Thermodynamik I Skript - Universität der Bundeswehr München

Thermodynamik I
Skript
Universität der Bundeswehr München
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik
Institut für Thermodynamik
− September 2011 −
UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN
Lehrstuhl für Thermodynamik
Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner
Thermodynamik I
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GLIEDERUNG
1. EINFÜHRUNG
- 6 - 1.1. Was ist technische Thermodynamik?
- 6 - 1.2. Technische Thermodynamik – Definition und Abgrenzung
- 7 - 1.3. Systematische Einteilung der Untergebiete
- 7 - 2. KONZEPTE DER PHÄNOMENOLOGISCHEN THERMODYNAMIK
2.1. - 8 - - 8 - Gleichgewichts-Thermodynamik
2.2. Thermodynamische Systeme
2.2.1. Abgeschlossenes System
2.2.2. Geschlossenes System
2.2.3. Offenes System
2.2.4. Systeme und Subsysteme
2.2.5. Austausch zwischen Subsystemen
- 8 - - 8 - - 8 - - 8 - - 9 - - 9 - 2.3. Thermodynamische Zustandsgrößen
2.3.1. Extensive Zustandsgrößen
2.3.2. Intensive Zustandsgrößen
2.3.3. Spezifische Zustandsgrößen
- 10 - - 11 - - 11 - - 11 - 2.4. - 12 - Thermodynamisches Gleichgewicht
- 12 - - 13 - - 13 - 2.5. Thermodynamische Prozesse
2.5.1. Idealprozesse – reversible Prozesse
2.5.2. Reale Prozesse – irreversible Prozesse
3. DRUCK UND TEMPERATUR – PHÄNOMENOLOGISCHE EINFÜHRUNG
3.1. - 15 - - 15 - Thermodynamischer Druck
3.2. Temperatur
3.2.1. Definition der thermodynamischen Temperatur
3.2.2. Messvorschrift mittels Druckmessung
3.2.3. Absoluttemperatur
3.2.4. Kelvinskala und andere Temperaturskalen
- 16 - - 16 - - 18 - - 19 - - 20 - 3.3. Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
- 21 - 3.4. Zusammenfassung
- 22 - 4. ERSTER HAUPTSATZ
- 23 - 4.1. Massenerhaltung im offenen System
4.1.1. Vorzeichenkonvention
4.1.2. Stationäre Umwandlung
- 23 - - 23 - - 24 - 4.2. - 24 - Energieerhaltungsprinzip
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4.3. Energieformen der Thermodynamik
4.3.1. Volumenarbeit WV
4.3.2. Reibungs- / Dissipationsarbeit
4.3.3. Innere Energie U
4.3.4. Wärme Q
4.3.5. Prozess- / Zustandsgrößen
4.3.6. Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme
4.3.6.1. bewegtes System
4.3.6.2. ruhendes System
- 25 - - 25 - - 26 - - 27 - - 29 - - 30 - - 30 - - 31 - - 32 - 4.4. Thermodynamische Prozesse mit Arbeit und Wärme
4.4.1. Bestimmung der Gesamtarbeit
4.4.2. Bestimmung der Gesamtwärme
4.4.3. Messung der Wärme mittels Dissipationsarbeit
- 32 - - 33 - - 33 - - 34 - 4.5. Generalisierte Arbeit
4.5.1. Elektrische Arbeit
4.5.2. Magnetische Arbeit
4.5.3. generalisierte Form der Arbeit
4.5.4. Energiebilanz mit verschiedenen Energieformen
4.5.5. Zustandspostulat
- 34 - - 34 - - 35 - - 35 - - 36 - - 36 - 5. OFFENES SYSTEM
5.1. - 38 - - 39 - Energiebilanz für offene Systeme
5.2. Analyse der Strömungsarbeit
5.2.1. Energiebilanz offenes / geschlossenes System
5.2.2. Energiegleichung offenes System mit beweglicher Grenze
- 40 - - 40 - - 41 - 5.3. Erster Hauptsatz für offene Systeme
5.3.1. Bilanzierung des ersten Hauptsatzes
5.3.2. Energietransport über starre Systemgrenzen
5.3.3. Energiebilanz
5.3.4. Mehrere Zu- / Abflüsse
5.3.5. Stationärer Zustand
- 42 - - 43 - - 43 - - 44 - - 44 - - 45 - 5.4. Enthalpie
5.4.1. Beispiel Ansaugen einer Maschine
5.4.2. Beispiel Wasserturbine
5.4.3. Adiabate Drossel
5.4.4. Düse / Diffuser
- 46 - - 47 - - 47 - - 49 - - 49 - 5.5. Technische Arbeit aus Zustandsänderung
5.5.1. Anwendung: Druck in reibungsfreier Strömung
5.5.2. Integrierte Form; reversibel quasistatisch
- 50 - - 52 - - 53 - 5.5.3. Zusammenhang von
wt
und
- 54 - wv
5.6. Kreisprozess in stationärer Strömungsmaschine
5.6.1. Bilanz der Komponenten
5.6.2. Bilanz am Gesamtsystem
5.6.3. reversibler statischer Kreisprozess
- 55 - - 55 - - 56 - - 56 - 5.7. Wirkungsgrade
- 57 - 5.8. Prozess- und Zustandsänderungen
- 59 - -3-
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5.9. - 61 - Spezifische Wärmekapazitäten (Anwendung)
- 65 - - 66 - - 66 - - 67 - - 69 - - 70 - 5.10. Formen der Energiegleichung
5.10.1. Variablen T, v
5.10.2. Variablen T, p
5.10.3. Variablen v, p
5.10.4. Joule – Thomson – Effekt (Einführung)
5.10.5. Berechnung von Energiedifferenzen
6. IDEALES GAS
- 71 - 6.1. Joule Überströmversuch
- 72 - 6.2. Enthalpie
- 75 - 6.3. Isentropenexponent
- 76 - 6.4. Grundlage Idealgas aus kinetischer Theorie
6.4.1. Ideales Gas
6.4.2. mehratomige Moleküle
6.4.3. Gleichverteilungssatz
6.4.4. Bewegter Kolben (optional)
- 77 - - 78 - - 81 - - 82 - - 83 - 6.5. Spezialfall konstante spezifische Wärmen
- 84 - 6.6. Allgemeine Polytropengleichung
6.6.1. Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung
6.6.2. Wärmemenge bei polytroper Zustandsänderung
6.6.3. Isotherme Volumenarbeit
- 88 - - 88 - - 90 - - 90 - 6.7. Polytroper Prozess in stationären offenen Prozessen
- 91 - 6.8. Adiabate Drossel
- 94 - 6.9. Adiabate Düse / Diffusor
- 94 - 6.10. Analyse des Joule – Versuchs (perfektes Gas)
6.10.1. Analyse offenes instationäres System
6.10.2. Alternative Analyse geschlossenes System
6.10.3. offenes System - Analyse
6.10.4. mikroskopische Analyse
- 94 - - 95 - - 97 - - 98 - - 98 - 6.11. - 98 - Zusammenfassung ideales, perfektes Gas
7. ZWEITER HAUPTSATZ
- 101 - 7.1. Formulierungen des 2. Hauptsatzes (CLAUSIUS, PLANCK)
- 102 - 7.2. Äquivalenz der Formulierungen von CLAUSIUS und PLANCK
- 103 - 7.3. Carnot-Folgesätze
- 104 - 7.4. Reversible/Irreversible Prozesse
- 106 - 7.5. Carnot-Zyklus
7.5.1. Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses (Arbeitsmittel: perfektes Gas)
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Thermodynamische Temperaturskala
- 112 - 7.7. Wärmemengen in Carnot-Netzen
7.7.1. Reversible Ersatz-Prozesse (Carnot-Netz)
7.7.2. Carnot-Netz: Reversibler Prozess
7.7.3. reversible Realisierung
7.7.4. Carnot-Netz irreversibler Prozess
- 113 - - 113 - - 115 - - 116 - - 116 - 7.6. 8. ZUSTANDSGRÖßE ENTROPIE
- 117 - 8.1. Entropieänderung
8.1.1. Entropieänderung für irreversible Systeme
8.1.2. Entropieänderung reversible Prozesse
- 117 - - 117 - - 118 - 8.2. Kanonische Zustandsgleichung
- 119 - 8.3. Erreichbarkeit von Zuständen
- 120 - 8.4. Anschauliche Interpretation von Entropiedifferenz
- 121 - 8.5. Axiomatische Einführung der Entropie
- 122 - 8.6. Entropiebilanz im offenen System
- 123 - 8.7. Berechnung der Zustandsgröße Entropie
- 128 - 8.8. Entropie des idealen und perfekten Gases
8.8.1. Integration mit Energie
8.8.2. Integration mit Enthalpie (isotherm-isobarer-Weg)
8.8.3. Entropie perfektes Gas ( cv ,c p = const. )
8.8.4. 8.8.5. 8.8.6. Temperatur als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)
Energie und Enthalpie als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)
thermische Zustandsgleichung aus kanonischer Zustandsgleichung
9. EINSCHUB: MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN (I)
- 129 - - 129 - - 130 - - 130 - - 131 - - 131 - - 132 - - 133 - 9.1. Partielle Ableitungen / totale Differential
- 133 - 9.2. Höhenlinien
- 134 - 9.3. Kettenregel
- 136 - 9.4. Schwarz’scher Satz
- 136 - 9.5. Wegintegrale
- 137 - 9.6. Wegintegrale und Kreisprozesse mit Zustandsgrößen
- 138 - 10. STICHWORTREGISTER
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Thermodynamik I
1. Kapitel
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1. Einführung
1.1. Was ist technische Thermodynamik?
Thermodynamik ist die Lehre von den Energieumwandlungen und den Zusammenhängen zwischen Eigenschaften der Stoffe.
Phänomenologische
Thermodynamik
Chemische
Thermodynamik
Technische
Thermodynamik
Technische Verbrennung
Aerothermodynamik
Kälte- / Klimatechnik
Wärme- / Stoffübertragung
Statistische
Thermodynamik
Nichtgleichgewichtsthermodynamik
Technische Thermodynamik: Anwendung der Thermodynamik auf technische Prozesse und Materialien mit dem Ziel: 1. Prozesse zu optimieren (Wirkungsgrad)
2. konsistente Materialdaten zu erhalten
Thermodynamische
Analyse
Apparative
Realisierung
Beispiele für technische Prozesse der Thermodynamik:








Dampfturbine
Gasturbine
Kühlschrank
Wärmepumpe
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Meerwasser-Entsalzung
Gas-Verflüssiger
Brennstoffzelle
Automotor
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Thermodynamik I
1. Kapitel
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1.2. Technische Thermodynamik – Definition und Abgrenzung
Gesetze der Thermodynamik werden oft als Erfahrungssätze (Axiome) formuliert.
Hauptsätze der Thermodynamik

Aussagen der Hauptsätze sind mathematisch nicht beweisbar,

basieren auf Beobachtungen und Erfahrungen

und bestätigen sich Tag für Tag neu.
Axiome
HS
Theorie
Logik
Anwendung
1.3. Systematische Einteilung der Untergebiete
0. HS
Transitivität der Temperatur-Messung
(Grundlagen der Temperaturmessung)
1. HS
Energieerhaltung
2. HS
beschränkte Umwandelbarkeit der Energie
3. HS
Nullpunkt der Entropie
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Analyse
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2. Kapitel
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2. Konzepte der phänomenologischen Thermodynamik
2.1.
Gleichgewichts-Thermodynamik
Umgebung:
(Ströme)
Temperatur
Masse
Impuls
Energie
Druck
System
2.2. Thermodynamische Systeme
2.2.1.
Abgeschlossenes System
mE


2.2.2.


kein Energieaustausch
kein Massenaustausch mit der Umwelt
dE
dm
0 ;
0
d
d
Geschlossenes System
Energieaustausch aber
kein Massenaustausch
mE
Ep
2.2.3.
dE
dm
0 ;
0
d
d
EA
Offenes System
mA
mE
me


dE
dm
0 ;
0
d
d
sowohl Energie- als auch
Massenaustausch
Ep
EA
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2. Kapitel
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2.2.4. Systeme und Subsysteme
- Bilanzierung Gesamtsystem / Subsystem
- Zustandsvariablen definiert im Subsystem
Gesamtsystem:
T1 , p1 ,V1
T2 , p2 , V2
T1 , p1 ,V1
Teilsysteme:
T2 , p2 , V2
Zwischen den Teilsystemen / Subsystemen können innerhalb des Gesamtsystems Massen, Mole, Energien, Impulse etc. ausgetauscht werden.
2.2.5. Austausch zwischen Subsystemen
T1 , p1
T2 , p2
T1' , p1'
T2' , p2'
V1
V2
V1'
V2'
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2.3. Thermodynamische Zustandsgrößen
Zustandsvariablen sind Werte makroskopischer Beobachtungsvariablen, die den Zustand
des Systems eindeutig charakterisieren.
Beispiele:









m
I
D
V
Masse
Impuls
Drehimpuls
Volumen
 Dichte
p Druck



T
n
ni

M

P
Q
Temperatur
Anzahle der Mole
Konzentration
magnetisches Moment
Polarisation
elektr. Ladung
Zustandsvariablen sind direkt oder indirekt messbar
Funktionen von Zustandsvariablen sind neue Zustandsvariablen
Beispiel:
Definition der Dichte

m
V
Spezifisches Volumen
v
V
m
Wenige Zustandsgrößen charakterisieren ein System. Zur rechnerischen Erfassung eines
thermodynamischen Problems reicht ein minimaler Satz von unabhängigen Variablen
Beispiel:
p, v
p, T
T,v
T  T  p, v 
v  v  p, T 
p  p T , v 
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2.3.1. Extensive Zustandsgrößen
Proportional zur Systemgröße
im homogenen System
z.B. Masse, Volumen, Energie
Z   Zi
Z1
Z3
Z2
2.3.2. Intensive Zustandsgrößen
Zustandsgrößen können nicht additiv verknüpft werden.
Nur für homogene Teilsysteme definiert.
z.B. Druck, Temperatur
2.3.3.
Spezifische Zustandsgrößen
Definition: Quotient aus zwei extensiven Variablen
massebezogen:
zm 
Z
m
Beispiel:
v
V
m
volumenbezogen:
zv 
Z
v
Beispiel:

m 1

V v
molar:
zc 
Z
n
Beispiel:
M
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m
n
(Molmasse)
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2.4. Thermodynamisches Gleichgewicht
Der thermodynamische Zustand wird durch die Zustandsgrößen erfasst. Sie sind definierbar
für Gleichgewichtszustände. Wenn Gradienten / Variationen von Zustandsgrößen existieren
ist kein thermodynamischer Zustand definierbar, denn nur extensive Zustandsgrößen besitzen
definierte Werte. Äußere Randbedingungen können das Gleichgewicht „behindern“
Xi
Zustandsgröße :
- (stationär)
Xi
dX i
0
d
- keine äußeren Einflüsse
minimaler Satz von Zustandsgrößen:

Xi
2.5. Thermodynamische Prozesse
Ein Prozess ist die Änderung des Systemszustands (Zustandsgrößen). Eine langsame Änderung von Zuständen wird als quasistatischer Prozess bezeichnet. Die Zustandsvariablen sind
so auf dem ganzen Weg definiert.
Beispiel:
P
T

1


1
 2
2
V
V
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P
P2

Nicht quasistatische Änderungen sind
nur im Anfangs- und Endzustand definiert.
(Es existiert keine Kurve.)

