2. Netzwerkberechnung bei Gleichstrom
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FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt / Entwurf Inhalt 0010 Sept 2001 Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik neu WS 2001 / 2002 0. Allgemeine Hinweise 0.1 Inhalt 0.2 Literaturempfehlung 0.3 Hinweise zur Ziffernzahl 0.4 Dekadische Vorsätze 0.5 Einheiten 1. Allgemeine Grundlagen 1.1 Allgemeines zu Ladungen 1.2 Woher kommen die Ladungen (Leitungsmechanismus)? 1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4. 1.1.5. 1.1.6. Metallbindung Ionenbindung Halbleiter Gase Vakuum Supraleitung Elektronenleitung Ionenleitung Festkörperleitung 1.3 Was bewirken die Ladungen ? 1.4 Begriffe Strom, Stromdichte, Spannung, Leistung (mit Analogien) 1.5 Wer oder was bewegt die Ladungen = elektrische Quellen 1.5.1 Quellen (Spannungsquellen, Stromquellen) mit Analogien 1.5.2 Technische Quellen (Batterien) 2. Netzwerkberechnung bei Gleichstrom 2.1. Stomkreisgesetze 2.1.1. Elektrischer Widerstand 2.1.2. Ohm‘sches Gesetz, Leistung 2.1.3. Kirchhoff‘sche Regeln (Maschen- und Knotenregel) 2.1.4. Temperaturverhalten von Widerständen 2.2. Grundschaltungen 2.2.1. Elektrischer Widerstand 2.2.1.1. Spezifischer Widerstand, Leitfähigkeit 2.2.1.2. Temperaturverhalten 2.2.1.3. Tabellen 2.2.1.4. Technische Ausführung 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. Reihe- Parallel Spannungsteiler, Stromteiler Stern- Dreieck- Umwandlung Leistungsanpassung Brückenschaltungen 2.3. Berechnungsverfahren für Netze 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.4. Überlagerung Ersatz-Zweipol-Quelle Knotenpotential-Verfahren Maschenstrom-Verfahren Technische Quellen Für Gleichstrom 2.5. Nichtlineare Verbraucher 2.5.1. Kennlinien 2.5.2. Arbeitsgerade 2.5.3. Stabilität von Arbeitspunkten 3. Elektrische und Magnetische Felder 3.1. 3.2. 3.3. 4. 5. 6. 7. 8. Elektrisches Strömungsfeld Elektrostatisches Feld Magnetisches Feld Ausgleichsvorgänge (Schaltvorgänge) Netzwerkberechnung bei sinusförmigem Wechselstromstrom Drehstrom Fourier-Reihen Ortskurven FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Literatur Hilfsblatt/Entwurf 0020 Es handelt sich nur um eine kleine Auswahl aus der äußerst umfangreichen Literatur Führer, Heidemann, Nerreter: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 1: Stationäre Vorgänge, Band 2: Zeitabhängige Vorgänge, Hanser Verlag 1990 Moeller, Frohne, Löcherer, Müller: Grundlagen der Elektrotechnik, 18. Auflage Aus „Leitfaden der Elektrotechnik“, B.G. Teubner Verlag 1996 Paul, Reinhold: Elektrotechnik: Grundlagenlehrbuch: Band 1: Felder und einfache Stromkreise Band 2: Netzwerke Springer Verlag 1993 Hagman, Gert: Grundlagen der Elektrotechnik, Hagman, Gert: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik, Aula- Verlag 1990 Lindner, Brauer, Lehmann: Taschenbuch der Elektrotechnik und Elektronik, Fachbuchverlag Leipzig 1991 Lindner, H.: Elektro-Aufgaben Band 1: Gleichstrom Band 2: Wechselstrom Band 3: Leitungen- Vierpole- Fourier-Analyse- Laplace-Transformation Fachbuchverlag Leipzig, 1992, 1991, 1993 Bauckholt, H.-J.: Grundlagen und Bauelemente der Elektrotechnik, Hanser Verlag 1992 Und noch ganz viele sehr gute Bücher: siehe Internet unter Buchhandel Bedingt zu empfehlen: Bücher für die Berufsschule mit z. T. sehr guten Erläuterungen und hervorragendem Bildmaterial, vom Niveau her aber nicht ausreichend: fehlende Differential- und Integralrechnung, fehlende komplexe Rechnung. z.B.: Fachkunde Elektrotechnik, Europa-Lehrmittel FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt / Entwurf Hinweise zur Ziffernzahl 0030 Sept 2001 Prof. Dr.-Ing. Krause Bei technischen Aufgaben ist es meist sinnvoll, Ergebnisse mit 3 Ziffern anzugeben (3 signifikante Ziffern). z.B. Masse des Elektrons me=0,00000000000000000000000000000009 kg ????????? Ist diese Angabe sinnvoll ????? Stellenzahl hinter dem Komma ??? --------------------------------------------------------------------------------------------------Der Durchmesser eines Hubmagneten ist mit einem Gliedermeßstab (Zollstock) zu 40 cm ermittelt worden. Wie groß ist die Fläche? A = d2.π/4 = 0,1256637061 m2 = 1256,6370614359 cm2 Welche Angabe ist sinnvoll ??? 3 Ziffern hinter dem Komma ???? 2 Ist die Angabe A = 1256,637 cm sinnvoll ??????? Hier wird eine Genauigkeit von 0,001/1256,637 = 0,0001 % vorgetäuscht !!!!!!! --------------------------------------------------------------------------------------------------Elektrische Spannung gemessen U=230 V (z.B. Meßgerät Klasse 2,5 %) Elektrischer Widerstand R=27Ω. Wie groß ist die Leistung P? P= U2/R = (230V)2/27Ω = 1959,2593W (4Ziffern hinter dem Komma, aber eine völlig unsinnige Angabe) !!! Die Spannung wurde mit einer Genauigkeit von 2,5 % gemessen !!!! --------------------------------------------------------------------------------------------------Achtung: Kabeldurchmesser d = 1,4 mm Strom I = 12,7 A Wie groß ist die Stromdichte S = I/A π 2 π = (1, 4 mm ) ⋅ = 1,539 mm 2 4 4 z.B. gerundet auf 2 Ziffern: A = 1,5mm 2 I A A 12, 7 A = = S= = S 8, 25 !!! 8, 4667 richtig: A 1,5 mm 2 mm 2 mm 2 A = d2 ⋅ Fläche gerundet auf zwei Ziffern, aber das Ergebnis wird mit 5 Ziffern angegeben !!!!!!!! ------------------------------------------------------------------------------------------------Achtung Auf– und Abrunden: z.B. 7,8246 → 7,825 → 7,83 ???? aber 7,8246 → 7,82 !!!!!!!!!!!!!!!! FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Dekadische Vorsätze 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 1 000 000 1 000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 01 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 = 1018 = 1015 = 1012 = 109 = 106 = 103 = 102 = 101 = 100 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6 = 10-9 = 10-12 = 10-15 = 10-18 Hilfsblatt/Entwurf 0040 Exa E Peta P Tera T Giga G Mega M Kilo k Hekto h Deka da dezi d zenti c milli m mikro µ nano n piko p femto f atto a Wichtiger Hinweis: Bei der Lösung von Aufgaben immer nur 3er–Exponenten ausklammern: z.B. nicht nicht . U=1,3 104V sondern U=13.103V = 13kV . . C=6,4 10-7 F sondern C=640 10-9 F = 640 nF . oder C=0,64 10-6 F = 0,64 µF FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt / Entwurf Einheiten 0050 Sept 2001 Prof. Dr.-Ing. Krause Dieses Hilfslatt erscheint später FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Physikalische Grundlagen der Stromleitung Leitungsmechanismus, Allgemeines zu Ladungen Hilfsblatt / Entwurf 010 1. Allgemeine Grundlagen 1.1 Allgemeines zu Ladungen • Grundlage aller elektrischen Erscheinungen sind elektrische Ladungen, und zwar • ruhende und bewegte Ladungen • Es gibt zwei Arten von Ladungen: positiv geladene (+) negativ geladen (-) • Elektronen sind immer negativ geladen • Ionen können positiv oder negativ geladen sein e = Elementarladung = Ladung des Elektrons = Ladung des Protons Q = allgemeine Ladung (Ladungsmenge) = Vielfaches von e Einheit von Q: [Q] =As (Ampere * Sekunde) C (Coulomb) e= 1,6 * 10-19 As Aufbau der Atome Grundlage = Atommodell von Bohr – Sommerfeld Bohr, Niels [Hendrik David], *)Kopenhagen 7. 10. 1885, †)ebd. 18. 11. 1962, dän. Physiker. Prof. in Kopenhagen, 1943–45 Emigration in die USA. Sommerfeld, Arnold, *)Königsberg 5. 12. 1868, †)München 26. 4. 1951, dt. Physiker. Kern enthält • Protonen (positiv geladen) • Neutronen (ungeladen) Hülle enthält: • Elektronen mit Elementarladungen e • • • • • Elektronen kreisen auf Schalen: Schalen sind Kugelschalen mit genau festgelegten Durchmessern Jede Schale kann eine bestimmte Zahl von Elektronen aufnehmen (2; 8; 18 ...) Die letzte Schale kann 8 Elektronen aufnehmen Es existieren keine Zwischenschalen FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 020 Elektronenleitung 1.2 Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus Man unterscheidet: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Elektronenleitung ; Leitung in Metallen Ionenleitung; Leitung in Elektrolyten Festkörperleitung; Leitung in Halbleitern Leitung im Vakuum Leitung in Gasen Supraleitung Zu 1: Elektronenleitung = Elektrische Leitung in Metallen ♦ ♦ ♦ ♦ Die Atome bilden Gitter (Kristalle) Die Elektronen der letzten Schale werden abgegeben Sie bewegen sich frei im Gitter, verlassen das Gitter aber nicht Bei elektrischem Stromfluß bewegen sich die Elektronen mit sehr geringer „Driftgeschwindigkeit“; einige cm/s !!! ♦ Die Energie wird durch Stoßvorgänge weitergegeben ♦ Die Atome im Gitter schwingen um ihre Ruhelage (Wärmebewegung). Dadurch wird die Bewegung der Elektronen behindert ♦ Behinderung der Bewegung = elektrischer Widerstand ♦ Fehlstellen im Gitter, Versetzungen, Fremdatome etc behindern ebenfalls die Bewegung ♦ Bei Legierungen steigt der elektrische Widerstand Temperatureinfluß Wenn die Temperatur steigt, schwingen die Atome stärker, die Bewegung wird stärker behindert, der elektrische Widerstand steigt R = elektrischer Widerstand in Ω ϑ = T = Temperatur in K oder 0C • Zu jeder Schale gehört eine bestimmte Energie des Elektronen • Nimmt ein Elektron zusätzliche Energie auf, springt es auf eine andere Schale (ist dort aber nicht stabil) • Fällt das Elektron auf seine „richtige Schale“ zurück, sendet es Energie aus (Strahlung einer exakt definierten Wellenlänge) Freie Elektronen Die Anzahl der Elektronen in der äußeren Elektronenschale eines Atoms bestimmt das chemische Verhalten des Atoms. Dieses Verhalten nennt man die chemische Wertigkeit oder auch Valenz. Die äußeren Elektronen heißen daher auch Valenzelektronen. Metalle enthalten in ihrer äußeren Schale fast nur 1, 2 oder 3 Valenzelektronen: die äußere Schale ist also nicht voll besetzt. Kupfer z.B. hat nur ein Valenzelektron auf der letzten Schale Diese Valenzelektronen sind nur relativ lose an das Atom gebunden. Bei Raumtemperatur schwingen die Atome so stark, daß sich die Valenzelektronen vom Atom ablösen (sie werden dadurch 2Frei beweglich“) Folgen: Es entstehen freie Elektronen (bei Kupfer z.B. ein freies Elektron), negativ geladen Es bleibt ein Atomrumpf zurück, positiv geladen Nichtmetalle: Diese Elemente haben mehr als drei Elektronen auf der letzten Schale. Bei Raumtemperatur sind zwar auch hier freie Elektronen vorhanden, aber ihre Anzahl ist um viele Zehnerpotenzen niedriger als bei den Metallen. FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 030 Ionenleitung Zu 2: Ionenleitung = Leitung in Elektrolyten = Leiter 2. Klasse, verändern sich beim Stromfluß Anwendung: Galvanik, Elektrolyse, Batterien Ionenbindung zwischen Metall und Nichtmetall Grundlage: z.B. in Kochsalz NaCl Elektronen der letzten Schale: Natrium Na:1 Elektron zu viel Chlor Cl: 1 Elektron zu wenig Na gibt 1 Elektron an Cl ab, Cl nimmt das Elektron auf, dadurch wird Na positiv geladen Na+ dadurch wird Cl negativ geladen Cl- Na + -Ion und Cl - -Ion ziehen sich an = Ionenbindung Andere Erklärung: Das Elektron des Natriums umkreist beide Atome und hält sie dadurch zusammen. Elektrolytische Dissoziation: In wässriger Lösung zerfallen, Salze, Säuren und Laugen in ihre Ionen. (ohne Anlegen einer elektrischen Spannung; Salz löst sich beim Kochen in der Suppe von selbst auf). (+) Pol = Anode (-) Pol = Kathode (Katode) + - NaCl Æ Na + Cl ; CuSO4 Æ Cu 2+ + SO42- Im elektrischen Feld (Spannung an den Elektroden) wandern die Ionen = Stromfluß FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 040 Halbleiter Zu 3: Halbleiter = Störstellenleitung = Festkörperleitung 4-wertige Elemente (Kohlenstoff C ; Silizium Si ; Germanium Ge) in hochreiner Form haben bei Raumtemperatur nur ganz wenig freie Elektronen und sind fast Isolatoren. Bei höheren Temperaturen steigt die Leitfähigkeit stark an (d.h. der Widerstand sinkt) Es gibt zwei Anteile für den Leitungsmechanismus: 1.) Die freien Elektronen wandern als negative Ladungen durch das Gitter (N- Leitung = Elektronenleitung) 2.) Bewegt sich eine Elektron, hinterläßt es eine leere Stelle, ein „Loch“. Weil an dieser Stelle das Elektron fehlt, wird diese Stelle auch Defektelektron genannt ( = positive Ladung). „Löcher“ bzw. Defektelektronen wandern als positive Ladungen durch das Gitter (P- Leitung = Löcherleitung). Die Leitfähigkeit wird erhöht durch gezielte „Verunreinigungen“ = „dotieren“ a.) Donatoren = 5– wertige Elemente (donare = spenden): Phosphor P; Arsen As; Antimon Sb. Sie geben Elektronen ab ⇒ freie Elektronen , n-leitend b) Akzeptoren = 3– wertige Elemente (accipere = annehmen): Aluminium Al; Indium In; Bor B. Es fehlt ein Elektron gegenüber dem Silizium, sie nehmen ein Elektron auf, dadurch entsteht im Gitter ein „Loch“ ( = positve Ladung) ⇒ Löcherleitung (p-leitend) Anmerkung: An der Grenzschicht von p-Leiter und n-Leiter entsteht ein pn-Übergang = Diode. Durch Kombination von pn-Übergängen entstehen Transistoren, Thyristoren etc. Wichtig: Silizium (oder Germanium) muß in allerreinster Form vorliegen: Höchstens 1 Fremdatom auf 1010 Si-Atome: (40 Tropfen ≈ 1 cm3 d.h. 1 Tropfen auf 250 Mio cm3 = 250 m3 = 2.500 Badewannen) Hinweis: Wenn die Temperatur steigt, steigt der Leitwert, d.h. der Strom kann steigen, dadurch steigt die Temperatur weiter = „Aufschaukeln ≈ Wärmetod von Transistoren. Besondere Halbleiter: PTC (Positiver Temparatur Koeffizient) Temperatur ⇑ -- Widerstand ⇑ NTC (Negativer Temparatur Koeffizient) Temperatur ⇑ -- Widerstand ⇓ FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 050 Stromleitung im Vakuum Zu 4: Stromleitung im Vakuum z.B. Braun’sche Röhre (Oszilloskop, Fernsehröhre, Röntgenröhre etc) (Braun, Karl Ferdinand, *)Fulda 6. 