Elektrodynamik - Universität Wien

Elektrodynamik
Theoretische Physik 3
WS 2008/9
Gerhard Ecker
Fakultät für Physik
Universität Wien
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Lehrbücher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I
Theoretische Grundlagen des Elektromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . .
4
I.1
Fundamentale makroskopische Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
I.2
Elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
I.3
Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
I.4
Maßsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
II.1
Einfache Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
II.2
Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
II.3
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
III.1
Vektorpotenzial und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
III.2
Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Zeitabhängige elektromagnetische Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
IV.1
Energie- und Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
IV.2
Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
IV.3
Allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . .
44
IV.4
Elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
IV.5
Langsam veränderliche Felder in der Nahzone . . . . . . . . . . . . . .
54
IV.6
Elektromagnetische Strahlung (Fernzone) . . . . . . . . . . . . . . . .
59
IV.7
Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Elektrodynamik in kontinuierlichen Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
V.1
Polarisierung und Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
V.2
Isotrope Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
V.3
Elektromagnetische Wellen in kontinuierlichen Medien . . . . . . . . .
75
V.4
Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
II
III
IV
V
2
VI
Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . .
86
VI.1
Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformationen . . . . . . . . . . .
86
VI.2
Minkowski-Raum und Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
VI.3
Elektrodynamik
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
VI.4
Relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
VI.5
Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
VI.6
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . .
115
Danksagung
Ich danke Walter Grimus und Helmut Neufeld für zahlreiche Korrekturen und Verbesserungsvorschläge.
Lehrbücher
T. Fließbach, Elektrodynamik, Spektrum Akad. Verlag, Heidelberg, 1996
J. Honerkamp und H. Römer, Klassische Theoretische Physik, Springer, Berlin, 1989
S. Brandt und H.D. Dahmen, Elektrodynamik, Springer, Berlin, 1997
J.D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, de Gruyter, 1983
L.D. Landau und E.M. Lifschitz, Lehrbuch der Theoretischen Physik
Bd. 2: Klassische Feldtheorie, H. Deutsch, Frankfurt, 1997
3
I
Theoretische Grundlagen des Elektromagnetismus
I.1
Fundamentale makroskopische Kräfte
Moderne Physik: alle physikalischen Phänomene auf 4 fundamentale Wechselwirkungen
zurückzuführen
makroskopische Kräfte
Kernkräfte
Gravitation
Elektromagnetismus
verantwortlich für alle Phänomene
mit d 10−15 m
starke Wechselwirkung
schwache Wechselwirkung
nur relevant für
−15
d<
∼ 10 m
einfachste Charakterisierung der beiden makroskopischen Kräfte:
2 Punktteilchen mit Massen m1 , m2 und Ladungen q1 , q2
Relativabstand ~r = ~r1 − ~r2 , r = |~r|
~ 12 (= −K
~ 21 ):
K
Kraft des 2. Teilchens auf das 1.
Elektromagnetismus
Gravitation
GN m1 m2
~r
r3
= 6.674 · 10−11 kg−1 m3 s−2
−
GN
kC q1 q2
~r
r3
SI-System (MKSA)
~ 12 (~r)
K
kC = (4πε0 )−1 = 1.113 · 10−10 C2 N−1 m−2
−1
Massen positiv
Ladungen beiderlei Vorzeichen
Anziehung
Anziehung (q1 q2 < 0) oder Abstoßung (q1 q2 > 0)
Newtonsches Gesetz
Coulomb-Gesetz
Vergleich der beiden Kräfte für 2 Protonen:
m1 = m2 = mp = 1.67 · 10−27 kg,
qp = e = 1.602176487(40) · 10−19 C(oulomb)
~ Coulomb |
|K
e2 kC
= 2
= 1.2 · 1036
~ Newton |
mp GN
|K
Schlussfolgerungen
* positive und negative Ladungen kompensieren einander offensichtlich äußerst genau in
makroskopischen Körpern (Atome statt Ionen)
* im atomaren Bereich (∼ 10−10 m) Elektromagnetismus einzige relevante Wechselwirkung −→ verantwortlich für Struktur der Atome, Moleküle, Festkörper, . . .
4
* Ladungskompensation nicht nur äußerst genau, sondern offenbar auch zeitunabhängig
−→
nach heutigem Stand Erhaltung der Ladung absolutes Naturgesetz
Übungen: 2 Punktteilchen“ im Abstand von 1 m mit je 50 kg Protonen, deren Ladungen
”
zu 99 % durch Elektronen abgesättigt sind. Vergleiche die Coulombkraft zwischen beiden
Körpern mit dem Gewicht“ der Erde mErde g.
”
Ladungserhaltung −→ Kontinuitätsgleichung
meist sinnvoll für makroskopische Elektrodynamik (zum Unterschied von der Quantenelektrodynamik):
Mittelung der Ladungen über mikroskopische Bereiche, wobei
10−10 m Mittelungsbereich makr. Distanzen
−→
Ladungsdichte ρ(t, ~r)
Z
Ladung im Volumen V : qV (t) =
d3 rρ(t, ~r)
V
Änderung der Ladung nur durch
Hinein- und/oder Herausfließen
charakterisiert durch Stromdichte ~j(t, ~r):
Ladung/(Zeit × Fläche)
(analog zu Massenfluss in der Kontinuumsmechanik)
Ladungsbilanz bei festgehaltenem Volumen:
Z
Z
dqV (t)
r)
3 ∂ρ(t, ~
=
d r
=−
dF~ · ~j(t, ~r)
dt
∂t
V
∂V
da Volumen beliebig
−→
Z
−
=
Gauß
~ ~j(t, ~r)
d3 r ∇
V
Kontinuitätsgleichung
∂ρ(t, ~r)
+ div~j(t, ~r) = 0
∂t
Def.: durch Fläche F zur Zeit t fließende Stromstärke
Z
IF (t) =
dF~ · ~j(t, ~r)
~ ~j = 0]
[ρ̇ + ∇
F
−→
Dimension: [IF ]= Ladung/Zeit
SI-Einheit 1 A(mpère)= 1 C(oulomb)/s
Übungen: verifiziere die Kontinuitätsgleichung für ein geladenes Punktteilchen auf einer Trajektorie ~rq (t) mit
~j(t, ~r) = q ~r˙q (t) δ (3) (~r − ~rq (t))
| {z }
ρ(t, ~r) = q δ (3) (~r − ~rq (t)) ,
~vq (t)
Bem.: in klassischer Elektrodynamik ist Ladungserhaltung eine Erfahrungstatsache, die über
die Kontinuitätsgleichung in den Maxwell-Gleichungen enthalten ist; die Ladung als Erhaltungsgröße einer Symmetrie wird erst in der Q(uanten) E(lektro) D(ynamik) transparent
relevante Kopplungsstärke für QED:
α :=
Feinstrukturkonstante
e2 kC
1
=
~c
137.035999679(94)
5
I.2
Elektromagnetische Felder
−→
abstrahieren elektrisches Feld aus dem Coulomb-Gesetz
~ r) der Form
Ladung q2 erzeugt im ganzen Raum ein elektrostatisches Feld E(~
~ r) = kC q2 (~r − ~r2 )
E(~
|~r − ~r2 |3
dieses Vektorfeld ist für alle ~r 6= ~r2 definiert
−→
Probeladung q1 an der Stelle ~r1 spürt dann Coulomb-Kraft
~ 12 (~r1 − ~r2 ) = q1 E(~
~ r1 )
K
daher: elektrisches Feld = Kraft/Ladung −→ erscheint zunächst als reiner Kunstgriff,
die elektromagnetischen Felder gewinnen aber Eigenleben in den Maxwell-Gleichungen
Superpositionsprinzip
experimentelle Tatsache:
betrachten N ruhende Ladungen qi an den Orten ~ri (Idealisierung)
~ r) = kC
E(~
−→
N
X
qi (~r − ~ri )
i=1
|~r − ~ri |3
ausgedrückt durch die Ladungsdichte
~ r) = kC
E(~
~ r − ~r 0 |−1 = −|~r − ~r 0 |−3 (~r − ~r 0 )
mit ∇|~
Z
d3 r0 ρ(~r 0 )
(~r − ~r 0 )
|~r − ~r 0 |3
−→
~ r) = −∇Φ(~
~ r) = −∇
~ (Φ(~r) + konst.)
E(~
Z
ρ(~r 0 )
Φ(~r) = kC d3 r0
elektrostatisches Potenzial
|~r − ~r 0 |
Folgerung: elektrostatisches Feld ist konservativ
~ =∇
~ ×E
~ = −∇
~ × ∇Φ
~ =0
Bew.: rot E
bilden noch
~ =∇
~E
~ = −∇
~ · ∇Φ
~ = −∆Φ = −kC
div E
Z
d3 r0 ρ(~r 0 ) ∆
1
|~r − ~r 0 |
zur Erinnerung (M2, Übungen):
−
−→
∆
1
ist eine Greenfunktion der Poisson-Gleichung
4πr
1
= −4πδ (3) (~r − ~r 0 )
|~r − ~r 0 |
und daher
6
elektrostatische Maxwell − Gleichung :
~ r) = −kC
div E(~
Z
d3 r0 ρ(~r 0 ) ∆
1
= 4πkC ρ(~r)
|~r − ~r 0 |
SI-Einheit des Potenzials (Spannung=Potenzialdifferenz)
mN
J
lK
~ = −∇Φ
~
=
= =: V(olt)
E
−→
[Φ] =
q
C
C
gebräuchliche Energieeinheit der Mikrophysik:
1 eV = 1.602 · 10−19 C V = 1.602 · 10−19 J
−→
Energiezuwachs eines Elektrons nach Durchlaufen einer Spannung von 1 V
bis jetzt statischer Fall betrachtet, auf bewegte Ladungen wirken zusätzliche Kräfte
betrachten geladenes Punktteilchen am Ort ~rq (t) mit Geschwindigkeit ~vq (t)
~ ~rq (t)) + kL~vq (t) × B(t,
~ ~rq (t))
~ L (t) = q E(t,
Lorentz − Kraft
K
−→
sagt zunächst nur, dass zusätzliche Kraft orthogonal auf Geschwindigkeit existiert
−→
definiert
~ ~r)
magnetische(s) Feld(stärke) B(t,
~ bzw. B
~ (→ Maßsysteme)
Konstante kL : genau wie kC abhängig von Wahl der Einheiten für E,
Verallgemeinerung der Lorentz-Kraft für kontinuierliche Ladungsverteilung im elm. Feld
dP~ (t)
=
dt
Z
h
i
~ ~r) + kL~j(t, ~r) × B(t,
~ ~r)
d3 r ρ(t, ~r)E(t,
P~ (t):
Gesamtimpuls der Ladungsverteilung
Bem.:
unerwartete Form der Lorentz-Kraft
−→
hängt von Geschwindigkeit ~v und daher vom Inertialsystem ab!
wenn Relativitätsprinzip auch in der Elektrodynamik gilt
−→
~ B
~ abhängig vom Bezugssystem
E,
naheliegende Interpretation:
~ B
~ verschiedene Manifestationen des elektromagnetischen Feldes
E,
Feldgleichungen für Magnetfeld nicht ableitbar, aber zumindest eine davon ist sofort plausibel
aufgrund des experimentellen Befundes (nach derzeitigem Wissensstand):
es gibt keine magnetischen Ladungen (magnetische Monopole)
~ ~r) = 4πkC ρ(t, ~r)
div E(t,
~ ~r) = 0
div B(t,
~ div B
~
sind bereits die vollständigen zeitabhängigen Maxwell-Gleichungen für div E,
auffallend: Feldgleichungen enthalten immer dieselben Differenzialoperationen div F~ , rot F~
7
warum?
betrachten fast beliebiges1 Vektorfeld F~ (~r) (Zeitabhängigkeit jetzt irrelevant)
mögliche Darstellung für F~ (~r) (part. Integration im letzten Schritt)
F~ (~r) =
Z
3 0~
0
d r F (~r )δ
(3)
1
(~r − ~r ) = −
4π
0
Z
1
1
d r F (~r )∆
=−
0
|~r − ~r |
4π
3 0~
0
Z
d3 r0
∆F~ (~r 0 )
|~r − ~r 0 |
~ × (∇
~ × F~ ) + ∇(
~ ∇
~ F~ )= − rot rot F~ + grad div F~
∆F~ = −∇
Vektoranalysis:
−→
1
F~ (~r) =
4π
Z
d3 r0
~ 0 × (∇
~ 0 × F~ (~r 0 )) − ∇
~ 0 (∇
~ 0 F~ (~r 0 ))
∇
|~r − ~r 0 |
manipulieren i-te (kart.) Komponente des 1.Teils mit part. Integration
Z
~ 0 × rotF~ (~r 0 )
∇
i
d3 r0
|~r − ~r 0 |
Z
∂
1
(rot F~ (~r 0 ))k = −εijk
d3 r0
0
|~r − ~r | ∂x0j
Z
d3 r0
= εijk
= εijk
∂
1
(rot F~ (~r 0 ))k =
∂xj |~r − ~r 0 |
Z
1
∂
d3 r0
0
∂xj |~r − ~r 0 |
!
Z
~ (~r 0 )
rot
F
3
0
~ × d r
∇
|~r − ~r 0 |
!
(rot F~ (~r 0 ))k
i
analoge Behandlung des 2. Terms ergibt insgesamt die beiden Vektorgleichungen
Z
~ 0 × (∇
~ 0 × F~ (~r 0 ))
3 0∇
d r
Z
|~r − ~r 0 |
~ 0 (∇
~ 0 F~ (~r 0 ))
3 0∇
d r
|~r − ~r 0 |
~ ×
= ∇
~
= ∇
Z
Z
d3 r0
d3 r0
~ 0 × F~ (~r 0 )
∇
|~r − ~r 0 |
~ 0 F~ (~r 0 )
∇
|~r − ~r 0 |
und daher folgende Darstellung für das Vektorfeld F~ (~r)
1
F~ (~r) =
rot
4π
Z
rotF~ (~r 0 )
d3 r0
|~r − ~r 0 |
1
−
grad
4π
Z
d3 r0
divF~ (~r 0 )
|~r − ~r 0 |
Vektorfeld F~ kann durch seine Quellen (div F~ ) und Wirbel (rot F~ ) dargestellt werden
I.3
Maxwell-Gleichungen
Naturgesetze nicht ableitbar, aber Struktur kann plausibel gemacht werden
deduktiver Zugang (im Gegensatz zum historisch induktiven):
1
~ | ≤ const/r2 für r → ∞
zweimal stetig differenzierbar, |F
8
−→
Maxwell-Gleichungen postuliert
Konsequenzen untersucht
legen uns zunächst nicht auf ein bestimmtes Maßsystem fest
−→
kC , kL beliebig
zu beachten:
~ und kL~j × B
~ sind als Kraftdichten (bereits in der Mechanik definiert)
* Lorentz-Kraft: ρ E
in allen Maßsystemen gleich
~ ~j = 0 verbunden, die ebenfalls in allen
* ρ und ~j durch Kontinuitätsgleichung ρ̇ + ∇
Maßsystemen gilt
~E
~ und ∇
~B
~ bereits bekannt:
Maxwell-Gleichungen für die Quellen ∇
~ ~r) = 4πkC ρ(t, ~r)
div E(t,
~ ~r) = 0
div B(t,
~ ×E
~ und ∇
~ ×B
~
ausständig: Differenzialgleichungen für die Wirbel ∇
Dimensionsüberlegung (Lorentz-Kraft!):
"
~ = [kL~v × B]
~
[E]
−→
~
E
l
#
"
~
kL B
=
t
#
bestätigt zumindest die Dimensionen im
Induktionsgesetz:
~
~ × E(t,
~ ~r) + kL ∂ B(t, ~r) = 0
∇
∂t
fehlt nur mehr Diffgl. für Wirbel des Magnetfeldes
~ (zumindest teilweise) durch Stromdichte ~j bestimmt
zu erwarten: rot B
~ ×B
~ = kA~j + . . .
kL ∇
Faktor kA sollte schon fixiert sein, da keine weitere Skalierungsfreiheit bei geg. kC , kL
4πkC
tatsächlich (Dimensionen überprüfen!):
kA =
(c: Lichtgeschwindigkeit)
c2
Ampèresches Gesetz:
−→
~ ×B
~ = 4πkC ~j
∇
kL c2
Stand der Elektrodynamik vor Maxwell
Problem: vorläufiges Gleichungssystem i.a. nicht mit Kontinuitätsgleichung verträglich
Divergenz des Ampèreschen Gesetzes:
~ ∇
~ × B)
~ =0
∇(
−→
~ ~j = 0
∇
nur konsistent im statischen Fall ρ̇ = 0
Maxwell: Ampèresches Gesetz muss modifiziert (erweitert) werden
9
Ansatz in Analogie zum Induktionsgesetz:
~
4πkC ~
∂E
j
+
k
M
kL c2
∂t
4πkC ~ ~
∂ ~~
0 =
∇j + kM ∇
E
kL c2
∂t
4πkC
0 = ρ̇ −
+
4πk
k
C M
kL c2
~ ×B
~ =
∇
Divergenz bilden
−→
kM =
1
kL c2
Maxwell-Gleichungen in allgemeiner Form
~E
~ = 4πkC ρ
∇
~B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + kL ∂ B = 0
∇
∂t
~ ×B
~−
∇
~
1 ∂E
4πkC ~
=
j
2
kL c ∂t
kL c2
bilden zusammen mit der Lorentz-Kraft die Grundgleichungen der Elektrodynamik
Z
h
i
dP~ (t)
~ ~r) + kL~j(t, ~r) × B(t,
~ ~r)
= d3 r ρ(t, ~r)E(t,
dt
Bem.:
• Konstante kC , kL beliebig wählbar
• Kontinuitätsgleichung folgt aus den Maxwell-Gleichungen
wichtige Eigenschaft: Linearität der Maxwell-Gleichungen −→ Superpositionsprinzip:
~ i, B
~ i Lösungen für geg. ρi , ~ji (i = 1, 2) sind, dann sind E
~1 + E
~ 2, B
~1 + B
~ 2 Lösungen
wenn E
~
~
der Maxwell-Gl. für ρ1 + ρ2 , j1 + j2
Linearität ist eine Eigenschaft der klassischen Elektrodynamik, wird in der QED durch Effekte
der O(~n ) (n ≥ 1) modifiziert
z.B.: Streuung von Licht an Licht nur quantenfeldtheoretisch (Euler, Heisenberg 1936)
zu verstehen
Maxwell-Gl. im Vakuum: ρ = 0, ~j = 0
~ × (∇
~ × B)
~ = ∇(
~ ∇
~ B)
~ − ∆B
~ = −∆B
~
∇
~−
−∆B
1 ∂ ~
~ =0 ⇒
∇×E
kL c2 ∂t
−→
~
1 ∂2B
~ =0
− ∆B
2
2
c ∂t
~ (analog für E
~ −→ Übungen) erfüllt im materiefreien
Folgerung: jede Komponente von B
Raum die Wellengleichung mit Wellengeschwindigkeit c
−→
Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit“
”
1 ∂2
1 ∂2
∂2
d’Alembert-Operator: 2 = 2 2 − ∆ = 2 2 −
c ∂t
c ∂t
∂xi ∂xi
10
Wellengleichung ≡ d’Alembert-Gleichung:
2 F (t, ~r) = 0
I.4
Maßsysteme
−→
kC , kL beliebig
verschiedene Maßsysteme gebräuchlich
Experimentalphysik, Technik: SI=MKSA
Theor. Physik: Gauß-System
Fachliteratur (Teilchenphysik): Heaviside-System
Ziel: einfaches Umrechnungsverfahren von einem System ins andere
~ B,
~ ρ, ~j entsprechend skalieren (mit Konstanten multiplizieren), dass
Vorgangsweise: E,
kC , kL verschwinden
−→
universelle Form der Maxwell-Gl. (entspricht kC = kL = 1)
~ universell,
zur Erinnerung: ρE
~
p
~ u = √E , ρu = kC ρ
E
−→
kC
Kontinuitätsgleichung
−→
aus MG
~E
~ = 4πkC ρ
∇
−→
~E
~ u = 4πρu
∇
√
~ju = kC~j
Induktionsgesetz:
~
~ ×E
~ + kL ∂ B
∇
∂t
~
~ ×E
~ u + √kL ∂ B
∇
kC ∂t
selbstverständlich auch
= 0
= 0
~
~ u = √kL B
B
kC
−→
~B
~u = 0
∇
damit alle möglichen Skalierungen vorgenommen
−→
letzte Maxwell-Gleichung muss bereits universelle Form haben
√
~u
p ∂E
kC ~
4πkC 1 ~
~u − 1
√ ju
∇×B
kC
=
2
kL
kL c
∂t
kL c2 kC
−→
~
~ ×B
~ u − 1 ∂ Eu
∇
c2 ∂t
=
4π ~
ju
c2
geg. 2 beliebige Maßsysteme S1, S2: da universelle Größen systemunabhängig sind
~ 1 kL,1
~ 2 kL,2
B
B
p
= p
kC,1
kC,2
p
p
~j1 kC,1 = ~j2 kC,2
~
~
E
E
p 1 =p 2 ,
kC,1
kC,2
p
p
ρ1 kC,1 = ρ2 kC,2 ,
Kriterien für gutes“ Maßsystem: einfach, transparent
−→
”
offensichtlich nicht sehr restriktive Kriterien!