P1
V
v2
v1
2.5.1. Idealprozesse – reversible Prozesse
derartige Prozesse...
P
 sind „unendlich langsam“
 haben keine Gradienten im System
 haben keine inneren Dissipation / Reibung
 ihre Zustandsvariablen sind an jedem Wegpunkt definiert
 verlaufen über Gleichgewichtszustände
 quasistatisch

1
2

V
2.5.2. Reale Prozesse – irreversible Prozesse





endliche Zeit
Gradienten
Reibung / Dissipation
irreversibel
nicht quasistatisch
P
2 
keine Kurve (existiert nicht)
1 
V
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Beispiel Kolben:
p0 , T0 ,V0
  0
p1 , T1 , V1
V
P
1
0 
0


1


T
 1
0

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3. Druck und Temperatur – phänomenologische Einführung
3.1. Thermodynamischer Druck
Symbol Einheit Benennung
p
Pa, bar
atm
Druck
Definition des thermodynamischen Drucks:
D ru ck 
K ra ft
F lä ch e
p
(Kraft, die senkrecht zur
Fläche wirkt)
F
A
In ruhenden Fluiden ist der Druck (p) isotrop:
Fk
Fa
Gleichgewicht:
A
Fi  Fk  Fa  pi 
Vakuum:
Fa  0  Fi  Fk : Absolut  Druck
Fi
p
Fi Fk  Fa

A
A
pa
Fk  Kraft Kolben
Fa  Kraft von außen
Fi  Kraft von innen, Druck gegen den Kolben
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Symbol Einheit Benennung
t
T
3.2. Temperatur
°C
K
Temperatur in Grad Celsius
Temperatur in Kelvin
Menschliches Empfinden für heißes und kaltes ist nur qualitativ. Exakte thermodynamische Berechnungen von Prozessen und Anlagen erfordern daher exakteres Erfassen der Temperatur. Erfasst wird die Temperatur auf verschiedene Weisen. Die
Einheit Kelvin (K) ist die Grundlage für international gleiche Angaben und Berechnungen, weil der Ausgangspunkt der Kelvinskala der absolute Nullpunkt ist.
Es werden adiabate und diabate Prozesse unterschieden.
adiabat
diabat
Es wird keine Wärme mit der Umgebung ausgetauscht
entspricht dem Gegenteil; wird aber kaum gebracht
Eine Vielzahl von Messgrößen sind temperaturabhängig. So zum Beispiel das Volumen, der elektrische Widerstand und die Thermospannung
3.2.1.
Definition der thermodynamischen Temperatur
Celsius-Skala:
T = 0 °C
Eis und Wasser
(Bei p = 101325 Pa
= 1 atm)
0
100
0 T = 100 °C kochendes Wasser
bei 1 atm

Q
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 C
Der Skalenbereich kann nun in 100 gleiche
Teile gegliedert und linear beschriftet werden. Problematisch ist die nichtlineare Ausdehnung des Messmediums (Wasser, Alkohol, Quecksilber).
100
0

g
1
0

pg
p1
ps
p
p
Das Gasthermometer
Die Forderung nach einem Standardthermometer bedarf einer Lösung bei der das Volumen
das Messmediums (hier Gas) gleich bleibt. Eine Möglichkeit der Umsetzung ist unten abgebildet. Das Grundprinzip besteht darin, dass die eigentliche Temperaturmessung in eine
Druck- / Kraftmessung überführt wird.
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Schematische Darstellung des Gasthermometers:
p  0 Vakuum
xs  Sdp. 100C
x
x
xE  Eispunkt 0C
x0
ideales
Gas
Kapillare
flexibler
Schlauch
V  const
Bäder mit
verschiedenen
Temperaturen
3.2.2.
Messvorschrift mittels Druckmessung
 ( p  pg ) =
 ( p)
0 °C =  g
 ( p  ps ) = 100 °C = s
 ( p) 
 s  g
( p  pg )   0  
p p
ps  p g
g
 s
s   g
100

 p

1
p
ps
pg
minimale Temperatur in °C
 0
P0
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p1
absoluter Nullpunkt
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ps
pg
Messdaten
extrapoliert
auf Druck p  0


     
p
 ( p)  0   s g   
 ps  1   pg 
 p

 g

O2
N2
1,3661
p 
lim  s 
p g 0  p 
 g
Lässt man pg experimentell gegen 0
gehen so ergibt sich für alle
p
Gase s als 1,3661.
pg
He
H2
pg
3.2.3.
Absoluttemperatur
0 C    0 
100  0
1,3661  1
Celsius-Skala:  ( p)  273,15 
0  
100
ps
1
pg
100
 273,15[C ]
0,3661
 p 


 pg 

 p 
 273,15  1  

 p  

 g 

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[C ]
( p g  0)
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3.2.4.
Kelvinskala und andere Temperaturskalen
Die vier am weitesten verbreiteten und gebräuchlichsten Temperaturskalen sind Kelvin,
Celsius, Rankine und Fahrenheit. Wobei sich die Skalen:
Kelvin  Celsius
und Rankine  Fahrenheit jeweils sehr ähneln.
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3.3. Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Die Zustandsgleichung ist eine funktionale Gesetzmäßigkeit, die verschiedene Zustandsgrößen miteinander verbindet. Zustandsgleichungen eines Systems müssen in der
Thermodynamik empirisch bestimmt werden. Oftmals verwendet man dazu Polynome in den
Zustandsvariablen, deren Virialkoeffizienten dann experimentell bestimmt werden. Solche
empirisch bestimmten Zustandsgleichungen geben meist nur in einem sehr eingeschränkten
Wertebereich der Zustandsvariablen vernünftige Übereinstimmung mit den Experimenten.
Als Spezialfall der Zustandsgleichungen ist die des idealen Gases zu sehen. Sie kann für reale Gase nur bei sehr niedrigem Druck verlässliche Aussagen machen. Für höhere Drücke
verwendet man modifizierte Relationen wie die Van-der-Waals-Gleichung oder die Virialentwicklung.
pV  mRT
 m
 J 
Rm allgemeine Gaskonstante = 8,31451 
 molK 
R  J 
R spezifische Gaskonstante R  m 

M  kgK 
 kg 
M Molgewicht 
 mol 
m Masse [ kg ]
n
Anzahl der Mole n 
 J 
R

 kgK 
m
M
Rm
T  nRmT
M
[ mol ]
V
Volumen [m3 ]
H2
Ar
O2
Luft
CO2
N2
He
4120
208
260
287
187
297
2080
Gleichung mit spezifischen Größen
v
V
1
m
,   
m
v
V
p
V
 pv  RT
m
p   RT
F ( p , V , T , m ) = 0 thermische Zustandsgleichung
= 0 thermische Zustandsgleichung spezifisch (auf Einheitsmasse normiert)
g ( p, v, T )
- 21 -
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Thermodynamik I
3. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
3.4. Zusammenfassung
 System
Kontrollvolumen

Umgebung
 abgeschlossen dm  0 , dE  0
geschlossen
dm  0 , dE  0
offen
dm  0 , dE  0
 Zustandsgrößen charakteristisch für ein System (Vorgeschichte unwichtig)
 Zustand
System vollständig charakteristisch durch Zustandsvariable
 Stationärer Zustand
dX
0
d
 Extensive Variable Summe der Teilsysteme, proportional zur Größe des homogenen Systems
Intensive Variable
 Prozess
 Ideales Gas
unabhängig von der Größe des homogenen Systems
Zustandsänderung durch Änderung von Systemvariablen
p V  m  R  T , p  v  R  T
- 22 -
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Thermodynamik I
4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
4. Erster Hauptsatz
4.1. Massenerhaltung im offenen System
Zwei Grundsätze gelten in der Thermodynamik:
a
m
m  
e
m
1. Masse bleibt erhalten
2. Masse kann nicht erzeugt bzw. vernichtet
werden
Masse kann sich demnach nur durch Zu- oder Abflüsse ändern.
 Änderung 


der


 Systemmasse 


dm
d
4.1.1.

 Summe 


Zufluss



 Massen 



me

 Summe 


 Abfluss  
 Massen 





 ma
e
a
Vorzeichenkonvention
m 2
+
ausfließend: einfließend:
(+)
m 1
(-)
dm

d


m
i
m 3
Massenerhaltung
- 23 -
i
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Thermodynamik I
4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
4.1.2. Stationäre Umwandlung
Definitionsgemäß ändert sich bei stationärer Umwandlung die Masse pro Zeit nicht

dm
 0 . Das bedeutet, dass zu jeder Zeit gilt:  mi  0 . Für Berechnungen werden langd
i
sam ablaufende Masseänderungen im infinitesimal kleinen Zeitintervall als stationär angenommen.
4.2. Energieerhaltungsprinzip
Symbol Einheit
Eigenschaften des ersten Hauptsatzes:
E
J, Nm, Energie
VAs, Ws

Energie bleibt erhalten

Energie kann nicht erzeugt oder verbraucht werden

E ist eine extensive Größe, Zustandsvariable

Umwandlung von Energieformen möglich (Arbeit, Energie, Wärme)

Übertragung über Systemgrenze möglich
Energie
- 24 -
Benennung
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4. Kapitel
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4.3. Energieformen der Thermodynamik
Symbol Einheit
W
 Gestaltänderung / Volumenänderung
 Wellenarbeit
Thermodynamische Arbeit des Systems
„Einzige Änderung könnte das Heben eines Gewichtes sein“
4.3.1.
Volumenarbeit WV

A

 WV   ( F  d s )    pAds    pdv
Arbeit vom System
Vorzeichen Konvention
p, v
ds
Idealprozess:
2
2
1
1
W12    pdV    p (V ) dV
p
1
2
V
- 25 -
Benennung
J, Nm, Arbeit
VAs, Ws
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4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________


F  p dA
 
Wges    F  d s    F  ds
V
P
V
keine Scherkräfte
durch Druck
  p  dA  ds
Oberfläche A
V
  p  dA  ds   pV
V
 WV   pdV
4.3.2.
Arbeit allgemeiner Volumenänderung
Reibungs- / Dissipationsarbeit

 
Mechanik  W R  M d   : Wellenleistung


Wt
dF
: Winkelgeschwindigkeit
d

M d : Drehmoment


 WR  M d  d
Einfaches System: der Rührer erzeugt
 Geschwindigkeitsgradient (u)
 Spannungen im Fluid

 Dissipation  nicht reversibel ; W R  0
 Umwandlung von mechanischer in innere Energie
- 26 -
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4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
4.3.3.
Innere Energie U
(-)
1. Hauptsatz
dE
(+)
E = Totale Energie des Systems
( E 2  E1 )  ( E kin ,2  E kin ,1 )  ( E pot ,2  E pot ,1 )  (U 2  U 1 )
E
=
Ekin
+
E pot
+
U
U = innere Energie, die in Form von molekularer Bewegung gespeichert ist.

Translation

Rotation

Schwingung
2
Beispiel: Rührer
U  WR
adiabater Kolben
U  WV   ( p)dV  U 2  U1 
1
Mikroskopische Betrachtung




Makroskopische Betrachtung
p, T
V
m, n


n Teilchen
- 27 -
V
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4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
Etot    Ekin    E pot    Erot i   Evib i  ...
N
i 1
i
Energie
i
N
m   mi
E  Ekin  E pot  U  p, V , m 
Masse
m
i 1
10 23 Variablen, Impulse
Variablen
p, T, V, m, ...
thermische Energie  „unorganisierte“ kinetische Energie
U ist extensive Zustandsgröße :
Symbol Einheit
U
Benennung
J, Nm,
VAs, Ws
innere
Energie
- eindeutige Verknüpfung mit Zustandsgrößen (p,V,T, …)
- U  U 2  U1 unabhängig von Prozessweg
p
in (p,V) oder (T,V)-Diagram
P1
u1  u  p1 , v1 

P2
spezifische innere Energie:
J 
U
u
 kg 
m
 
u2  u  p2 , v2 
V
1
adiabater Prozess, geschlossenes System: U 2  U1  W12
diadiabter Prozess: U 2  U1  W12
Q12  U 2  U 1  W12  U  W12

 E
kin
, E pot  0 
2 
Definition von Q12   Q d ; übertragene Wärme
1
- 28 -
2
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____________________________________________________________________________________________
Wärme Q
Symbol Einheit

Energietransport durch Temperaturrenz ohne Arbeit


Wärmestrom Q über Systemgrenze
Keine Zustandsgröße
Q

Benennung
diffe-
J, Nm, Wärmeenergie
VAs, Ws

T2
Q
2
2 
1
1
Wärmemenge Q12    Q   Q( )d
E U 
T1


m 2
c2
c  mgz  m  u   gz 
2
2


Q12  12 E  12U  12  Ekin   12  E pot  , wenn das System isochor ist
Definition von Wärme und Arbeit hängt davon ab wie man das System definiert.
System A: U   Q
System B:
- 29 -
U  W
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____________________________________________________________________________________________
4.3.4.
Prozess- / Zustandsgrößen

Arbeitsflüsse:
Leistung am / vom System
Wi
4.3.5.
Erster Hauptsatz für geschlossene Systeme
Masse im System konstant
dm
0
d
,

m

me  ma  0
 Ä nderung 


der


 E nergie 



dE
d

E
 Netto  



Arbeits


 Ströme 




W

i
 N e tto 

 W ärm e
 S tr ö m e


Q
j
i
- 30 -
j





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4. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
Änderung im Zeitintervall d :
dE 

W
i
d 
i

Q
j
d 
j
 Wi
W
i

i
Q
i
i
 Qj
Änderungen von 1 bis  2 :
2
 dE  E 2  E1 
1
2

1
 W 
12 i

 W
 
i
i


  Q j  d   W12 i    Q12  j
j
i
j

= W12 : Netto-Arbeitsübertragung
Total
= Q12 : Netto Wärmeübertragung
Total
i
 Q 
12
j
j
E 2  E 1   12
E  
W 12  Q 12
4.3.5.1. bewegtes System
 12 E  12 E kin   12 E pot   12U 
W12 i
 W12  a  Q12
Arbeit an
Inneren
Freiheitsgraden
- 31 -
Arbeit
am
Schwerpunkt
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4. Kapitel
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4.3.5.2. ruhendes System
(W12 ) R
 12 E   12U  (W12 ) i  Q12
m
E U
(W12 )i  (W12 )v  (W12 ) R  ....
(W12 )V
Q12
12U  W12  Q12 1. Hauptsatz der Thermodynamik
integral
differentiell
dU   W   Q
massenspezifisch
du   w   q
4.4. Thermodynamische Prozesse mit Arbeit und Wärme
p
p
adiabat
1

p2 p1
1
2
p4 p3
4
3
Beispiel:
2
nicht adiabat
V
V
V1
V4
V2
V3
Frage nach Nettoarbeit Wges
Nettowärme Qges
- 32 -
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4. Kapitel
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4.4.1.
Bestimmung der Gesamtarbeit
Teilarbeiten:
2
2
1
3
1
W 12    pdV   p1  dV   p1 V 2  V1   0
W 23    pdV  0  W 45  W 41
 dV
Arbeit wird vom System geleistet
 0
2
4
W 3 4    pdV   p 3 V 4  V 3   0
3
  p 3 V1  V 3   0
W12   p1 V3  V1  da V3  V2
Gesamtarbeit:
W g es  W 1 2  W 2 3  W 3 4  W 4 1
 W 12  W 34
 V 3  V1  p 3  p1   0
W ges  V 3  V1  p 3  p1   0 System leistet also Arbeit.
4.4.2.
Bestimmung der Gesamtwärme
Annahme: einfaches System Wges  WV  ges
dU   W   Q
Verlauf von 1 bis 5
5
 dU  U
5
 U1  0 
1
  W    Q  W
 dU
ges

  W   Q 
1 2 3 4 5
 Q ges
Zustand bei Punkt 1 ist gleich dem Zustand bei Punkt 5:
U1  U 5
0  Wges  Qges
Q g es   W g es
 V3  V1  p1  p 3   0
- 33 -
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4. Kapitel
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4.4.3.
Messung der Wärme mittels Dissipationsarbeit

2
1

2
1
m
z1
z1
W  mg z
m
z2
4.5. Generalisierte Arbeit
4.5.1.
Elektrische Arbeit


 Wel  E  d (V D)

E : elektrische Feld



D : Polarisationsfeld D   0 E

Im E -Feld befindet sich dielektrisches Material. Durch
die Polarisierung leistet das Feld Arbeit am Medium.
- 34 -

P

E
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4. Kapitel
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4.5.2.
Magnetische Arbeit


 Wmag  H  d (V B)

B : magnetisches Flussdichte

H : magnetische Feldstärke


B  r 0 H

B

H
r : Permeabilitätszahl
0 : mag. Feldkonstante
4.5.3.
generalisierte Form der Arbeit
Volumenänderungsarbeit:
W12 V
2
   pdV ;  WV   pdV
1
Wellenarbeit:
Flüssigkeitsfilm:
Oberflächenspannung: 
 WR  M D d
Oberflächenarbeit WO  ist zum Beispiel nötig,
 W O   dO
um Wassertropfen zu teilen oder einen Ballon
aufzublasen.
dO  B  ds
B
ds
- 35 -
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4. Kapitel
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A
Längenänderung Festkörper:
 W S   x A dx
 x : Spannung
d x 

