Die Relativität elektrischer und magnetischer Felder - ate.uni

Die Relativität elektrischer und magnetischer Felder
Beitrag von Norbert H. L. Koster zum Postgrade Lecture „Advances (and Surprises) in Electrodynamics - Fortschritte (und Überraschendes) in der Elektrodynamik“, Vortragsleiter Prof. Dr. Daniel Erni,
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik, Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg, Version
Juni 2010.
Einführung
Nimmt man einen langen Gartenschlauch, befestigt beide Enden im Abstand von einigen Metern in gleicher Höhe und füllt diesen Gartenschlauch randvoll mit Wasser, dann kann man
folgendes beobachten: wird an dem einen Ende ein kleiner Korken, der genau in den Gartenschlauch passt, langsam in diesen hinein gedrückt, so wird die Wassersäule im Schlauch ohne
erkennbare Verzögerung verschoben und es läuft auf dem anderen Ende im gleichen Augenblick Wasser aus dem Gartenschlauch, obwohl der Korken sich selber nur wenige Millimeter
bewegt hat.
Die alltägliche Erfahrung zeigt, mit dem elektrischen Strom verhält es sich ähnlich wie mit
der Wassersäule. Die Geschwindigkeit, mit der sich Elektronen in einem elektrischen Leiter
verschieben lassen, ist außerordentlich hoch. Man betätigt den Lichtschalter und augenblicklich erstrahlt die weit entfernte Deckenleuchte.
Das einzelne Elektron hingegen bewegt sich wesentlich langsamer durch den elektrisch leitenden Draht. Für die genaue Geschwindigkeit finden sich teilweise unterschiedliche Angaben. Detlef Mietke hat die Geschwindigkeit von Elektronen im Leiterdraht ausführlich ermittelt und diese Berechnungen im Internet veröffentlicht [01]. Er schreibt:
„Elektrischer Strom ist bewegte Ladung. Die Elektronen sind dabei die Ladungsträger. Die
Geschwindigkeit, mit der sich die Elektronen bewegen, kann berechnet werden. Die Geschwindigkeit ist abhängig vom Leiterwerkstoff, von seinem Querschnitt, von der Stromstärke und der Temperatur. Mit steigender Temperatur vergrößert sich die Brownsche Molekularbewegung. Das verkürzt die mittlere freie Weglänge der Elektronen. Sie stoßen häufiger zusammen, wobei ihre relative Geschwindigkeit abnimmt. In den folgenden Rechnungen wird
der Temperatureinfluss nicht beachtet.
Die Elektronengeschwindigkeit in einem Kupferdraht soll berechnet werden. Der Draht hat
einen Querschnitt von 1 mm2. Es fließt ein Strom von 1 A.
Jedes Kupferatom liefert 1 Elektron zur Stromleitung. Die Molmasse von Kupfer beträgt
64 [g / Mol]. 1 Mol enthält 6,023 · 1023 Atome. 1 Mol Kupfer (64 g) stellen somit 6,023 ·1023
Elektronen zur Verfügung. Die Dichte von Kupfer ist rd. 8,9 [mg / mm3], daraus folgt
1 mm3 Kupfer entsprechen 0,139 mMol. Multipliziert mit der Elektronenzahl / Mol heißt, das:
1 mm3 Kupfer liefert 8,376 ·1019 Elektronen zur Stromleitung. Jedes Elektron trägt die Elementarladung von 1,602 ·10−19 [A·s] (Coulomb). 1 mm3 Kupfer besitzt 13,57 [A·s] Ladung
zur Stromleitung.
Strom ist der Ladungstransport pro Zeiteinheit. Werden 13,57 [A·s] um 1 [mm / s] transportiert, so fließen 13,57 A. Der geforderte Stromfluss beträgt nur 1 A betragen, d.h. die Elektronen bewegen sich pro Sekunde um nur 0,0734 mm weiter. Die Elektronengeschwindigkeit im
oben gewählten Beispiel beträgt 0,0734 [mm / s].
