Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall
Vorerfahrungen, Grundbegriffe und Geschichte
9. Juni 2009
Dr. Katja Krüger
Universität Paderborn
1
Download des Skriptes
p
von der Vorlesungsseite
2
Inhalt
¾ Vorerfahrungen
V
f h
¾ Grundbegriffe: Vom Zufall zur Wahrscheinlichkeit
¾ Ein Blick in die Geschichte der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
KMK-Bildungsstandards
g
Primarbereich
Daten, Häufigkeit
g
und
Wahrscheinlichkeit
Mittlerer Schulabschluss
Daten und Zufall
¾ Wahrscheinlichkeiten von
Er i niss n in Zuf
Ereignissen
Zufallslls
experimenten vergleichen:
¾ Die Schüler und Schülerinnen
o Grundbegriffe kennen (z.B.
sicher, unmöglich,
wahrscheinlich).
o Gewinnchancen bei einfachen
Zufallsexperimenten (z.B.
Würfelspielen) einschätzen.
o beschreiben
Zufallserscheinungen in
alltäglichen Situationen.
o bestimmen
Wahrscheinlichkeiten bei
Zufallsexperimenten.
p
4
V r rf hrun n
Vorerfahrungen
5
Redewendungen im Alltag
• „Wahrscheinlich
W h h i li h wird
i d es morgen regnen“.
“
• „ Mannschaft A hat größere Chancen zu gewinnen als
Mannschaft
f B“.
• „Mit hoher Wahrscheinlichkeit handelt es sich bei … um den
Täter“.
• „Es
E ist
i t unwahrscheinlich,
h h i li h d
dass b
beii d
der di
diesjährigen
jäh i
L
Landtagswahl
dt
hl
Partei A die absolute Mehrheit erhält“.
• Das Risiko für einen Kernreaktorunfall wird als gering
g
g
eingeschätzt.
6
Subjektive Wahrscheinlichkeit
In vielen
I
i l R
Redewendungen
d
d
werden
d Abstufungen
Ab t f
von
Wahrscheinlichkeiten verwendet, um zum Ausdruck zu bringen,
wie stark jemand vom Eintreten oder Nichteintreten eines
bestimmten Ereignisses überzeugt ist. Bei solchen
personenbezogenen Einschätzungen handelt es sich um
sogenannte
g
subjektive
j
Wahrscheinlichkeiten.
sicher
wahrscheinlich
Chance 1:1
unwahrscheinlich
unmöglich
Wie lassen sich
Wahrscheinlichkeiten
objektiv, d.h.
personenunabhängig,
bhä i
„messen“?
7
Vergleich von Gewinnchancen beim Lotto
Ruth
R
h und
d Jenny
J
spielen
i l L
Lotto. Ruth
R hb
bevorzugt aufeinander
f i
d
folgende Zahlen wie 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sie meint, dass sie auf diese
Weise ihre Gewinnchancen verbessert. Jenny dagegen meint,
dass die Chance, sechs aufeinanderfolgende Zahlen wie 1, 2, 3, 4,
5, 6 zu erhalten, kleiner sei als die Chance, eine beliebige Folge
von Zahlen zu erhalten. Was halten Sie von diesen beiden
Ansichten?
a))
b)
c)
Ruth
R
th hat
h t Recht.
R ht
Jenny hat Recht.
Weder Ruth noch Jenny haben Recht.
8
Lottoziehung
g „6 aus 49“
als Beispiel einer Zufallsauswahl
B i Lotto
Beim
L tt gibt
ibt es iinsgesamtt
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
verschiedene Ziehungen.
6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 6!
verschiedene Ziehungen gehören
zu demselben Lottotipp.
Lottotipp
www.hr-online.de/website/daserste/lotto/
Beim Lotto haben alle Tipps
dieselbe Gewinnwahrscheinlichkeit
1 : 13 983 816, unabhängig davon
ob es sich bei dem Tipp um
aufeinanderfolgende Zahlen
handelt oder nicht.
Da es beim Lottotipp nicht auf
die Reihenfolge der gezogenen
Kugeln ankommt, gibt es
insgesamt
49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44
6!
= 13 983 816
verschiedene Lottotipps.