P
dx Adx

 Dehnung
L
V
dx
2
4.5.4.
L
Energiebilanz mit verschiedenen Energieformen
 W ges   WV   W R   W el   W m ag  ........
F
K
dX K
K
 W K  FK dX K
generalisierte Arbeit
FK : generalisierte Kraft (intensiv)
dX K : Verschiebung (extensiv)
Wenn im System dX K  0 , dann kann WK weggelassen werden.
Energieänderung :
4.5.5.
dU   Q   W ges
Zustandspostulat
Anzahl von
unabhängigen
thermodynamischen
Variablen
n
 W   Fi dX i

Anzahl der relevanten
reversiblen Arten von
Arbeit
 1*
Hier sind (n+1) thermodynamische Variablen nötig
i 1
- 36 -
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4. Kapitel
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Beispiel:
a) kompressibles Gas:
 W   p d V , dw   pdv
n=1
 T  T (u , v ), P  P (u , v ), s  s (u , v )
Jeweils Volumen und innere Energie können unabhängig durch Arbeit
& Wärme variiert werden. Daraus ergeben sich zwei Freiheitsgrade
b) magnetisierbares Salz:
B
m
 T  T ( u , b ), H  H (u , b )
 W  H db , b 
n=1
Ein minimaler Satz unabhängiger Parameter U , X i  oder  s, X i  bzw.  u , xi  und
 s, xi 
charakterisiert den Zustand des Systems.
*Thermischer Freiheitsgrad durch Temperaturänderung charakterisiert.
(Entropieänderung, siehe Thermodynamik II)
- 37 -
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5. Offenes System
Systemgrenze = Kontrollvolumen
Wt
Meist starre Systemgrenze
 V  const.
Q
 keine Volumenänderungsarbeit WV
Q
Um Wellenarbeit Wt leisten zu können
ist eine technische Vorrichtung notwendig, die Wt nach außen führt.
Analyse des offenen Systems
Grenze
offenes System
dm1
dm1
m  
m   d   m( )
 dm1  dm2
dm2
dm2
Zeit:   d
Zeit 
Analyse des geschlossenen Systems
dm1
dm1
m  
m   d   m ( )
dm2
- 38 -
dm2
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Zur Zeit  ist die Masse im System: m ( )
  d
Bei
  0:
allgemein:

m (   ) ,
m ( )   m1   m2
 m1
m2
m (    )  m ( )
=





dm
= me - ma
d


dm
=  me -  ma =
d
e
e

m
i
i
Einströmstutzen:
dm1  1 A1  dL1  1 A1  c1   
dm1

d m 1   1 A1 c1
c1
dL1
A1
5.1. Energiebilanz für offene Systeme
Energietransport in Form von:


Wärmeströmen Q

Arbeitsströmen Wt / Leistung

materiegebundenen Energieströmen


Arbeitsaustausch mit der Umgebung beim Ein- / Ausströmen:„Strömungsarbeit“

Zustände am Ein- / Austritt verschieden (innere Struktur im System)
- 39 -
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5.2. Analyse der Strömungsarbeit
A

c1
dm1
dm1
dL1
Volumenarbeit
Zeit : 
m  const.
AdL1
v1
dm1   1 AdL1 
Zeit :   d
 A  dL1  v1 dm1
Arbeit des einströmenden Fluides am System in Zeit
d :
 WV  F  ds  p1 A dL1  p1v1dm1
F
 WV  dm1
5.2.1.
ds
p1v1
Energiebilanz offenes / geschlossenes System
Sys1
E0 ( )
Sys1
m0 ( )
Sys0 (   )
System2 
Offenes
System0
System
E0   
m0   
Zeit   
Zeit 
dm1
Sysg ( )
Eg  

c1
geschlossenes
System
mg  
Sysg (   )
Eg   
mg   
- 40 -
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Zeit   
Zeit 
 WV  F  ds  p1 Ads  p1v1 dm1
E g (    )  E g ( )   WV 
E g ( )  E1 ( )  E 2 ( )


c2
E1 ( )   dm1  u1  1  gz1 
2


geschlossen:
 E g ( )  dm1 p1v1
E0 ( )  E2 ( );
offen:
E0 (   )  Eg (   )
E2 ( )  Eg ( )  E1 ( )
E0 (   )  E0 ( )  Eg (   )  E2 ( ) 


c2
Eg ( )  dm1 p1v1  Eg ( )  E1 ( )  dm1  u1  1  gz1  p1v1 
2


2


c
E0 (    )  E0 ( )  dm1  u1  p1v1  1  gz1   dm1htot ,1
2



dE0
h1
 m1 htot ,1
d
5.2.2.
Energiegleichung offenes System mit beweglicher Grenze
E0 ( )
E1
E2
E0 (   )

Eg (   )
Eg ( )
Zeit   
Zeit 
- 41 -
: d
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Zeit   
Zeit 

E0 (    )  E g (    )
E1  m1u1  m1 u1
E g (    )  E g ( )  p1V1  p2 V0 (    )  V0 ( ) 
Eg ( )  E1  E2  E1  E0 ( )
E 0 (    )  E 0 ( )  E g (    )   E g ( )  E1 
 E g ( )  p1V1  p 2  V0  E g ( )  E1


E 0 (    )  E 0 ( )  m1 u1    p1 m1   v1  p 2  V0

dE 0
dV
 m1  u1  p1v1 
 p2 0
d
d
Beispiel fiktive Ausbreitung:
E0 (   )

dE
 mu
d

m
dV
;
d
dV 
 mv
d


dE0 
dV
 m(u  pv )  p
 m(u  pv )  pm v
d
d
E0 ( )
5.3. Erster Hauptsatz für offene Systeme
Offenes System
A1
p1
- Massenströme über Systemgrenzen
m1
Wt
m( )
E ( )
- massengebundene Energietransporte
über Systemgrenzen
- Wärmeströme über Systemgrenzen
m2
p2
Q
A2
- 42 -
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5. Kapitel
____________________________________________________________________________________________
5.3.1.
Bilanzierung des ersten Hauptsatzes

 massengebundene   Netto    Netto    massengebundene   Netto 



 
 
 

einfließende
Wärme
Arbeits
ausfließende
Änderung








 
 
 
 
 Energie
  Ströme   Ströme   Energieströme   derEnergie 

 
 
 
 

Massenbilanz:
5.3.2.
 Summe



der


 Zuflussmasse 


 Summe



der


 Abflussmasse 



Energietransport über starre Systemgrenzen
Einfließende Masse:

leistet Strömungsarbeit d m1 p1v1

trägt kinetische Energie

hat potentielle Energie d m1 gz1

trägt innere Energie dm1 u1
d m1 2
c1
2
Ausfließende Masse:

leistet Strömungsarbeit d m2 p2 v2

fügt kinetische Energie zu: 

fügt potentielle Energie zu: d m2 gz2

fügt innere Energie zu: d m2 u 2
d m2 2
c2
2
- 43 -

 Änderung 


der


 Systemmasse 


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____________________________________________________________________________________________
5.3.3.
Energiebilanz


c2
E (  d )  E ( )   Q   Wt  p1v1dm1  dm1c12  dm1 gz1  dm1u1   p2 v2 dm2  dm2 2  dm2 gz2  dm2u2 
2


etot  u 
spezifische Totalenergie:
c2
 gz
2
E (  d )  E ( )   Q   Wt  dm1 ( etot  pv )1  dm2 ( etot  pv ) 2
h  u  pv
spezifische Enthalpie:
spezifische Totalenthalpie:
htot
htot
c2
 ( etot  pv )  u 
 gz  pv
2
c2
 h   gz
2
E (  d )  E ( )   Q   Wt  dm1htot ,1  dm2 htot ,2
dE
d

Wärmestrom
5.3.4.



 Q  W t  m1 htot ,1  m 2 htot ,2
Leistung P
Mehrere Zu- / Abflüsse

me,1




dE
  Q i   W t ,i   m e htot ,e   m a htot , a
d
i
i
e
a

ma ,1

Q1
Daraus ergibt sich der Erste Hauptsatz für das
offene System in differentieller Form:
Wt ,2
Wt ,1

ma ,2



dE
  Q i ( )   W t ,i ( )   mi ( )htot ,i ( )
d
i
i
i



dm
  me ( )  m a ( )  mi ( )
d
e
a
i
- 44 -


me,2
Q2
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____________________________________________________________________________________________



Q i ( ), W t , i ( ), m i ( ) sind gegebene Funktionen von 
2



2





 dE 






E  2   E  1    
d
Q
W
m
,
t
i
i   htot ,i   d







i



i
i

1  d 
1  i
2
2



 dm 


m  2   m  1    
d
m
i   d





1  d 
1  i
5.3.5.
Stationärer Zustand



dm
 0   mi   m e   m a
d
i
e
a
Index „e“ steht dabei immer für „einströmend“
Index „a“ steht demzufolge für „ausströmend“



dE
 0   Qi  W t ,i   mi htot ,i
d
i
i
i
Einlass / Auslass:
„e“=1

m 1
Q
htot ,1
1
Wt
„a“=2





dm
 0  me  ma  0  me  ma  m
d
2




dE
 0   Q i   W t ,i  m 1 htot ,1  m 2 htot ,2
d
i
i



Q


Wt  P ; wobei P die gesamte Leistung ist, die in das System fließt.

0  Q ges  W t , ges  m ( htot ,1  htot ,2 )
spezifische Arbeit:
Q ges
q12 
m
spezifische Leistung:
wt ,12 
Wt , ges
m
0  q12  wt ,12  htot ,1  htot ,2
- 45 -
m 2
htot ,2
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spezifische Energiebilanz mit
stationärem Ein- / Auslass:
12 htot  htot ,2  htot ,1  q12  wt ,12
Durch Wärmeströme und Arbeitsströme wird im stationären offenen System die Totalenthalpie geändert  htot  e  pv  . Die Totalenthalpie enthält die Strömungsarbeit, die am
Ein- und Auslass geleistet wird.
q12  wt ,12  ( h2  h1 ) 
1 2 2
 c2  c1   g  z2  z1 
2
Symbol Einheit
5.4. Enthalpie
Die Enthalpie kann prinzipiell für jedes System angegeben wer-
Hh
J, Nm,
VAs, Ws
Benennung
Enthalpie
den. Sie ist jedoch für isobare  p  const / dp  0  besonders
zweckmäßig.
u  pv  h
spezifische Enthalpie
U  pV  H  mh
Enthalpie  Sie geht aus den Zustandsgrößen u, p, und v hervor und ist
somit ebenfalls eine Zustandsgröße. Außerdem ist die
Enthalpie eine extensive Größe
 dH  dU  d  pV   dU  Vdp  pdV
Bleibt die Enthalpie bei einem Vorgang unverändert wird dies mit isenthalp bezeichnet
- 46 -
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5.4.1.
Beispiel Ansaugen einer Maschine
Systembilanz:
 c2 
q01  wt ,01  h01      g z01
 2 01
System 1
c1
keine
Wärmezufuhr
keine
technische
Apparatur
c2
bei Gasen
uninteressant
c0  0
c12 c 02
0  h1  h0 

2 
2
0
c12
h1   h0  htot ,0
2
5.4.2.
htot ,0 ist die Ruheenthalpie des Ansaugmediums
Beispiel Wasserturbine
Eine Turbine nimmt Arbeit aus dem Wasser, indem sie den Druck reduziert, aber
nicht die Fließgeschwindigkeit.
Annahme:
- Wasser ist inkompressibel: 1   2  0
 v1  v2  v0
-
oben und unten gleicher Druck p1  p2
bedingt durch die Wassertiefe
-
Systemgrenze so, dass c1 , c2  0
-
Ein- und Auslass haben selben Querschnitt A1  A2  A
-
Adiabater Vorgang  Q  0 
Wt
- 47 -
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m 1  1c1 A1   0 c1 A   m 2   2 c2 A2   0 c2 A  c1  c2
 c2 
q 01  w t ,12   12 hto t   12 h   12 
  g  12 z
 2 
c1  c2 
weil adiabater
Vorgang
wt ,12  12 u  12 ( pv )  g 12 z
Keine Erwärmung: T2  T1  u2  u1  12u  0
wt ,12   p2  p1  v0  g  z 2  z1   g  z 2  z1   0 Die technische Arbeit ist negativ. Laut Vor
0
zeichenkonvention wird demnach Arbeit an
der Turbine geleistet
m 1  1c1 A1  1c1 A  m 2   2 c2 A  m   0 cA
c1 
c2 
c
Konstanter Rohrquerschnitt: A1  A2  A
bei stationärer Durchströmung und konstantem Rohrquerschnitt ist die Durchströmgeschwindigkeit c ebenfalls konstant.
Rechenbeispiel :
Fallweg: z2  z1  100m ; Rohrquerschnitt: A1  1m 2 ; Flussgeschwindigkeit: c1  2 m
s
wt  g 12 z  9,81
m
m2
kJ


100

9,81
1
m


2
2
s
s
kg
m   0 Ac1  1000
kg
m
kg
 1m 2  2  2000
3
m
s
s
kJ
kg
 t 1
W t  mw
 2000
 2 MW
kg
s
- 48 -
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5.4.3.
Adiabate Drossel
A
p1  p2
(falls inkompressibel: v1  v2  v  c1  c2 )
Bei Drosseln sind meist
c2 p2
c1 p1
c
c
m 1  1c1 A1  1 A  m 2  2 A
v1
v2
sehr klein, so dass Änderungen vernachlässigt werden können
 c2 
q12  w t ,12   12 htot   12 h   12 
  g  12 z
2 


 

adiabat
 c2 
 0 falls 12    12 h
 2
keine Vorrichtung
 0   12 h  h2  h1

adiabate Drossel: isenthalper Vorgang (isenthalp = Enthalpie bleibt konstant)
h2  h1
Perfektes Gas: h T , p   c pT ; h2  h1  T2  T1
5.4.4.
Düse / Diffuser

Q2
Düse:
A1
A2
Definition Düse: c2  c1 ; A2  A1
Durch die Querschnittsverengung wird kinetische Energie in Enthalpie gewandelt.

m1



m1  m2
m2

Q2
Diffuser:
A1
A2
- 49 -
Definition Diffuser: c2  c1 ; A2  A1
Querschnittserweiterung
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m 1  c1 1 A1  m 2  c2 2 A2 
c1 A1 c2 A2

const.
v1
v2
inkompressibel: v1  v2  v :
c1 A2

c2 A1
q12  w t ,12   12 htot   h2  h1  
1 2
c 2  c12   g ( z 2  z1 )

2
keine Vorrichtung
h2 
bei Gasen zu
vernachlässigen
c22
c2
 h1  1  q12
2
2
adiabat:
c22
c12
q12  0  h2   h1 
2
2
Düse:
c2  c1  h2  h1
Diffuser:
c2  c1  h2  h1

T2  T1
Beim perfekten Gas
T2  T1
5.5. Technische Arbeit aus Zustandsänderung

Q1/ 2
Q
p1 , v1

m
Offenes System:

1
2
W t
q12  wt ,12  12 htot 
1 2 2
 c2  c1   g ( z2  z1 )
2
1
 u 2  u1   pv 2   pv 1   c22  c12   g ( z 2  z1 )
2
 h2  h1 
- 50 -
(I)
m
p2 , v2
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mitbewegtes geschlossenes System:
Ein kleines System ( i ) mit der Masse ( dm ) wird durch das offene System transQ
portiert. Auf dem Weg muss System ( i ) die Wärmemenge q12  12 aufnehmen.
dm
W12
Es leistet dabei die Arbeit wi ,12 
dm
 :
dm  md
Masse
U 2  U1  Q12  W12
u2  u1  q12  wi ,12 ; q12 
: dm
Q12
W
wi ,12  12
dm
dm
(II)
1 2 2
 c2  c1   g ( z2  z1 )
2
(I) - (II): wt ,12  wi ,12  u2  u1   pv 2   pv 1 
p
Arbeit des mitbewegten Systems:
Zust .2
wi ,12 = w v ,1 2 + w R ,1 2 = 


