Mikroökonomie - Zusammenfassung und Formeln

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Mikroökonomie - Zusammenfassung und Formeln
Michael Schlegel
5. Januar 2012
1
1.1
Angebot und Nachfrage
Gleichgewicht in Wettbewerbsmärkten
Gesetz der Nachfrage: Marktnachfragefunktion ist streng fallend.
Gesetz des Angebots: Angebotsfunktion ist streng steigend.
Im Wettbewerbsgleichgewicht gilt:
Marktnachfrage D(p∗ ) = S(p∗ ) Marktangebot, bzw.
inverse Marktnachfrage D(q ∗ ) = S(q ∗ ) inverses Marktangebot
Ausserdem gilt: Veränderung Konsum/Veränderung Preis = Preiselastizität.
1.2
Komparative Statik
Lösung der Gleichung D(p∗ (a), a) = S(p∗ (a)) mit q ∗ (a) = S(p∗ (a)) = D(p∗ (a), a)
Veränderungen in Abhängigkeit von einem Parameter (a,b), wenn die Funktionen p∗ (a, b) und
q ∗ (a, b) nicht vorhanden sind:
Nachfrage, a
1.3
Angebot,b
δD
δa
Preisveränderung
dp∗ (a)
=
da
Mengenveränderung
dq ∗ (a)
dp∗ (a) dS
=
da
da dp
dS
dp
−
δD
δp
∗ 4a
dp∗ (b)
=
db
δS
δb
δS
dD
dp − δp
∗
∗ 4b
dq ∗ (b)
dp (b) dD
=
db
db dp
Elastizitäten
Preiselastizität
Nachfrage, a
dD(p) p
ε(p) =
dp D(p)
dD(a) a
da D(a)
Elastizität bzgl. a,b
ε(a) =
Preisänderung bzgl. a, b
4(p) =
Mengenänderung bzgl. a, b
4(q) = 4(p) ∗ η(p)
ε(a)
η(p)−ε(p)
Dabei gilt für die Ausgabenelastizität: ρ(p) = 1 + ε(p)
1
∗ 4a
Angebot,b
ds(p) p
η(p) =
dp S(p)
η(b) =
dS(b) b
da S(b)
4(p) =
η(b)
ε(p)−η(p)
∗ 4b
4(q) = 4(p) ∗ ε(p)
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
1.4
Michael Schlegel
Auswirkungen einer Steuer
Nachfrage und Angebotsfunktionen vorhanden
Konsumentenpreis unter Steuer τ : D(p∗d ) = S(p∗d − τ )
Produzentenpreis unter Steuer τ : p∗s = p∗d − τ
Gleichgewichtsmenge unter Steuer τ : q ∗ = D(p∗d ) = S(p∗s )
Veränderungen der Preise und Menge aufgrund der Steuer bestimmen: p∗d , p∗s , q ∗ mit τ multiplizieren.
Ohne Funktionen mithilfe von Elastizitäten
ε(p∗
Aufteilung der Steuerlast: − η(p∗)
η(p∗)
η(p∗)−ε(p∗) ∗ τ
ε(p∗)
η(p∗)−ε(p∗) ∗ τ
Änderung des Preises durch Steuer (Nachfrage):
Änderung des Preises durch Steuer (Angebot):
ε∗η q∗
Änderung der Menge durch Steuer: η−ε
p∗ ∗ τ
2
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
2
Michael Schlegel
Konsumententheorie
2.1
Präferenzen
Es gilt unter der Annahme, dass x und y Güterbündel sind (x = (x1 , x2 ) und y = (y1 , y2 )):
x y (x wird y streng vorgezogen)
y x (y wird x streng vorgezogen)
x ∼ y (x und y sind indifferent)
Eine Präferenzrelation gibt für jedes Paar von Gütern x und y an, ob die Beziehung x y
oder y x (oder keine) gilt. Ist solch eine Beziehung erfüllt, nennt man die Präferenzrelation
vollständig. Gilt ausserdem x y und y z und man kann daraus folgern, dass x z so ist die
Präferenzrelation transitiv. Vollständige und transitive Präferenzrelationen sind rational.
Weitere Annahmen zu artigen Präferenzrelationen:
• ist stetig und differenzierbar.
• ist streng monoton (”mehr ist besser”).
• ist streng konvex (Mischungen sind besser als Extreme).
Die Präferenzrelationen lassen sich als Indifferenzkurven darstellen, auf welcher alle Güterbündel
liegen, die den gleichen Nutzen erbringen. Die Steigung der Indifferenzkurve I(x) an der Stelle x
heisst die Grenzrate der Substitution an der Stelle x (GRS(x)).
2.2
Die Grenzrate der Substitution
Für eine artige Präferenzrelation gilt:
• Die Grenzrate der Substitution ist streng negativ: GRS(x) < 0
• Die marginale Zahlungsbereitschaft ist streng fallend entlang einer Indifferenzkurve.
2.3
Nutzendarstellung von Präferenzrelationen
Rationale Präferenzrelationen lassen sich durch eine Nutzenfunktion darstellen (Güterbündeln
wird ein Wert zugeordnet). Es ist nur wichtig, dass die Nutzenfunktion die Güter genauso ordnet
wie die Präferenzrelation, die Grössenverhältnisse spielen keine Rolle. Somit ist diese transformierbar, es kann also eine Funktion v(x) existieren für welche gilt: v(x) = f (u(x)) (streng monotone
Transformation).
