Strom, Widerstand
Werbung
E. Riedle Der elektrische Strom E2p 29.06.2007 Strom = Transport elektrischer Ladungen Stromstärke I: Einheit: I dt 1Coulomb 1 Ampere 1Sekunde G j Stromdichte: von "-" nach "+" e- - Strom: technischer Strom: von "+" nach "-" dQ G G ³ j < dA I A Strom, der senkrecht zu einer Flächeneinheit fließt, die senkrecht auf der Stromrichtung steht E. Riedle PhysikLMU Ladungsträger und Leiter Nichtleiter: Stoffe, deren geladene Bausteine an festen Stellen fixiert sind (Isolatoren, Dielektrika) Leiter: Stoffe mit frei beweglichen Ladungsträger (z.B. Metalle) Elektronische Leiter: Strom wird von Elektronen getragen z.B. Metalle, Halbleiter Ionen-Leiter: Strom ist Bewegung von Ionen z.B. Elektrolyte – Säuren, Laugen, Salzlösungen Gemischte Leiter: Strom sowohl durch Elektronen als auch Ionen z.B. Gasentladungen und Plasmen I G G nq A <v U el G j Uel Uel G j G nq< v G j n q nq G j G U el < v e < n < v v U el Ladungsdichte G G n q < v n q < v E. Riedle PhysikLMU Kontinuitätsgleichung E. Riedle PhysikLMU Konsequenzen: - im stationären Fall fließt durch jeden Querschnitt derselbe Strom - Kirchhoff´sche Knotenregel E. Riedle PhysikLMU Leiter im elektrostatischen Feld Durch externe elektrostatische Felder werden die Ladungsträger im Leiter verschoben (Influenz). Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, das durch folgende Bedingungen charakterisiert wird: G G - E(r ) 0 im Leiter G - M (r ) 0 im Leiter - das elektrische Feld steht senkrecht auf der Oberfläche - die Leiteroberfläche ist eine Äquipotentialfläche Durch eine am Leiter angelegte Spannung kann ein zeitlich konstantes Feld erzeugt werden. Dadurch wird eine Drift der Ladungsträger erzwungen. E. Riedle PhysikLMU Elektrischer Widerstand, Ohmsches Gesetz Bei metallischen Leitern beobachtet man, dass I proportional zu U ist. Der Widerstand R wird wie folgt definiert: R= Spannung U = Strom I Definition der Einheit: [ U] V [R] = = = Ω = Ohm [I ] A Experimentalphysik III / AG Festkörperspektroskopie Versuch Strom-Spannungs-Kennlinie Ohmsches Gesetz Für einen metallischen Leiter ist bei konstanter Temperatur der Widerstand R = U/I eine Konstante, die nur von Materialeigenschaften und Gestalt abhängt. Widerstand R eines massiven Körpers abhängig von Material Temperatur Gestalt Spezifischer Widerstand Abhängigkeit des Widerstandes von der Gestalt Versuch Widerstand verschiedener Längen und Querschnitte R=ρ l A [ρ ] = [R] [A] = Ωm [l ] ρ := Spezifischer Widerstand, Nur vom Material abhängig. Abhängigkeit des spezifischen Widerstands vom Material kleines ρ mittleres ρ großes ρ Metalle Halbleiter Isolatoren ρ (Cu) = 1.7 ⋅ 10-8 Ωm ρ (Ge) = 10-3 Ωm ρ (Glas) = 10 6Ωm ρ (Fe) = 9.8 ⋅ 10-8 Ωm ρ (Si) = 120 Ωm ρ (Quarz) = 10 10Ωm ρ (Konstantan) = 50 ⋅ 10-8 Ωm ρ (Teflon) = 10 13Ωm Frage 5.3.d: Ein Kupferdraht hat einen Durchmesser von 2.6 mm. Der spezifische Widerstand des Materials ist 1.77 µΩ cm. An einer 200 m langen Leitung dieses Drahtes liegt eine Spannung U = 20 V an. 200m 2 l = 1.77 ⋅ 10 −8 Ωm ⋅ ≈ Ω A (1.3 ⋅10−3 m)2 ⋅ π 3 U 20 ⋅ 3 V I= = = 30 A R 2 Ω R=ρ U = RI Leitfähigkeit, Spezifischer Widerstand und Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands einiger Werkstoffe bei 200C Werkstoff Leitfähigkeit κ in 106 ⋅ (Ω m ) Silber Kupfer Gold Aluminium Wolfram Messing Eisen Platin Zinn Blei Neusilber (Cu, Ni, Ma, Fe) Konstantan (Cu, Ni, Mn) Quecksilber Manganin (Cu, Fe, Mn, Ni) Chromnickel (Cr, Ni, Fe) Germanium (Eigenleitung) Silizium (Eigenleitung) Porzellan 62,5 56,5 44 35 18 14 ... 