6. 1850, †)New York 20. 4. 1918, dt. Physiker. Entwickelte 1897 die Braunsche Röhre, eine Elektronenstrahlröhre, die zur Fernsehbildröhre weiterentwickelt wurde; bahnbrechende Entwicklungsarbeiten auf dem Gebiet der Funktechnik. Nobelpreis 1909 (mit G.)Marconi). Anwendungen: Oszilloskop Fernsehröhre Röntgenröhre Teilchenbeschleuniger -10 -6 Der Druck in der Röhre ist so gering 10 ... 10 bar = Hochvakuum), daß nur ganz wenig Gasmoleküle vorhanden sind. Im Raum vorhandene Elektronen können sich also ohne Zusammenstöße mit Gasmolekülen ungehindert von einer Elektrode (Katode -) zur anderen Elektrode (Anode +) bewegen = Elektronenstrahlröhre. Die Elektronen treten z.B. durch „thermische Emission“ aus der geheizten Katode aus (= Glühemission). K: aus der geheizten Katode K treten Elektronen aus. W: Wehnelt-Zylinder für Strahlhelligkeit. S: Fokussierung Px Py Ablenkung der Elektronen im elektrostatischen Feld. L: Leuchtschicht. N: Nachbeschleunigung ( bis 30 kV) Elektronen werden im elektrischen Feld beschleunigt, d.h. ihre Geschwindigkeit wird erhöht (im Röntgengerät, insbesondere im Teilchenbeschleuniger) auf nahezu Lichtgeschwindigkeit. Im magnetische Feld werden die Teilchen nur abgelenkt, aber nicht schneller. FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 060 Stromleitung in Gasen Zu 5: Stromleitung in Gasen Gase (z.B. Luft) sind durch kurzwellige Strahlung (Höhenstrahlung) und durch die geringe natürliche radioaktive Strahlung schwach ionisiert und dadurch ganz schwach leitfähig. Beim Anlegen einer elektrischen Spannung entsteht ein elektrisches Feld und die Elektronen werden beschleunigt. Sie stoßen bei ihrer Bewegung durch das Feld gegen andere Atome und können dabei Elektronen aus dem Kern „herausschlagen“. Das Atom wird dadurch ionisiert (=Stoßionisation). Die Elektronen können auch auf andere Bahnen mit höherer Energie angehoben werden. Durch die Ionisation fließt ein Strom, der lawinenartig ansteigen kann (=elektrischer Durchschlag). Zur technischen Nutzung z.B. in einer Lampe muß der Strom durch Vorschaltgeräte begrenzt werden ( Vorwiderstand oder Spule=Drossel). Bei großen Strömen entsteht ein Lichtbogen (Thermo-Ionisation). Anwendung: ♦ Glimmlampen (stromschwache Entladung) ♦ Leuchtstofflampen ♦ Hochspannung-Entladungslampen (z.B. Neon-Lampen) ♦ Quecksilberdampf-, Natriumdampf- Lampen, Xenon-Lampen ♦ Lichtbogen (z.B. zum Schweißen) ♦ Fuisons- Plasma (Sehr große Ströme, Mio A) FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Woher kommen die Ladungen? Leitungsmechanismus 070 Supraleitung, physikalische Sondereffekte Zu 6: Supraleitung Bei einigen Metallen und Legierungen verschwindet der elektrische Widerstand in der Nähe des Temperaturnullpunktes bei der sogenannten Sprungtemperatur. Bei den neuen „Hochtemperatur- Supraleitern verschwindet der Widerstand schon bei der Temperatur des flüssigen Stickstoffs. Ein einmal fließender Strom fließt auch nach Überbrücken der Spannungsquelle weiter. Achtung: Die Supraleitung kann durch das Magnetfeld, das der Strom selbst erzeugt, zusammenbrechen. Einige Sprungtemperaturen: Al: 1,2 K ; Pb: 7,2 K ; Niob-Verbindungen: 10-20 K Neuere keramische Supraleiter, BiSrCaCuCo: 110 K !! Zu 7: Physikalische Sondereffekte Hierzu siehe Spezialliteratur FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Was bewirken die Ladungen? Hilfsblatt/Entwurf 080 1.3 Was bewirken die Ladungen? Bei der Bewegung der Ladungen entsteht: 1. 2. 3. 4. 5. Wärme Kraft Licht Chemische Wirkungen Physikalische Sondereffekte Zu 1: Wärme: a) Wenn ein Strom durch einen Leiter fließt, entstehen bei der Bewegung der Elektronen durch das Metallgitter Verluste, die den Leiter erwärmen (Heizleiter). b) Bei einer elektrischen Entladung entsteht ebenfalls Wärme. Anwendung: Elektroherd Elektrische Durchlauferhitzer Fön Glühlampe (der Leiter wird so stark erhitzt, daß er glüht und Licht aussendet; im rötlich-gelben-weißlichen Bereich) Lichtbogenschmelzofen, Lichtbogenschweißen Zu 2: Kraft: a) Häufigste Anwendung = Elektromotor (=Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld. b) Hubmagnete, Magnetventile, Türöffner ... c) Kraft im elektrostatischen Feld: Kopierer, Laserdrucker, Farbspritzen, Beschleunigung von Elektronen im Oszilloskop und im Fernseher; Ablenkung der Elektronen im Oszilloskop Zu 3: Licht: Bei Glühlampen wird eigentlich kein Licht erzeugt, sondern Wärme. Zur direkten Erzeugung von Licht dienen: ♦ Entladungslampen ( HQL, Natriumdampf, Xenon-Hochdrucklampen etc) ♦ Lichtbogenlampen ♦ Leuchtdioden Zu 4: Chemische Wirkungen: Elektrolyse, z.B. Herstellung von Aluminium, Elektrolytkupfer Galvanotechnik Batterien Zu 5: Sondereffekte: Photovoltaik Piezo-Effekt (z.B. Feuerzeug) Peltier-Effekt (Heizung oder Kühlung) Thermoelektrizität (Thermoelemente zur Temperaturmessung) ... ... FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Wichtige Begriffe Strom, Stromdichte Hilfsblatt/Entwurf 090 1.4 Wichtige Begriffe Elektrischer Strom = Bewegung von Ladungen = Änderung der Ladung Elektrolyt, Batterie (+) Ionen und (-) Ionen sind beweglich Metalle Nur die Elektronen (-) sind beweglich Richtung des Stromes = Richtung der positiven (+) Ladungen Wenn – wie in Metallen – nur die Elektronen beweglich sind, fließen die Elektronen selbstverständlich entgegen der Stromrichtung. Der Hinweis auf eine physikalische und technische Stromrichtung ist unnötig. In einem durchaus technischen Gerät, wie z.B. in der Autobatterie, sind beide Ladungen (+) und (-) vorhanden und auch beweglich. Wenn der Strom gleichmäßig fließt, d.h. zeitlich konstant ist: I= Q t Q= t= I= i= Ladung, Ladungsmenge, Anzahl der Ladungen [Q] = As Zeit [t] = s Strom, zeitlich konstant, Gleichstrom Strom, zeitlich veränderlich Wenn der Strom nicht gleichmäßig fließt: i= dQ dt Strom fließt nur, wenn sich die Ladung ändert. Wenn der Strom zeitlich nicht konstant ist, müssen jeweils sehr kleine –differentiell kleine– Zeitabschnitte dt betrachtet werden, in denen sich die Ladung um den differentiell kleinen Wert dQ ändert. Einheit der Stromstärke [I] = A (Ampere) Ampère, André Marie [frz. ã’pε:r], *)Polémieux bei Lyon 22. 1. 1775, †)Marseille 10. 6. 1836, frz. Physiker und Mathematiker. Definition der Stromstärke: Ein Strom von 1A fließt dann, wenn .... siehe Basiseinheiten des SI-Systems.... Stromdichte = Strom, bezogen auf die Fläche Formelzeichen: S = G = j S= I A in Hinweis: A cm 2 oder A mm 2 Übliche Werte bei Kabeln, die im Haushalt verwendet werden: I=16A S = I/A ≈ 10 A/ mm2 A = 1,5 mm2 A = 4 mm2 I =25 A S = I/A ≈ 6 A/ mm2 Der Grund für die Festlegung der zulässigen Stromdichte ist die zulässige Erwärmung der Leitungen. Je größer der Querschnitt ist, um so schlechter ist die Kühlung und um so geringer wird die zulässige Stromdichte. Analogie: Wasserbehälter mit der Wassermenge Q WStr = I = Wasserstrom (Wassermenge je Zeiteinheit) WStr = Wassermenge Q = Wenn der Wasserstrom konstant ist Zeit t WStr = dQ Wenn der Wasserstrom nicht konstant ist. dt Ein Wasserstrom fließt nur, wenn sich die Flüssigkeitsmenge des Behälters ändert. ----------------------------------------------------------------------------------------- Analogie: Wegstrecke, Geschwindigkeit Bei gleichmäßiger Bewegung gilt v= Bei ungleichmäßiger Bewegung gilt v = s t ds dt Geschwindigkeit = Änderung des Weges FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 100 Wichtige Begriffe Spannung, Potential Dadurch, daß ein Wasserstrom durch den Verbraucher –z.B. eine Turbine – fließt, entsteht eine Druckdifferenz. Wasserstrom = Druckdifferenz = Druck = Elektr. Strom I Elektr. Spannung U Elektr. Potential ϕ Elektrischer Strom I = Bewegung von Ladungen = Änderung der Ladung Elektrische Spannung U = getrennte Ladungen Durch geeignete Maßnahmen, z.B. durch Induktionswirkung werden die Ladungen getrennt Hinweis: (+) = Atomrümpfe, aus denen das Metallgitter aufgebaut ist (-) = Frei bewegliche Elektronen. Da die positiv geladenen Atomrümpfe des Metallgitters unbeweglich sind und gleichmäßig verteilt bleiben, können sich nur die Elektronen bewegen und sich an einer Seite des Leiters ansammeln. Beachte: In der Mechanik und in der Elektrotechnik hat der Begriff Spannung zwei völlig unterschiedliche Bedeutungen. In der Mechanik hat die Spannung die Bedeutung der „Kraftdichte in N/m2“, wird aber aus historischen Gründen mit Spannung bezeichnet. Potential ϕ Ursprünglich sind die (+) und (-) Ladungen gleichmäßig verteilt. Zum Trennen der Ladungen Q wird Energie W benötigt. Man bezieht die Energie W zum Trennen der Ladung auf die Ladung Q: ϕ= W = elektr. Potential Q el. Spannung = Potentialunterschied . Einheit der Spannung und des Potentials: [U] = V (Volt) Volta, Alessandro Graf (seit 1810) , *)Como 18. 2. 1745, †)ebd. 5. 3. 1827, italien. Physiker. Die Einheit Volt ist eine sogenannte abgeleitete Einheit. Die Umrechnung erfolgt sinnvollerweise über die Einheiten der Energie in der Elektrotechnik, Maschinenbau und Wärmelehre. 1Ws = 1 Nm = 1 J mit kg ⋅ m 2 1VAs = 1 2 s Leistung P Siehe später, Kapitel Ohmsches Gesetz F = m⋅a kg ⋅ m 2 1V = 1 A ⋅ s3 [F ] = kg ⋅ m s2 FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 110 Was bewegt die Ladungen Elektrische Quellen 1.5 Was bewegt die Ladungen? Elektrische Quellen Ladungen können getrennt werden durch: ♦ Induktion (Kraftwirkung im magnetischen Feld) Generatoren im Kraftwerk Lichtmaschine im Auto Dynamische Mikrofone, magn. Tonabnehmer ♦ Elektrostatische Wirkung Reibung (unerwünschte elektrische Aufladung) Fließende Flüssigkeiten Sich bewegende Stäube (Kohlenstaubexplosionen) Bandgenerator (sehr hohe Spannungen; mehrere Mio V) ♦ Chemische Wirkung Batterien, Akkumulatoren ♦ Wärme Thermoelemente zur Temperaturmessung ♦ Licht Photovoltaik Photo-Dioden für Meßzwecke ♦ Kristallverformung Piezo- Effekt (Tonabnehmer, Druckfühler, Feuerzeuge...) ♦ Weitere physikalische Effekte Analogie Was bewegt die Ladungen / Was bewegt die Wassertropfen ? Der Druckunterschied durch die Höhendifferenz verursacht den Wasserstrom = Spannungsquelle Die Pumpe verursacht den Wasserstrom = Stromquelle FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 220 Stromkreisgesetze Ohmsches Gesetz Ohm, Georg Simon, *)Erlangen 16. 