M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit

M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik
Zur Erinnerung:
Die Wahrscheinlichkeit w, dass ein bestimmtes Ereignis A eintrifft, wird mit einem Quotienten
berechnet:
w (A) =
Beispiel:
Anzahl günstige Fälle
Anzahl mögliche Fälle
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit aus der Urne, eine
gestreifte Kugel zu ziehen?
Günstige Fälle gibt es 3 (drei Kugeln haben die gewünschte
Musterung) und mögliche Fälle gibt es 12 (es hat im ganzen
zwölf Kugeln).
3 1
also rechnen wir w ( A ) =
=
12 4
Für den Term 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 schreibt man kurz 4! (sprich „4 Fakultät“)
TR: 4 dann Taste PRB tippen dann mit Pfeil zweimal nach rechts zum ! hüpfen.
1.
Würfeln:
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander
1 1 1
eine 6 zu würfeln?
Lösung: ⋅ =
6 6 36
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit zweimal hintereinander eine Zahl kleiner als 5 zu würfeln?
4 4 16 4
Lösung: ⋅ =
=
6 6 36 9
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit nach drei Würfen mindestens eine 6 zu würfeln?
(Tipp: Gegenereignis überlegen!)
5 5 1
5 1 1 1 1 1 91
5 5 5
125
91
Lösung: 3 ⋅ ⋅ ⋅ + 3 ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
oder 1- ⋅ ⋅ = 1 −
=
6 6 6
6 6 6 6 6 6 216
6 6 6
216 216
d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten
Würfel die Summe der Augenzahlen genau 11 ist?
2
1
Lösung: 2 Möglichkeiten: 5+6 oder 6+5 =
=
36 18
e) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten
Würfel die Summe der Augenzahlen genau 10 ist?
3
1
Lösung: 3 Möglichkeiten: 5+5 oder 6+4 oder 4+6 =
=
36 12
f) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit einem gelben und einem roten
Würfel die Summe der Augenzahlen grösser als neun ist?
Augensumme grösser als 9:
6 + 4 / 4 + 6 / 5 + 5 / 5 + 6 / 6 + 5 / 6 + 6  6 Möglichke ite n
(günstige Fälle)
Insgesamt gibt es mit zwei Würfeln 62 Möglichkeiten.
(mögliche Fälle)
Wahrscheinlichkeit =
Anzahl günstige Fälle
6 1
=
=
Anzahl mögliche Fälle 36 6
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 1 Lösungen
Verschiedenes:
2.
Bei einem Spiel mit einem Würfel gewinnt man 2 Fr. wenn man eine Zahl Würfelt, die durch 3
teilbar ist. Der Einsatz kostet 1 Fr.
1
a) Wie gross ist bei diesem Spiel die Wahrscheinlichtkeit 2 Fr. zu gewinnen? Lösung:
3
2
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man den Einsatz verliert? Lösung:
3
c) Wie viele Fr. Erlös kann eine Klasse, die dieses Spiel an einem Jugendfest anbietet, theoretisch
machen wenn 150 Schüler mitgemacht haben?
Lösung: Einnahmen 150 Fr. minus 50 Gewinner  100 Fr. = 50 Fr.
3.
Ein Kreisel mit 10 Ecken ist in den Sektoren wie folgt beschriftet:
1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4
a) Notiere zu den Zahlen 1 bis 4 die Wahrscheinlichkeiten, dass sie beim Kreiseln getroffen werden.
1
3
2
1
Lösung: 1
,2 ,3 ,4
10
5
5
10
b) Der Einsatz kostet 1 Fr.
Wenn man die Zahl 4 trifft werden 4 Fr. Gewinn ausbezahlt.
Wenn man die Zahl 2 trifft werden 2 Fr. Gewinn ausbezahlt.
Es spielen 200 Personen mit. Wie viel Fr. Erlös können so theoretisch erwirtschaftet werden?
Lösung: Einnahmen 200 Fr. minus 20 mal 4 Fr. minus 40 mal 2 Fr. = 40 Fr.
4.
Du hast fünf T-Shirts und vier Paar Hosen und sechs Paar Schuhe.
a) Wie viele Möglichkeiten hast du, um dich zu kleiden? Lösung: 5 ∙ 4 ∙ 6 = 120 Mögl.
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn drei Personen je eines dieser fünf T-Shirts anziehen sollen?
Lösung: 5 ∙ 4 ∙ 3 = 60 Mögl.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei von diesen fünf T-Shirts jemandem zu verschenken?
5⋅ 4⋅3
Lösung:
Reihenfolge unwichtig
= 10
3 ⋅ 2 ⋅1
5.
Du wirfst viermal hintereinander eine Münze
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 4-mal Kopf oder 4-mal Zahl zu werfen?