Volumenarbeit

pdv  wR ,12
Zust .1
1
Rest
2
2
1
1
 pv 2   pv 1   d ( pv)    pdv  vdp 
v
Die Integration kann hier über beliebigen Weg laufen, da
es das vollständige Differential ist.
2
wt ,12   v( p ) dp  wR ,12 
1
1 2 2
 c2  c1   g ( z2  z1 )
2
2
reversibler Übergang:
wR ,12  0  wt ,12   v( p ) dp 
1
reversible Änderung:
2
Ekin ,  E pot  0 :
2
wt ,12   vdp
1
- 51 -
c22  c12
 g ( z2  z1 )
2
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5.5.1.
Anwendung: Druck in reibungsfreier Strömung
inkompressibel: v  v0
z.B. Fallrohr
m  const  m 
cA
cA
 const  1 1
v
v1
v  v0

c1 A1 mv
 0
A
A
 c
Die lokale Geschwindigkeit ist durch m , v0
und lokalen Querschnitt festgelegt.
2
w t ,12 
 vdp  w R 
1
keine
Vorrichtung
2
c 22  c12
 g ( z 2  z1 )
2
keine
Reibung
2
c22  c12
  vdp  v0  dp   v0 ( p2  p1 ) 
 g ( z2  z1 )
2
1
1

1  c22  c12
p2  p1   
 g ( z2  z1 ) 
v0  2

konstanter Querschnitt:
c2  c1  p2  p1 
g ( z2  z1 )
(hydrostatischer Druck: Druck wirkt
v0
von allen Seiten gleich auf das System)
nicht konstanter Querschnitt: z2  z1  p2  p1 
1  c22  c12 

 Bernoulli-Satz
v0  2 
horizontales Rohr: z2  z1 ; A2  A1  p2  p1  0  p2  p1  const.
- 52 -
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5.5.2.
Integrierte Form; reversibel quasistatisch
Reversible Prozesse sind eine Idealisierung, die es streng genommen nicht gibt, denn wenn
sich ein System im Gleichgewicht befindet, so haben die Zustandsvariablen zeitunabhängige
Werte, und es passiert makroskopisch nichts.
Reversible Zustandsänderungen lassen sich aber näherungsweise durch kleine (infinitesimale)
Änderungen der Zustandsvariablen simulieren, bei denen das Gleichgewicht nur wenig gestört
wird. Wenn diese Änderungen genügend langsam erfolgen, hat das System genügend Zeit,
immer wieder ins Gleichgewicht zu kommen. Man spricht von quasistatischen Prozessen.
2
 c2 
vdp


   g z12
1
 2 12
2
wt ,12 
wt ,12 
 vdp : reversibel
1
Wir vernachlässigen im Weiteren die potentiellen und kinetischen Energieanteile.
2
p
 vdp : „Druckänderungsarbeit“
1
1
wt   vdp
p

technische
Arbeit
1

2
v
2
v
wv    pdv
Volumenänderungsarbeit
p
1
Spezialfall: inkompressibel v  v0 :
2
wt ,12   vdp  v0 ( p2  p1 )

1
2
daher Druckänderungsarbeit
- 53 -
v
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5.5.3.
Zusammenhang von wt und wv
q12  wt ,12  htot ,12
2
 c2 
 c2 
q12  wR ,12   vdp      g z12  h2  h1      g z12 quasistatisch
 2 12
 2 12
1
2
2
1
1
q12  wR ,12   vdp  u 2  u1  ( pv ) 2  ( pv )1  u2  u1   d ( pv )
2
2
u2  u1  q12  wR ,12   vdp  p2 v2  p1v1  q12  wR ,12   pdv  q12  wR ,12  wV ,12
1
1



2
2
2
1
1
1
 vdp   d ( pv )    pdv
- 54 -
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5.6. Kreisprozess in stationärer Strömungsmaschine
5.6.1.
Bilanz der Komponenten
m e
Wt ,23
Turbine
Q12
Boiler
System 2
System 1
System 3
System 4
Q 34
Wt ,41
Gesamtbilanz:
1 2 2
 c2  c1   g ( z2  z1 )
2
1
q23  wt ,23  h3  h2   c32  c22   g ( z3  z2 )
2
1
q34  wt ,34  h4  h3   c42  c32  .......
2
q41  wt ,41  h4  h.........................
q12  wt ,12  h2  h1 
 m  q
ik
 wt ,ik   0

 Q   P
ik
i
i
ik
Summe:
 q
ik
k  i 1
0
i
Energieerhaltung im stationären Kreisprozess:
 Summe 


 Netto  
 Arbeit 



 wt ,ik   0
i
 Summe 


 Netto  
 Wärme 


- 55 -
0
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5.6.2.
Bilanz am Gesamtsystem
Geschlossenes System (stationär) mit
starrer Systemgrenze
U1  u ( ) , U 2  u (   )
Wt ,23
Turbine
Q12
Boiler
U 2  U1
stationär:
System 1
1. HS:
U 2  U1    Qi    Wi
i
i
  Qi d  Wi d
i
i
0   Qi   Pi  Q  P
i
5.6.3.
Q 34
Wt ,41
i
reversibler statischer Kreisprozess
Die gesamte technische Arbeit ergibt sich aus der Summer der einzelnen technischen
Arbeiten in den Teilschritten gesamten Prozesses  wt   wi eines mitbewegten geschlossenen Systems.
2
 wt ,i ,i 1   vdp 
i
1
w
i
t , i , i 1

1 2
 c2  c12   g ( z 2  z1 ) 
2
3
1
 vdp  2  c
2
3
 c 22   g ( z 3  z 2 )  ......
2
 vdp
p
 vdp    pdv
Im Uhrzeigersinn:
2
1
 vdp  0 :
 v dp
Arbeit wird abgegeben
rechtslaufender Prozess  Arbeitsmaschine
4
3
V
- 56 -
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gegen Uhrzeigersinn:
 vdp  0 :
Arbeit wird aufgenommen
p
linkslaufender Prozess  Wärmepumpe (WP)
Kältemaschine (KM)
1
4
2
3
V
5.7. Wirkungsgrade
Wirkungsgrad  ist das Verhältnis der Arbeit, die bei einer Energieumwandlung abgegeben wird (effektive Leistung) zu der dazu aufgenommenen Arbeit (Nennleistung). Da
Maschinen im Allgemeinen kontinuierlich Arbeit leisten, wird der Wirkungsgrad meist
als das Verhältnis von Ausgangsleistung zu Eingangsleistung definiert:
Wirkungsgrad 
Netto  Arbeit geleistet
Nutzen

Aufwand
Wärmezufuhr
Beispiel Dampfturbine:
WT  0 ,
W P  0 ,
Q H  0
Q  0
WT
Turbine
L
Q H
Boiler
Nutzen:
WT , W P  WT oder allgemein
 W
i
 WT  W P  WT  W P
i
Aufwand: Q H
W P
- 57 -
Q L
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 Q   W
1. HS:
i
i
i
0
i
Q H  Q L  WT  W P  0
Q H  Q L  WT  W P  0
WT  W P  Q H  Q L

Q H  Q L
WT  WP
Nutzen


 1
Aufwand
Q H
Q H
Q L
Q
   1
H
Q L
Q
H
falls W P  WT  Nutzen  WT
Kreisprozess im geschlossenen System
1. HS:
p
 Qi   Wi  0
i
 th 
 th 
i
  W i
i
Q H

 m  vdp
Q
1
2
4
3
H
  vdp
qH
V
Beispiel WP/KM:
Q H
Kondensator
Verdichter
Verdampfer
Q L
- 58 -
Win
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1. HS:
 Q   W
i
i
i
0
i
Q L  Q H  Win  0
Win  Q H  Q L
Wärmepumpe:
Q H
WP   
Win
1
≥1
Q L
1
Q
H
i : Leistungsziffer
Kältemaschine:
 KM
Q L
1


≥1


Win
QH
1
Q
L
5.8. Prozess- und Zustandsänderungen
Zustandsänderung: Zustandsvariablen des Systems ändern sich
T

2
1

V
Wichtig: Eine Zustandsänderung bezieht sich nur auf das eigentliche System
und nicht auf seine Umgebung !!!
- 59 -
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______________________________________________________________________________________________
quasistatische Zustandsänderung
Es gibt:

extensive Zustandsgrößen
o sind proportional zur Stoffmenge (Größe) des Systems
o ändern ihren Wert, bei einer Unterteilung des Systems in mehrere
J
Teilsysteme, z.B.: V [m³], U [J], S   , H [J]
K 

intensive Zustandsgrößen
o sind unabhängig von der Größe des Systems, z.B.: p, T
Beispiel für eine quasistatische / nicht-quasistatische Zustandsänderung :
nicht-quasistatische Zustandsänderung :
z
z
x
x
quasistatische Zustandsänderung :
z
z
x
x
Prozess: Ist eine Zustandsänderung + die jeweilige Realisierung in seiner Umgebung, sowie
die Wechselwirkung mit der Umgebung (z.B. Wärmeströme, verrichtete Arbeit).
- 60 -
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______________________________________________________________________________________________
man unterscheidet: - quasistatische Prozesse
└ Zustandsänderung ist quasistatisch
- reversible Prozesse
└ Zustandsänderung ist quasistatisch
und
kann vorwärts / rückwärts ablaufen
Zustandsgrößen :
intensiv
extensiv
spezifische
quasistatisch
√
√
√
reversibel
√
√
√
nicht quasistatisch
√
global √ / lokal -
Definitionen von Prozessen :
 isobar
: p = const.
(Druck)
 isochor
: v = const.
(Volumen)
 isotherm
: T = const.
(Temperatur)
 isenthalp
: h = const.
(Enthalpie)
 isentrop
: s = const.
(Entropie)
 isoenergetisch : e, u = const.
---------------------------------------------------------------- Adiabat :  Q , Q  0
(bei Realisierung keine Wärmeab- bzw. Wärmezufuhr)
5.9. Spezifische Wärmekapazitäten (Anwendung)
Bei dem Begriff Wärmekapazität handelt es sich um eine „Altlast“, da es sich
bei Wärme um keine Erhaltungsgröße handelt.
 U 
 U 
dU T ,V   
 dT  
 dV
 T V
 V T
T
Wärmekapazität bei konstanten Volumen:
 U 
CV T ,V   

 T V

2

1
V
- 61 -
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______________________________________________________________________________________________
 WV  0
dV  0
isochorer Prozeß:
reversibler Prozeß:
dU   Q   W
0
dU  CV dT   Q
CV :
V
 WR  0
 U 
 U 

 dT  
 dV
T V
V T




0
U,T, p
CV
Wärmemenge / (in Grad je T – Erhöhung)
( V = const.)
Daher kommt der Name! Wieviel Wärme muß man aufwenden,
um Material zu erwärmen, wenn V  const.
spezifisch:
cV 
CV
,
m
q 
Q
m
 dv  0
du  cV dT   q
 u 
 u 
 u 
du T , v   
 dT    dv  cv T , v  dT    dv
v T
 T v
 v T



" Realteil "
 u 
cv  T , v   

 T v
: spezifische Wärmekapazität bei konstanten Volumen
Diese Beziehung ist allgemein gültig und nicht nur für diesen
speziellen Prozeß (isochor, reversibel).
p
konstanter Druck:
dU   Q   W
p
reversibel
  Q  pdV : m
U 2 , T2 , V 2
U 1 , T1 ,V1
du   q  pdv
p
 q  du  pdv
- 62 -
p
Q
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Man sieht, dass Wärmemenge a) zur Erhöhung von u und b) zur Volumenarbeit benötigt wird.
Daher rechnet man bei p  const. lieber mit h, welches direkt die Wärmemenge wiedergibt.
Enthalpie
h  u  pv ,
dh  du  pdv  vdp
daraus folgt:
dh   q  vdp ,
dp  0  dh   q
bei einem isobaren und reversiblen Prozess:
h2  h1  q1,2
 h 
 h 
dh  
 dT    dp
 T  p
 p  T
So ergibt sich die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck.
 h 
cp  

 T  p
 h 
dh  c p T , p  dT    dp
p T



" Realteil "
c p : „Wieviel Wärme“ muss pro Grad T – Erhöhung bei p  const.
zugeführt werden?

1
 v  const.  v0 ,   const.  0  
v0 

Spezialfall: inkompressibel
inkompressibel: kann keine Volumenarbeit leisten.
 wV   pdv
0
 0,
u  T , v   u  T , v0   u  T 
T
u  T , v  hängt nur von T ab, da sich v nicht ändern kann
0
 u 
du  cv  T , v0  dT    dv  cv  T  dT



 v T
cv T 
- 63 -
v0
V
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dh   q  vdp   q  v0 dp
isobar:
0
q
0
 h 
 h 
dh  
 dT    dp  c p dT
 T  p
 p T
du   q  pdv

0
  q  cv dT
inkompr .
cv  T   c p  T   c T  ,
du  c  T  dT  dv
T
u T   u0   c T dT 
T0
inkompressibel
h  u T   v0  p  p0 
Die Kenntnis von v0 , c T  reicht für eine thermodynamische Beschreibung aus.
Bei konstant gehaltenen Index, wie 1-d differenzieren.
Definiere:
  
v  T  p
1  v 
1
in  
K 
isobarer Ausdehnungskoeffizient
1  p 


p  T  v
1
in  
K 
Spannungskoeffizient
1  v 
1
in  
 Pa 
isotherme Kompressibilität
 
  
v  p  T
Alle Größen können direkt mit p, v, T - Messungen bestimmt werden.
Bringt man diese 6 Gleichungen zusammen, so ergibt sich:
 v    p    T 
 p   T   v    1
v 
p
 T 
 1 
 v   p     1
 v 
  p
Diese Relation kann direkt aus den Messungen verifiziert werden.
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Anwendung auf ideales Gas:
pv  RT
,
R 1

pv T
R 1


pv T
RT
v
RT
v  p, T  
p
pv
T  p, v  
R
p  v, T  
1  RT 
p

1


   
v  p ²  p ² p
dadurch entsteht:

1
P1 1
 p 

T
T p T

OK
5.10. Formen der Energiegleichung
thermische Zustandsgleichung:
f1  T , v , p   0
kalorische Zustandsgleichung:
f 2  u, T , v , p   0
 u T , v  ,
u T , p  ,
h  T , p  oder u  p, v 
Interessant sind hier die Eigenschaften des Mediums. u hängt von jeweils 2 Variablen ab. Ziel
ist es, die Ableitungen von u durch messbare Größen auszudrücken.
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______________________________________________________________________________________________
5.10.1. Variablen T, v
 u 
 u 
du  
 dT    dv
T v
v T




 u 
 cv dT    dv
 v T
" Realfaktor  Energie "
cv
 wR  0 : du   q   w   q  pdv
für quasistatisch:
u  
  dv
  v T 

 q  du  pdv  cv dT   p  

Dies gilt allgemein für quasistatische Prozesse mit  wR  0 .
isochor:
dv  0
isobar:
dp  0
 qv  cv dT ,
du  cv dT

u  
  dv p  c p dTp
 v T 
 q p  cv dTp   p  

c
p

 u    v 
 cv    p     

 v T   T  p

c p  cv
 u 
 T 
p
    c p  cv  
 p
v
 v T
 v  p
 u 
c p , cv ,  sind leicht messbar, z.B.: cv  
 .
 T v
Jetzt sind beide Ableitungen bekannt und u  T , v  kann durch Integration bestimmt werden!
5.10.2. Variablen T, p
Es wird bei den Variablen  T , p  mit h gerechnet, da hier bei der Wärmezufuhr und
mit dp  0 direkt dh   q herauskommt.
h  u  pv ,
u  h  pv
du  dh  pdv  vdp
 q  du  pdv  dh  vdp
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 h 
dh  
 dT 
 T  p

cp
 h 
 h 
  dp  c p dT    dp
p T

 p T

" Realfaktor  Energie "
  h 

 q  c p dT      v  dp ,
  p T

isochor:
dp  0 :  p  c p dT
  h 

 v  dpv

  p T



 c p  cv    v   hp    Tp 
 T 
v

c p  cv
 h 
 T 
 p   v   c p  cv   p   v  p
 T

v
 qv  cv dTv  c p dTv   
Die nächsten Ableitungen sind optional, da sie selten benutzt werden, im
Grunde aber leicht zu berechnen sind.
   pv  

h
 u 
 h  pv  p     
  cp 

 
 T  p T
 T  p  T  p
 v 
p
  c p  pv 
 T  p
   h  pv  
 u 
 h 
 h 
 v 

      pv T     v  1  p  
 p   
T
 T 
 p T
 p T
 p  p T p
c p  cv v 
 u 
 h 
 p    p   v  pv    p  
 T  T
5.10.3. Variablen v, p
Diese Variablen sind in Prozessen häufig, aber selten für Stoffeigenschaften,
da sich  p, T  genauer messen lässt als  p, v  .
 u 
 u 
du    dv    dp
 v  p
 p  v
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 u   u 
Berechne:   ,  
 v  p  p  v
 u 
 u 
 u 
du  
 dT    dv  cv dT    dv
 T v
 v T
 v T
und
 T 
 T 
dT  
dp  
 dv

 v  p
 p  v
  u   T   u   !  u 
 u   T 
 u 
du  
dp


 
 
     dv    dp    dv

 T  v  p  v
 v  p
 p  v
  T  v  v  p  v T 
 u   u   T 
cv
 p    T   p   p
v 
 v 
v
c
cv  u 
 u 
 u   T   u 
   p  p
  
