Lösung zu Blatt 10 - Fakultät für Physik

Fakultät für Physik der LMU München
Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov
Übungen zu Klassischer Mechanik (T1) im SoSe 2011
Blatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Aufgabe 10.1. Hamilton-Formalismus I: Zentralkraft
Ein Faden der Länge l läuft durch ein Loch in einer reibungsfreien horizontalen Platte. An seinen beiden
Enden sind Massen m1 und m2 befestigt. Die Masse m1 bewegt sich frei auf der horizontalen Platte,
während m2 immer senkrecht im Schwerefeld hängt. Der Abstand von m1 vom Loch sei r mit r < l
(s. Abbildung 1). Zur Zeit t = 0 bewegt sich die Masse m1 mit einer Geschwindigkeit v0 senkrecht zum
Faden, während der Abstand zum Loch r0 ist.
r
m1
m2
Abbildung 1: Verbundene Massen
a) Wie lautet in den Polarkoordinaten r, θ die Lagrangefunktion und die Hamilton-Funktion? Geben
Sie die Hamilton’sche Bewegungsgleichungen für dieses System an.
b) Geben Sie zwei unabhängige Erhaltungsgrößen an. Welchen Werte haben diese Erhaltungsgrößen
für die angegebenen Anfangsbedingungen?
Lösung.
a) Die Höhe der Masse m2 ist − (l − r). Die Geschwindigkeit der Masse m1 ist v2 = ṙ2 + r2 θ̇2 .
Die Lagrangefunktion ist also
L=
m1 + m2 2 m1 2 2
ṙ +
r θ̇ + m2 g (l − r) .
2
2
Die Konstante l darf weggelassen werden.
Die Hamilton-Funktion bestimmen wir wie folgt. Die kanonische Impulse sind
pr =
∂L
= (m1 + m2 ) ṙ,
∂ṙ
pθ =
∂L
= m1 r2 θ̇.
∂θ̇
Wir müssen nun die Geschwindigkeiten durch die Impulse ausdrücken:
ṙ =
pr
,
m1 + m2
θ̇ =
pθ
m1 r2
und die Hamilton-Funktion berechnen,
h
i
H(pr , r, pθ , θ) = pr ṙ + pθ θ̇ − L
=
p2r
2 (m1 + m2 )
+
ṙ=...,θ̇=...
p2θ
+
2m1 r2
m2 gr.
Die Hamiltonsche Gleichungen sind:
p2
d pr
∂H
=−
= θ 3 − m2 g;
dt
∂r
m1 r
d pθ
∂H
=−
= 0.
dt
∂θ
dr ∂H
pr
=
,
=
dt ∂pr m1 + m2
dθ
∂H
pθ
=
=
,
dt
∂pθ m1 r2
b) Erhaltungsgrößen sind offensichtlich pθ und die Gesamtenergie E = H:
pθ = m1 r2 θ̇ = const,
H=
p2θ
p2r
+
+ m2 g (r − l) = const.
2 (m1 + m2 ) 2m1 r2
Die Interpretation von pθ ist die z-Komponente des Drehimpulses, pθ = Lz .
Am Anfang ist r = r0 , und die Komponente der Geschwindigkeit orthogonal zum Faden rθ̇
=
t=0
v0 , die Komponente der Geschwindigkeit parallel zum Faden ṙ (t = 0) = 0. Dann sind die Anfangsbedingungen für die Hamilton’schen Variablen
h
i
r(0) = r0 , θ(0) = 0, pr (0) = 0, pθ (0) = m1 r2 θ̇
= m 1 r0 v0 .
t=0
Deshalb sind die Werte der Erhaltungsgrössen
pθ = Lz = m1 r0 v0 ,
m1 v20
E=H=
+ m2 g (r0 − l) .
2
(Die Konstante l darf auch weggelassen werden.)
Aufgabe 10.2. Hamilton-Formalismus II
Ein Teilchen der Masse m ist durch einen masselosen und undehnbaren Stab der Länge l an einem Ring
der Masse M verbunden. Der Ring kann sich entlang eines festen und unendlich langen Drahtes bewegen
(siehe Abbildung 2). Die Schwerkraft ist zu vernachlässigen. Die Bewegung der Masse m ist dreidimensional.
a) Bestimmen Sie die Lagrange-Funktion, die Hamilton-Funktion, und die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen.
b) Bestimmen Sie die Erhaltungsgrößen.
2
m
z
@
@ l
@
@
Draht
M @
h
*
Abbildung 2: Zwei Massen an einem Stab gebunden.
Lösung.
a) Wählen wir die Kartesischen Koordinaten so, dass der Draht entlang der z Achse ist. Dann
seien die verallgemeinerten Koordinaten z, θ, φ so, dass die Masse M an der Stelle (0, 0, z) ist, und
die Winkel θ, φ die Kugelwinkel fúr den Stab sind. Dann ist die Masse m an der Stelle
(xm , ym , zm ) ≡ (l sin θ cos φ, l sin θ sin φ, z + l cos θ) .
Die Lagrangefunktion ist deshalb
L=
1 2 1 2
Mż + m ẋm + ẏ2m + ż2m .
2
2
Die Berechnung ergibt
L=
1
M+m 2
ż − mżθ̇l sin θ + ml2 θ̇2 + φ̇2 sin2 θ .
2
2
Die verallgemeinerte Impulse sind:
pz = (M + m) ż − mθ̇l sin θ,
pφ = ml2 φ̇ sin2 θ,
pθ = ml2 θ̇ − mżl sin θ.
Wir können die Zeitableitungen durch die Impulse ausdrücken:
1
pθ
p
+
sin
θ
,
ż =
z
l
M + m cos2 θ
p M +m
1
θ
lθ̇ =
+
p
sin
θ
.
z
m
M + m cos2 θ l
Somit ist der Hamiltonian
H(pz , z, pθ , θ, pφ , φ) = pz ż + pθ θ̇ + pφ φ̇ − L
zu berechnen. Ein Vergleich mit (1) liefert
pz ż + pθ θ̇ + pφ φ̇ = 2L,
damit folgt H = L. Setzen wir dann ż, φ̇, θ̇ in L ein:
 2

