Insertion Devices - DESY Photon Science
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Insertion Devices Wavelength-Shifter Das Wiggler/Undulator Feld Bewegungsgleichung Undulator Strahlung Eigenschaften Polarisation Insertion Devices Wellenlängenschieber In einem Speicherring gilt für die kritische Energie Ec ∝ 1/R R: Radius in den Dipolmagneten R kann nicht einfach verändert werden R R In einer einfachen 3-Pol Struktur kann der Ablenkradius in einem Segment Elektronen B R’ durch ein entsprechend starkes ~ der effektive Radius R 0 Magnetfeld B verkleinert werden ⇒ Höhere Photonenenergien sind möglich SR Abstrahlcharakteristik wie ein Dipol Um entsprechend hohe Magnetfelder von einigen Tesla erreichen zu können sind supraleitende Magnete erforderlich Röntgenphysik 110 Insertion Devices Wiggler Periodische Magnetfeldanordnung mit der Periode λu und N Polen Potential entlang der Strahlachse φ(z, y) = f (y ) cos 2π z λu Laplace-Gleichung ∇2 φ(z, y ) = 0 y ⇒ x B0 g λ u /2 Röntgenphysik z ⇒ ¶ 2π 2 =0 λu 2π f (y ) = A · sinh( y ) λu B0 mit A = 2π g λu cosh(π λu ) d 2 f (y) − f (y) dy 2 µ 111 Insertion Devices Wiggler / Undulator Feld B-Feld Komponente auf der Achse By (z, y) = 2π 2π 2π ∂φ = A cosh y · cos z ∂y λu λu λu Strahlachse y = 0 B̄ = B0 cosh π λgu By (z) = B̄ cos 2π z λu Durch Variation des Polabstandes g (Gap) kann das Magnetfeld By (z) auf der Strahlachse definiert variiert werden Realisierung von Wigglern / Undulatoren Großes λu (> 20 cm): Elektromagnete, g fest Kleines λu : Permanentmagnete, g variable (g ≥ 15 mm) Röntgenphysik 112 Insertion Devices Undulatoren Frequenz der emittierten Strahlung (in 0. Ordnung): relativistische Längenkontraktion der Period λu Röntgenphysik 113 Insertion Devices Undulator Bewegungsgleichung Bewegung im Undulatorfeld d ~p ~ + ~v × B) ~ = q(E dt Annahmen ~ ≈ 0, was sich im Fall von langen Im Wiggler/Undulator ist E Undulatoren (FEL) ändert! ~v ≈ v~z Bewegung in x-Richtung m0 γ dvx dt = evz By (z) = e dz 2π B̄ cos z dt λu Integration Röntgenphysik 114 Insertion Devices Undulator Bewegung in x-Richtung m0 γvx = 2π eB̄λu sin z 2π λu Beachte: z ist nicht linear in der Zeit, da vz selbst von t abhängt. Die Bewegung in x Richtung ist also keine reine harmonische Schwingung ⇒ Höhere Harmonische Röntgenphysik 115 Insertion Devices Undulator Parameter Bewegung in x-Richtung eB̄λu 2π sin z 2π λu eB̄λu c 2π vx = sin z 2πm0 γc λu Kc 2π vx = sin z γ λu eB̄λu mit K := 2πm0 c m0 γvx = ⇒ Undulator Parameter K vz ≈ c ⇒ tan θe (z) ≈ θe (z) = Röntgenphysik vx K 2π K ≈ sin z ⇒ |θe,max | ≈ vz γ λu γ 116 Insertion Devices Undulator Parameter Bewegung in x-Richtung eB̄λu 2π sin z 2π λu eB̄λu c 2π vx = sin z 2πm0 γc λu Kc 2π vx = sin z γ λu eB̄λu mit K := 2πm0 c m0 γvx = ⇒ Undulator Parameter K vz ≈ c ⇒ tan θe (z) ≈ θe (z) = Röntgenphysik vx K 2π K ≈ sin z ⇒ |θe,max | ≈ vz γ λu γ 116 Insertion Devices Undulator Parameter Charakteristischer Abstrahlwinkel der SR: θ = 1/γ, θe = K /γ K ≤ 1 Undulator Abstrahlkegel der einzelnen Magnetpole überlappen → kohärente Überlagerung → Interferenzeffekte K À 1 Wiggler