Aus solch einer Nutzenfunktion lassen sich die Indifferenzkurven ableiten: diese entsprechen den
Niveaulinien der Nutzenfunktion. Die Ableitung der Nutzenfunktion beschreibt den Grenznutzen:
∂u(x)
∂xi
∂u(x)
∂x1
und ist somit
Mit Hilfe des Grenznutzen kann die GRS(x) bestimmt werden: GRS(x) = − ∂u(x)
∂x2
gleich dem (negativen) Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter. Eine Nutzenfunktion ist
somit artig, wenn sie streng quasikonkav ist und die Grenznutzen beider Güter streng positiv
sind.
3
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
2.4
Michael Schlegel
Beispiele für Nutzenfunktionen
Eine wichtige Funktion ist die Cobb-Douglas Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = xc1 ∗ xd2 mit c, d > 0
Diese wird häufig auch als u(x1 , x2 ) = xa1 ∗ x1−a
geschrieben, wobei a eine ökonomische Bedeutung
2
hat. Die Grenznutzen einer Cobb Douglas Funktion:
∂u(x)
a
=
∂x1
x1
und
∂u(x)
1−a
=
∂x2
x2
Eine weitere wichtige Funktion ist die quasilineare Nutzenfunktion: u(x1 , x2 ) = v(x1 )+x2 . Hieraus
ergibt sich eine Indifferenzkurve welche sich vertikal verschiebt (Achsenabschnitt). Die Grenznutzen einer quasilinearen Nutzenfunktion:
∂u(x)
= v 0 (x1 )
∂x1
2.5
und
∂u(x)
=1
∂x2
Die Budgetbeschränkung
Die Ungleichung p1 x1 + p2 x2 ≤ m beschreibt die Budgetbeschränkung. Daraus lässt sich die
Gleichung der Budgetgeraden ableiten: p1 x1 + p2 x2 = m. Umformen ergibt: x2 = pm2 − pp12 x1 ,
wobei pm2 den vertikalen Achsenabschnitt und − pp12 die (negative) Steigung der Geraden. Der relative Preis entspricht somit den Opportunitätskosten für ein zusätzliche Einheit von Gut 1.
Setzt man den Preis von Gut 2, p2 = 1 so bezeichnet man dies als Numeraire.
2.6
Optimale Güterbündel und Nutzenmaximierung
Ein Güterbündel x∗ ist dann optimal wenn es allen anderen Güterbündeln einer Budgetmenge
vorgezogen wird: x∗ x. Ist eine Präferenzrelation artig, gibt es in einer Budgetmenge genau ein
optimales Güterbündel, welches auf der Budgetgeraden liegen muss: p1 x∗1 + p2 x∗2 = m.
Weiterhin muss gelten, dass die Grenzrate der Substitution der Steigung der Budgetgerade entspricht: GRS(x) = − pp21 .
ACHTUNG: gibt es keine Güterbündel welche diese beiden Bedingungen erfüllen, gibt es keine
innere Lösung. Es muss sich also um eine Randlösung handeln: x∗ = (m/p1 , 0) oder x∗ = (0, m/p2 )
.
2.7
Beispiele für Nutzenmaximierung
Die Lösung der Nutzenmaximierung für eine Cobb Douglas Funktion: x∗1 = am/p1 und x∗2 =
(1 − a)m/p2 , wobei der Parameter a den Anteil beschreibt, welcher der Konsument für Gut 1
ausgibt.
Die Lösung der Nutzenmaximierung für eine quasilineare Nutzenfunktion: ein Güterbündel muss
die Bedingungen v ( x∗1 ) = p1 /p2 und x∗2 = (m − p1 x∗1 )/p2 erfüllen, ansonsten gibt es nur eine
Randlösung.
2.8
Die Nachfragefunktion eines Konsumenten
Die Nachfragefunktion beschreibt, welches Güterbündel der Konsument bei gegebenen Preisen
und Budget nachfragt. Dabei gilt:
Einkommenselastizität:
ξi (p, m) =
4
∂f1 (p, m)
m
∂m
fi (p, m)
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
Michael Schlegel
p1 f( p, m)
m
∂fi (p, m)
pi
εii (p, m) =
∂pi
fi (p, m)
Ausgabenanteil für das Gut i:
Eigenpreiselastizität:
Kreuzpreiselastizität:
θ(p, m) =
εij (p, m) =
∂fi (p, m) pj
∂pj
fi (p, m)
Ein Gut heisst normal, wenn die nachgefragte Menge des Gutes mit steigendem Einkommen zunimmt (marginale Zahlungsbereitschaft steigt in der Menge, ξi > 0). Nimmt sie ab heisst das Gut
inferior (marginale Zahlungsbereitschaft sinkt in der Menge, ξi < 0).
Gilt ξi (p, m) = 0 so ist die Nachfrage nach Gut i einkommensunabhängig (immer bei quasilinearen Präferenzrelationen).
Analog heisst das Gut i gewöhnlich, wenn die nachgefragte Menge im steigenden Preis abnimmt
(εii ≤ 0). Nimmt diese zu, handelt es sich um ein giffen Gut (εii > 0).
Nimmt die nachgefragte Menge für Gut i zu, wenn der Preis von Gut j ansteigt, so ist i ein Substitut für j (εij > 0). Nimmt diese ab bei einem Preisanstieg handelt es sich um ein Komplement
(εij < 0).