SI: kC =
1
c2 µ0
=
, kL = 1
4πε0
4π
11
−→
α=
e2
4πε0 ~c
−→
Bem.: in α ist e als eSI zu verstehen; Feinstrukturkonstante α ist dagegen eine reine Zahl
und daher unabhängig vom Maßsystem
Festlegung von µ0 über Kraft zwischen 2 Strömen (→
des Stroms
−→
exakte Relation
Magnetostatik) und Einheit A(mpère)
µ0 = 4π 10−7 N A−2 = 4π 10−7 kg m C−2
Konstante ε0 über ε0 µ0 = 1/c2 definiert
da (seit 1983) c = 299792458 m s−1 exakt
−→
ε0 ebenfalls exakt
Nachteile (aus Sicht des Theoretikers):
~ und B
~ verschiedene Dimensionen haben, obwohl Manifestatio* nicht transparent, da E
nen desselben elektromagnetischen Feldes
* nicht einfach, da zusätzliche Einheit A und daher kC eigentlich überflüssig
beide Nachteile werden behoben im bevorzugten System der Theoretiker
Gauß-System:
kC = 1, kL =
1
c
−→
α=
e2
~c
Maxwell-Gleichungen im Gauß-System
~E
~ = 4π ρ
∇
~B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
~v
~
~
~
Lorentz-Kraft im Gauß-System (für Punktladung):
KL = q E + × B
c
zu beachten bei Umrechnung: Gauß verwendet g, cm statt kg, m im SI
p
p
Beispiel: Ladung
ρG kC,G = ρSI kC,SI
−→
s
kC,SI
eG =
eSI = c 10−7/2 kg1/2 m1/2 C−1 1.60 · 10−19 C
kC,G
= 1.52 · 10−14 kg1/2 m3/2 s−1 = 4.80 · 10−10 g1/2 cm3/2 s−1
|
{z
}
ESE
~ B,
~ I im Gauß-System
Übungen: E,
Teilchenphysik verwendet (zur Vermeidung der Faktoren 4π in den MG)
Heaviside-System:
kC =
1
1
, kL =
4π
c
12
−→
α=
e2
4π~c
II
Elektrostatik
~ B,
~ ρ, ~j
für zeitunabhängige E,
~E
~ = 4π ρ
∇
~B
~ =0
∇
~ ×E
~ =0
∇
~ ×B
~ = 4π ~j
∇
c
Magnetostatik
Elektrostatik
~ und B
~ entkoppelt
E
−→
Elektro- und Magnetostatik unabhängig zu behandeln
allgemein (bel. Zeitabhängigkeit):
Lorentz-Kraft leistet an Punktteilchen Arbeit (i.a. wegabhängig)
Z
~L
A(~r1 , ~r2 ; C) =
d~r · K
C
"
˙
~ ~r) + ~r(t) × B(t,
~ ~r)
= q
d~r · E(t,
c
C
Z
~ = dt ~r˙ · (~r˙ × B)
~ =0
da d~r · (~r˙ × B)
daher allgemein
#
−→
~ ist wattlos“
Magnetfeld leistet keine Arbeit: B
”
Z
~ ~r)
A(~r1 , ~r2 ; C) = q
d~r · E(t,
C
~ ×E
~ =0
~ konservatives Feld
∇
−→
E
Z ~r
~ r 0 ) wegunabhängig: definiert Potenzial Φ(~r)
Φ(~r) = −
d~r 0 · E(~
Elektrostatik:
−→
~
r0
A(~r1 , ~r2 ) = q [Φ(~r1 ) − Φ(~r2 )]
|
{z
}
wegunabhängig
V (~
r1 ,~
r2 )
Spannung V (~r1 , ~r2 ): Potenzialdifferenz zwischen den Punkten ~r1 und ~r2
qΦ(~r): potenzielle Energie des geladenen Teilchens
II.1
Einfache Ladungsverteilungen
~ r), Φ(~r)
Standardproblem der Elektrostatik: geg. ρ(~r), gesucht E(~
in einfachen Fällen oft direkt lösbar
Z
~E
~ =
d r∇
3
V
~
dF~ · E
∂V
Z
= 4π
V
13
Z
d3 rρ = 4πqV
Gaußsches Gesetz
Fluss des elektrischen Feldes durch Oberfläche ∂V = 4π× Ladung im Volumen V
Z
~ = 4πqV
dF~ · E
∂V
~ zeigt von positiver Ladung weg
Bem.: E
Anwendung:
Ansatz: Φ(r)
rotationssymmetrische Ladungsdichte ρ(r)
−→
dΦ ~
dΦ ~r
~ = −∇Φ(r)
~
E
= − ∇r
=−
dr
dr} r
| {z
E(r)
Kugel mit Radius r
Z
~
dF~ · E
Z
=
∂V
~r
r dΩ
r
2
dΦ
−
dr
~r
r
dΦ
= 4πqV
dr
dΦ
qV
−→ E(r) = −
= 2
dr
r
=
~ r) = qV ~r ,
E(~
r2 r
Φ(r) =
−4πr2
qV
+ konst.
r
Folgerungen:
~ r)| hängt nur von Ladung in Kugel ab
* |E(~
* kugelsymm. Ladungsdichte mit qV = 0 erzeugt kein elektrisches Feld außerhalb der
Kugel
* kein Feld im Inneren einer Hohlkugel (mit kugelsymm. ρ(r) im Außenraum)
charakteristisch für Potenziale ∼ 1/r
allg. Fall bei geg. ρ(~r):
~ = −∇Φ
~
mit E
∆Φ(~r) = −4πρ(~r)
−→
Poisson − Gleichung
Lösung der Poisson-Gleichung mit geeigneten“ Randbedingungen
”
Z
allg. Lösung mit Greenfunktion (Vor.: Ladung d3 r ρ(~r) endlich)
Z
Φ(~r) =
d3 r 0
ρ(~r 0 )
+ Φhom (~r)
|~r − ~r 0 |
Φhom (~r): Lösung der Laplace-Gleichung ∆Φ = 0
14
−→
~ = −∇Φ
~
E
−→
häufiger Fall:
−→
Ladung endlich und (Randbedingung) lim Φ(~r) = 0
r→∞
vollständige Lösung (Eindeutigkeit −→ Randwertprobleme)
Z
Z
r 0)
r 0 )(~r − ~r 0 )
3 0 ρ(~
3 0 ρ(~
~
~
Φ(~r) = d r
,
E(~
r
)
=
−
∇Φ(~
r
)
=
d
r
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
Äquipotenzialflächen:
Φ(~r) = konstant
~ = −E
~
Flächennormale zeigt in Richtung von ∇Φ
Feldlinien:
Kurven ~r(τ ), deren Tangenten
~
in jedem Punkt parallel zu E
−→
d~r
~ r(τ )) = 0
× E(~
dτ
einfachstes Beispiel: Kugel mit rotationssymm. ρ(r)
Φ(r) = konstant
−→
r =konstant: Kugeloberflächen
~ ×E
~ =0
∇
−→
H
−→
~ =0
d~r · E
keine geschlossenen Feldlinien in der Elektrostatik:
immer von positiver zu negativer Ladung
zur Veranschaulichung: Dichte der Feldlinien ∼ Feldstärke
homogen geladene Platte
ρ(~r) = σδ(z)
d3 rρ(~r) = σdxdy
σ:
Z
da
d3 rρ(~r) = ∞
−→
−→
(konstante) Flächenladungsdichte
Φ nicht mit Greenfunktion zu berechnen, statt dessen direkte
Integration der Poisson-Gleichung
Ansatz (durch Symmetrie des Problems naheliegend):
∆Φ = −4πρ
−→
Φ = Φ(z)
−→
d2 Φ
= −4πσδ(z)
dz 2
dΦ
= −Ez = −4πσΘ(z) + k1
dz
(wegen z δ(z) = 0)
Φ(z) = −4πσz Θ(z) + k1 z + k2
15
Ex = Ey = 0
Symmetrieargument (als Randbedingung): Ez (z > 0) = −Ez (z < 0) für gleiches |z|
−→
k1 = 2πσ [Θ(z) + Θ(−z)] = 2πσ
(k2 = 0 o.B.d.A)
Φ(z) = −2πσ z [Θ(z) − Θ(−z)]
Ez (z) = 2πσ [Θ(z) − Θ(−z)] = 2πσ
z
|z|
2 entgegengesetzt gleich geladene Platten
unendlicher Kondensator“
”
Modell für Plattenkondensator
Linearität der Maxwell-Gl.
−→
Superpositionsprinzip
−→
~ =0
oberhalb und unterhalb des Kondensators: E
q
im Inneren:
Ez = 4πσ = 4π
F
q
F
4πq
d =:
mit Kapazität C =
Spannung=Potenzialdifferenz: V =
F
C
4π d
Einheit der Kapazität:
cm (Gauß),
SI: F(arad)= C(oulomb)/V(olt)
leicht nachzuprüfen (→ Maßsysteme):
CG ' 9 · 1011 cm CSI /F
elektrostatische Energie
potenzielle Energie eines geladenen Teilchens im äußeren Potenzial Φ(~rq ): qΦ(~rq )
wichtig: vom Punktteilchen erzeugtes Potenzial (Feld) ist darin nicht enthalten
betrachten N unendlich weit voneinander entfernte Punktladungen
berechnen Arbeit, um sie an Orte ~r1 , . . . , ~rN zu bringen
diese Energie steckt dann im elektr(ostat)ischen Feld
q1 −→ ~r1 :
q2 −→ ~r2 :
qN −→ ~rN :
keine elektrostatische Arbeit notwendig −→ A1 = 0
q1
Potenzial Φ(~r) = Φ1 (~r) =
|~r − ~r1 |
q1 q2
Arbeit A2 = q2 Φ(~r2 ) =
notwendig
|~r2 − ~r1 |
qi
Potenzial Φ = Φ1 + Φ2 mit Φi (~r) =
|~r − ~ri |
Arbeit AN = qN (Φ1 (~rN ) + Φ2 (~rN ) + · · · + ΦN −1 (~rN ))
Potenzial Φ(~r) =
N
X
i=1
qi
|~r − ~ri |
16
−→
−→
insgesamt geleistete Arbeit
A = A1 + A2 + · · · + AN =
N
X
qj
j=2
A =
j−1
X
Φi (~rj ) =
i=1
qi qj
1 X qi qj
=
|~rj − ~ri |
2 i,j=1 |~rj − ~ri |
i,j=1
X
i<j
j−1
N X
X
j=2 i=1
qi qj
|~rj − ~ri |
(beachte Faktor 1/2)
i6=j
ersetzen Punktteilchen durch allgemeine Ladungsdichte
Z
ρ(~r) ρ(~r 0 )
1
d3 r d3 r 0
A=
2
|~r − ~r 0 |
genau genommen: ~r 6= ~r 0 , da Selbstenergie nicht berücksichtigt
für stetige Ladungsdichten ρ(~r) allerdings ohnehin kein Beitrag
Energiebilanz: hineingesteckte Arbeit als elektrostatische Energie vorhanden
Z
Z
Z
1
r 0)
1
3
3 0 ρ(~
A =
d r ρ(~r) d r
=−
d3 r ∆Φ(~r) Φ(~r)
2
|~r − ~r 0 |
8π
Z
Z
1
1
3 ~
~
~ r) · E(~
~ r)
=
d r ∇Φ(~r) · ∇Φ(~r) =
d3 r E(~
8π
8π
dabei endliche Ladungsverteilung vorausgesetzt −→ kein Oberflächenterm bei part. Int.
Energiedichte des elektrostatischen Feldes
1 ~ 2
E(~r)
8π
η(~r) =
wird auch für allgemeine zeitabhängige elektrische Felder gelten
II.2
Randwertprobleme
typischer Fall: Volumen mit Ladungsverteilung, begrenzt durch (elektrische) Leiter
Leiter: frei bewegliche Elektronen (Metall), reagieren auf angelegtes Feld, erzeugen Gegenfeld,
bis insgesamt (Gleichgewichtsbedingung der Elektrostatik)
~ innen = 0
E
↔
Φinnen = konst.
−→
auch ρinnen = 0 wegen ∆Φ = −4πρ
−→
Ionen und Elektronen kompensieren einander
Ladungen können sich höchstens an Leiteroberfläche ansammeln:
Flächenladungsdichte
σ(~r)
Z
Ladung eines Flächenstücks
qF =
dF σ(~r)
F
Problem: σ(~r) i.a. nicht von vornherein bekannt
17
(dF = |dF~ |)
Randbedingung an (Leiter-)Oberfläche
~ ×E
~ =0
∇
−→
H
C
~ =0
d~r · E
~ = Etang ~t + Enormal ~n ,
E
~t · ~n = 0, ~t2 = ~n2 = 1
(tatsächlich 2 orthogonale Tangentialvektoren)
H
außen − E innen = 0
~ = l Etang
d→0:
r·E
tang
C d~
~ tang stetig an beliebiger Grenzfläche
−→ E
~ innen = 0 −→ E außen = 0 an Grenzfläche
Leiter: E
tang
−→
~ immer normal auf Leiteroberfläche
E
Gaußsches Gesetz für Quader d × l × b:
Z
Z
Z
außen
innen
~
~
~
~
dF · E =
dF ~n · (E
−E
) = 4πq = 4π
dF σ(~r)
∂V
F =l×b
F
Quader −→ Punkt (F → 0, d → 0):
~ außen (~r) − E
~ innen (~r) = 4πσ(~r)
~n · E
~ normal wird durch Flächenladungsdichte σ bestimmt
Folgerung: Unstetigkeit in E
Leiter:
~ innen = 0
E
~ außen = 4πσ = −~n · ∇Φ
~
~n · E
−→
Lösung des Problems mit Randbedingungen
Poisson-Gleichung
∆Φ = −4πρ
inhomogene lineare partielle Diffgl. 2. Ordnung (elliptischer Typ)
allg. Lösung:
Φ(~r) = Φs (~r) + Φh (~r)
∆Φs = −4πρ ,
∆Φh = 0
bei geg. spezieller Lösung Φs ist Φh dann so zu wählen, dass Gesamtlösung Φ = Φs + Φh die
Randbedingungen erfüllt
aus der Theorie der elliptischen Diffgl.:
Laplace-Gleichung
i. Dirichlet-Randbedingung:
ii. Neumann-Randbedingung:
∆Φ = 0 im Volumen V zu lösen mit
Φ(~r) = Φ0 (~r) vorgeg. auf ∂V oder
~ r) vorgeg. auf ∂V
~n · ∇Φ(~
Theorem: ∃ eindeutige Lösung der Laplace-Gleichung (und daher auch der ursprünglichen
Poisson-Gleichung) für entweder Dirichlet oder Neumann, aber i.a. nicht für beide zugleich
18
physikalische Wahl: Dirichlet, da Flächenladungsdichte σ i.a. nicht bekannt (kann aber aus
der Lösung des Dirichlet-Problems im nachhinein berechnet werden)
Existenz:
diskutieren einige analytische Methoden, im Prinzip immer numerisch lösbar
Eindeutigkeit:
ang., es ∃ Φ1 (~r), Φ2 (~r) als Lösungen von ∆Φ = −4πρ mit Φi (~r)|∂V = Φ0 (~r)
betrachten Differenz
Ψ(~r) = Φ1 (~r) − Φ2 (~r)
−→
∆Ψ = 0 ,
Ψ|∂V = 0
~ = Ψ∇Ψ)
~
1. Greenscher Satz (Gaußscher Satz für G
! Z
Z
3
~ =0
~ · ∇Ψ
~ + Ψ ∆Ψ =
d r ∇Ψ
dF~ · |{z}
Ψ ∇Ψ
|{z}
V
da
~ · ∇Ψ
~ ≥0
∇Ψ
−→
zusammen mit Randbedingung
Anwendung:
∂V
=0
=0
~ =0
∇Ψ
−→
Ψ(~r) = konst. in ganz V
Ψ|∂V = 0
−→
Ψ(~r) ≡ 0
in ganz V
qed
Faraday-Käfig
ladungsfreier Raum, ganz von Leiter umschlossen
Innenraum:
∆Φ = 0, am Rand Φ|∂V = konst.
−→
Φ(~r) = konst.
−→
~ = 0 im Inneren, d.h. Innenraum feldfrei
E
eindeutige Lösung im Inneren
Spitzenentladungen
2 leitende Kugeln
durch (leitenden) Draht verbunden
−→
Φ = konst. auf beiden Kugeln
andererseits auf Kugeloberflächen (Vor.:
weit genug“ voneinander entfernt):
”
qi
~ i = qi ~ni
Φi =
,
E
(i = 1, 2)
Ri
Ri2
Φ1 = Φ2
−→
−→
q1
q2
=
R1
R2
−→
~ 2|
q2 R12
|E
R1
=
=
2
~
R2
q1 R2
|E1 |
sehr hohe Feldstärken an Spitzen (R2 R1 )
Anwendung:
~ bis 109 V/m erreicht)
Feldemissionsmikroskop (|E|
−→
Feynman Lectures
19
Methode der Bildladungen
Idee: scheinbare so genannte Bildladung im Leiter angesetzt, um Randbedingung Φ = konst.
an Leiteroberfläche zu erreichen, nur für einfache Leitergeometrien verwendbar
einfachstes Beispiel: leitender Halbraum mit Punktladung im Außenraum
∆Φ = −4πq δ (3) (~r − ~r0 ),
~r0 = d~ez
nur im Außenraum relevant
Leiter
Ansatz:
Φ(~r) =
Randbedingung:
daher:
−→
~ innen = 0
E
q
+ Φh (~r)
|~r − ~r0 |
Φ|Rand = Φ(z = 0) = Φ0 = konst.
Lösung Φh der Laplace-Gleichung gesucht mit
q
Φh (z = 0) = Φ0 − p
2
x + y 2 + d2
Lösung für Φh (~r) (erfüllt alle Bedingungen):
Φh (~r) = Φ0 −
da im Außenraum (z ≥ 0)
q
|~r + ~r0 |
∆Φh (~r) = 4πqδ (3) (~r + ~r0 ) = 0
Gesamtlösung (nur für z ≥ 0 gemeint)
Φ(~r) = q
~ r) = q
E(~
−→
1
1
−
|~r − ~r0 | |~r + ~r0 |
~r − ~r0
~r + ~r0
−
|~r − ~r0 |3 |~r + ~r0 |3
+ Φ0
scheinbare negative Bildladung bei ~r = −~r0 (wo obige Formeln gar nicht gelten)
die auf der Oberfläche induzierte Flächenladungsdichte übt eine Kraft auf die Punktladung
~ Bild (~r0 ) = q E
~ Influenz (~r0 ), wobei das
bei ~r = ~r0 aus, die so genannte Bildkraft K
Influenzfeld durch die Bildladung erzeugt“ wird:
”
2
~ Influenz (~r) = −q ~r + ~r0
~ Bild (~r0 ) = − q ~r0
E
−→
K
|~r + ~r0 |3
4r03
entspricht genau der (anziehenden) Coulombkraft, die die Bildladung auf die echte Ladung
ausüben würde (Abstand 2r0 zwischen den Ladungen)
20
1
2qd
~ = 0) = −
~ez · E(z
Übungen: Flächenladungsdichte σ(z = 0) =
4π
4π(x2 + y 2 + d2 )3/2
Z
−→
dF σ(x, y) = −q, Feldlinien zeichnen
Methode der Bildladungen funktioniert auch noch für den Fall von 2 Leiterebenen, die einen
π
Winkel α =
(n ∈ N) einschließen, mit einer Ladung zwischen den Leiterebenen (Halbn
raum: n = 1)
auch für leitende Kugel mit einer Punktladung im Außenraum anwendbar
2-dimensionale Probleme
eine Dimension manchmal irrelevant, z.B. für (langen) leitenden Zylinder
−→
Analogie zwischen Elektrostatik und Potenzialströmung der
idealen Flüssigkeit (wirbelfrei, inkompressibel, stationär)
ideale Flüssigkeit
Elektrostatik
Geschwindigkeitsfeld ~v (~r)
~ × ~v (~r) = 0
∇
~ r)
elektrostatisches Feld E(~
~ × E(~
~ r) = 0
∇
wirbelfrei
∃ Potenzial Φ(~r)
~
~v = ∇Φ
~ = −∇Φ
~
E
~ v (~r) = 0 (inkompressibel)
∇~
~ E(~
~ r) = 0 (ohne Ladungen)
∇
∆Φ = 0
Stromlinien
analog
(~v parallel zur Oberfläche)
H
Γ = d~r · ~v 6= 0 (i.a.)
Zirkulation um Oberfläche
Äquipotenziallinien
~ ⊥ Oberfläche)
(aber E
H
~ = 0 (immer)
d~r · E
Hydrodynamik: 2-dimensionale Lösungen durch holomorphe (analytische) Funktionen
f (z) = f (x + i y) = u(x, y) + i w(x, y)
Cauchy-Riemann Diffgl.
−→
∆u(x, y) = ∆w(x, y) = 0
Funktionentheorie: f (z) erzeugt konforme (winkeltreue) Abbildung (x, y) −→ (u, w)
−→
u(x, y) = konst.
⊥
w(x, y) = konst.