Abstrahlkegel der einzelnen Magnetpole überlappen nicht → Nicht kohärente Überlagerung → Emittierte Strahlung entspricht weitgehend der eines Dipols, aber mit 2 · N facher Intensität. Verschiebung der kritischen Energie Ec abhängig von B̄. Röntgenphysik 117 Insertion Devices Undulator Parameter x Undulator K<1 θe 2θ z y Wiggler K >> 1 x 2θ θe z y Röntgenphysik 118 Insertion Devices Undulator: z-Richtung Energie ist im B-Feld konstant ⇒ γ =const. µ ¶−1/2 µ ¶−1/2 v2 vx2 + vz2 γ = 1− 2 = 1− c c2 ⇒ 1 vx2 1 K2 2π vz2 = 1 − − = 1 − − sin2 z 2 2 2 2 2 λu c γ c γ γ K /γ ¿ 1, sin2 x = 12 (1 − cos 2x): vz c vx c 1 K2 2π − sin2 z 2 2 λu 2γ 2γ 1 + K 2 /2 K2 2π + cos 2 z = 1− 2 2 λu 2γ 4γ K 2π = sin z γ λu = 1− Röntgenphysik 119 Insertion Devices Undulator: z-Richtung Energie ist im B-Feld konstant ⇒ γ =const. µ ¶−1/2 µ ¶−1/2 v2 vx2 + vz2 γ = 1− 2 = 1− c c2 ⇒ vz2 1 vx2 1 K2 2π = 1 − − = 1 − − sin2 z 2 2 2 2 2 λu c γ c γ γ K /γ ¿ 1, sin2 x = 12 (1 − cos 2x): vz c vx c 1 K2 2π − sin2 z 2 2 λu 2γ 2γ 1 + K 2 /2 K2 2π + cos 2 z = 1− 2 2 λu 2γ 4γ K 2π = sin z γ λu = 1− Röntgenphysik 119 Insertion Devices Undulator: z-Richtung Energie ist im B-Feld konstant ⇒ γ =const. µ ¶−1/2 µ ¶−1/2 v2 vx2 + vz2 γ = 1− 2 = 1− c c2 ⇒ vz2 1 vx2 1 K2 2π = 1 − − = 1 − − sin2 z 2 2 2 2 2 λu c γ c γ γ K /γ ¿ 1, sin2 x = 12 (1 − cos 2x): vz c vx c 1 K2 2π − sin2 z 2 2 λu 2γ 2γ 1 + K 2 /2 K2 2π + cos 2 z = 1− 2 2 λu 2γ 4γ K 2π = sin z γ λu = 1− Röntgenphysik 119 Insertion Devices Undulator: z-Richtung Oszillation in z-Richtung mit der doppelten Frequenz vz c vx c 1 + K 2 /2 K2 2π + cos 2 z 2 2 λu 2γ 4γ K 2π sin z γ λu = 1− = 2π 2π 2π z≈ vz t ≈ ct ≈ 2πνu t ≈ ωu t λu λu λu Röntgenphysik 120 Insertion Devices Undulator Energie Wellenlänge der Undulator Strahlung λ relativistische Längenkontraktion von λu λ= λu (1 + γ ∗2 θ2 ) 2γ ∗2 (4) ¶−1/2 µ vz2 variiert ⇒ λ variiert vz ist nicht konstant ⇒ γ∗ = 1 − 2 c Wie verändert sich γ ∗ ? Berechnung der mittleren Geschwindigkeit v̄z im Undulator v̄z = Röntgenphysik L N · λu L = = RL T T 0 dz/vz 121 Insertion Devices Undulator Energie Wellenlänge der Undulator Strahlung λ relativistische Längenkontraktion von λu λ= λu (1 + γ ∗2 θ2 ) 2γ ∗2 (4) ¶−1/2 µ vz2 variiert ⇒ λ variiert vz ist nicht konstant ⇒ γ∗ = 1 − 2 c Wie verändert sich γ ∗ ? Berechnung der mittleren Geschwindigkeit v̄z im Undulator v̄z = Röntgenphysik L N · λu L = = RL T T 0 dz/vz 121 Insertion Devices Undulator Energie Lösung: v̄z 1 + K 2 /2 γ =1− ⇒ γ ∗ := p c 2γ 2 1 + K 2 /2 Wellenlänge λ der Undulatorstrahlung: λu λu λ= (1 + γ ∗2 θ2 ) = ∗2 2γ 2γ 2 µ ¶ K2 2 2 1+ +γ θ 2 (5) Wellenlängenänderung wird verursacht durch die Änderung von vz , die sich aus der Energieerhaltung im Magnetfeld B ergibt Bu verursacht vx (und vy ) Komponente Röntgenphysik 122 Insertion Devices Undulator Bandbreite Wellenlänge direkt auf der Strahlachse λ = λ0 + ∆λ = λu λu (1 + γ ∗2 θ2 ) ⇒ λ0 = 2γ ∗2 2γ ∗2 Wellenlänge unter dem Winkel θ ⇒ ∆λ = ⇒ ∆λ λ0 λu ∗2 2 γ θ 2γ ∗2 = γ ∗2 θ2 Winkel θcen des zentralen Kerns der Undulatorstrahlung p 1 1 + K 2 /2 √ θcen = √ = γ∗ N γ N Röntgenphysik 123 