Wird der Querschnitt des Kupferdrahtes vergrößert, so verringert sich proportional dazu der
ohmsche Widerstand. Die Geschwindigkeit der Elektronen im Leiter nimmt ab.
Bei einem Drahtdurchmesser von 2 mm2 wird bei dem Strom von 1 A die halbe Wegstrecke
benötigt. Die Elektronengeschwindigkeit halbiert sich.“
Die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum ist also etwa um den Faktor 4 ⋅ 1012 schneller,
als die Geschwindigkeit eines einzelnen Elektrons unter den in diesem Beispiel genannten
Bedingungen.
Um das Elektron durch den Leiterdraht zu bewegen wird eine sogenannte elektromotorische
Kraft benötigt. Diese ein wenig irreführende Bezeichnung beschreibt jedoch keine Kraft als
gerichtete physikalische Größe die Massen beschleunigen kann, sondern ist lediglich die historische Bezeichnung für die Spannung im Zusammenhang mit galvanischen Zellen oder Induktionsspannungen im Zusammenhang mit elektrischen Maschinen. Bekanntermaßen ist die
physikalische Einheit der elektromotorischen Kraft das Volt und nicht das Newton.
Um die beschleunigte Bewegung von Elektronen zu beschreiben wählt Albert Einstein [02]
die ponderomotorische Kraft.
Wikipedia [03] beschreibt diese Kraft folgendermaßen:
„Die ponderomotorische Kraft (englisch: ponderomotive force, deshalb manchmal auch
ponderomotive Kraft genannt) ist der niederfrequente Anteil der Kraft eines räumlich inhomogenen, hochfrequenten elektromagnetischen Feldes auf ein System von (sich in diesem
Feld bewegenden) elektrischen Ladungen.“
Für Elektrotechniker verständlicher definiert Hans-Peter Schlenvoigt [04] die ponderomotorische Kraft folgendermaßen:
„Die ponderomotorische Kraft ist die zeitlich gemittelte Lorentz-Kraft.“
Fp = − e ⋅ E + v × B
(1)
(In der Elektrotechnik wird die elektrische Komponente der Lorentz-Kraft häufig auch als
Coulomb-Kraft und nur die magnetische Komponente der Lorentz-Kraft als Lorentz-Kraft
bezeichnet.)
Die Kraftwirkung auf das Elektron wird also bekanntermaßen sowohl durch elektrische als
auch durch magnetische Felder verursacht.
Das Dilemma
1.
Ein Elektron bewege sich parallel zu einem ruhenden, ladungsneutralen Draht, in dem
ein elektrischer Strom fließt.
Die Elektronen innerhalb des Drahtes sollen sich mit der selben Geschwindigkeit in
die selbe Richtung bewegen, wie das einzelne Elektron außerhalb.
Aufgrund des Stromflusses besitzt der Draht ein Magnetfeld. Da sich das Elektron
senkrecht zum Magnetfeld bewegt, wird es durch die Lorentzkraft (mit − e : Ladung
des Elektrons)
FL = − e ⋅ ( v × B )
(2)
zum Draht hin gezogen.
Soweit ist das Phänomen allseits bekannt.
2.
Betrachten wir das Ereignis nun aber aus der Sicht des bewegten, äußeren Elektrons.
Aus seiner Sicht ruhen die Elektronen im Leiter und die positiv geladenen Atomrümpfe bewegen sich mit dem Leiter.
Dies bedeutet: Der Leiter hat zwar immer noch ein Magnetfeld – aber das Elektron
ruht in seinem Bezugssystem. Es gilt:
ve = 0
(3)
und somit erfährt das Elektron auch keine Lorentzkraft. Es gilt daher für das Bezugssystem des Elektrons:
FLe = 0 .
(4)
Die Lorentzkraft ist verschwunden. Welche Kraft zieht das Elektron in diesem Bezugssystem also nun zum Draht hin?
Hier kann nur noch die Relativitätstheorie weiter helfen!