Lottotipps
9
Urnenmodell:
m
Ziehen einer zufälligen Stichprobe
In einem Gefäß befinden sich N Kugeln,
Kugeln die sich voneinander
unterscheiden z.B. in der Farbe (oder Beschriftung). Nach
Durchmischen werden n Kugeln gezogen, eine Stichprobe vom
Umfang n.
n
N Untersuchungseinheiten
der Grundgesamtheit
entsprechen den N Kugeln.
Merkmalsausprägung
entspricht der Kugelfarbe.
Kugelfarbe
Zufallsauswahl
bedeutet, dass jedes
Element aus der
Grundgesamtheit dieselbe
Chance besitzt, ausgewählt
zu werden.
10
Grundbegriffe:
g
Vom Zufall zur
Wahrscheinlichkeit
11
Zufall in der Umgangssprache
E
Etymologie:
l i
• seit dem 14. Jahrhundert Gebrauch des Wortes zuoval im
Mittelhochdeutschen: „das,
das was einem zufällt
zufällt“
• Übersetzung des lateinischen accidens (von accidere aus ad „zu“
und cadere „fallen“)
Verwendung in der Umgangssprache:
• Dummer Zufall
• Reiner Zufall
• Der Zufall kam uns zur Hilfe
Der Begr
Begriff
ff Zufall w
wird
rd umgangssprachl
umgangssprachlich
ch verwendet, wenn e
ein
n
Ereignis beispielsweise nicht vorhersagbar ist.
12
Erzeugung
g g von Zufall
am Beispiel des Roulette
„Die
Di meisten
i t Zufallsgeneratoren,
Z f ll
t
d
denen wir
i iim Allt
Alltag begegnen,
b
sind
i d so
genannte chaotische Systeme. Würfel und Münze gehören ebenso dazu
wie Lottomaschine und Roulette. Chaos bedeutet in diesem
Z sammenhang die empfindliche Abhängigkeit des Ergebnisses von
Zusammenhang
on den
Anfangsbedingungen. Ein kleiner Unterschied in der Bahn der
Roulettekugel kann zu einer großen Abweichung des Zielfaches führen.
Trotzdem sind die chaotischen Zufallsgeneratoren im Prinzip berechenbar
berechenbar.
Wenn ein Beobachter die genaue Position und Geschwindigkeit aller
bewegten Teile messen könnte und ihm dazu sämtliche
Materialeigenschaften bekannt wären,
wären könnte er das Ergebnis exakt
vorhersagen.“
www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbeitraege/2002/1112/009_wissens.jsp
13
Zufall in der Quantenphysik
Die Quantenphysik
Di
Q
h ik b
beschreibt
h ib di
die W
Welt
l d
der P
Protonen,
Lichtteilchen, Elektronen und anderer Elementarteilchen. Hier
kann man nach Meinung der meisten Physiker den „wahren“
Zufall studieren.
Es ist bisher kein verborgener, innerer Mechanismus bekannt,
der das zufällige Verhalten von Elementarteilchen steuert
(z.B. bei der Emission radioaktiver Strahlung). Das ist der
wesentliche Unterschied zu anderen Zufallsgeneratoren wie
Münze Würfel
Münze,
Würfel,….
Albert Einstein war einer der p
prominentesten Kritiker des
„eingebauten“ Zufalls. Sein Kommentar:
"Gott würfelt nicht!“
14
Zufall in der Mathematik
Modellbildungsprozess
Es geht
E
ht nicht
i ht um die
di begriffliche
b
iffli h Kl
Klärung „was iistt Z
Zufall?“,
f ll?“
sondern um die mathematische Beschreibung von zufallshaltigen
sogenannten „stochastischen“ Situationen → Mathematisierung .
Die Wahrscheinlichk it th
keitstheorie
i bildet
bild t
die Grundlage für
die Modellierung
stochast scher
stochastischer
Situationen:
Abb. aus Kütting:
Elementare
Stochastik 2008, S. 9
15
Mathematisierung zufallshaltiger Situationen:
Der Zufallsversuch
Z f ll
Zufallsversuch:
h
– Versuch unter exakt festgelegten Bedingungen, wobei die möglichen
Ausgänge (Ergebnisse) des Versuches feststehen, jedoch nicht der
Ausgang eines einzelnen Versuches.