Zusammengefasst:
normal:
ξi > 0
inferior:
ξi < 0
gewöhnlich:
εii ≤ 0
giffen:
εii > 0
Substitut:
εij > 0
Komplement:
εij < 0
Die Nachfragefunktion für eine Cobb Douglas Nutzenfunktion:
f1 (p1 , p2 , m) = a
m
p1
und f2 (p1 , p2 , m) = (1 − a)
m
p2
• Ausserdem sind die Einkommenselastizitäten ξ1 = ξ2 = 1, beide Güter sind normal.
• Ausgabenanteile sind konstant: θ1 = a und θ2 = (1 − a)
• Eigenpreiselastizitäten: ε11 = ε22 = −1 beide Güter sind gewöhnlich.
• Kreuzpreiselastizität: ε12 = ε21 = 0 Güter sind weder Komplemente noch Substitute.
2.9
Eigenschaften artiger Nachfragefunktionen
• Budgetidentität: θ1 ξ1 + θ2 ξ2 = 1 → es ist unmöglich, dass alle Güter inferior sind.
• Homogenität vom Grad Null: εi1 + εi2 + ξi = 0 → ist Gut 1 gewöhnlich und inferior
muss es ein Substitut für Gut 2 sein.
• Negativer Substitutionseffekt: ε∗ii := εii + θi ξi ≤ 0 bei einer Einkommenskompensierten
Erhöhung des Preises von Gut i muss die nachgefragte Menge fallen.
• Allgemein: normale Güter sind gewöhnlich und Giffen Güter sind inferior (Umkehrschluss
nicht gültig!).
• Prüfungsgleichung: Gesamteffekt = Substitutionseffekt + Einkommeneffekt bzw. mit den
beschriebenen Kürzeln: εii = ε∗ii − θi ξi
5
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
2.10
Michael Schlegel
Ausgabenfunktion und kompensierte Nachfrage
Analog zum Nutzemaximierungsproblem kann man das Ausgabenminimierungsproblem definieren.
Übersicht:
Nutzenmaximierung
Ausgabenminimierung
Maximiere/Minimiere
u(x1 , x2 )
p1 x1 + p2 x2
Nebenbedingung:
p1 x1 + p2 x2 ≤ m
u(x1 , x2 ) ≥ ū
Lösung
x = f (p, m), unkompensierte
Nachfragefunktion
x = h(p, ū), kompensierte
Nachfragefunktion
Sonstige
indirekte
Nutzenfunktion:
U (p, m) = u(f1 (p, m), f2 (p, m))
Ausgabenfunktion:
E8p, ū) = p1 h1 + p2 h2
Eigenschaften:
• E(p, U (p, m)) = m bzw. U (p, E(p, ū)) = ū für gegebene Preise sind Ausgaben- und indirekte
Nutzenfunktion invers.
• Für gegebene Preise stimmen kompensierte und unkompensierte Nachfrage überein.
• Gegenseitig aus der vorhanden Lösung bestimmbar!
Kompensierte Nachfragefunktion für Cobb Douglas Funktion:
1−a
a
a p2
1 − a p1
h1 = ū
und h2 = ū
1 − a p1
a p2
Die kompensierte Nachfragefunktion von Gut i ist gleich der partiellen Ableitung der Ausgaben∂E(p, ū)
funktion nach pi :
= hi (p, ū).
∂pi
Weiter entspricht die Eigenpreiselastizität der kompensierten Nachfragefunktion der Substitutionselastizität der unkompensierten Nachfragefunktion.
2.11
Kompensierende und äquivalente Variation
Kompensierende Variation: Geldbetrag welcher der Konsument nach einer Preisänderung bekommen muss um dasselbe Nutzenniveau zu erreichen.
CV = E(p∗1 , p2 , ū) − E(p1 , p2 , ū)
Äquivalente Variation: Geldbetrag welcher abgezogen werden kann, damit der Nutzen um den
gleichen Betrag wie durch die Preisänderung fällt:
EV = E(p∗1 , p2 , u∗ ) − E(p1 , p2 , u∗ )
Diese stimmen in der Regel nicht überein, eine Ausnahme ist die quasilineare Präferenzrelation
(unkompensierte und kompensierte Nachfragefunktion sind gleich). Die Änderung der Konsumentenrente ist eine approximative Lösung des Problems und kann oft als das Wohlfahrtsmass für die
Preisänderung betrachtet werden.
2.12
Konsumentenrente
Die Differenz zwischen Zahlungsbereitschaft und Ausgaben für ein Gut heisst Konsumentenrente:
kr = v(x1 ) − z.
Eine Kopfsteuer stellt den Konsumenten immer besser als eine Mengensteuer (gilt ebenso für
Subventionen):
U (p1 + t, 1, m) < U (p1 )1, m − tx∗1 )
6
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
3
Michael Schlegel
Unternehmenstheorie
3.1
Produktionsfunktion
Die Produktionsfunktion f ordnet jeder Inputkombination (x1 , x2 ) die maximale Outputmenge y = f (x1 , x2 ), die mit dieser Inputmenge produziert werden kann. Die partielle Ableitung
wird als Grenzprodukt (analog zum Grenznutzen aus der Konsumententheorie) von i bezeichnet:
M Pi (x1 , x2 ).