Insertion Devices Undulator Bandbreite Wellenlänge direkt auf der Strahlachse λ = λ0 + ∆λ = λu λu (1 + γ ∗2 θ2 ) ⇒ λ0 = 2γ ∗2 2γ ∗2 Wellenlänge unter dem Winkel θ ⇒ ∆λ = ⇒ ∆λ λ0 λu ∗2 2 γ θ 2γ ∗2 = γ ∗2 θ2 Winkel θcen des zentralen Kerns der Undulatorstrahlung p 1 1 + K 2 /2 √ θcen = √ = γ∗ N γ N Röntgenphysik 123 Insertion Devices Undulator Bandbreite E t In einem Undulator mit N Perioden oszilliert ein Elektron N mal und erzeugt somit einen entsprechenden Wellenzug. Die Fouriertransformierte dieses Wellenzuges ist eine sin x/x Funktion Undulator entspricht einem Interferometer mit N-facher Interferenz. Auflösung: FT 1,0 I(ω)/I0 ∆λ 1 = λ N 0,5 0,0 ω0 ω Röntgenphysik I(ω) sin2 Nπ∆ω/ω0 = I0 (Nπ∆ω/ω0 )2 124 Insertion Devices Labor−System Elektronen−System x e− z K cos ωut ku γ Kc vx (t) = sin ωut γ vz (t) = . . . LT x(t) = − x, z, t LT θ Elektron schwingt in dem x’, z’, t’ mitbewegten System K 0 0 0 x (t) = − cos ωut ku γ 02 Kω uc cos ωu0 t0 a0x(t) = ku γ 2πc2γ K = cos ωu0 t0 λu 1 + K 2/2 Θ Hertz’scher Dipol Mittlere Leistung dP 0 dP 8γ ∗2 = 3 ∗2 2 dΩ (1 + γ θ ) dΩ0 Röntgenphysik dP 0 e2a02 = sin2 Θ 0 dΩ 16π 20c3 125 Insertion Devices Undulator Strahlung Mittlere Leistung im Schwerpunktsystem d P̄ 0 K2 e2 cγ 2 = sin2 Θ0 dΩ0 8²0 λ2u (1 + K 2 /2)2 Lorentz Transformation zurück in das Laborsystem 8γ ∗2 dP 0 dP = dΩ (1 + γ ∗2 θ2 )3 dΩ0 Ergebnis für ein einzelnes Elektron ¯ ¶ µ dP ¯¯ e2 cK 2 γ 4 1 + 2γ ∗2 θ2 (1 − 2 cos2 φ) + γ ∗4 θ4 = dΩ ¯e (1 + γ ∗2 θ2 )5 ²0 λ2u (1 + K 2 /2)3 Röntgenphysik (6) 126 Insertion Devices Undulator Strahlung Undulator: Inkohärente Überlagerung der Strahlung vieler Elektronen Ne I = evnl ≈ ecNe ecNe Iλu N = ⇒ Ne = L λu N ec Iλu N Ne = , ec ¯ dP dP ¯¯ = Ne · dΩ dΩ ¯e Strahlung eines Ensembles von Ne Elektronen ist somit µ ¶ dP eNγ 4 I K2 1 + 2γ ∗2 θ2 (1 − 2 cos2 φ) + γ ∗4 θ4 = dΩ ²0 λu (1 + K 2 /2)3 (1 + γ ∗2 θ2 )5 ⇒ Spektrale Leistungsdichte im Kern ist somit ∝ N 2 , da E/∆E = N für Undulatoren mit K ≤ 1. Röntgenphysik 127 Insertion Devices Undulator Vergleich der verschiedenen Quellen Dipol: Wiggler: Undulator: P N ·P N2 · P Beim FEL werden wir sehen, daß für diesen dann N 2 · Ne2 gilt Röntgenphysik 128 Insertion Devices Brillianz Eine wichtige Größe zur Charakterisierung von Synchrotronstrahlung ist die Brillianz B := ∆P ∆A · ∆Ω Spektrale Brillianz B∆ω/ω := ∆P ∆A · ∆Ω · ∆ω/ω Dichte der Photonen im transversalen Phasenraum Um eine möglichst hohe Photonendichte am Ort des Experimentes zu erreichen, muß die Brillianz so groß wie möglich sein Größtmöglich Brillianz → Laser Einheit Photonen [B∆ω/ω ] = 2 s · mm · mrad 2 · 0.1%BW Röntgenphysik 129 Insertion Devices Brillianz Entwicklung der Brillianz verschiedener Röntgenquellen mit der Zeit Röntgenphysik 130 Insertion Devices Brillianz Röntgenphysik 131 Insertion Devices Brillianz 24 10 FEL (TESLA) 32 10 20 10 10 28 18 10 10 26 16 10 10 24 14 10 10 22 12 10 10 3. SR generation 20 BlueGen/L (2007) 10 Earth Simulator (2002) 18 ASCI White (2000) 2. SR generation 16 10 14 re’s" "Moo 1. SR generation 10 10 10 10 8 10 12 22 10 CDC 6600 10 10 1950 CRAY 1 Jaguar (2006) 6 law 10 Leibnitz Rechenzentrum (2002) 1970 4 10 CRAY T90 2 10 0 X-Ray tubes 1960 10 6 30 CPU Power (10 operations / s) 2 2 Peak brilliance (Photons/s/0.1%BW/mm /mrad ) 34 10 10 1980 1990 2000 2010 Calendar year Röntgenphysik 132 Insertion Devices Undulator Polarisation Undulator Strahlung ist linear polarisiert. 