxwell 1865) Durch wenige Umformungen exakt aus Maxwellschen-Gleichungen erhaltbar ! Problem : Stehen uns noch nicht zur Verfügung …. Erwartung : Abstrakte Herleitung für alle möglichen Wellen-Systeme : Auf Basis struktureller Eigenschaften jeder möglichen Wellenfunktion Jede Wellenfunktion ist eine Lösung der Wellen-DGL ! Jede Funktion y(x,t) die ein Wellenphänomen beschreibt ist eine Funktion des Arguments x ± c·t © H.Neuendorf Wellenerscheinungen finden in Raum und Zeit statt - somit wird auch die DGL von der zeitlichen und räumlichen Variation der Funktionen y(x,t) handeln ..... (19) Allgemeine Wellengleichung y ( x , t ) = y ( x ± ct ) Beschreibung der raum-zeitlichen Wellenausbreitung irgendeiner physikalischen Größe y(x,t) durch eine Wellenfunktion Betrachtung ihrer zeitlichen und räumlichen Ableitungen : d2y dy dy da dy = ⋅ = ⋅ ( −c ) dt da dt da dt 2 dt 2 2 =c ⋅ d2y dx 2 d dy d dy da 2 d y ⋅ =c ⋅ 2 = −c ⋅ = −c ⋅ dt da da da dt da d dy da d 2 y ⋅ = 2 = 2 da da dx da dx Anwendung Kettenregel Völlig analog für Konsequenz : Jede beliebige Funktion y( x ± c·t ) ist Lösung der Wellen-DGL 2 Übung : Einsetzen der harmonischen WF sin( ω·t - k·x ) in DGL zeigt, dass DGL erfüllt wird a = x + c·t Die DGL hängt von der räumlichen und zeitlichen Variation sowie der Phasengeschwindigkeit ab – und gilt strukturell für alle Wellenphänomene der Natur ! Auch nicht-harmonische Wellenfunktionen sind Lösungen der Wellengleichung © H.Neuendorf Abkürzung a = x - c·t d2y dy dy da dy = ⋅ = ⋅1 dx da dx da d2y = y (a ) Auch für elektromagnetische Wellen Der konkrete Ausdruck für die Phasengeschwindigkeit c bestimmter Systeme enthält systemspezifische Parameter d 2 E ( x, t ) dt 2 d 2 B( x, t ) dt 2 2 d 2 E ( x, t ) 2 d 2 B ( x, t ) =c ⋅ =c ⋅ dx 2 dx 2 Allgemeine Wellengleichung Auch F( x - c·t ) + G( x + c·t ) ist Lösung Anschauliche Bedeutung : y ( x , t ) = y ( x ± ct ) 2 d y dt 2 = c2 ⋅ 2 d y (20) dx 2 Eindimensionale Störung breitet sich unter Beibehaltung der Form in homogenem Medium in beide Richtungen mit gleicher Geschwindigkeit zu gleichen Anteilen aus : 1 1 y( x, t ) = ⋅ y( x − c ⋅ t ) + ⋅ y( x + c ⋅ t ) 2 2 © H.Neuendorf Da Wellengleichung eine lineare DGL ist, ist auch die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung der DGL (21) 3d Wellengleichung Der Ort r = (x,y,z) verlangt nun nach den zweiten Ableitungen aller drei Orts-Koordinaten Die Wellenfunktion f( r,t ) = f( x,y,z,t ) hängt von Ort und Zeit ab d2 f d2 f d2 f d2 f d2 d2 d2 2 2 =c ⋅ + 2 + 2 =c ⋅ + 2+ 2 2 2 2 dt dx dy dz dx dy dz 2 2 2 f = c2 ⋅ ∆ f d d d d d d d d d + + = ⋅ = ∇⋅ ∇ , , , , 2 2 2 dx dy dz dx dy dz dx dy dz ∆= → → Der räumliche Differentialoperator ∆ ist der Laplace-Operator Formal schreibbar als Skalarprodukt des Gradient-Operators Aufgrund der nicht-linearen Zusammenhänge zwischen verschiedenen Koordinatenarten (zB zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten) sieht der Operator in anderen Koordinaten ganz anders aus .... Elektromagnetische Wellen : Phasengeschwindigkeit c = Lichtgeschwindigkeit 3⋅108 m/s 1 c = ε 0 ⋅ µ0 2 0 E= q 4πε 0 ⋅ r 2 © H.Neuendorf B = µ0 ⋅ EM-Wellen sind transversale harmonische Wellen : I 2π ⋅ r → → → E (t , r ) ⊥ B (t , r ) ⊥ k ω = k ⋅c Dass die Lichtgeschwindigkeit durch Naturkonstanten des Vakuums ausgerückt werden kann, die in typischen Ausdrücken für das elektrische und magnetische Feld vorkommen, zeigt an, dass elektromagnetische Wellen durch elektrische und magnetische Feldeffekte erzeugt und transportiert werden Interferenz (25) Nachweis des Wellencharakters physikalischer Erscheinungen Überlagerung mehrerer Wellen gleicher Frequenz → Superpositionsprinzip Jede Welle breitet sich aus, als ob andere Wellen nicht vorhanden wären Addition der Einzelwellen zur resultierenden Welle = Welle gleicher Frequenz, jedoch anderer Amplitude und Phasenlage Bsp : Zwei Wellen → Bedingungen für konstruktive und destruktive Interferenz y ( x , t ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) + A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ ) ∆s = Gangunterschied ∆s = Wegdifferenz von Quelle zum Beobachtungspunkt