3. 1789, †)München 6. 7. 1854, dt. Physiker. Entdeckte 1826 das nach ihm benannte Gesetz der Elektrizitätsleitung. Elektrischer Widerstand R, Elektrischer Leitwert G R Symbol Das Symbol für den elektrischen Widerstand berücksichtigt, daß in einer elektrischen Anlage eine elektrische Leistung umgesetzt wird (z.B. in einem Motor, einem chemischen Prozeß, einer elektrischen Entladung etc.). Der Widerstand R ist eine rechnerische Größe, die sich aus den Werten Leistung, Strom und Spannung ergibt. Der Widerstand kann (bei Wärmeleistung) auch in Form eines elektrischen Leiters vorhanden sein. Wichtiger Hinweis: Bei Entladungslampen und bei Motoren existiert der Widerstand nicht, der sich rechnerisch aus der Leistung ergibt, er kann auch nicht mit einem Widerstandsmeßgerät gemessen werden. Leitwert G = Kehrwert von R Ohmsches Gesetz G= 1 R Beachte U=f(I) bzw I=f(U) Wenn der Widerstand R konstant ist, ist der Zusammen zwischen Strom I und Spannung U konstant, d.h. die Kennlinien sind linear. Die Kennlinien existieren auch im 3. Quadranten; wenn sich die Richtung der Spannung durch Umpolen der Batterie umkehrt, kehrt sich auch die Richtung des Stromes um. OhmschesGesetz U = R⋅ I I= U R R= U I Einheit von R [ R] = [U ] = V = Ω [I] A ( Ohm) [G] = 1 =S Ω ( Siemens) amerikanisch: 1S = 1 mho FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 222 Stromkreisgesetze Ohmsches Gesetz, Leistung Leistung Zwei Größen: n Drehzahl Md Drehmoment P = M ⋅ ( 2 ⋅π ⋅ n ) [ P] = in s-1 oder min-1 in Nm Nm Ws = =W s s Zwei Größen: F Kraft in N V Geschwindigkeit in m/s zum Vektorcharakter: siehe später P = F ⋅v [ P] = N m Nm = =W s s Zwei Größen: U Spannung I Strom Leistung: P =U ⋅I mit I = U R und U = I ⋅ R U2 P =U ⋅I = I ⋅R = R 2 in V in A [ P] = V ⋅ A = W Watt Watt, James [engl. wct], *)Greenock bei Glasgow 19. 1. 1736, †)Heathfield (heute zu Birmingham) 19. 8. 1819, brit. Ingenieur und Erfinder. Beachte immer wieder die Umrechnung: 1Ws = 1Nm = 1J 1N = 1 kg ⋅ m s2 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Stromkreisgesetze 230 Kirchhoff’sche Regeln (Knoten- und Maschenregel) In einem elektrischen Netzwerk gibt es Zweige, Knoten und Maschen. A) Knotenregel (1. Kirchhoffsche Regel) ΣI=0 Die Ladungen, die auf den Knoten zufließen, müssen auch wieder abfließen. d.h. Die Ströme, die zufließen, müssen auch wieder abfließen. z.B. I1 = 1A I 2 = 2 A I3 = 3 A I1 + I 2 + I3 + I 4 = 0 I 4 = − I1 − I 2 − I3 I 4 = − (1 + 2 + 3) A = −6 A Hinweis: Die einmal (willkürlich !!) gewählte Stromrichtung für I4 sollte nicht mehr geändert werden, auch nicht bei einem negativen Zahlenwert. Analogie: Wasserströme ! B) Maschenregel ( 2. Kirchhoffsche Regel) ΣU=0 Bei einem geschlossenem Maschenumlauf ist die Summe der Spannungen ΣU=0. Beispiel: Die Werte der Spannungen U 1 bis U 4 sind willkürlich gewählt. Obere Masche: U Br − U 3 + U 1 = 0 U Br = −U 1 + U 3 U Br = − 6V + 7V = 1V UntereMasche: U Br + U 4 − U 2 = 0 U Br = U 2 − U 4 U Br = 4V − 3V = 1V FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Grundschaltungen Bauteil: Elektrischer Widerstand Hilfsblatt/Entwurf 240 Hinweis: Mit dem Wort Widerstand bezeichnet man: ♦ Das Verhälnis von Spannung und Strom R = U/I ♦ Das Bauteil, das aus elektrisch leitfähigem Material besteht, z.B. aus einem Metalldraht. Der Draht muß lang und dünn sein. (homogenes elektrisches Strömungsfeld, siehe später). Bild: Leiter A = Querschnitt l = Länge des Leiters Der Widerstand hängt ab von: Länge l: R ~ l (proportional) Querschnitt: R ~1/A (je größer der Querschnitt, um so kleiner der Widerstand) Material des Leiters = spezifischer Widerstand ρ l⋅ρ l R= = A κ ⋅A κ= 1 ρ ρ (rho) = spezifischer Widerstand κ = σ = γ = (spezifische) Leitfähigkeit Mmemotechnisch ist die Form der Gleichung mit der Leitfähigkeit günstiger, da sich Zahlenwerte für die Leitfähigkeit besser merken lassen als für den spezifischen Widerstand. Einheit von ρ: [ρ] = Ω.m [κ] = 1Sm = 1/Ω.m z.B. Kupfer (chem. Zeichen = Cu = Cuprum) . κCu = 56 106 1/Ω.m Aber: Bei Leitungen wird der Querschnitt meist in mm2 und die Länge meist in m angegeben. κ = 56 ⋅106 κ Cu = 56 ρ Cu m 1 m ⋅ = 56 ⋅106 Ω⋅m m Ω ⋅ ( m 2 = 106 mm 2 ) m 1 6 = ⋅ 56 10 Ω ⋅ mm 2 Ω⋅m 1 Ω ⋅ mm 2 1 = = ⋅106 Ω ⋅ m 56 m 56 1 =S Ω (S=Siemens) FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Grundschaltungen Widerstand, Temperaturverhalten Hilfsblatt/Entwurf 250 ϑ = Temperatur 0 C = Grad Celsius K = Grad Kelvin Celsius , Anders (*)1701, †)1744) schwed. Astronomen Kelvin, William Lord K. of Largs (vorher Sir William Thomson) *1824, †1907, brit. Physiker. Bei mittleren Temperaturen steigt der Widerstand linear mit der Temperatur; Bei höheren Temperaturen muß ein quadratischer Anteil berücksichtigt werden. (Bei tiefen Temperaturen siehe Literatur über Supraleitung und Kryo-Kabel). A Linearer Bereich: R = R20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ) ∆ϑ = ϑ − 200 C Zahlenwerte: Bei üblichen Leiterwerkstoffen ist α20 ≈ 4.10-3 K-1 ≈ 40/00 K-1 ≈ 4 Promille pro Grad Achtung: α20 gilt nur für 20oC Achtung: Bei einer Temperaturerhöhung von: 10 0C steigt der Widerstand einer Kupferwicklung um 4% ; 100 0C steigt der Widerstand einer Kupferwicklung um 40% !!!!! Der Ausgangswiderstand muß immer R20 bei der Ausgangstemperatur ϑ = 20 0C sein. Beispiel: Der Widerstand bei der Temperatur –15 0C beträgt R-15= 37 Ω. Gesucht ist der Widerstand bei der Temperatur 68 0C. α20 ≈ 4.10-3 K-1 Hinweis: Welche Genauigkeit ist sinnvoll ? Wie genau kann die Temperatur angegeben werden, wenn es sich z.B. um einen Draht handelt ? ------------------------------------------------------------------------------------------------- B Quadratischer Bereich R = R20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ + β 20 ⋅ ∆ϑ 2 ) ist nur eine Näherung. Bei der Entwicklung von Glühlampen wird mit aufwendigeren Näherungen gearbeitet. Ganz grobe Anhaltswerte: α 20 ≈ 4 ⋅10−3 K −1 β 20 ≈ 1⋅10−6 K −2 Beispiel mit dem Programm MathCad Spezifischer Widerstand ρl = linear, ρq = quadratisch 20 16.67 13.33 ρq( ∆T ) 10 ρl( ∆T ) 6.67 3.33 0 0 600 1200 1800 ∆T . α20 = 4 10-3 K-1 2400 3000 . β20 = 0,7 10-6 K-2 Prozentualer Fehler der linearen Annäherung gegenüber der quadratischen in% 2 1.5 f( ∆T ) 1 0.5 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 ∆T Praktischer Hintergrund bei der Berücksichtigung des quadratischen Anteils: Einschalstrom einer kalten Glühlampe . . (Glühwendel der Lampe aus Wolfram mit α20 = 4 10-3 K-1 β20 = 0,7 10-6K-2 Annahme ϑ≈2500 0C Rw ≈ 15*Rk ⇒ Ik = IEIN ≈ Iwarm Der Einschaltstrom der kalten Glühlampe kann ca den 15 bis 20 fachen Wert des Betriebsstromes der warmen Lampe annehmen. Abhilfe: ¾ Mit Dimmer hochregeln (in weniger als 1 Sekunde) ¾ Bei der Theaterbeleuchtung: Lampen vorwärmen FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Grundschaltungen 260 Widerstände Technische Ausführung, Normreihen Dieses Hilfsblatt wird zur Zeit noch bearbeitet FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Grundschaltungen Reihenschaltung – Parallelschaltung Hilfsblatt/Entwurf 280 Reihenschaltung : Widerstände addieren – mit Spannungen rechnen U= U1 + U 2 + U 3 + ... Rges = ∑ Rn U = I ⋅ R1 + I ⋅ R2 + I ⋅ R3 + .... U = I ⋅ ( R1 + R2 + R3 + ...) = I ⋅ Rges Parallelschaltung Schreibweise: R1||R2||R3 Parallelschaltung : Leitwerte addieren – mit Strömen rechnen I = I1 + I 2 + I 3 + ... I= 1 1 1 1 1 =∑ = + + + ... Rges Rn R1 R2 R3 U U U + + + ... R1 R2 R3 1 1 1 1 I = U ⋅ + + + ... = U ⋅ Rges R1 R2 R3 G = ∑ Gn Bei nur zwei Widerständen: 1 1 1 R1 + R2 = + = R R1 R2 R1 ⋅ R2 R= R1 ⋅ R2 R1 + R2 Achtung: Bei Taschenrechnern immer mit den Leitwerten 1/R rechnen: R1 33 R2 56 1 1 1 33 56 = 20.8 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Grundschaltungen Spannungsteiler, Stromteiler 290 A. unbelastet Spannungsteiler I= Uq U 2 = I ⋅ R2 = Uq R1 + R2 U2 = Uq ⋅ R2 R1 + R2 R2 R = Uq ⋅ 2 R1 + R2 ∑R Achtung: Grundsätzliches Problem: Im Spannungsteiler aus „ohmschen“ Widerständen wird eine Leistung umgesetzt: d.h. 1. Energietechnik: Verlustleistung: Erwärmung des Teilers (Wärmeabfuhr!) 2. Kommunikationstechnik und Datenverarbeitung: Dämpfung ---------------------------------------------------------------------------------------------------Stromteiler, unbelastet (Stichwort:“ Duale Netzwerke“ : Parallelschaltung; mit Leitwerten rechnen) I2 = U = U ⋅ G2 R2 I2 = Iq ⋅ U=I q ⋅ R ges = Iq Gges G2 G = Iq ⋅ 2 G1 + G2 ∑G Hinweis: Bei nur zwei Widerständen: 1 R2 1 R1 R2 I2 = I q ⋅ = Iq ⋅ = Iq ⋅ 1 1 R1 + R2 R1 + R2 + R1 R2 R1 ⋅ R2 I 2 = Iq ⋅ G2 R1 = Iq ⋅ G1 + G2 R1 + R2 Beispiel: I2 = R1 ⋅ R1||R2 R1 + R2 Stromteiler Uq B. Spannungsteiler belastet Spannungsteiler, technische Ausführung = Potentiometer, Schiebewiderstand Beachte: für R3 = R ist der maximale Fehler bei R2 = R/2 Fehler = 20 % !!! Abhilfe: Anschluß von elektronischen Schaltungen an den Spannungsteiler über Operationsverstärker (Schaltung als Impedanzwandler). FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Krause Grundschaltungen Stern – Dreieck – Umwandlung Hilfsblatt/Entwurf 310 ∆ <==> Y = Stern-Dreieck-Umwandlung = Impedanzinvariante Transformation d.h.: Zwischen den vergleichbaren Knoten ind der ∆-Schaltung und in der Y-Schaltung ist der Widerstand gleich = Leistungsinvariante Tranformation d.h.: Zwischen den vergleichbaren Knoten ind der ∆-Schaltung und in der Y-Schaltung ist bei gleicher Spannung auch die Leistung gleich ∆ ==> Y Umwandlung (mit Widerständen rechnen) R1 + R2 = R12 ( R23 + R31 ) = R12 ⋅ R23 + R12 ⋅ R31 R12 + R23 + R31 (1) R2 + R3 = R23 ( R31 + R12 ) = R23 ⋅ R31 + R23 ⋅ R12 R12 + R23 + R31 ( 2) R3 + R1 = R31 ( R12 + R23 ) = R31 ⋅ R12 + R31 ⋅ R23 R12 + R23 + R31 ( 3) ------------------------------------------------------------R12 ⋅ R31 R12 ⋅ R23 R23 ⋅ R31 R1 = R2 = R3 = R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 R12 + R23 + R31 ========================================= Y ==> ∆ Umwandlung (mit Leitwerten rechnen) G1 ⋅ G2 G1 + G2 + G3 G2 ⋅ G3 G23 = G1 + G2 + G3 G3 ⋅ G1 G31 = G1 + G2 + G3 G12 = R1 ⋅ R2 + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R2 R3 R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R2 R23 = 1 2 R1 R ⋅ R + R2 ⋅ R3 + R3 ⋅ R2 R31 = 1 2 R2 R12 = ========================================================== Hinweis zur Mnemotechnik ∆ ==> Y Mit Widerständen rechnen Produkt der Widerstände der anliegenden Schenkel durch Summe der Widerstände teilen Y ==> ∆ Mit Leitwerten rechnen Produkt der Leitwerte der über dem gesuchten Wert stehenden Schenkel durch die Summe der Leitwerte teilen Beispiel Brückenschaltung FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Grundschaltungen Leistungsanpassung Prof. Dr.-Ing. Krause 320 Ra = Abschluß-, Außen-, Verbraucherwiderstand Ri = Innenwiderstand (einschließlich Leitungswiderstand) R a = 0 : Kurzschluß R a = ∞ : Leerlauf Ra = 0 Ua = 0 Ra = ∞ U a = Uq Uq Ra = 0 I = I max = I k = U q Ri Ri + Ra Ra = ∞ I =0 Pa = I 2 ⋅ Ra = Ra = 0 I = I max = I k = U q Ri Ra = ∞ I =0 Ra Ra + Ri Ua = Uq ⋅ I= 2 = Ua ⋅ Ra 2 ( Ri + Ra ) 2 Angenäherte Kurvendiskussion der Funktion Ra = Ri Pa = U q2 ⋅ Ra ? Ri Pa = U q2 ⋅ ( Ra Ri + Ra (R Ra i + Ra ) 2 ) 2 ≈ ≈ U 2 q 2 i R ⋅ Ra U q2 Ra Pa = f ( Ra ) = Gerade = Hyperbel Maximum von Pa : Die Kurve Pa = f ( Ra ) ändert sich an dieser Stelle nicht dPa d Ra = (U q2 ⋅ ) = .... = 0 dRa dRa ( Ri + Ra )2 Maximum von Pa bei Ra = Ri Lösung : d .h. die Steigung = 0 Ra = Ri Ua = U q / 2 Pa max = (U q / 2) 2 Ri η =50% Seite 2 von 320 Technische Bedeutung der Leistungsanpassung : In der Kommunikationstechnik und in der Informationstechnik : aus leistungsschwachen Quellen (Mikrofon, CD-Player usw) muß möglichst viel Leistung entnommen werden In der Energietechnik : Leistungsanpassung wird niemals angewendet, 1.) Der Wirkungsgrad beträgt nur 50 % 2.) Die Spannung am Verbraucher sinkt auf die halbe Leerlaufspannung 3.) Die Verluste im Innenwiderstand der Quelle werden so groß, daß die Wärme nicht abgeführt werden kann Hinweis: Die Überlegungen gelten nur für lineare Quellen: Wenn sich der Innenwiderstand ändert -wie z.B. in Solarzellen gelten andere Bedingungen. Siehe Literatur ! Normierte Darstellung Normierung auf Ra r = U = Uq ⋅ u= I= i= Ra Ra Ri = Uq ⋅ Ri + Ra Ri Ri + Ra Ri U 1 = Uq 1 + r Uq Ri + Ra = U q Ri Ri Ri + Ra Ri = Ik 1+ r I 1 = Ik 1+ r P = I ⋅R = 2 p= Ri bzw. auf die jeweiligen Maximalwerte Ra P Pa max a U q2 ( Ri + Ra ) r = 4⋅ (1 + r )2 2 ⋅ Ra = mit 4 ⋅ U q2 4 ⋅ Ri ⋅ Pa max Ra Ri ( Ri Ri + Ra Ri )2 (U 2 ) = q Ri 2 Seite 3 von 320 Logarithmische Darstellung muß gestreckt werden muß gestaucht werden möglich mit der Logarithmusfunktion → logarithmische Darstellung Beide Achsen linear halblogarithmisch x- Achse logarithmisch y- Achse linear doppel- logarithmisch beide Achsen logarithmisch FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Grundschaltungen Brückenschaltung Prof. Dr.