Abnehmende Grenzprodukte: Die zweite Ableitung nach dem gleichen Input ist streng fallend:
M P11 (x1 , x2 ) < 0 und M P22 (x1 , x2 ) < 0
Komplementäre Inputs: Die zweite Ableitung nach dem anderen Input ist steigend oder konstant:
M P12 (x1 , x2 ) = M P21 (x1 , x2 ) ≥ 0
3.2
Kurzfristige Produktion
Bei der kurzfristigen Produktion wird ein Input als Fix vorgegeben (üblicherweise Input 2):
f (x1 , x¯2 ).Diese Funktion:
• ist steigend in der Einsatzmenge des variablen Faktors (x1 ): M P1 (x1 , x¯2 ) > 0
• hat eine fallende Steigung: M P11 (x1 , x¯2 ) < 0
• beginnt im Nullpunkt wenn der variable Faktor unverzichtbar (f (0, x¯2 ) = 0) ist (bei CobbDouglas der Fall).
• verschiebt sich nach oben bei Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors.
• wird aufgrund komplementärer Inputs steiler.
3.3
Durchschnittsprodukte und Produktionselastizität
Das Durchschnittsprodukt APi (x1 , x2 ) entspricht dem Verhältnis f (x1 , x2 )/x1 und ist in der Praxis
oft ein Mass für die Produktivität eines Inputs.
• APi (x1 , x2 ) ist steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs: APij (x1 , x2 ) > 0.
• APi (x1 , x2 ) ist streng fallend in der Einsatzmenge des eigenen Inputs: APii (x1 , x2 ) < 0
• Bei abnehmenden Grenzprodukten ist das Durchschnittsprodukt streng grösser als das Grenprodukt: APi (x1 , x2 ) > M Pi (x1 , x2 ).
• Die Produktionselastizität beschreibt das Verhältnis der relativen Änderungen bei einer
xi
M Pi (x1 , x2 )
∂f (x1 , x2 )
=
> 0.
Erhöhung der Einsatzmenge: εi (x1 , x2 ) =
∂xi
f (x1 , x2 )
APi (x1 , x2 )
• Bei abnehmenden Grenzprodukten sind die Produktionselastizitäten beider Inputs stets kleiner als 1: εi (x1 , x2 ) < 1.
• Bei einer Cobb-Douglas Funktion sind die beiden Produktionselastizitäten konstant.
3.4
Grenzrate der technischen Substitution
Hier analog zu den Indifferenzkurven und der Grenzrate der Substitution:
• Isoquanten I(y), geben alle Kombinationen von Inputmengen (x1 , x2 ) an, welche die Produktion von y ermöglichen.
7
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
Michael Schlegel
• Die Grenzrate der technischen Substitution gibt die Steigung einer Isoquante an:
P1 (x1 ,x2 )
GRT (x1 , x2 ) = − M
M P2 (x1 ,x2 ) < 0
Auch die Isoquanten verlaufen streng fallend und streng konvex, während die GRT streng negativ
ist. Der Absolutwert der GRT ist streng fallend entlang einer Isoquante, man spricht auch von
der fallenden Grenzrate der technischen Substitution.
3.5
Skalenelastizität und Skalenerträge
Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten: εs = ε1 + ε2 . Dabei gilt:
f (tx1 , tx2 ) < t · f (x1 , x2 )
εs < 1
=⇒
lokal fallende Skalenerträge, gilt global wenn:
εs = 1
=⇒
lokal konstante Skalenerträge, gilt global wenn:
f (tx1 , tx2 ) = t · f (x1 , x2 )
εs > 1
=⇒
lokal steigende Skalenerträge, gilt global wenn:
f (tx1 , tx2 ) > t · f (x1 , x2 )
Gilt eine der obigen Eigenschaften für alle (x1 , x2 ) > 0 so ist die Eigenschaft global. Man spricht
von global fallenden, global steigenden oder global konstanten Skalenerträgen.
3.6
Die Kostenfunktion
Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten an, die für die Produktion einer Outputmenge
erforderlich sind: Gesamtkosten = Fixkosten + variable Kosten (C(y) = F C + V C(y)). Analog
zum Grenzprodukt entspricht die erste Ableitung der Kostenfunktion nach der Outputmenge y
den Grenzkosten: M C(y) = C 0 (y). Dabei gilt M C(y) = V C 0 (y).
Die Durchschnittskosten setzen sich aus durchschnittlichen variablen Kosten und durchschnittliV C(y)
FC
chen Fixkosten zusammen: AC(y) = C(y)
= AF C(y) + AV C(y). Dabei gilt:
y = y +
y
• Die Durchschnittskosten liegen stets oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten:
AC(y) ≥ AV C(y).
• Die durchschnittlichen Fixkosten nehmen mit der Outputmenge ab: AF C 0 (y) ≤ 0.
• Die Steigung der Durchschnittskosten ist kleiner als die Steigung der durchschnittlichen
variablen Kosten: AC 0 (y) ≤ AV C 0 (y).
• Die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion: AC 0 (y) =
M C(y) > AC(y)
=⇒
Durchschnittskosten steigend.
M C(y) = AC(y)
=⇒
Durchschnittskosten konstant.
M C(y) < AC(y)
=⇒
Durchschnittskosten fallend.
M C(y)−AC(y)
.
y
Dadurch gilt:
Bei u-förmigen Durchschnittskosten schneiden sich die Grenz- und Durchschnittskosten im
Minimum der Durchschnittskosten. Die Grenzkosten sind an der Stelle streng steigend.
• Entsprechend für die Ableitung der durchschnittl. variablen Kosten: AV C 0 (y) =
Somit:
M C(y) > AV C(y)
=⇒
durchschnittlichen variablen Kosten steigend.