Interferenz = phasen-, orts-, richtsungsabhängige Intensitäten bei Überlagerung kohärenter Wellen P r1 Q1 r2 Q2 Konstruktive Interferenz ϕ = 2m·π π ∆s = m·λ λ Gleichphasig : Verdoppelung der Amplitude Destrukt. Interf. ϕ = (2m+1)·π π Gegenphasig : Auslöschung © H.Neuendorf ∆s = (2m+1)· λ / 2 ∆s = r2 − r1 [m ] ϕ ⋅λ 2π (26) Interferenz: Zusammenhang Phasendifferenz - Gangunterschied Superposition zweier Wellen gleicher Wellenlänge : → λ1 = λ 2 → y 2 ( x, t ) = A2 ⋅ cos(ω ⋅ t − k 2 ⋅ r 2 ) Q2 Beobachtung der Interferenz zur Zeit t am Ort P : → → k1 || r1 Phasenunterschied ist durch Differenz der Argumente der Wellenfunktionen gegeben : → r2 ω1 = ω 2 = ω → → → → Q1 k1 = k 2 = k y1 ( x , t ) = A1 ⋅ cos(ω ⋅ t − k 1 ⋅ r 1 ) P r1 → → k 2 || r2 → ∆ϕ = ω ⋅ t − k1 ⋅ r 1 − ω ⋅ t − k 2 ⋅ r 2 = k 2 ⋅ r2 − k1 ⋅ r1 = = k ⋅ (r2 − r1 ) = ∆ϕ ∆s = 2π λ © H.Neuendorf 2π λ ⋅ (r2 − r1 ) = 2π λ ⋅ ∆s Dreisatz-artige Beziehung : Eine Phasenverschiebung verhält sich zur kompletten Periode 2π wie ein Gangunterschied zu einer ganzen Wellenlänge λ Geometrische Gangunterschiede ∆s können als effektive Phasenverschiebungen ∆ ϕ ausgedrückt werden (27) Interferenz - Maxima und - Minima Betrachtung Gangunterschied ∆ zwischen Wellen punktförmiger Sender Im Folgenden stets Phasengleiche Sender Bedingung für Maximum : Bedingung für Minimum : Q1 ∆ϕ = 0 ∆s = r1 − r2 = m ⋅ λ P r1 r2 m = 0,±1,±2,... λ ∆s = r1 − r2 = (2m + 1) ⋅ 2 Q2 m = 0,±1,±2,... Interferenz nur bei kohärenten Wellen ! Fernfeldnäherung : Inkohärente Wellen zeigen keine Interferenz ! Zweistrahlinterferenz im Fernfeld der Sender Strahlen nahezu parallel auf P zulaufend Gangunterschied ∆s zwischen 1→ →P und 2→ →P ≈ ∆s = d·sin(α α) © H.Neuendorf Fernfeld 1 d α ∆s 2 α P Beobachtungsschirm Abstand der Sender d << Abstand zu P Interferenz im Fernfeld : Wegunterschied zwischen 1→ →P und 2→ →P ≈ ∆s = d·sin(α α) a) Bedingung für Interferenzmaxima bei Phasengleichheit : ∆s = m ⋅ λ sin(α mmax ) = m ⋅ λ d m = 0,±1,±2,... b) Bedingung für Interferenzminima bei Phasengleichheit : ∆s = ( 2m + 1) ⋅ 1 d α ∆s 2 α 2 sin(α mmin ) = 2m + 1 λ ⋅ 2 d Interferenzmaxima m-ter Ordnung. Umso dichter + schlechter auflösbar, je kleiner Verhältnis λ / d RB : sin(α) < 1 λ/d<1! m = 0,±1,±2,... P Beobachtungsschirm Fernfeld λ (28) Formulierung mittels Richtungswinkel α Intensität Inkohärenz = Zeitlich statistisch schwankende Phasendifferenz zwischen Sendern Zeitlich statistisch schwankende Interferenzwinkel αm Zeitliche Schwankung des Interferenzmusters - kein fest stehendes Interferenzmuster Träge Sinnesorgane + Geräte nehmen nur noch räumlich gleichmäßig verteilte mittlere Intensität wahr, können kein Interferenzmuster auflösen. © H.Neuendorf (29) Stehende Wellen Überlagerung zweier gegenläufiger Wellen gleicher Frequenz + Amplitude Wellen mit entgegengesetzter Ausbreitungsrichtung interferieren Bsp: Reflexion einer Welle an Wand + Interferenz mit sich selbst y ( x , t ) = A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) + A ⋅ cos(ω ⋅ t + k ⋅ x + ϕ ) = 2 ⋅ A ⋅ cos ω ⋅ t + ϕ 2 ⋅ cos k ⋅ x + Typisches Wellenargument ω·t - k·x tritt nicht mehr auf Zeitliche + räumliche Abhängigkeiten sind entkoppelt Keine Wellenausbreitung mehr, nur zeitliche Modulation einer räumlichen Verteilung ϕ 2 Kein Signal-/Energietransport Stehende Welle : Ortsfeste Schwingungen mit Schwingungsknoten und -bäuchen Keine räumliche Ausbreitung mehr, sondern stehendes Wellenfeld Örtliche Variation der Amplitude Zu bestimmten Zeiten ist die Auslenkung überall = 0 (≠ Wellenverhalten) Knoten permanent in Ruhe Bsp: An Enden eingespannte Saite der Länge L Knoten an Enden Grundschwingung mit Wellenlänge λ / 2 = L λ=2L Obertöne mit Knoten zwischen Enden mit Wellenlängen n ⋅ λ / 2 = L = Eigenschwingungen n-ter Ordnung der Saite n = 1,2,3, … © H.Neuendorf λn = fn = 2 L λ1 = n n c λn = c ⋅ n = f1 ⋅ n 2L (30) Stehende Wellen Gleichzeitige Abfolge von Zuständen minimaler bzw maximaler kinetischer und potentieller Energie für alle Punkte der stehenden Welle Maximale Auslenkung Ep maximal Ek = 0J Minimale Auslenkung t = ¼ T , ¾ T , ... Ep = 0J Ek maximal