Zylinder mit Basisradius R
ideale Flüssigkeit
R2
Γ
f (z) = v∞ z +
− i ln z
z
2π
Elektrostatik
R2
f (z) = −E∞ z +
z
Diskussion der elektrostatischen Lösung
f (z) = −E∞ x + i y +
21
R2
(x − i y)
x2 + y 2
R2
u(x, y) = konst.: Feldlinien
u(x, y) = −E∞ x 1 + 2
x + y2 R2
w(x, y) = −E∞ y 1 − 2
= Φ(x, y)
w(x, y) = konst.: Äquipotenziallinien
x + y2
mit r2 = x2 + y 2
2
2
R
2xyR
2
2
~
~
~ex + 1 − 4 (x − y ) ~ey
E(x,
y) = −∇w(x,
y) = E∞
r4
r
r→∞:
~ −→ E∞~ey
E
Äquipotenziallinien:
Feld asymptotisch in y-Richtung
R2
E∞ y 1 − 2 = konst.
r
−→
x-Achse (y = 0) und Zylindermantel (r = R) sind Äquipotenziallinien mit Φ = 0
r→∞:
y = konst. sind asymptotische Äquipotenziallinien
Interpretation:
Lösung beschreibt leitenden Zylinder in einem asymptotisch homogenen
elektrischen Feld (in der y-Richtung)
Übungen: Flächenladungsdichte auf Zylinder σ(x, y) =
E∞ y
mit Gesamtladung q = 0
2πR
allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten r, Θ, ϕ
2
∂
2 ∂
1
∂
∂
1
∂2
∆Φ(r, Θ, ϕ) =
+
+
sin Θ
+ 2 2
Φ
∂r2 r ∂r r2 sin Θ ∂Θ
∂Θ
r sin Θ ∂ϕ2
1 ∂2
1
1 ∂
∂Φ
1 ∂2Φ
=
(rΦ)
+
sin
Θ
+
r ∂r2
r2 sin Θ ∂Θ
∂Θ
sin2 Θ ∂ϕ2
22
Separationsansatz (Einschränkung?)
1
C(r) Y (Θ, ϕ)
r
Φ(r, Θ, ϕ) =
Kugelfunktionen Ylm (Θ, ϕ): vollständiges Orthonormalsystem auf Kugeloberfläche
l = 0, 1, 2, . . . ,
m = −l, −l + 1, . . . , l
erfüllen Diffgl.
1 ∂
sin Θ ∂Θ
∂Ylm
1 ∂ 2 Ylm
sin Θ
+
+ l(l + 1)Ylm = 0
∂Θ
sin2 Θ ∂ϕ2
explizite Form
Ylm (Θ, ϕ) =
2l + 1 (l − |m|)!
4π (l + |m|)!
1/2
Plm (cos Θ)eimϕ
mit assoziierten (zugeordneten) Legendre-Funktionen
(−1)m
dl+|m|
(1 − x2 )|m|/2 l+|m| (x2 − 1)l
l
2 l!
dx
Plm (x) =
= (−1)m (1 − x2 )|m|/2
d|m| Pl (x)
dx|m|
und Legendre-Polynomen
1 dl 2
(x − 1)l
2l l! dxl
Legendre-Polynome bilden ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem Intervall [−1, 1]:
Pl (x) =
Z
1
dxPk (x)Pl (x) =
−1
2
δkl
2l + 1
Orthonormalität der Kugelfunktionen:
Z
∗
dΩ Ylm
(Θ, ϕ)Yl0 m0 (Θ, ϕ) = δll0 δmm0 ,
dΩ = sin ΘdΘdϕ
Vollständigkeit:
jede auf der Kugeloberfläche quadratintegrable Funktion f (Θ, ϕ) (d.h.
Z
2
dΩ|f (Θ, ϕ)| < ∞) kann eindeutig nach Kugelfunktionen entwickelt werden:
f (Θ, ϕ) =
∞ X
l
X
alm Ylm (Θ, ϕ)
l=0 m=−l
Z
mit alm =
∗
dΩf (Θ, ϕ)Ylm
(Θ, ϕ)
Vollständigkeit kann auch ausgedrückt werden als
∞ X
l
X
∗
Ylm
(Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ) = δ(cos Θ − cos Θ0 )δ(ϕ − ϕ0 )
l=0 m=−l
23
daher kann jede (auf der Kugel quadratintegrable) Funktion Φ(r, Θ, ϕ) nach Kugelfunktionen
entwickelt werden (ursprünglicher Separationsansatz daher keine Einschränkung)
Φ(r, Θ, ϕ) =
X Clm (r)
r
l,m
Ylm (Θ, ϕ)
aus Laplace-Gleichung ∆Φ = 0 folgt dann die (gewöhnliche) Diffgl. für die Clm (r):
d2 Clm l(l + 1)
−
Clm = 0
dr2
r2
mit der allg. Lösung (mit Konstanten alm , blm )
blm
rl
Clm (r) = alm rl+1 +
und daher insgesamt
allgemeine Lösung der Laplace-Gleichung ∆Φ = 0
∞ X
l
X
blm
l
alm r + l+1 Ylm (Θ, ϕ)
Φ(r, Θ, ϕ) =
r
l=0 m=−l
Randbedingungen
−→
Koeffizienten alm , blm
Anwendungsbeispiel: geladener Ring (symmetrisch um z-Achse)
Zylinderkoordinate ρ =
p
x2 + y 2 , daher
Ladungsdichte hier als ρq (~r) bezeichnet
q
ρq (~r) =
δ(ρ − a)δ(z − b) −→
2πa
Z
Z
q
3
d r ρq (~r) =
dz dϕ ρdρδ(ρ − a)δ(z − b) = q
2πa
keine ϕ-Abhängigkeit
−→
−→
m=0
Φ(r, Θ) =
∞ X
al r +
l=0
bl
l
rl+1
zur Bestimmung der Koeffizienten: ~r auf z-Achse
Pl (cos Θ)
−→
Θ = 0,
Z
∞ X
ρq (~r 0 )
bl
l
Φ(r, 0) =
al r + l+1 = d3 r 0
|~r − ~r 0 |
r
l=0
da ~r jetzt auf z-Achse (r02 = a2 + b2 , tan α = a/b)
|~r − ~r 0 | = |~r − ~r0 | = r2 + r02 − 2r r0 cos α
24
1/2
Pl (1) = 1
−→
Nenner des Integrals unabhängig von ρ, ϕ, z
−→
trivial zu integrieren in Zylinderkoordinaten
Φ(r, 0) ∼ erzeugende Funktion der Legendre-Polynome
Φ(r, 0) =
q
r2 + r02 − 2r r0 cos α
1/2
=q
∞
l
X
rmin
Pl (cos α)
rl+1
l=0 max
mit rmin = min(r, r0 ), rmax = max(r, r0 )
−→
Koeffizientenvergleich
al , bl
∞
l
X
rmin
Φ(r, Θ) = q
Pl (cos α)Pl (cos Θ)
rl+1
l=0 max
vollständige Lösung :
Entwicklung wird unbrauchbar für r ' r0 , aber für r r0 (mit P1 (x) = x)
q
r0
r02
Φ(r, Θ) =
1 + cos α cos Θ + O( 2 )
r
r
r
−→
II.3
Beispiel für
Multipolentwicklung
geg.: Ladungsverteilung ρ(~r) in endlichem Volumen
~ r) in großer Entfernung von der Ladungsverteilung
gesucht: Φ(~r), E(~
−→
0
Φ(~r) r→∞
Z
ρ(~r 0 )
Φ(~r) = d3 r 0
|~r − ~r 0 |
Randbedg.:
−→
|~r − ~r 0 | = r |~n −
~r 0
|,
r
~n =
~r
r
Entwicklung des Nenners nach Potenzen von ~r 0 /r (für r > r0 ) mit Hilfe von (kart. Koord.)
2ni x0i 1/2
x0 x0
|~r − ~r 0 | = r 1 + i 2 i −
r
r
1
|~r − ~r 0 |
=
=
ni x0i 3 4ni nj x0i x0j
x0i x0i
03 3
1+
+
− 2 + O[x /r ]
r
8
r2
2r
1
ni x0i
1
1+
+ 2 3ni nj x0i x0j − x0i x0i + O[x03 /r3 ]
r
r
2r
1
r
Multipolentwicklung :
Φ(~r) =
ni nj Qij
q
~n · d~
+ 2 +
+ O(1/r4 )
3
r
r
2r
| {z } | {z }
Dipol
25
Quadrupol
kartesische Multipolmomente
Z
q = d3 r ρ(~r)
Z
~
d = d3 r ~r ρ(~r)
Z
Qij = d3 r ρ(~r)(3xi xj − r2 δij ) ,
Ladung
Dipolmoment
Quadrupolmomenttensor
Qii = 0, Qji = Qij
Anzahl der unabhängigen Kenngrößen:
q
d~
1
l=0
3
l=1
Qij
5
l=2
allgemein
2l + 1
l
direkt zu sehen in der sphärischen Darstellung mit Additionstheorem für Kugelfunktionen
Pl (cos α) =
l
4π X ∗
Ylm (Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ)
2l + 1
m=−l
r > r0
−→
1
|~r − ~r 0 |
−→
=
X 4π r0l
Y ∗ (Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ)
2l + 1 rl+1 lm
l,m
Φ(~r) =
∞ X
l
X
l=0 m=−l
Z
sphärische Multipolmomente:
qlm =
4π qlm
Ylm (Θ, ϕ)
2l + 1 rl+1
∗
d3 r ρ(~r)rl Ylm
(Θ, ϕ)
offensichtlich 2l + 1 Kenngrößen
Dimension: [qlm ] = e cml
Anwendung: in großer Entfernung von der Ladungsverteilung meist wenige Terme in der
Multipolentwicklung bereits gute Näherung
kugelsymmetrische Ladungsverteilung ρ(r)
Z
qlm =
∗
d3 rρ(r)rl Ylm
(Θ, ϕ) =
Z
∞
dr r2+l ρ(r)
0
√
= δl0 δm0 4π
Z
∞
0
−→
Z
√
∗
dΩ Ylm
(Θ, ϕ) Y00 4π
| {z }
1
q
dr r2 ρ(r) = δl0 δm0 √
4π
q
q
Φ(~r) = 4π √
Y00 =
r
4π r
26
Multipolmomente für l > 0: Maß für Abweichung von der Rotationssymmetrie
r
r
3
3
q
∗
q00 = √
, q10 =
dz , q11 = −
(dx − i dy ) , . . .
ql,−m = qlm
4π
8π
4π
Abhängigkeit vom Bezugssystem
Multipolmomente i.a. abhängig vom Bezugssystem
Dipolmoment
~r0 = ~r + ~a
Z
Z
d~0 = d3 r0~r0 ρ0 (~r0 ) = d3 r(~r + ~a)ρ0 (~r + ~a)
Z
Z
3
= d r ~rρ(~r) + ~a d3 rρ(~r)
= d~ + q ~a
−→
nur für insgesamt neutrales Objekt ist Dipolmoment unabhängig von Wahl
des Ursprungs
allgemein (ohne Beweis): das niedrigste nicht verschwindende Multipolmoment ist
unabhängig von Wahl des Bezugssystems
Ladung q 6= 0
−→
i.a. nur Ladung unabhängig vom Bezugssystem
Beispiele für elektrische Dipolmomente von Molekülen
~ in e cm
|d|
H2 O
Wasser
0.4 · 10−8
N H3
Ammoniak
0.3 · 10−8
elektrischer Dipol (für q = 0)
d~ =
Z
d3 r ~r ρ(~r)
−→
zeigt in Richtung des positiven Ladungsüberschusses
ΦD (~r) =
~n · d~ ~r · d~
= 3
r2
r
welche Ladungsverteilung ergibt ein reines Dipolfeld?
ρ(~r) =
i
d h (3)
δ (~r − a~e3 ) − δ (3) (~r + a~e3 )
2a
d = 2aq0
−→
27
q = q0 − q0 = 0 ,
d~ = d ~e3
betrachten Limes a → 0:
i
d h (3)
∂
~ (3) (~r)
ρ(~r) = lim
δ (~r − a~e3 ) − δ (3) (~r + a~e3 ) = −d δ (3) (~r) = −d~ · ∇δ
a→0 2a
∂z
Z
Z
~ 0 δ (3) (~r 0 )
ρ(~r 0 )
d~ · ∇
Φ(~r) =
d3 r0
=
−
d3 r0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |
Z
Z
(3) r 0 )
1
3 0 (3) 0 ~ ~ 0
3 0 δ (~
~
~
=
d r δ (~r )d · ∇
=
−
d
·
∇
d
r
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
~
~ 1 = ~r · d
= −d~ · ∇
r
r3
Punktmultipole: Ladungsdichte enthält Ableitungen der δ-Funktion
natürlich genauso Idealisierung wie Punktladung selbst
elektrisches Dipolfeld:
~
~
~ D (~r) = −∇Φ
~ D (~r) = −∇
~ ~r · d = − d + 3 ~r ~r · d~
E
r3
r3
r5
1
~ r − r2 d~
=
3(~r · d)~
(r =
6 0)
r5
Quadrupolmoment
symmetrischer Tensor: Qji = Qij
−→
durch Hauptachsentransformation auf
Diagonalform (stets angenommen, insbesondere für q 6= 0)
−→
wegen Qii = tr Q = 0
durch 2 Diagonalelemente charakterisiert
Spezialfall: Ladungsdichte zylindersymmetrisch
−→
ρ = ρ(z, x2 + y 2 )
nur eine unabhängige Kenngröße = das Quadrupolmoment
am besten in sphärischer Basis:
Z
Z
3
l ∗
∗
qlm = d r ρ(~r)r Ylm (Θ, ϕ) = dr dΘ dϕ r2+l sin Θ ρ(r cos Θ, r2 sin2 Θ) Ylm
(Θ, ϕ)
da keine ϕ-Abhängigkeit des Integranden
r
Z
qlm = δm0 2π
−→
l=2:
dr dΘ sin Θ r
2+l
2
2
ρ(r cos Θ, r sin Θ)
ql0
2l + 1
Pl (cos Θ)
4π
ist das l-te Multipolmoment
r Z
r
Z
5
5
3
2
q20 =
d r ρ(~r)r P2 (cos Θ) =
d3 r ρ(~r)r2 (3 cos2 Θ − 1)
4π
16π
r
r
Z
5
5
3
2
2
=
d r ρ(~r)(3z − r ) =
Q33
16π
16π
28
für positiven Ladungsüberschuss
q20 > 0
q20 < 0
Energie einer Ladungsverteilung im äußeren Feld
elektrostatische potenzielle Energie
Punktladung
U (~rq ) = qΦext (~rq )
Z
U = d3 r ρ(~r)Φext (~r)
allgemein
Vor.:
ρ(~r) sei um ~r0 konzentriert
~r = ~r0 + ξ~
Entwicklung in ξ:
2
~ = Φext (~r0 ) + ξi ∂Φext |ξ=0 + 1 ξi ξj ∂ Φext |ξ=0 + . . .
Φext (~r) = Φext (~r0 + ξ)
∂xi
2
∂xi ∂xj
∂2Φ
∂Φext
1
ext
= Φext (~r0 ) + ξi
|ξ=0 +
3ξi ξj − ξ~2 δij
|ξ=0 + . . .
∂xi
6
∂xi ∂xj
∂ 2 Φext
= ∆Φext = 0 im betrachteten Volumen
∂xi ∂xj
Z
Z
3
~ ext (~r0 + ξ)
~
=
d r ρ(~r) Φext (~r) = d3 ξ ρ(~r0 + ξ)Φ
dabei benützt:
U
δij
Z
= qΦext (~r0 ) +
mit
−→
~ i
d3 ξ ρ0 (ξ)ξ
∂Φext
|ξ=0 +
∂xi
Z
2
~ 1 (3ξi ξj − ξ~2 δij ) ∂ Φext |ξ=0 + . . .
d3 ξ ρ0 (ξ)
6
∂xi ∂xj
∂Φext
|ξ=0 = −Eext,i (~r0 )
∂xi
~ ext (~r0 ) − 1 Qij ∂Eext,j (~r0 ) + . . .
U = qΦext (~r0 ) − d~ · E
6
∂xi
~ Qij , . . . sind Multipolmomente mit Ursprung des Koordinatensystems bei ~r0
Bem.: d,
Kraft des äußeren Feldes auf Ladungsverteilung:
~ r) = −∇U
~ (~r) = q E
~ ext (~r) + (d~ · ∇)
~ E
~ ext (~r) + . . .
K(~
wegen (die letzten 3 Terme verschwinden alle)
~ d~ · E)
~ = (d~ · ∇)
~ E
~ + (E
~ · ∇)
~ d~ + d~ × rot E
~ +E
~ × rot d~
∇(
29
~ ext hängt auch vom Winkel zwischen d~ und E
~ ext ab
UD = −d~ · E
Dipolpotenzial
UD = −d Eext cos Θ
verallgem. Kraft
−→
−
∂U
∂Θ
~ | = |d Eext sin Θ|
Drehmoment |N
~ ⊥E
~ ext , d~
N
explizite Rechnung:
~ = d~ × E
~ ext
N
~ ext
Drehmoment versucht, Dipol in energetisch günstigste Lage zu drehen, wo d~ || E
~ ext zeigt von + nach −
Grund: E
d~ in Richtung positiver Ladungsüberschuss
−→
Dipol stellt sich parallel zum äußeren Feld ein
30
III
Magnetostatik
keine Statik im engeren Sinn: Magnetfeld hängt mit Bewegung geladener Teilchen zusammen
Vor.:
stationäre Stromdichte ~j(~r)
~ r)
zusammen mit zeitunabhängigem Magnetfeld B(~
Maxwell-Gleichungen der Magnetostatik
~ ×B
~ = 4π ~j
∇
c
~B
~ =0
∇
Lorentz-Kraft:
~L =
K
Z
1~
~
~
d r ρ(~r)E(~r) + j(~r) × B(~r)
c
3
integrale Form der Maxwell-G.:
H
~
Zirkulation ZB = C d~r · B
Z
Z
~ = 4π
ZB =
dF~ · rot B
dF~ · ~j
c F
F
4π
ZB =
IF
c
Satz von Ampère
III.1
~B
~ =0
∇
magnetischer Fluss
Z
Z
~
~
~B
~ =0
ΦB =
dF · B =
d3 r ∇
∂V
V
keine magnetischen Ladungen −→
~
gleich viele B-Feldlinien
in und aus V →
magnetische Feldlinien stets geschlossen
Vektorpotenzial und Magnetfeld
~ r) mit B(~
~ r) =rot A(~
~ r)
∃ A(~
−→
Vektorpotenzial
~ r)
A(~
(analog zum skalaren Potenzial Φ(~r))
nicht eindeutig bestimmt bei geg. Magnetfeld
Eichtransformation
−→
mit beliebigem Skalarfeld Λ(~r)
~ 0 (~r) = A(~
~ r) + ∇
~ Λ(~r)
A
−→
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~
∇
Eichinvarianz: in klass. Elektrodynamik vor allem zur Vereinfachung der Gleichungen
durch günstige Wahl von Λ(~r)
QED:
quantisiertes elektromagnetisches Feld
31
∼
~
Potenziale Φ, A
~ ×B
~ = 4π ~j
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ A)
~ − ∆A
~ = 4π ~j
∇
−→
∇
c
c
sinnvolle Wahl der Eichung:
Coulomb-Eichung:
~A
~=0
∇
−→
~=−
∆A
~ ~j = 0
Bem.: ∇
4π ~
j
c
verträglich mit Coulomb-Eichung
Lösung der 3 Poisson-Gleichungen analog zur Elektrostatik (wenn Integral ∃)
~ r) = 1
A(~
c
−→
Z
d3 r0
~j(~r 0 )
|~r − ~r 0 |
~ r)
spezielle Lösung für B(~
~ r) =
B(~
analog
~ r) =
E(~
1
c
Z
Z
d3 r0
d3 r0
~j(~r 0 ) × (~r − ~r 0 )
|~r − ~r 0 |3
ρ(~r 0 )(~r − ~r 0 )
|~r − ~r 0 |3
Randwertproblem der Magnetostatik
~ s erfüllt auch B
~ =B
~ s + ∇Ψ
~ die Maxwell-G. ∇
~ ×B
~ = 4π ~j
mit obiger spezieller Lösung B
c
außerdem
~B
~ =∇
~B
~ s + ∆Ψ = ∆Ψ = 0
∇
mathematisch völlig äquivalent zur Elektrostatik:
Laplace-Gleichung
∆Ψ = 0 mit geeigneten Randbedingungen
~ i.a. in einen Leiter eindringen
physikalisch komplexer: z.B. kann B
~ tangential an Oberfläche −→ Neumannsche Randbedingung an Ψ
Spezialfall Supraleiter: B
stromführender Draht
häufiger Fall:
vernachlässigbarer Querschnitt F1 , F2
Vor.: Stromstärke überall im Draht gleich groß
Z
Z
~
~
I=
dF · j =
dF~ · ~j
F1
F2
Draht durch Kurve ~r 0 (τ ) beschrieben
−→
für beliebige Funktion f (~r 0 )
Z
Z
Z
d3 r0~j(~r 0 )f (~r 0 ) =
dF~ · ~j d~r 0 (τ )f (~r 0 (τ ))
Z
= I
d~r 0 (τ )f (~r 0 (τ )) = I
32
Z
dτ
d~r 0
f (~r 0 (τ ))
dτ
speziell für Vektorpotenzial
I d~r 0 (τ )
c |~r − ~r 0 (τ )|
~ r) =
dA(~
oder direkt für das von einem Draht erzeugte Magnetfeld
Z
I
~r − ~r 0 (τ )
~
B(~r) =
d~r 0 (τ ) ×
c
|~r − ~r 0 (τ )|3
Biot − Savart
Anwendung: (unendlich) langer gerader von Strom I durchflossener Draht
mögliche Parametrisierung (Zylinderkoord.):
~r 0 (τ ) = ~ez ρ tan τ
−→
d tan τ
ρ
dτ =
~ez dτ
dτ
cos2 τ
~ez × (~r − ~r 0 )
−→
d~r 0 = ρ ~ez
~ nur in ϕ-Richtung: B
~ = B~eϕ
B
Berechnung des Integrals
−→
Übungen
Symmetrieüberlegung mit Satz von Ampère:
keine z, ϕ-Abhängigkeit von B
−→
~ r) = B(ρ) ~eϕ
B(~
Zirkulation um Kreis mit Radius ρ
I
Z
~ =
ZB =
d~r · B
Kreis
Z
=
2π
~ = 2π ρ B(ρ)
ρdϕ~eϕ · B
0
~ × B)
~ =
dF~ · (∇
4π
I
c
−→
~ = 2I ~eϕ
B
cρ
Feldlinien: konzentrische Kreise
Rechte-Hand-Regel:
Daumen in Stromrichtung
~ in Fingerrichtung
B
Strom von unten nach oben
Kraft zwischen zwei parallelen (unendlich langen) Drähten
Kraft auf Drahtstück dl1 :
kein Beitrag von Draht 1 (Biot-Savart)
nur Magnetfeld von Draht 2 relevant
~ 1 = d3 r1 1~j1 × B
~ = I1 d~l1 × B
~
dK
c
c
~ 1 = 2I1 I2 d~l1 × ~eϕ
dK
c2 d
33
I1 I2 > 0 (< 0): Anziehung (Abstoßung)
p
p
IG kC,G = ISI kC,SI
SI-System:
Betrag
−→
~ 1|
2|I1 I2 |
d|K
=
dl1
c2 d
r
µ0
IG = c
ISI
4π
~ 1|
2|I1 I2 | µ0
d|K
=
dl1
d 4π
daher im SI-System:
Definition des Ampère: 2 parallele Ströme mit I1 = I2 = 1 A in d = 1 m Entfernung üben
eine Kraft/Länge von 2 · 10−7 N/m aufeinander aus
−→
legt µ0 fest:
kg m
µ0
N
= 10−7 2 = 10−7 2
4π
A
C
Magnetfeld einer (unendlich langen) dicht gewickelten Spule
bel. Querschnitt, dichte Wicklung: N/l Windungen pro Länge
Beh.: Lösung der Maxwell-G.