M C(y) = AV C(y)
=⇒
durchschnittlichen variablen Kosten konstant.
M C(y) < AV C(y)
=⇒
durchschnittlichen variablen Kosten fallend.
M C(y)−AV C(y)
.
y
Für einen u-förmigen Verlauf gelten dieselben Aussagen wie bei den Durchschnittskosten.
8
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
3.7
Michael Schlegel
Kurzfristige Kostenfunktion
Erneut wird ein Input als fix vorgegeben und es wird die minimale Einsatzmenge des variablen
Inputs gesucht, um einen gegebene Output y zu produzieren. Dies ist durch die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsmöglichkeiten gegeben: y = f (x∗1 (y, x¯2 ), x¯2 ). Für diese gegebene
Einsatzmenge ergibt sich somit für die kurzfristige Kostenfunktion: Cs (y) = w1 x∗1 (y, x¯2 ) + w2 x¯2 ,
wobei F C(y) = w2 x¯2 und V C(y) = w1 x∗1 (y, x¯2 ).
w1
∂Cs (y)
=
. In der kurzen Frist sind die Grenzkos∂y
M P1
w1
. Auch diese
ten streng steigend. Für die durchschnittlichen variablen Kosten gilt: AV C(y) = AP
1
Kosten sind streng steigend. Die kurzfristigen Durchschnittskosten AC(y) verlaufen u-förmig. Es
C(y)
M P1
folgt: AV
M C(y) = AP1 = ε1 .
Die Grenzkosten berechnen sich: M C(y) =
3.8
Das langfristige Kostenminimierungsproblem
Analog zur Konsumententheorie gilt es das Bündel (x∗1 , x∗2 ) zu bestimmen, welches das Problem
minw1 x1 + w2 x2 unter der Nebenbedingung f (x1 , x2 ) = y löst. Ein Hilfsmittel sind die Isokosw1
P1
w1
tenlinien (=Budgetgeraden) mit Steigung − w
. Somit müssen die Gleichungen M
M P2 = w2 und
2
∗
∗
f (x1 , x2 ) = y gelöst werden. Die Funktionen welche diese Lösungen zuordnen werden als bedingte
Faktornachfragefunktionen (=kompensierte Nachfragefunktionen) bezeichnet.
3.9
Langfristige Kostenfunktionen
Nun gibt es keinen fixen Faktor mehr und die Kostenfunktion lautet: C(y) = w1 x∗1 + w2 x∗2 . Die
Grenzkosten lassen sich nun für jeden Input bestimmen: M Ci (y) = MwPi i .
AC(y)
Für langfristige Kostenfunktionen gilt: M
C(y) = εS . Daraus lässt sich ableiten, dass bei der Kostenminimierenden Lösung (x∗1 , x2 ‘∗) gilt: sind die lokalen Skalenerträge bei (x∗1 , x2 ‘∗)
• fallend, so sind die Durchschnittskosten bei y steigend.
• konstant, so sind die Durchschnittskosten bei y konstant.
• steigend, so sind die Durchschnittskosten bei y fallend.
Treten global steigende Skalenerträge auf gilt: AC 0 (y) < 0 und M C(y) < AC(y)
Treten global konstante Skalenerträge auf gilt: AC(y) = M C(y) = k mit C(y) = ky.
Treten global fallende Skalenerträge auf gilt: AC 0 (y) > 0 und M C(y) > AC(y).
3.10
Kosten in der langen und der kurzen Frist
In der kurzen Frist gibt es keine Anpassungsmöglichkeiten, deswegen müssen bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten mindestens so hoch sein wie die langfristigen Kosten. Diese
stimmen überein, wenn die fixe Einsatzmenge der langfristig kostenminimierenden Einsatzmenge
entspricht. In diesem Fall gilt ausserdem: M C(y) = M CS (y, x∗2 ). Stimmen diese nicht überein,
dann:
x¯2 > x∗2
=⇒
M C(y) > M Cs (y, x¯2 )
x¯2 < x∗2
=⇒
M C(y) < M Cs (y, x¯2 )
3.11
Angebot in Wettbewerbsmärkten
Unternehmen sind Preisnehmer, haben also keinen auf den Preis p und erzielen den zu maximierenden Gewinn p · y. Wir gehen von der Kostenfunktion C(y) als gegeben aus und betrachten nur
Fälle mit entweder steigenden oder u-förmigen Grenzkosten. Dann lässt sich das Problem durch
Erfüllung dieser drei Bedingungen erfüllen:
9
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
Michael Schlegel
1. M C(y ∗ ) = p Bedingung erster Ordnung: Grenzkosten stimmen mit dem Preis überein.
2. M C 0 (y ∗ ) ≥ 0 Bedingung zweiter Ordnung: die Grenzkosten bei y ∗ sind steigend.
3. AV C(y ∗ ) ≤ p Durchschnittskostenbedingung: die durchschnittlichen variablen Kosten sind
geringer als der Preis.
Gibt es keine Menge welche diese Bedingungen erfüllt, ist es optimal y ∗ = 0 zu produzieren
(Stilllegungsbedingung).
Gewinnmaximierung bei steigenden Grenzkosten: bei steigenden Grenzkosten und M C(y ∗ ) =
p ist dies die einzige Lösung des Gewinnmaximierungsproblems. Gilt M C(0) ≥ p ist y ∗ = 0) die
einzige Lösung.