0 Erzeugung zirkular polarisierter Strahlung π/2 π −π/2 Gekreuzte Undulatoren Die senkrecht zueinander polarisierte Strahlung der beiden Teil-Undulatoren kann durch eine Variation der Phase von Elektronenstrahl und Licht zu elliptisch polarisiertem Licht addiert werden. Röntgenphysik 133 Insertion Devices Undulator Polarisation Undulator Strahlung ist linear polarisiert. Sasaki-Type Undulator (Helicale undulator) “Aufschneiden” eines Undulators der Länge nach und verschieben der Komponenten gegeneinander. Magnetfeld ~ u = ~ex Bu cos ku z − ~ey Bu sin ku z B Elektronen bewegen sich dann auf einer Spiralbahn (Helix) durch den Undulator und erzeugen direkt ellipisch polarisiertes Licht (EPU – Elliptical polarised undulator) vz -Komponente bleibt bei einer rein zirkularen Bahn konstant! Röntgenphysik 134 Insertion Devices Undulator Polarisation Sasaki Undulator Durch schieben der Magnetenstrukturen gegeneinander können fast beliebige Polarisationen erzeugt werden. Röntgenphysik 135 Insertion Devices Undulator Harmonische Neben der Fundamentalen werden auch höhere Harmonische der Undulatorstrahlung beobachtet Gerade Harmonische habe eine andere Charakteristik Warum ? Röntgenphysik 136 Insertion Devices Undulator Harmonische Früheres Ergebnis für die Geschwindigkeiten: µ ¶ 1 + K 2 /2 K2 vz = c 1 − − 2 cos 2ku z 2γ 2 4γ cK sin ku z vx = γ Integration und Transformation in das x 0 , z 0 , t 0 -System K ∗2 sin(wωu0 t 0 + 2ku0 z 0 ) 8ku0 K∗ ³ x 0 (t 0 ) = − 0 cos ωu0 t 0 cos(K ∗2 /8 sin 2ωu0 t 0 ) − sin ωu0 t 0 sin(K ∗2 /8 sin ku z 0 (t 0 ) = K γ K∗ = p , ku0 = γ ∗ · ku , ωu0 = γ ∗ · ωU , γ ∗ = p 1 + K 2 /2 1 + K 2 /2 Anharmonische Bewegung für große K Röntgenphysik 137 Insertion Devices Undulator Harmonische x' K=0.2 K=0.5 K=1.0 K=2.0 Zeit (t') Röntgenphysik 138 Insertion Devices Undulator Harmonische Früheres Ergebnis für die Geschwindigkeiten in einem planaren Undulator: µ ¶ 1 + K 2 /2 K2 vz = c 1 − − 2 cos 2ku z 2γ 2 4γ cK vx = sin ku z γ x' K=2 K=1 K=1/2 z' Beschränkung auf die Bewegung in den kleinsten Harmonischen x 0 (t 0 ) λ0u z 0 (t 0 ) λ0u K cos ωu0 t 0 2π K2 = − sin 2ωu0 t 0 16π = − Im x 0 , z 0 , t 0 -System entspricht diese Bewegung einer 8 Röntgenphysik 139 Insertion Devices Undulator Harmonische Undulator Gerade Ordnungen sind nicht in der richtigen Phase mit dem Undulator Feld Keine geraden Ordnungen in der x 0 -Richtung 1. Eine EPU erzeugt keine höheren Ordnungen, da die vz -Komponente konstant ist 2. 3. Röntgenphysik 140 Insertion Devices Undulator – Wiggler K=1/2 Intensität K=1 K=2 K=5 K=10 Übergang vom Undulator zum Wigglerspektrum Abgestrahlte Leistung in den höheren Harmonischen dP 0 ∝ n4 K ∗2n dΩ0 Starke Zunahme der Intensität in den höheren Ordnungen für großes K Photonenenergie Röntgenphysik 141