11 10 ... 7 9 ... 7 8,33 4,76 3,33 2 1,03 2,5 1 2,2 10-6 1,6 10-9 0,2 10-18 • • • −1 Spezifischer Widerstand Temperaturkoeffizient des spezifischen Widerstands ρ in 10 −6 ⋅ Ωm α 20 in 10 −3 ⋅ K −1 0,016 0,0177 0,023 0,02857 0,055 0,07 ... 0,09 0,10 ... 0,14 0,11 ... 0,14 0,12 0,21 0,30 0,50 0,97 0,4 1 0,454 106 0,625 109 5 1018 3,8 3,93 4,0 3,77 4,1 1,5 4,5 ... 6 2 ... 3 4,3 4,2 0,35 -0,035 0,8 0,01 0,05 • • • Spezifischer Widerstand für Metalle: Drude-Modell • In einem evakuierten Kondensator mit freien Elektronen, werden diese kontinuierlich beschleunigt und die Geschwindigkeit steigt ständig an. • In einem Festkörper (Metall) sind die positiven Ionenrümpfe örtlich fixiert. Die Leitungselektronen können sich frei bewegen. Aufgrund ihrer kleinen Masse bewegen sie sich bei Zimmertemperatur sehr schnell (Boltzmann, ½ mv2 = 3/2 kT). Sie stoßen statistisch mit den Kationen und equilibrieren dabei die Energie. " freies Elektronengas " • Bei einem angelegten Feld wird der statistischen Bewegung eine leichte Vorzugsrichtung aufgeprägt. Dadurch entsteht eine gerichtete Driftgeschwindigkeit, die viel kleiner als die durchschnittliche thermische Geschwindigkeit ist. • Es ergibt sich eine Driftgeschwindigkeit, die linear vom elektrischen Feld, also der angelegten Spannung abhängt. Damit wird auch der Nettostrom proportional zur Spannung Æ Ohmsches Gesetz ! E. Riedle PhysikLMU Wärmeleitung bei Metallen - Wiedemann-Franzsches Gesetz x Umbesetzungen und Gleichgewichtsstörungen sind nur an der Fermi-Kante möglich. x Nur Elektronen an der Fermi-Kante sind für Transportprozesse wichtig. x Elektronenpakete bewegen sich mit Fermi-Geschwindigkeit v F 2 EF m x In Metallen sind diese Elektronen zumeist sowohl für Wärme- (O) als auch für elektronische Leitfähigkeit (V) verantwortlich. x Die freie Weglänge ist dann ebenfalls für beide Prozesse gleich. Daher gilt für Metalle häufig folgender fundamentaler Zusammenhang - das WiedemannFranzsche Gesetz: O V S2 § kB 3 ¨© e 0 2 · ¸ T ¹ LT Die universelle Konstante L wird als Lorenz-Zahl bezeichnet: L S2 § kB 3 ¨© e 0 · ¸ ¹ 2 2, 45 10 8 W: K2 Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands Versuch Metalle Widerstand nimmt mit Temperatur zu PTC- Materialien (positiv temperature coefficient ) Halbleiter Widerstand nimmt mit Temperatur ab NTC- Materialien Leitfähigkeit Beim Halbleiter tragen Löcher und Leitungselektronen zur Leitfähigkeit bei. Die Leitungselektronen sind erst aufgrund thermischer Anregung im Leitungsband und fehlen im Valenzband. Daher ist die Konzentration der Löcher gleich der der Leitungselektronen. Die Leitfähigkeit ergibt sich aus der Beweglichkeit der Leitungselektronen P und der der Löcher P sowie der intrinsischen Ladungsträgerdichte n i (= Dichte der Leitungselektronen = Dichte der Löcher): V e 0 ni P P Die Fermi-Dirac-Statistik liefert E gap V v n