Übungsaufgaben: Einfache Kreisbewegungen

Übungsaufgaben: Einfache Kreisbewegungen
1. Größen bei Kreisbewegungen
a) Skizzieren Sie die Kreisbewegung einer Masse m und tragen Sie in die Skizze die folgenden Größen
als Vektoren ein: Zentripetalkraft, Zentripetalbeschleunigung, „Fliehkraft“, Bahngeschwindigkeit.
b) Die Winkelgeschwindigkeit ω wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet. Erläutern Sie, inwiefern beide
Begriffe für die gleiche physikalische Größe verwendet werden können.
2. Verschiedene Kreisbewegungen
a) Berechnen Sie die Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten an der Spitze des Sekunden-, Minuten- und
Stundenzeigers einer Uhr. Der Sekunden- und Minutenzeiger sind jeweils r = 20 cm lang, der Stundenzeiger ist nur r = 12 cm lang.
b) Wie groß sind die folgenden Radialbeschleunigungen? Geben Sie die Resultate als Vielfache der
mittleren Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² an.
- Wäschetrommel mit r = 30 cm bei 3000 U/min.
- Erde am Äquator und bei 50° nördlicher Breite.
- Radkranz eines ICE (d = 875 mm) bei 300 km/h Reisegeschwindigkeit.
c) Im Bohrschen Atommodell kreist ein Elektron (m = 9,1 ∙ 10-31 kg) auf der innersten Bahn des
Wasserstoffatoms um den Atomkern mit einem Radius r = 5 ∙ 10-11 m und einer Geschwindigkeit
v = 2,2 ∙ 106 m/s. Wie groß muss die Kraft zwischen Atomkern und Elektron sein, damit eine stabile
Kreisbewegung zu Stande kommt? Was ist die Ursache dieser Kraft?
3. Ein ICE in der Kurve
Der Triebkopf eines ICE (m = 78 t) durchfährt eine lange, kreisbogenförmige Kurve mit dem Radius
r = 1 km. Der Geschwindigkeitsmesser zeigt eine Geschwindigkeit von v = 120 km/h an.
a) Wie groß sind Bahn- und Winkelgeschwindigkeit
des Antriebskopfs?
b) Berechnen Sie die Zentripetalkraft und -beschleunigung während der Kurvenfahrt.
c) Welche Kraft wirkt während der Kurvenfahrt seitwärts auf die Gleise?
d) Der Gleiskörper kann seitwärts einer Kraft von
maximal 200 kN standhalten, bevor sich die Halterungen der Schienen lösen. Wie schnell kann
der o.g. ICE-Triebkopf (theoretisch) höchstens
durch die Kurve fahren, ohne den Gleiskörper zu
beschädigen? (Ergebnis bitte in m/s und km/h)
e) Nach der Kurvenfahrt rollt der ICE auf gerader,
leicht ansteigender Strecke ohne Antrieb aus.
Welche Höhe erreicht der Triebkopf, bis er stehen bleibt?
Grundgleichungen
Grundgleichung der Mechanik F = m · a
Gewichtskraft
FG = m · g
mit g = 9,81 m/s2
Kreisbewegung
Bahngeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
Frequenz und Winkelgeschw.
Frequenz und Umlaufzeit
Zentripetalkraft
„Zentrifugalkraft“
v = 2π · r · f = 2π · r / T
ω = v / r = 2π · f = 2π / T
f = ω / 2π
f=1/T
FZ = m · ω2 · r = m · v2 / r
FZ' = - FZ
Energieformen
Lage, potentiell
Bewegung, kinetisch
Epot = m · g · h
Ekin = ½ · m · v2
Lösungen zu den Übungsaufgaben: Einfache Kreisbewegungen
1. Größen bei Kreisbewegungen
a) Skizzieren Sie die Kreisbewegung einer Masse m und tragen Sie in die Skizze die folgenden Größen
als Vektoren ein: Zentripetalkraft, Zentripetalbeschleunigung, „Fliehkraft“, Bahngeschwindigkeit.
Fliehkraft oder Zentrifugalkraft; sie ist der Zentripetalkraft im
Betrag gleich und in der Richtung entgegengesetzt.
Bahngeschwindigkeit,
tangential, senkrecht zur Zentripetalkraft
Zentripetalkraft;
die Zentripetalbeschleunigung ist ein Vektor mit gleicher
Richtung, aber anderem Betrag, da sich Kraft und
Beschleunigung um den Faktor Masse unterscheiden.
b) Die Winkelgeschwindigkeit ω wird auch als Kreisfrequenz bezeichnet. Erläutern Sie, inwiefern beide
Begriffe für die gleiche physikalische Größe verwendet werden können.