-Ing. Krause 330 Wheatstonebrücke Zur Messung relativ großer Widerstände ab ca 1Ω bis mehrere MΩ . Wheatstone, Sir Charles (1802-1875), britischer Physiker und Erfinder. Abgleich bedeutet: Spannung im Brückenzweig UBr=0 oder Strom IBr=0 Bei Abgleich ist U1=U3, dann gilt auch U2=U4: Die folgende Herleitung gilt für Leerlauf im Brückenzweig: U2 = Uq ⋅ R2 R4 = U 4 = Uq ⋅ R1 + R2 R3 + R4 R2 ⋅ ( R3 + R 4 ) = R4 ⋅ ( R1 + R2 ) Abgleich für R1 R3 = oder R2 R4 R1 R2 = R 3 R4 oder R 1 ⋅ R 4 =R2 ⋅ R3 R2 ⋅ R3 + R2 ⋅ R4 = R1 ⋅ R4 + R2 ⋅ R4 Hinweis Hinweis Abgleich ? 33 56 =?= 47 81 0,702 = ? = 0,691 Fehler f = 1,5% ⇒ Anwendung für Meßzwecke: Schleifdrahtmeßbrücke Schleifer Schleifdraht l κ⋅A RX x = RN l − x R= RX = RN ⋅ x xl = RN ⋅ l−x 1− x l Die größte Genauigkeit wird erreicht, wenn der Schleifer iin der Mitte steht Der Vergleichswiderstand RN (=”Normalwiderstand”) RN sollte in der Größenordnung von RX sein, damit der Schleifer im mittleren Drittel des Schleifdrahtes steht Technische Ausführung einer Schleifdrahtmeßbrücke Seite 2 von Hilfsblatt 330 Weitere Anwendung: Dehnungsmeßstreifen DMS Wird ein elektrischer Leiter durch eine mechanische Krafteinwirkung gedehnt, erhöht sich der Widerstand (Verlängerung bei gleichzeitiger Verringerung des Querschnittes).Der Leiter wird mänderformig (DMS) fest mit einem Werkstück verklebt, sodaß durch die Widerstandsänderung die Längenänderung eines Werkstückes bzw. die Kraftbeanspruchung ermittelt werden kann. Meist werden zwei DMS verwendet: einer wird auf Zug, der andere Auf Druck beansprucht. Die Widerstandsänderung und damit die Kraftwirkung wird mit einer Brückenschaltung ermittelt. Thomson- Brücke Zur Messung relativ kleiner Widerstände ca 0,1Ω bis einige Ω Thomson, Sir William, Lord Kelvin of Largs (1824-1907), britischer Mathematiker und Physiker. = Vier - Punkt - Messung RX RN RX RN Achtung: Vier - Punkt - Messung Meßanschluß (bei sehr kleinen Widerständen in der Größenordnung der Leitungswiderstände und der Kontaktwiderstände d.h. wenige mΩ Stromanschluß Sense, Source Vier - Punkt - Messung: immer 4 Leitungen verwenden FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Berechnungsverfahren für elektrische Netze Überlagerung, Superposition Prof. Dr.-Ing. Krause 340 Helmholtz, Hermann von *Potsdam 31. 8. 1821, †Charlottenburg 8. 9. 1894, dt. Physiker und Physiologe. Die Stromverteilung wird für die einzelnen Quellen getrennt berechnet, anschließend werden die Ströme addiert (überlagert). Dabei werden von den nicht benutzten Quellen nur die Innenwiderstände berücksichtigt. d.h. : Spannungsquellen überbrücken Stromquellen heraustrennen Beispiel: Zwei Autobatterien werden parallel an einem Verbraucher betrieben. Abschätzung der Werte: Batterie a: Ua = 12V; Kurzschlußstrom Ik = 300A Ri = Ua/Ik = 40mΩ Batterie b: Ub = 10,5V; Kurzschlußstrom Ik = 150A; Ri = Ub/Ik = 70mΩ Verbraucherleistung Pv~250W => Rv = U2/Pv = 0.58Ω Gewählt: Ua = 12 V; Ub = 10,5V; R1 = 40mΩ Ω; R2 = 70mΩ Ω; Rv = 0,58Ω Ω Ι2↑ Ι1↑ Ιv↓ I1a = = Ι2a↑ Ιva↓ Rv R2 + Rv I 2a = − I1a ⋅ 12V ( 40+70||580 ) mΩ 580 70 + 580 a I 2 = −105 A 2 I1a = 117 A =-117A ⋅ 1 Rv R1 + Rv I 2b = I 2 = −6, 76 A Kontrolle ∑I =0 ? Pv = I v2 ⋅ Rv = 18, 92 ⋅ A2 ⋅ 058Ω = 208W Pv = ( I va ) ⋅ Rv + ( I vb ) ⋅ Rv + 2 ⋅ I va ⋅ I vb ⋅ Rv 2 70 70 + 580 a I v = 12, 6 A 3 =117A ⋅ R1 R1 + Rv 40 40 + 580 b I v = 6,31A 6 I 2 = I 2a + I 2b 7 R2 R2 + Rv 10,5V ( 70+40||580 ) mΩ I1 = I1a + I1b = I va = I1a ⋅ I vb = I 2b ⋅ I 2b = 97, 7 A I1 = 25, 7 A Ιvb↓ Ub R2 + R1 || Rv 580 40 + 580 b I1 = −91, 4 A 4 =-97,7A ⋅ 2 Ι2b↑ ↓ Ub Ua R1 + R2 || Rv I1b = − I 2b ⋅ Ι1b↑ ↓ Ua ↓ Ub ↓ Ua Ι1a↑ 5 =97,7A ⋅ I v = I va + I vb 8 I v = 18, 9 A I1 + I2 − I v = 0 ? Beachte 1. Binom ( a + b )2 = a 2 + b 2 + 2 ⋅ a ⋅ b U v = I v ⋅ Rv = 18, 9 Ag0,58Ω = 10,97V 9 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Berechnungsverfahren für elektrische Netze Ersatz-Zweipol- Quelle Hilfsblatt/Entwurf 350 Einführung Symbole für Quellen, ideale Quellen: Uq Ik ideale Spannungsquellen ideale Stromquellen Reale Quellen mit Innenwiderstand: Reale Spannungsquelle Reale Stromquelle U a = Uq − Ri ⋅ I I = Ik − Gi Ua (y= (y= y0 − m ⋅ x ) y0 − m ⋅ x ) Quellen werden beschrieben durch: Uq = Leerlaufspannung (Quellenspannung) I k = Kurzschlußstrom (Quellenstrom) Ri = Innenwiderstand Verknüpfung dieser 3 Größen durch das ohmsche Gesetz U q = I k ⋅ Ri Ri = U q Ri I k = U q Ri Seite 2 von Hilfsblatt 350 Ersatz - Zweipol - Quelle für die Klemmen A und B Ersatz - Zweipol - Quelle immer dann, wenn die GrößenU,I,P nur in einem Zweig gesucht A oder Ersatz-Spannngsquelle Ersatz-Stromquelle Die Ersatz- Quellen verhalten sich an den Klemmen genau so wie das komplizierte reale Netz Für die Ersatz - Zweipol - Quelle müssen 3 Größen ermittelt werden UqE = Quellenspannung der Ersatzquelle bei Leerlauf an AB IkE = Kurzschlußstrom der Ersatzquelle bei Kurzschluß an AB RiE = Innenwiderstand der Ersatzquelle von AB aus betrachtet Zwei Größen werden aus der Schaltung ermittelt, die 3. Größe wird mit dem ohmschen Gesetz ermittelt U qE = I kE ⋅ RiE RiE = U qE RiE I kE = U qE RiE Beispiel R1 = 700 Ω R2 = 500 Ω R3 = 300 Ω Uq = 12 V ; Ra = 200 Ω ges.: U a ; I ; Pa in R a Lösung mit der Ersatz - Zweipol - Quelle Aus der Schaltung werden bestimmt: Leerlaufspannung und Innenwiderstand Seite 3 von Hilfsblatt 350 1) Leerlaufspannung bei Leerlauf an AB Bei Leerlauf an AB fließt in R3 kein Strom, d.h. die Spannung UqE ist gleich der Spannung an R2 U qE = U q ⋅ R2 500Ω = 12 V ⋅ = 5V R1 + R2 ( 700 + 500) Ω 2) Rie Innenwiderstand, von den Klemmen ab aus betrachtet dabei ideale Spannungsquellen kurzschließen, ideale Stromquellen heraustrennen, d.h. es werden nur die Innenwiderstände berücksichtigt 2) Kurzschlußstrom a) Aus den Werten Leerlaufspannung und Innenwiderstand I kE = U qE RiE = 5V = 8,45 mA 592 Ω b) Direkt aus der Schaltung ermitteln I kE = U qE R1 + R2 || R3 ⋅ R2 = siehe oben R2 + R3 Seite 4 von Hilfsblatt 350 Mit den Werte UQ E, Ik und RiE kan entweder die Ersatzspannungsquelle oder die Ersatzstromquelle angegeben werden. Ersatz - Spannungsquelle I= UqE 5V = = 6,32 mA RiE + Ra ( 592 + 200 ) Ω Ersatz - Stromquelle I = I kE ⋅ RiE RiE + Ra Beachte I kE ⋅ RiE = UqE Ra U a = U qE ⋅ = ... RiE + Ra U a2 Pa = I ⋅ Ra = = ... Ra 2 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Berechnungsverfahren für elektrische Netze 352 Brückenschaltung Ersatz-Zweipol- Quelle (EZQ) Beispiel Brückenschaltung: Größen nur im Brückenzweig gesucht: Lösung mit EZQ (Ersatz - Zweipol - Quelle Uq = 24 V R Br = 6 kΩ ges.: UBr ; I Br PBr Lösung mit Ersatz - Zweipol - Quelle 1) Leerlauf im Brückenzweig → Uqe: ΣU = 0 −U QE −U R1 +U R 2 = 0 U QE = −U R1 + U R 2 oder −U QE +U R 3 − U R 4 = 0 U QE = U R 3 − U 4 Teiler jeweils unbelastet R1 R2 U R1 = UQ ⋅ UR2 =UQ ⋅ R1 + R3 R2 + R4 4 5 U QE = 24 V ⋅ − + = 8,42 V 4+ 7 5+ 2 2) Innenwiderstand RiE vom Brückenzweig aus betrachtet; hierzu umzeichnen. Frage: Wie kommt man von C nach D ? RiE = ( 4 | | 7 + 5 | | 2) k Ω RiE = 3,97 k Ω 3) Ersatz- Spannungsquelle, neu zeichnen: I Br = UQE 8,42V = k Ω = 0,844 mA RiE + RBr ( 3,97 + 6 ) U Br = U QE ⋅ RBr R +R = 5,06V Bochum Hilfsblatt/Entwurf Grundlagen der Elektrotechnik 360 Berechnungsverfahren für elektrische Netze Knotenpotential - Verfahren Prof. Dr.-Ing. Krause R1 R2 R4 R6 ges.: UQ R3 Alle Ströme R5 Es müssen gelöst werden: 1) Bei den Kirchhoff’schen Regeln ⇒ 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten 2) Beim Knotenpotentialverfahren ⇒ 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten Vorbemerkung: a.) ϕa U ab I I= ϕb b.) Knotenregel ∑ I=0 ϕ1 U 12 U ab = U ab ⋅ G = ( ϕ a − ϕ b ) ⋅ G R I Ia Ib R a U 13 Rb ϕ2 Ic Rc U 14 ϕ3 ϕ4 Ia + U12 ⋅ G a Ib + Ic =I + U13 ⋅ G b + U14 ⋅ G c =I (ϕ1 − ϕ 2 ) ⋅ G a + (ϕ1 − ϕ 3 ) ⋅ G b + (ϕ1 − ϕ 4 ) ⋅ G c = I c.) Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln. 2Ω UQ = 12 V Ri IK = 6A A A IK= 6A ⇔ B IK = Ri=2Ω G i = 0,5 S UQ ⇔ B Ri d.) In der gegebenen Schaltung das Potential eines beliebigen Knotens ϕ = 0 setzen. 1 G i = 0,5 S IK = 6A Grundlagen der Elektrotechnik Knotenpotential Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause verfahren Hilfsblatt 360 Knoten-Potential-Verfahren R1 2Ω UQ 20 V ϕ1 R2 3Ω R6 9Ω R4 8Ω R5 10 Ω R3 5Ω IK 10 A R2 3Ω R1 2Ω R6 9Ω ϕ2 R3 5Ω 1.) Alle Spannungsquellen in Stromquellen umwandeln. 2.) Für einen Knoten das Potential willkürlich auf Null setzen. 3.) Für jeden Knoten die Knotenregel Σ I = 0 aufstellen. (1) (ϕ 1 - ϕ 0) ⋅ G 1 + (ϕ 1 - ϕ 2) ⋅ G 2 + (ϕ 1 - ϕ 3) ⋅ G 4 = I K (2) (ϕ 2 - ϕ 1) ⋅ G 2 + (ϕ 2 - ϕ 3) ⋅ G 6 + (ϕ 2 - ϕ 0) ⋅ G 3 = 0 (3) (ϕ 3 - ϕ 1) ⋅ G 4 + (ϕ 1 - ϕ 2) ⋅ G 6 + (ϕ 1 - ϕ 3) ⋅ G 5 = 0 G1 + G 2 + G 4 − G2 − G4 ϕ1 = ϕ2 = ϕ3 = − G2 G2 + G3 + G6 − G6 − G4 −G6 G4 + G5 + G6 ϕ1 IK ⋅ ϕ2 = 0 ϕ3 0 1 ⋅ ( G 2 ⋅ ϕ 2 + G 4 ⋅ ϕ 3 + IK ) G1 + G2 + G4 1 ⋅ ( G 2 ⋅ ϕ1 + G 6 ⋅ ϕ 3 ) G2 + G3 + G6 1 ⋅ ( G 4 ⋅ ϕ1 + G 6 ⋅ ϕ 2 ) G4 + G5 + G6 Im Folgenden wird ein sehr einfaches numerisches Verfahren vorgestellt, um diese 3 Gleichungen mit den 3 unbekannten Potentialen zu lösen. 2 ϕ3 R5 10 Ω ϕ0 Hinweis: R4 8Ω Grundlagen der Elektrotechnik Knotenpotential Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause ϕ1, neu = verfahren Hilfsblatt 360 1 ⋅ (G2 ⋅ ϕ2 + G4 ⋅ ϕ3 + IK ) G1 + G 2 + G 4 1 ϕ 2 , neu = ⋅ ( G 2 ⋅ ϕ1 + G 6 ⋅ ϕ3 ) G2 + G3 + G 6 1 ϕ 3, neu = ⋅ ( G 4 ⋅ ϕ1 + G 6 ⋅ ϕ 2 ) G 4 + G5 + G 6 Zunächst werden die Potentiale geschätzt. (z.B. j = 0 ; j 2= 0 ; j 3= 0). 1 Mit diesen Schätzwerten werden die neuen Potentiale ϕ neu berechnet. Diese neuen Potentiale werden nun als Schätzwerte betrachtet und dienen wiederum zur Berechnung neuer Potentiale. Selbstverständlich läßt sich dafür ein sehr einfaches Programm schreiben. Die Rechnung kann abgebrochen werden, wenn auf dem Bildschirm keine Veränderungen der Zahlenwerte zu sehen sind, oder wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: ϕ1, neu − ϕ1 ϕ 2 , neu − ϕ 2 ϕ 3, neu − ϕ 3 abs UND abs UND abs < ε ϕ1 ϕ2 ϕ3 ε ist der gewählte zulässige Fehler. Aus den Potentialen lassen sich die Spannungen und daraus die Ströme berechnen. (Hier nurVI ; angegeben) ϕ1 = wird 14,687 ϕ 2 = 9,055 V ; ϕ 3 = 8,455 V ; I6 = U 23 R6 = ϕ2 − ϕ3 R6 = 9,055 V − 8,455 V = 66,7 mA 9Ω Kontrolle mit einem Programm zur Schaltungssimulation: R1 2Ω 2,66 A R2 3Ω 1,88 A UQ 20 V R4 8Ω R6 9Ω 779 mA 66,5 mA R3 5Ω R5 10 Ω 1,81 A 845 mA 3 FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Berechnungsverfahren für elektrische Netze Maschenstromverfahren Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 375 R 1=2Ω Ω R2 3Ω Ω UQ I6 R4 8Ω Ω R 6=9Ω Ω 20 V R3 5Ω R5 10Ω Ω Es müssen gelöst werden: 1) Bei den Kirchhoff’schen Regeln => 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten 2) Beim Knotenpotentialverfahren => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten 3) Beim Maschenstromverfahren => 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten I 4’ I1 ’ I5 ’ I1' ⋅ ( R1 + R2 + R3 ) + I 4' ⋅ ( − R2 ) + I 5' ⋅ ( − R3 ) = Uq I1' ⋅ ( − R2 ) + I 4' ⋅ ( R2 + R4 + R6 ) + I 5' ⋅ ( −R6 ) =0 I ⋅ ( − R3 ) + I ⋅ ( − R6 ) + I ⋅ ( R3 + R5 + R6 ) = 0 ' 1 R1 + R2 + R3 − R2 − R3 ' 4 − R2 R2 + R4 + R6 − R6 − R3 − R6 R3 + R5 + R6 ' 5 I1' g I4' I5' Uq = 0 0 Lösung mit den Bekannten Methoden der Matrizenrechnung oder mit einem Iterationsverfahren I1' = 1 g ( I 4' ⋅ R2 + I 5' ⋅ R3 + U q ) ( R1 + R2 + R3 ) I 4' = 1 g ( I1' ⋅ R2 + I 5' ⋅ R6 ) ( R2 + R4 + R6 ) I 5' = 1 g ( I1' ⋅ R3 + I 4' ⋅ R6 ) ( R3 + R5 + R6 ) Seite 2 von Hilfsblatt 375 Maschenstromverfahren I1 2.656 I4 1 I1neu R1 R2 R2 R4 R3 R5 I1neu = 2.656 I1 I1neu I1neu I5 . ( I4 . R2 I5 . R3 . ( I1 . R2 I5 . R6 ) . ( I1 . R3 I4 . R6 ) = 7.53 . 