p2φ
p2θ M + m 
 pz
1
pθ
 + pz sin θ +
 +
H=
.
l
M + m cos2 θ 2
2l2 m
2ml2 sin2 θ
3
(1)
Die Bewegungsgleichungen sind
∂H
= 0,
∂z
∂H
=0
ṗφ = −
∂φ
ṗz = −
p
p2φ cos θ
∂H
M+m
1
θ
ṗθ = −
=−
pz cos φ + 2mH cos θ sin θ +
,
2
3
2
∂θ
l
M + m cos θ
ml sin θ M + m cos2 θ
pz + plθ sin θ
∂H
=
ż =
,
∂pz
M + m cos2 θ
pφ
∂H
=
φ̇ =
,
2
∂pφ ml sin2 θ
1
∂H
=
θ̇ =
∂pθ
l
pθ M+m
l m
+ pz sin θ
M + m cos2 θ
.
b) Die Erhaltungsgrößen sind H, pz (Gesamtimpuls in z Richtung) und pφ (Drehimpuls um den Draht).
Dies ist einfach zu sehen, weil diese Impulse infolge der Hamilton’schen Gleichungen konstant
bleiben.
Aufgabe 10.3. Poisson-Klammern
a) In einem System treten L x und Ly als Erhaltungsgrößen auf. Bestimmen Sie weitere Erhaltungsgrößen durch Anwendung der Poisson-Klammern.
b) Nehmen Sie zusätzlich an, dass auch pz in dem System erhalten ist. Welche weitere Erhaltungsgrößen folgen daraus?
n
o
Lösung.
a) Wenn L x und Ly erhalten sind, dann ist auch L x , Ly = Lz erhalten. Weitere Grössen
bestehen nicht, weil die Poisson’schen Klammern zurück zu L x und Ly führen.
n
o
b) Wir berechnen {L x , pz } = −py und Ly , pz = p x . Deshalb sind auch alle Komponenten des Impulses
erhalten.
Aufgabe 10.4. Kanonische Transformationen I
Eine kanonische Transformation kann durch eine erzeugende Funktion F(p, Q) angegeben werden, wobei
p der alte Impuls und Q die neue Koordinate ist. Finden Sie die kanonische Transformationen (p, q) →
(P, Q) die aus den unten angegebenen erzeugenden Funktionen folgen.
a) F(p, Q) = p2 + Q2
2
b) F(p, Q) = − eQ − 1 tan p
4
Lösung. Die kanonischen Koordinaten genügen
P=−
a) F = p2 + Q2 ergibt
∂F
,
∂Q
q=−
P = −2Q,
∂F
.
∂p
q = −2p.
Diese Gleichungen bestimmen keine kanonische Transformation.
2
b) F = − eQ − 1 tan p ergibt
P = 2eQ eQ − 1 tan p,
q=
2
eQ − 1
cos2 p
.
Wir lösen diese Gleichungen, um (P, Q) durch (p, q) auszudrücken:
!
!
q
q
|cos p|
√
2
2
.
Q = ln 1 + q cos p , P = 2 1 + q cos p q sin p
cos p
Aufgabe 10.5. Kanonische Transformationen II
Bestimmen Sie, ob eine der folgenden Transformationen (p, q) → (P, Q) kanonisch ist:
a) P = q cot p, Q = ln q1 sin p
2
b) P = 12 αq2 1 + αp2 q2 , Q = arctan αq
p
Lösung. Die Bedingung ist {P, Q} = P,p Q,q − P,q Q,p = const. Wir müssen nun dieses überprüfen.
a) Q = ln q−1 sin p , P = q cot p. Dann
!
!
!
−q
q sin p
q cos p
−
− (cot p)
= 1.
{P, Q} =
sin p q2
sin p q
sin2 p
Deshalb ist diese Transformation kanonisch. Diese Transformation folgt aus der erzeugenden Funktion
q
F = q arcsin qeQ + e−2Q − q2 .
1
2
b) Q = arctan αq
p , P = 2 αq +
1 2
2α p .
Dann

 

!
 
p  1

1
α
αq

 − 
− 2  αq = 1.
{P, Q} =

2 q2
2 q2


α
α
α 1+
p 1 +
p 
p2
p2
Deshalb ist diese Transformation auch kanonisch. Diese Transformation folgt aus der erzeugenden
Function
αq2
F(q, Q) =
.
2 tan Q
5
Um diese Funktion zu bekommen, müssen wir zunächst p =
p=
∂F
∂q
als Funktion von q, Q umrechnen:
αq
,
tan Q
dann über q integrieren.
6