 
   
 v  p  T  v  v  p  v T v   v T v 
allgemein:
F  x, y , z   0 ,
G  u, x , y , z   0
 u   u   z 
     
 x  y  z  y  x  y
 u   u   z   u 
       
 x  y  z  x  x  y  x  z
 u  x, y  u  x, z  x, y   u  x, z  u  x, z  z  x, y  





x
x
z
x 
 x
Diese Regel kann durch nachdifferenzieren erhalten werden.
Weiteres siehe Kapitel 9 „Einschub: Mathematische Grundlagen“
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5.10.4. Joule – Thomson – Effekt (Einführung)
Der Joule – Thomson – Effekt wird unter anderen zur Luftverflüssigung eingesetzt, aber nur,
wenn  j  0 .
Luft
p1, T1, h1
p2 , T2 , h2
adiabate Drossel
q12
0
 wt ,12
0
c²
 12htot 12 h  12
2
0
 12 g ²
0
h1  h2
Joule – Thomson – Koeffizient:
 T 
j   
 p h
 j ist die Steigung der Kurve T  p  bei h  const. im Zustandsdiagramm.
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 T   p   h 
 p   h   T   1
p

h  T 
 T 
j    ,
 p h
 T 
j     
   h
h p
T
cp
cp
,
ideales Gas:
 T 
 p   0

T
j  0
5.10.5. Berechnung von Energiedifferenzen
T
Variablen T , v :
2
u1  u T1 , v1 
1
u2  u T2 , v2 
2
v
2


 u 
u2  u1   du    cv dT    dv 
 v T 
1
1 
T1 ,va 
T2 ,va 
 u 
    dv   cv T , va  dT 
T1 ,va   v T
T1 ,va 
 u 
cv  T , v  ,   T , v  sind bekannt, also ist u2  u1 berechenbar
 v T
T , p 
und  p, v  analog!
- 70 -
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6. Kapitel
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6. Ideales Gas
pV  mRT , pv  RT 
Z
pv
RT
Rm
T
M
: Realgasfaktor
pv  RT , v  const. :
p  const. :
RT
,
p
RT

p
v
v
RT1 RT2
T
T
 1  2

p1
p2
p1 p2
T1 T2
(isobar)

v1 v2
- 71 -
(isochor)
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6. Kapitel
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6.1. Joule Überströmversuch
Ziel des Versuchs ist es, die Abhängigkeit der inneren Energie von T , v , zunächst mit Gas in
der linken Kammer und Vakuum in der rechten Kammer, darzustellen und zu berechnen.
T1 V1
T2
Zustand 1
V2
Zustand 2
U 2  U T2 , V2 
U1  U T1 , V1 
 mu T2,V2 
 mu T1 , V1 
gedachter Zwischenschritt
Experimenteller Aufbau: ∆V = V2-V1 ≠ 0
Messergebnis: ∆T = T2-T1 = 0
- 72 -
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6. Kapitel
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vorher: U1  U  T1 ,V1   mu  T1 , v1 
Analyse:
Zwischenschritt: U z  U1  U
  U1
0,da
m 0
nachher: U 2  U  T2 ,V2   mu  T2 , v2 
0
0
U2  U z  Q  
W
0

1. Hauptsatz:
adiabat
mu  T2 , v2   mu  T1 , v1 
U 2  U z  U1 ,
Resultat:
T1  T2 
u1  u2 , da Q und T von außen = 0
dV 0
keine
Vorrichtung
u T1 , v1   u  T1 , v2 
u T , v   u T 
T1, v1, v2 beliebig 

 u 
  0
 v T
differentiell:
 u 
 u 
du  
 dT    dv
T v
v T



cv
0



u  u T , v  cv T , v

du  cv T  dT
T
u T   u0   cv T  dT 
T0
T2
u2  u1   cv T  dT
T1
- 73 -
ideales Gas
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Wenn u nicht von v abhängt, dann hängt cv auch nicht von v ab.
Optional:
u  const. gemessen T1 , T2 ,V1 ,V2 , m



v1 ,v2
differentiell:
T  T 


v  v u
ideales Gas T  0
 x   y   z 
aus Mathe:        1
 y  z  z  x  x  y
 T   v   u 

   
  1
T v
 v u  u T 
cv
1
 T 

   v
 v u
u



T
cv
u v 
T
cv
- 74 -
 T 

 0
 v v
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

T
u
bei u
 0 und daraus folgt, das
 
const
.  0 ist, dann ist auch der Realfaktor
v
v
exp. Aufbau
u nicht von v abhängt ( bei T  const . )
Wenn
falls: cv  0 :
 T 

 0
 v u

 u 
  0
v T


Re alfaktor
u  u T  :
u  const. auf Isotherme
u1  u  T1 
ua  ub  uc  ud  u  T2 
für alle Prozesse zwischen
Isothermen
6.2. Enthalpie
Beim idealen Gas hängt h  T  und c p  T  nicht von p ab.

h T , p   u  pv  u  T   RT  h T , p

 h 
 p   0
 T
 h 
 h 
dh  
 dT    dp
p T
 T  p



0
cp

cp  cp T , p

:
 c p 
  h 
 ²h !  ²h
  h 






 p 
 p 0
T

T p  T  p pT T p T 

0
- 75 -
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dh  c p  T  dT  dp  du  RdT  cv  T  dT  RdT
c p T   cv  T   R
du  cv  T  dT  dv
dh  c p T  dT  dp
 u 
 T 
    c p  cv  
 p
 v T
 v  p
p
R  p0
R
 h 
 T 
 p   v   c p  cv   p 
 T

v
v
vR 0
R
Kontrolle:
Die Realfaktoren sind tatsächlich = 0. Es ergibt sich ein Zusammenhang zwischen
 p, v, T  - Daten und u - Gleichung.
6.3. Isentropenexponent

c p T 
cv T 

cv  T   R
,
cv  T 
 1
 fällt mit T , da immer nur mehrere Freiheitsgrade angeregt werden.
c p , cv :
tabellierte Mittelwerte
T
h  T   h0   c p  T  dT 
0
definiere:
c p T  
T
1
c p  T  dT  
T 0
h  T   h0  T c p  T 
h2  h1  h T2   h  T1   T2 c p T2   T1 c p  T1 
- 76 -
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c p  T  wächst langsamer, als h  T  und lässt sich daher genauer aus Tabellenwert interpolieren
6.4. Grundlage Idealgas aus kinetischer Theorie
Beispiel hier:
einatomiges Gas
Annahmen:
1)
2)
3)
4)
5)
Sehr viele gleichartige Teilchen
Teilchengröße  Abstand
Alle Bewegungsrichtungen gleich wahrscheinlich
Kleine harte Kugeln: vollkommen elastische Stöße
keine Kräfte außer Stöße
Newton – Bewegungsgesetze
Stöße mit Behälter, wie Stöße zwischen Teilchen
- 77 -
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6.4.1.
Ideales Gas
Luft bei Zimmertemperatur ( T  300 K )
 2,5  1025 Moleküle/m³
v  500 m
s
8  10 9 Stöße / Molekül / Sekunde
6  10 8 m freie Weglänge
3  10 9 m mittlerer Abstand
5  10 10 m Molekülgröße
Faktor 20
Viel mehr freier Weg zwischen den Teilchen, als ihre Größe  langer freier Flug.
Ideales Gas: Teilchendurchmesser  0 und Stöße dienen nur der Gleichgewichtseinstellung.
Eges   Ekin   E pot
n
n
in der Summe über alle Moleküle
Ideales Gas  langreichweitige Wechselwirkung = 0  U pot  0
Eges   Ekin   m
n
n
cn ²
2
Kinetische Gastheorie
( nur Translation )
Impulsänderung
Gasvolumen hat sich geändert
keine Änderung von  Ekin
n
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Teilchen stößt mit y  z  Wand
Lz
cx  cx
cy  cy
z
y
cz  cz
Ly
x
Lx
cy
Teilchenmasse: m

d
Newton: Fx  x
d
Fx 
 x mc x m2c x





Kraft eines Teilchens pro Stoß
Zeit zum durchqueren des Behälters:  
Fx 
mcx ²
Lx
2 Lx
cx
( jedes Teilchen )
Gesamt Kraft:
Fx  
i
Fx 


cx
p
mcxi ²
Lx

m
 cx ²
Lx i i
cx ² 
m
N cx ²
Lx
c
x1
²  cx2 ²  ...  cxn ²

N
( cx Mittelwert der x-Geschwindigkeit)
Fx
mN cx ²

Fläche
V
(N Anzahl der Teilchen)
- 79 -
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gleiche Geschwindigkeiten in alle Richtungen:
cx ²  c y ²  cz ² : Gleichverteilungssatz
c n ²  c xn ²  c y n ²  c z n ²
mN c ²
,
3V
p
N
pV  m

m
pv 
Vergleich:
c²
c²
m
3
3
!


id .  Gasgesetz
mRT
c² !
 RT
3
c²
 RT ,
3
c ²  3RT
c ²  3 pv
,
Luft: R  0, 287
c ²  cx ²  c y ²  cz ²  3cx ²

,
cx ²  RT
cmittel  c ²  3 pv  3RT
kg m m
kJ
Nm
m²
 287
 287
 287
kg  K
kg  K
s ² kg  K
s²  K
cmittel  3RT ,
T  300 K :
cmittel  508, 2
m
s
Rm
831
kJ
kJ

 4155
kg
M 2
KMol  K
kg  K
KMol
m
 cmittel  3  4155  300  1934
s
Größenordnung: Schallgeschwindigkeit  cmittel  je leichter das Gas, desto schneller sind die
Teilchen bei gegebenen T und umso höher ist die Schallgeschwindigkeit!
H2 : R 
Ekin   m
n
cn ²
c² 3
c² 3
 Nm  Nm  mRT
2
2 2 
3 2
mRT
Innere Energie:
U  Ekin 
pro Masseneinheit: u 
3
3 m
mRT 
RmT
2
2M
U 3
 RT  u  T  ,
m 2
 u  3
cv  
  R
 T v 2
- 80 -
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pro Mol:
um 
U U m
3
3
R TM  RmT

 uM  
n m n
2 Rm
2
M
Bei einem einatomigen Gas gibt es nur Translationsbewegungen. Die Gesamtheit der kinetischen
Energie, der inneren Freiheitsgrade ist gleich der durch die Translation erzeugten thermodynamischen inneren Energie.
um x  um y  um z 
1
RmT
2
1
RmT pro Mol
2
u pro Translationsfreiheitsgrad und Mol :
Rm  N L K B
N L  6, 022  1023
u pro Teilchen und Freiheitsgrad
:
1
(Loschmidt – Zahl)
Mol
1
K BT
2
K B  1,38  10 23
6.4.2.
J
(Boltzmann – Konstante)
K
mehratomige Moleküle
Zweiatomige Moleküle:
Translation:
3 Freiheitsgrade
Rotation:
2 Freiheitsgrade
e
:
Mol
Schwingung/Vibration:
Je unabhängiger Schwingung gibt es 1 Freiheitsgrad,
der bei der Berechnung der inneren Energie doppelt
gewertet wird (aufgrund des kin. und pot. Anteils)
Gesamt:
Energiespeicherung durch Ekin (ungeordnete Molekülbewegungen)
- 81 -
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Dreiatomige Moleküle:
Translation:
3 Freiheitsgrade
Rotation:
linear
2 Freiheitsgrade
gewinkelt 3 Freiheitsgrade
Schwingung:
Je unabhängiger die Schwingung ist, gibt es 1
Freiheitsgrad, der bei der Berechnung der inneren
Energie doppelt gewertet wird
(kin. und pot. Anteil)
 CO2 
 H2O
Energie mit vielen Molekül – Freiheitsgraden
m
m

 m

E ges    cx ²  c y ²  cz ²  1 1 ²  ... 
2
2
2

n  2
3


 m  RT  e1 T   ...   m  ex  e y  ez  e1  ... 
2

Die Gleichung zwischen Druck, c² und T bleibt unverändert – die Energie erhält lediglich
zusätzliche Terme, die aber nur von T abhängen.
6.4.3.
Gleichverteilungssatz
Anteil in u pro voll angeregten Freiheitsgrad:
R
T ,
2
R
u  m T ,
2
pro Masseneinheit u 
pro KMol
R
,
2
R
 m ,
2
cv 
cv m
cv 1

R
2
m
cv
1

2
Rm
n f Freiheitsgrade:
c
cv n f
c  R nf  2
 p  v


R
R
R
2
2

cp
cv

nf  2
nf
n f  n f T 
Freiheitsgrad = ein quadratischer Term in E ges pro Teilchen.
- 82 -
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6.4.4.
Bewegter Kolben
(optional)
y
cx vor  ck
Annahme:
(sonst kein Stoß)
cx  0
c : mitbewegt ,
x
c : ruhend
ck
nach
vor
  cx
mitbewegtes System: cx
cx  cx  ck
c  c  c
Transformation:
x
ruhendes System:
x
k
nach
vor
cx nach  cx
 ck   cx  ck
   c x vor  ck   ck   c x vor  2ck
E 
x
kin
E 
vor
x
kin
nach
Ekin x
m vor 2
 cx 
2
2
2
2
m
m
m
  c x nach     c x vor  2ck  
c x vor   4ck c x vor  4ck 2

2
2
2

m
ck 
  Ekin x    Ekin x    4ck 2  4ck cx vor   2mcx vor ck  1  vor
0
nach
vor
c
2
x





Ekin nimmt ab 
T nimmt ab 
U nimmt ab
Durch Impulsübertrag am bewegten Kolben ändert sich die mittlere Geschwindigkeit, also
auch T und U !
(trotzdem ist u  u  T  )
Annahme: dL  Lx , ck  cx
(Wenn der ck2 - Term nicht vernachlässigbar ist, so gilt die quasistatische Annahme nicht!)
dLx
ck
2L
  x
Zeit zwischen den Stößen:
cx

dL c
ns 
 x x
Anzahl Stöße:
ck 2 Lx


Zeit für Kolbenbewegung:
A  L y Lz
V  Lx A
Lx
dL x

- 83 -
1 cx dLx
2 ck Lx
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pro Stoß:
 c 
s
Ekin
 2mcx ck  1  k   2mcx ck
 cx 
1 cx dLx
dL
dV
hs
Ekin
 ns Ekin 
 2 mcx ck  mcx2 x  mcx2
Lx
V
2 ck Lx

N Moleküle:

ges
U  Ekin
  Nmcx2
V
c 2 V
V
  Nm
  pV
  pdV
V
V
V
3



2
Ekin  mRT  pV
3
U   pdV
quasistatische Arbeit
6.5. Spezialfall konstante spezifische Wärmen
Ziel ist die vereinfachte Beschreibung für Abschätzungen, z.B.:
 Analytische Formeln, falls T - Variation klein oder Edelgas
 Gültig in Aerodynamik
 Entwicklung von Verständnis durch analytische Ausdrücke
 Vorsicht bei Dampf- / Gasturbinen und Hyperschall
„perfektes Gas“
cv  const.
c p  const.  cv  R
c
c R
R
  const.  p  v
 1
cv
cv
cv
Ableitung von Relationen zwischen p, v, T für adiabate, isotherme, isochore und isobare Prozesse. ( pv  RT gilt zusätzlich immer für ideales Gas)
adiabate, reversible Zustandsänderung = „isentrop“
p, v
du   q     q  V  R


adiabat
du   pdv
du  cv dT
- 84 -
reversibel
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Gesucht ist ein Zusammenhang für p, v
 cv dT   pdv
perfektes Gas :
pv  RT
T

ersetzt man dT :
pv
R

 pv   pdv  vdp 
dT  d   
R
 R 
cv
 pdv  vdp    pdv
R
Auflösen nach dp, dv :
pdv  vdp  
R
pdv
cv
 cv  R 

 pdv   vdp
cv 




R
 1   pdv   vdp ,
cv 


dp
dv
 
p
v
2
d ln  p     d ln  v    d ln  v  
,
2

 d ln  p    d ln  v 
1


ln  p2   ln  p1   ln  v2   ln  v1 
1
p2 v2  v1 

 
p1 v1  v2 

Zustandsänderung perfektes Gas:
 p2 
 v1 

  

 p1 
 v2 



p 2 v 2  p1v1
Z u sa m m enh a n g
pv  const.
p,v 
- 85 -
Isentropengleichung
U 2  U1  Q12  W12

0
adiabat, reversibel
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T , v  , T , p  :
Zusammenhänge
pv  RT
Zustandsgleichung
pv   pv  v  1  RTv  1
 T2 
 v1 

  

 T1 
 v2 


1
Tv  1   const .
T , v  Z u sa m m en h a n g
T , p 
Is e n tr o p e
- Zusammenhang:
v
RT
p

 RT 
pv  p 
  const.
 p 

p1 T   const. 
 T2 
 p2 

  

T
 1 
 p1 

T
p 1
1

T
 1
p
p ,T  Z usam m enhang
 const.