10 I4 I4 0.845 R2 3 R3 5 R4 8 R5 10 R6 9 Uq 20 Schätzwerte, Beginn mit I1, I4, I5 =0 Uq ) R6 I4neu = 0.779 Umspeichern: I1 I1neu I6 I5 2 R6 1 I5neu 0.779 R1 R3 1 I4neu 1.5.2001 3 % I5neu = 0.845 I4 I4neu I4neu I4neu I5 I6 = 0.067 mA = 0.045 % I5neu I5 I5neu I5neu = 0.054 % Hilfsblatt/Entwurf Grundlagen der Elektrotechnik FH-Bochum Berechnungsverfahren für elektrische Netze Nichtlineare Verbraucher Prof. Dr.-Ing. Krause 370 Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Ersatz-Spannungsquelle Ri I I IK Ui UQ Ersatz-Stromquelle Ua Quelle Ra Ii Ri UQ = IK ⋅ Ri Ua Quelle Verbraucher Ua = U Q - Ui Verbraucher I = IK - Ii Ua = U Q − R i ⋅ I I = IK − Gi ⋅ U ( y = y0 - m⋅x ) ( y = y0 - m⋅x ) Häufig in der Energietechnik In der Nachrichtentechnik wird fast immer die Darstellung I = f (U) verwendet. Kennlinien der Quellen Leerlaufspannung U UQ Ra IK Arbeitsgerade, Widerstandsgerade I I U IK Kurzschlußstrom UQ Beide Darstellungen sind gleichwertig !!! 1 Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Ua = U Q - Ri ⋅ I Seite 2 Hilfsblatt 370 I = IK − vergl.: y = y0 - m ⋅ x m = Steigung = tan α = m = tan α = Ri = ∆U ∆I = dy ∆y = dx ∆ x 1 ⋅U Ri m = Steigung = tan α = ∆U = Ri ∆I m = tan α = UQ Gi = IK dy ∆y = dx ∆x ∆I 1 = Gi = ∆U Ri ∆I I 1 = = K R i ∆ U UQ Wennn Ri klein ⇒ Wenn Ri groß ⇒ Konstant-Spannungsquelle Konstant-Stromquelle U I Ri klein UQ Ri groß IK Ri groß Ri klein I U Beide Quellen können jeweils durch Regelschaltungen realisiert werden. Ri Angenähert kann eine Konstantstromquelle auch realisiert werden durch UQ a) hohe Leerlaufspannung b) großer Innenwiderstand Ra I U IK I U IK Andere anschauliche Erläuterung hierzu: Wenn der Innenwiderstand Ri ausreichend groß ist, kann sich der Verbrauchswiderstand in weiten Grenzen ändern, ohne daß sich der Strom wesentlich ändert. verändert. 2 Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Linearer Verbraucher : Seite 3 Hilfsblatt 370 I R U I = U ⋅G = U = I⋅R U R groß ∆U =R ∆I Ri Ui UQ R klein I R klein α tan α = U R R groß I U I I IK Ua Ii Ri R Ua R Quelle: U = UQ - R i ⋅ I Verbraucher: U = R ⋅ I Quelle: I = IK - Gi ⋅ U Verbraucher: I = G ⋅ U Gleichsetzen: UQ - Ri ⋅ I = R ⋅ I Gleichsetzen: IK - Gi ⋅ U = G ⋅ U I= UQ U= R + Ri IK R R = IK ⋅R i ⋅ = Ua ⋅ Gi + G Ri + R Ri + R grafische Lösung: I U Kennlinie der Quelle Kennlinie des Verbrauchers (linear) A UA IA Kennlinie des Verbrauchers A Kennlinie der Quelle (Widerstandsgerade) IA I UA Jeweils im Arbeitspunkt A abgelesen: UA und IA. 3 U Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Seite 4 Hilfsblatt 370 Variation von UQ(IK);Ri ;Ra Spannungsquelle: Ri Stromquelle: I I IK UQ U Ri a) Ändern von UQ (Ik) I IK U UQ UQ U RA IK RA U I Mit steigender Leerlaufspannung der Quelle (bzw. des Kurzschlußstromes) steigen Strom und Spannung im Verbraucher. b) Änderung von Ri I U RA IK RA UQ Gi Ri Ri U I Je größer der Innenwiderstand (d.h. je kleiner der Innenleitwert), umso weniger ändert sich der . Verbraucherstrom Mit zunehmenden Innenwiderstand sinkt die Spannung am Verbraucher. Je kleiner der Innenwiderstand, umso weniger ändert sich die Verbraucherspannung. c) Ändern von R a U I Ra groß Ra klein Ra Ra Ra groß Ra klein U I Je kleiner der Verbraucherwiderstand Ra, umso größer der Strom und umso kleiner die Verbraucherspannung (Grenzfall: Ra = 0 Ua = 0). 4 Grundlagen der Elektrotechnik Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Seite 5 Hilfsblatt 370 Nichtlineare Verbraucher: Sinnvollerweise grafisch lösen. 1. Schritt: Größen der Ersatz-Zweipol-Quelle bestimmen Leerlaufspannung UQE , Kurzschlußstrom IKE 2. Schritt: Kennlinie der Quelle (= Widerstandsgerade) zeichnen mit UQ und IKE 3. Schritt: Kennlinie des nichtlinearen Verbraucher zeichnen. 4. Schritt: Im Arbeitspunkt ablesen U und I. Beachte die Art der Darstellung: U = f (I) ; I = f (U) Tunneldiode Kennlinie der Diode: I I U U 0,7 V Lichtbogen U U I I Achtung ! Beachte die Begriffe: "negativer Widerstand" und im Gegensatz dazu "negativer differentieller Widerstand" U I α α U I α α Steigung = tan α = ∆U = R = positiv ∆I tanα = U ∆I 1 = G = = positiv ∆U R I I U α α Steigung = tan α = −∆ U = − R = negativ ∆I tan α = −∆ I 1 = −G = − = negativ ∆U R I -R U Ein negativer Widerstand ist immer eine Quelle (P negativ) d.h. der Widerstand liefert Energie. 5 Grundlagen der Elektrotechnik Prof. Dr.-Ing. Klaus Krause Nichtlineare Verbraucher Kennlinienfelder Seite 6 Hilfsblatt 370 I U A UA A IA I IA UA U Im Arbeitspunkt A ist der Widerstand R= UA IA zwar positiv, bei einem kleinen (differentiellen) Spannungszuwachs sinkt der Strom ⇒ differentieller negativer Widerstand. Anwendung : In elektronischen Schaltungen wird der Arbeitspunkt durch eine Gleichspannung oder oder durch einen Gleichstrom eingestellt. u U_ t Für kleine überlagerte Wechselströme oder Wechselspannungen wirkt das Bauteil wie ein negativer differentieller Widerstand. i I_ t 6 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Berechnungsverfahren für elektrische Netze Stabilität von Arbeitspunkten Hilfsblatt/Entwurf 380 Beispiel aus der Mechanik instabil stabil Zwei Arbeitspunkte (Gleichgewichtslagen): welche Gleichgewichtslage ist stabil? Hierzu wird ein in der gesamten Technik allgemein gültiges Prinzip angewendet: Prinzip der kleinen Störungen Es wird eine kleine Störung angenommen und die Frage gestellt: Wird die Störung ausgeregelt oder wird sie verstärkt? Stab, beweglich aufgehängt Störung: Stab wird z.B. nach rechts gedreht Wirkung: Durch die Verlagerung des Schwerpunktes entsteht ein Drehmoment, das den Stab in die Ausgangslage zurückdreht. Ergebnis: Die Störung wird ausgeregelt. Die Gleichgewichtslage ist stabil Stab, stehend unterstützt Störung: Stab wird z.B. nach rechts gedreht Wirkung: Durch die Verlagerung des Schwerpunktes entsteht ein Drehmoment, das den Stab noch weiter nach rechts dreht. Ergebnis: Die Störung wird verstärkt. Die Gleichgewichtslage ist instabil Beispiele aus der Elektrotechnik: (Beachte U=f(I) - bzw I=f(U) - Kennlinie) Gegeben sind Bauelemente mit fallender Kennlinie (Negative Steigung der Kennlinie). Es ergeben sich jeweils (mindestens) zwei Schnittpunkte mit der Widerstandsgeraden (=Kennlinie der Quelle). Welcher Arbeitspunkt ist stabil? z.B. Heißleiter oder Entladungslampe oder Lichtbogen (= Heißleiter, da das Plasma in der Lampe bzw. im Lichtbogen mit steigender Temperatur besser leitet.) Widerstandsgerade Arbeitsgerade Kennlinie der Quelle Kennlinie des Verbrauchers Seite 2 von Hilfsblatt 380 Arbeitspunkt A Störung: Strom wird größer Wirkung: Spannung der Quelle ist größer als die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird noch größer Ergebnis: Störung wird verstärkt Arbeitspunkt B Störung: Strom wird größer Wirkung: Spannung der Quelle ist kleiner als die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird kleiner Ergebnis: Störung wird ausgeregelt Arbeitspunkt A ist instabil Arbeitspunkt B ist stabil Arbeitspunkt A Störung: Strom wird kleiner Wirkung: Spannung der Quelle ist kleiner als die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird noch kleiner Ergebnis: Störung wird verstärkt. Arbeitspunkt B Störung: Strom wird kleiner Wirkung: Spannung der Quelle ist größer als die, die der Verbraucher benötigt; Strom wird größer Ergebnis: Störung wird ausgeregelt Arbeitspunkt A ist instabil Arbeitspunkt B ist stabil “Konstant” - Stromquelle “Konstant” - Spannungsquelle Der Betrieb ist für einen stabilen Arbeitspunkt nur mit einer "Konstantstromquelle" möglich, d.h. mit relativ großer Spannung und relativ großem Vorwiderstand. Bei einer Konstantspannungsquelle würde sich ein Schnittpunkt bei sehr großem Strom ergeben. Deshalb werden Glimmlampen, Leuchtstofflampen, Quecksilberdampflampen usw. immer mit einem Vorwidersatnd betrieben (bei Wechselspannung mit induktivem Vorwiderstand, d.h. mit einer Drosselspule). Bei der gleich aussehenden Kennlinie I über U (Tunneldiode, Kaltleiter) gelten entsprechende Überlegungen. FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrisches Strömungsfeld Prof. Dr.-Ing. Krause Grundbegriffe Hilfsblatt/Entwurf 400 Febr. 2002 Vorüberlegung Wichtiger Hinweis: Diese Hifsblätter können auf gar keinen Fall das Studium der Literatur ersetzen. Es handelt sich lediglich um eine einfache Zusammenfassung der Vorlesung. Experiment: Messung des elektrischen Widerstandes mit leitfähigem Papier Länge l Länge R gemessen l = 28 cm 120 kΩ l/2 =14 cm 80 kΩ l/4 = 7 cm 50 Ω Stimmt die Gleichung R gerechnet Fehler 60 kΩ 30 kΩ 25 % 40 % R= l κ ⋅A nicht mehr? Gedankenexperiment: d b h l1 l2 lges l3 Abschnittsweise Berechnung Widerstandes: R1 = l1 l ; R2 = 3 ; R 3 = ... κ ⋅A κ⋅A Wenn der Einschnitt sehr schmal ist, ist der Widerstand kaum größer als bei dem Leiter ohne Einschnitt dann kann der Leiter auch ganz durchtrennt werden. Stimmt die Gleichung R= l κ ⋅A nicht mehr? Seite 2 von Hilfsblatt 400 Elektrisches Strömungsfeld Grundbegriffe, Feldvektoren, Leistungsdichte Bei Netzwerkberechnung : Betrachtung von außen, global, über alles betrachtet I Hierbei interessiert es nicht, was im Inneren des Widerstandes geschieht. U Von außen meßbar sind die Größen : Strom I, Spannung U U 1 I = Wi derstand oder G = = = Leitwert I R U P = U ⋅ I = Leis tung Verhältnis der beiden Größen: R = Produkt der beiden Größen: In der Feldtheorie interessiert die Frage: Wie bewegen sich die Ladungen im Inneren des Leiters, d.h. lokal Bewegungslinien der Ladungen , Strömungslinien , (Kraftlinien ) Feldlinien I Q U Man unterscheidet: homogenes Feld <--> inhomogenes Feld I homogen (Feldlinien parallel) I inhomogen I Die beiden Feldgrößen (Feldvektoren) Herleitung für das homogene Feld: U = I ⋅R R= l κ ⋅A U I 1 I = ⋅ = ⋅ρ l A κ A l gilt nur im homogenen Feld κ ⋅A d.h. Leiter ist lang und dünn =I⋅ Stromdichte S; Strom, bezogen auf die Fläche in A/mm2 Elektrische Feldstärke E; Spannung, bezogen auf die Länge in V/m Seite 3 von Hilfsblatt 400 Allgemein: U = I ⋅R G 1 G G E=S ⋅ ρ =S ⋅ κ außen innen 2 Feldvektoren Leistungsdichte G E= elektrischeFeldstärke [E ]= V/m ; kV/m ; kV/mm G G G S=G=j= elektrische Stromdichte [S ] = A/mm 2 ; A/cm 2 dP W in 3 dV mm dP = E ⋅ S = S 2 ⋅ ρ = E 2 ρ = E 2⋅ κ p = P′ = dV V A W W [ p ] = [E ⋅ S ]= ⋅ 2 = 3 oder m m m mm 3 p = P′ = Die Leistungsdichte gilt in einem ganz bestimmten Punkt des Raumes. Sie ist nicht im gesamten Leiter konstant Seite 4 von Hilfsblatt 400 Analogie aus der Mechanik: Elektrotechnik: Mechanik: I I F F dl l U von außen messbar: Kraft F [F] = N Strom I [I] = A Verlängerung ∆l [∆l] = m, mm Spannung U [U] =V bezogene Größen, im Inneren 1.) Kraft F, bezogen auf die Fläche A σ= F A = Kraftdichte = (mechanische ) Spannung N mm 2 ------------------------------------------------------------ [σ ] = 2.) Verlängerung ∆l, bezogen auf die Länge l ∆l = Dehnung l ------------------------------------------------------------- [ε ] = 3.) Pr oportionalitätsfaktor E= σ = (spezifische) Materialkonstante ε = Elastizitätsmodul 1.) Strom I, bezogen auf die Fläche A I = Stromdichte S= A = ( elektrische