Versuches
– Versuch kann unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt
werden.
In der Realität sind Versuche nicht unendlich oft wiederholbar,
wiederholbar außerdem
können sich Versuchsbedingungen ändern.
→ Zufallsgeneratoren: Münze,
Münze Würfel,
Würfel Glücksrad,
Glücksrad Urne,…
Urne
→ Wie unterscheidet sich ein Zufallsversuch vom
naturwissenschaftlichen Versuch?
16
Mathematisierung
g zufallshaltiger
g Situationen:
Ergebnismenge
Zu jedem
Z
j d
Zufallsversuch
Z f ll
h gehört
h
eine
i M
Menge von Ergebnissen,
E
b i
di
die
mathematisch zur sogenannten Ergebnismenge (bzw. zum
Stichprobenraum) zusammengefasst werden.
¾ Ergebnismenge:
Zusammenfassung der möglichen Ergebnisse eines
Zufallsexperiments zu einer (endlichen) Menge Ω = {ω1, ω2, ..., ωn}
Zufallsversuch
Ergebnismenge
Eine Münze werfen
Ω = {Κ,Ζ}
Einen Würfel werfen
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Aus einer Urne mit 3 roten und 2 weißen
Kugeln zweimal nacheinander ziehen.
Ω = {rr,rw,wr,ww}
17
Ergebnismenge und Wahrscheinlichkeiten
beim zweifachen Würfeln
Neue Wege 6 (2006), S. 221
18
Ergebnismengen bei Würfelspielen
Zufallsversuch
Ergebnismenge
Einen gelben und einen blauen
Würfel werfen
Ω = {11, 12, 13 ..., 16, 21, 22, 23, ..., 61,
62 ..., 66}
62,
Zwei Würfel werfen ohne
Beachtung der Reihenfolge
Ω = {11, 12, 13 ..., 16, 22, 23, ..., 56, 66}
Zwei Würfel werfen und die
Augensumme bilden
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Zwei Würfel werfen und den
Unterschied der Augenzahlen
bilden
Ω = {{0,1,2,3,4,5}
, , , , , }
Einen Würfel so lange werfen
werfen,
bis '6' erscheint, und die Würfe
bis dahin zählen.
Ω = {1,2,
{1 2 3
3, 4
4, 5
5, 6
6…}}
alle natürlichen Zahlen
19
Mathematisierung
g zufallshaltiger
g Situationen:
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Der entscheidende
D
t h id d Schritt
S h itt in
i die
di St
Stochastik
h tik ist
i t nun, dass
d
man
den Ausfällen ω1, ω2, ..., ωn des Zufallsversuchs eine Zahl
zuordnet, die die Wahrscheinlichkeit ihres Eintreffens messen
soll. Auf die einzelnen Ausfälle der gesamten Ergebnismenge
verteilt man die Wahrscheinlichkeitsmasse 1.
¾ Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Jedem Element der Ergebnismenge Ω = {ω1, ω2, ..., ωn} wird eine
reelle Zahl P(ωi) i = 1,…, n zugeordnet, die Wahrscheinlichkeit
dieses Ergebnisses. Dabei gilt:
– 0 ≤ p(
p(ωi) ≤ 1
– p(ω1) + p(ω2) + … + p(ωn) = 1
20
Gleichwahrscheinlichkeit
Beii vielen
B
i l Zufallsversuchen
Z f ll
h gibt
ib es keinen
k i
vernünftigen
ü f i
G
Grund,
d
einen Ausfall hinsichtlich der Wahrscheinlichkeit seines
Auftretens vom andern zu unterscheiden: Bei „idealen“
Versuchsbedingungen sind die Ausfälle gleichwahrscheinlich.