Is e n tr o p e
Isotherme Zustandsänderung:
pv  RT
,
T  const. 
pv  const.
p2 v1

p1 v2
pv  const.
isotherm
- 86 -
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Isobare Zustandsänderung:
pv  RT
,
T
 const.
v
p  const. 
T
 const.
v
T2 v2

T1 v1
isobar
Isochore Zustandsänderung:
pv  RT
,
T
 const.
p
v  const. 
T
 const.
p
T2 p2

T1 p1
isochor
Bis auf adiabate Zustandsänderung gelten die Formeln auch für das ideale Gas.
(perfekt und nicht perfekt)
P
Isentrope (1) :
pv  const.
Isotherme (2):
pv  const.
p
p
(2)
(1)
c
v
c
v
v

cv  R
1
cv
Isentropen sind immer steiler als Isothermen im pv / pV Diagramm!
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6.6. Allgemeine Polytropengleichung
Ziel ist es, eine Beziehung zwischen Zustandsgrößen zu definieren, die für verschiedene
Prozesse gültig ist.
Ersetzt wird  in der Adiabatenformel durch den Polytropenkoeffizient n .
Sie ist nützlich zur Analyse vieler technischer Prozesse.
Beziehung zwischen  p, v, T  , gültig für verschiedene Prozesse:
pv n  const.
„Polytropengleichung“
n: Polytropen – Exponent
Beispiel für Prozesse:
pv 0  const.
n0

pv  const.  RT
n 1

n 
pv  const.

n

isobar
isotherm
isentrop
1
n
p v  const.
isochor
6.6.1. Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung
Polytrope Zustandsänderung erfasst mehrere verschiedene Fälle. Es lohnt sich hier, die Arbeit
und Wärme direkt auszurechnen und später nur einzusetzen.
pv n  const. ,
pV n  const.
2
1. Hauptsatz: U 2  U1  Q12  W12  Q12   pdV
(quasistatisch, reversibel)
1
2
W12    pdV
, U 2  U1  mcv  T2  T1 
pV n  const.

1
p1V1n  p2V2n  pV n
n
V 
p V   p1  1   p1V1nV   n 
V 
V2
V2
V1
V1
W12    p V  dV   p1V1n  V
n
V2
 1

dV   p1V1n 
V   n 1 
  n  1
V1
 n 1

p1V1n
p1V1  V1 
  n 1
  n 1
 
V2

 V1

 1
 n  1
 n  1  V2 



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 n 1

p1V1  V1 
 
W12 
 1
 n  1  V2 

Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung
(Volumenverhältnis)
n
pV n  const.

 V1 
p2
  
p1
 V2 

 n 1


p1V1  p2  n
 1
W12 

 n  1  p1 


 V1 
 
 V2 
 n 1
p 
 2
 p1 
 n 1
n
polytrope Volumenarbeit (Druckverhältnis)
n
V 

p2  p1  1 
pV  p V
 V2 


1  p1V1n
1  p1V1n
1
W12 
 p2V2  p1V1 
  n 1  p1V1  
 n V2  p1V1  
 n  1  V2
  n  1
  n  1  V2
n
1 1
n
2 2
W12 
pV  mRT
W12 
1
 p V  pV 
 n  1 2 2 1 1

polytrope Volumenarbeit (Verschiebearbeit)
R
  1
cv
  1 T  T
mR
T2  T1   mcv


 n  1
 n  1 2 1
polytrope Volumenarbeit
(Temperaturdifferenz)
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6.6.2.
Wärmemenge bei polytroper Zustandsänderung
1. Hauptsatz:
U 2  U1  Q12  W12  mcv T2  T1 
   1 

Q12  mcv T2  T1   W12  mcv  1 
 T2  T1  
 n  1 

   1 

Q12  mcv   1 
  T2  T1  
n 1 


Q12  n    q12


W12   1 W12
Diskussion:
6.6.3.
n 
: Wärmezufuhr
n 
: Wärmeabfuhr
n 
: keine
Wärmeab-/zufuhr
Wärmezufuhr eines polytropen Prozesses
Q12  0, Q12 W12  0
Q12  0, Q12 W12  0
Wärme, Arbeit haben die
gleiche Richtung
Wärme, Arbeit haben eine
gegenläufige Richtung
(adiabat) Q12  0
Isotherme Volumenarbeit
pV  const.

p V  
p1V1
V
V 
V 
dV
  p1V1 ln  2   p1V1 ln  1 
V
 V1 
 V2 
V1
V2
V2
W12   p V dV   p1V1 
V1
V 
p 
W12  p1V1 ln  1   p1V1 ln  2 
 V2 
 p1 
Volumenarbeit bei isothermer
Zustandsänderung
U 2  U1  mcv T2  T1   0  Q12  W12



0
V 
V 
Q12  W12   p1V1 ln  1   p1V1 ln  2 
 V2 
 V1 
V 
p 
Q12  p1V1 ln  2   p1V1 ln  1   W12
 V1 
 p2 
Isotherme Wärmezufuhr
- 90 -
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6.7. Polytroper Prozess in stationären offenen Prozessen
 c2 c2 
q12  wt ,12  htot ,12   h2  h1    2  1   g  z2  z1 
2 2
2
 c2 
quasistatisch reversible Zustandsänderung: wt ,12   vdp    2   g z12
 2 12
1
2
vernachlässigbar:
wt ,12   vdp
1
polytrope Zustandsänderung:
pv n  const. ,
vp
1
n
1
 n 1




 n   p2 n
  v  p  dp  v1 p1 
 1 polytrope, reversible, technische Arbeit
  

 n  1   p1 
1


2
wt ,12
1
 const.  v1 p1 n  v2 p2 n
 n 1


v1 p1  p2  n
 1
w12   p  v  dv 
 


n  1  p1 
1


2
Vergleich:
wt ,12  nw12
Diskussion der Arbeit, technische Arbeit, Wärme im polytropen Prozess:
  1
w12  cv 
  T2  T1 
 n 1 
 n  
q12  cv 
  T2  T1 
 n 1 
n
wt ,12  cv
  1T2  T1 
 n  1
q12  n   


w12    1 
wt ,12
n
w12
- 91 -
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n  :
w
+
-
q
wt
+
-
+
-
Arbeit und Wärme gleichläufig
n  :
w
+
-
q
wt
+
-
+
Arbeit und Wärme gegenläufig
w12 und wt ,12 haben immer gleiches Vorzeichen und wt ist immer größer als w .
Grenzfälle
n0 :

n 1 :
wt ,12  0
w12  cv  T2  T1  ,
q12  0
wt ,12  cv  T2  T1   c p  T2  T1 
isentrop
n :

q12  cv  T2  T1   c p  T2  T1 
isobar
n  :

w12   cv   1 T2  T1  ,
w12  0 ,
q12  cv  T2  T1 
wt ,12  cv  T2  T1 
isochor
V 
W12  RT ln  1  ,
 V2 
V 
q12   RT ln  1 
 V2 
- 92 -
V 
Wt ,12  RT ln  1 
 V2 
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Arbeit / technische Arbeit bei polytropen Prozessen
p
p
1
1
2
2
v
v
p
p
n 1 n 
p2
T const.
n 
p1
v
v
Beispiel: Kompressor: isochor schlecht, da wt groß isentrop besser, noch besser
isotherm (gekühlt)
Turbine:
isotherm wäre gut, (Zwischenheizung nötig) in der Praxis meist
isentrope Entspannung
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6.8. Adiabate Drossel
Luft
h1, c1
h2 , c2
adiabate Drossel
c12 c22
,  h1 , h2  h2  h1  0
2 2
h2  h1  c p  T2  T1   0  T2  T1
htot ,1  htot ,2
jetzt:
,
isenthalp
Beim idealen Gas ändert sich die Temperatur in adiabater Drossel nicht!
6.9. Adiabate Düse / Diffusor
c12
c2
 h2  2
2
2
2
c
c2
c pT1  1  c pT2  2
jetzt:
2
2
2
c
definiere: Ttot  T 

2c p
h1 
Ttot ,1  Ttot ,2
In einer adiabaten Düse bleibt die Totaltemperatur Ttot unverändert !
Ttot : die Temperatur, die sich bei adiabater Verzögerung auf c  0 einstellt.
( Ttot = T bei c  0 )
6.10. Analyse des Joule – Versuchs (perfektes Gas)
V L ,V R adiabat isoliert
Syst. 1
Zeit – Koordinate ersetzt durch x 
gesucht:
T L mR  ,T R mR 
p m
L
R
, p m 
R
R
Syst. 2
mR
m1L
U  m  ,U  m  
L
R
R
R
- 94 -
R
   1 
cv
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6.10.1. Analyse offenes instationäres System
System links:
0
dE L  dU L  Q
dU  d  m cvT
L
L
L
 Wt
  dmi htot ,i
0
  c  m dT
L
v
i
L
 T L dm L   dm L  u L  p L v L   dm L  cV T L  RT L    dm L c pT L 
Die Zeit ist hier uninteressant, solange therm. Gleichgewicht während des Prozesses
angenommen werden kann.
T L  x   T1L 1  x 
 1
pV  mRT
Einsetzen Gasgleichung
p L  x   p1L 1  x 

Gesamt – Energiebilanz:
U ges  U L  x   U R  x   U L  0  U R  0
U R  x   m R cvT R  x   U1L  U L  x 
0
 U1L  m1LcvT1L
 m1L cvT1L  m L  x  cvT L  x 
 m1L cvT1L  m1L 1  x  cvT1L 1  x 

 m1LcvT1L 1  1  x 
U L  x   m1L xcvT R  x 
1  1  x 
T  x  T
x

R
x0 :
L
1
pR  x 

 1

mRT R  x   V L  L

  R  p1 1  1  x  
R

V
V  
1


T R  x   T1L       1 x    x 2  
2


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Mechanisches Gleichgewicht:
!
p L  xe   p R  xe 
1
 VL 
xe  1  

 VL  VR 
 VL 
L
p L  xe   p R  xe   p1L 
  p1 y
VL  VR 




y
1
xe  1  y 
T T y
2
e
2
1
TeR  T1L
( y : Volumenexpansionsverhältnis)
 1

1  y 
1  y 
1

 T1L
1  y 
xe
Zahlen:
V1  V2 
1
y
2
7
,
5
T1L  300 K


1
xe  1   
2
1

 0,39
 1
1 
TeL  T1L    0,82T1L  246 K
2
0,5
TeR  T1L
 T1L1,28  384 K
0,39
thermischer Ausgleich:
!
1.Hauptsatz
T L  T R  Tg ,
Massenerhaltung
p L  p R  pg ,
!
U L  U R  U 1L
m L  m R  m1L
U L  U R  U1L  m L cvTg   m R cvTg    m L  m R  cvTg  m1L cvTg  U1L  m1L cvT1L
L
Tg  T1L
R
(Temperatur am Ende wie am Anfang  Ideales Gas U  T ,V   U  T  )
Gasgleichung links:
pg LV L  m L RTg
Gasgleichung rechts: pg V R  m R RTg
R
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pg V L  V R    m L  m R  RTg  m1L RT1L



p1LV L
 VL  L
pg   L
p  yp1L
R  1
V V 
pgV L  V L  p1LV L
VL
L
 L

m 
m1L
RTg  V  V R  
RT1L V L  V R
m1L

VL 
VR
m  m  m  m 1  L
 L
m1L
R 
R
 V V  V V
Druck im vollen thermischen Gleichgewicht, wie nach adiabaten Ausgleich.
R
L
1
L
L
1
6.10.2. Alternative Analyse geschlossenes System
VL
V1
V1  V L 1  x 
m2  xm1L
m 1  m1L 1  x   const.
x
System 1 leistet Arbeit
Wv    p1  x  dV1  x  an dem System 2
0
dU1   p1  x  dV1  
R dV1
dT
 1
cv V1
T1
 V10 
T1  T  
V 
0
1
R
cv

m1RT1
dV1  m1cv dT1
V1
T  R V 
 ln  10   ln  10 
 T1  cv  V1 
 V L 1  x  
T 

L
 V

 1
0
1
T L  x   T1L 1  x 
 1
- 97 -
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6.10.3. offenes System - Analyse
hL
hR
hL
TL
hL
TL
adiabate Drossel:
isenthalp
Einströmen:
h L im Gleichgewicht mit System L
Ausströmen:
h L nicht im Gleichgewicht mit System R
Dissipation der Strahl – Energie
 Temperaturerhöhung
6.10.4. mikroskopische Analyse
schnelle Moleküle:
größere Wahrscheinlichkeit durch
das Loch zu kommen
langsame Moleküle bleiben (zunächst) links 
thermisches Gleichgewicht
cL2  cR2 

Abkühlen
TL TR
6.11. Zusammenfassung ideales, perfektes Gas
R
Ideales Gas – thermische Zustandsgleichung: pv  RT  m T ,
M
 für


pV  mRT  p  0 
T  


Zusammenhang p  v / v  T
T
Ideales Gas – kalorische Zustandsgleichung: U  T ,V   U T   U 0  m  cv  T  dT 
T0
T
u  u  T   u0   cv  T  dT 
T0
T
h  h T   h0   c p  T  dT 
T0
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Spezifische Wärmekapazität
Ideales Gas:
 h 
 v 
cv  T ,V   

 , c p T , p   
 T  p
 T v
cv  cv  T 
,
c p  c p T 
Isentropenexponent:
 T  
Kinetische Gastheorie:
cv n f

R
2
c p T 
 1
cv  T 
,
c p  T   cv  T   R
,
cp
R
R
cv  T 

nf  2
2
,
  1
2
nf
n f : Anzahl der voll angeregten Freiheitsgrade
Einatomiges Gas:
n f  3 (Translation)
Zweiatomiges Gas:
n f  7 (linear)
(Trans- + Rot. + Vibrationen)
Perfektes Gas
cv , c p ,   const.
Isentrope Zustandsänderung
(isentrop = adiabat, reibungsfrei)
pv  const.
offen
pV   const.
geschlossen
Tv  1  const.
Tp 
 1 

 
 const.
Polytrope Zustandsänderung
pv n  const. ,
n : Polytropenexponent
isobar
n0
n 
n
isotherm
n 1
  1
w12    pdv  cv 
 T2  T1 
 n 1 
1
isentrop
isochor
2
2
wt ,12   vdp  nw12
 n  
q12  cv 
 T2  T1 
 n 1 
1
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quasistatische, polytrope Prozesse
P
T to t  T 
c2
2c p
bleibt konstant
v
Adiabate Düse / Diffusor / Drossel
 c2