4
1
 1
Lösung:   =
16
 2
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 3-mal Kopf und 1-mal
Zahl zu werfen?
4 1
Lösung:
= Es gibt 4 Möglichkeiten kkkz, kkzk, kzkk, zkkk
16 4
k
6.
z
k
k
z
k
z
c) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit 2-mal Kopf und 2-mal Zahl zu werfen?
6 3
Lösung:
= Es gibt 6 Möglichkeiten kkzz, kzzk, zkkz, zzkk, zkzk, kzkz
16 8
Zahlenlotto
k
k
z
z
k
z
k
z
k
z
k
z
k
z
k
z
k
z
z
ab Nr. 9 eher schwer!!
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei Schüler auf drei nummerierte Stühle zu setzen?
(Die möglichen Anordnungen nennt man Permutation)
Lösung:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 1. Stuhl 3 Mögl. 2. Stuhl 2 Mögl.3. Stuhl 1. Mögl.
 3 mal 2 mal 1 Möglichkeiten = 3! = 6 Möglichkeiten
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Klasse mit 20 Schülern drei auszuwählen und sie auf
drei nummerierte Stühle zu setzen?
(Variation, geordnete Stichprobe, Reihenfolge ist wichtig!)
Lösung: 20 mal 19 mal 18 Möglichkeiten = 6840
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 2 Lösungen
k
z
k
6
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einer Klasse mit 20 Schülern einfach drei auszuwählen.
(Kombination, ungeordnete Stichprobe, Reihenfolge ist unwichtig!)
20 ⋅ 19 ⋅ 18
Lösung:
= 1140
3 ⋅ 2 ⋅1
Erklärung für den Zähler:
Für die erste Wahl habe ich 20 Möglichkeiten. Für die zweite Wahl noch 19 Möglichkeiten. Für die dritte
Wahl noch 18 Möglichkeiten.
Erklärung für den Nenner:
Bei der Wahl müssen die Permutationen noch ausgeschlossen werden, da die Kombinationen
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA nicht unterschieden werden können:
3 Schüler können auf 3 . 2 . 1 Arten angeordnet werden  3! = 6
Die allgemeine Formel für Auswahlen aus einer Anzahl Elementen, wenn die Reihenfolge unwichtig ist:
Alle Möglichkeiten, wenn aus n Elementen k Elemente ausgewählt werden. Variation
n
  bedeutet „n tief k“ und wir so berechnet:
k
n
n!
n!
  =
: k! =
( n − k )! ⋅ k!
 k  ( n − k )!

20!
17! ⋅ 3!
Zahlenbeispiel
Siehe Aufgabe 6c
n= 20, k=3
Anzahl Permutationen, die ausgeschlossen werden müssen weil die Reihenfolge unwichtig
Diese Formel kann insbesondere bei allen Lotterien 6 aus 45 oder 6 aus 49 oder 3 aus 8
angewendet werden.
 20 
Eintippen von   im TR: 20 dann Taste PRB tippen dann mit Pfeil einmal nach rechts zu nCr
3
hüpfen und dann 3 eintippen.
7.
Beim Spiel «3 aus 5» gibt es 10 verschiedene Ziehungen.
Schreibe die 10 verschiedenen Möglichkeiten auf.
Kombinationen (ungeordnete Stichprobe = Zahlenlotto)
10
124
142
125
152
134
143
135
153
145
154
234
243
235
253
245
254
345
354
213
231
312
321
214
241
412
421
215
251
512
521
314
341
413
431
315
351
513
531
415
451
514
541
324
342
423
432
325
352
523
532
425
452
524
542
435
453
534
543
Permutationen
123
132
6
(Anzahl Variationen geordnete Stichproben) = (Anzahl Kombinationen) mal (Anzahl Permutationan)
60
=
10
•
6
Umgekehrt:
(Anzahl Kombinationen) = (Anzahl Variationen geordnete Stichproben) durch (Anzahl Permutationan)
10
=
60
:
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 3 Lösungen
6
8.
A Weshalb ist es bei «3 aus 5» unmöglich, 0 Richtige zu tippen?
B Weshalb gibt es bei «2 aus 5» gleich viele verschiedene Möglichkeiten wie bei «3 aus 5»?
C Weshalb sind bei «3 aus 5» 2 richtig getippte Zahlen wahrscheinlicher als eine richtig getippte Zahl?
A
Es können höchstens 2 Zahlen gezogen werden, die nicht getippt wurden.
Beispiel: Es wurden die Zahlen 1, 2 und 3 getippt. Gezogen werden vorerst die 4 und die 5. Die dritte
gezogene Zahl ist dann 1, 2 oder 3.
B
Es werden 3 aus 5 Zahlen gezogen, 2 aus 5 Zahlen bleiben in der Urne.
