Theoretische Mechanik -¨Ubungen 9

Prof. Dr. A. Maas
Institut für Physik
N
G
A
R
W
A
I
Z
Theoretische Mechanik - Übungen 9
WS 2016/17
01. Dezember 2016
Präsenzaufgaben
Aufgabe P19: Funktional
Bestimmen Sie den Wert des Funktionals
Zt2 dq
S[q] = dt q 2 −
+ bt
dt
t1
auf der Kurvenschar M = q(t) = at2 + 1 wobei die Kurven durch den kontinuierlichen
Parameter a charakteristiert werden. Welche Werte von a und b extremalisieren S?
Aufgabe P20: Hamiltonfunktion
Betrachten Sie ein Teilchen der Masse m, welches, in Zylinderkoordinaten, dem Potential
V (ρ, φ, z) = v ln(ρ/ρ0 ) unterworfen ist, wobei v 6= 0 und ρ0 > 0 Konstanten sind.
a) Bestimmen Sie die Lagrangefunktion.
b) Bestimmen sie die Hamiltonfunktion mittles der Legendretransformation.
c) Stellen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen auf.
d) Gibt es Erhaltungsgrößen? Wenn ja, wieviele und welche?
Aufgabe P21: Hamiltonfunktion und Galileotransformationen
Betrachten Sie einen Versuchsaufbau, der sich mit gleichmässiger Geschwindigkeit v entlang der x-Achse bewegt. In diesem Versuchsaufbau befindet sich eine Masse m, die an
einer Feder der Federkonstanten k reibungsfrei ebenfalls entlang der x-Achse schwingt.
a) Bestimmen Sie die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
Verifizieren Sie explizit das ∂t H = −∂t L gilt.
b) Führen Sie eine Galileotransformation in das Ruhesystem des Versuchsaufbaus durch,
und wiederholen Sie die Aufgabe (a). Was fällt Ihnen auf?
Bitte kreuzen Sie die zwei Themen an, die Sie am schlechtesten verstanden haben. Wir
werden dann zur Vertiefung weitere Übungen zu den am meisten gewünschten Themen
stellen. Geben Sie dazu am Ende der Stunde diesen Abschnitt dem Betreuer ab.
2 Legendretransformation
2 Hamiltonsche Gleichungen
2 Generalisierte Impulse
2
1
Hausübungen
Aufgabe H20: Wiederbeurteilung
(8+5+5+12 Punkte)
Betrachten Sie die Lagrangefunktionen aus den folgenden alten Aufgaben und bestimmen
Sie jeweils die Hamiltonfunktion mittels Legendretransformation und die Hamiltonschen
Bewegungsgleichungen. Vergleichen Sie, wie schwierig Sie im Verhältnis die Lösung mittels
Lagrangegleichungen und Hamiltongleichungen finden.
a) P16:
L=
m 2
R (dt θ)2 + ω 2 sin2 θ + mgR cos θ.
2
Lösen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen für kleine Auslenkungen um
θ = 0. Was für eine Art Bahn finden Sie im Phasenraum?
b) P14:
L = mR(R(dt φ)2 + g)(1 − cos φ)
c) Führen Sie in der Lagrangefunktion von (b)/P14 zunächst die in P14 empfohlene Substitution u = cos(φ/2) (d. h. eine Punkttransformation, unter der die Lagrangeschen Gleichungen invariant sind) aus, und bestimmen Sie erneut die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen.
d) H14:
L =
m 2
M 2
s (∂t φ)2 +
r (∂t φ)2 + l2 (∂t θ)2 + 2lr(∂t φ)(∂t θ) cos(φ − θ)
2
2
+M gs cos φ + mg(r cos φ + l cos θ),
was sich von den vorhergehenden Beispielen dadurch unterscheidet, das es jetzt zwei
generaliserte Koordinaten gibt. Hinweis: Die Hamiltonfunktion ist
4lmpφ (l2 m−2pθ )r
(l2 m−2pθ )2 (mr 2 +M s2 )
8gl2 m2 r 2 (lm cos θ + (mr + M s) cos φ) +
+
2
cos(θ−φ)
cos (θ−φ)
H = −
.
2
2
2
8l r m
Abgabetermin: 15.12.2016 in der jeweiligen Übungen an Ihren Betreuer. Bitte jedes Blatt
mit Name, Name des Betreuers und Matrikelnummer versehen.
2
Lösungen:
Aufgabe P19
Dazu muß zunächst das Integral ausgeführt werden. Das es ein Polynom ist, ist das direkt
durchführbar und liefert
S[q] =
a2 5
2a
b
(t2 − t51 ) + (t32 − t31 ) + (t22 − t21 ) + t2 − t1 .
5
3
2
Zwar könnte man die Extremalisierung auch durch die Variation erreichen, in dem Fall
kann man das Funktional aber als Funktion von a auffassen, und damit die Extrema durch
Ableitung nach a bestimmen. Das liefert die Bedingung
a=−
10(t32 − t31 )
6(t52 − t51 )
Da S[q] ein Polynom zweiter Ordnung in a ist, mit positivem Koeffizienten, handelt es
sich um ein Minimum. Das Ergebnis hängt nicht von b ab.