Drossel 
T :
 2c

 p

adiabate Drossel lässt Temperatur beim idealen Gas konstant.
Instationäre Analyse des Joule – Versuchs
Zunächst Abkühlung beim Ausströmen
Erwärmung beim Einströmen
adiabat
Therm. Ausgleich: Tg  T1
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7.
Zweiter Hauptsatz
Unterschied zum 1. Hauptsatz:
1. Hauptsatz postuliert nur Energieerhaltung, daher sind nach dem 1. Hauptsatz viele Prozesse erlaubt
Erfahrung:
Spontaner Abbau (räumlicher) Gradienten:
 Temperaturunterschiede
 Druckunterschiede
 Konzentrationsunterschiede
Aspekte:
 Quantifiziere:

reversibel / irreversibel

maximal möglicher Wirkungsgrad th von Prozessen

Faktoren, die th beeinflussen
 Richtung spontan ablaufender Prozesse
 Identifikation unmöglicher Prozesse
 Thermodynamisches Gleichgewicht
 Grenzen der Umwandelbarkeit von Energien
 Thermodynamische Temperaturskala
- 101 -
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7. Kapitel
Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner
Thermodynamik I
______________________________________________________________________________________________
7.1.
Formulierungen des 2. Hauptsatzes (CLAUSIUS, PLANCK)
CLAUSIUS: Ein Prozess, dessen einziges Ergebnis eine Wärmeübertragung von einem kühleren auf einen
heißeren Körper ist, ist unmöglich.
PLANCK: Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu konstruieren, die nichts
weiter bewirkt, als eine Last zu heben und einem Wärmebehälter dauernd Wärme
zu entziehen.
Nicht möglich, weil:
1. Hauptsatz: W  Q  0 
Q  W
- 102 -

zyklischer Prozess

ein Wärmereservoir

Richtung Q → W
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Thermodynamik I
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7.2.
Äquivalenz der Formulierungen von CLAUSIUS und PLANCK
Annahme: Clausius falsch, d.h.:
Reine Umwandlung von QLR  QLI in Wnetto 
Widerspruch zu Planck!
Annahme: Planck falsch, d.h.
Wärmepumpe
verletzt Clausius
1. HS: QH  W
- 103 -
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Prozesse mit 2 Reservoiren bei T  TL , TH
Zyklus, 1. HS:
U  0  QH  QL  W  QH  QL  W
W  QH  QL ;
W  QH  QL
thermischer Wirkungsgrad:
th 
Q
W QH  QL

 1 L
QH
QH
QH
oder: QL  QH (1  th )
2. HS (Planck): QL  0
7.3.
 th 1
Carnot-Folgesätze
a) th für irreversiblen Prozess kann nicht größer sein als th für reversiblen Prozess
b) th für alle reversiblen Prozesse gleich
- 104 -
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Beweis für a):
QLR
WR
 
 1
QH
QH
R
th
QLI
WI
 
 1
QH
QH
I
th
Annahme:    R  QLI  QLR , WI  WR
Reversible Maschine → kann Laufrichtung umdrehen
Wnetto  WI  WR  0
verletzt Planck-Satz
Beweis für b):
Analog, verwende Maschine mit niedrigerem Wirkungsgrad als Wärmepumpe
Ann.:  R   R2  QL1  QL2
Wnetto

rückwärts:  Wnetto  0
0
- 105 -
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7.4.
Reversible/Irreversible Prozesse
Reversible Prozesse




„keine“ Reibung
„keine“ Gradienten bei Temperatur, Konzentration, Geschwindigkeit
Wärmeübergang bei   
quasistatisch
 Idealisierung
Irreversible Prozesse





Ausgleich Gradienten: Diffusion (Konzentration), Wärmeleitung (Temperatur), Turbulenz (Impuls)
Reibung Ekin  thermische Energie
(manche) chemische Reaktionen
Drosselung von Gasen
etc.
2. Hauptsatz verbietet Rückwärts-Ablauf von irreversiblen Prozessen (spontan)
- 106 -
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Beispiele reversibler Prozesse
Quasistatische, isotherme Kompression/Expansion
mechanische Prozesse (ohne Reibung)

Feder

Gewicht heben (siehe Abbildung)

Reversible Umwandlung Ekin  E pot
Adiabate, reibungsfreie Düsenströmung
Wt  Q  0
 h1  h3
A1  A3  c1  c3 , T1  T3
- 107 -
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Gegenbeispiel irreversibler Prozess
Schnelle, nicht quasistatische, adiabate (  q  0 ) Kompression/Expansion
schnelle Kompression
p1'  p1
schnelle Expansion
 w   wrev
T1'  T1
U 2'  U1  U 2  U1
U1'  U1
U 2'  U 2
 w   wrev
 U 2'  U1    U 2  U1 
U 2'  U 2
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7.5.
Carnot-Zyklus
Beispiel reversibler Zyklus: isotherm-adiabat
Wnetto
Carnot-Prozess im geschlossenen System (Kolben)
siehe Foliensatz 5.16
- 109 -
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7.5.1. Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses (Arbeitsmittel: perfektes Gas)
th  1 
qL
;
qH
T  const.
1  2, 3  4 isotherm  T1  T2 , T3  T4
v 
qH  q12  RT1 ln  2  ( 0)
 v1 
v 
qL  q34  RT3 ln  4  ( 0)
 v3 
qij  0
2  3, 4  1 adiabat reversibel (q  0)
v3  T2 
v2   T 
 3
1
 
1
v4  T1   
v1   T 
 4


 T1  

 
 T3  
v2 v3
 v4 v3

  
v v2
v1 v4
1  1
 T1    

 
 T3  

1
 
Beispiel:
v 
RT3 ln  4 
T
T
 v3 
 1 3  1 L
th  1 
T1
TH
v 
RT1 ln  2 
 v1 
th  C  1 
TL
TH
TL  20C  Tu  293,15K
Carnot-Wirkungsgrad
TH
100°C
500°C
1000°C
1600°C
C
71%
62%
77%
84%
- 110 -
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maximaler thermischer Wirkungsgrad C  1 


TL
TH
höher mit höherer T-Differenz
unabhängig vom Arbeitsmedium und Prozess (solange reversibel)
C
1
TH
TL
Definitionen:
voll reversibel:
System und Umgebung reversibel
intern reversibel:
System reversibel, Umgebung nicht
extern reversibel:
Umgebung reversibel, System nicht
- 111 -
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Thermodynamik I
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7.6.
Thermodynamische Temperaturskala
Reservoire nur charakterisisert durch TL , TH
th  1 
QL
: gleich für alle reversiblen Kreisprozesse
QH
 th   (TH , TL ) hängt nur von TH und TL ab (nicht von den Prozessdetails)
Schritte:

Ausrechnen von th für einen reversiblen Kreisprozess (Carnot: C  1 

 (TH , TL ) automatisch gültig für alle anderen reversiblen Kreisprozesse
1   T , T0 )  (T ) ist neue Temperaturskala

TL
)
TH
QTR
T
(T )  1  C T , T0 )   R proportional zur Temperaturskala des idealen Gases!
T0 Q0
Definition:
Internationale Temperaturskala(Tripelpunkt von Wasser)
T [ K ]  TTP
QTP
T [ K ]  TTP
QT
Q
 273,16 T (T  TTP )
QTP
QTP
QT
 273,16
QTP
QT
(T  TTP )
- 112 -
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Messung von QTP , Q ergibt T in [K]
7.7.
Wärmemengen in Carnot-Netzen
th  1 
QL
Q
 1 H
QH
QL
reversibel: thR  1 

QLR
T
 1 L
R
QH
TH
QLR QHR

0
TL TH
7.7.1. Reversible Ersatz-Prozesse (Carnot-Netz)
Netze aus Isothermen und reversiblen Adiabaten (siehe Foliensatz 5.17)
Koordinaten-Transformation: ( p  v )  (T  v )  (T  a )
- 113 -
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Mehrere Carnot-Prozesse:
siehe Foliensatz 5.20
Koordinaten-Transformation: (T  v )  (T  a )
siehe Foliensatz 5.22
 QH ,1 QL ,1   QH ,2 QL ,2 



  
  0
T
T
T
T
L ,1 
L ,2 
 H ,1
 H ,2
- 114 -
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Thermodynamik I
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7.7.2. Carnot-Netz: Reversibler Prozess
Quasistatischer Kreisprozess im T-v- und T-a-Diagramm:
Jede Zustandsänderung (jeder quasistatische Kreisprozess) lässt sich beliebig genau durch ein Carnot-Netz
approximieren:
siehe Foliensatz 5.25
QH , j
TH , j

QL , j
TL , j
0 
QiR
i Ti  0
QH , j
T
j
H, j

QL , j
TL , j
QiR
 
0
Ti
i
Wärmemengen-Relation Carnot-Netz
- 115 -
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Thermodynamik I
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7.7.3. reversible Realisierung
vollständig reversibler Prozess mit vielen Wärmereservoiren
QiR
0
Reversibler Ersatzprozess Carnot-Netz: 
i 1 T0
n
Grenzübergang n   :

 QR
T
 0 für alle reversiblen Kreisprozesse
speziell: Carnot-Kreisprozess
7.7.4. Carnot-Netz irreversibler Prozess
thI  1 

QLI
TL
QLI
T



1


 L
C
I
I
QH
TH
QH
TH
QLI QHI

0
TL TH
QiI
i T  0
i

 QI
T
0
Carnot-Netz: irreversibel
 Q I : im realen Prozess übertragbare Wärmemenge  Q I  Q I d 
- 116 -
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8.
Zustandsgröße Entropie

 QR
 QR
 QR
0 1  2
T
T1
T2
1
1




2
2
Weg 1

 Potential

S 2  S1  
2
1

 QR
Weg 2
extensive Zustandsgröße
T
S: Entropie des Arbeitsmittels (extensive Zustandsgröße)
S
s  : spezifische Entropie
m
8.1. Entropieänderung
8.1.1. Entropieänderung für irreversible Systeme
I
B
Irreversibler Kreisprozess:
 Q  B  QI   A  QR 
0 

 
 
 
T  A T  I  B T  R
I R 
 B  QI 
 
 S ( A)S (B)
 A T I
A
B
R
 S (B)  S ( A)  
A
- 117 -
 QI
T
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Adiabater irreversibler Prozess:  Q I  0 
S ( B )  S ( A)
Abgeschlossenes System (  Q  0 ):
S ( B )  S ( A)
Entropie kann im adiabaten System nur wachsen!
8.1.2. Entropieänderung reversible Prozesse
Zustandsgröße Entropie:
B
  QR 
S ( B)  S ( A )   

T 
A
B
 dS


S Zustandsgröße A
reversibler Prozess, geschlossenes System:
dU  Q R  W R  Q R  pdV
 Q R dU  pdV
eingesetzt in Entropiegleichung:
B
(
A
 QR
T
dU  pdV
 dS

1.HS 
A
B
B
) 
 
 dU  pdV

dS  



B
 
Zustände A, B und Weg sind beliebig 
oder in spezifischen Größen:
dU  TdS  pdV
du  Tds  pdv
dU  pdV
 dS

du  pdv
 ds

Gleichung zwischen Differentialen von Zustandsgrößen
=> gültig auf Zustandsfläche
- 118 -
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8.2.
Kanonische Zustandsgleichung
u  u ( s, v) : kanonische Zustandsgleichung
du  Tds  pdv
totales Differential:
 u 
 u 
du    ds    dv
 s v
 v  s
 u 
    T  T ( s, v)
 s v
 u 
    p   p ( s, v )
 v  s
u  u ( s , v ) bekannte Funktion  alle Zustandsgrößen durch Ableitungen festgelegt
p, v, T -Daten-Relationen: thermische Zustandsgleichungen
u (T , v)  u (T ( s, v), v) :
kalorische Zustandsgleichungen
- 119 -
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8.3.
Erreichbarkeit von Zuständen
adiabates, geschlossenes System (siehe Foliensatz 5.33)
dU   Q  W  Wv  WR


0,adiabat
0
dU  pdV TdS
dV = 0  Energie kann im adiabaten System nicht abnehmen ( 2. HS )
(p, T) / (p, v) – Ebene wird schlicht überdeckt von Adiabaten – Kurven:
S3  S 2  S1
- 120 -
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
jeder Adiabaten kann ein bestimmter Wert einer Zustandsgröße zugeordnet
werden (Entropie)

Zustandsgröße S existiert, für irreversible Prozesse ist S2 > S1 (adiabates System)
8.4.
Anschauliche Interpretation von Entropiedifferenz
S2  S1 
Q0R
T0
T0  0C  273.15K
V1 , T1
Va , Ta  T0
Vb , Tb  T0
V2 , T2
U1 , S1
U a , Sa  S1
U b , Sb  S 2
U 2 , S2
(siehe Foliensatz 5.28)
- 121 -
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8.5.
Axiomatische Einführung der Entropie

jedes System besitzt extensive Zustandsgröße S

für homogenes Teilsystem gilt:


  Q 
1
dS  dU  pdV  xi dX i    R  GIBBS´sche Hauptgleichung
T
i

   T 

allegeneralisierten Arbeitsformen 

T > 0: thermodynamische Temperatur
S S1S2 ...Sn extensive Zustandsgröße: S1
S 2 ... S n

S ges

( S2 S1 )adiabat 0 , „=“ für reversible Prozesse

s 


S
: (massen-)spezifische Entropie
m
Entropieänderung durch:
- Wärmetransport (-flüsse)
- Materialtransport (offenes System)
- Entropieerzeugung durch irreversible Prozesse
 SQ
dS 


Wärmefluss

Sirr

Q
Produktion
T
  Sirr

0
  QR 


T 

Q i
zeitabhängig:
Ti
  S d S d
dS Sd
Q
irr
dS

d
SQ

Entropiestrom durch Wärmetransport
Q
SQ   i
i Ti

Sirr

Entropieerzeugung
Summe der tatsächlichen
Wärmeströme
im System
Temperaturen an der Grenze
- 122 -
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8.6.
Entropiebilanz im offenen System
dSoffen
d

i
SQ ,i


  m e se  m a sa
e
a
Produktion aus irreversiblen




Q
 Systemgrenze kreuzt
, T an der Stelle, wo Q
T

 reversibler
Wärmetransport
Sirr

Prozessen
Spezialfälle:
stationärer, linearer Ein- / Auslass:
dS offen
dm
 0, m e m a m ,
0
d
d
SQ Sirr m e (se sa )
spezifische Größen:
sQ ,i
s 
,sirr  irr  
m
m 
  sQ ,i sirr se sa 0
Q i qi
i

sQ ,i  

Ti m Ti
sQ ,i 
sa se  sQ ,i  sirr
spezifische Entropie
i
m e se
S  
SQ
sirr
m a sa
Q
- 123 -
massegebunden
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Spezialfälle:
a)
b)
dS 
SQ Sirr  m i si
d
i
adiabat, geschlossen  Q  0   SQ  0  , m  0 :
reversibel
Sirr 0S const
irreversibel
dS
Sirr 0 0
d
adiabat, offen, stationär:
dS

 
Sirr  m e se  m a sa
  SQ ,i 
d stationär
i
e
a
 0
0adiabat
  m e se  m a sa "materieller Abtransport der erzeugten Energie"
e
a
"  ":reversibel
"  ":irreversibel
c)
irreversibel, geschlossen, stationär:
 S
Q ,i
i


Sirr  : ist möglich, Verluste werden „weggekühlt“

SQ ,ges 0
0
- 124 -
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Transportgleichungen Masse, Energie, Entropie für offenes System
dm
  m i
d
i
dE
  Q i   W j   m k htot ,k
d
i
j
k
dS
  SQ ,i   m k sk  Sirr
d
i
k
- 125 -
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Beispiele für 1./2. HS-Anwendung:
Beispiel 1: Planck-Maschine, stationär
!
dU
Q Wt  0
d


 Q  Wt
1. HS:
2. HS:
dS !
SQ , ges  Sirr   SQ , ges Sirr

d
0 2.HS
Q Q
Sges   i  H  SQ
TH
i Ti
Q
Sirr   SQ   H  0
TH
TH 0   Q H 0  Q H 0  Wt 0
Q H 0 , Wt 0 : alle hineingesteckte technische Arbeit wird komplett in Wärme umgewandelt und an TReservoir abgegeben
Beispiel 2: Wärmekraftmaschine stationär (Ableitung Carnot-Wirkungsgrad)
!
dU
0
1. HS: Q H Q L Wt 
d
2. HS:
!
dS
  SQ ,i  Sirr  0
d
i
Q
Q
 SQ , H SQ , L  Sirr 0  H  L Sirr
TH TL
 Q