Jedem gezogenen Zahlentripel entsprechen 2 Zahlen, die nicht gezogen wurden.
123–45
124–35
125–34
etc.
C
Begründung mit einem Beispiel:
Es werden die Zahlen 1, 2 und 3 getippt.
3 richtig getippte Zahlen: 123
1 Möglichkeit
2 richtig getippte Zahlen: 124, 125, 134, 135, 234, 235
6 Möglichkeiten
1 richtig getippte Zahl: 145, 245, 345
3 Möglichkeiten
Sprachliche Begründung:
Wenn bloss eine Zahl richtig getippt werden soll, müssen die beiden nicht getippten Zahlen gezogen
werden. Dazu kommt eine der drei getippten Zahlen, was total drei Möglichkeiten ergibt. Es gibt eine
Möglichkeit, alle drei Zahlen richtig zu tippen. Von den total 10 verschiedenen Tipps bleiben also 10 –
3 – 1 = 6 für zwei richtig getippte Zahlen.
9. Bestimme die Anzahl möglicher Tipps bei folgenden Spielarten.
… aus 5
3
… aus 6
5 ∙ 4 ∙ 3 / (3 ∙ 2 ∙ 1) 6 ∙ 5 ∙ 4 / (3 ∙ 2 ∙ 1)
= 10
= 20
… aus 8
… aus 10
… aus 15
56
120
455
4
5
15
70
210
1 365
5
1
6
56
252
3 003
1
28
210
5 005
8
120
6 435
6
7
10. Eine Klasse organisiert ein Spielfest. Unter anderem wird Zahlenlotto nach dem Modus «3 aus 8»
gespielt, wobei mehrere Ziehungen durchgeführt werden. Insgesamt gibt es also
verschiedene Tipps.
Ein Tipp kostet 1.00 CHF.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für
A
3 richtig getippte Zahlen?
B
2 richtig getippte Zahlen?
C
1 richtig getippte Zahl?
D
0 richtig getippte Zahlen?
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 4 Lösungen
8⋅7⋅6
= 56
3 ⋅ 2 ⋅1
A
1
56
B
15
56
Berechnung:
Es gibt 3 Möglichkeiten, von den 3 gezogenen Zahlen 2 richtig (2 aus 3) zu tippen (bei den
Zahlen 123 wären dies 12, 13 und 23).
Zu jeder dieser 3 Möglichkeiten gibt es 5 Möglichkeiten, eine Zahl falsch zu tippen, total also 3
∙ 5 Möglichkeiten.
C
5⋅4
30
3⋅
= 30
56
2 ⋅1
Es gibt 3 Möglichkeiten eine Trefferzahl zu tippen und dann noch 10 Möglichkeiten 2 aus 5
nicht Trefferzahlen zu tippen.
D
5⋅ 4⋅3
10
=
= 10
56
3 ⋅ 2 ⋅1
10 Möglichkeiten 3 aus 5 nicht Trefferzahlen tippen.
11. Eine Klasse organisiert ein Spielfest. Unter anderem wird Zahlenlotto nach dem Modus «3 aus 8»
gespielt, wobei mehrere Ziehungen durchgeführt werden. Insgesamt gibt es also
8⋅7⋅6
= 56
3 ⋅ 2 ⋅1
verschiedene Tipps.
Ein Tipp kostet 1.00 CHF. Die Bank möchte etwa 20 % der Einsätze behalten.
1
Wahrscheinlichkeiten für 3 richtig getippte Zahlen:
56
Wahrscheinlichkeit für 2 richtig getippte Zahlen:
Wahrscheinlichkeit für 1 richtig getippte Zahl:
15
56
30
56
10
56
Wahrscheinlichkeit für keine richtig getippte Zahlen:
Folgende Auszahlungsmodi werden diskutiert.
Modus A
Modus B
Modus C
Modus D
3 richtige Zahlen
56.–
20.–
20.–
10.–
2 richtige Zahlen
3.–
5.–
2.–
4.–
1 richtige Zahl
1.–
1.–
–.–
–.–
Welcher Modus scheint dir einen gewissen Anreiz für die Spielenden zu bieten und ausserdem der Bank
etwas Gewinn zu versprechen?
Annahme:
Bei einer Ziehung werden alle 56 Möglichkeiten einmal getippt. Die Bank nimmt dabei 56.00 CHF
ein.
Die Bank zahlt wie folgt aus:
Modus A: 1 ∙ 56 + 15 ∙ 3 + 30 ∙ 1
Modus B: 1 ∙ 20 + 15 ∙ 5 + 30 ∙ 1
Modus C: 1 ∙ 20 + 15 ∙ 2
= 50
Modus D: 1 ∙ 10 + 4 ∙ 15
= 70
= 131
(Die Bank macht 75.00 CHF Verlust.)
