Klassenarbeit Trigonometrie - Mathe

Klassenarbeit Trigonometrie
Gruppe A
1.
Ermitteln Sie die Lösungen im Intervall [0; 2π].
a)
2.
2 sin x = 2
b)
5 cos 2 x + 2 cos x = 0
c)
2 sin 2 x − 2 cos 2 x = 1
Zeichen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mindestens im Intervall [-π; 2π].
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich und den Wertebereich an.
a) y = −2 cos x
b) y = 12 sin 2 x + 1
( )
3.
Formulieren Sie den Sinussatz und den Kosinussatz.
Beweisen Sie den Kosinussatz für ein stumpfwinkliges Dreieck PQR.
(geg.: p, q, ϕ3 > 90°)
4.
Vom Punkt A zum Punkt B soll geradlinig eine Pipeline verlegt werden. Da
ein zwischen A und B liegendes Waldstück die Sicht versperrt, wählte man
zur Lagebestimmung zwei Hilfspunkte P und Q und ermittelte in dem
ebenen Gelände ABQP folgende Messwerte:
AP = 712m , BQ = 620 m ,
γ = rBPA = 91°, δ = rQPB = 76°, ε = rBQP = 48°.
Berechnen Sie die Länge
5.
Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktion:
a)
6.
tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
Gegeben seien die Funktionen f mit
a)
b)
c)
d)
e)
7.
e = AB und die Winkel α = rPAB und β =rABQ.
b)
cos 2 α + cos 2 α ⋅ tan 2 α = 1
f ( x ) = − 12 x + 3 und g mit g ( x) = 3 x − 2 .
Zeichen Sie die Graphen der Funktionen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen.
Die Graphen der Funktionen schneiden sich in einem Punkt P. Berechnen Sie die Koordinaten von P.
Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Graphen der Funktionen schneiden.
Die Graphen der Funktionen und die Abszissenachse schließen eine Fläche vollständig ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.
Am Rande einer steigenden Straße s mit Steigungswinkel α steht ein
vertikaler Mast MS. Dieser wirft zum Beobachtungszeitpunkt, bei der
Sonnenhöhe β, einen Schatten MT.
MS mit den gemessenen Werten
α = 19°, β = 49° und MT = 5,0m .
a)
Berechne die Masthöhe
b)
An einem anderen Tag ist MT
Zeitpunkt die Sonnenhöhe β?
= MS . Wie groß ist in diesem
Zusatz:
Beweisen Sie:
cos(3α)
= 4 cos 2 α − 3
cosα
Klassenarbeit Trigonometrie
Gruppe B
1.
Formulieren Sie den Sinussatz und den Kosinussatz.
Beweisen Sie den Kosinussatz für ein stumpfwinkliges Dreieck PQR.
(geg.: p, q, ϕ3 > 90°)
2.
Vom Punkt A zum Punkt B soll geradlinig eine Pipeline verlegt werden.
Da ein zwischen A und B liegendes Waldstück die Sicht versperrt, wählte
man zur Lagebestimmung zwei Hilfspunkte P und Q und ermittelte in
dem ebenen Gelände ABQP folgende Messwerte:
AP = 620m , BQ = 243m ,
γ = rBPA = 103°, δ = rQPB = 19°, ε = rBQP = 98°.
Berechnen Sie die Länge
3.
Zeichen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mindestens im Intervall [-π; 2π].
Geben Sie jeweils den Definitionsbereich und den Wertebereich an.
a)
4.
y = 2 cos(2 x ) −1
2 cos x = −1
b)
10 sin 2 x − 7 sin x = 0
tan(α − β) =
tan α − tan β
1 + tan α ⋅ tan β
Gegeben seien die Funktionen f mit
a)
b)
c)
d)
e)
7.
b)
c)
5 sin 2 x − 3 cos 2 x = 1
Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme der Sinus- und Kosinusfunktion:
a)
6.
y = − 12 sin x
Ermitteln Sie die Lösungen im Intervall [0; 2π].
a)
5.
e = AB und die Winkel α = rPAB und β =rABQ.
b)
sin 2 α ⋅ cos α + cos 3 α = cosα
f ( x ) = − 12 x + 2 und g mit g ( x ) = 3 x − 3 .
Zeichen Sie die Graphen der Funktionen in ein kartesisches Koordinatensystem.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktionen.
Die Graphen der Funktionen schneiden sich in einem Punkt P. Berechnen Sie die Koordinaten von P.
Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Graphen der Funktionen schneiden.
Die Graphen der Funktionen und die Abszissenachse schließen eine Fläche vollständig ein.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.
Am Rande einer steigenden Straße s mit Steigungswinkel α steht ein
vertikaler Mast MS. Dieser wirft zum Beobachtungszeitpunkt, bei der
Sonnenhöhe β, einen Schatten MT.
MS mit den gemessenen Werten
α = 22°, β = 52° und MT = 5,3m .
a)
Berechne die Masthöhe
b)
An einem anderen Tag ist MT
Zeitpunkt die Sonnenhöhe β?
= MS . Wie groß ist in diesem
Zusatz:
Beweisen Sie:
cos(3α)
= 4 cos 2 α − 3
cosα