Gewinnmaximierung bei u-förmigen Grenzkosten: mit ŷ als Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten muss gelten, dass y ∗ > ŷ die Bedingung M C(y ∗ ) = p erfüllt um die
Lösung des Gewinnmaximierungsproblems zu sein. Für p < AV C(ŷ) ist y ∗ = 0 die Lösung. Für
p = AV C(ŷ) sind y ∗ = 0 und y ∗ = ŷ die Lösungen.
3.12
Die Angebotsfunktion eines Unternehmens
Die Angebotsfunktion eines Unternehmens ordnet einem Outputpreis p diejenige Outputmenge s(p) zu welche das Gewinnmaximierungsproblem bei Preis p löst und ist steigend in p. Für
p > M C(0) ist die Angebotsfunktion gleich der Umkehrfunktion der Grenzkosten (Angebot ist
bestimmt durch p = M C).
3.13
Komparative Statik der Angebotsfunktion
Ein Anstieg des Preises des fixen Faktors hat keinen Einfluss auf das kurzfristige Angebot. Ein
Anstieg des Preises des variablen Faktors führt zu einem geringerem kurzfristigen Angebot. Für
den Zusammenhang zwischen lang- und kurzfristigem Angebot gilt, dass das langfristige Angebot
elastischer ist.
3.14
Produzentenrente
Die Produzentenrente (= Deckungsbeitrag) ist definiert als Differenz zwischen Erlös r und den
variablen Kosten V C(y): pr = r−V C(y) und ist somit für ein gewinnmaximierendes Unternehmen:
Rp
pr = p·s(p)−V C(s(p)). Diese kann aus der Angebotsfunktion berechnet werden: pr(p) = 0 s(p̃)dp̃.
10
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
4
4.1
Michael Schlegel
Gleichgewicht und Effizienz in Wettbewerbsmärkten
Marktnachfrage und aggregierte Konsumentenrente
Die Marktnachfragefunktion
ergibt sich aus der Addition aller individueller Nachfragefunktionen:
Pn
D(p) = i=1 di (p). Achtung: Die Nachfragefunktionen werden horizontal addiert! Nicht die inversen Nachfragefunktionen addieren!
Analog ergibt sich die P
aggregierte Konsumentenrente
der Addition der individuellen KonsuPn
Paus
n
n
mentenrenten: KR =
i=1 kri =
i=1 vi (xi ) −
i=1 zi , mit vi als Zahlungsbereitschaft zi
als tatsächlich erfolgte Zahlung.R Somit kann diese mithilfe der Nachfragefunktion D(p) bestimmt
∞
werden und es folgt: KR(p) = p D(p̃)dp̃.
4.2
Marktangebot und aggregierte Produzentenrente
Ebenso wie die Marktnachfragefunktion errechnet sichP
auch die Marktangebotsfunktion durch Adn
dition der individuellen Angebotsfunktionen: S(p) = i=1 si (p).
Pm
Pm
Pm
Analog ergibt sich die aggregierte Produzentenrente: P R = j=1 prj = j=1 rj − j=1 V Cj (yj ),
mit V Cj (yj ) als variable Kosten für yj produzierte Einheiten und rjR als dem daraus resultierenden
p
Erlös. Aufgrund der Marktangebotsfunktion ergibt sich: P R(p) = 0 S(p̃)dp̃.
4.3
Allokationen, Effizienz und Wettbewerb
Eine Allokation (A) beschreibt die Aufteilung der Mengen eines Gutes welche die einzelnen Käufer
erhalten, deren geleisteten Zahlungen sowie die Mengen, welche die einzelnen Verkaufen bereitstellen und deren erhaltenen Zahlungen. Da es hier weder Steuern noch Subventionen gibt, muss die
Gesamtmenge des Gutes, welche die Käufer erhalten mit der Gesamtmenge, welche die Verkäufer
bereitstellen, übereinstimmen. Gleiches gilt für die Summe der Zahlungen.
Die Summe der aggregierten Konsumentenrente und aggregierten Produzentenrente bezeichnet
man als die aggregierten Handelsgewinne. Dieses Wohlfahrtsmass ignoriert die Frage der Verteilung auf die einzelnen Marktteilnehmer.
Eine Pareto Verbesserung einer Allokation setzt vorraus, dass alle Käufer und Verkäufer durch die
Veränderung besser gestellt werden.
Eine Allokation heisst Pareto-ineffizient, wenn es zu ihr eine Pareto Verbesserung gibt. Sie heisst
Pareto-effizient, wenn es zu ihr keine Pareto Verbesserung gibt. Ist eine Pareto Verbesserung
möglich, so gilt, dass die aggregierten Handelsgewinne in der neuen Verteilung höher sind. Der
Umkehrschluss gilt nicht!
Eine Allokation A ist genau dann Pareto-effizient, wenn sie die aggregierten Handelsgewinne mad Die Wettbewerbsallokation A∗ ist immer
ximieret, d.h. für alle Allokationen  gilt: HG ≥ HG.
pareto-effizient, da durch keine bilaterale Transaktion zwischen zwei Marktteilnehmern ihre jeweiligen Handelsgewinne vergrössert werden können. Es kann sehr viele Pareto-effiziente Allokationen
geben, da diese vom Preis unabängig sind (die individuellen Zahlungen haben keinen Einfluss auf
die Effizienz).
Die aggregierten Handelsgewinne im Wettbewerb HG∗ entsprechen der Summe von KR(p∗ ) und
P R(p∗ ) und können somit über die Marktnachfragefunktion und die Marktangebotsfunktion bestimmt werden.