Bild 1:
Ruhender Beobachter im „Leiterdraht-Bezugssystem“ sieht bewegte Elektronen und ruhende Atomrümpfe sowie ein Magnetfeld durch den Stromfluss.
Bild 2:
Mitbewegter Beobachter im „Elektronen-Bezugssystem“ sieht bewegte Atomrümpfe und ruhende Elektronen sowie ein Magnetfeld durch den Stromfluss.
Die nachfolgenden Ausführungen und Berechnungen sind vollständig den Werken von Albert
Einstein [02] sowie denen von Richard P. Feynman, Robert B. Leighton und Matthew Sands
[05] entnommen.
„Die positiv geladenen Atomrümpfe bewegen sich mit einer bestimmten (geringen) Geschwindigkeit im Elektronenbezugssystem.
Die speziellen Relativitätstheorie hat gezeigt, dass je schneller sich ein Objekte relativ zu einem Beobachter bewegt, umso kürzer erscheint dieses in der Bewegungsrichtung für den Beobachter zu sein.
Die Atomrümpfe sind bezüglich des Elektronen-Bezugssystems also (sehr geringfügig) verkürzt bzw. lorentzkontrahiert.
Das heißt, im Elektronen-Bezugssystem sind in einem gegebenen Volumen nun insgesamt
mehr (weil da nun mehr hinein passen) Atomrümpfe zu finden, als im LeiterdrahtBezugssystem.
Im Elektronen-Bezugssystem existieren pro Volumen weniger elektrisch negativ geladene
Elektronen und mehr elektrisch positiv geladene Atomrümpfe als im LeiterdrahtBezugssystem.
Da im Leiterdraht-Bezugssystem aber von beiden Ladungsträgern gleich viele vorhanden waren (der Leiterdraht ist im Leiterdraht-Bezugssystem ungeladen), überwiegt nun im Elektronen-Bezugssystem die positive Ladung, d. h. der bewegte Leiterdraht erscheint im Elektronen-Bezugssystem positiv geladen. Aufgrund der Coulomb-Kraft (bzw. aus der Sicht der Physiker handelt es sich dabei lediglich um die elektrische Komponente ein und derselben Lorentz-Kraft) wird das ruhende Elektron zum Draht hin gezogen!
Diese Betrachtung gilt prinzipiell auch für sehr geringe Geschwindigkeiten.
Im Gegensatz z. B. zur Masse ändert sich die Ladung nicht, egal ob sie ruht oder sich bewegt.
Die Ladungsdichte ist proportional zur Zahl der Ladungsträger pro Volumeneinheit.
Einzig die Änderungen aufgrund der relativistischen Verkürzung von Längen ist hier von Bedeutung.
Eine einfache Berechnung der Zusammenhänge soll das Phänomen veranschaulichen.
Berechnung
Betrachtet wird ein ruhendes Stück Leiterdraht der Länge L0 . In dem ruhenden Stück Leiterdraht befinde sich eine stationäre Ladungsdichte ρ 0 . Die Querschnittsfläche des Stück
Leiterdrahtes sei A0 .
Mit dem Volumen
V0 = L0 ⋅ A0
(5)
ergibt sich die Gesamtladung Q 0 in dem ruhenden Stück Leiterdraht zu
Q 0 = ρ 0 ⋅ L0 ⋅ A0 .
Bild 3:
(6)
Ruhendes Stück Leiterdraht.
Nun wird dieses Drahtstück mit der Geschwindigkeit v bewegt. Es erscheint die Länge L0 für
einen äußeren Beobachter verkürzt. Für die Länge L des bewegten Leitungsstückes gilt dann
(Lorentzkontraktion):
v2
L = L0 ⋅ 1 − 2
c
(7)
Wird die Ladungsdichte im bewegten Bezugssystem mit ρ bezeichnet, dann trägt das bewegte Leitungsstück die Ladung
Q = ρ ⋅ L ⋅ A0 .