Bx = By = 0

 4πIN
Bz =
cl
 0
innen
außen
~B
~ = 0, ∇
~ ×B
~ =0
offenbar innen und außen: ∇
~E
~ = 4π ρ):
Randbedingung an Oberfläche (vgl. Elektrostatik mit ∇
~B
~ =0
∇
~ stetig an Oberfläche (trivial erfüllt)
Normalkomponente von B
−→
~ ×B
~ = 4π ~j
∇
c
−→
Satz von Ampère muss noch an der Oberfläche verifiziert werden
Strom in die (Papier-, Tafel-)Ebene hinein
geschlossener Weg im Uhrzeigersinn (dF~ || ~j)
ZB =
H
~ = 4π N I
d~r · B
c
4πIN
= l Bzinnen − Bzaußen = l
cl
Zusammenfassung: Magnetfeld einer dicht gewickelten Spule verschwindet im Außenraum
~ im Inneren zeigt in Richtung der Spulenachse
(außer bei Spulenenden), B
4πIN
(rechte-Hand-Regel!) mit konstantem B =
cl
III.2
Multipolentwicklung
lokalisierte Stromverteilung
r > r0 ,
~n =
~r
r
34
wie in der Elektrostatik:
1
1
=
0
|~r − ~r |
r
~n · ~r 0 ni nj
1+
3x0i x0j − r0 2 δij + O[x03 /r3 ]
+
2
r
2r
Multipolentwicklung des Vektorpotenzials
~ r) = 1
A(~
c
Z
Z
Z
~j(~r 0 )
1
1
3 0~ 0
d r
=
d r j(~r ) + 2 d3 r0 (~n · ~r 0 )~j(~r 0 ) + . . .
|~r − ~r 0 |
cr
cr
3 0
~ ~j = jj
~ xj ~j(~r) = ∂ (xj ji ) = δij ji + xj ∇
∇
|{z}
∂xi
Nebenrechnung:
0
für bel. (differenzierbare) Funktion f (~r):
Z
Z
Z
3 ~
3
~ (~r)
~
d r∇ xj j(~r) f (~r) = d r jj (~r) f (~r) = − d3 r xj~j(~r) · ∇f
im letzten Schritt part. Integration: kein Oberflächenterm wegen lokalisiertem ~j
Z
i. f (~r) = 1
−→
d3 r ~j(~r) = 0
←
keine magnetischen Monopole
Grund: gleich viele positive und negative Beiträge (in jeder Richtung) für lokalisiertes ~j
ii. f (~r) = xi
Z
d3 r xi jj (~r) = −
Z
d3 r xj jk (~r)∂k xi = −
Z
d3 r xj ji (~r)
beschränken uns ab jetzt auf Dipolanteil
Z
1
1
1
~
~ × ~n = 3 µ
~ × ~r
AD (~r) = 2 d3 r0~j(~r 0 )(~n · ~r 0 ) = 2 µ
cr
r
r
mit (~a × ~b) × ~c = ~b(~a · ~c) − ~a(~b · ~c) und
Z
Z
Z
h
i
nj
1
3 0
0
0
3 0
0
d r j i nj xj =
d r (ji xj − jj xi ) =
d3 r0 (~r 0 × ~j) × ~n
2
2
i
Def.: magnetisches Dipolmoment der Stromdichte ~j (unabhängig vom Bezugssystem!)
Z
1
µ
~=
d3 r ~r × ~j(~r)
2c
Vergleich
magnetischer
Dipol
~ × ~r
~ D (~r) = µ
A
r3
~ D (~r) = ∇
~ ×A
~ D = 1 3(~
B
µ · ~r)~r − r2 µ
~
5
r
~ (3) (~r)
~jD = −c µ
~ × ∇δ
elektrischer
ΦD (~r) =
(r > 0)
Punktdipol
35
~D:
E
d~ · ~r
r3
µ
~ −→ d~
~ (3) (~r)
ρD = −d~ · ∇δ
~ in 1. Näherung
Folgerung: in großer Entfernung von lokalisierter Stromverteilung ist B
ein Dipolfeld
Beispiele: Kompass, Drahtschleife, Erde, . . .
Drahtschleife
Z
1
µ
~=
d3 r ~r × ~j(~r)
2c
I
I
=−
d~r × ~r
2c
Rechtsschraube: µ
~ || ~ez für
~j entgegen Uhrzeigersinn
1
mit Flächensatz dF = |~r × d~r|
2
I
µ
~ = ~ez |
2c
I
I
F ~ez
c
d~r × ~r| =
Energie einer Stromverteilung im äußeren Magnetfeld
ähnlich wie im elektrischen Fall
~ ext
Lorentz-Kraft auf Stromverteilung durch B
~ r0 ) =
K(~
=
Z
1
~ ×B
~
~ ext (~r0 + ξ)
d3 ξ ~j(ξ)
c
Z
Z
1
1
3 ~ ~
~ × (ξ~ · ∇
~
~ 0 )B
~ ext (~r0 ) + . . .
d ξ j(ξ) ×Bext (~r0 ) +
d3 ξ ~j(ξ)
c
c
| {z }
0
betrachten wieder nur Dipolanteil: nach einigen Umformungen
~ D (~r) = ∇
~ µ
~ ext (~r)
K
~ ·B
und daher potenzielle Energie (gemeinsam mit elektrischem Anteil) einer Strom- und Ladungsverteilung in der Dipolnäherung
~ ext (~r) − d~ · E
~ ext (~r)
UD (~r) = −~
µ·B
ebenfalls analog zur Elektrostatik
~ =µ
~ ext
N
~ ×B
Drehmoment
~ ext
dreht µ
~ in Richtung von B
−→
Kompass
36
Punktladungen mit Massen ma , Ladungen qa , Trajektorien ~ra (t) (a = 1, . . . , N )
in diesem Abschnitt beliebige Zeitabhängigkeit
X
Stromdichte ~j(t, ~r) =
qa~r˙a (t)δ (3) (~r − ~ra (t))
a
Impulsdichte p~(t, ~r) =
X
ma~r˙a (t)δ (3) (~r − ~ra (t))
a
−→
P~ =
Gesamtimpuls
Z
d3 r p~ =
X
ma~r˙a
a
magnetisches (Dipol-)Moment
Z
1
µ
~=
d3 r ~r × ~j
2c
Drehimpuls
Z
~ = d3 r ~r × p~
L
Spezialfall: alle Teilchen gleiches Verhältnis qa /ma =: q/m
−→
−→
~j =
q X
q
ma~r˙a (t)δ (3) (~r − ~ra (t)) = p~
m a
m
µ
~ =
q ~
L
2mc
q
: gyromagnetisches Verhältnis
2mc
QM, QFT: selbst für einzelnes Teilchen Relation modifiziert
Γ=
~
für freies Teilchen mit Spin-Vektor(-Operator) S
µ
~ =g
q ~
S
2mc
(Landé − Faktor g)
Elektron: Spin 1/2 (in Einheiten von ~)
−→
Dirac-Gleichung:
µe =
ge = 2
ge
µB
2
(µB =
e~
Bohrsches Magneton)
2me c
(wie für alle Fermionen, also Teilchen mit halbzahligem Spin)
QFT (QED): weitere Korrekturen
ge
α
=1+
+ O(α2 )
2
2π
Korrekturen bis zur Ordnung α4 bekannt
eine der am genauesten gemessenen und berechneten Größen der Physik
wird heute zur Bestimmung der Feinstrukturkonstante α herangezogen
Schwinger (1948):
Bewegung im konstanten Magnetfeld
Lagrangefunktion eines geladenen Punktteilchens im äußeren elektromagnetischen Feld
L=
m˙ 2
q~
~r(t) − qΦ(t, ~r(t)) + A(t,
~r(t)) · ~r˙ (t)
2
c
37
~ r) ohne explizite Zeitabhängigkeit betrachtet
gilt allgemein, hier für Potenziale Φ(~r), A(~
Euler-Lagrange:
d ∂L
∂L
=
dt ∂ ẋi
∂xi
d q ∂Aj
q ∂Φ
+
x˙j
mẋi + Ai
= −q
dt
c
∂xi
c ∂xi
∂Φ
∂Φ
q ∂Aj
∂Ai
q ˙
..
~ × A)
~
m xi = −q
+
x˙j −
x˙j = −q
+
~r × (∇
∂xi
c ∂xi
∂xj
∂xi
c
i
..
~ + q ~v × B
~ =q E
~
~ + 1 ~v × B
−→
m ~r = −q ∇Φ
Lorentz − Kraft
c
c
betrachten jetzt mehrere geladene Teilchen im konstanten Magnetfeld
Beh.: geeignetes Vektorpotenzial für konstantes Magnetfeld
Bew.:
−→
~ r) = 1 B
~ × ~r
A(~
2
1
Bl
1
(δil δjj − δij δlj ) = Bi
εijk ∇j Ak = εijk εklm Bl ∇j xm = εkij εklj Bl =
2
2
2
relevanter Term in L
X qa
X qa
1X ~
~ × ~ra ) · ~r˙a = B
~·
~
qa A(~ra (t)) · ~r˙a (t) =
(B
~ra × ~r˙a = µ
~ ·B
LB =
c a
2c
2c
a
a
~ = −UD
LB = µ
~ ·B
nicht überraschend:
mit magnetischem Dipolmoment für N Punktteilchen µ
~=
1 X
qa~ra × ~r˙a
2c a
andere Situation:
geladene Punktteilchen in einem kugelsymmetrischen Potenzial ohne Magnetfeld
L=
X ma
a
2
~r˙a2 − U (~ra )
Übergang zu gleichförmig rotierendem System mit Drehachse durch Zentrum des kugelsymmetrischen Potenzials
Bewegung im Nichtinertialsystem (T1):
(0, ~ni ) −→ (0, ~ei (t)) (i = 1, 2, 3)
~ × ~b
−→ ~r˙ = ~v + Ω
mit ~r = ~b = bi (t)~ei (t), ~v = b˙i (t)~ei (t)
~ :
~ × ~ei
Winkelgeschwindigkeit Ω
~e˙ i = Ω
L=
X ma
a
Vor.:
2
1X
~ × ~ba − U (~ba )
~r˙a2 − U (~ra ) =
ma ~va + Ω
2
2 a
qa /ma = q/m gleich für alle Teilchen
~ =
Wahl der (konstanten) Winkelgeschwindigkeit: Ω
38
q ~
B
2mc
~ 2 vernachlässigbar)
für genügend kleine Magnetfelder (d.h. B
−→
X ma
~ × ~ba ) − U (~ba ) + O(B
~ 2)
L =
~va2 + ma~va · (Ω
2
a
wobei µ
~=
'
q X
1X
~ · (~ba × ~va ) − U (~ba )
ma~va2 +
ma B
2 a
2mc a
=
X
1X
~· 1
ma~va2 + B
qa (~ba × ~va ) − U (~ba )
2 a
2c a
=
1X
~ − U (~ba )
ma~va2 + µ
~ ·B
2 a
1 X ~
qa ba × ~va magnetisches Dipolmoment im rotierenden System
2c a
Satz von Larmor
System von Ladungen mit gleichem Verhältnis qa /ma im rotationssymmetrischen Potenzial und konstantem Magnetfeld verhält sich annähernd wie ein System im selben Potenzial
~ = q B
~
(ohne Magnetfeld) in einem Koordinatensystem, das mit Winkelgeschwindigkeit Ω
2mc
gleichmäßig um das Zentrum rotiert.
q
Larmor-Frequenz: Ω =
B
2mc
39
IV
Zeitabhängige elektromagnetische Felder
Elektrizität und Magnetismus: 2. große Vereinheitlichung der Physik durch Maxwell
~ E(t,
~ ~r) = 4π ρ(t, ~r)
∇
~ B(t,
~ ~r) = 0
∇
~
~ × E(t,
~ ~r) + 1 ∂ B(t, ~r) = 0
∇
c
∂t
~
~ × B(t,
~ ~r) − 1 ∂ E(t, ~r) = 4π ~j(t, ~r)
∇
c
∂t
c
~ ~r) so eingeführt, dass homogene MG identisch erfüllt sind
Idee: Potenziale Φ(t, ~r), A(t,
~ r)
∃A(t,~
−→
~ B(t,
~ ~r) = 0
∇
~ ~r) = ∇
~ × A(t,
~ ~r)
B(t,
~
~
~ ×E
~ + 1∇
~ × ∂A = ∇
~ ×
~ ×E
~ + 1 ∂B = ∇
∇
c ∂t
c
∂t
−→
~
~ + 1 ∂A
E
c ∂t
!
=0
~ ~r)
1 ∂ A(t,
~ ~r) = −∇Φ(t,
~
E(t,
~r) −
c ∂t
∃ Φ(t, ~r) :
~ B
~ auf 4 Felder Φ, A
~ reduziert
damit Problem von 6 Feldern E,
Eichinvarianz: für beliebiges (differenzierbares) Skalarfeld Λ(t, ~r) mit
~ 0 (t, ~r) = A(t,
~ ~r) + ∇Λ(t,
~
A
~r)
Φ0 (t, ~r) = Φ(t, ~r) −
1 ∂Λ(t, ~r)
c ∂t
gilt
~0 = ∇
~ ×A
~0 = ∇
~ ×A
~=B
~
B
~0
~ + 1∇
~ ∂Λ − 1 ∂ ∇Λ
~ =E
~
~ 0 = −∇Φ
~ 0 − 1 ∂A = E
E
c ∂t
c ∂t
c ∂t
~ B
~ bleiben bei Eichtransformationen ungeändert
Folgerung: physikalische (messbare) Felder E,
kann zur Vereinfachung der MG verwendet werden
−→
tatsächlich nur mehr 3 unabhängige Felder zu bestimmen
IV.1
Energie- und Impulsbilanz
betrachten System von Ladungen (Ladungs-, Stromdichten) und elektromagnetische Felder
Vermutung:
Bewegungsenergie (Impuls) der Materie
dEMat(erie) =
X
~ L (~ra ) · d~ra =
K
a
−→
für allg. Stromdichte:
X
a
qa
⇔
~ + 1 ~r˙a × B
~
E
c
dEMat
=
dt
Z
40
Feldenergie (-impuls)
· ~r˙a dt =
~ ~r)
d3 r ~j(t, ~r) · E(t,
X
a
~ dt
qa ~r˙a · E
~
~ · ∂B − E
~ E
~ × B)
~ =B
~ · (∇
~ × E)
~ −E
~ · (∇
~ × B)
~ = −1B
~ · (∇
~ × B)
~
mit ∇(
c
∂t
!
~
∂
E
c
1
~ = E
~·
~ ×B
~−
~j · E
∇
4π
4π ∂t
−→
~
~
c ~ ~
~ − 1 B
~ · ∂B − 1 E
~ · ∂E
∇(E × B)
4π
4π
∂t
4π
∂t
c ~ ~
~ − 1 ∂ E
~2 + B
~2
= − ∇(
E × B)
4π
8π ∂t
Z
Z
dEMat
1
c
3 ∂
2
2
~
~
~ E
~ × B)
~ =0
−→
+
d r
E +B +
d3 r ∇(
dt
8π
∂t
4π
1 ~2
1 ~ 2 ~ 2
(Verallgemeinerung von η =
E +B
Energiedichte:
uem =
E )
8π
8π
~ ×B
~
~= c E
Energiestromdichte (Poynting-Vektor): S
4π
= −
Energiebilanz (bei festgehaltenem V )
Z
Z
d
dEMat (t)
3
~ ~r) = 0
+
d r uem (t, ~r) +
dF~ · S(t,
dt
dt V
∂V
Dimensionen:
~ = Energie/(Fläche x Zeit)
[S]
~ 2 ] = Impuls/Volumen (Impulsdichte des elm. Feldes → nächste Seite)
[S/c
Vor.: alle Ladungen und Felder in V (z.B. gesamter Raum)
−→
Energieerhaltung im abgeschlossenen System
d
(EMat + Eem ) = 0
dt
Z
Eem (t) =
d3 r uem (t, ~r)
Gesamtenergie des elm. Feldes
Materie im endlichen Volumen:
Energieänderung i.a. durch Energiefluss des Feldes (Poynting-Vektor) kompensiert
analoge Überlegung für Impulsbilanz:
Z
dP~Mat (t)
3
~ ~r) +
= d r ρ(t, ~r)E(t,
dt
Übungen: Einsetzen von ρ =
~
~j
1 ~
~ − 1 ∂E
=
∇×B
c
4π
4πc ∂t
Z
Z
∂Tij
d
Si
+
d3 r 2 =
d3 r
dt V
c
∂xj
V
1 ~~
∇E,
4π
dPMat,i
dt
1~
~
j(t, ~r) × B(t, ~r)
c
41
−→
Maxwellscher Spannungstensor (analog Spannungstensor der Kontinuumsmechanik):
Tij = Tji =
i
1 h
~2 + B
~ 2 /2
Ei Ej + Bi Bj − δij E
4π
Impuls des elm. Feldes:
Z
~ 2
P~em = d3 r S/c
−→
Tii = −uem
( Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit“)
”
Impulsbilanz
Z
d
dFj Tij
(PMat + Pem )i =
dt
∂V
rechte Seite: Kraft auf Oberfläche des Volumens
(s. Kontinuumsmechanik)
für abgeschlossenes System:
d ~
PMat + P~em = 0
dt
Impulserhaltung
~ B
~
Energie- und Impulsbilanz: Hinweis auf Eigenständigkeit von E,
nicht offensichtlich in klassischer Elektrodynamik
QFT: Materie und Strahlung durch Quantenfelder beschrieben, allerdings
Materie = massive Quarks und Leptonen (Spin 1/2)
Strahlung = masselose Photonen (Spin 1)
IV.2
Induktionsgesetz
unabhängig von Ladungs- und Stromdichten
~
~ × E(t,
~ ~r) + 1 ∂ B(t, ~r) = 0
∇
c
∂t
Drahtschleife im Magnetfeld
magnetischer Fluss
Z
~ ~r)
ΦB (t) =
dF~ · B(t,
F (t)
Änderung von ΦB (t):
~
dF
∂B
6= 0 und
6= 0
∂t
dt
Veranschaulichung in einer Raumdimension:
d
dt
Z
g2 (t)
Z
g2 (t)
dx f (t, x) =
g1 (t)
dx
g1 (t)
∂f (t, x)
+ ġ2 (t) f (t, g2 (t)) − ġ1 (t) f (t, g1 (t))
∂t
42
für aktuellen Fall
dΦB (t)
dt
1
= lim
∆t→0 ∆t
(Z
~ + ∆t, ~r) −
dF~ · B(t
~ ~r)
dF~ · B(t,
F (t)
F (t+∆t)
~ ~r)
∂ B(t,
1
dF~ ·
+ lim
∆t→0
∂t
∆t
F (t)
Z
=
)
Z
Z
~ ~r)
dF~ · B(t,
F (t+∆t)−F (t)
Volumen zwischen 2 Flächen (Gauß):
Z
~B
~ =
d3 r ∇
0=
V
Z
~−
dF~ · B
Z
F (t+∆t)
Folgerung:
1
lim
∆t→0 ∆t
dΦB (t)
dt
Z
~ =−
dF~ · B
F (t+∆t)−F (t)
~
∂B
dF~ ·
−
∂t
F (t)
I
= −c
∂F
I
−→
−→
F (t)
~
d~r · (~v × B)
∂F
mit
elektromotorische Kraft (EMK) = induzierte Spannung:
wenn Leiter vorhanden
~
(d~r × ~v ∆t) · B
~
d~r · (~v × B)
~v
~
~
d~r · E + × B
c
N.B.: weder ρ noch ~j kommen vor
I
∂F
Z
=
I
~+
dF~ · B
H
~
∂B
~ ×E
~
= −c ∇
∂t
~+
d~r · (E
~v
~
× B)
c
EMK auch im Vakuum erzeugt
Strom induziert
in meisten Fällen gute Näherung (∼ Reibungskraft auf Ladungsträger im Festkörper)
~ + ~v × B
~
~j = σ E
Ohmsches Gesetz
c
mit Leitfähigkeit σ
EMK = V12
1
=
σ
Z
1
2
IL
d~r · ~j =
σQ
wobei L die Länge und Q der (kleine) Querschnitt des Leiters sind
Folgerung:
EMK = I R
mit
R=
L
σQ
Leitfähigkeit stark temperaturabhängig
43
Ohmscher Widerstand
Material
1
(in Ω m)
σ
bei 20◦ C
Ag
Cu
Fe
Si
Glas
1.6 · 10−8
1.7 · 10−8
9.7 · 10−8
20
1010÷14
Halbleiter
Isolator
Leiter
spezifischer elektrischer Widerstand (Resistivität):
SI-Einheiten:
1
Q
= R
σ
L
1 Ω = 1 V/1 A
Lenzsche Regel (← Energieerhaltung)
IR=−
1d
c dt
Z
~
dF~ · B
~
∂B
>0
∂t
−→ I < 0 (math. neg. Sinn) −→
~ ind nach unten (Rechtsschraube!)