11
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
4.4
Michael Schlegel
Wohlfahrtsauswirkungen einer Mengensteuer
Im Fall einer Steuer betragen die aggregierten Handelsgewinne:
HG∗ (τ ) = KR∗ (τ ) + P R∗ (τ ) + T ∗ (τ )
Die Steuereinnahmen T ∗ (τ ) sind für kleine τ steigend und für grosse τ fallend. Sowohl Konsumentenrente als auch Produzentenrente sind fallend mit steigendem τ . Das gleiche gilt auch für
die aggregierten Handelsgewinne. Diese Veringerung der aggregierten Handelsgewinne wird als
Zusatzlast bezeichnet. Das Wettbewerbsgleichgewicht mit Besteuerung ist somit ineffizient. Eine
Möglichkeit für eine Pareto-Verbesserung wäre die Mengensteuer mit einer Kopfsteuer zu ersetzen,
welche zu gleich grossen Steuereinnahmen führt.
2
Die aggregierte Konsumentenrente ist: a2 A−τ
a+b
2
b A−τ
Die aggregierte Produzentenrente ist: 2 a+b
Die Steuereinnahmen betragen: τ A−τ
a+b
1 A2 −τ 2
2 a+b
τ2
beträgt: 21 a+b
Die aggregierten Handelsgewinne sind:
Die Zusatzlast der Besteuerung
4.5
Wohlfahrtsauswirkungen anderer Markteingriffe
Beispiel 1
Staat setzt Stützungspreis p > p∗ fest: die aggregierten Handelsgewinne fallen und betragen
KR(p) + P R(p) − T , wobei T = [S(p) − D(p)] · p.
Beispiel 2
Liegt der Marktpreis p unterhalb von p > p∗ erhalten die Produzenten pro verkaufter Einheit
den Betrag p − p ausgezahlt. Hier bieten die Produzenten unabhängig vom Marktpreis S(p) an,
wodurch Staatsausgaben von S(p) · (p − p∗ ) entstehen.
4.6
Langfristiges Marktgleichgewicht und Marktzutritt
Kurze und lange Frist spielt eine Rolle, da die langfristige Marktangebotsfunktion normalerweise
elasitischer ist als die kurzfristige. Eine Verschiebung der Nachfragekurve hat eine kleinere Auswirkung auf den Wettbewerbspreis in der langen Frist als in der kurzen. Für die Wettbewerbsmenge
gilt das umgekehrte.
4.7
Ein Modell des freien Marktzutritts
Das kurzfristige Angebot s(p) eines aktiven Unternehmens entspricht der Inversen der Grenzkostenfunktion: M C(s(p)) = p. Das langfristige Angebot ist wie folgt bestimmt:
• für p < p̂ ist 0 die eindeutige gewinnmaximierende Menge.
• für p = p̂ sind 0 und ŷ gewinnmaximierende Mengen.
• für p > p̂ ist s(p) > ŷ die eindeutige gewinnmaximierende Menge.
wobei ŷ die Menge der minimalen Durchschnittskosten der aktiven Unternehmen bezeichnet. Diese
entsprechen: p̂ = AC(ŷ)
12
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
4.8
Michael Schlegel
Kurz- und langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
kurzfristig:
Die Anzahl der aktiven Unternehmen ist gegeben. Das Angebot entspricht: Sm (p) = m · · · (p). Der
∗
kurzfristige Wettbewerbspreis p∗m und die kurzfristige Wettbewerbsmenge qm
sind durch
∗
D(p∗m ) = Sm (p∗m ) = qm
gegeben.
langfristig:
Der einzige Kandidat für einen langfristigen Wettbewerbspreis ist p = p̂. Die dazugehörige Wettbewerbsmenge ist q ∗ = D(p̂). Für die Anzahl (m) Unternehmen muss gelten: m = D(ŷp̂) . Im
langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht erzielen alle Unternehmen Nullgewinne.
13
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
5
Michael Schlegel
Marktmacht und Marktstruktur
5.1
Das Monopolproblem
Preissetzungsproblem: Maximiere pD(p) − c(D(p)) mit bedingung erster Ordnung: M R(y ∗ ) =
M C(y ∗ ). Daraus ergibt sich als Lösung:
• Monopolmenge y ∗ =
• Monopolpreis: p∗ =
a−c
2b
a+c
2
• Monopolgewinn: π ∗ =
(a−c)2
4b
−F
mit a (Achsenabschnitt), b (Steigung) und c (Grenzkosten.
Der Grenzerlös des Monopolisten liegt im Gegensatz zur Wettbewerbssituation stets unterhalb des
Preises. Dadurch ist auch die Monopolmenge kleiner als die Wettbewerbsmenge, für den Preis gilt
das umgekehrte.
5.2
Wohlfahrtsanalyse des Monopols
Die Monopollösung ist pareto-ineffizient, da die aggregierten Handelsgewinne durch ein höheres
Angebot gesteigert werden könnten. Dies wird als Wohlfahrtsverlust des Monopols bezeichnet.
Regulierung wäre eine Möglichkeit, diese Wohlfahrtsverluste zu reduzieren. Alternativen dazu
wäre eine staatliche Bereitstellung des Monopolgutes oder Förderung des Wettbewerbs.
5.3
Monopol und die Elastizität der Marktnachfrage
Der Preis des Monopolisten liegt immer oberhalb seiner Grenzkosten. Für den Monopolpreis gilt
(Lerner Index):
p∗ − M C(D(P ∗ ))
1
=− ∗
∗
p
ε(p )
Die Marktnachfrage muss beim Monopolpreis also elastisch sein.