Die Winkelgeschwindigkeit einer Kreisbewegung gibt an, um welchen Betrag sich der Winkel pro
Zeitintervall ändert. Der Vollkreiswinkel von 360° = 2π ist dementsprechend nach der Umlaufzeit T
erreicht. Damit gibt die Winkelgeschwindigkeit gleichermaßen an, wie häufig pro Zeitintervall ei Vollkreis
durchlaufen wird, also die Frequenz der Umläufe und damit die „Kreisfrequenz“.
2. Verschiedene Kreisbewegungen
a) Berechnen Sie die Bahn- und Winkelgeschwindigkeiten an der Spitze des Sekunden-, Minuten- und
Stundenzeigers einer Uhr. Der Sekunden- und Minutenzeiger sind jeweils r = 20 cm lang, der Stundenzeiger ist nur r = 12 cm lang.
Lösungen zu den Übungsaufgaben: Einfache Kreisbewegungen
b) Wie groß sind die folgenden Radialbeschleunigungen? Geben Sie die Resultate als Vielfache der
mittleren Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s² an.
- Wäschetrommel mit r = 30 cm bei 3000 U/min.
- Erde am Äquator und bei 50° nördlicher Breite.
- Radkranz eines ICE (d = 875 mm) bei 300 km/h Reisegeschwindigkeit.
c) Im Bohrschen Atommodell kreist ein Elektron (m = 9,1 ∙ 10-31 kg) auf der innersten Bahn des
Wasserstoffatoms um den Atomkern mit einem Radius r = 5 ∙ 10-11 m und einer Geschwindigkeit
v = 2,2 ∙ 106 m/s. Wie groß muss die Kraft zwischen Atomkern und Elektron sein, damit eine stabile
Kreisbewegung zu Stande kommt? Was ist die Ursache dieser Kraft?
Lösungen zu den Übungsaufgaben: Einfache Kreisbewegungen
3. Ein ICE in der Kurve
Der Triebkopf eines ICE (m = 78 t) durchfährt eine lange, kreisbogenförmige Kurve mit dem Radius
r = 1 km. Der Geschwindigkeitsmesser zeigt eine Geschwindigkeit von v = 120 km/h an.
a) Wie groß sind Bahn- und Winkelgeschwindigkeit des Antriebskopfs?
v = 120 km/h = 120 / 3,6 m/s = 33,333 m/s
ω = v / r = 33,333 / 1000 1/s = 0,0333 1/s
b) Berechnen Sie die Zentripetalkraft und -beschleunigung während der Kurvenfahrt.
aZ = v² / r = 33,333² / 1000 m/s² = 1,111 m/s²
FZ = m · aZ = 78000 kg · 1,111 m/s² = 86666,667 N
c) Welche Kraft wirkt während der Kurvenfahrt seitwärts auf die Gleise?
Die Gleise sorgen dafür, dass der Zug auf der Kurvenbahn bleibt. Aufgrund seiner Trägheit hätte der Zug
das Bestreben, einfach geradeaus weiterzufahren. Daher muss über die Gleise die Zentripetalkraft
(ausgerechnet in Teil b) auf den Zug wirken und der Fliehkraft entgegenwirken.
d) Der Gleiskörper kann seitwärts einer Kraft von maximal 200 kN standhalten, bevor sich die
Halterungen der Schienen lösen. Wie schnell kann der o.g. ICE-Triebkopf (theoretisch) höchstens durch
die Kurve fahren, ohne den Gleiskörper zu beschädigen? (Ergebnis bitte in m/s und km/h)
FZ = m · v² / r = 200 000 N maximal; Auflösen nach v² liefert:
v² = FZ· · r / m = 200 000 N · 1000 m / 78 000 kg = 2564 m²/s², also
v = 50,64 m/s = 182,3 km/h
e) Nach der Kurvenfahrt rollt der ICE auf gerader, leicht ansteigender Strecke ohne Antrieb aus. Welche
Höhe erreicht der Triebkopf, bis er stehen bleibt?
Durch den Anstieg der Strecke wird kinetische Energie allmählich in potentielle Energie umgewandelt. Die
Geschwindigkeit nimmt also immer weiter ab, während die Höhe zunimmt.
Ekin = Epot
½ · m · v² = m · g · h, also nach Kürzen der Masse
½ · v² = g · h und aufgelöst nach h
h = ½ v² / g = ½ · (33,333 m/s)² / 9,81 m/s² = 56,6 m