(8)
Das ist jedoch exakt die gleiche Ladung wie im ruhenden System, denn die Höhe der Ladung
ist in jedem System, egal ob ruhend oder bewegt, gleich (Ladungserhaltung).
Es muss also gelten:
ρ 0 ⋅ L 0 ⋅ A0 = ρ ⋅ L ⋅ A0 .
(9)
Wird die Gleichung (7) darin eingesetzt, führt dies zu dem Zusammenhang:
ρ 0 ⋅ L 0 ⋅ A0 = ρ ⋅ A0 ⋅ L 0 ⋅ 1 −
v2
.
c2
(10)
Ein Vergleich der Faktoren liefert die Beziehung:
ρ=
ρ0
v2
1− 2
c
.
(11)
Die Raumladungsdichte einer bewegten Ladungsverteilung ändert sich in der gleichen Weise
wie die relativistische Masse eines Partikels.
Hat also eine Verteilung geladener, ruhender Teilchen die Ladungsdichte ρ 0 , so haben die
selben geladenen Teilchen die Ladungsdichte ρ , wenn sie von einem System mit der relativen Geschwindigkeit v aus betrachtet werden.
Nun betrachten wir das Ereignis wieder aus der Sicht des bewegten äußeren Elektrons, dann
bewegen sich die positiv geladenen Atomrümpfe im Leiter mit der Geschwindigkeit v und
für deren positive Raumladungsdichte gilt dann:
ρ +′ =
ρ+
v2
1− 2
c
.
(12)
Aus der gleichen Sicht erscheinen die Elektronen in Ruhe, allerdings in einem bewegten
Stück Leiterdraht mit der verkürzten Länge L .
Aus der Sicht des bewegten Elektronen-Bezugssystems sind die jeweiligen negativen Ladungen der Elektronen in Ruhe, also ist für die relativ zu den Atomrümpfen bewegten Leitungselektronen im bewegten Elektronen-Bezugssystem für die Ruheladung nun ρ −′ in die Gleichung (11) einzusetzen, womit dann gilt:
ρ− =
ρ −′
v2
1− 2
c
,
(13)
woraus schließlich für das bewegte Elektronen-Bezugssystem folgt:
ρ −′ = ρ − ⋅ 1 −
v2
.
c2
(14)
Ein alternativer Ansatz führt zum gleichen Ziel. Werden die identischen Gesamtladungen der
Elektronen im Leiterstück verglichen, so ist diese aus der Sicht des (verkürzten) ElektronBezugssystems, eingesetzt gemäß Gleichung (8):
Q = ρ − ⋅ L ⋅ A0
und aus der Sicht des ruhenden Leiterdraht-Bezugssystems:
(15)
Q = ρ −′ ⋅ L 0 ⋅ A0
(16)
somit folgt ebenfalls die Gleichung (14).
Für die Summe der Raumladungsdichten für das bewegte Elektronen-Bezugssystem gilt dann:
ρ ′ = ρ +′ + ρ −′
(17)
oder eingesetzt:
ρ′ =
ρ+
v2
+ ρ− ⋅ 1 − 2 .
c
v2
1− 2
c
(18)
Da der ruhende Draht elektrisch neutral ist, muss gelten:
ρ+ + ρ− = 0 ,
(19)
− ρ− = ρ+ .
(20)
woraus unmittelbar folgt:
Es ergibt sich somit für das bewegte Elektronen-Bezugssystem für die gesamte Raumladungsdichte:
ρ ′ = ρ+
v2
c2
v2
1− 2
c
.
(21)
Im bewegten Elektron-Bezugssystem erscheint der Leiterdraht positiv aufgeladen und erzeugt
ein elektrisches Feld, welches dann auf das äußere, in einem Abstand vom Leiter positionierte
Elektron anziehend wirkt!
Sei der in Bild 3 gezeigte zylinderförmige Leiterdraht gleichmäßig mit einer homogenen
Raumladung ρ H belegt, so beträgt die elektrischen Feldstärke in radialem Abstand r von der
Zylinderachse:
E=
ρ H ⋅ A0
.