= 125
(Die Bank macht 69.00 CHF Verlust.)
(Die Bank macht 6.00 CHF Gewinn.)
(Die Bank macht 14.00 CHF Verlust.)
Die Bank kann nur bei Modus C mit einem kleinen Gewinn bei vielen Ziehungen rechnen.
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 5 Lösungen
12. Jemand behauptet:
Bei «6 aus 45» ist die Gewinnwahrscheinlichkeit für 6 Richtige etwa halb so gross wie bei «6 aus 40».
Belege oder widerlege diese Behauptung.
Gewinnchance:
«6 aus 45»:
1 : 8 145 060
8 145 060 =
45 ⋅ 44 ⋅ 43 ⋅ 42 ⋅ 41 ⋅ 40
6⋅5⋅ 4⋅3⋅2⋅1
«6 aus 40»:
1 : 3 838 380
3 838 380 =
40 ⋅ 39 ⋅ 38 ⋅ 37 ⋅ 36 ⋅ 35
6⋅5⋅ 4⋅3⋅2⋅1
Die Behauptung ist sogar leicht untertrieben. Die Gewinnchancen für 6 Treffer aus 45 sind weniger
als halb so gross wie bei «6 aus 40».
13. Die untenstehende Grafik umfasst 1 138 Ziehungen. Sie illustriert, wie häufig die einzelnen Zahlen bis
zum 14.07.2004 gezogen wurden.
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Welche der folgenden Aussagen sind wahr, welche falsch?
A
Die 22 wurde knapp 50 % öfter gezogen als die 11.
B
Es ist wahrscheinlich, dass auch nach 4 000 Ziehungen häufig gezogene Zahlen um bis zu 50 %
häufiger gezogen werden als selten gezogene Zahlen.
C
Es ist wahrscheinlich, dass nach 20 Ziehungen häufig gezogene Zahlen um bis zu 50 % häufiger
gezogen werden als selten gezogene Zahlen.
D
Die durchschnittliche Häufigkeit berechnet sich folgendermassen:
Anzahl Ziehungen : Anzahl Zahlen ∙ Anzahl gezogene Zahlen = 1 138 : 45 ∙ 6
A
wahr
B
Falsch. Es ist wahrscheinlich, dass nach 4 000 Ziehungen häufig gezogene Zahlen um weit
weniger als 50 % häufiger gezogen werden als selten gezogene Zahlen. Nach einer grossen
Anzahl Ziehungen sollten die Abweichungen nicht mehr so gross sein!
C
Falsch. Es ist wahrscheinlich, dass nach 20 Ziehungen häufig gezogene Zahlen weit über 50 %
häufiger gezogen werden als selten gezogene Zahlen. Nach einer kleinen Anzahl Ziehungen
können die Abweichungen sehr gross sein!
D
wahr (151,7)
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 6 Lösungen
14. In der Schweiz wird nach dem System «6 aus 45», in Deutschland nach dem System «6 aus 49»
gespielt. Was könnte der Grund für diesen Unterschied sein? (Veraltet: heute 6 aus 42 plus 1 aus 6
Glückszahlen)
Da in Deutschland wesentlich mehr Leute spielen als in der Schweiz, würde es bei gleichem
System in Deutschland wesentlich mehr Sechser geben. Dementsprechend würde der Jackpot in
den meisten Runden geknackt. Es ist jedoch offenbar ein Ziel der Lotteriegesellschaften, dass
nicht in allen Runden Sechser zu verzeichnen sind.
15. Die Wahrscheinlichkeit für 3 richtig getippte Zahlen bei «6 aus 45» kann wie folgt berechnet werden:
 6   39 
6 ⋅ 5 ⋅ 4 39 ⋅ 38 ⋅ 37
 ⋅ 
⋅
Anzahl mögl. 3er bei 6 aus 45  3   3 
3!
3!
= =
≈ 1: 45
45 ⋅ 44 ⋅ 43 ⋅ 42 ⋅ 41⋅ 40
Anzahl mögliche Tipps
 45 
 
6!
 6
A
Versuche, die Formel zu verstehen.
B
Berechne analog die Wahrscheinlichkeit für 4 richtig getippte Zahlen.
A
3 aus 6 richtigen Zahlen mal 3 aus 39 falschen Zahlen durch Anzahl Möglichkeiten
B
 6   39  6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 39 ⋅ 38
 ⋅ 
⋅
Anzahl mögl. 4er bei 6 aus 45  4   2  4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
2
= =
≈ 1: 733
Anzahl mögliche Tipps
8145060
 45 
 
 6 
M9 Aufgabensammlung Wahrscheinlichkeit Seite 7 Lösungen