i v e 2 k B T PM II, WS 02/03 S. Lochbrunner Entdeckung der Supraleitung 1908 Verflüssigung des He (4,2 K) 1911 Entdeckung der Supraleitung 1913 Nobelpreis LMU Physik Entwicklung der Supraleitung: Sprungtemperatur Elemente komplexe Verbindungen, HTSL=oxidische Supraleiter Tc 2000 1.0 HgBa2Ca2Cu3O8 Tc = 135K 0.8 0.6 0.2 0.0 0 LN2 (77K) 0.4 LHe (4.2K) LNe (27.5K) norm. Widerstand R/R300K 1911 50 100 150 200 250 300 Temperatur [K] Einzigartige Effekte der Supraleitung Anwendungen des dissipationsfreien Stromtransportes : - Kabel Magnete (Labor, Kernspintomographie, Beschleuniger, Magnetscheider, Energiespeicher, Motoren, Generatoren, Trafos, ......) schnelle Sicherungen (‚Fault Current Limiter‘) verwandter Effekt: -> passive HF-Bauelemente (Filter, Resonatoren, .....) NbTi-Multifilamentkabel Segment eines sl. Forschungsmagneten (FZK) Kernspintomographie Prof. Paschos, Paschos, Prof. Wille SS 1999 Entladekurve eines Kondensators laden entladen IC U(t) R C Zunächst wird der Kondensator über den Schalter mit der Batterie verbunden und lädt sich auf die Spannung U0 auf. Danach schaltet man auf den Widerstand R um, so daß über ihn Strom fließt. t = 0 : U (0 ) = U 0 ⇒ dU U und I R = dt R Da beim Entladen UC = UR ist, folgt dU U dU 1 = − ⇒ = − dt dt RC U RC IC = − C IR U0 Für die Spannung gilt Integration liefert sofort 1 ln U = − t+ A RC ⇒ Die Konstante A folgt wieder aus der Anfangsbedingung. exp( A) = U 0 U0 Der Verlauf der Kondensatorspannung ist also t ⎞ U (t ) = U 0 exp⎛⎜ − ⎟ ⎝ RC ⎠ Nun ist I ⎡ A s⎤ C= dU dt ⎢⎣ V ⎥⎦ und t ⎞ ⎟ ⎝ RC ⎠ U (t ) = exp( A) exp⎛⎜ − U ⎡ V⎤ R= I ⎢⎣ A ⎥⎦ U0 e Das Produkt I U [s ] dU dt I hat also die Einheit „Sekunde“. Es gibt die Zeit an, nach der die Spannung auf den Wert U0/e abgefallen ist. RC = t RC Entladekurve eines Kondensators Ladekurve eines Kondensators I(t) R U0 U(t) C Der Strom durch den Kondensator ist U − U (t ) dU I (t ) = 0 und I (t ) = C R dt Also folgt U 0 U (t ) dU − =C R R dt Zu Beginn sei der Kondensator entladen, dann ist die Anfangsbedingung t = 0 : U (0) = 0 Damit erhalten wir die inhomogene Gleichung dU U 1 + U= 0 dt RC RC Die homogene Lösung UH(t) ist bereits bekannt, sie lautet t ⎞ U H (t ) = exp A ⋅ exp⎛⎜ − ⎟ ⎝ RC ⎠ Eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung findet man leicht, denn lim U P (t ) = U 0 t→ ∞ Also lautet die gesuchte Lösung t ⎞ U (t ) = exp A ⋅ exp⎛⎜ − ⎟ + U0 ⎝ RC ⎠ Ladekurve eines Kondensators U0 Also folgt 0 = exp A + U 0 ⇒ exp A = − U 0 ∝ 1− e − t RC Damit erhält man die gesuchte Ladekurve eines Kondensators: ⎡ t ⎞⎤ ⎟ ⎝ RC ⎠ ⎥⎦ U (t ) = U 0 ⎢1 − exp⎛⎜ − ⎣ t Elektrische Leistung Die Laufzeit ist ∆x ∆x = ρ v Damit folgt die Leistung zu v P= ∆W ∆Q A Die Geschwindigkeit der Ladungen im Leiter ist I = const. v= ρA Die Kraft auf die Ladung ist r r ∆U F = ∆Q E = ∆Q ∆x Die geleistete Arbeit ist dann ∆W = F ∆x = ∆Q ∆U = ρ A∆x ∆U dW U < dQ dt dt U< ∆t = A ∆x I ρ A∆x I ∆U = I ∆U ρ A∆x Am Widerstand R liegt die Spannung U, also wird U2 2 P [ Watt] = I ⋅ U = I R = R Die geleistete Arbeit ist t W = ∫ P dτ = P ⋅ t 0 kurze Ableitung der Verlustleistung P ∆t = dQ dt U <I [Watt·s] oder [kWh] (Joulesche Wärme) I2 R U2 R Parallel- und Reihenschaltung E. Riedle PhysikLMU