erzeugt B
Schleife festgehalten,
−→
~
wirkt ∂ B/∂t
entgegen
Folgerung: durch Induktion erzeugte Kraft, bzw. Magnetfeld versucht, verursachende
Bewegung zu hemmen (−→ Wirbelstrombremse), bzw. verursachendes Magnetfeld
zu schwächen (−→ Diamagnetismus)
IV.3
Allgemeine Lösung der Maxwell-Gleichungen
~ ~r), B(t,
~ ~r) zu berechnen bei geg. ρ(t, ~r), ~j(t, ~r)
Aufgabe: E(t,
~ ~r)
benützen dazu die Potenziale Φ(t, ~r), A(t,
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂A ,
E
c ∂t
homogene MG automatisch erfüllt
−→
~E
~ = 4πρ
∇
mit
−→
~ =∇
~ ×A
~
B
nur mehr inhomogene MG zu lösen
−∆Φ −
1∂ ~ ~
(∇A) = 4πρ
c ∂t
~ × (∇
~ × A)
~ = −∆A
~ + ∇(
~ ∇
~ A)
~
∇
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
−→
2~
~ + ∇(
~ ∇
~ A)
~ + 1∇
~ ∂Φ + 1 ∂ A = 4π ~j
−∆A
c ∂t
c2 ∂t2
c
2
~
1 ∂ A
~+∇
~ ∇
~A
~ + 1 ∂Φ = 4π ~j
− ∆A
2
2
c ∂t
c ∂t
c
−→
~
4 gekoppelte lineare partielle Diffgl. 2. Ordnung für Φ, A
Vereinfachung durch geschickte Wahl der Eichung
~ kann Eichfunktion Λ(t, ~r) stets so gewählt werden, dass
Beh. (→ Übungen): bei geg. Φ, A
nach einer Eichtransformation
1 ∂Λ
~0 = A
~ + ∇Λ
~
A
Φ0 = Φ −
c ∂t
44
0
~A
~ 0 + 1 ∂Φ = 0
∇
Lorenz − Eichung
c ∂t
Verallgemeinerung der Coulomb-Eichung im zeitabhängigen Fall
−→
inhomogene Wellengleichungen
~
1 ∂2A
~ = 4π ~j
− ∆A
2
2
c ∂t
c
~ = 4π ~j
2A
c
1 ∂2Φ
− ∆Φ = 4πρ ,
c2 ∂t2
2 Φ = 4πρ ,
−→
~ (durch Lorenz-Eichung verbunden!)
4 entkoppelte lineare part. Diffgl. für Φ, A
allg. Lösung einer inhomogenen linearen Diffgl.:
Φ(t, ~r)
=
Φs (t, ~r) + Φh (t, ~r)
2 Φs = 4πρ ,
2 Φh = 0
~
bekanntes Rezept (völlig analog für A):
eine spezielle Lösung Φs plus allgemeine Lösung Φh
Standardmethode: Φs mit Greenfunktion berechnen
Berechnung der Greenfunktion: Fourier-Transformation für Φ(t, ~r), ρ(t, ~r) in t
(Vor.:
Z
∞
Φ, ρ ∈ L1 (−∞, ∞))
Z
dω Φ̃(ω, ~r)eiωt
Φ(t, ~r) =
dω ρ̃(ω, ~r)eiωt
−∞
−∞
2 Φ = 4πρ
∞
ρ(t, ~r) =
Z ∞
∞
ω2
iωt
dω − 2 − ∆ Φ̃(ω, ~r)e
= 4π
dω ρ̃(ω, ~r)eiωt
c
−∞
−∞
Z
−→
Umkehrung der Fourier-T.
ω2
∆ + 2 Φ̃(ω, ~r) = −4π ρ̃(ω, ~r)
c
Helmholtz − Gleichung
Greenfunktion der Helmholtz-G. (← Übungen)
(∆ + k 2 )
eikr
= −4πδ (3) (~r)
r
Z
−→
Φ̃(ω, ~r) =
GH (~r − ~r 0 ; ω) =
k = ± ω/c
d3 r0 GH (~r − ~r 0 ; ω) ρ̃(ω, ~r 0 )
ω
±i |~r − ~r 0 |
e c
|~r − ~r 0 |
45
daher spezielle Lösung für (skalares) Potenzial
Z
Φ(t, ~r) =
Z
dω
Z
av (t, ~
Φret
r) =
Z
iω t ± |~r − ~r 0 |/c
e
r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
3 0 ρ(t ± |~
d3 r0 ρ̃(ω, ~r 0 )
=
d
r
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
0
av (t − t , ~
dt0 d3 r0 Gret
r − ~r 0 ) ρ(t0 , ~r 0 )
avancierte, bzw. retardierte Greenfunktion der inhomogenen Wellengleichung
0
av (t − t , ~
Gret
r − ~r 0 ) =
δ(t − t0 ± |~r − ~r 0 |/c)
,
|~r − ~r 0 |
av (t, ~
2 Gret
r) = 4πδ(t)δ (3) (~r)
Interpretation:
zur Berechnung des Potenzials Φ(t, ~r) für geg. Raum-Zeit-Punkt (t, ~r)
Ladungsdichte ρ(t0 , ~r 0 ) ∀ (t0 , ~r 0 ) benötigt mit
t0 = t + |~r − ~r 0 |/c
t0 > t
avancierte Greenfunktion Gav
t0 = t − |~r − ~r 0 |/c
t0 < t
retardierte Greenfunktion Gret
retardiertes Potenzial
Z
Φret (t, ~r) =
d3 r0
ρ(t − |~r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
|~r − ~r 0 |
2 Φret (t, ~r) = 4πρ(t, ~r)
−→
Ladungsdichte ρ nur am
sog. Rückwärts-Lichtkegel relevant:
alle (t0 , ~r 0 ) mit t0 = t − |~r − ~r 0 |/c
vollständige Lösung:
Φ(t, ~r) = Φret (t, ~r) + Φein (t, ~r) ,
2 Φein (t, ~r) = 0
für zeitlich lokalisierte Ladungsdichte, d.h. insbesondere ρ = 0 für t < T
für t < T nur einlaufendes Feld (Potenzial):
−→
Φ(t, ~r) = Φein (t, ~r)
mathematisch völlig äquivalent: avanciertes Potenzial Φav (t, ~r) mit vollständiger Lösung
Φ(t, ~r) = Φav (t, ~r) + Φaus (t, ~r) ,
2 Φaus (t, ~r) = 0
physikalisch häufiger Φret + Φein anwendbar:
Präparation der Ladungsdichte vor Messung des Feldes
46
Huygenssches Prinzip
ρ(t, ~r) = δ(t) δ (3) (~r)
betrachten Punktquelle in Raum und Zeit:
Φret (t, ~r) =
δ(t − r/c)
r
Störung pflanzt sich konzentrisch vom Ursprung mit Geschwindigkeit c fort
−→
jeder Punkt ~r empfängt zur Zeit t = r/c ein scharfes“ Signal, vorher und nachher nichts
”
nur scheinbar offensichtlich: Huygenssches Prinzip gilt nur in ungeraden Raumdimensionen
(d ≥ 3), in geraden gibt es einen Nachhall
−→
Problematik der
Wellenwanne für Demonstration von Wellenphänomenen im Raum
retardierte Potenziale
Z
Φret (t, ~r) =
d3 r0
ρ(t − |~r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
,
|~r − ~r 0 |
~ ret (t, ~r) = 1
A
c
Z
d3 r0
~j(t − |~r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
|~r − ~r 0 |
speziell für Punktteilchen
~j(t, ~r) = q ~r˙q (t) δ (3) (~r − ~rq (t))
ρ(t, ~r) = q δ (3) (~r − ~rq (t)) ,
Berechnung für skalares Potenzial:
Z
Z
δ (3) (~r 0 − ~rq (τ ))
δ (3) (~r 0 − ~rq (tret ))
3 0
0
Φret (t, ~r) = q d3 r0
=
q
dτ
d
r
δ(τ
−
t
+
|~
r
−
~
r
|/c)
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
Z
δ(τ − t + |~r − ~rq (τ )|/c)
,
tret = t − |~r − ~r 0 |/c
= q dτ
|~r − ~rq (τ )|
Integration über τ : wenn überhaupt Lösung existiert
eindeutige Lösung von τ − t + |~r − ~rq (τ )|/c = 0
d~rq
eindeutig wegen = ~vq < c
dτ
−→
−→
τ = tret
~ ) := ~r − ~rq (τ )
Def.: R(τ
−→
R(tret ) = |~r − ~rq (tret )| = c(t − tret )
Auswertung der δ−Funktion:
da eindeutige (und einfache) Nullstelle
−→
δ(F (τ )) =
δ(τ − tret )
|Ḟ (tret )|
mit
Φret (t, ~r) =
F (τ ) = τ − t + R(τ )/c
q
R(tret ) |Ḟ (tret )|
47
−→
−→
Ḟ (τ ) = 1 + Ṙ(τ )/c
~ )2
R(τ )2 = R(τ
Ṙ(τ ) zu berechnen
~ ·R
~˙ = −2R
~ · ~r˙ q (τ ) = −2R
~ · ~vq (τ )
2R Ṙ = 2R
−→
und daher (unter Vorwegnahme, dass stets Ḟ (tret ) > 0)
~ ret ) · ~vq (tret )/c
R(tret ) |Ḟ (tret )| = R(tret ) + R(tret ) Ṙ(tret )/c = R(tret ) − R(t
Liénard-Wiechert-Potenziale
Φ(t, ~r) =
IV.4
q
~ ~r) =
A(t,
,
~ ret ) · ~vq (tret )/c
R(tret ) − R(t
q ~vq (tret )
~ ret ) · ~vq (tret )
c R(tret ) − R(t
Elektromagnetische Wellen
Maxwell-G. im Vakuum
−→
Wellengleichungen
~ ~r) = 2 B(t,
~ ~r) = 0
2 E(t,
allerdings mehr Information in MG
~ ~r) (jede Komponente ∈ L1 (−∞, ∞) in jeder Variable)
jedes vernünftige“ Vektorfeld E(t,
”
durch 4-dim. Fouriertransformation darstellbar
Z ∞
Z
~k) ei (~k · ~r − ωt)
~˜
~ ~r) =
E(t,
dω d3 k E(ω,
−∞
~ =0
2E
Z
∞
−→
~
ω2 ~ 2
˜
~
~
d k E(ω, k) − 2 + k
ei (k · ~r − ωt) = 0
c
Z
3
dω
−∞
Umkehrung der Fourier-T. (eindeutig!)
−→
ω 2 = c2 ~k 2 = c2 k 2
~k) 6= 0)
~˜
(für E(ω,
daher allgemeine Lösung als 3-dim. Fourier-Transformierte
Z
~
~ 0 (~k) ei (~k · ~r − ωt)
E(t, ~r) = d3 k E
~ 0 (~k) i.a. komplexe Vektorfunktion)
können uns auf ω = +c k beschränken (E
analog
~ ~r) =
B(t,
Z
~ 0 (~k) ei (~k · ~r − ωt)
d3 k B
Maxwell-G.
~E
~ = 0 −→ ~k · E
~ 0 (~k) = 0
∇
~
~ ×E
~ = − 1 ∂B
∇
c ∂t
~ 0 (~k) = i ω B
~ 0 (~k)
−→ i ~k × E
c
~ 0 (~k) = c ~k × E
~ 0 (~k) −→
−→ B
ω
48
~ 0 | = |B
~ 0|
|E
−→
~B
~ = 0,
∇
~
~ ×B
~ = 1 ∂E
∇
c ∂t
~ ~r) =
E(t,
Z
~ 0 (~k) ei (~k · ~r − ωt)
d3 k E
~ ~r) =
B(t,
Z
d3 k
mit
automatisch erfüllt
~k
~ 0 (~k) ei (~k · ~r − ωt)
×E
k
~k · E
~ 0 (~k) = 0
Folgerung: allg. Lösung ist (Linearität der MG!)
Überlagerung von monochromatischen ebenen Wellen
~
ei (k · ~r − ωt)
monochromatisch: durch einzigen Wellenzahlvektor ~k gekennzeichnet
zur Erinnerung: warum als ebene Wellen bezeichnet?
~
~
physikalisch realisierbare Wellen:
Re ei (k · ~r − ωt) [oder Im ei (k · ~r − ωt) ]
Fortpflanzung in Richtung ~k/k
−→
speziell für ~k = k ~ex
cos (k x − ω t) = cos k (x − c t)
Welle nach rechts mit Geschw. c
Wellen nach links: ~k = −k ~ex
allg.: Ebenen ~k · ~r =konst. pflanzen sich mit Geschwindigkeit ω/k = c in Richtung ~k/k fort
↔
Welle zerfließt nicht
ω linear in k
andere Ausdrucksweise: Welle zeigt keine Dispersion (gilt nicht mehr in Materie, s. Kap. V)
~k: Wellen(zahl)vektor,
Notation:
k = |~k|: Wellenzahl
Abstand zwischen benachbarten Maxima bei festem t:
Wellenlänge:
Kreisfrequenz:
Lichtgeschwindigkeit c
2π
k
2π c
ω = ck =
λ
Phase der Welle:
λ=
=
k ∆x = 2π
Frequenz:
−→
ϕ = ~k · ~r − ωt
c
ω
ν= =
λ
2π
Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich
Ebenen ϕ =konst. fortpflanzen
monochromatische ebene elektromagnetische Wellen (in komplexer Notation)
(
)
~k
~
~
i
(
k
·
~
r
−
ωt)
i
(
k
·
~
r
−
ωt)
~ ~r) = Re E
~0 e
~ ~r) = Re
~0 e
E(t,
,
B(t,
×E
,
k
−→
~ ⊥ ~k ,
E
~ ⊥ ~k ,
B
49
~ ⊥B
~ ,
E
~ = |B|
~
|E|
~k · E
~0 = 0
−→
~ und B
~ sind transversal polarisiert, d.h. orthogonal auf Ausbreitungsrichtung
E
Energie- und Impulsdichte
für festes ~r:
Felder oszillieren in t
−→
betrachten zeitgemittelte Größen über eine Periode T = 1/ν = 2π/ω
Z
1 T
dt A(t, ~r)
Zeitmittel der Größe A
Def.: hAi =
T 0
−→
~ = hBi
~ =0
hEi
Energie- und Impulsdichten sind aber quadratisch in den Feldern
n
o
~k · ~r − ωt)
i
(
~
~
~ 0,r + iE
~ 0,i )(cos ϕ + i sin ϕ)
E(t, ~r) = Re E0 e
= Re (E
~ 0,r cos ϕ − E
~ 0,i sin ϕ
= E
2
2
~2 = E
~ 0,r
~ 0,i
~ 0,r · E
~ 0,i sin ϕ cos ϕ
E
cos2 ϕ + E
sin2 ϕ − 2E
~ 2i = 1 E
~2 + E
~2 = 1E
~0 · E
~∗
hE
0,r
0,i
0
2
2
−→
analog
(ϕ = ~k · ~r − ωt)
1
~0 · B
~ 0∗ ) = 1 Re (E
~ 0∗ · B
~ 0)
Re (E
2
2
~ · Bi
~ =
hE
~ 0 | = |B
~ 0 |)
mittlere Energiedichte (mit |E
huem i =
1 ~2 ~2
1 ~ ~ ∗ ~ ~ ∗
1 ~ ~∗
hE + B i =
E0 · E0 + B0 · B0 =
E0 · E0
8π
16π
8π
mittlere Energiestromdichte (Poynting-Vektor)
~ =
hSi
c ~
~ = c Re (E
~0 × B
~ 0∗ )
hE × Bi
4π
8π
~
~0 × B
~∗ = E
~ 0 × (~k × E
~ ∗) 1 = k E
~0 · E
~∗
E
0
0
0
k
k
−→
−→
~ =
hSi
~k c
~
~0 · E
~ ∗ = c k huem i
E
0
k 8π
k
Welle transportiert Energie mit Lichtgeschwindigkeit c in Richtung ~k
~k huem i
~
S
i=
−→
2
c
k c
Energie-Impuls-Beziehung für masselose Teilchen (Photonen):
Impulsdichte:
h
|~
p| =
E
c
−→
spezielle Relativitätstheorie (Kap. VI)
50
Polarisation
wieder monochromatische ebene Welle betrachtet:
~k = k~ez
~ B
~ oszillieren in (x, y)−Ebene
−→
E,
~
~ da B
~ = k ×E
~
beschränken uns auf E,
k
~ 0 i.a. komplex!):
~ 2 = |E
~ 2 | e2iα
allg. Polarzerlegung (E
E
0
~ 0 e−iα = ~b1 + i ~b2 ,
E
analoge Zerlegung:
~ 2 e−2iα
E
0
0
~bi reell, ~bi ⊥ ~k
~b2 − ~b2 + 2i~b1 · ~b2 = |E
~ 2|
1
2
0
=
−→ ~b1 · ~b2 = 0 ,
Wahl der Achsen:
~ex =
~ ~r) = Re
E(t,
~b1
,
|~b1 |
~ey = ±
~b2
|~b2 |
~ 0 ei (~k · ~r − ωt)
E
allg. Fall:
~k = k ~ez
bi = |~bi |
Ey (t,~
r)
rechts polarisiert
dϕ
= −ω < 0,
dt
~ey = ~ez × ~ex )
ϕ = kz − ωt + α ,
Polarisationsellipse:
mit
(wenn ~b2 = 0 :
o
n
= Re (b1 ~ex ± i b2 ~ey ) eiϕ
= b1 cos ϕ ~ex ∓b2 sin ϕ ~ey
| {z } | {z }
Ex (t,~
r)
~b2 ≥ ~b2
1
2
Ex2 Ey2
+ 2 =1
b21
b2
links polarisiert
(aus der Zeichenebene heraus)
~ (und damit B)
~ elliptisch polarisiert
E
Spezialfälle
b2 = 0 :
b1 = b2 :
~ (B)
~ linear polarisiert
E
~ (B)
~ zirkular polarisiert
E
Linearität der MG: allg. Fall als Superposition zweier orthogonal linear pol. oder
zweier entgegengesetzt zirkular pol. Wellen darstellbar
51
N.B.: monochromatische ebene Welle ist eine Idealisierung, da
Z
huem i = konst.
−→
Energie = d3 r huem i = ∞
physikalisch realisierbar sind nur
≡
Wellenpakete
Überlagerung von monochromatischen ebenen Wellen
typisches Wellenpaket (für festes t)
räumliche Ausdehnung ∆ x ∼ l
−→
Theorie der Fourier-T.
−→
Wellenzahlbereich ∆ k & 1/l notwendig
klassische Unschärferelation:
∆x∆k & 1
Übungen: Gaußsches Wellenpaket
bis jetzt Wellen im gesamten Raum betrachtet; wesentlich kompliziertere Situation:
Wellen in durch Metallwände begrenztem Volumen
−→
endliches Volumen
Hohlraumresonator
−→
Volumen in einer Richtung unbegrenzt
Wellenleiter (z.B. Koaxialkabel)
Randbedingungen an Metalloberfläche ?