2 ⋅π ⋅ε0 ⋅ r
(22)
Für das bewegte Elektron-Bezugssystem ergibt sich dann ein Betrag zu:
E′ =
v2
ρ + ⋅ A0 ⋅ 2
c
v2
2 ⋅π ⋅ε0 ⋅ r ⋅ 1 − 2
c
(23)
Die Kraft auf das negativ geladene Elektron ist zum Leiterdraht hin gerichtet. Im bewegten
Elektron-Bezugssystem gilt:
F ′ = − e ⋅ E′ .
(24)
Eingesetzt ergibt sich somit:
2
v
 
e ⋅ ρ + ⋅ A0
c
F′ = −
⋅   ⋅ er .
2
2 ⋅π ⋅ ε0 ⋅ r
v
1− 2
c
(25)
Die Ursache der jeweiligen Kraft (Coulomb-Kraft bzw. Lorentz-Kraft) ist abhängig von der
gewählten Perspektive.
Wenn eine Probeladung mit der Geschwindigkeit v an einem mit einem elektrischen Strom
durchflossenen Leiter vorbeifliegt, erfährt sie eine Lorentz-Kraft, die auf einem magnetischen
Feld basiert.
Wenn ein mit einem elektrischen Strom durchflossener Leiter entlang einer ruhenden Probeladung gezogen wird, erfährt sie eine Coulomb-Kraft, die auf einem elektrischen Feld basiert.
Der Magnetismus und die Elektrizität sind zwei Erscheinungsformen der gleichen Ursache.“
(siehe Vektorpotential A )
Nachdenkaufgabe
Die Darlegungen der Nobelpreisträger und Physiker Einstein und Feynman vernachlässigen in
der hier auszugsweise und vereinfacht wiedergegebenen Abhandlung zunächst die detaillierten Gegebenheiten wie beispielsweise die Umgebungstemperatur und die Materialparameter,
sowie den tatsächlichen materiellen Aufbau beispielsweise des Leiterdrahtes.
Angenommen, diese würden keine Rolle spielen, so könnte die Geschwindigkeit v der Elektronen im Leiter nahezu beliebig hoch gewählt werden, zumindest aber bis zur VakuumLichtgeschwindigkeit oder knapp darunter, wie es in vielen Teilchenbeschleunigern ja heute
schon der Fall ist.
Dann würde die Lorentz-Kraft gemäß Gleichung (2) mit v → c bei den hier angenommenen
rechtwinklig aufeinander stehenden Vektoren den Betrag:
FL = e ⋅ c ⋅ B
(26)
ergeben, was eine sicherlich sehr große Kraft ergäbe, jedoch letztendlich wäre sie endlich.
Berechnet man für diesen Fall jedoch im bewegten Elektronen-Bezugssystem die Coulomb-
Kraft gemäß der Gleichung (25), so ergibt sich ein Betrag:
F′ → ∞ .
(27)
Demnach ergäbe sich ein Betrag für die anziehende Kraft auf das Elektron, der über alle
Grenzen wachsen würde.
Es gibt für den Grenzfall also zwei unterschiedliche Lösungen!
Kann das sein? Ist das ein mathematischer Widerspruch zu den zuvor referierten Aussagen?
Haben sich die Nobelpreisträger womöglich gar geirrt? (Bitte Diskussion)
Nobelpreisträger irren selten ...
Es hat alles seine Richtigkeit, es muss jedoch die Relativität konsequent beachtet werden.
Herr Feynman beantwortet auch diese Frage.
„Aus Gleichung (2) ergibt sich der Betrag der Lorentz-Kraft für unser Beispiel zu:
F = e⋅v⋅ B .
(28)
Der Betrag des magnetischen Feldes eines mit einer Stromstärke I durchströmten Leiters ergibt im Abstand r von der Leiterachse:
H=
I
2 ⋅π ⋅ r
.