Fortschreitende Welle Stehende Welle Wellenbild verschiebt sich stetig mit Phasengeschwindigkeit c. Ortsfestes Wellenbild - periodische Änderungen nur senkrecht zur Achse. Alle Punkte haben gleiche Amplitude - aber zu unterschiedlichen Zeiten, umso später, je weiter vom Erreger entfernt. Amplitude für alle Zeiten maximal an ortsfesten Bäuchen, stets Null an Knoten. Konstante Amplitude an bestimmtem Ort für alle Zeiten In keinem Momentherrscht überall Stillstand oder verschwindende Auslenkung. Alle Punkte gehen gleichzeitig durch die Gleichgewichtslage. Kein Punkt ist ständig in Ruhe. Die Knoten sind ständig in Ruhe. Energie wird transportiert, läuft mit der Welle. Energie bleibt im Träger, kein Energietransport. © H.Neuendorf Beugung - Prinzip von Huygens Geometrische Konstruktionsvorschrift (32) Veränderung des Wellenverhaltens bei Kontakt mit Hindernissen / Spalten Ebene Welle läuft gegen Spalt : Ausbildung einer neuen nicht-ebenen Wellenfront hinter dem Spalt. Je enger der Spalt, desto stärker greift Wellenbewegung in den geometrischen Schattraum über. Enger Spalt wirkt wie neue Punkt-Wellenquelle. Welle pflanzt sich auch in Richtungen fort, die im geometrischen Schattraum liegen. Beugung macht sich deutlich bemerkbar, wenn Spalt-Abmessungen von Größenordnung der Wellenlänge sind. Die durch Hindernisse / Spalte verursachte Abweichung von der geometrisch-geradlinigen Wellenausbreitung nennt man Beugung Deutung : Interferenz unendlich vieler Kugelwellen Beugung vollständig auf Interferenz zurückführbar + daraus berechenbar © H.Neuendorf Physikalische Begründung für das Huygens-Prinzip : Alle Punkte des Mediums, die von Welle getroffen werden, schwingen wie der ursprünglicher Sender - nur zeitlich verzögert . Alle Punkte sind daher gleichwertig mit dem anfangs erregten Punkt - und daher ihrerseits Ausgangspunkt (Sender) von Kugelwellen gleicher Frequenz und Geschwindigkeit (33) Beugung - Prinzip von Huygens Huygens Prinzip = Konstruktionsvorschrift : Herstellen zweier gleicher gleichphasiger Wellen aus einer Ursprungs-Welle durch Doppelspalt Interferenzmuster 1. Jeder Punkt, der von Welle erfasst wird, ist selbst Zentrum einer neuen Kreiswelle ("Elementarwelle") gleicher Frequenz und Geschwindigkeit wie die "Ursprungswelle". Alle Punkte einer Wellenfront schwingen in Phase 2. Resultierende Wellenfront ist Einhüllende aller Elementarwellen. 3. Die Intensität an einem entfernten Punkt ergibt sich durch Interferenz aller dieser Elementarwellen In Vorlesung wird Konstruktion mathematisch ausgeführt werden, um Beugungsmuster zu berechnen ! Deutung der Beugungserscheinungen am Spalt : An Spalträndern ergänzen sich kreisförmige Elementarwellen nicht zu gerader Wellenfront "Übrigbleiben von Kreisbögen" Ausgreifen in geometrischen Schattenraum Enger Spalt d ≤ λ : Nur "eine" kreisförmige Elementarwelle © H.Neuendorf Wellengruppen - Signalformung Information kann nur durch endlich lange, lokalisierte Wellenpakete übertragen werden ... (36) Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz aber gleicher Laufrichtung Reale Wellen sind räumlich + zeitlich begrenzt = endliche Wellenzüge Demonstration mit 2 Wellen leicht unterschiedlicher Frequenz und Wellenzahl Signaltechnik : Aussenden von Wellenpaketen = Signal Fourier-Synthese = Überlagerung vieler Wellen unterschiedlicher Frequenz und Wellenzahl : y = A ⋅ cos(ω1 ⋅ t − k1 ⋅ x ) + A ⋅ cos(ω 2 ⋅ t − k 2 ⋅ x ) = 2 ⋅ A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) ⋅ cos(∆ω ⋅ t − ∆k ⋅ x ) c gr → ω= ω1 + ω 2 ∆ω = Schwebungsgruppe : 2 k= ω1 − ω 2 2 k1 + k 2 2 ∆k = k1 − k 2 2 Wellenbäuche = Pakete wandern in Ausbreitungsrichtung Erster Faktor = Laufende Welle mit Phasengeschwindigkeit : Mittlere Kreisfrequenz und Wellenzahl c= ω k = Sehr kleine Kreisfrequenz und Wellenzahl ω1 + ω 2 k1 + k 2 Zweiter Faktor = Lanwellige Amplitudenmodulation → Bewirkt Bildung einer Wellengruppe Bewegt sich mit anderer Geschwindigkeit als c ! © H.Neuendorf Wandert mit der Gruppengeschwindigkeit cgr ! Gruppengeschwindigkeit (37) y = 2 ⋅ A ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) ⋅ cos(∆ω ⋅ t − ∆k ⋅ x ) ω= c gr → ω1 + ω 2 ∆ω = 2 k1 + k 2 k= 2 ω1 − ω 2 k1 − k 2 2 ∆k = 2 Einhüllende = Amplitudenmodulation → Bewirkt Bildung Wellengruppe Ausbreitung mit Gruppengeschwindigkeit cgr : Zustand konstanter Phase des Wellenpakets beschrieben durch : c gr dx ∆ω ω1 − ω 2 = = = dt ∆k k1 − k 2 Allgemein: Beliebig viele überlagerte Teilwellen = Fourier-Synthese Gruppengeschwindigkeit = Geschwindigkeit, mit der sich Hüllkurve der Wellengruppe fortbewegt = Geschwindigkeit des Energie- / Signaltransports © H.Neuendorf Phasengeschwindigkeit > Lichtgeschwindigkeit ist möglich! Gruppengeschwindigkeit = Signalgeschwindigkeit ist aber immer < Lichtgeschwindigkeit ∆ω ⋅ t − ∆k ⋅ x = const Orte konstanter Phase = Wellengruppenfront somit : ∆ω ⋅ t − const x= ∆k Signale = Wellenpakete breiten sich nicht mit Phasengeschwindigkeit sondern Gruppengeschwindigkeit aus ! lim ∆k → 0 c gr = dω dc = c−λ ⋅ dk dλ Geschwindigkeiten nur dann identisch, wenn die Pkasengeschwindigkeit nicht von Wellenlänge abhängt - dh keine Dispersion in dem Medium herrscht ! Dispersion führt zur Formänderung = "Zerfliessen" von Wellenpaketen da sich Wellenanteile unterschiedlicher Wellenlänge unterschiedlich schnell ausbreiten. Wellengruppen - Signalformung Momentaufnahme Wellenpaket ∆t ∝ Fouriersynthese : Signalformung durch Überlagerung vieler harmonischer Wellen unterschiedlicher Amplitude und Frequenz © H.Neuendorf 1 ∆ω (38) ⇔ ∆t ⋅ ∆ω = const Je konzentrierter das Signal = Wellengruppe (zeitlich lokalisiert) desto unbestimmter ist seine Frequenz ! Je genauer man eine Frequenz messen möchte, desto länger muss man messen! ↔ Je kürzer ein Signalpuls ist, desto mehr Frequenzen enthält er ! Fourier-Transformation Übergang von periodischer zu nichtperiodischer Funktion : Einzelner Puls = "Burst" Periodische Signale haben ein diskretes Linienspektrum Nicht-periodische Signale haben ein kontinuierliches Spektrum ! © H.Neuendorf (39) Fourier-Transformation Nicht-periodische Signale f(t) mit "Periode" T→ → ∞ haben ein kontinuierliches Spektrum mit kontinuierlichen Frequenzen Periodische Signale f(t) mit Periode T haben ein diskretes Linienspektrum mit diskreten Frequenzen : ω n = n ⋅ω 0 = n ⋅ ω = [0, ∞ ] f (t ) = a (ω ) = b(ω ) = 1 π 1 π 1 π +∞ ⋅ a (ω ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) + b(ω ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) dω 0 ⋅ +∞ f ( t ) ⋅ sin(ω ⋅ t ) dt ⋅ f (t ) ⋅ cos(ω ⋅ t ) dt Fourier-Amplituden a(ω ω) und b(ω ω) bilden das FrequenzSpektrum der Funktion f(t) FourierTransformation +∞ f (t ) dt ≠ ∞ −∞ −∞ Aus Signalform folgt oft bereits Grund-Struktur der Fourier-Transformierten : Symmetrisches Signal f(t) = f(-t) a(ω ω) = 0 Anti-Symmetrisches Signal f(t) = - f(-t) b(ω ω) = 0 © H.Neuendorf 2π T Voraussetzung der Berechenbarkeit ist absolute Integrierbarkeit des Signals f(t) −∞ +∞ (40) Darstellung eines zeitlichen Verlaufs f(t) … lim f (t ) = 0 t → ±∞ Fourier-Transformation f ( x) = a (k ) = +∞ 1 π Relle Formulierungen : Weniger kompakt als komplexe Darstellung - dafür verständlicher …. ⋅ a (k ) ⋅ sin( k ⋅ x ) + b(k ) ⋅ cos(k ⋅ x ) dk π 1 (41) Darstellung eines räumlichen Verlaufs f(x) … 0 ⋅ +∞ f ( x ) ⋅ sin(k ⋅ x ) dx −∞ b(k ) = 1 π ⋅ +∞ f ( x ) ⋅ cos(k ⋅ x ) dx −∞ Kombination der Darstellung in Ort und Zeit : Überlagerung von Wellenfunktionen f ( x.t ) = a (ω , k ) = b(ω , k ) = © H.Neuendorf 1 π 1 π 1 π ⋅ +∞ +∞ 0 ⋅ ⋅ a (ω , k ) ⋅ sin(ω ⋅ t − k ⋅ x ) + b(ω , k ) ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) dω dk 0 +∞ +∞ f ( x , t ) ⋅ sin(ω ⋅ t − k ⋅ x ) dt dx −∞ −∞ Zeit t ↔ Frequenz ω +∞ +∞ Ort x ↔ Wellenzahl k −∞ −∞ f ( x , t ) ⋅ cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) dt dx (44) Interferenz und Beugung λ d © H.Neuendorf = 1 5 (45) Vielstrahlinterferenz von Punktquellen Interferenz von N ≥ 2 phasengleich schwingenden äquidistanten Punktquellen der Wellenlänge λ im Abstand d Betrachtung im Fernfeld Schirmabstand >> (N-1)·d Strahlen laufen annähernd parallel Bedingung für Interferenz-Maxima : ∆s = d ⋅ sin(α max m sin(α mmax ) = m ⋅ m = Ordnung d ) = m ⋅λ λ m = 0, 1, 2,.... d A0 = Amplitude der Welle jeder Punktquelle I (α ) ∝ A02 ⋅ sin 2 Nπ d sin π ⋅ sin (α ) Herleitung der Beziehung © H.Neuendorf λ ⋅ sin (α ) 2 λ ................ d ) α Anwendung : Bestimmung der Wellenlänge Intensität I im Fernfeld : d = ∆s α i n( s · α = Winkel zu entferntem Punkt - zu dem die nahezu parallelen Strahlen laufen Bedingung für Interferenz-Minima : Zähler von I(α α) ist Null, Nenner ungleich Null d min N ⋅ π ⋅ sin(α m ) = m ⋅π λ min sin(α m ) = m⋅ λ Nd m = 1,2,..., N − 1 N -1 Minima zwischen zwei Hauptmaxima Abhängigkeit der Interferenz vom Grad der Kohärenz Wenn Phasenlage oder Amplituden statistisch schwanken, dann kommt kein geordnetes Interferenzmuster zustande. Interferenzmuster ist umso deutlicher, je kohärenter die Strahlung ! Konstruktiver Interferenzeffekt : Ages = A1 + A2 = 2 A 2 I ges ∝ Ages = 4 ⋅ A2 Keine Interferenzeffekt : I ges = I1 + I 2 ∝ A12 + A22 = 2A 2 Verdoppelung Intensität durch konstruktive Interferenz ! © H.Neuendorf (46) (47) Vielstrahlinterferenz Intensitätsverteilung : Neben den Hauptmaxima liegen äquidistant (N -1) Minima und (N -2) kleinere Nebenmaxima sin(α mmax ) = m ⋅ Hauptmaxima : λ d ⇔ π d λ ⋅ sin(α mmax ) = m ⋅ π m = 0,±1,.... Breite der Hauptmaxima proportional 1 / N und doppelt so breit wie Nebenmaxima. Hauptmaxima umso schärfer (höher + schmäler) je größer N Intensität der Hauptmaxima ist proportional N 2 ("überhöht") : Denn: In Hauptmaxima addieren sich N Amplituden der N Quellen in gleicher Phase Ages = N·A0 Iges,max ∝ N2·A02 Folgt auch aus Intensitätsformel : I (α max m sin 2 ( Nx ) 2 2 N sin ( Nx ) cos( Nx ) )∝ A ⋅ = = A 0 ⋅ 2 2 sin ( x ) cos( x ) sin ( x ) 2 0 cos 2 ( Nx ) − sin 2 ( Nx ) 2 2 = ⋅ A N = A ⋅N 0 cos 2 ( x ) − sin 2 ( x ) 2 0 2 Iges,max = N2·I0 Maximum-Bedingung : x =π d λ ⋅ sin(α mmax ) x → m ⋅π In Hauptmaxima sind Zähler und Nenner von I(α α) Null. Berechnung mit l'Hopitalscher Regel © H.Neuendorf (48) Vielstrahlinterferenz : Intensitätsverteilung I (sin α) N=8 N=4 λ = d − 0,2 = − λ d 0,2 = λ 1 5 sin(α) (N -1) Minima und (N -2) kleinere Nebenmaxima Hauptmaxima doppelt so breit wie Nebenmaxima. d Hauptmaxima umso schärfer und schmäler je größer N N=3 I (α ) ∝ A ⋅ 2 0 © H.Neuendorf sin sin d Nπ 2 2 π d λ λ ⋅ sin (α ⋅ sin (α ) ) N=2 Röntgenbeugung an Kristallgittern (50) (1912) Anschaulich: Bragg-Reflexion von Röntgenwellen an Kristallebenen Bragg-Reflexion an parallelen Kristallgitterebenen liefert in bestimmten Richtungen + für bestimmte Wellenlängen / Energien konstruktive Interferenz Bragg-Bedingung - abhängig von Gitterperiode a : 2 ⋅ a ⋅ sin(ϑ ) = m ⋅ λ Typische Gitterperioden a von Kristallen haben Größenordnung der Wellenlänge von Röntgenstrahlung Historisch bedeutsam → Doppelbeweis : 1. Beweis der Wellennatur von Röntgenstrahlung λ,k Cu-Einkristall ϑ ϑ ϑ sin a· ) (ϑ a kubische Symmetrie erkennbar 2. Beweis der Raumgitterstruktur der Kristalle Anwendung : Strukturanalyse Wellenlängenmessung Drehkristallverfahren mit monochromatischer Röntgenstrahlung: Kristall K wird gedreht, so dass unterschiedliche Kristallorientierungen angeboten werden. Netzebenenabstand aus Reflexen bestimmbar © H.Neuendorf (51) Beugung am Spalt - Prinzip von Huygens Veränderung Wellenverhalten bei Durchgang durch Hindernisse Deutliche Beugung bei Hindernissen von Größenordnung der Wellenlänge λ Ebene Welle läuft gegen Spalt : Je enger der Spalt, desto stärker greift Wellenbewegung in geometrischen "Schattraum" über. Enger Spalt wirkt als neue Kugelwellen-Quelle. Durch Spalte, Blenden, Hindernisse verursachte Abweichung von der geradliniggeometrischen Wellenausbreitung = Beugung Linse Schirm im Abstand vom Spalt >> b (Fernfeld) λ α Monochromatische Lichtquelle im Brennpunkt © H.Neuendorf Spalt mit Breite b ≈ λ Intensität auf Schirm : Beugungsmuster = Wechsel heller + dunkler Zonen (Maxima + Minima) I(α α) (52) Beugung am Spalt - Fresnel versus Frauenhofer Klassifikation λ ≈ b << Schirmabstand : Frauenhofer Beugung im Fernfeld λ ≈ b Fresnel Beugung im Nahfeld ≈ Schirmabstand : λ << b ≈ Schirmabstand : Geometrische Optik - keine Beugung beobachtbar Fresnel : Lichtquelle und Beobachtungspunkt auf Schirm in endlichem