2. ¨Ubung zur Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Grundlegung

Dr. S. Wiesendorf
Wintersemester 2016/17
2. Übung zur Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Grundlegung “Ausgewählte Anwendungen der Mathematik“
Informationen zur Vorlesung und den Übungen finden Sie unter
http : //www.mi.uni − koeln.de/ ∼ swiesend/grundlegung.html
Aufgabe 1. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen
Zahlen n ≥ 1 gilt:
(a) 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 ,
(b) 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn =
1−xn+1
1−x ,
für x 6= 1,
(c) n2 + n ist gerade, d.h. durch 2 teilbar,
(d) n Objekte kann man auf n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n verschiedene Arten anordnen,
(e) Die Potenzmenge einer n-elementigen Menge hat 2n Elemente.
Aufgabe 2. Um bei vielen Summanden Unklarheiten durch die “Pünktchenschreibweise“ zu vermeiden, verwendet man das sogenannten Summenzeichen Σ.
Ganz allgemein steht der Ausdruck
n
X
ak
k=0
für die Summe a0 + a1 + . . . + an , wobei jedes ak für k ∈ {0, . . . , n} eine reelle Zahl
darstellt. Man nennt k den (Summations-) Index, über den hier summiert wird, d.h.
k durchläuft die natürlichen Zahlen von der unteren Grenze (hier 0) bis zur oberen
Grenze (hier n) und für jedes solche k erhält man durch Einsetzen eine Ausdruck
ak , welche man dann alle aufsummiert. Zum Beispiel ist für ak := k
n
n
X
X
ak =
k = 1 + 2 + 3 + ... + n
k=1
k=1
die Summe der ersten n Zahlen und für ak := 2k − 1
n
n
X
X
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
ak =
k=1
k=1
die Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Man kann die Grenzen für den Summationsindex beliebig festsetzen, z.B. ist
25
X
k = 3 + 4 + . . . + 25 = 322.
k=3
Pn
Ist jedoch die untere Grenze größer als die obere, also k=m ak mit m > n, so setzt
man konventionell die Summe gleich 0.
Der problemlose Umgang mit dieser Schreibweise bedarf zwar einiger Übung, dafür
wird aber das Rechnen mit Summen wesentlich überschaubarer und exakter.
- Blatt wenden -
Schreiben Sie die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens.
(a) 1 + 3 + 5 + . . . + 195 + 197 + 199,
(b) 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn ,
(c) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + . . . + 1024,
(d) 12 + 13 + 14 + . . . + n1 .
Die Distributivgesetze und die Kommutativität der Addition und der Multiplikation
übersetzen sich entsprechend. Es gilt z.B.
n
n
X
X
(∗)
λ · ak = λ ·
ak
k=n0
k=n0
und
(∗∗)
n
X
k=n0
!
ak
+
!
n
X
bk
k=n0
=
n
X
k=n0
!
bk
+
n
X
k=n0
!
ak
=
n
X
(ak + bk ),
k=n0
was man leicht durch direktes Nachrechnen überprüfen kann.
Pn
(e) Schreiben Sie die Summe k=1 k der ersten n Zahlen wie in (∗∗) als Summe
der geraden Zahlen ak und der ungeraden Zahlen bk zwischen 1 und n.
(f) Zeigen Sie, dass für x 6= 1 gilt:
n
X
a − a · xn+1
.
a · xk =
1−x
k=1