(29)
Die magnetische Feldkonstante µ0 hängt mit der elektrischen Feldkonstante ε 0 und der
Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum folgendermaßen zusammen:
c=
1
.
ε 0 ⋅ µ0
(30)
Damit kann die magnetische Feldkonstante µ0 folgendermaßen beschrieben werden:
µ0 =
1
.
ε 0 ⋅ c2
(31)
Nun kann die Gleichung (28) folgendermaßen geschrieben werden:
F=
1
2⋅ I ⋅v⋅e
⋅
2
4 ⋅π ⋅ ε0 ⋅ c
r
Für die Stromstärke lässt sich schreiben:
(32)
I=
oder
I=
oder
I=
Q
,
t
(33)
ρ − ⋅V
t
,
(34)
ρ − ⋅ A0 ⋅ L 0
t
,
(35)
oder wenn die Geschwindigkeit der Elektronen entsprechend berücksichtigt wird:
I = ρ − ⋅ A0 ⋅ v .
(36)
Eingesetzt in Gleichung (32) ergibt sich dann für den Betrag der Lorentz-Kraft:
F=
e
2 ⋅π ⋅ ε0
⋅
ρ − ⋅ A0  v 2 
r
⋅ 2 .
c 
(37)
Ein Vergleich der Beträge der Lorentzkraft F gemäß Gleichung (37) im ruhenden System
mit dem Betrag der Kraft F′ auf das Elektron im bewegten Elektronen-Bezugssystem ergibt:
F′ =
F
v2
1− 2
c
.
(38)
Es kann festgestellt werden, dass die Beträge der Kräfte für die kleinen hier betrachteten Geschwindigkeiten fast identisch sind. Somit sind zumindest für kleine Geschwindigkeiten der
Magnetismus und die Elektrizität lediglich zwei unterschiedliche Beschreibungen des selben
physikalischen Phänomens.
Da sich gemäß Gleichung (38) auch die Kräfte je nach Bezugssystem transformieren, führen
beide Beschreibungen ungeachtet der Geschwindigkeit zum selben physikalischen Ergebnis.“
Anhang
(Quelle: diverse Grundlagenbücher)
I.
Das elektrische Feld eines gleichmäßig mit der Raumladung ρ H belegten Zylinders mit dem Radius R gemäß Bild 3.
Die Fläche von Zylinderboden oder Zylinderdach sind gleich:
A 0= π ⋅ R 2 .
(A 1)
Das Volumen ergibt sich zu:
V0 = L 0 ⋅ A0 .
(A 2)
Die Gesamtladung ergibt sich mit einer homogenen Raumladung ρ H zu:
oder
Q0 = ρ H ⋅ V0
(A 3)
Q0 = ρ H ⋅ A0 ⋅ L 0
(A 4)
Q=
(
D
∫∫ • n ) ⋅ dA ,
(A 5)
Andererseits gilt:
A
hier also (nur die Zylindermantelfläche liefert einen Beitrag):
Q0 = ε 0 ⋅ E ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ L 0 .
(A 6)
Gleichsetzen von Gleichung (A 4) und (A 6) liefert, aufgelöst nach elektrischer
Feldstärke und unter Berücksichtigung ausschließlich radialer Komponenten:
ρ H ⋅ A0 E=
⋅ er
2 ⋅π ⋅ε0 ⋅ r
(A 7)
II.
Das Vektorpotential und das Biot-Savart’sches Gesetz.
Die magnetische Flussdichte besitzt keine Quellen oder Senken, somit gilt:
div ( B ) = 0 ,
(A 8)
deshalb kann in diesem Zusammenhang ein quellenfreies Vektorpotential A angegeben werden, mit der Coulomb-Eichung:
div ( A) = 0 ,
(A 9)
so dass gilt:
B = rot ( A) .
(A10)
A
ergibt eine eindeutige Beschreibung der magnetischen
Dieses Vektorpotential
Flussdichte B .