Vor.: Frequenzen nicht zu groß, d.h. Zeitabhängigkeit des Feldes nicht zu stark
−→
Idealisierung des perfekten Leiters wie in der Elektrostatik
~ tang |∂V = 0 ↔ ~n × E|
~ ∂V = 0 mit Normalenvektor ~n auf Metalloberfläche
−→ E
Magnetfeld
~˙ = −c∇
~ ×E
~
B
−→
~˙ = −c(∇
~ × E)
~ · ~n = −c∇(
~ E
~ × ~n)
~n · B
daher insgesamt Randbedingungen an Metalloberfläche ∂V
~˙ ∂V = 0
~n · B|
~ ∂V = 0 ,
~n × E|
gute Näherung für Radiofrequenzen (ν . 109 Hz), sicher nicht für UV-Frequenzen oder höher
(ν & 1016 Hz); Metalle können für sehr große Frequenzen transparent werden
rechteckiger Wellenleiter
in z−Richtung offen
rechteckiger Querschnitt:
0 ≤ x ≤ L1 , 0 ≤ y ≤ L2
im Inneren Vakuum:
~ = 2B
~ =0
2E
52
Rechteckquerschnitt erlaubt Lösung mit Separationsansatz:
Ei = fi (x) gi (y) hi (z) Ti (t)
1
2 Ei = 0
Ei
fi00 gi00 h00i
1 T 00
+
+
− 2 i =0
fi
gi
hi
c Ti
2 + k2 + k2 )
mit ωi2 = c2 (k1i
2i
3i
Folgerung:
gi00
2
= −k2i
,
gi
Ti00
= −ωi2
Ti
Lösung ist Produkt ebener Wellen, z.B. fi (x) = fi (0)e±ik1i x
fi00
2
= −k1i
,
fi
−→
−→
(i = 1, 2, 3)
h00i
2
= −k3i
,
hi
E1 : muss verschwinden für y = 0 und y = L2 (Tangentialkomponente)
n1 πy
n1 π
(n1 = 0, 1, 2, . . . ) , d.h. k21 = ±
−→
g1 (y) ∝ sin
L2
L2
m1 πx
analog für E2 :
f2 (x) ∝ sin
(Vorzeichen egal)
L1
n2 πy
m2 πx
sin
E3 : tangential für x = 0, L1 und y = 0, L2
−→
E3 ∝ sin
L1
L2
n1 πy i(k1 z − ω1 t)
E1 = C1 f1 (x) sin
e
L2
m1 πx
g2 (y) ei(k2 z − ω2 t)
(k3i ≡ ki )
E2 = C2 sin
L1
m2 πx
n2 πy i(k3 z − ω3 t)
E3 = C3 sin
sin
e
L1
L2
mit i.a. komplexen Koeffizienten Ci : am Ende immer Realteil zu nehmen
~E
~ =0
jede Komponente erfüllt Wellengleichung, außerdem muss gelten ∇
−→
m1 πx 0
n1 πy i(k1 z − ω1 t)
e
+ C2 sin
g (y) ei(k2 z − ω2 t)
0 = C1 f10 (x) sin
L2
L1 2
m2 πx
n2 πy i(k3 z − ω3 t)
+i k3 C3 sin
sin
e
L1
L2
gilt ∀ t
−→
ω1 = ω2 = ω3 =: ω
gilt ∀ z
−→
außerdem:
~
Lösung für E
k1 = k2 = k3 =: kz
m1 = m2 =: m und n1 = n2 =: n
mπx
f10 (x) ∝ sin
−→
L1
nπy
g20 (y) ∝ sin
−→
L2
E2
E3
mπx
L1
nπy
g2 (y) ∝ cos
L2
f1 (x) ∝ cos
m2 π 2 n2 π 2
+ 2 + kz2 )):
2
L1
L2
mπx
nπy i(kz z − ωt)
= C1 cos
sin
e
L1
L2
mπx
nπy i(kz z − ωt)
= C2 sin
cos
e
L1
L2
mπx
nπy i(kz z − ωt)
= C3 sin
sin
e
L1
L2
(mit ω 2 = c2 (
E1
und
53
~E
~ = 0 zu erfüllen
zusätzlich ∇
−→
−C1
−→
nπ
mπ
− C2
+ i kz C3 = 0
L1
L2
2 unabhängige Amplituden = 2 unabhängige Polarisationen
~ bereits bestimmt wegen
Magnetfeld B
~˙ = −c∇
~ ×E
~ = −i ω B
~
B
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 0 und Randbedingung
∇
c ∂t
mπx
nπy i(kz z − ωt)
c C2 mπ C1 nπ
cos
−
cos
e
B3 = −i
ω
L1
L2
L1
L2
~B
~ =0,
erfüllt automatisch ∇
z.B.:
für
m=n=0
−→
~ =B
~ =0
E
−→
triviale Lösung
untere Schranke für mögliche Frequenzen (Filter!)
1 1
ω ≥ c π min
,
L1 L2
ohne Beweis:
daher:
wenn E3 = B3 = 0
~ =B
~ =0
E
−→
allgemeine Lösung ist Überlagerung von
transversale elektrische Wellen
TE
E3 = 0, B3 6= 0
transversale magnetische Wellen
TM
E3 6= 0, B3 = 0
Übungen: TE- und TM-Wellen minimaler Frequenz
Koaxialkabel: konzentrische Kreiszylinder
−→
∃ auch TEM-Wellen mit E3 = B3 = 0
Hohlraumresonator (endliches Volumen): auch kz quantisiert
−→
rein diskretes Frequenzspektrum, stehende Wellen analog schwingender Saite
reale Systeme:
IV.5
~ B
~ dringen in Metall ein
E,
−→
Ohmsche Verluste, gedämpfte Wellen
Langsam veränderliche Felder in der Nahzone
Vor.:
* ρ, ~j 6= 0 in Gebiet mit Durchmesser ∼ d
~ B
~ nur in der Nähe von ρ, ~j 6= 0 berechnet
* E,
−→
|~r − ~r 0 | . d
~ B
~ ändern sich langsam:
* E,
durch maximale Frequenz ν = 1/T charakterisiert
54
Änderung langsam im Vergleich womit, d.h. ν ?
ν
1
1
= c
λ
d
dλ
ν ∼ 100 MHz=108 s−1 (Ö3)
Beispiel: UKW-Empfänger mit d ∼ 1 cm,
λ=
↔
c
= 300 cm
ν
d
retardierte Zeit:
tret
|~r − ~r 0 |
= t − |~r − ~r |/c = t 1 −
ct
d
't
f ür t & T
= t 1+O
cT
0
(da d cT )
daher Retardierung in 1. Näherung ignoriert (instantane Näherung):
Z
Z
r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
r 0)
3 0 ρ(t − |~
3 0 ρ(t, ~
Φret (t, ~r) = d r
'
d
r
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
Z
Z
0
0
0
~
~
~ ret (t, ~r) = 1 d3 r0 j(t − |~r − ~r |/c, ~r ) ' 1 d3 r0 j(t, ~r )
A
c
|~r − ~r 0 |
c
|~r − ~r 0 |
~ ~r) = −∇Φ
~ ret − 1 A
~˙ ret '
E(t,
c
Z
d3 r0
|
~ ~r) = ∇
~ ×A
~ ret '
B(t,
1
c
ρ(t, ~r 0 )(~r
|~r
{z
− ~r 0 )
− ~r 0 |3
~ inst (t,~
E
r)
Z
d3 r0
1
− 2
c
}|
Z
∂~j(t, ~r 0 )
∂t
d3 r0
|~r − ~r 0 |
{z
}
~ ind (t,~
E
r)
~j(t, ~r 0 ) × (~r − ~r 0 )
~ inst (t, ~r)
=: B
|~r − ~r 0 |3
~ ×E
~ ind
~ ×E
~ =∇
~ × E
~ inst + E
~ ind
= ∇
∇
=−
1
c2
Z
∂~j(t, ~r 0 )
∂t
~ ×
d3 r0 ∇
|~r − ~r 0 |
= −
~ inst
1 ∂B
c ∂t
Interpretation:
instantan:
zeitliche Änderung:
~ inst , ~j −→ B
~ inst
ρ −→ E
~ inst
∂~j
∂B
~ ind
−→
−→ E
∂t
∂t
Wechselstrom
Schaltkreise
aufgebaut aus so genannten elementaren Schaltkreisen:
beschränken uns auf einige (idealisierte) Elemente
55
2 bel. Punkte betrachtet
Strom fließt von 1 −→ 2
~ ×E
~ inst = 0
Spannungsabfall: da ∇
Z 2
~ inst = Φ1 − Φ2
−→ V12 =
d~r · E
1
z.B.: Generator im E-Werk
V12 = −E
EMK
unabhängig vom Strom I
V12 = R I
~ inst = 1 ~j
E
σ
Ohmscher Widerstand
Z
t
q1 (t) =
dt0 I(t0 ), q2 (t) = −q1 (t)
−∞
q1
Kondensator
V12 =
C
mit Kapazität C
~ inst ∝ I
I erzeugt B
~ inst
dI
∂B
~ ind ∝ dI
−→
−→ E
dt
∂t
dt
Spule (Leiterschleife)
da in idealer Schleife kein Widerstand (σ → ∞)
−→
dI
~ inst + E
~ ind ' 0:
~ inst ∝
auf, so dass E
Ladungen bauen entgegengesetztes E
dt
dI
dt
Einheit der Induktivität L (Selbstinduktionskoeffizient: hängt nur von Leitergeometrie ab)
im SI-System: [L] = H(enry) = V s/ A
Selbstinduktion
V12 = L
Stromverlauf in beliebiger Schaltung bestimmt durch
Kirchhoffsche Regeln
1.
~ ×E
~ inst = 0
∇
−→
H
~ inst = 0:
d~r · E
in jedem Schaltkreis 1 −→ 2 −→ . . . −→ N −→ 1 gilt
V12 + V23 + · · · + VN 1 = 0
Summe der Spannungsabfälle verschwindet
2. Ladungen können sich nur in einem Kondensator ansammeln
−→
Summe der in einen Verdrahtungspunkt einfließenden Ströme verschwindet
56
einfachstes (idealisiertes) Beispiel: ungedämpfter Schwingkreis
Z
dI
1 t
−E + L +
dt0 I(t0 ) = 0
dt
C −∞
I(t) =
dq
dt
−→
L
d2 q
1
+ q=E
2
dt
C
Analogie zum ungedämpften harmonischen Oszillator
m
−→
d2 η
+ mω02 η = K
dt2
ω02 =
Thomson-Formel
L∼
=m,
−→
η∼
=q ,
K∼
=E
1
LC
ungedämpfte Schwingung mit Frequenz ω0 = √
homogene Lösung (E = 0):
1
LC
realistischeres Anwendungsbeispiel
dI
1
−E + L +
dt
C
−E + L
Z
t
dt0 I2 (t0 ) = 0
−∞
dI
+ R I1 = 0
dt
I = I1 + I2
−C
Summe beider Gleichungen:
d2 I
dE
+ L C 2 + I2 = 0
dt
dt
E
L dI
− +
+ I1 = 0
R R dt
(wenn I bekannt −→ I1 , I2 berechenbar)
d2 I
1
1
1 dE
1 dI
+
+
I=
E+
2
dt
RC dt
LC
RLC
L dt
harmonischer Oszillator mit Reibung und äußerer Kraft
d2 η
K
dη
+ 2ρ + ω02 η =
2
dt
dt
m
ω0 = √
*
Eigenfrequenz
*
Reibung ∼
= Dämpfung
Vor.:
1
LC
2ρ =
Thomson
1
RC
EMK periodische Wechselspannung
allg. Lösung:
E(t) = E0 cos ωt = E0 Re eiωt ,
I(t) = Is (t) + Ih (t)
57
E0 > 0
homogene Lösung Ih (t) ∝ e−ρ t ∼
= e−t/(2RC)
Einschwingvorgang
für t RC bleibt nur erzwungene Schwingung übrig:
I(t) ' Is (t) = I0 cos (ωt + δ) = I0 Re ei(ωt + δ) ,
I0 > 0
Einsetzen in Diffgl. (komplexe Notation, am Ende Realteil nehmen)
iω
1
1
iω
2
iδ
iωt
−ω +
I0 e
e
= E0
eiωt
+
+
RC
LC
RLC
L
nach Vor.:
E0 > 0 , I 0 > 0
−→
I0 eiδ Z = E0 ,
Z = e−iδ |Z|
Impedanz (Wechselstromwiderstand) Z
frequenzabhängig!
1
iω
L
+
− ω2
1 + iω − ω 2 LC
1
RC
R
Z = LC
=
= iωL +
1
1
1
iω
+ iωC
+ iωC
+
R
R
RLC
L
Serie
Z = Z1 + Z2
1
1
1
=
+
Z
Z1 Z2
parallel
für unsere idealen Elemente:
Z=R
Z = iω L
daher in unserem Beispiel:
Resonanz:
R → ∞:
ω → ω0 = √
1
iω C
1
1
= iωL +
1
1
1
+
+ iωC
Z2 Z3
R
L
iω0
R
−→ 0
Z→
R→∞
1
+ iω0 C
R
Z = Z1 +
1
,
LC
2. Kreis blockiert
−→
Z=
−→
1. Kreis in Resonanz
−→
I0 =
E0
→∞
|Z|
sehr großer Strom für ω → ω0
Impedanz: große Vereinfachung komplizierter Schaltungen durch komplexe Notation
58
IV.6
Elektromagnetische Strahlung (Fernzone)
dλ
Vor.: kleine Quelle, d.h.
d ∼ r λ: Nahzone −→ Schaltkreise
d r, λ: Fernzone −→ Strahlung
welcher Anteil des Feldes ist für r d relevant?
Z
~j(t − |~r − ~r 0 |/c, ~r 0 )
1
~
Aret (t, ~r) =
d3 r0
c
|~r − ~r 0 |
~ ret (t, ~r)
−→ A
∼
r→∞
1
r
1
??
r2
1
∼
~= c E
~ ×B
~ r→∞
würde bedeuten, dass Poynting-Vektor S
mind. wie 3 ??
4π
r
Z
2
−→ 0
~ ∼ r r→∞
abgestrahlte Leistung P = dF~ · S
r3
widerspricht offensichtlich der Erfahrung
1
~
~
−→
muss Anteile von E, B = O
geben: Strahlungsfelder
r
~ =∇
~ ×A
~ ret
B
scheint zu implizieren:
∼
r→∞
kann nur an Retardierung liegen, die bei obiger Überlegung ignoriert wurde
betrachten zunächst Punktteilchen (Liénard-Wiechert)
Φret (t, ~r) =
q
~ ret ) · ~vq (tret )/c
R(tret ) − R(t
~ ret (t, ~r) =
A
,
~
~ = −∇Φ
~ ret − 1 ∂ Aret ,
E
c ∂t
q ~vq (tret )
~ ret ) · ~vq (tret )
c R(tret ) − R(t
~ =∇
~ ×A
~ ret
B
wobei
~
R(t)
= ~r − ~rq (t) ,
R(tret ) = |~r − ~rq (tret )| = c(t − tret )
−→
tret (t, ~r)
~ und ~vq
Problem für Ableitungen: t, ~r stecken in tret , und zwar in R
nach eher langwieriger Ableitung (z.B.: Fließbach, Kap. 23)
(
)
h
i
2)
~
(~
n
−
β)(1
−
β
1
˙
~ × β~
~ ~r) = q
,
E(t,
+ 3 ~n × (~n − β)
κ3 R2
cκ R
mit
~n =
~
R
,
R
~vq
β~ =
,
c
κ = 1 − ~n · β~
~ κ, R sind Funktionen von tret
alle Größen ~n, β,
59
~ ~r) = ~n × E(t,
~ ~r)
B(t,
Folgerungen:
˙
* für gleichförmig bewegtes Teilchen (β~ = 0)
~
q(~n − β)(1
− β2)
1
~
E=
=O
κ3 R2
r2
keine Strahlung
˙
* Strahlungsfeld ist prop. Beschleunigung β~
h
i
~ × β~˙
q ~n × (~n − β)
~ Str (t, ~r) =
E
|ret ,
~ 3
cR(1 − ~n · β)
−→
~ Str = ~n × E
~ Str
B
radiale Komponente der Energiestromdichte
~ · ~n =
S
=
c
~ Str × B
~ Str ) = c (~n × E
~ Str ) · B
~ Str = c |B
~ Str |2
~n · (E
4π
4π
4π
h
i
~ × β~˙ |2
|~
n
×
(~
n
−
β)
2
c ~ 2
q
|EStr | =
|ret
~ 6
4π
4πcR2
(1 − ~n·β)
in Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung:
~=S
~ · ~n R2 dΩ
dP = dF~ · S
differenzielle Strahlungsleistung
q2
dP
=
dΩ
4πc
nichtrelativistischer Fall:
~ Str
E
'
~n × (~n × ~v˙ )
=
=
−→
i
h
~ × β~˙ |2
|~n × (~n − β)
|ret
~ 6
(1 − ~n · β)
β1
q ~n × (~n × ~v˙ )
c2 R
(~n · ~v˙ ) ~n − ~v˙
|~v˙ | cos θ ~n − |~v˙ | cos θ ~n − ~v˙ ⊥ ,
~v˙ = |~v˙ | cos θ ~n + ~v˙ ⊥ ,
~n · ~v˙ ⊥ = 0
˙
~ Str ' − q ~v ⊥ ⊥ ~n
E
c2 R
nichtrelativistische Strahlungsformel
dPnrel
q2 ˙ 2
q2 ˙
=
~
v
=
~v (tret )2 sin2 θ
dΩ
4πc3 ⊥ 4πc3
maximale Abstrahlung
keine Abstrahlung
relativistischer Fall
−→
orthogonal auf
Beschleunigung
in Richtung
Beschleunigung
Kap. VI
60
allgemeine Ladungs- und Stromverteilung ρ, ~j
nur Potenziale und Felder der O(1/r) für r → ∞ sind für Strahlung relevant
|~r − ~r 0 |
r ~n · ~r 0
1
Multipolentwicklung:
t−
=t− +
+O
,
~n = ~r/r
c
c
c
r
Z
Z
r ~n · ~r 0 0
1
r ~n · ~r 0 0
1
3 0
~
ΦStr (t, ~r) =
d r ρ(t − +
, ~r ) ,
AStr (t, ~r) =
d3 r0 ~j(t − +
, ~r )
r
c
c
cr
c
c
|~n · ~r 0 |
d
λ
1
. =T =
c
c
c
ν
(große Wellenlängen : λ d)
|~n · ~r 0 |
gibt unterschiedliche Verzögerungen der Quellpunkte ~r 0 am Aufpunkt ~r an
c
*
für λ d Verzögerungseffekte“ klein
”
*
Entwicklung von ρ, ~j um t − r/c nach ~n · ~r 0 /c
*
je größer Frequenz ν, desto mehr Terme müssen in dieser Multipolentwicklung
berücksichtigt werden: E1, M1, E2, M2, . . .
beschränken uns auf den führenden Term:
elektrische Dipol- oder E1-Strahlung
~ Str (t, ~r) =
A
1
cr
ΦStr (t, ~r) =
1
r
Z
Z
r
1
d r ρ(t − , ~r 0 ) +
c
r
3 0
−→
1. Term in ΦStr ist q/r
ΦE1 (t, ~r) =
Z
r
d3 r0 ~j(t − , ~r 0 ) + . . .
c
r
∂ρ(t − , ~r 0 )
c
d r ~r
∂t
Z
r 0
~n · ~r 0 ∂ρ(t − c , ~r )
d r
+ ...
c
∂t
3 0
kein Beitrag zur Strahlung
~n
cr
Z
0
Z
r
r 0 p. Int.
0~
~
= − d r ~r ∇ j(t − , ~r ) =
d3 r0 ~j(t − , ~r 0 )
c
c
Z
~˙ − r )
d(t
1
r
c
~ E1 (t, ~r) =
A
d3 r0 ~j(t − , ~r 0 ) =
cr
c
cr
1
1 ~
r
˙
~
~
~
~
BE1 = ∇ × AE1 =
∇ × d(t − ) + O
cr
c
r2
..
..
r
r
1
xi ~
r
˙
~
~
mit ∂i d(t − ) =d (t − ) −
∂i r = − d (t − )
c
c
c
rc
c
3 0
0
Z
r
~˙ − r )
∂ρ(t − , ~r 0 )
~n · d(t
c
c
d r ~r
=
∂t
cr
3 0
3 0
0
..
r
d~ (t − ) × ~n
c
~ E1 (t, ~r) =
B
,
rc2
61
~ E1 = B
~ E1 × ~n
E
−→
differenzielle Strahlungsleistung
dPE1
~ · ~n = r2 c ~n · (E
~ E1 × B
~ E1 )
= r2 S
dΩ
4π
..
r
| d~ (t − )|2 sin2 θ
c
c
~ E1 |2 =
= r2
|B
4π
4πc3
gesamte abgestrahlte Leistung
..
Z
PE1 =
..
r
r
| d~ (t − )|2 Z
2| d~ (t − )|2
dPE1
2
c
c
dΩ
=
dΩ sin θ =
dΩ
4πc3
3c3
..
r
2| µ
~ (t − )|2
c
M1-Strahlung:
PM1 =
3c3
Übungen: nichtrelativistisches Punktteilchen strahlt nur E1-Strahlung ab
Spezialfall
Hertzscher Dipol
h
i
~ = d~0 cos ωt = d~0 Re e−iωt
d(t)
r
−iω
t
−
r
c = d~0 e−i(ωt − kr)
d~ t −
= d~0 e
c
monochromatisch schwingender Dipol:
in komplexer Notation:
2
−i(ωt − kr)
~ HD (t, ~r) = − ω d~ × ~n = k 2 ~n × d~0 e
B
,
rc2
r
−→
~ HD (t, ~r) = B
~ HD (t, ~r) × ~n
E
auslaufende Kugelwelle
zeitgemittelte abgestrahlte Leistung:
h
dPHD
i =
dΩ
=
h
i
2
c 2 ~
~ HD (t, ~r)i = cr ~n Re E
~ HD (~r) × B
~ ∗ (~r)
r ~nhEHD (t, ~r) × B
HD
4π
8π
cr2 ~
ck 4
|BHD (~r)|2 =
|~n × d~0 |2
8π
8π
Polardiagramm
|~n × d~0 | = d0 sin θ
h
dPHD
ω 4 d20 sin2 θ
i=
dΩ
8πc3
gesamte abgestrahlte Leistung:
hPHD i =
ω 4 d20
3c3
62
IV.7
Streuung
typisches Streuexperiment
gestreute Welle
einfallende Welle
Ladungen beschleunigt
Vor.:
i. einfallende monochromatische ebene Welle
~k · ~r − ωt)
i(
~
~
E(t, ~r) = Re E0 e
,
~
~ = k ×E
~
B
k
ii. Punktladung sei in einem Oszillatorpotenzial gebunden (Modell für im Atom gebundenes Elektron): Ladung q, Frequenz ω0 , Dämpfung Γ
iii. Bewegung nichtrelativistisch (v c)
−→
~ vernachlässigbar
~v × B
iv. Wellenlänge der einfallenden Welle groß: λ |~rq |
Bewegungsgleichung für Punktladung mit Trajektorie ~rq (t):
..