Aufgabe P20
a) Die Zylinderkoordinaten sind bereites geeignete generalisierte Koordinaten. Die Lagrangefunktion ist dann
ρ
m
(dt ρ)2 + ρ2 (dt φ)2 + (dt z)2 − v ln
L=
2
ρ0
b) Die generalisierten Impulse sind
pρ =
pφ =
pz
=
∂L
∂dt ρ
∂L
∂dt φ
∂L
∂dt z
= mdt ρ
= mρ2 dt φ
= mdt z.
Die Hamiltonfunktion ist damit
H = pρ dt ρ + pφ dt φ + pz dt z − L
=
=
p2φ
p2φ
p2ρ
p2z
m p2ρ
p2z
+
+
−
+
+
m mρ2
m
2 m2 mρ2 m2
!
p2φ
1
ρ
2
pρ + 2 + p2z + v ln .
2m
ρ
ρ0
c) Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind
dt pρ =
− ∂H
∂ρ
= −
p2φ
mρ3
dt pφ = − ∂H
∂φ = 0
dt pz = − ∂H
∂z = 0
pρ
∂H
dt ρ = ∂p
=
ρ
m
pφ
∂H
dt φ = ∂pφ =
mρ2
pz
∂H
dt z = ∂p
=
.
z
m
3
−
v
ρ
!
+ v ln
ρ
ρ0
d) Die generalisierten Impulse pφ (Drehimpuls) und pz (Impuls in der z-Richtung) haben
beide verschwindende Ableitungen, und sind daher konstant. Außerdem hängt die Hamiltonfunktion nicht explizit von der Zeit ab, und es gibt keine Zwangsbedingungen. Sie ist
damit ebenfalls erhalten und gleich der Gesamtenergie. Es gibt also drei Erhaltungsgrößen.
Aufgabe P21
a) Da das Problem lediglich eindimensional anzugehen ist, reicht die Koordinate x. Die
Auslenkung der Feder ist dann d = x − vt, da die tatsächliche Auslenkung reduziert ist.
Die Lagrangefunktion ist
L=
m(dt x)2 k
− (x − vt)2 .
2
2
Damit ergibt sich die Hamiltonfunktion zu
∂L
= mdt x
∂dt x
p2
p2
k
p2
k
H = px dt x − L = x − x + (x − vt)2 = x + (x − vt)2 .
m 2m 2
2m 2
px =
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind dann
= − ∂H
∂x =
−k(x − vt)
px
∂H
=
dt x
= ∂p
x
m
∂t H = k(x − vt) = −∂t L.
dt px
b) Die Galileotransformation führt zu x = X + vt. Die neue Lagrangefunktion ist
L=
k
m
(dt X + v)2 − X 2 .
2
2
Diese kinetische Energie ist keine homogene Funktion der Ordnung zwei mehr.
Die Hamiltonversion ist
pX
H =
dt pX
∂L
= m(dt X + v)
∂dt x
p
mp2X
p2
k
k
X
pX dt X − L = pX
−v m−
+ X 2 = X − pX v + X 2
m
2
2
2m
2
∂H
−
= −kX
∂X
∂H
pX
=
−v
∂pX
m
0 = −∂t L.
= −
=
dt X =
∂t H =
Die Hamiltonfunktion hängt nicht mehr von der Zeit ab, und ist damit erhalten. Sie ist
aber nicht die Gesamtenergie.
Aufgabe H20
a) Der generalisierte Impuls ist
pθ = mR2 dt θ.
4
Die Hamiltonfunktion ist damit
p2θ
p2θ
mR2 ω 2
sin2 θ − mgR cos θ
−
−
mR2 2mR2
2
p2θ
mR2 ω 2
−
sin2 θ − mgR cos θ.
=
2mR2
2
Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sind
∂H
dt pθ = −
= mR sin θ Rω 2 cos θ − g
∂θ
pθ
∂H
=
.
dt θ =
∂pθ
mR2
H = pθ dt θ − L =
Für kleine Auslenkungen um θ = 0 reduzieren sich die Gleichungen auf
dt pθ = mRθ Rω 2 − g
pθ
.
dt θ =
mR2
Durch eine weitere Ableitung nach der Zeit einer von beiden Gleichungen kann man das
Problem lösen. Hierzu leite man die Gleichungen für den Impuls einmal ab, und erhält
pθ
Rω 2 − g .
d2t pθ = mRdt θ(Rω 2 − g) =
R
Das ist eine Schwingungsgleichung, mit der Lösung
pθ = ℜ aeiΩt + be−iΩt
r
g
Ω = ω 1− 2 .