Alternativ kann die Bedinung erster Ordnung auch so geschrieben werden:
p∗ =
1
· M C(D(p∗ ))
1 + 1/ε(p∗ )
Bei konstanten Grenzkosten c und konstanter Preiselastiziät ε kann man so unmittelbar den Monopolpreis ablesen:
1
p∗ =
·c
1 + 1/ε
Je elastischer die Marktnachfrage, desto niedriger ist der Monopolpreis. Bei einer unendlich elastischen Nachfrage konvergiert der Preis gegen die Grenzkosten.
5.4
Komparative Statik im Monopol
Eine Steuer τ entspricht der Erhöhung der Grenzkosten um den Betrag τ . Somit fällt bei einer
Steuer die Monopolmenge und der Monopolpreis steigt. Der Preis berechnet sich:
p∗ (τ ) =
1
· [c + τ ]
1 + 1/ε
14
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
5.5
Michael Schlegel
Preisdiskriminierung 1. Grades
Hier handelt es sich um die perfekte Preisdiskriminierung, welche davon ausgeht, dass der Monopolist die Zahlungsbereitschaft vi (q) jedes Konsumenten kennt. Er produziert die Wettbewerbsmenge
und teilt diese effizient unter den Konsumenten auf (somit keine Ineffizienz). Jegliche Handelsgewinne kommen dem Monopolisten zueigen.
5.6
Preisdiskriminierung 2. Grades
Auch Mengendiskriminierung: der zu zahlende Preis hängt von der nachgefragten Menge ab.
Beispiel 1: Identische Konsumenten
Sind die Grenzkosten konstant und alle Konsumenten identisch in ihrer Zahlungsbereitschaft so
ergeben sich Preis (p) und Zutrittspreis (Z) wie folgt:
p = c,
Z = v(q ∗ ) − pq ∗
Auch in diesem Fall tritt keine Ineffizienz auf.
Beispiel 2: Konsumenten nicht identisch
Perfekte Preisdiskriminierung durch Mengendiskriminierung wie in Beispiel 1 ist nun nicht mehr
möglich. Dennoch lassen sich die Monopolgewinne durch Mengendiskriminierung steigern: wie sind
p und Z festzulegen, damit der Gewinn des Monopolisten maximiert wird? Es gibt zwei Lösungen:
1. Setze p = c und Z = kri (c), dann kauft nur Konsument i Der resultierende Gewinn ist
kri (c).
2. Setze p∗ als die Lösung von: max 2 · kr1 (p) + (p − c)(d1 (p) + d2 (p)) und Z = kr1 (p∗ ). Der
resultierende Gewinn ist: 2kr1 (p∗ ) + (p∗ − c)(d1 (p∗ ) + d2 (p∗ )).
5.7
Preisdiskriminierung 3. Grades
Von unterschiedlichen Gruppen von Konsumenten werden unterschiedliche Preise verlangt. Die
Preise für Gruppe i werden wie folgt festgelegt:
p∗i − c
1
=−
p∗i
εi (p∗i )
Daraus folgt, dass der Monopolist von der Gruppe den höheren Preis verlangt, deren Nachfrage
wenigre Preiselastisch ist.
5.8
Oligopol: Cournot-Modell
Zwei (oder mehr) Teilnehmer entscheiden simultan über ihre abzusetzende Menge und wollen
den Gewinn maximieren. Zur Übersicht zuzüglich die Situation bei Monopol und Wettbewerb:
Preis
Menge
Wettbewerb
c
(a − c)/b
Monopol
(a + c)/2
(a − c)/2b
Gewinn
−F
(a − c)2 /4b − F
5.9
Cournot Oligopol
a−c
c + n+1
1
a−c
n+1 · b
1
(1+n)2
·
(a−c)2
b
−F
Oligopol: Bertrand-Modell
Hier bestimmen die Uunternehmer simultan über die Preise. Die Konsumenten kaufen bei dem
Unternehmen, welches den niedrigsten Preis gesetzt hat. Dies führt zu genau einem Nash-Gleichgewicht,
bei dem alle Unternehmen den Wettbewerbspreis setzen: p∗1 = p∗2 = p∗i = c.
15
Zusammenfassung Mikroökonomie HS11
5.10
Michael Schlegel
Produktdifferenzierung
Bisher wurde von identischen Produkten ausgegangen. Wie verändert sich nun die Situation z.B.
betreffend Marktmacht, wenn differenzierte Produkte angeboten? Der Vorteil der Produktdifferenzierung liegt in einer besseren Befriedigung der Kundenbedürfnisse, während der Nachteil durch
die höheren Kosten besteht.
Wieviele Produkte N sollen nun angeboten werden? Es gilt:
• L =Grösse des Marktes
• F =Kosten ein zusätzliches Produkt in der Markt einzuführen
• t =Intensität der Konsumentenpräferenz für differenzierte Produkte
Dann ist die optimale Menge differenzierter Produkte:
r
t·L
∗
N =
2F
Der Gleichgewichtspreis bei mehreren Unternehmen ist (Achtung, hier ist N =Anzahl Unternehmen):
2t
p∗ = c +
N
Insgesamt wird sich die Anzahl der im Markt aktiven Unternehmen belaufen auf:
r
2·L·t
N̂ =
F
Es gilt ausserdem:
N̂ = 2N ∗
16
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