Potenzen und Wurzeln

Potenzen und Wurzeln
Anna Heynkes
18.6.2006, Aachen
Dieser Text soll zusammenfassen und erklären, wie Potenzen und Wurzeln
zusammenhängen und wie man mit ihnen rechnet.
Inhaltsverzeichnis
1 Die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
2 Wurzeln
2.1 Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Verallgemeinerung der Quadratwurzel . .
2.3 Das Verhältnis von Wurzeln zu Potenzen
2.4 Irrationale Wurzelwerte . . . . . . . . . .
2.5 Lösungsmengen . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Gebrochen rationale Exponenten . . . .
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1
1
2
2
2
2
3
3 Die Potenzgesetze für rationale Exponenten
3
4 Wurzelgesetze
4
5 Wichtige Umkehrungen der Wurzelgesetze
5
i
1 Die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten
Ich wiederhole noch einmal die Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten, weil sie die
Basis für die folgenden Erweiterungen einschließlich der Wurzelgesetze sind.
Für die folgenden Rechenregeln gilt:
a, b ∈
R;
a, b 6= 0;
m, n ∈ Z
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
(P1):
am · an = am+n
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
(P1*):
am
an
= am−n
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen unter dem
gemeinsamen Exponenten multipliziert.
(P2):
am · bm = (a · b)m
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen unter dem
gemeinsamen Exponenten dividiert.
(P2*):
am
bm
= ( ab )m
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(P3):
(am )n = a(m·n)
2 Wurzeln
2.1 Quadratwurzel
Meistens ist eigentlich die Quadratwurzel gemeint, wenn vereinfachend von einer Wurzel die Rede ist. In Wirklichkeit ist aber die Quadratwurzel nur ein besonders einfacher
Spezialfall des allgemeineren mathematischen Begriffes Wurzel. Unter der Quadratwurzel
einer Zahl a versteht
man die Zahl x, die mit sich selbst multipliziert die Zahl a ergibt.
√
Die Gleichung a = x ist also eine Umkehrung der Gleichung x2 = a. Die Quadratwurzel
aus 9 ist 3, weil 3 mit sich selbst multipliziert 9 ergibt.
1
2.2 Verallgemeinerung der Quadratwurzel
Analog zur zweiten oder Quadratwurzel kann man auch die sogenannte Kubikwurzel oder
dritte Wurzel einer Zahl a ermitteln, indem
man die Zahl x sucht, die dreimal mit sich
√
3
selbst multipliziert a ergibt. Die Gleichung a = x ist also eine Umkehrung der Gleichung
x3 = a. Die Kubikwurzel aus 8 ist 2, denn 2 × 2 × 2 oder 23 ergibt 8.
√
Unter einer n-ten Wurzel von a ( n a = x mit n ≥ 2) versteht man eine nichtnegative Zahl
x, die mit n potenziert die Zahl a ergibt (xn = a). Dabei nennt man das n Wurzelexponent,
das a“ heißt Radikand und das x“ ist einfach der Wert der Wurzel. Wenn eine Lösung
”
”
innerhalb der rationalen Zahlen möglich sein soll, muß bei Wurzeln mit geraden Wurzelexponenten der Radikand positiv sein, da ein geradzahliges Vielfaches einer rationalen
Zahl nicht negativ sein kann.
R
2.3 Das Verhältnis von Wurzeln zu Potenzen
Das Ziehen von Wurzeln ist eine von zwei möglichen Umkehrungen des Potenzierens.
Wenn
a die n-te Potenz von x ist (xn = a),
dann ist umgekehrt x die n-te Wurzel aus
√
√
n
n
a ( a = x). Man kann auch sagen, daß a = x eine der drei möglichen Auflösungen
der Gleichung xn = a ist.
Das Ziehen
der n-ten Wurzel wird durch ein Potenzieren mit n
√
√
n
n
n
rückgängig gemacht (( a) = a = an ).
Das Umkehrungsverhältnis
von Potenzen und Wurzeln kommt auch dadurch zum Aus√
1
n
druck, dass man a auch als a n schreiben kann.
Die gegenseitige Aufhebung von Potenzen
√
1
n
n
n
und Wurzeln macht dies noch deutlicher: ( a) = (a n )n = a n = a1 = a (a ≥ 0)
2.4 Irrationale Wurzelwerte
R
Nicht alle Wurzeln haben Lösungen
im Bereich der rationalen Zahlen . Zum Beispiel
√
3
ist die dritte Wurzel aus 2 ( 2) keine rationale, sondern eine irrationale Zahl. Es gibt
√
3
nämlich keine aus ganzen Zahlen darstellbare Bruchzahl ( m
,
m,
n
∈
N),
die
genau
2
n
m
m
m
m3
3
entspräche. Ansonsten würde gelten: n · n · n = n3 = 2. Demnach müsste m genau
3
zu 21 kürzen lassen müsste. Es gibt
doppelt so groß wie n3 sein, sodaß sich der Bruch m
n3
aber keine natürliche Zahl m, deren dritte Potenz 2 ergibt.