¾ Wenn die Ergebnismenge Ω = {ω1, ω2, ..., ωn} insgesamt n
Ausfälle umfasst,
umfasst ist die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser
Ausfälle gleich groß:
1
p (ωi ) =
n
i = 1,..., n
Zufallsversuch
Ergebnismenge
Wahrscheinlichkeit
Ei Münze
Eine
Mü
werfen
f
Ω = {Κ
{Κ,Ζ}
Ζ}
p(K)
(K) = p(Z)
(Z) = ½
Einen Würfel werfen
Ω = {1,2,3,4,5,6}
p(1) = p(2) =…=p(6) = 1/6
Eine Kugel aus der
Lottotrommel ziehen
Ω = {1,2,...,48,49}
{1 2 48 49}
p(1) = p(2) =…=p(49)
p(49) = 1/49
21
„Objektive
Objektive“ Wahrscheinlichkeit
Das Ergebnis
D
E
b i ω besitze
b i
di
die objektive
bj k i W
Wahrscheinlichkeit
h h i li hk i p =
p(ω). Dann ist diese Wahrscheinlichkeit ein Maß für das
Eintreten des Ergebnisses ω. Falls der Zufallsversuch unter
denselben Bedingungen sehr oft wiederholt wird, tritt das
Ergebnis auf Dauer in p·100% der Versuche ein.
¾ Beim Werfen einer idealen Münze beträgt p(Kopf) = ½. Daher wird auf
Dauer bei 50% der Münzwürfe Kopf oben liegen. Dabei sind mehr oder
weniger große Abweichungen möglich
möglich, die auf den Zufall zurückgeführt
werden können.
22
Kopf
p oder Zahl?
Ergebnisse langer Versuchsserien mit Münzwürfen
G.L.Buffon
K.Pearson
K.Pearson
Anzahl der
Würfe n
4040
12000
24 000
Absolute
Häufigkeit für
Kopf Hn(„Kopf
( Kopf“))
2048
6019
12012
Relative
Häufigkeit für
Kopf hn(„Kopf
( Kopf“))
0,5069
0,5016
0,5005
Welche Beziehungen bestehen zwischen der Wahrscheinlichkeit
des Ergebnisses Kopf und dessen relativer Häufigkeit bei einer
großen Zahl von Wiederholungen des Münzwurfs unter gleichen
Bedingungen?
23
Wechselspiel
p zwischen
Wahrscheinlichkeit und relativen Häufigkeiten
Prognose
W h h i li hk it
Wahrscheinlichkeit
R l ti Hä
Relative
Häufigkeit
fi k it
Schätzung
Aus den Kernlehrplänen NRW (Anforderungen am Ende der
Sek I): Schülerinnen und Schüler nutzen Häufigkeiten zum
Schätzen von Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten
zur Vorhersage von Häufigkeiten.
24
Stabilisierung der relativen Häufigkeiten beim Münzwurf
Die relativen Häufigkeiten hn(„Kopf“)
p
schwanken mit wachsender Versuchzahl n
immer weniger um eine bestimmte
Zahl,, nämlich
m
p(Kopf)=0,5.
p( pf) ,
Applet in VUSTAT, CD Neue Wege 7
Auswertung von Zufallsversuchen mit Hilfe
relativer Häufigkeiten
hn (ω ) =
Anzahl H n (ω ) der Versuche mit dem Ergebnis ω
Gesamtzahl n der Versuche
Eigenschaften:
• hn(ω) ist stets eine rationale Zahl
–
Zähler und Nenner des Quotienten sind natürliche Zahlen
• Es
E gilt:
ilt 0≤
0 hn(ω)
( ) ≤11
–
Die absolute Häufigkeit des Ergebnisses ω liegt zwischen 0≤ Hn(ω) ≤n
Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsender
Versuchsanzahl n schwanken die relativen Häufigkeiten weniger.
Sie
i stabilisieren
bili i
sich
i h um einen
i
f
festen W
Wert.
26
Beispiele aus Schulbüchern (Sek I)
27
Zufallsversuch und Ergebnismenge
Elemente der Mathematik 6, Hessen, S. 248
28
Wahrscheinlichkeit als Schätzwert
aus relativen Häufigkeiten bestimmt
Elemente der Mathematik
6, Hessenausgabe, S. 252-254
29
Gleichwahrscheinlichkeit
Neue Wege 6, Hessenausgabe, S. 215
30
Ein Blick in die Geschichte der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
31
Astragale
g
Glücksspiel – Geschicklichkeit - Orakel
32
Würfeln in der Antike
33
Würfelspieler
p
im Mittelalter
(Anfang 13. Jahrhundert)
34
Barth & Hallers Zeitleiste zur Entwicklung der Stochastik
35
Ein berühmter Briefwechsel
von Pascal und Fermat (Paris 1654)
Blaise Pascal
(1623-1664)
Pierre de Fermat
(1607-1665)
Das Jahr 1654 gilt
ilt als „Geburtsstunde
Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnun “.