~ 0 ei(~k · ~rq − ωt) + O(v/c)
m ~rq +mΓ ~r˙ q + mω02 ~rq = q E
Reibungskraft −mΓ ~r˙ q : verursacht durch verschiedene Prozesse, die dem Punktteilchen
Energie entziehen (Abstrahlung, Stoßprozesse, . . . )
Dipolnäherung:
mit k rq = 2πrq /λ 1
~
eik · ~rq = 1 + O(rq /λ)
allg. Lösung:
Ansatz:
~rq,s (t) = ~r0 e−iωt
−→
−→
(~rq,h klingt mit e−Γt/2 ab)
~rq (t) = ~rq,s (t) + ~rq,h (t)
(−ω 2 − iΓω + ω02 ) ~r0 =
q ~
E0
m
zeitabhängiges Dipolmoment
~ = q ~r0 e−iωt =
d(t)
~ 0 /m
q2E
e−iωt
ω02 − ω 2 − iΓω
63
~ 0 = eiδ E
~ 0,r mit reellem Vektor E
~ 0,r
E
−→
Vor.: einfallende Welle linear polarisiert
zeitgemittelte Dipolstrahlung
dP
ω 4 q 2 |~r0 |2 sin2 θ
c ~ 2
h
i=
=
|E0 |
dΩ
8πc3
8π
q2
mc2
2
ω 4 sin2 θ
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
strikt elastische Streuung:
keine Frequenzänderung in
der gestreuten Welle
Def.:
differenzieller Wirkungsquerschnitt
dP
h
i
dσ
abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel dΩ
=
= dΩ
~
dΩ
einfallende Leistung pro Fläche
h|S|i
~ = chuem i = c |E
~ 0 |2
mit h|S|i
8π
diff. Wirkungsquerschnitt für Streuung von linear polarisierter Welle an gebundener Ladung
dσ
=
dΩ
q2
mc2
2
ω 4 sin2 θ
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
integrierter Wirkungsquerschnitt:
Z
dσ
σ = dΩ
dΩ
2 2
8π
q
ω4
=
3 mc2
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
Elektronen:
e2
= 2.8 fm = rkl
me c2
klassischer Elektronenradius
Rayleigh-Streuung: ω ω0
relevant für Streuung von Sonnenlicht an Molekülen in der Atmosphäre
σ=
−→
*
8π 2 ω 4
r
3 kl ω04
blaues Sonnenlicht stärker gestreut als rotes
4
ωblau
σblau
λ4rot
700 nm 4
= 4 = 4
'
' 10
σrot
400 nm
ωrot
λblau
Erklärung von Himmelsblau und Abendröte
64
Resonanzstreuung: ω ' ω0
−→
starke Energieabhängigkeit
Instrument zur Strukturuntersuchung
σ(ω = ω0 ) = σRes =
8π 2 ω02
r
3 kl Γ2
wo ist σ(ω) = σRes /2 ?
wenn
(ω02 − ω 2 )2 ' ω02 Γ2
Γ ω0 )
(f ür
Lösung (für Γ ω0 ):
ω = ω0 ±
−→
Γ
2
Γ = Gesamtbreite bei halbem Maximum
QM, QFT: Energieunschärfe des (Resonanz-)Zustands ∼ ~Γ =
~
τ
(τ = Lebensdauer des Zustands)
Thomson-Streuung: ω ω0 , Γ
insbesondere für freie Elektronen (ω0 = 0)
σT(homson) =
8π 2
r
3 kl
bisher immer linear polarisiertes Licht betrachtet
für Praxis noch wichtiger: Streuung von unpolarisiertem Licht
unpolarisiertes Licht: statistisches Gemisch aller möglichen Polarisationen
Resultat (ohne Rechnung; θ = Streuwinkel zwischen ein- und auslaufender Welle):
2 2 dσT,unpol
q
sin2 θ
=
1−
dΩ
mc2
2
integrierter Querschnitt:
2 2 Z 1
2 2
Z
dσT,unpol
q
1 + cos2 θ
8π
q
σT,unpol = dΩ
= 2π
=
d(cos θ)
2
dΩ
mc
2
3 mc2
−1
−→
QFT:
selbes Ergebnis wie vorher für σT , da im integrierten Querschnitt natürlich keine
Richtung (der Polarisation) ausgezeichnet
Compton-Streuung
γ e− → γ e−
Frequenz (∼ Energie) des Photons reduziert (↔ Rückstoß des gestreuten Elektrons)
ω0
=
ω
1
2~ω
θ
1+
sin2
2
me c
2
Frequenzverminderung ist ein Quanteneffekt:
ω0 → ω
für
~→0
65
Klein-Nishina-Formel für Streuung unpolarisierter Photonen
dσunpol
=
dΩ
e2
me c2
2 ω0
ω
2 0
1 ω
sin2 θ
ω
+ 0 −
2 ω
ω
2
bisherige Betrachtung für ein einzelnes Streuzentrum:
wie sieht der Wirkungsquerschnitt für N Streuzentren (Atome, Elektronen, . . . ) aus?
i. inkohärente Streuung
−→
wenn Streuzentren unabhängig voneinander abstrahlen
σN = N σ
Bsp.: Rayleigh-Streuung von sichtbarem Licht in Atmosphäre
Luftmoleküle statistisch verteilt: inkohärente Streuung
−→
ii. kohärente Streuung
konstruktive Interferenz der einzelnen Streuwellen
−→
σN = N 2 σ
Bsp.: Wasserdampf in der Atmosphäre; Wassertröpfchen mit Durchmesser d ∼ 2 ÷ 500
nm bestehen aus N Molekülen −→ für sichtbares Licht (400 ÷ 700 nm) schwingen
induzierte Dipolmomente in Phase −→ d~Tröpfchen = N d~Molekül
−→
Wolken weitgehend undurchsichtig, da Licht stark gestreut wird
andererseits: homogenes Wasser hat d > λ −→ Moleküle in verschiedenen Teilen
der Wassertropfen nicht mehr in Phase −→ homogenes Wasser relativ durchsichtig
(inkohärente Streuung)
allg.:
kohärente Streuung
Paradebeispiel:
↔
Interferenz (konstruktiv oder destruktiv)
Beugung von Röntgenstrahlen an Kristallen (Laue-Bedingungen)
66
V
Elektrodynamik in kontinuierlichen Medien
Vorgangsweise analog zur Kontinuumsmechanik:
unmöglich (und unnötig), elm. Felder für 1023 Ladungen zu berechnen
−→
Mittelung über mikroskopische Bereiche
Mittelungsfunktion f (~r)
Vor.: f (~r) rotationssymmetrisch
typische Form −→
Z
d3 rf (~r) = 1
~ mikr i =
hE
Z
~ mikr (t, ~r + ~r 0 ) =: E(t,
~ ~r)
d3 r0 f (~r 0 ) E
~ bezeichnet, obwohl jetzt andere Bedeutung als das ursprüngliche
gemitteltes Feld wieder mit E
~
Feld Emikr
zur Erinnerung: Molekülgröße etwa 1 Å=0.1 nm, λLicht ∼ 600 nm
−→
gemittelte Felder sinnvoll im optischen Bereich, nicht im Röntgenbereich
(λ ∼ Å) und natürlich erst recht nicht für γ−Strahlung
wichtig: es gibt keine neue Elektrodynamik in Materie!
Maxwell-G. sind die fundamentalen Feldgleichungen auch in kontinuierlichen Medien
makroskopische Maxwell-G. sind phänomenologische Näherungen, die in der Praxis von
großem Nutzen sind
V.1
Polarisierung und Magnetisierung
makroskopische MG schauen zunächst wie die fundamentalen MG aus, ausgenommen
ρ, ~j
−→
gemittelte Größen hρi, h~ji
Grund: partielle Ableitungen kommutieren mit Mittelung der Felder
Z
∂ ~
∂ ~
E(t, ~r) =
d3 r0 f (~r 0 ) E
r + ~r 0 )
mikr (t, ~
∂t
∂t
Z
∂ ~
∂ ~
E(t, ~r) =
d3 r0 f (~r 0 )
Emikr (t, ~r + ~r 0 )
∂xi
∂xi
wie sind hρi, h~ji zu verstehen?
mittlere Ladungsdichte hρi
Materie besteht aus Atomen, Molekülen (elektrisch neutral) und freien“ Ladungsträgern
”
(Ionen, Elektronen)
−→
67
Aufspaltung:
ρ = ρfrei + ρgeb mit
Z
d3 r ρfrei = qV ,
Z
V
ρfrei (t, ~r) =
X
d3 r ρgeb = 0
V
qa δ (3) (~r − ~ra (t)) ,
ρgeb (t, ~r) =
X
ρα (t, ~r − ~rα (t))
α
a
wobei die atomaren (molekularen) Ladungsdichten ρα bei ~r = ~rα lokalisiert sind (d ∼ Å)
Mittelung der gebundenen Ladungsdichte
XZ
XZ
3 0
0
0
d3 r00 f (~r 00 + ~rα (t) − ~r)ρα (t, ~r 00 )
d r f (~r )ρα (t, ~r − ~rα (t) + ~r ) =
hρgeb (t, ~r)i =
α
α
=
X
Z
f (~r − ~rα (t))
3 00
00
d r ρα (t, ~r ) −
|
{z
}
α
X
~ (~r − ~rα (t))
∇f
α
Z
d3 r00~r 00 ρα (t, ~r 00 ) + . . .
{z
}
|
d~α (t)
=0 (neutrale Einheiten)
dabei wurde die Mittelungsfunktion in der Dipolnäherung um ~r − ~rα (t) entwickelt:
f (~r 00 + ~rα (t) − ~r) = f (~r − ~rα (t) − ~r 00 )
~ (~r − ~rα (t)) + O(r00 2 )
= f (~r − ~rα (t)) − ~r 00 · ∇f
daher
~
hρgeb (t, ~r)i = −∇
X
d~α (t) f (~r − ~rα (t))
α
~
= −∇
Z
d3 r0
X
~ P~ (t, ~r) =: ρpol (t, ~r)
d~α (t) δ (3) (~r 0 − ~rα (t)) f (~r − ~r 0 ) = −∇
α
Def.: Polarisierung
X
P~ (t, ~r) = h
d~α (t) δ (3) (~r − ~rα (t))i
α
=
elektrisches Dipolmoment
= Dipoldichte der neutralen Einheiten
Volumen
da es bei Punktladungen nichts zu mitteln gibt
−→
hρ(t, ~r)i = hρfrei (t, ~r)i + ρpol (t, ~r)
~ P~ (t, ~r)
= ρfrei (t, ~r) − ∇
Ladungserhaltung
−→
Kontinuitätsgleichung
~ ~j = 0
ρ̇ + ∇
~ ~jfrei = 0
muss separat für die freien Ladungen gelten: ρ̇frei + ∇
analoge Analyse für die Stromdichte
~j(t, ~r) = ~jfrei (t, ~r) + ~jgeb (t, ~r)
68
integrierte Polarisierung
Z
d3 r P~ (t, ~r) =
V
X
d~α (t)
α∈V
~ (t, ~r) (Magnetisierung) der gebundenen
analoge Definition der magnetischen Dipoldichte M
(neutralen) Objekte
X
~ (t, ~r) d3 r =
µ
~ α (t)
M
α∈d3 r
diese Magnetisierung führt auf einen gemittelten Strom (alles in Dipolnäherung!)
~ ×M
~ (t, ~r)
~jmag (t, ~r) = c ∇
kann allerdings noch nicht alles sein: auch Polarisierung trägt zum gemittelten Strom bei
hρ(t, ~r)i = ρfrei (t, ~r) + ρpol (t, ~r)
h~j(t, ~r)i = ~jfrei (t, ~r) + ~jmag (t, ~r) + ~jpol (t, ~r)
Kontinuitätsgleichung
−→
~ ~jpol = −∇
~ P~˙
~ ~jmag − ∇
~ ~jpol = −∇
ρ̇pol = −∇
−→
konsistente (und richtige) Wahl:
~
~jpol = ∂ P (t, ~r)
∂t
homogene Maxwell-G. bleiben bei der Mittelung unverändert
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0 ,
∇
c ∂t
Mittelung betrifft nur die inhomogenen MG:
~B
~ =0
∇
~E
~ = 4πhρi = 4π (ρfrei + ρpol ) = 4πρfrei − 4π ∇
~ P~
∇
Def.: D-Feld (elektrisches Hilfsfeld, dielektrische Verschiebung, elektrische Induktion, elektrische Erregung, . . . )
~ =E
~ + 4π P~
D
daher
~D
~ = 4πρfrei
∇
letzte Maxwell-G.:
~
~ ×B
~ − 1 ∂E
∇
c ∂t
=
=
−→
~ × B
~ − 4π M
~ −1∂ E
~ + 4π P~
=
∇
c ∂t
4π ~
jfrei + ~jmag + ~jpol
c
4π ~
~ ×M
~ + 4π P~˙
jfrei + 4π ∇
c
c
4π ~
jfrei
c
Def.: H-Feld (magnetisches Hilfsfeld, magnetische Feldstärke, magnetische Erregung, . . . )
~ =B
~ − 4π M
~
H
69
Maxwell-Gleichungen in Materie (Dipolnäherung)
~D
~ = 4π ρfrei
∇
~B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
~
~ ×H
~ − 1 ∂ D = 4π ~jfrei
∇
c ∂t
c
~ B
~ bestimmt
Lorentz-Kraft: nach wie vor durch die (jetzt gemittelten) Felder E,
Z
1~
3
~
~
~
~
allerdings mit ρfrei , jfrei :
KL (t) = d r ρfrei (t, ~r)E(t, ~r) + jfrei (t, ~r) × B(t, ~r)
c
~ D,
~ B,
~ H
~ noch nicht fest
Problem: ρfrei , ~jfrei legen i.a. E,
~ normalerweise nicht vorgegeben, sondern stellen sich erst in Abhängigkeit
P~ , M
~ B
~ ein −→ weitere phänomenologische Annahmen notwendig
von E,
atomistische Erklärung von Polarisierung und Magnetisierung
~
a. induzierte P~ , M
Atome, Moleküle besitzen zunächst keine Dipolmomente, durch äußeres Feld werden sie
~ M
~ antiparallel B
~
aber induziert (Deformation der Elektronenhülle) −→ P~ || E,
(Lenzsche Regel, Diamagnetismus)
b. Orientierungspolarisierung, -magnetisierung
Atome, Moleküle besitzen Dipolmomente, die aber zunächst zufallsverteilt sind; wer~ M
~ || B
~ (Paramagnetismus) wegen
den im äußeren Feld ausgerichtet −→ P~ || E,
Drehmoment der äußeren Felder auf Dipolmomente
~
c. spontane P~ , M
benachbarte Dipole wechselwirken miteinander −→ Dipoldichte 6= 0 auch ohne
äußere Felder; starke Temperaturabhängigkeit (nur für kleine T ; Phasenübergang bei
T = Tc ) und nur in geordneten Medien: Ferroelektrizität, Ferromagnetismus −→
~ und E,
~ bzw. H
~ und B
~ (Hysterese) −→
komplizierter Zusammenhang zwischen D
Physik der kondensierten Materie
Energiebilanz
~ durch E,
~ B
~ ausgedrückt
früher: ~j · E
jetzt: da Lorentz-Kraft ungeändert (allerdings für ~jfrei )
Z
dEMat
~
= d3 r ~jfrei · E
dt
mit
~
~
~ = − c ∇(
~ E
~ × H)
~ − 1 H
~ · ∂B − 1 E
~ · ∂D
~jfrei · E
4π
4π
∂t
4π
∂t
~ S
~ − ∂uem
= −∇
∂t
70
mit
~= c E
~ ×H
~ ,
S
4π
∂uem
1 ~ ~˙
~˙
~ ·B
=
E·D+H
∂t
4π
häufiger Fall (s. nächster Abschnitt):
uem
~ = konst. E,
~ H
~ = konst. B
~
D
1 ~ ~
~ ·B
~
=
E·D+H
8π
−→
Randbedingungen zwischen 2 Medien
analog wie im statischen Fall
(für zeitlich wenig veränderliche Felder):
Oberflächenladungsdichte σfrei
zur Vereinfachung: keine Oberflächenstromdichte
~D
~ = 4π ρfrei
∇
−→
~ II − D
~ I · ~n = 4π σfrei
D
~ II − B
~ I · ~n = 0
B
Gauß (Normalkomponenten)
~B
~ =0
∇
−→
~
~ ×H
~ − 1 ∂ D = 4π ~jfrei
∇
c ∂t
c
−→
~ II − H
~I = 0
~n × H
Stokes (Tangentialkomponenten)
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
~ II − E
~I = 0
~n × E
−→
diese Randbedingungen werden im letzten Abschnitt gebraucht
V.2
Isotrope Medien
phänomenologische Näherungen zur Lösung der Maxwell-G. in Medien eingeführt
~ , M
~ ∝B
~ (oder H)
~
für schwache Felder:
P~ ∝ E
sicher nicht richtig für Ferroelektrizität, -magnetismus
Beispiel (s. Abschnitt über Streuung):
induziertes Dipolmoment im zeitabhängigen äußeren Feld
d~ =
ω02
~
q 2 E/m
~
= αE
− ω 2 − iΓω
mit Polarisierbarkeit α
−→
(komplex, frequenzabhängig in der Fourierdarstellung)
X
X
~
~
P~ = h
d~β δ (3) (~r − ~rβ )i = α Eh
δ (3) (~r − ~rβ )i = n0 α E
β
β
71
wenn alle d~β gleich: n0 = Dichte der Atome (Moleküle)
Def.: elektrische Suszeptibilität χe
~
P~ = χe E
~ = E
~ + 4π P~ = εE
~
D
−→
ε = 1 + 4πχe
Permittivität (Dielektrizitätskonstante)
analog: magnetische Suszeptibilität χm
~ = χm H
~
M
~ = H
~ + 4π M
~ = µH
~
B
−→
µ = 1 + 4πχm
Permeabilität
Bem.: ε → 1 , µ → 1 ergeben MG im Vakuum, aber Achtung: makroskopische MG
ableitbar durch Mittelung der fundamentalen MG, aber natürlich nicht umgekehrt
selbst bei angenommenem linearen Zusammenhang verschiedene Möglichkeiten:
ε , µ i.a. zeit- und ortsabhängig
in Kristallen Tensoren statt Skalare
~ H)
~ angeben
Ferromagnetismus: keine Linearität mehr (Hysterese) −→ gleich B(
für weitere Diskussion: räumliche Homogenität
−→
ε , µ ortsunabhängig
zunächst auch Zeitunabhängigkeit vorausgesetzt
−→
ε , µ tatsächlich Konstante
große Vereinfachung:
−→
~ ~r) = ε E(t,
~ ~r) , B(t,
~ ~r) = µ H(t,
~ ~r)
D(t,
MG im wesentlichen wie im Vakuum zu lösen
Kondensator mit Medium (Dielektrikum)
~D
~ = 4πρfrei , ∇
~ ×E
~ =0
∇
ε = konst.
−→
−→
~ ×D
~ =0
∇
~
~ = 4π q ~ez = ε E
D
F
Potenzial hängt mit Kraft und daher
~ zusammen: E
~ = −∇Φ
~
mit E
~ = 4π q d = q
V = Φ(z = 0) − Φ(z = d) = d |E|
εF
C
Kapazität wird durch Dielektrikum erhöht (immer ε ≥ 1):
Spannung:
−→
C=
εF
4πd
typische Werte von ε (bei 20◦ C)
Luft: 1.0006,
Glas: 4 ÷ 10,
Wasser: 80
72
Spule mit para(ferro-)magnetischem Medium (µ > 1)
~B
~ =0
~ ×H
~ = 4π ~jfrei , ∇
∇
c
~H
~ =0
µ = konst. −→ ∇
~ jetzt für H:
~
daher frühere Lösung für B
~ =
H
4πIN
~e3
cl
innen
= 0
und daher:
−→
außen
~ = µH
~ = 4πIN µ ~e3
B
cl
(innen)
~ (relevant für Lorentzkraft, Induktion, . . . ) durch Eisenkern
große Verstärkung von B
zeitabhängige Felder
beschränken uns auf elektrisches Feld; Polarisierung jetzt nicht mehr instantan
=s−1 ):
Ansatz (Dimension der Suszeptibilität jetzt [χe ]
zeitliche Faltung
Z ∞
~ − t0 , ~r)
P~ (t, ~r) =
dt0 χe (t0 ) E(t
−∞
Kausalität:
~ − t0 , ~r) für t0 > 0 (d.h. aus früheren Zeiten)
P~ (t, ~r) kann nur von E(t
beeinflusst werden
−→
χe (t) = 0
f ür
t<0
Fouriertransformation:
f˜(ω) =
Z
∞
dt f (t) eiωt
~ χe
f ür f = P~ , E,
−∞
Theorie der FT (leicht zu verifizieren): Faltung −→ Produkt, d.h.