Q L  TL  H Sirr 
 TH

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8. Kapitel
______________________________________________________________________________________________
W
Q
Wirkungsgrad: th   t 1  L
QH
QH
S
S
TL
 TL irr  C (TH , TL )  TL irr
TH
QH
QH

th 1
C
T
reversibel: Sirr  0  th  1  L  C
TH
2.HS geschlossenes System, quasistatisch
1. HS: dU   Q   WV   WI
  Q  pdV   WI : m
du   q  pdv   wI ;
du  pdv   q   wI
1.& 2. HS: du  Tds  pdv;
Tds   q   wI
2. HS: dS   SQ   Sirr 
Q
T
m
  Sirr
q
  sirr ;
T
0
Tds   q  T  sirr
ds 
 WI
0
  sirr 
Q
 wI
T
Spezialfälle:
adiabat (  q  0 ): ds   sirr  0
 wI
  sirr  0
T
T  0   wI  0
ds 
reversibel (  wI  0;  q  0 ):  s 
 qR
T
allgemein: ds=
q
T
>0
  sirr
wI
T
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8. Kapitel
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8.7.
Berechnung der Zustandsgröße Entropie
du pdv dhvdp

T
T
2
2
du pdv
s2 s1 ds
Integral beliebiger quasistatischer Prozess
T
1
1
ds
T
2
irr.
s ( p, v) oder s (T , v)
s ( p, T )
quasistatische
Ersatzwege
1
v
Ziel: s (T , v ) :
Ideales Gas:
du (T , v)cv (T )dT  pdv; mit p
ds
RT
v
du pdv cv (T )dT RTdv cv (T )
R
dT 
dv




T
T
T
Tv
T
v


 s 


 T v
 s 
 
 v T
Check: Ist s eine Zustandsvariable?
   s   ?    s  
  cv (T )  ?   R 



  
 

   
v   T v  T   v T v
v  T T T  v v
00
OK .
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8.8.
Entropie des idealen und perfekten Gases
8.8.1. Integration mit Energie
T
pv  RT
du  cv (T )dT , u  u (T , v )
2
T2
dh  c p (T )dT , h  h(T , p )
dv  0
ds
T1
1
a
dT  0
du pdv
T
2
v1
v
v2
T1 ,v2 
 c (T )
s2  s1    v 1 dT
T1 ,v1   T1
dT 0
T
,v
s2 s1
1

dv0 
R  2 2  c (T )
R
dT  dv
 dv     v

v  T1 ,v2   T
v

2
 v2 
c (T )
dT
 R ln  
 v
 v1  T T1 T1 T
T
v  v2
 v  2 c (T )
Entropie ideales Gas  pv  RT  : s2  s1  R ln  2    v
dT
 v1  T1 T
T
- 129 -
2
du pdv
R 
 c (T )
dT  dv 
  v
T
T
v 
1 
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8.8.2. Integration mit Enthalpie (isotherm-isobarer-Weg)
s(T,p):
dhvdp c p (T )dT RTdp


T
T
Tp
c (T )dT Rdp
 p

T
p
ds
T
2
T2
2
 c (T )dT
dhvdp
dp 
  p
R 
T
T
p
1
1 
2
s2 s1
dp  0
T1
1
dT  0
p1
a
T1 , p2 
dp
s2 s1   R
p
T1 , p1 
p2
T2
T1

T1
c p (T )dT
T
T T1

c p (T )dT
T1 , p2 
T
p p2
c p (T )dT
T
p 
R ln  2 
 p1 
p1v1
p v  p  v  T 
 R  2 2 ;  2  2  1   1
T1
T2  p1  v1  T2 
p 
v 
T 
ln  2   ln  2   ln  2   0
 p1 
 v1 
 T1 
T2

p
s2 s1 
Check:
T2 , p2 
(ideales Gas)
 p2  2 c p (T )dT
 v2 
 v2  2 (c p (T )  R)
v 
R ln    
R ln    R ln    
dT R ln  2 
T
T
 p1  T1
 v1 
 v1  T1
 v1 
T
T
Vergleich: c p (T )  cv (T )  R
8.8.3. Entropie perfektes Gas ( cv ,c p = const. )
Entropie perfektes Gas  cv  T   cv  const. :

 T2 
 v2 
cv ln  R ln  

 T1 
 v1 
s2 s1
 T2 
 p2 

c p ln  T R ln  p 
 1
 1

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8.8.4. Temperatur als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)
T 
v
s T , v   s0  cv ln   R ln  
 T0 
 v0 
T 
 p 
s T , p   s0  c p ln   R ln  
 T0 
 p0 
R
 s  s0 R  v  
 s  s0 
 v  cv
 ln     T0  0  exp 
T  s, v   T0 exp 

cv  v0  
v
 cv 
 cv
R
 s  s0 R  p  
 s  s0 
 p  cp
 ln     T0  0  exp 
T  s, p   T0 exp 
 c 
c p  p0  
 c p
 p
 p 
R
  1
cv
R  1

cp

8.8.5. Energie und Enthalpie als Funktion von (s,v) bzw. (s,p) (perfektes Gas)
perfektes Gas: u T , v   u0  cv T  T0 
h T , p   h0  c p T  T0 
u  s, v   u0  cv T  s, v   T0 
h  s, p   h0  c p T  s, p   T0 
Kanonische Zustandsgleichung perfektes Gas:
R

cv
 s  s0  
v


0

u  s, v   u0  cvT0   exp 
 1
 v 
cv  



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8.8.6. thermische Zustandsgleichung aus kanonischer Zustandsgleichung
 u  
 u  
  T ,   p
 s v
 v T
Check:
R
 s  s0  
 v0  cv 1
 u 
c
T

exp

   s, v 
v 0
 

 s v
 v  cv
 cv 
R

 R  1  v0  cv
 s  s0 
R
 u 
     s, v   p
   cvT0      exp 
v
 v T
 cv  v  v 
 cv 
falls p 
RT
 pv  RT  p  s, v   v  RT  s, v  thermische Zustandsgleichung
v
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9. Einschub: Mathematische Grundlagen (I)
9.1. Partielle Ableitungen / totale Differential
Nicht alle Zustandsgrößen sind analytisch bekannt. Es sind vielmehr nur messbare Größen,
welche mit Hilfe von partiellen Ableitungen bestimmt werden müssen.
Was hier am Anfang noch sehr trivial erscheint, stellt sich beim tieferen Vorstoß in die Thermodynamik komplexer als zunächst angenommen dar. Dieselben Variablen, wie z.B.: p werden nun als Funktion von mehreren, unterschiedlichen Variablensätzen berechnet. Zudem ist
die Umrechnung zwischen den einzelnen Variablensätzen sehr schwierig und unanschaulich.
u = (x, y)
Zum Beispiel:
ist eine eindeutige Funktion von x, y
x  p, y  v , u  T
:
T
pv
R
legen wir nun fest: x  p
yv
uT
u  x, y 
u  x  x , y   u  x , y 
 u 
 lim
  
x  0
x
x
 x  y
u  x, y 
u  x , y  y   u  x , y 
 u 
 lim
 y  
y  0
y
y
 x
 u 
u  x  x, y   u  x, y     x  o  x ² 
 x  y
 u 
u  x , y  y   u  x , y     y  o  y ² 
 y  x
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 u 
 u 
u  x  x, y  y   u  x, y     x    y  o  x ², xy , y ²,...
 x  y
 y  x
 u 
 u 
du  x, y   u  x  dx, y  dy   u  x, y     dx    dy
 x  y
 y  x
daraus folgt:
 u 
 u 
du    dx    dy
 x  y
 y  x
das totale Differential
9.2. Höhenlinien
Höhenlinien sind bei thermodynamischen Analysen zwingend notwendig, da hier eine
Berechnung mit nicht mehr darstellbar vielen Variablen erfolgt.
u  u  x, y  ,
Höhenlinienniveau : y  x  u u
0
wenn u  u0 , dann
 u 
 u 
du  0    dx    dy
 x  y
 y  x
du  f  x, y  dx  g  x, y  du  fdx  gdy
u  u0  const. ,
daraus folgt:
du  0  fdx  gdy
so ergibt sich:
f
 dy 
  
g
 dx u
direkte Auflösung :
u0  u  x , yu0  x   
die Differentialgleichung für Höhenlinien
auflösen nach yu0  x 
p
pT2  v
Beispiel :
Isothermes ideales Gas
RT
pv  RT , Isotherm: pT0  v   0
v
T2
T1
v
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Ableitungen von p, v, T - Daten:
Die Zustandsfläche p  v, T  kann gut gemessen werden, inkl. seiner Ableitungen.
Von 6 Ableitungen sind je 3 invers gleich und es gibt eine zyklische Relation.
Daraus folgt, es gibt nur 2 wirkliche unabhängige Ableitungen.
F  p,V , T , m   0
Thermische Zustandsgleichung:
bei einer Einheitsmasse m:
F  p, v, T   0
Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
T  v, T  :
p  v, T  :
v T , p  :
 T 
 T 
dT  
 dv  
 dp
 v  p
 p  v
 p 
 p 
dp  
 dT    dv
 T v
 v T

 v 
 v 
dv  
 dT    dp
 T  p
 p T
  
  
dp von    in    :
 v   v   p  
  v   p  
1       dv  
   
  dT
  p T  v T 
 T  p  p T  T v 
dv, dT sind unabhängig daraus folgt.
 v   p 
 v 
1
1      0 ,   
 p T  v T
 p T  p 
 
 v T
 v   v   p 
 T   v   p 
,

   
 0

   
 1
 T  p  p T  T  v
 v  p  p T  T  v
z  x, y 
allgemein gilt:
1
 z 
   x
 x  y
z


y
 z   z   x 

   

 w  y  x  y  w  y
 x   y   z 
 y   z   x   1
 z  x   y
(quasi 1-d)
(zyklisch)
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9.3. Kettenregel
u  vw
u  x, y   v  x, y   w  x, y 
 u 
 w 
 v 
 y   v  y   w  y 
 x

x
 x
 u 
 w 
 v 
   v    w 
 x  y
 x  y
 x  y
(x bleibt konstant)
(y bleibt konstant)
 u 
 u 
du    dx    dy
 x  y
 y  x
  v 
  v 
 w  
 w  
du     w  v 
  dx     w  v 
  dy




x
x
y
y








y
y
x
x



 w 
  v 

 w 
 v 
du  v 
dy     dx    dy  w
 dx  

 y  x   x  y
 y  x 
 x  y 

 


dw
dv
Daraus folgt
u v  w
du  v  dw  w  dv
die Kettenregel
9.4. Schwarz’scher Satz
 r  f  x, y  dx  g  x, y  dy
Wenn:
 f   g 
 y    x 
 x   y
dann gibt es eine Funktion r  x, y  mit
 r 
 r 
 ,g  
 x  y
 y  x
dr  f  dx  g  dy , f  
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Beispiel 1:
Druck p  T , v  , ideales Gas
pv  RT
RT
v
 p 
 p 
dp  
 dT    dv
 T v
 v T
R
 RT 
dp  dT   
 dv
v
² 
v

p T , v  
f  T ,v 
f
R

v
v²
R
 g 

 
v²
 T v
Beispiel 2:
g  T ,v 
ok
 p  dV
Arbeit  W  p,V   
  dp  
f
g
…
9.5. Wegintegrale
y
 R  f  x, y  dx  g  x, y  dy
Weg s :

x  x  s
y  y s
s  s1 , s2 
2
1
x
dx
dx 
 ds  x ' ds
ds
dy
dy 
 ds  y ' ds
ds
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2
s2
R1,2    R    f  x  s  , y  s   x ' ds  g  x  s  , y  s   y '  s  ds 
1
s1
2
s2
1
s1



R1,2    R    fx ' gy '  ds
y
Spezialfall: y '  0
1
y0
2
2
1
1

R1,2   f  x  'ds   f  x, y0 dt
x
9.6. Wegintegrale und Kreisprozesse mit Zustandsgrößen
 z 
 z 
dz    dx    dy
 x  y
 y  x
Falls eine Zustandsgröße mit
z  z  x, y  ;
dann gilt für das Wegintegral
s2
 z  dx  z  dy 
 dz 
1 dz  s  x  y ds   y  ds ds  s  ds ds
x

1 
1
2
 z2  z1
existiert,
s2
( beliebiger Weg )
1 2
y

2
 dz   dz  z
geschlossener Weg
2
 z1  0
1
falls
  R  0
x
für alle Wege, so gilt
2
 R
ist unabhängig vom Weg, da
1
2
2
2
2
1
1
1
1
y
  R    R    R  0 , d.h.  R   R
 s1  s2 
 es existiert ein
1

s1
 s1  s2 
R  x, y   R0 
 x, y 

R
 x0 , y0 
R0  R  x0 , y0 
- 138 -
2
s2

2
x
UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN
Lehrstuhl für Thermodynamik
Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner
Thermodynamik I
Stichwörter
____________________________________________________________________________________________
10. Stichwortregister
Kapitel
G
A
abgeschlossen
adiabat
Arbeit
Axiome
Kapitel
2.2.1.
3.2.
4.3.1.
2.1.
Gas
ideal
perfekt
Gasthermometer
generalisierte Arbeit
Gesamtarbeit
Gesamtwärme
B
Bewegtes System
Bernoulli Satz
Bilanzierungsgrenze
4.4.6.1.
5.5.1.
2.2.4.
H
C
Carnot
Celsiusskala
7.3.
3.2.
3.2.
4.4.6.2.
5.4.4.
5.4.3.
3.
5.5.1.
3.1.
5.4.4.
9.2.
5.5.1.
Inkompressibel
innere Energie
integral
isenthalp
isentrop
Isentropenexponent
isobar
isochor
isoenergetisch
isotherm
5.5.2.
4.4.3.
4.4.6.2.
5.8.
5.8.
6.3.
5.8.
5.8.
5.8.
5.8.
J
E
elektrische Polarisierung
Energiebilanz
Höhenlinien
Hydrostatischer Druck
I
D
diabat
differentiell
Diffusor
Drossel
Druck
hydrostatisch
isotrop
Düse
6.
6.5.
3.2.2.
4.6.
4.5.1.
4.5.2.
Energiedifferenzen
Energieerhaltung
Energieformen
Energiegleichung
Enthalpie
Entropie
Erster Hauptsatz
Erster Hpts. f. geschlossene Systeme
Erster Hpts. f. offene Systeme
extensiv
4.6.1.
4.6.4.
5.1.
5.10.5.
4.2f
4.2.
5.2.2.
5.4.
8.
4.
4.4.6.
5.3.
4.4.6.
Freitheitsgrade
6.4.2.
F
Joule–Thomson–Effekt
5.10.4.
K
Kettenregel
kompressibel
Kontrollvolumen
Kreisprozesse
9.3.
5.5.2.
3.4.
5.6.
L
M
Magnetische Arbeit
massenspezifisch
molar
Moleküle
- 139 -
4.6.2.
6.14.
2.3.3.
6.4.1.
UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN
Lehrstuhl für Thermodynamik
Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner
Thermodynamik I
Stichwörter
____________________________________________________________________________________________
T
N
O
P
perfektes Gas
Polytropengleichung
Prozess
polytroper
quasistatische
Prozessgrößen
6.5.
6.6.
2.5
6.7.
2.5.
Q
quasistatische Prozesse
quasistatische Zustandsänderung
2.5.
5.8.
R
reale Prozesse
reversibel
2.5.2.
2.5.1.
Schwarz’scher Satz
Skalen (Temp.)
spezifische Variable
stationär
stationärer Zustand
Strömungsarbeit
Subsysteme
Systeme
abgeschlossene
geschlossene
offen
9.4.
3.2.5.
2.3.3.
5.3.5.
5.3.5.
5.2.
2.2.4.
2.2.
2.2.1.
2.2.2.
2.2.2.
S
Temperatur
Temperaturskala
Temperaturskalen (versch.)
thermodynamisches Gleichgewicht
thermodynamisches Prozesse
3.2.
3.2.
3.2.5.
2.4.
2.5.
U
Überströmversuch
6.1.
V
Volumenarbeit
Volumenänderungsarbeit
Vorzeichenkonvention
6.6.1.
4.6.3.
4.1.1.
W
Wärme Q
Wärmekapazität
Wegintegrale
Wellenarbeit
Wirkungsgrad
4.4.4.
5.9.
9.5.
4.4.
5.7.
X
Y
Z
Zustandsgleichung
allgemeine
kanonische
Zustandspostulat
Zustandsvariable
Zweiter Hauptsatz
- 140 -
3.3.
3.3.
8.2
4.6.5.
5.5.2.
7.