2.5 Lösungsmengen
Eine Lösungsmenge ist die Menge aller möglichen Lösungen einer Gleichung. Die Lösungsmenge der Gleichung xn = a kann 2, 1 oder kein Element enthalten, wenn a zu den
rationalen Zahlen gehört und n gerade ist:
R
√
√
Für a > 0 gibt es die
Lösungen x = n a und x = − n a.
√
Für a = 0 ist x = n 0 = 0 die Lösung.
Für a < 0 gibt es keine Lösung.
2
√
√
L = { n a, − n a}
L = {0}
L = {}.
Jede Gleichung der Form xn = a hat genau eine Lösung, die Lösungsmenge also nur jeweils ein Element, wenn a zu den rationalen Zahlen gehört und n ungerade ist:
R
√
n
Für a > 0 ist x = √
a die Lösung.
n
Für a = 0 ist x = 0 die Lösung.
p
Für a < 0 ist x = − n |a| die Lösung.
√
L = { n a}
L = {0}
n p o
L = − n |a| .
Die letzte Zeile macht deutlich, dass der Radikand nicht negativ werden darf. Man zieht
deshalb das Minus vor die Wurzel und rechnet mit dem Betrag von a. Das√funktioniert
aber nur bei ungeraden Exonenten (xn = a) bzw. Wurzelexponenten (x = n a), weil bei
geradem n das negative Vorzeichen aufgehoben würde. Aus diesem Grund gibt es auch
keine Lösung, wenn der Wurzelexponent gerade ist.
2.6 Gebrochen rationale Exponenten
Wie in Abschnitt 2.3 auf Seite 2 bereits kommentarlos benutzt, läßt sich der Potenzbegriff
auf gebrochen rationale Exponenten ausweiten.
√
m
a n = n am
(1)
Dies gilt zumindest für m ∈ Z, n ∈ N, a > 0
Daraus folgt auch, daß man den Wurzelexponenten gegen den Exponenten des Radikanden
= pq , dann gilt für a > 0, m, p ∈ Z, n, q ∈ N:
kürzen kann. Wenn m
n
√
n
am =
√
q
ap
(2)
Wäre a nicht positiv, dann könnte die Erweiterbarkeit von Exponenten zu Widersprüchen
führen:
p
√
√
1
2
6
−2 = 3 −8 = (−8) 3 = (−8) 6 = 6 (−8)2 = 64 = 2
3 Die Potenzgesetze für rationale Exponenten
Bereits in Kapitel 2.3 auf der vorherigen Seite wurde zur Erklärung des Verhältnisses von
m
Potenzen und Wurzeln einfach eine Potenz mit rationalem Exponenten (a n ) eingeführt
und in 2.6 wurde schon damit gearbeitet. Offenbar gelten also die Potenzgesetze auch
für rationale Exponenten. Für die folgenden Rechenregeln gilt jetzt nur noch, daß die
Exponenten r und s rationale Zahlen und die Basen a und b positive rationale Zahlen sein
müssen:
a, b, r, s ∈
R;
a, b > 0
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man ihre Exponenten addiert.
(P1):
ar · as = ar+s
3
Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert.
(P1*):
ar
as
= ar−s
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen unter dem
gemeinsamen Exponenten multipliziert.
(P2):
ar · br = (a · b)r
Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen unter dem
gemeinsamen Exponenten dividiert.
(P2*):
ar
br
= ( ab )r
Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
(P3):
(ar )s = a(r·s)
4 Wurzelgesetze
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die beiden
Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel (mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten)
multipliziert.
(W2):
√
n
a·
√
n
b=
√
n
a·b
für a ≥ 0, b ≥ 0
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die beiden
Radikanden unter einer gemeinsamen Wurzel (mit dem gemeinsamen Wurzelexponenten)
dividiert.
(W2∗):
√
na
√
n
b
=
p
n a
für a ≥ 0, b ≥ 0
b
Besteht der Radikand einer Wurzel aus einer Wurzel, dann kann man die beiden Wurzeln
durch Multiplikation der beiden Wurzelexponenten zu nur noch einer Wurzel vereinigen.
(W3):
p
√
m
n
a=
√
m·n
a
für a ≥ 0
4
5 Wichtige Umkehrungen der Wurzelgesetze
Oft ist es notwendig, die Wurzelgesetze umgekehrt anzuwenden. Zum Beispiel kann man
das Wurzelgesetz W2 umkehren und den Radikanden so in zwei Faktoren
zerlegen,√daß
√
n
n
man aus einem der beiden Faktoren leicht die Wurzel ziehen kann ( a · b = a · n b).
Zweckmäßig kann auch eine Zerlegung des Wurzelexponenten sein, wenn sich
der
√ einer√
m·n
m
n
a = a).
beiden Faktoren gegen einen Exponenten unter der Wurzel kürzen lässt (
Manchmal ist es auch sinnvoll, den Bruch unter einer Wurzelq
so zu erweitern, daß man
√
p
2
2 a·b
2 a
insbesondere aus dem Nenner die Wurzel ziehen kann ( b = b·b = ba·b ).
5