Abstand von Spalt Idealisierung paralleler Strahlen nicht gültig Mathematisch aufwendig Frauenhofer : Lichtquelle und Beobachtungspunkt auf Schirm in quasi-unendlichem Abstand von Spalt Idealisierung paralleler Strahlen gültig Mathematisch einfach Praktische Realisation des Frauenhofer'schen ParallelFalls durch Einsatz von Linsen im Brennpunkt © H.Neuendorf Augustin Jean Fresnel 10. Mai 1788 – 14. Juli 1827 Geometrische Optik – Idealisierung des Strahls (53) Einfache Konstruktionsregeln im Strahlenbild © H.Neuendorf Jedoch sind schon Funktion der Linse selbst und ihre charakteristischen Abbildungsfehler nur im Wellenbild erklärbar ! (54) Beugungsbilder Beugung an Doppelspalten unterschiedlicher Abstände Die Beugungsbilder sind indirekte Abbilder der beugenden Strukturen : Beugung an Lochblende Beugungsbild ist die Fouriertransformierte der beugenden Struktur ! Aus Beugungsbild kann zugrunde liegende Struktur rekonstruiert werden Strukturanalyse Beugung an Kante Beugung an Rechteckblende Zweidimensionale Strukturen Beugung am Spalt © H.Neuendorf Zweidimensionale Beugungsblder durch Überlagerung der Beugungsbilder jeder Dimension (55) Beugung am Einzelspalt Beugung am breiten Einzelspalt für ebene Wellenfront Anwendung Huygens' Prinzip : Kontinuierliche Quellenverteilung im Spalt In allen Punkten des Spaltes werden kugelförmige Elementarwellen angeregt Hinter Spalt : Interferenz der Kugelwellen → Intensitätsverteilung im Fernfeld Abstand Schirm zu Spalt >> b b α ∆s α Bedingung für zentrales Maximum = Verstärkung : ∆s = 0 ⋅ λ sin (α max ) = 0 α max = 0 Fernfeld : Fast parallele Strahlen mit Winkel α zur Einfallsrichtung, so dass Näherung für ∆s zulässig ..... Zentrales Maximum bei α = 0° in Mitte des Schirms Aber : Maximum-Breite > als Spaltbreite b ... © H.Neuendorf (57) Beugung am Einzelspalt : Intensitätsverteilung Grenzübergang zu kontinuierlicher Punktquellenverteilung : Interferenz von N Huygenschen Elementarwellen b = const λ = const ( N − 1) ⋅ d = b = const N →∞ d →0 N →∞ A p → A0 / N = 0 N ⋅ A p = const = A0 Amplitude der von N Punktquellen abgestrahlten Wellen wie 1/ N Abgestrahlte Gesamtintensität bei N → ∞ nicht unendlich, sondern konstant : Gesamtintensität der N Punktquellen = Einfallende Intensität I0 mit Amplitude A0 Verwendung Resultat für Interferenz I(α α) von N äquidistanten Quellen im Fernfeld : Näherungen für N → ∞ : N·d ≈ ( N-1 ) ·d = b Winkelnäherung : sin(x) ≈ x für x << π (Bogenmaß) Intensitätsverlauf : Zentrales Beugungsmaximum doppelt so breit wie Nebenmaxima höherer Ordnung Beugung umso stärker, je größer λ / b (Eindringen in geometrischen Schattraum) Für λ << b fast keine Beugung Kaum Intensität im geometrischen Schattenraum = Verhältnisse der geometrischen Optik : Hindernisse >> λ © H.Neuendorf d b (58) Beugung am Einzelspalt : Intensitätsverteilung Verwendung Vielstrahlinterferenz I(α α) von N äquidistanten Quellen im Fernfeld : I (α ) ∝ A 2p ⋅ sin 2 Nπ sin 2 π N →∞ ⋅ sin (α ) λ d λ λ sin 2 π d λ ⋅ sin (α ) N →∞ d ≈ b/ N = lim A 2p ⋅ N →∞ sin π ⋅ sin (α ) π λ b λ ⋅ sin (α ) sin π 2 b 2 2 N ⋅ d ≈ ( N − 1) ⋅ d = b ⋅ sin (α ) sin Nπ ⋅ sin (α ) = lim (N ⋅ A p ) ⋅ N →∞ d 2 lim A 2p ⋅ d 2 sin 2 sin π 2 = A02 ⋅ π b λ b λ x << π : ⋅ sin (α ) 1 b π ⋅ sin (α ) N λ b λ ⋅ sin (α ) ⋅ sin (α ) 2 = sin 2 ( x ) ≈ x 2 ∝ I (α ) Variablen b und λ treten nur in Form b/ λ auf Beugungsmuster hängt nur vom Verhältnis b/ λ ab Beugung umso stärker, je größer λ / b Eindringen in geometrischen Schattraum = Abweichung von geometrischer Optik © H.Neuendorf (59) Beugung am Einzelspalt Bedingungen für Maxima und Minima im Fernfeld des Spalts sin (α mmin ) = m ⋅ λ m = 1, 2, 3,... b sin (α mmax ) = m + I (sinα) 1 λ ⋅ 2 b λ 1 m = − , 1, 2, 3,... 