Nun lässt sich schreiben:
J = rot ( H )
(A11)
mit homogener Permeabilität, also
µ ≠ f (r )
(A12)
folgt:
B
J = rot ( ) ,
(A13)
1
J = ⋅ rot ( rot A) ,
(A14)
µ
somit:
µ
daraus
µ ⋅ J = rot ( rot A) ,
(A15)
und schließlich:
µ ⋅ J = grad ( div A) − ∆ A ,
wegen Gleichung (A9) gilt somit:
∆ A = −µ ⋅ J .
(A16)
(A17)
Für die einzelnen kartesischen Komponenten gilt somit:
und
∆ Ax = − µ ⋅ J x ,
(A18)
∆ Ay = − µ ⋅ J y
(A19)
∆ Az = − µ ⋅ J z .
(A20)
Die Lösungen dieser Differentialgleichungen entsprechen den schon gefundenen Lösungen
aus der Elektrostatik bzw. dem stationären Strömungsfeld:
und
Ax =
µ
J ( P′)
) dV ′ ,
⋅ ∫∫∫ ( x
′
V
4π
RPP′
(A21)
Ay =
J ( P′)
µ
⋅ ∫∫∫ ( y
) dV ′
V′
4π
RPP′
(A22)
Az =
µ
J ( P′)
⋅ ∫∫∫ ( z
) dV ′ .
′
V
4π
RPP′
(A23)
Für die magnetische Flussdichte gilt somit:
B( P ) = rotP ( A( P )) ,
(A24)
oder eingesetzt:
µ
J ( P′)
) dV ′ .
B( P ) =
⋅ rotP ( ∫∫∫ (
V′
4π
RPP′
(A25)
 J ( P ′) 
J ( P ′)
 = ∇P × rotP  ,
 RPP′ 
R
′
PP


(A26)
 J ( P ′) 
 1  1
 = ∇ P   × J ( P′) + ∇ P × J ( P′) 
rotP   RPP′ 


R pp′


 RPP′ 
(A27)
Da aber
folgt
und da die Stromdichte im zweiten Summanden nur von den Koordinaten des Integrationspunktes P′ (Quellpunkt) abhängt liefert die Differentiation nach den Koordinaten des Aufpunktes P keine Beiträge, womit folgt:
 J ( P′ ) 
RPP′
 = − 3 × J ( P′ ) .
rotP   RPP′ 
RPP′


(A28)
Für die magnetische Flussdichte folgt damit der Zusammenhang:
µ
B ( P) = −
4 ⋅π
RPP′ × J ( P′)
dV ′
3
∫∫∫
RPP′
V′
(A29)
oder mit dem Linienelement ds′ des Leiters, in dem der Strom I fließt:
µ I ds′ × RPP′
dB ( P ) =
⋅ 3 .
4 ⋅π
RPP′
(A30)
Quellenverzeichnis
[01]
Mietke, Detlef: Vom Elektron zur Elektronik – Nachrichten- und Gerätetechnik,
Grundlagen, Die Geschwindigkeit von Elektronen.
http://home.arcor.de/d.mietke/index.html
(eingestellt am 25.01.2008, abgerufen am 19.06.2010)
[02]
Einstein, Albert: Zur Elektrodynamik bewegter Körper, § 10. Dynamik des (langsam
beschleunigten) Elektrons. In: Annalen der Physik 17 (1905), pp. 891 – 921.
[03]
Freie Online-Enzyklopädie Wikipedia: Ponderomotorische Kräfte,
http://de.wikipedia.org/wiki/Ponderomotorische_Kräfte
(eingestellt am 06.11.2009, abgerufen am 19.06.2010)
[04]
Schlenvoigt, Hans-Peter: Thomson-Rückstreuung von Laser-erzeugten relativistischen Elektronen - Ein Mittel zur Analyse der Prozesse in Laser-PlasmaBeschleunigern. Diplomarbeit, Friedrich-Schiller-Universität Jena, 2005.
[05]
Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew: The Feynman Lectures on Physics. Addison-Wesley, Reading, MA, 1964.