ω R
Damit ergibt sich aus der zweiten Hamiltongleichung durch direkte Integration
1
iΩt
−iΩt
θ=ℜ
ae − be
.
iωmR2
Die Bahn im Phasenraum hängt jetzt davon ab, ob Ω reell ist (kleine Winkelgeschwindigkeiten
ω) oder nicht. Im ersteren Fall sind es geschlossene, periodische Bahnen. Im zweiten
Fall ist das nicht der Fall, und sowohl θ als auch pθ laufen nach unendlich, außer für
sehr spezielle Anfangsbedingungen. Obowohl also beides Winkelvariablen sind handelt es
sich nicht um geschlossene Bahnen. Natürlich bricht in diesem Fall auch die gemachte
Näherung für das System irgendwann zusammen.
b) Der generalisierte Impuls ist
pφ =
∂L
= 2mR2 (1 − cos φ)dt φ.
∂dt φ
Das ist anders als im vorhergehenden Fall, weil der generalisierte Impuls jetzt nicht nur
von der generalisierten Geschwindigkeit, sondern auch von der generalisierten Koordinate
abhängt. Die Hamiltonfunktion ist
!
2
p2φ
pφ
H = pφ dt φ − L =
− mR R
+ g (1 − cos φ)
2mR2 (1 − cos φ)
2mR2 (1 − cos φ)
=
=
p2φ + 4gm2 R3 (cos2 φ − 2 cos φ + 1)
4mR2 (cos φ − 1)
p2φ
8mR2 sin2 φ2
φ
− 2mgR sin .
2
5
Die Hamiltonschen Gleichungen sind


p2φ
∂H
φ
 cos
= −
= gmR +
∂φ
2
4mR2 sin3 φ2
dt pφ
dt φ =
pφ
∂H
=−
.
∂pφ
2mR2 (cos φ − 1)
Das wirkt erheblich komplexer als in der Lagrangeschen Formulierung.
c) Die Umkehrtransformation ist φ = 2 cos−1 u, wobei das nur gilt für φ im entsprechenden
Bereich der Periodizität. Damit ist die neue Lagrangefunktion
L = 2mR g(1 − u2 ) + 4R(dt u)2 .
Die zugehörige Hamiltonsche Formulierung liefert
pu = 16mR2 dt u
H = pu dt u − L =
p2u
p2u
p2u
2
2
−
2mR
+ 2gmR(u2 − 1)
=
g(1
−
u
)
+
2
2
3
16mR
64m R
32mR2
∂H
= 4gmRu
∂u
∂H
pu
dt u = −
=
∂pu
16mR2
dt pu = −
Das Ergebnis ist wieder wesentlich kompakter, und führt erneut auf Schwingungsgleichungen. Es ist in diesem Fall von vergleichbarer Komplexität wie in der Lagrangeschen Formulierung.
d) Die Sequenzen an Resultaten ist jetzt etwas aufwendiger, da zwei Legendretransformationen notwendig sind, und es am Ende vier Hamiltonsche Bewegungsgleichungen gibt.
Tatsächlich trifft man noch auf ein weiteres Problem bei der Berechnung der generalisierten
Impulse
pφ =
pθ =
∂L
= (mr 2 + M s2 )dt φ + lmr cos(φ − θ)dt θ
∂dt φ
lm
∂L
=
(l + 2r cos(θ − φ)dt φ),
∂dt θ
2
d. h. beide Gleichungen sind gekoppelt. Für die Legendretransformation ist es daher
notwendig, sie erst zu entkoppeln. Das liefert
dt φ =
dt θ =
2pθ − l2 m
2lmr cos(θ − φ)
(l2 m−2pθ )(mr 2 +M s2 )
cos(θ−φ)
.
2
2
2
2l m r cos(θ − φ)
2lmrpφ +
Da die Entkopplung zwar involviert ist, aber keine Wurzeln oder ähnliches enthält, gibt
es keine weiteren Subtilitäten zu beachten.
Die Hamiltonfunktion ist dann
H = pφ dt φ + pθ dt θ − L
4lmpφ (l2 m−2pθ )r
8gl2 m2 r 2 (lm cos θ + (mr + M s) cos φ) +
+
cos(θ−φ)
= −
8l2 r 2 m2
6
(l2 m−2pθ )2 (mr 2 +M s2 )
cos2 (θ−φ)
Die 4 Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ergeben sich zu
(l2 m−2pθ )((l2 m−pθ )(mr 2 +M s2 )+2lmrpφ cos(θ−φ)) tan(θ−φ)
cos2 (θ−φ)
4l2 m2 r 2
dt pθ
∂H
= −
=
∂θ
dt pφ
8gl2 m2 r 2 (mr + M s) sin φ +
∂H
= −
=−
∂φ
2
dt θ =
dt φ =
2
θ )(mr +M s
2lmrpθ + (l m−2p
∂H
cos(θ−φ)
=
∂θ
2l2 m2 r 2 cos(θ − φ)
∂H
2pθ − l2 m)
=
,
∂φ
2lmr cos(θ − φ)
2(l2 m−2pθ )((l2 m−2pθ )(mr 2 +M s2 )+2lmrpφ cos(θ−φ)) tan(θ−φ)
cos2 (θ−φ)
8l2 m2 r 2
2)
was insgesamt nicht wirklich nach einer Vereinfachung aussieht.
7
− 4gl3 m3 r 2 sin θ