Erst jetzt begann die systematische Begründung der Theorie des Zufalls mit einer
Reihe von Briefen,
Briefen in denen Pascal und Fermat sich gegenseitig Probleme aus der
Welt des Glücksspiels vorlegten z.B.
¾Teilungsprobleme: Wie soll der Gesamteinsatz eines Spieles gerecht verteilt
werden wenn das Spiel vorzeitig abgebrochen werden muss ((„Höhere
werden,
Höhere Gewalt“)?
Gewalt )?
¾Die Wetten des Chevalier de Méré: Gewinnchancen bei Würfelspielen
36
Ein Teilungsproblem
p
–
verschiedene Lösungswege
Zwei Spieler
p
A und B haben eine Reihe von Glücksspielen
p
verabredet. Die
Chancen zu gewinnen, sind für beide Spieler gleich. Unentschieden gibt es
nicht. Wer zuerst 5 Partien gewonnen hat, erhält die Einsätze. A hat schon
vier, B erst drei Spiele gewonnen. Bei diesem Spielstand 4:3 muss das Spiel
abgebrochen werden.
werden Wie sind die Einsätze zu verteilen?
¾ Lösung von Pascal:
Wenn B das
W
d nächste
h
Spiel
S i l gewinnen
i
würde,
ü d wäre Gleichstand,
Gl i h
d und
d B müsste
ü
die
di
Hälfte des Einsatzes bekommen. Da die Chance zu gewinnen nur ½ ist, gebührt
ihm die Hälfte von der Hälfte der Einsätze, also ¼ der Einsätze d.h. es ist im
Verhältnis 3:1 zu teilen.
teilen
¾ Lösung von Fermat:
nach Kütting 2008, S. 16f.
37
Geburtenziffern und Münzwurf
Verbindung von Statistik und Wahrscheinlichkeit
John Arbuthnot (1667-1735)
interpretierte den leichten
systematischen Überschuss
von Jungengeburten mit
Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsmodells: Wäre das
Geschlecht das Ergebnis
eines Münzwurfs, dann wäre
die Chance ½, dass in einem
Jahr mehr Jungen als
Mädchen geboren würden.
Dies wurde jedoch in 84
aufeinander folgenden
g
Jahren beobachtet. Diese
Abweichung ist sehr
unwahrscheinlich:
84
AG Moderner MU
www.ammu.at/archiv/11/11_6.htm
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
1
≈
4,8 ⋅ 1024
38
Ars conjectandi
j
Die Kunst des Vermutens (1713)
Jakob Bernoulli
(1654-1705)
"Irgendein Ding vermuten, heißt soviel, als
seine Wahrscheinlichkeit messen. Deshalb
bezeichnen wir als Vermutungsg oder
Mutmaßungskunst (ars conjectandi sive
stochastice) die Kunst, so genau als
möglich die Wahrscheinlichkeiten der Dinge zu
messen, und zwar zu dem Zwecke, dass wir
bei unseren Urteilen und Handlungen stets das
auswählen und befolgen können
können, was uns
besser, trefflicher, sicherer oder ratsamer
erscheint. Darin allein beruht die ganze
W i h it d
Weisheit
des Phil
Philosophen
h und
d di
die ganze
Klugheit des Staatsmannes.„
Jakob Bernoulli (1654 - 1705) "Ars conjectandi" (veröff. 1713)
39
Stochastik
Das Wort
D
W t Stochastik
St h tik kommt
k
t aus dem
d
Griechischen
G i hi h und
d bedeutet
b d t t
soviel wie Lehre des richtigen „Mutmaßens“. (In dem Wort
Mutmaßen steckt beides: Vermuten und Messen)
Stochastik
Statistik
•Beschreibende Statistik
•Beurteilende Statistik
WahrscheinlichWahrscheinlich
Keitsrechnung
Literatur zur Vertiefung
Elektronische Ressource der
Universitätsbibliothek Paderborn
41
42