Flußdichte) A [S ] = 2 mm -----------------------------------------------------------2.) Spannung U, bezogen auf die Länge l U [E ] = = elektrische Feldstärke l ------------------------------------------------------------3.) Proportionalitätsfaktor S 1 κ= = = (spezifische) Materialkonstante E ρ = elektrische Leitfä higkeit Zusammenfasung der elektrischen Feldgrößen: JG JG G S = G = j = Stromdichte JG E κ ρ A mm 2 V kV = elektrische Feldstärke [E ] = , m cm 1 S = elektrische Leitfähigkeit [κ ] = = Ω⋅m m Ω ⋅ mm 2 = spezifischer Widerstand [ρ ]= Ω ⋅ m ; m [S ] = Beachte: Umrechnung Ω m in Ω mm2/m siehe früheres Hilfsblatt Seite 5 von Hilfsblatt 400 Elektrisches Strömungsfeld Feldlinien, Äquipotentiallinien Feldlinien = Strömungslinien, Flußlinien, Kraftlinien = Linien, auf denen sich die Ladungen bewegen (mittlere “Drift”bewegung) = Linien auf denen die Kraft auf die Linien wirkt. Äquipotentiallinien, Äquipotentialflächen = Linien (Flächen), auf denen das Potential konstant ist. Potential ϕ = elektrische Spannung gegenüber einem elektrisch neutralen Bezugspunkt elektrische Spannung = Potentialdifferenz ∆ϕ = ϕ12 − ϕ1 vergleiche: Wasserturm Manometer (Druck) Druckdifferenz Verbraucher Seite 6 von Hilfsblatt 400 Elektrisches Strömungsfeld Feldlinien, Äquipotentiallinien Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander = orthogonale Trajektorien z.B. homogenes Feld ϕ =50V 25% ϕ =100V 25% ϕ =150V ϕ =200V 25% 25% Äquipotentiallinie I I Feldlinie U=200 V z.B.inhomogenes Feld Achtung: E = U l gilt nur für das homogene Feld. sonst abschnittsweise rechnen: E = ∆U ∆l Bereiche hoher Stromdichte= Bereiche mit hoher Leistungsdichte= Bereiche mit starker Erwärmung = Zerstörungsgefahr JG Stromdichte S JJK I S1 = S1 = A1 JJK I S2 = S2 = A2 E1 = S1 ⋅ ρ E2 = S 2⋅ ρ JG el. Feldstärke E = ∆U ∆l1 = ∆U ∆l 2 FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Elektrisches Strömungsfeld Widerstand inhomogener Anordnungen Verlauf von Feldstärke und Stromdichte Prof. Dr.-Ing. Krause 410 Febr. 2002 Zur Erinnerung: homogenes Feld: R = l κ ⋅A gilt ausschließlich für homogenes Feld, d.h. wenn der Leiter lang und dünn ist. Widerstand inhomogener Anordnungen 1.) Isolationswiderstand koaxialer Zylinder = Koaxial-Kabel Außenleiter z.B. Cu Innenleiter z.B. Cu Rcu = RL RIso Si Sa Feldlinien l Isolierstoff ri ra Rcu = RL= Leitungswiderstand,= Längswiderstand (Verluste beim Energietransport zum Verbraucher = Kupferverluste) RIso = Isolationswiderstand, Ableitwiderstand (Verluste in der Isolation) Rcu = RL= Leitungswiderstand = homogenes Feld, (Rechnung wie bisher) RIso = Isolationswiderstand R= l κ ⋅A = inhomogenes Feld (Strom fließt von innen nach außen) gilt nur für homogene Felder Für Isolationswiderstand (Strom fließt von innen nach außen), inhomogenes Feld: gesucht: differentiell kleines Widerstandselement, in dem das Feld abschnittsweise homogen ist → 0 im Abstand r. = unendliches dünnes Rohr mit der Wandstärke dr→ Seite 2 von Hilfsblatt 410 dR = ri dr r ra Länge der Strombahn dr Wandstärke des dünnenRohres dr = κ ⋅ Elektrodenoberfläche κ ⋅ Mantelfläche des dünnen Zylinders dr κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l Alle dR sind in Reihe geschaltet R = Summe aller dR dR = Unendlich viele dünne Zylinder w erden ineinander geschachtelt von r = ri ra R = ∫ dR = ri R= 1 κ 2π l bis r = ra ra dr 1 1 ra = ⋅ ln [r ]ri = ⋅ ln (ra )− ln( ri ) κ π κ π r 2 l 2 l ri ∫ ln (ra ri ) Widerstand Koaxial- Kabel κ 2π l Achtung: je länger das Kabel, umso kleiner ist der Isolationswiderstand Seite 3 von Hilfsblatt 410 2.) Isolationswiderstand konzentrischer Kugeln Widerstandselement mit abschnittsweise homogenem Feld = dünne Kugelschale (Wandstärke = dr → 0 ) ri dr r ra Länge Abstand der Elektroden dr = κ ⋅ Fläche κ ⋅ Fläche der Elektroden dr dR = alle dR in Reihe d.h. dR summieren κ ⋅ 4π r 2 ra ra ra 1 dr 1 1 1 1 1 R= ∫ dR = = ⋅ − = − − − 2 ∫ r 4 4 4 κ π r κ π κ π ri ri ri ra ri dR = konzentrische Kugeln 1 − 1 r ra R == i κ ⋅ 4 ⋅π (Die technische Anwendung ist sicherlich sehr selten, wichtig ist der Sonderfall ra → ∞ ) Wichtiger Sonderfall ra → ∞ U rk R= Isolierstoff z.B. Luft oder Wasser ra → ∞ 1 1 − rk ra → ∞ R= κ 4π 1 κ 4π rk ra → ∞ bedeutet, dass 1/ra gegenüber 1/ri vernachlässigt werden kann z.B. ra = 300 cm ri = 3cm 1 1 kann dieser Anteil vernachlässigt werden? − 3 300 1 1 − = 0,3333 − 0, 0033 3 300 Fehler =1%, wenn ra → ∞ angenomme n wird Seite 4 von Hilfsblatt 410 z.B. Kugel in einem Gebäude oder Kugel in Salzwasser ri ra Sehr komplizierte Berechnung, aber wenn 1/ra gegenüber 1/ri vernachlässigt werden kann, spielt die äußere Form des Raumes keine Rolle Praktisches Problem: Leitfähigkeit der Luft oder von Meerwasser Wenn die Elektroden kompliziert ist, ist eventuell eine grobe Näherung als Kugel möglich, auch wenn der Fehler dabei relativ groß wird. Weitere Anwendung: Ein Erder soll näherungsweise als Halbkugelerder angenommen werden. z.B. ist die “Schrittspannung” gesucht. R = 2⋅ rE ds Us Schrittspannung 1 κ E ⋅ 4 ⋅ π ⋅ rE Problem: Daten für die Leitfähigkeit des Erdreichs Erdreich ra→ ∞ Bodenart Spezifischer Erdwiderstand ρE in Ω.m Moorboden 5 bis 40 Lehm, Ton, Humus 20 bis 200 Sand 200 bis 2500 Kies 2000 bis 3000 Verwittertes Gestein, Gebirge Meist unter 1000 Granit, Grauwacke 2000 bis 3000 Spezifischer Erdwiderstand für unterschiedliche Bodenarten nach DIN VDE 0141 Seite 5 von Hilfsblatt 410 3.) Scheibe, “Tunnel” l dr α r ra l=h ri U I I Diesen sogenannten “Tunnel” kann man sich vorstellen als einen gebogenen Schreibblock. Widerstandselement mit abschnittsweise homogenem Feld = dünnes Blatt (Blattstärke = dr → 0 ) dR = Länge p ⋅ 2 ⋅π ⋅ r = κ ⋅ Fläche κ ⋅ dr ⋅ l α α oder = 2π 3600 Alle dR sind parallel, d.h. es müssen di e Leitwerte dG = 1/dR p = Anteil vom Vollkreis = κ ⋅l G= ∫ dG= p ⋅ 2 ⋅π ri ra R= ra ∫ ri p ⋅ 2 ⋅π κ ⋅ l ⋅ ln (ra ri ) dr κ ⋅ l ⋅ ln (ra ri ) = r p ⋅ 2 ⋅π A= A ∞ → ↑ ϕ ω τ ≥ ± ″ Ω ∆ ϑ π → ↑ ↓ ⇔⇒√ Seite 6 von Hilfsblatt 410 Elektrisches Strömungsfeld Verlauf von Stromdichte und Feldstärke Koaxial- Kabel ra ri r U r S(r) ges.: Feldstärke und Stromdichte im Abstand r (vom Mittelpunkt). Der Strom muß durch die Hüllfläche ( = Zylinderfläche = 2πrl ) hindurchfließen. S (r ) = I I I 1 = = ⋅ A(r ) 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ l r I U R 1 E (r ) = ⋅ = κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ l r mit U = I ⋅ R E =S⋅ρ = S κ ln(ra ) ri R= κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ l U 1 ⋅ r ln( a ) r ri E,S Bei zylindrischen Anordnungen nehmen die physikalischen Größen mit 1/r ab. A(r) = Zylinderfläche = 2πrl. Ei Ea E=0 ri r ra Konzentrische Kugeln ( auch ra → ∞ ) S (r ) = ri r I 4 ⋅π ⋅ r 2 S (r ) I U R = κ κ ⋅ 4 ⋅π ⋅ r 2 U 1 E (r ) = i 2 1 1 r − ri ra E (r ) = S(r) ra→ ∞ Bei kugelförmigen Anordnungen nehmen die physikalischen Größen quadratisch mit dem Abstand ab. Homogenes Feld; langer, dünner Leiter d l 1 1 − ri ra R= κ ⋅ 4 ⋅π E= U l S= I = konstant A Seite 7 von Hilfsblatt 410 Spannung und Feldstärke Spannung = Feldstärke . Weg Im inhomogenen Feld ist die Feldstärke E längs des Weges nicht konstant; d.h. man muß abschnittsweise Feldstärke . kleinem Wgstückchen summieren (integrieren). U = Summe (Feldstärke E iWegstückchen ds) d s → 0 U = ∫ E ⋅d s beachte die jeweilige Funktion E(s) bzw E(r) Spannung zwischen zwei Punkten 1.) Homogenes Feld Die Punkte A und B liegen auf Äquipotentiallinien UAB UAC A s UAB = UAC = U12 Im homogenen Feld ist die Feldstärke längs des Weges konstant d.h. U = E . Weg U U12 = E ⋅ s = E ⋅ s = U x −x ⋅s=U⋅ 2 1 l l 2.) Koaxiale Zylinder, Koaxialkabel r1 Die Feldstärke ist längs des Weges, d.h. längs des Radius von innen nach außen nicht konstant; es muß abschnittsweise Feldstärke E über das Wegstückchen dr integriert werden, und zwar von ri bis ra. r1 U12 = U12 r2 r2 r1 r1 ∫ E ⋅dr = U12 = U ⋅ r2 r2 U U dr ⋅ dr = ⋅∫ ln( ra / ri) ⋅ r ln( ra / ri) r1 r r1 ∫ E ⋅ dr = ∫ ln( r2 / r1 ) ln( ra / ri ) 3.) Konzentrische Kugeln U Blitz ra r1 r2 U12 1/ r − 1/ r2 U12 = U ⋅ 1 1/ ri − 1/ ra r1 rE ra→ ∞ Us = U12 Siehe auch Übung: Halbkugelerder und Schrittspannung FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrisches Strömungsfeld Kabel, Belastbarkeit von Kabeln Prof. Dr.-Ing. Krause Hilfsblatt/Entwurf 420 Febr. 2002 Feldvektor Stromdichte S Ganz wichtige Bedeutung: Belastbarkeit von Kabeln vergleiche: mechanische Belastung von Stäben und Seilen S= I A Die zulässige Belastung des Kabels (d.h. die zulässige Stromdichte) ist durch die Erwärmung des Kabels begrenzt. z.B. langer, runder Leiter. Für den Strom, den ein Leiter führen kann, ist im Prinzip der Querschnitt A maßgebend. Für die Kühlung ist dagegen die Oberfläche O des Leiters maßgebend. A = π ⋅ r2 O = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l Der Querschnitt des Kabels steigt quadratisch mit dem Durchmesser, die Oberfläche (für die Kühlung maßgebend) steigt aber nur linear mit dem Durchmesser. Wird der Durchmesser verdoppelt, steigt der Querschnitt auf das Vierfache, die für die Kühlung entscheidende Oberfläche steigt aber nur auf das Doppelte. Deshalb darf der zulässige Strom nicht auf das Vierfache steigen. z.B. A1 = 1mm 2 A2 = 4 ⋅ A1 = 4 mm 2 I1 = 15 A I 2 = 34 A A2 =4 A1 I2 ≈ 2,3 I1 Achtung: Die zulässigen Ströme bzw. Stromdichten eines Kabels hängen neben dem Querschnitt auch von der Art des Kabels, von der Anzahl der Adern und von der Verlegeart ab, d.h. von der Kühlung. Seite 2 von Hilfsblatt 420 Elektrisches Strömungsfeld Kabel, Belastbarkeit von Kabeln z.B. Werte nach VDE, abhängig von der Verlegeart A I S 0,75 1 1,5 2,5 4 6 10 16 25 35 50 70 95 120 150 185 12 15 18 26 34 44 61 82 108 135 168 207 250 292 335 382 16 15 12 10 8,5 7,3 6 5 4,3 3,9 3,43 3 3 2,4 2,2 2,1 Querschnitt A in mm2 Strom I in A Stromdichte in A/mm2 Da sich in der doppellogarithmischen Darstellung jeweils Geraden ergeben, kann sehr leicht eine Gleichung als zugeschnittene Größengleichung ermittelt werden: A= 13, 7 1.6 ⋅I 1000 I=14,6 ⋅ A 0,63 Querschnitt A in mm2 Strom I in A Achtung: Diese Gleichung ist nur eine grobe Näherung zur Abschätzung. Verbindlich sind die jeweiligen Normen und regionalen Vorschriften FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrisches Strömungsfeld Lehmannsches Verfahren Prof. Dr.-Ing. Krause Grafisches Näherungsverfahren Gilt für ebene Anordnungen Hilfsblatt/Entwurf 430 Febr. 2002 für 3-dimensionale Anordnungen siehe Spezial- Literatur Grundlage des Verfahrens: ∆ ∆U l Feldlinien und Äquipotentiallinien stehen senkrecht aufeinander = orthogonale Trajektorien ∆l I I U 1. Schritt: Feldlinien oder Äquipotentiallinien schätzen (nach “Gefühl” zeichnen) 2. Schritt Die jeweils “anderen” Linien senkrecht dazu zeichnen wichtig: Die entstehenden “Kästchen” müssen Quadrate sein (oder quadratähnlich). 3. Schritt: Die zuerst gezeichneten Linien korrigieren. Wichtig: Die Kästchen müssen eventuell noch weiter unterteilt werden. Wichtig: Wenn die Kästchen ausreichend klein sind, ist das Feld näherungsweise homogen dann gilt: E = ∆U ∆l ∆U und ∆l aus der Zeichnung entnehmen Es kann die Stelle mit der maximalen Feldstärke = die Stelle mit der maximalen Stromdichte und der maximalen Leistungsdichte und der maximalen Erwärmung ermittelt werden. Seite 2 von Hilfsblatt 430 Lehmannsches Verfahren Ermittlung des Widerstandes d R= I I h l l = κ ⋅ A κ ⋅h⋅d l Für ein Quadrat gilt: I R= I h l κ ⋅h⋅d l =h R= 1 κ ⋅d unabhängig von der Größe des Quadrates l I R= I 1 κ ⋅d I I R= 1 κ ⋅d Länge l = n ⋅ a Höhe h = m ⋅ a d a R= n Quadrate in Reihe m Quadrate parallel 1 n ⋅ κ ⋅d m a l Der Widerstand beliebig komplizierter Anordnungen (z.B. auf Leiterplatinen) kann einfach durch Abzaählen der Kästcher ermittelt werden. Seite 3 von Hilfsblatt 430 Lehmannsches Verfahren Widerstand eines Leiters mit einem Einschnitt homogen 1 10 1 R= ⋅ = ⋅2 κ ⋅d 5 κ ⋅d R= R= 1 14 1 ⋅ = ⋅ 2,3 κ ⋅d 6 κ ⋅d 1 24 1 ⋅ = ⋅3 κ ⋅d 8 κ ⋅d Dieses Verfahren ist universell anwendbar in: Elektrotechnik, Mechanik, Wärmelehre, Strömungslehre usw. FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrostatisches Feld Prof. Dr.