2 Bestimmung Wellenlänge λ Weißes Licht : Maxima an verschiedenen Stellen / Winkeln α Zerlegung in spektrale Anteile Zentrales Maximum bei α = 0° - aber verschiedenfarbige Maxima höherer Ordnung Intensitätsverteilung : Sehr schnelle Abnahme der Maxima-Intensitäten mit zunehmender Ordnung m Breiten der Maxima Zentrales Hauptmaximum mit Breite : 2λ/b Nebenmaxima mit nur halber Breite: λ/b © H.Neuendorf 1 3 sin(α) Monochromatisches Licht : Klare Abfolge von Maxima und Minima b = (60) Beugung am Einzelspalt : Intensitätsverteilung I (sinα) λ Schwache Beugung : Intensitätskonzentration, wenig Intensität in Schattenraum λ b = λ b = 1 3 b 1 4 sin(α) 1 λ − =− 3 b I (α ) ∝ A02 ⋅ 1 λ = 3 b sin 2 π π © H.Neuendorf =1 sin(α) sin(α) I m =1 1 ≈ I0 22 I (sinα) I (sinα) b λ b λ ⋅ sin (α ) ⋅ sin (α ) I m =2 1 ≈ I0 62 −1 = − λ 1= b b I (sinα) Zentrales Beugungsmaximum doppelt so breit wie Nebenmaxima 2 Sehr rascher Intensitätsabfall mit zunehmender Ordnung der Maxima ....... λ Starke Beugung : Breite Intensitätsverteilung in Schattenraum λ b =3 sin(α) (61) Beugung Einzelspalt : Intensitätsverteilung Beugung umso stärker, je größer λ / b Für λ << b fast keine Beugung : Beugungsmaxima niedriger Ordnung m dann bei sehr kleinen Winkeln α Nur geringe Abweichung von Einfallsrichtung I (α ) ∝ A02 ⋅ sin 2 π π b λ b λ ⋅ sin (α ) ⋅ sin (α ) Vergleich Licht & Schall : 1. Licht : Öffnungen + Hindernisse >> λ Licht Licht bewegt sich geradlinig wie Teilchen 2. Langwellige Schallwellen λSchall ≈ Öffnungen Gebeugt (nach gleichen Gesetzen) "Man kann um die Ecke hören, aber nicht sehen……" Unterschiedliches Ausbreitungsverhalten von Licht und Schallwellen im Alltag beruht nur auf deutlich unterschiedlichen Wellenlängen ...... Beugung setzt der Strahlenoptik Grenzen : Wenn Lichtbündel durch Spalt zu stark eingeengt wird (b < 10 λ ) dann tritt verstärkt Beugung auf - und weitet Strahlenbündel hinter engen Spalt auf Je enger der Spalt desto stärker Beugung Lichtbündel haben immer Mindestbreite von einigen Wellenlängen ! © H.Neuendorf 2 (63) Beugung + Interferenz an Mehrfachspalten = GITTER N äquidistante Öffnungen der Spaltbreite b ≈ λ und Spaltabstand d Überlagerung Interferenz des Mehrfachspalts mit Beugungsmuster der Einzelspalte Reines Interferenzmuster wird mit Beugungsmuster moduliert Führt zur Unterdrückung einzelner Interferenzmaxima Verwendung der Ausdrücke für Intensitätsverteilungen im Fernfeld 1. Reine Mehrfachinterferenz am engen Spalt bzw für N Punktquellen : I Int (α ) ∝ I 0 ⋅ sin 2 sin Nπ 2 π d λ d λ ⋅ sin (α ) I Beug (α ) ∝ ⋅ sin (α ) λ sin 2 π π b λ b λ ⋅ sin (α ) ⋅ sin (α ) 2 Intensität derPunktquellen durch Intensität der Einzelspalte moduliert d b I (α ) ∝ α © H.Neuendorf 2. Richtungsabhängige Beugungsintensität des breiten Einzelspaltes : d ⋅ sin (α ) sin 2 Nπ ⋅ sin (α ) λ λ ⋅ 2 d 2 b sin π ⋅ sin (α ) π ⋅ sin (α ) λ sin 2 π λ b (64) Beugung + Interferenz an Mehrfachspalten = Gitter Hier: Erstes Beugungsminimum verdeckt viertes m=4 Interferenzmaximum .... © H.Neuendorf I (α ) ∝ b d ⋅ sin (α ) sin 2 Nπ ⋅ sin (α ) λ λ ⋅ 2 d b sin 2 π ⋅ sin (α ) π ⋅ sin (α ) λ sin 2 π λ λ Wellenlängenabhängige Interferenz am Gitter ( ) max sin α m = m⋅ λ d (65) Lage der Interferenzmaxima ist wellenlängenabhängig Höhere Maxima m>0 für verschiedene Wellenlängen bei verschiedenen Winkeln Aufspaltung nach Wellenlängen nimmt mit Ordnung m zu Allerdings zugleich durch Beugung in Intensität erniedrigt Gitterspektrometer dienen der Spektralanalyse Darstellung für grünes Licht (λ = 550 nm) und rotes Licht (λ = 650 nm) Anm: Saubere Gitter-Interferenzmuster nur bei räumlich nicht zu ausgedehnten Lichtquellen erhaltbar © H.Neuendorf (66) Beugung + Interferenz an Mehrfachspalten : I (α ) ∝ b d ⋅ sin (α ) sin Nπ ⋅ sin (α ) λ λ ⋅ 2 d 2 b sin ⋅ sin (α ) π π ⋅ sin (α ) λ sin 2 π 2 Man erhält reine Fälle als Grenz- bzw Spezialfall zurück ...... λ 1. Grenzfall b << λ : Erster Bruch ≈ 1 schmalen Spalten oder N Punktquellen Grenzfall der reinen Interferenz von N sehr 2. Spezialfall N = 1 : Zweiter Bruch = 1 Spezialfall der reinen Beugung am Einzelspalt Verlauf der Intensität : Stärke der Interferenzmaxima nimmt wegen Beugung mit zunehmenden Winkel α rasch ab. Abnahme umso stärker, je kleiner Verhältnis λ / b ist, dh je weniger die Beugung den geometrischen Schattenraum ausleuchtet. Interferenzmaxima mit zunehmender Ordnung m schwächer, weil jeder Spalt infolge Beugung mit zunehmendem Winkel α weniger Intensität abstrahlt. Höhere Interferenzmaxima mit zunehmender Ordnung immer weniger gut verwertbar (Wellenlängenbestimmung etc am besten mit niedrigen Ordnungen .....) Wenn Interferenzmaximum m-ter Ordnung mit Beugungsminimum n-ter Ordnung zusammenfällt, dann ist es nicht beobachtbar ........ © H.Neuendorf ( ) max sin α m = m⋅ λ d (67) Beugung und Kohärenz Bloße Beugung tritt auch auf bei nicht-kohärenter oder weißer Strahlung ! Huygens-Prinzip : Jeder von einer Wellenfront getroffene Punkt wird zum Sender einer kohärenten Sekundärwelle Auch zueinander nicht kohärente Wellen erzeugen im Spalt jeweils eigene zugehörige kohärente Sekundärwellen Diese interferieren auf dem Schirm und liefern das Beugungsbild …. …. es ist dazu nicht erforderlich, das die Sekundärwellen verschiedener Primär-Wellenfronten zueinander kohärent sind …… Aber : Ein Gitter-Interferenzmuster sieht man nur, wenn die Strahlung kohärent ist ! BeugungsMuster Bloße Summe der Intensität zweier Beugungs- Beugungsmoduliertes InterferenzMuster Monochromatische Verhältnisse Muster Inkohärente Lichtquelle © H.Neuendorf Inkohärente Lichtquellen "Hinreichend" kohärente Lichtquelle (69) Beugung an kreisrunder Lochblende → optische Geräte Beugung im Fernfeld kreisrunder Lochblenden bei senkrechtem Einfall ebener Wellen Kreis-Symmetrie der Blende Beugungsmuster muss rotations-symmetrisch sein Kreisrunde Ringe (keine Richtung ausgezeichnet) Intensitätsverlauf (Blendendurchmeser = D) Ähnelt sehr dem Beugungsmuster am ebenen Spalt I m =1 1 ≈ I0 57 Beugungsmaxima fallen mit Ordnung m schneller ab als am Spalt I m =2 1 ≈ I0 238 I(sin α) Nicht mehr mit elementaren Funktionen berechenbar ! Beugungsminima im Fernfeld : ( ) sin α min = z ⋅ λ D z = 1,22 2,23 3,24 .... sin(α α) Bedeutung Beugung : Vergrößerung + Auflösungsvermögen optischer Geräte hat obere physikalische Grenze Linsen (Auge!) wirken als Lochblende Punktförmige Lichtquelle nicht als Bildpunkt, sondern als unscharfes Beugungsbild abgebildet, in dem zentrales Maximum dominiert (Beugungsscheiben) Beugung macht Bilder unscharf Je kleiner Blendendurchmesser D desto breiter werden Beugungsringe © H.Neuendorf desto unschärfer das Bild Beugung Lochblende → Auflösungsvermögen [ "Kennzahl" ] (70) Zwei gleich helle Licht-Punkte L1 und L2 auf Schirm noch getrennt wahrnehmbar, wenn zentrales Beugungsmaximum des 1. Punktes mit ersten Beugungsminimum des 2. Punktes zusammenfällt Kleinster Winkelabstand δ zweier noch getrennt auflösbarer Punkte = Winkel für erstes Beugungsminimum der Lochblende Rayleigh-Kriterium: ( gemäß Ausdruck α minm=1 ) δ min = arcsin 1,22 ⋅ λ D ≈ 1,22 ⋅ λ D Nur oberste Grenze, schwer zu erreichen : Auflösung in der Regel von geometrischen Abbildungsfehlern dominiert L1 L2 δ D δ Auge : Bildet bei ca 3 mm Pupillendurchmesser am schärfsten ab. Bei kleinerer Pupillenöffnung werden Bilder wegen Beugung an Pupillenöffnung unschärfer, bei größerer Pupillenöffnung wegen Abbildungsfehlern unschärfer. Definition Auflösungsvermögen A : A := © H.Neuendorf 1 δ min D = 1,22 ⋅ λ Frauenhofersche Beugung = Beugungsmuster im Fernfeld der beugenden Öffnung. Fresnelsche Beugung = Beugungsmuster im Nahfeld (viel komplizierter!!) sin(α α) Verbesserung Auflösungsvermögen A := 1 δ min = D 1,22 ⋅ λ (71) 1. Vergrößerung Linsenduchmesser D Astronomische Fernrohre → Großes D (bis 8m!) zur Erhöhung Lichtintensität + Auflösung Nicht beliebig steigerbar, da geometrische Abbildungsfehler mit fallendem f / D wachsen Wenn D zu groß, dann wird Auflösung nicht durch Beugung, sondern durch geometrische Abbildungsfehler dominiert Radioteleskope arbeiten mit großer Wellenlänge Besonders große Objektivdurchmesser nötig Kopplung mehrerer Teleskope in großem Abstand ! 2. Verkleinerung Wellenlänge λ Laserstrahlen müssen auf DVDs kleinere Strukturen lesen als auf CDs DVDs nutzen kleinere Wellenlänge als CDs ( Laserdioden mit 670-750 nm Blaue Laserdiode ≈ 450 nm ) … Blue Ray - nomen est omen … Elektronenmikroskop → deBroglie-Wellenlänge λ = h / p λ = 5,5 ·10-12 m Beschleunigung U ≈ 50 KV Verbesserung Auflösung 100 - 1000 gegenüber LIMI. Auflösung zweier Punkte im Abstand 5·10 -10 m © H.Neuendorf (LIMI 2·10-7 m).
