Ubungsblatt 2 - Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden

Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden
Fakultät Informatik/Mathematik
Prof. Dr. B. Jung
Wintersemester 2016/17
Mathematik 1 (Studiengang Elektrotechnik und Informationstechnik)
Übungsblatt 2
Hinweis:
Endergebnisse, die mit dem Taschenrechner berechnet wurden, sind auf drei Nachkommastellen zu runden.
Aufgabe 1:
Wandeln Sie in die arithmetische Form um (Rundung auf drei Nachkommastellen):
i
h
3π
1
3π
+ j sin
b) z = (cos π+j sin π)
c) z = 12[cos(−150◦ )+j sin(−150◦ )]
a) z = 8 cos
4
4
2
Aufgabe 2:
π
π
) + j sin( 12
)
Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 3 cos( π4 ) + j sin( π4 ) , z2 = 1.5 cos( 12
z1
z
3π
sowie z3 = 2 cos( 3π
und 1 in trigonometrischer Form.
4 ) + j sin( 4 ) . Berechnen Sie z1 · z2 , z1 · z3 ,
z2
z3
Aufgabe 3:
Gegeben sei z ∈ C mit Im(z) 6= 0. Zeigen Sie dass gilt: |z ∗ | = |z| und arg z ∗ = −arg z (d.h.: z und z ∗
haben gleiche Beträge, ihre Argumente unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen).
Aufgabe 4:
2π
5π
5π
a) Gegeben sind die komplexen Zahlen z1 = 2 cos(− 2π
3 ) + j sin(− 3 ) und z2 = 4 cos( 6 ) + j sin( 6 ) .
Berechnen Sie z1 · z2 und
z1
z2
jeweils in der trigonometrischen Form.
b) Berechnen Sie mit den in Teilaufgabe a) gegebenen komplexen Zahlen: z1 + z2 und z1 − z2 .
√ c) Begründen Sie, dass 2 cos( π3 ) − j sin( π3 ) nicht die korrekte trigonometrische Form einer komplexen
Zahl ist. Wandeln Sie den Ausdruck so um, dass eine korrekte trigonometrische Form entsteht.
Aufgabe 5:
Berechnen Sie die folgenden Potenzen. Geben Sie das Ergebnis jeweils in trigonometrischer und in arithmetischer Form an (bei der trigonometrischen Form: ggf. Rückführung auf den Hauptwert ).
3 − j 5
√
√
1
1 7
a) [5(cos 60◦ + j sin 60◦ )]4
b)
− j
d)
c) (− 2 + 2 j)6
2
3
2+j
√ 10
√ 10
e) (1 + 3 j) + (1 − 3 j)
Aufgabe 6:
Gegeben sei z ∈ C mit z 6= 0. Mit r und ϕ sind, wie üblich, der Betrag und das Argument in der trigonometrischen Darstellung von z bezeichnet.
1
1
a) Zeigen Sie, dass gilt: = (cos ϕ − j sin ϕ) . Begründen Sie, dass dies nicht die korrekte trigonometrische
z
Form von
1
z
r
ist. Wandeln Sie den Ausdruck so um, dass eine korrekte trigonometrische Form entsteht.
1
b) Sei nun z ∈ C mit |z| = 1. In welcher Beziehung stehen die Zeiger der Zahlen z und bei der Darstellung
z
in der komplexen Zahlenebene ?
Zusatzaufgabe:
1
a) Sei z1 ∈ C \ {0; 1}. Berechnen Sie z2 =
unter Verwendung der Darstellung z1 = a + b j.
1 − z1
Geben Sie Re(z2 ) und Im(z2 ) an.
b) Berechnen Sie z2 =
1
1 − z1
unter Verwendung der Darstellung z1 = r(cos ϕ + j sin ϕ). Geben Sie Re(z2 )
und Im(z2 ) in Abhängigkeit von r und ϕ an. Die entstehenden Ausdrücke sind so weit wie möglich zu
vereinfachen.