-Ing. Krause Einführung, die beiden Feldvektoren Allgemeines: Ursache des elektrischen Feldes Ursache des elektrostatischen Feldes Ursache des magnetischen Feldes Gravitationsfeldes Hilfsblatt/Entwurf 450 März. 2002 = Ladungen = ruhende Ladungen = bewegte Ladungen Ursache des = Massen Was ist ein Feld? Ein Feld ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes, verursacht durch......, erkennbar an Kräften auf ....... Gravitationsfeld ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes,verursacht durch Massen, erkennbar an Kräften auf Massen. Elektrostatisches Feld (Ursache = Ladung) ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes, verursacht durch ruhende Ladungen, erkennbar an Kräften auf Ladungen (sowohl ruhende als auch bewegte). Magnetisches Feld (Ursache = bewegte Ladungen) ist ein besonderer (erregter) Zustand des Raumes,verursacht durch bewegte Ladungen, erkennbar an Kräften auf bewegte Ladungen (=stromdurchflossene Leiter oder ferromagnetische Stoffe). Die beiden Feldvektoren D und E Erster Feldvektor: Elektrische Feldstärke E [E] = V/m q Q q Q F F - Die Ladung Q erzeugt das Feld. - Auf eine (Probe-) Ladung q im Punkt P des Raumes wirkt eine Kraft F. - Die Stärke des elektrostatischen Feldes an der Stelle der Probeladung q wird durch die Elektrische Feldstärke E beschrieben F = q⋅E E= F q F N N ⋅m Ws VAs V = = = = = q As As ⋅ m Asm As m [E ] = Natürlich geht von der Ladung q auch ein Feld aus, das eine Kraft auf die Ladung Q bewirkt Seite 2 von Hilfsblatt 450 Anschschaulich läßt sich das Feld durch Feldlinien beschreiben. Feldlinien (früher: Kraftlinien) = Linien auf denen die Kraft auf die Ladung wirkt. Zwei Ladungen Eine Ladung Hinweis: Quellenfeld - Wirbelfeld Die Feldlinien im elektrostatischen Feld haben einen Anfang und ein Ende d.h. eine Quelle und eine Senke, es ist ein Quellenfeld. Quelle Senke Seite 3 von Hilfsblatt 450 Zweiter Feldvektor: Elektrische Flußdichte D alter Name: Verschiebungsdichte [D] = As/m2 Von einer Ladung geht ein “elektrischer Fluß” aus. In Wirklichkeit fließt oder strömt nichts aus der Ladung heraus. Der Begriff wird in Anlehnung an Strömungsvorgänge gebraucht. Die Stärke oder Intensität des Feldes in einem bestimmten Punkt des Raumes wird folgendermaßen berechnet: Durch diesen Punkt wird eine “Hüllfläche” gelegt, die die Ladung einschließt (einhüllt). Der von der Ladung erzeugte Fluß muß naturchlich auch durch diese Hüllfläche hindurchtreten. Die charakteristische Größe ist die Flußdichte D, d.h. die Ladung, geteilt durch die Hüllfläche. D=Ursache(Ladung), bezogen auf die Fläch e Ursache = Ladung Q = A Hüllfläche durch den Punkt P Die Hüllfläche A ist eine geeignete Fläche, die die Ladung einhüllt. = [D ] = [Q ] = As [A] mm 2 Die Materialkonstante ε ε0 εr ε = ε0 . εr = Permittivität = Dielektrizitätskonstante (vergl. Permeabilität beim Magnetfeld) = absolute Permittivität = absolute Dielektrizitätskonstante = Influenzkonstante = relative Permittivität = Dielektrizitätszahl ε0. εr. gilt im Vakuum gibt z.B. an, wieviel mehr Energie ein Kondensator speichern kann, wenn er mit einem Material (=Dielektrikum) an stelle des Vakuums gefüllt ist. [ε ]= As F = Vm m ε 0 = 8,86 ⋅10 −12 F = Farad As pF = 8,86 Vm m Luft εr = 1 Isolierstoffe.... .................εr = 2-8 Wasser..............................εr = 80 εr ≥ 1000 spezielle Dielektrika Seite 4 von Hilfsblatt 450 Beispiele einfacher, symmetrische Ladungsanordnungen: Die felderzeugende Ladung Q erzeugt einen elektrischen Fluß. Es fließt oder strömt natürlich nichts aus der Ladung heraus; es ist eine Hilfsvorstellung aus dem Strömungsfeld. In jedem Punkt des Raumes kann die Stärke des Feldes folgendermaßen bestimmt werden: Durch diesen Punkt wird eine Fläche gelegt, die die Ladung einhüllt (Hüllfläche); z.B. eine Kugel bei einer kugelförmigen Ladung. Der von der Ladung ausgehende Fluß muß durch diese Fläche hindurchtreten. Der Fluß, geteilt durch diese Hüllfläche ist die Flußdichte; eine Größe, bezogen auf die Hüllfläche. 1. Kugelladung bzw. Punktladung Die geeignete Hüllfläche ist aus Symmetriegründen eine Kugel mit der Fläche A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 D =D= Q 1 ∼ 4 ⋅π ⋅ r 2 r 2 2. Zylinderladung bzw. Linienladung Die geeignete Hüllfläche ist aus Symmetriegründen ein Zylinder mit der Fläche: A = 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l Boden und Deckel des Zylinders werden vernachlässigt. D =D= Q 1 ∼ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l r 3. Platten D =D= Q 2⋅ A D = D = 2⋅ Q Q = 2⋅ A A FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Elektrostatisches Feld 460 Kondensator, Kapazität Eine allgemeine Feldanordnung besteht aus zwei Elektroden. Das Material zwischen den Elektroden (das Dielektrikum) ist durch die Permittivität ε (Dielektrizitätskonstante) und die Leitfähigkeit charakterisiert. Diese Anordnung ist ein Kondensator. Dielektrikum mit ε = ε0.εr An den Elektroden liegt die Spannung U Dadurch werden die Platten geladen mit der Ladung Q. Die Kapazität C (das Fassungsvermögen) ist das Verhältnis von Ladung zu Spannung. C= Q U [C ] = [Q ] = As = F [U ] V Farad (nach Faraday) Global d.h. von außen wird die Anordnung beschrieben durch: Spannung U, Ladung Q, Proportionalitätsfaktor = Kapazität C. Lokal d.h. im Inneren wird das Feld beschrieben durch: Elektrische Flußdichte D, elektrische Feldstärke E, Materialkonstante = Permittivität ε = D/E Reihenschaltung Q = Q1 = Q2 = Q3 U = U1 + U 2 + U 3 + ... 1 1 =∑ Cges Cn Parallelschaltung U= Q Q Q Q = + + Cges C1 C 2 C 3 Q U 1 1 1 1 = + + Cges C1 C 2 C 3 U = U1 = U 2 = U 3 Q = Q1 + Q2 + Q3 + ... Q = C ⋅U C ges ⋅ U = C1 ⋅ U + C 2 ⋅ U + C 3 ⋅ U + ... Cges = ∑ C n Seite 2 von Hilfsblatt 460 Kapazität einfacher Anordnungen 1. Homogenes Feld, Plattenkondensator CPlatte = ε0 ⋅εr ⋅ A s s 2. Koaxiale Zylinder, Koaxialkabel Isolierstoff ri ra Feldlinien l Inhomogenes Feld: gesucht wird ein differentiell kleines Stückchen, ein Kondensatorelement mit der Kapazität dC, in dem das Feld abschnittsweise homogen ist = dünne Zylinderschale mit der Wandstärke dr → 0 dC = ε ⋅ Fläche der Elektroden Abstand der Elektroden dr r ε ⋅2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l dr r rr ln(ra ) 1 r 1 1 dr ri =∫ = ⋅∫ = C ri dC ε ⋅ 2 ⋅ π ⋅ l ri r ε ⋅ 2 ⋅ π ⋅ l alle dC in Reihe d.h. ln( ra ) ri R= κ ⋅ 2 ⋅π ⋅ l ε ⋅ ε ⋅ 2 ⋅π ⋅ l C= 0 r r ln( a ) ri τ = R ⋅C = ρ ⋅ε = ε dC = κ Zeitkonstante 3. Konzentrische Kugeln dr Inhomogenes Feld: gesucht wird ein differentiell kleines Stückchen, ein Kondensatorelement mit der Kapazität dC, in dem das Feld abschnittsweise homogen ist = dünne Kugelschale mit der Wandstärke dr → 0 r ri ra ε ⋅ Fläche der Elektroden dC = Abstand der Elektroden alle dC in Reihe d.h. ε ⋅4 ⋅ π ⋅ r 2 dC = dr 1 1 − rr rr 2 ri ra 1 1 1 dr = = ⋅ = C ∫ri dC ε ⋅ 4 ⋅ π ∫ri r ε ⋅ 4 ⋅π Seite 3 von Hilfsblatt 460 1 1 − ri ra R= κ ⋅ 4 ⋅π ε ⋅ ε ⋅ 4 ⋅π C= 0 r 1 1 − ri ra τ = R ⋅C = ρ ⋅ε = ε κ Zeitkonstante Sonderfall: ra → ∞ , oder ra so groß, daß 1/ra gegenüber 1/ri vernachlässigt werden kann. C= ε 0 ⋅ ε r ⋅ 4 ⋅π = ε 0 ⋅ ε r ⋅ 4 ⋅ π ⋅ ri 1 1 − ri ra → ∞ z.B. eine einzelne Kugel (ri = rk) in einem großen, geerdeten Raum. rk = 1 cm; dk = 2 cm C = ε 0 ⋅ ε r ⋅ 4 ⋅ π ⋅ ri = 8,86 ⋅10 −12 As ⋅1 ⋅ 4 ⋅ π ⋅10 − 2 m = 1,1 pF Vm ri = 1cm in Luft C = 1,1 pF 4. Doppelleitung rL C= a ε 0 ⋅ ε r ⋅π ⋅ l siehe Literatur ln( a ) rL Feldbild der Doppelleitung: 5. Einfachleitung über Erde h rL C= ε 0 ⋅ ε r ⋅ 2 ⋅π ⋅ l siehe Literatur ln( 2h ) rL Seite 4 von Hilfsblatt 460 Geschichtetes Dielektrikum a. Plattenkondensator C1 = C= ε 0 ⋅ ε r1 ⋅ A d1 C2 = ε 0 ⋅ε r2 ⋅ A d2 1 1 1 = + + ... C C1 C 2 ε0 ⋅ A d1 d 2 + + ... ε r1 ε r 2 b. Zylinderkondensator, Koaxialkabel nur ein Dielektrikum C= C= ε 0 ⋅ ε r ⋅ 4 ⋅π 1 1 − ri ra ε 0 ⋅ 2 ⋅π ⋅ l r r ln( 1 ) ln( r2 ) ln( a ) ri r1 r2 + + ε r1 ε r2 ε r3 Häufiger Sonderfall: Zwei Schichten, eine Schicht ist Luft = teilisolierter Zylinder c. Konzentrische Kugeln nur ein Dielektrikum ε ⋅ ε ⋅ 2 ⋅π ⋅ l C= 0 r ln( ra ) ri C= 1 1 − ri r1 ε r1 ε 0 ⋅ 4 ⋅π 1 1 − ri r2 + + ε r2 1 1 − r2 r a ε r3 Häufiger Sonderfall: teilisolierte Kugel mit ra → ∞ C= 1 1 − rk r1 ε rIso ε 0 ⋅ 4 ⋅π ε 0 ⋅ 4 ⋅π = 1 1 1 1 − − rk r1 1 r1 ra → ∞ + + ε rIso r1 ε rLuft = 1 FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Elektrostatisches Feld Feldstärke als Funktion der Spannung Hilfsblatt/Entwurf 470 März. 2002 Die einfachen, hier behandelten symmetrischen Anordnungen werden immer nach dem gleichen Schema berechnet: uv Q D = D = A 2.) geeignete Hüllfläche einsetzen z.B. Kugel A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 oder 1.) erster Feldvektor A = 2 ⋅ π ⋅ r 2⋅ l 3.) Q ersetzen durch Q = C ⋅U, hier di e entsprechende Kapazität einsetzen. 4.) B ei geschichtetem Dielektrikum darauf ach ten, bei welchem Radius und in welchem Dielektrikum die Feldst ärke gesucht ist. 1.) Platten E= U s Achtung: Die Feldstärke ist im Prinzip konstant --aber-beachte das Randfeld des Kondensators an den Rändern der Plattenan starke Felderhöhung Seite 2 von Hilfsblatt 470 2.) Koaxialkabel = konzentrische Zylinder Hüllfläche = Zylinder A = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ l E= C ⋅U 1 D Q = C ⋅U = ⋅ C einsetzen = ε ε⋅A ε ⋅ 2 ⋅π ⋅ l r E= U 1 ⋅ r ln( a ) r ri max E bei r = ri Die Feldstärke ist unabhängig vom Dielektrikum, wenn der gesamte Zwischenraum mit einem einzigen Isolierstoff ausgefüllt ist. 3.) Konzentrische Kugeln Hüllfläche = Kugel A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 E= D Q = C ⋅U C ⋅U 1 = = ⋅ ε ε⋅A ε ⋅ 4 ⋅π r 2 E= U 1 1 1 r − ri ra C einsetzen ⋅ max E bei r = ri Die Feldstärke ist unabhängig vom Dielektrikum, wenn der gesamte Zwischenraum mit einem einzigen Isolierstoff ausgefüllt ist. Sonderfall: ra → ∞ (Kugel in einem Raum, dessen Wände ausreichend weit entfernt sind) E= U 1 1 − ri ra → ∞ ⋅ 1 U = ⋅ ri r2 r2 max E bei r = ri Frage: mit welcher Spannung darf eine einzelne Kugel in Luft geladen werden ? Gegeben ist häufig die maximal zulässige Feldstärke. Seite 3 von Hilfsblatt 470 Optimaler Innenradius Wenn der Radius des Innenleiters (Zylinder oder Kugel) klein ist, ist die Feldstärke am Innenleiter wegen der starken Krümmung sehr groß. Wenn der Radius des Innenleiters dagegen groß wird, wird die Feldstärke am Innenleiter groß, weil der Abstand der Elektroden nun gering ist. Es gibt einen optimalen Innenradius, bei dem die Feldstärke am Innenleiter ein Minimum erreicht. Der optimale Innenradius liegt vor, wenn sich die Funktion nicht mehr ändert Eri dEri =0 dri Emin ropt ra für Minimum der Feldstärke am Inn enradius ri Kugeln Eri = U 1 ⋅ 2 1 ri − 1 ra ri Es ist einfacher, 1/Eri zu differenzieren. Auch dann wird der Radius für das Minimum von Eri ermittelt. 1 r2 = k ⋅ (1 ri − 1 ra )⋅ ri2 = k ⋅ ri − i Eri ra 1 2 ⋅ ri = k ⋅ 1 − =0 ra E ri r ⇒ ri = a 2 d dri riopt = ra 2 Optimaler Innenradius für das Minimum der Feldstärke Eri am Innenradius Zylinder Eri = U 1 ⋅ ln (ra ri ) ri 1 = k ⋅ ln (ra ri )⋅ ri Eri 1 d (k ⋅ ln (ra ri )⋅ ri ) = 0 = E ri dri nach kurzer Zwischenrechnung ra ln (ra ri ) = 1 ⇒ =e riopt d dri ra =e riopt Optimaler Innenradius für das Minimum der Feldstärke Eri am Innenradius Kompliziertere Anordnungen: Angaben ohne Herleitung Seite 4 von Hilfsblatt 470 Seite 5 von Hilfsblatt 470 Vergleiche die folgenden Anordnungen Platten Kugeln Zylinder U = 30 kV; s = 6 cm; ri = 1 cm; ra = 7 cm d.h. in allen Fällen ist der Abstand der Elektroden s = 6 cm Platten EPl = U 30 kV kV = =5 s 6 cm cm homogenes Feld, Randfeld vernachlässigt Zylinder Emax = E(ri ) = U 1 30 kV 1 kV ⋅ = ⋅ = 15 ≈ ln (ra ri ) ri ln (7 1) 1cm cm Emax = E(ri ) = U 1 30 kV 1 kV ⋅ 2= ⋅ 2 2 = 35 ≈ 7 . EPlatten 1 ri − 1 ra ri 1 1cm − 1 7cm 1 cm cm 3 . EPlatten Kugeln Die Innenelektrode bei den Kugeln ist am stärksten gekrümmt, deshalb ist bei der Kugel die max. Feldstärke am größten. FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrostatisches Feld Prof. Dr.-Ing. Krause Geschichtetes Dielektrikum Hilfsblatt/Entwurf 480 März. 2002 Geschichtetes Dielektrikum a.) Platten E= D Q = C ⋅U C ⋅U = = ε ε⋅A ε⋅A En = D1 = D2 = D3 C einsetzen U d d d ε rn ⋅ 1 + 2 + 3 + ... ε r1 ε r 2 ε r 3 εrn.von der Schicht einsetzen, in der die Feldstärke gesucht wird Vorsicht: Wenn der Raum zwischen den Platten mit einem Isolierstoff (=Dielektrikum) ausgefüllt ist, aber eine Luftschicht bleibt: DIso = DLuft ε r , Iso ⋅ E Iso = ε r ,Luft ⋅ E Luft mit ε r ,Luft = 1 ELuft = E Iso ⋅ ε r , Iso z.B. Isolierstoff mit εr,Iso = 6. Die Feldstärke im Luftspalt ist 6 mal größer als im Isolierstoff !! E Luft = U d d ε rLuft ⋅ L + Iso ε rLuft ε rIso E ohne = U d Achtung: Lufteinschlusse vermeiden !! Gefahr von Teilentladungen Seite 2 von Hilfsblatt 480 b.) Konzentrische Zylinder E= D Q = C ⋅U C ⋅U = = ε ε⋅A ε⋅A E r,n = C einsetzen U ln( r1 ) ln( r2 ) ln( ra ) ri r1 r2 ε rn ⋅ rn ... + + ε ε ε 1 2 3 r r r Beim Übergang von einer Schicht in die andere ist die Fluß an der Grenzschicht in beiden Schichten konstant, aber die Feldstärke ändert sich sprungartig. Sonderfall: Teilisolierte Zylinderanordnung. Innere Schicht = Isolierstoff; äußere Schicht = Luft. E r,n = U ln( r1 ) ln(ra ) ri r1 ε rn ⋅ rn + ε ε r 2 rIso E max Luft = U ln( ) ri ra 1 ⋅ rn ) + ln( r1 ε rIso r1 ε r 2 = ε rLuft = 1 Die maximale Feldstärke in Luft bei r = r1 Bei r1 ändert sich die Feldstärke sprungartig um εrIso . Sprung um den Faktor εrIso Seite 3 von Hilfsblatt 480 c.) Konzentrische Kugeln, teilisolierte Kugel E r,n = E= E= U ln( r1 ) ln(ra ) ri r1 ε rn ⋅ rn + ε ε r 2 rIso Q = C ⋅U D Q = = ε ε ⋅ A ε ⋅ 2 ⋅π ⋅ r ⋅ l ε r 2 = ε rLuft = 1 C einsetzen U 1 1 r −r ε rn ,r ⋅ rn ⋅ i 1 ε r1 + 1 1 − ri r2 ε r2 + 1 1 − r2 r a ε r3 Sonderfall: Teilisolierte Kugel mit ra → ∞ Eε , r = U 1 1 − r1 2 ri εr ⋅ r ⋅ ε r1 + 1 1 − r1 ra → ∞ εr2 = 1 Maximum der Feldstärke in Luft bei r = r1 Emax Luft = U 1 1 r −r 2 r1 ⋅ k 1 ε rIso + 1 r1 Sprung um den Faktor εrIso FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Hilfsblatt/Entwurf Elektrostatisches Feld Prof. Dr.-Ing. Krause 490 Energie, Kraft, Leistung März. 2002 Allgemeines: C i= Strom = Änderung der Ladung i dQ dt mit Q = C ⋅ U u du i =C⋅ dt Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert. 1 u = ⋅ ∫ i ⋅ dt C Der Kondensator “sammelt” den Strom in Form von Ladungen Energie: Ein ungeladener Kondensator wird mit der Spannung U geladen. Dabei wird die Energie W gespeichert. W = ∫ p ⋅ dt p = u ⋅i W = ∫ u ⋅ i ⋅ dt = ∫ u ⋅ C ⋅ Vergleiche: Wel = i = C⋅ du dt U 1 du ⋅ dt = C ⋅ ∫ u ⋅ du = ⋅ C ⋅ U 2 0 2 dt 1 ⋅ C ⋅U 2 2 W mag = 1 ⋅ L⋅ I 2 2 1 W = ⋅ C ⋅U 2 2 W kin = 1 ⋅ m⋅ v 2 2 Im homogenen Feld gilt U=E.s 1 1 ε 1 1 Wel = ⋅ C ⋅ U 2 = ⋅ ⋅ E ⋅ s ⋅ E ⋅ s = ⋅ ε ⋅ A⋅ s ⋅ E 2 = ⋅V ⋅ ε ⋅ E 2 2 2 A⋅ s 2 2 1 Wel = VDE 2 verg. 1 W magn = VBH 2 Energiedichte = Volumendichte der Energie w =W '= dW 1 = ⋅ ε ⋅ E2 dV 2 vergl. w= dW 1 1 B2 = ⋅ µ ⋅ H 2= ⋅ dV 2 2 µ Die Energiedichte im elektrischen Feld ist gering, ca 1/50 der des magnetischen Feldes, aber die Energie ist sehr schnell verfügbar, z.B. bei Stoßentladungen z.B. für Blitzgeräte. Seite 2 von Hilfsblatt 490 Kräfte im elektrostatischen Feld z.B. Kraft auf Kondensatorplatten: Prinzip der “virtuellen” = scheinbaren Verschiebung: mechanische Arbeit = Energie = Kraft x Weg, wenn die Kraft längs des Weges konstant JJG JK G ist, sonst W = JG F ⋅ ds wenn die Kraft in Richtung des Weges , F ⋅ s = F ⋅ s ⋅ cos(0 0 ) W= F ⋅ s ∫ ∫ Wenn gilt W= ∫ F ⋅s, dann gilt auch F= dW ds W= 1 ⋅ C ⋅U 2 2 C= ε⋅A s F ist die Kraft, die zur Änderung der Energie durch Verschieben der Platten erforderlich ist. F= 1 ε⋅A dW d 1 d 1 ε ⋅ A 2 = ⋅ C ⋅U 2 = ⋅ ⋅U = − ⋅ ⋅U 2 s ⋅s ds ds 2 ds 2 s 1 C ⋅U 2 F= ⋅ 2 s [F ] = 2 Das ”-” Zeichen gibt die Richtung der Kraft an As ⋅V ⋅V VAs Ws Nm = = = =N V ⋅m m m m Beschleunigung von Ladungen im elektrostatischen Feld z.B. “Strahlenkanone” im Fernseher, Röntgengerät, Teilchenbeschleuniger etc Das Elektron nimmt aus dem elektrischen Feld die Energie W = Q.U auf und hat am Ende der Bild siehe Hilfsblatt “Ladungen” Beschleunigungsstrecke die Energie W= 1 ⋅ m ⋅ v 2 = e ⋅U 2 Fernseher: v= 2 ⋅ e ⋅U m z.B. U = 25 kV 1 ⋅ m ⋅ v2 2 wenn Anfangsgeschwindigkeit va = 0 unabhängig von der Elektrodenanordnung. Im Röntgtenpaß wird nur die Beschleunigungsspannung angegeben → Röntgengerät: z.B. U = 400 kV → v = 1/3.c0 (c0 = Lichtgeschwindigkeit) v = 1,4.c !!!!!! d.h. man muß relativistisch 0 rechnen (Einstein!) FH-Bochum Prof. Dr.-Ing. Krause Grundlagen der Elektrotechnik Elektrostatisches Feld Elektrostatische Schirmung, Faradayscher Käfig Hilfsblatt/Entwurf 500 März. 2002 Allgemeine Bemerkungen a) Jede Äquipotentialfläche kann mit Metallfolie belegt werden, ohne dass sich das Feld ändert. b) Metallflächen sind immer Äquipotentialflächen. (da die elektrische Leitfähigkeit bei Metallen sehr groß ist, kann keine Potentialdifferenz auf der Elektrode bestehen, denn sonst würde ein Strom auf der Metalloberfläche fließen). c)Die elektrische Feldstärke im Inneren von Leitern ist Ei = 0 d) Ein massiver Leiter kann im elektrostatischen Feld durch einen Hohlleiter ersetzt werden. e) Die elektrischen Feldlinien im elektrostatischen Feld treten aus Leitern immer senkrecht aus. (Sonst würden auf der Oberfläche Ströme fließen.) f) Durch elektrische Leiter (Blech, Maschendraht oder metallische Bedampfung) kann ein Raum gegen elektrostatische Felder abgeschirmt werden (Faraday'scher Käfig, abgeschirmte Leitung = Koaxialkabel). g) Gegen magnetische Felder kann nur mit Eisen (ferromagnetische Werkstoffe) abgeschirmt werden Probleme und Anmerkungen zur Ausführung 1) Material: Jedes Material ist geeignet, das wesentlich besser leitet als Luft; z.B. verzinktes Eisen. Kupfer ist absolut unnötig !!!! 2) Oft ist Maschendraht ausreichend !! (Kaninchenstall-Gitter) 3) Manchmal reicht ein teilweise geschlossenes Gehäuse aus. 4) Erdung ist äußerst wichtig (möglichst direkt am Käfig). 5) Eingangstür mit Kontaktlamellen. 6) Belüftung 7) siehe nächste Seite Seite 2 von Hilfsblatt 500 7) Elektrische Energiezufuhr (Netzfilter !!!) Achtung: dabei die Abschirmung nicht unterbrechen. Netzfilter auch für elektrische Geräte in der Netzzuleitung. 8) Meßdaten sinnvollerweise digital mit Glasfaserkabeln nach außen übertragen. Achtung, wichtig: - Rechner in Produktionsbetrieben (z.B. mit Schweißrobotern etc) müssen besonders geschirmt werden. - In den meisten PC’s hängen Leitungen wirr herum. - Auch einzelne Karten müssen mit Metallgehäusen geschirmt werden. -Schaltnetzteile verursachen äußerst starke Störungen. - Monitore können sich gegenseitig stören; eventuell ein Metallplatte dazwischen stellen. - Beachte die Abschirmung von Meß- und Datenleitungen. Für nachträgliche Abschirmungen: Die Industrie bietet Abschirmungen an, die nachträglich angebracht werden können. Im GE- Labor nachfragen: FH-Bochum Grundlagen der Elektrotechnik Elektrostatisches Feld Prof. Dr.-Ing. Krause C Hilfsblatt/Entwurf 510 Zeitvorgänge , Schaltvorgänge i i =C⋅ u u= du dt März. 2002 Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert Der Kondensator “sammelt” den Strom in Form von 1 ⋅ ∫ i ⋅ dt Ladungen und wird dabei auf die Spannung u aufgeladen C Vergleiche: W = Wasserstrom h = Wasserhöhe C = Fassungsvermögen (Kapazität) der Wanne Wasserstrom fließt nur, wenn sich die Höhe ändert W =C⋅ i =C⋅ dh dt du dt Strom fließt nur, wenn sich die Spannung ändert y α x m = tan α = Steigung = dy/dx = Änderung der Funktion Seite 2 von Hilfsblatt 510 Zeitlicher Verlauf von Strom und Spannung vergleiche gegeben sei der Strom i y I k t u x ∫ y ⋅ dx t i = i (t ) = I = konst u = u (t ) = x → ∫ y ⋅ dx = ∫ k ⋅ dx = k ⋅ x + K 1 1 ⋅ ∫ i ⋅ dt = ⋅ I ⋅ t C C gegeben sei die Spannung Häufige Anwendung: Ein Kondensator ist mit der Spannung U0 geladen und wird dann (über einen Widerstand) kurzgeschlossen. R Uc C u i =C⋅ U0 t i du dt Änderung → ∞ Strom ideal R=0 →∞ t i→∞ u U0 t i rea,l mit Widerstand R t In Wirklichkeit ist immer ein Widerstand vorhanden, so daß der Strom nicht ∞ wird, aber sehr große Werte erreichen kann. Anwendung: Erzeugung von Stoßströmen. (z.B. bei der Magnetisierung von Tachometermagneten. Schaltvorgänge Seite 3 von Hilfsblatt 510 Einschalten R uR C Uq uc Hinweis zur Schreibweise: Zeitlich veränderliche Größen z.B. u(t) werden mit kleinen Buchstaben geschrieben. Der Zusatz wird (t) wird weggelassen. ∑u = 0 Uq = u R + u C uR = i ⋅R Uq = i ⋅ R + u C i =C⋅ Uq = R ⋅ C ⋅ τ⋅ duC dt V As [R ⋅ C ]= ⋅ = s A V duC + uC dt duC + uC = Uq dt τ = R ⋅ C = Zeitk onstante Diff erentialgleichung erster Ordnung mit kon tanten Koeffizienten Konstante Koeffizienten bedeutet: die Faktoren bei uc und deren Ableitungen sind konstant. Der Faktor bei uc ist 1 Eine (teilweise) Lösung für t → ∞ ist sofort zu erkennen: Für t → ∞ sind alle Einschwingvorgänge (alle transienten, d.h. vorübergehenden, flüchtigen Vorgänge) abgeklungen; dann ändert sich die Spannung uc nicht mehr duc/dt = 0. Für t → ∞ duc/dt = 0 uc = Uq Für t → ∞ ist der Kondensator auf die Quellenspannung Uq aufgeladen. Lösung der Differentialgleichung: Trennung der Variablen. Wenn duc auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen würde und dt auf der anderen Seite, dan könnte die Gleichung einfach integriert werden. duC + uC = Uq − uC dt du dt τ ⋅ C = (Uq − uC )⋅ τ dt duC dt Die Variablen sind getrennt. Jetzt kann integriert werden. = Uq − uC τ τ⋅ duC ∫ Uq − u C =∫ dt τ Seite 4 von Hilfsblatt 510 duC ∫ Uq − u C =∫ dt τ Die Integrationskonstanten K1 und K2 werden zu einer einzigen ln(K) zusammengefaßt. t + K2 τ t + ln (Uq − uC ) − K1 = − − K 2 τ t ln (Uq − uC ) + ln (K ) = − τ t ln K ⋅ (Uq − uC ) = − τ − ln (Uq − uC ) + K1 = K ⋅ (Uq − uC ) = e − Die Integrationskonstante wird bestimmt durch die Anfangsbedingung (bei räumlichen Problemen durch die Randbedingung. Frage: Auf welche Spannung ist der Kondensator am Anfang für t = 0 geladen; oder ist der Kondensator ungeladen ? d.h. für t = 0 uc = 0 ? t τ Für t=0 u C = 0 K ⋅ (Uq − 0 ) = e 0 = 1 Uq − uC = Uq ⋅ e i =C⋅ − K= 1 Uq t τ t − duC d = C ⋅ Uq ⋅ 1 − e τ dt dt Uq −τt i= ⋅e R t − uC = Uq ⋅ 1 − e τ Für t = 0 u C =0 Für t → ∞ u C → Uq −τt 1 C Uq = ⋅ ⋅ −e ⋅ − τ Uq = I0 = Ik = I E R Einschalten = Aufladen (Kondensator ungeladen) u τ t − uC = Uq ⋅ 1 − e τ t i i = I0 ⋅ e τ t − t τ Seite 5 von Hilfsblatt 510 Bedeutung der Zeitkonstanten: u τ τ Zu jedem beliebigen Zeitpunkt kann die Zeitkonstante durch Anlegen der Tangente ermittelt werden. τ Uq Die gleiche Konstruktion gilt auch für den Entladevorgang t Zeitkonstante τ Aufgeladen auf Es fehlen noch 1 3 5 63 % 95 % 99,3 % 37 % 5 % 0,7 % Frage: Nach wieviel Zeitkonstanten ist der Kondensator geladen? z.B. Ladespannung Uq = 5V Nach 3 τ fehlen noch 5 % ! Nach 5 τ fehlen noch 0,7 % ! d.h. noch 0.25 V d.h. noch 35 mV Ist das ausreichend genau ? Ist das ausreichend genau ? Seite 6 von Hilfsblatt 510 Entladen Zu Beginn des Entladevorganges sei der Kondensator auf die Spannung U0 geladen uC = u R i Uc C R uR = i ⋅ R duC i uC = i ⋅ R = − R ⋅ C ⋅ dt du Uc Ur C i = −C ⋅ C duC dt τ⋅ = − uC dt duC dt =− Variablen getrennt uC τ Achtung: du dt Der geladene Kondensator ist eine ∫ uCC = ∫ − τ Quelle. ln (uC ) + ln (K ) = − ln (K ⋅ uC ) = − K ⋅ uC = e − t τ t τ Anfangsbedingung: t → 0 uc = U0 K ⋅Uq = e −0 = 1 uC = U 0 ⋅ e i = −I0 ⋅ e K= − t τ U0 i I0 1 Uq duC C ⋅U 0 −τt U 0 −τt i =C⋅ = ⋅e = − ⋅e dt −τ R t − τ uc τ Strom und Spannung sind entgegengerichtet t τ t t U0 = I0 R
![Elektrische Spannung U [V]](http://s1.studylibde.com/store/data/002479720_1-141ad09aa3ab46fc5af48362f775ec08-300x300.png)