˜
~˜
P~ (ω, ~r) = χ̃e (ω) E(ω,
~r)
−→
fouriertransformierte Suszeptibilität χ̃e (ω) wieder dimensionslos
~˜
~˜
~˜
D(ω,
~r) = ε̃(ω) E(ω,
~r) = [1 + 4π χ̃e (ω)] E(ω,
~r)
im Oszillatormodell:
ε̃(ω) = 1 +
4πn0 q 2 /m
ω02 − ω 2 − iωΓ
Bem.: ε(t) immer reell, ε̃(ω) i.a. komplex (wie im Oszillatormodell)
untersuchen ε̃(ω) als Funktion der komplexen Variable ω
73
−→
Pole von ε̃(ω), wenn ω 2 + iωΓ − ω02 = 0
−→
r
Vor.: ω0 > Γ/2
Γ2
iΓ
± ω02 −
2
4
beide Pole in der unteren Halbebene
ω1,2 = −
wegen Γ > 0 (Dämpfung)
Beh.: kein Zufall, sondern folgt ganz allgemein aus der Kausalität
Bew.:
da χe (t) = 0 für t < 0
∞
Z
ε̃(ω) = 1 + 4π χ̃e (ω) = 1 + 4π
dt χe (t) eiωt = 1 + 4π
Z
−∞
∞
dt χe (t) eiωt
0
zerlegen ω in Real- und Imaginärteil: ω = ωr + iωi
−→
Z ∞
ε̃(ω) = 1 + 4π
dt χe (t) eiωr t − ωi t
0
−→ Integral ∃ stets für ωi ≥ 0 wegen t ≥ 0
−→
Halbebene (und hat dort insbesondere keine Pole)
ε̃(ω) ist analytisch in der oberen
qed
Wegintegral in der komplexen ω−Ebene
I
ε̃(ω 0 ) − 1
dω 0 0
ω −ω
C
Integral über Halbkreis:
verschwindet für R → ∞
Cauchy:
Z ω−ε
Z
+
−∞
Z
∞
+
Z
∞
Z
=P
+
=0
−∞
ω+ε
Z
mit Hauptwert(integral)
∞
Z
P
ω−ε
= lim
−∞
Z
∞
+
ε→0
−∞
ω+ε
andererseits folgt aus dem Residuensatz
Z ∞ Z
P
+ = 2πi [ε̃(ω) − 1]
−∞
Z
leicht nachzuprüfen:
dz
+
z
Z
dz
=0
z
(hier z = ω 0 − ω)
Z
Summe Cauchy und Residuensatz:
∞
= iπ [ε̃(ω) − 1] und daher explizit
P
−∞
Dispersionsrelation
Z ∞
i
ε̃(ω 0 ) − 1
ε̃(ω) = 1 − P
dω 0 0
π
ω −ω
−∞
74
Dispersionsrelation verbindet Re ε̃(ω) (Dispersion) und Im ε̃(ω) (Absorption)
χe (t)∗ = χe (t) impliziert
Im ε̃(−ω) = −Im ε̃(ω)
Re ε̃(−ω) = Re ε̃(ω) ,
Zerlegung der Dispersionsrelation in Real- und Imaginärteil und Benützung von
Z ∞
Z ∞
dωf (ω) =
dω [f (ω) + f (−ω)] ergibt die
−∞
0
Kramers-Kronig-Relationen
2
Re ε̃(ω) = 1 + P
π
Z
∞
dω
0
0ω
0 Im ε̃(ω 0 )
ω0 2 − ω2
2ω
Im ε̃(ω) = − P
π
,
Z
∞
dω 0
0
Re ε̃(ω 0 ) − 1
ω0 2 − ω2
diese Relationen folgen einzig und allein aus der Kausalität
Konsequenzen: i. im statischen Limes (ω = 0) ist ε̃(0) immer reell (da Im ε̃(0) = 0)
ii. ε̃(0): Dielektrizitätskonstante im engeren Sinn
ε̃(0) = Re ε̃(0) ≥ 1 für Im ε̃(ω) ≥ 0 (nächster Abschnitt)
Dispersionsrelationen kommen in vielen Bereichen der Physik zur Anwendung,
z.B. auch in der Quantenfeldtheorie:
Kausalität −→ analytische Struktur von (Streu-)Amplituden −→ Dispersionsrelationen
V.3
Elektromagnetische Wellen in kontinuierlichen Medien
Vor.:
i. isotropes und homogenes Medium: ε, µ ortsunabhängig
ii. Zeit-, bzw. Frequenzabhängigkeit zugelassen: nicht zu große Frequenzen
(Wellenlänge λ Mittelungsbereich notwendig)
iii. ρfrei = 0, ~jfrei = 0
Ansatz: monochromatische Welle
(ε(ω), etc. jetzt ohne Tilde geschrieben)
n
o
n
o
~ ~r) = Re E(~
~ r) e−iωt ,
~ ~r) = Re ε(ω) E(~
~ r) e−iωt
E(t,
D(t,
(
)
n
o
~ r)
B(~
~ ~r) = Re B(~
~ r) e−iωt ,
~ ~r) = Re
e−iωt
B(t,
H(t,
µ(ω)
ω reell vorausgesetzt (sonst exp. Anwachsen oder Abfall in der Zeit)
ε(ω), µ(ω) i.a. komplex (s. Oszillatormodell)
75
Maxwell-G. im Medium:
~ × E(~
~ r) − iω B(~
~ r) = 0
∇
c
~ r) = 0
~ × B(~
~ r) + iωεµ E(~
∇
c
~ E(~
~ r) = 0 ,
∇
~ B(~
~ r) = 0 ,
∇
mit
~ × (∇
~ × B)
~ = ∇(
~ ∇
~ B)
~ − ∆B
~ = −∆B
~
∇
~ wegen ρfrei = 0)
(analog für E
2
~ × (∇
~ × E)
~ − iω ∇
~ ×B
~ = −∆E
~ − ω εµ E
~ =0
∇
c
c2
ω 2 εµ ~
−→
∆+ 2
E(~r) = 0 ,
c
Lösung durch ebene Wellen:
o
n
~ ~r) = Re E
~ 0 ei(~k·~r−ωt) ,
E(t,
ω 2 εµ ~
∆+ 2
B(~r) = 0
c
o
n
~ 0 ei(~k·~r−ωt)
~ ~r) = Re B
B(t,
mit
ω2 =
c2 ~ 2
c2
k = 2 ~k 2 = c2~k02 ,
εµ
n
~k = √εµ ~k0
da ω und c reell, εµ i.a. komplex −→ ~k i.a. komplex (zur Vereinfachung: ~k0 reell)
√
Def.: Brechungsindex n = εµ (i.a. komplexe Funktion von ω)
n=
√
εµ = nr + iκ = |n| eiδ ,
~k = (nr + iκ) ~k0
zusätzliche Konsequenzen der Maxwell-G. (völlig analog zum Vakuumfall)
~k0 × E
~0
~0 = ω B
cn
~k0 × B
~ 0 = − nω E
~0
c
~k0 · E
~0 = 0 ,
~k0 · B
~0 = 0 ,
Folgerungen:
wie im Vakuum
~ ⊥ ~k0 ,
E
~ ⊥ ~k0 ,
B
Polarisation ebenfalls wie im Vakuum:
~ ⊥B
~ ,
E
~ =
~ (wenn |n| =
aber |E|
6 |B|
6 1)
i.a. elliptische Polarisation
~ 0 reell
betrachten Spezialfall der linearen Polarisation: E
~k · ~r − ωt)
i(
~
~
~ 0 cos (nr~k0 · ~r − ωt) e−κ~k0 · ~r
E(t, ~r) = E0 Re e
=E
~
~
~ 0 = n k0 × E
~ 0 = |n| eiδ k0 × E
~0
B
k0
k0
~
~ ~r) = |n| k0 × E
~ 0 cos (nr~k0 · ~r − ωt + δ) e−κ~k0 · ~r
B(t,
k0
−→
~ zu E
~ phasenverschoben
gedämpfte ebene Wellen in Richtung ~k0 ; B
76
Phasengeschwindigkeit
Maximum der ebenen Welle bewegt sich mit Geschwindigkeit
vP =
in Richtung ~k0 :
Wellenlänge:
wenn κ > 0
ω
c
=
nr k0
nr
−→
vP (ω) ist i.a. frequenzabhängig
−→
nr k0 λ = 2π
−→
λ=
Dispersion (s. weiter unten)
2π
λ0
=
nr k0
nr
Dämpfung der Amplituden in Ausbreitungsrichtung ~k0
explizite Form im Oszillatormodell:
ε(ω) = 1 +
n=
√
4πn0 q 2 /m
,
ω02 − ω 2 − iωΓ
µ(ω) = 1
εµ → n2 = εµ = n2r − κ2 + 2inr κ ,
Im ε =
Im ε = 2nr κ
4πn0 q 2 ωΓ/m
> 0
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
da nr > 0 in allen realistischen Fällen (nr : Brechungsindex im engeren Sinn)
Im ε
tatsächlich Dämpfung in Richtung der Wellenausbreitung:
κ=
>0
2nr
Folgerung: z.B. exponentielle Abnahme der Energiedichte
uem
1
=
8π
Absorptionskoeffizient = 2κk0 =
~2
~2 + B
εE
µ
!
∼ e
−2κk0
−→
~k0 · ~r
k0
k0 Im ε
nr
1
auf e-ten Teil ab
2κk0
Energieverlust: Strahlung, Streuung an Atomen, Erwärmung des Mediums, etc.
κ
weitere Konsequenz der Dämpfung: Phasenverschiebung δ = arctan
und
nr
−→
Intensität der Welle fällt auf einer Absorptionslänge lA =
~ +
|B(t
δ
~ ~r)| ,
, ~r)| = |n| |E(t,
ω
|n| =
6 1 i.a.
typische Frequenzabhängigkeit von n =
betrachten wieder Oszillatormodell:
a
ε(ω) = 1 + 2
ω0 − ω 2 − iωΓ
a = 4πn0 q 2 /m > 0 , µ = 1 , n2 = ε(ω)
Re ε(ω) = 1 +
a(ω02 − ω 2 )
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
77
√
εµ
Im ε(ω) =
aωΓ
(ω02 − ω 2 )2 + ω 2 Γ2
ähnlicher Verlauf für
Brechungsindex
nr (ω) ∼
p
Re ε(ω)
(bei kleiner Dämpfung)
und für κ(ω) =
Im ε(ω)
2nr (ω)
bei kleiner Dämpfung:
n2 = εµ = n2r − κ2 + 2inr κ
−→
2nr
dnr
dRe ε(ω)
'
dω
dω
man unterscheidet daher
normale Dispersion
anomale Dispersion
dnr
>0
dω
wenig Absorption
dnr
<0
dω
starke Absorption
weit weg von Resonanz
Nähe einer Resonanz
Dispersion
beschränken uns auf normale Dispersion (κ ' 0)
−→
ebene Wellen fast wie im Vakuum
allerdings:
n , ~k = n ~k0 annähernd reell
ω(k) i.a. nicht mehr linear in k, da
ω2 =
Bem.:
−→
c2 k 2
n2 (ω(k))
n ' nr im weiteren nicht unterschieden
physikalisch realisierbar sind Wellenpakete
Z
~
~ ~k) ei(~k · ~r − ω(k)t)
E(t, ~r) = d3 k E(
~ B)
~
zur Vereinfachung Beschränkung auf eine Raumdimension (f : Komponente von E,
Z ∞
f (t, x) =
dk f˜(k)ei(kx − ω(k)t)
−∞
verschiedene Wellenzahlen
−→
verschiedene Phasengeschwindigkeiten vP (k) = ω(k)/k
betrachten jetzt ein fast monochromatisches Wellenpaket
Spektrum der Welle: |f˜(k)|2
entwickeln ω(k) um k0 , wo
Spektrum ausgeprägtes Maximum hat
78
ω(k) = ω(k0 ) +
dω(k)
|k=k0 (k − k0 ) + O (k − k0 )2
| dk {z
}
vG
Z
dk f˜(k)ei(kx − ω(k0 )t − vG (k − k0 )t)
Z
it(v
k
−
ω(k
))
0
0
G
= e
dk f˜(k) eik(x − vG t) = eit(vG k0 − ω(k0 )) f (0, x − vG t)
f (t, x) '
Folgerung:
|f (t, x)| = |f (0, x − vG t)|
wenn höhere Terme in Entwicklung
von ω(k) um k0 vernachlässigbar
−→
Welle pflanzt sich fort mit
Gruppengeschwindigkeit
vG =
dω(k)
|k=k0
dk
Elektrodynamik
dω(k)
= c = vP
dk
Wellenleiter (ähnlich für Plasmawellen): andere Dispersionsrelation
r
q
ω2
ω(k)
2
2
2
ω(k) = ωmin + c k −→ vP =
= c 1 + 2min2 > c
k
c k
dω(k)
c2 k
1
−→ vG =
=q
= cr
< c
2
dk
2
ωmin
ωmin
+ c2 k 2
1+ 2 2
c k
Vakuum: εµ = 1
−→
−→
ω(k) = kc
vG =
interessante Frage: gilt immer vG ≤ c ?
Wellen im Medium:
ω(k) =
kc
n(ω)
−→
vP =
c
n
leiten die Gleichung n(ω)ω = ck nach k ab
dω
dn dω
dω(k)
ω+n
= c −→ vG =
=
dω dk
dk
dk
normale Dispersion:
dn
> 0, n > 1
dω
−→
vG < vP < c
79
c
n+ω
dn
dω
=
c
ω dn
n 1+
n dω
anomale Dispersion:
Im n nicht vernachlässigbar
−→
vG keine aussagekräftige Größe
Gruppengeschwindigkeit
vG :
bei Spektrum mit scharfem Maximum
Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Zentrums des Wellenpakets
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit sind zu unterscheiden von der
Front(oder Signal)geschwindigkeit eines im Ortsraum lokalisierten Wellenpakets
Theorie der Fourier-T.:
vF = lim ω(k)/k
k→∞
Hochfrequenzlimes:
Mittelung der Kontinuumselektrodynamik
nicht mehr sinnvoll −→ Hochfrequenzwelle sieht“ körnige (atomare) Struktur
”
zwischen den Atomen ist aber Vakuum −→ vF = c (Plausibilitätsargument, kein Beweis)
tatsächlich erfordern hohe Frequenzen Behandlung mit Quantenfeldtheorie:
relativistische QFT −→ vF = c (Kausalität)
eigentliche Bedeutung der
Dispersion = Zerfließen von Wellenpaketen
in der Näherung
ω(k) ' ω(k0 ) + vG (k − k0 )
−→
vG ' vP
wenn vG 6= vP : Wellenpaket zerfließt, weil verschiedene Fourierkomponenten
versch. Phasengeschwindigkeiten haben −→
offenbar höhere Terme in der Entwicklung von ω(k) ausschlaggebend
einfaches Modell: Gaußsches Wellenpaket mit quadratischem Term in ω(k)
b2 (k − k0 )2
−
b
2
f˜(k) = √ e
2π
a2 k 2
−→
ω(k) = ω0 1 +
2
vG =
dω(k)
|k0 = a2 ω0 k0
dk
Konstante a, b: Längen, die Wellenpaket und Dispersion charakterisieren
Z
f (t, x) =
b
dk f˜(k)ei(kx − ω(k)t) = √
2π
Z
2 2
b2 (k − k0 )2 ikx − iω t 1 + a k
0
−
2
2
dk e
e
80
Nebenrechnung für Exponenten:
b2
a2 k 2
(k − k0 )2 + ikx − iω0 t − iω0 t
2
2
2
b
a2 k02
2
2
= − d(t) (k − k0 ) + ik(x − vG t) − iω0 t 1 −
2
2
g(t, x, k) = −
= −
b2
d(t)2 (k − k0 )2 + i(k − k0 )(x − vG t) + ik0 x − iω(k0 )t
2
mit
d(t)2 = 1 +
iω0 a2
t,
b2
vG = a2 ω0 k0
mit neuer Integrationsvariable k 0 = k − k0 und dem Integral
1
√
2π
L2 k 2
z2
−
1
2 eikz = e 2L2
dk e
L
−∞
Z
∞
−
ergibt sich als explizite Form des Wellenpakets
(x − vG t)2
−
ik
x
−
iω(k
)t
0
e 0
2
2
e 2b d(t)
f (t, x) =
d(t)
t=0:
x2
− 2
|f (0, x)| = e 2b
t>0:
(x − vG t)2
2
4
e 2b |d(t)|
|f (t, x)| =
|d(t)|
−
Interpretation der Zeitabhängigkeit:
Maximum des Wellenpakets bewegt sich mit Gruppengeschwindigkeit vG
1/2
a4
2
2
2
Breite ∼ b|d(t)| = b 1 + ω0 t 4
wächst mit t
b
Breite wächst umso rascher, je kleiner b/a
−→
schmälere Wellenpakete zerfließen
rascher (Maximum wird dabei kleiner mit wachsendem t)
Grund: klassische Unschärferelation
* kleines b ↔
∆x ∆k & 1
breites Spektrum |f˜(k)|2
* größerer Bereich von verschiedenen Phasengeschwindigkeiten
V.4
Reflexion und Brechung
experimentelle Situation:
2 verschiedene Medien I, II mit Brechungsindizes
√
√
nI = εI (µI = 1) , nII = εII (µII = 1)
81
Vor.: Medien durch (x,y)-Ebene getrennt,
nI reell, nII = nII,r + iκII
einfallende elektromagnetische Welle in I fällt auf Trennfläche
einfallende Welle (z ≤ 0)
(komplexe Notation)
~ ~r) = E
~ 0 ei(~k · ~r − ωt)
E(t,
~0 = 0
~ = ~k × E/k
~ 0 , ~k = nI ~k0 , ~k · E
B
Randbedg.:
an Grenzfläche ρfrei = 0, ~jfrei = 0
N.B.: Zeichnung nur für
~ 0, E
~0,E
~ 00 , nII sinnvoll
reelle E
0
0
Randbedingung an die Felder (s. Abschnitt V.1):
~ H
~ =B
~ (wegen µ = 1) stetig bei z = 0
Tangentialkomponenten von E,
~ B
~ stetig bei z = 0
Normalkomponenten von D,
−→
muss i.a. auch eine Welle in II geben: gebrochene Welle
0
0
~ 0 (t, ~r) = E
~ 0 ei(~k · ~r − ω t) ,
E
0
~ 0 = ~k 0 × E
~ 0 /k 0
B
0
(z ≥ 0)
damit sind die Randbedingungen i.a. noch nicht zu erfüllen
−→
∃ i.a. auch eine reflektierte Welle
00
00
~ 00 (t, ~r) = E
~ 000 ei(~k · ~r − ω t) ,
E
dabei gilt natürlich
~ 00 = ~k 00 × E
~ 00 /k000
B
(z ≤ 0)
~k 2
ω2
2
, etc.
=
k
=
0
c2
n2I
~
beginnen mit Tangentialkomponenten von E
0
0
~k · ~r − ωt) ~ 00 i(~k 00 · ~r − ω 00 t)
i(
~
~ 00 ei(~k · ~r − ω t)
z=0:
~ez × E0 e
+ E0 e
= ~ez × E
−→
ω = ω 0 = ω 00
−→
muss für alle Zeiten gelten
k2
k 00 2
k0 2
ω2
=
=
=
= k02
c2
n2I
n2I
n2II
legen ~k in die (x,z)-Ebene:
Randbedg. (z = 0) ∀ y
−→
k = k 00
~ ∝ ei(k1 x + k3 z − ωt)
E
−→
k20 = k200 = 0
−→
~k, ~k 0 , ~k 00 liegen in einer Ebene
∀ x (z = 0)
−→
k1 = k10 = k100
sin ϕ =
k1
k 00
k1
, sin ϕ00 = 100 =
k
k
k
82
−→
(~k, ~k 00 reell)
Reflexionsgesetz (Einfallswinkel=Ausfallswinkel):
Vor.: κII nII,r
−→
schwach gedämpfte Welle in II
~0
~0
~0
eik · ~r = ei Re k · ~r e−Im k · ~r
−→
Re ~k 0 definiert Richtung der gebrochenen Welle
sin ϕ0 =
ϕ = ϕ00
−→
k1
k1
k10
k0 nI sin ϕ
=
=
=
0
0
~
~
k0 |Re (nII,r + iκII )|
k0 nII,r
|Re k |
|Re (k0 nII )|
Brechungsgesetz (Snellsches Gesetz):
nI sin ϕ = nII,r sin ϕ0
damit sind Exponentialfaktoren in allen Wellen gleich (für z = 0)
~ 0, E
~0,E
~ 00 (i.a. komplex) in Beziehung zueinander
verbleibende Randbedg. setzen E
0
0
~ B
~
Normalkomponenten von D,
~0 + E
~ 00 ) · ~ez = εII E
~ 0 · ~ez
ε I (E
0
0
~k × E
~ 0 + ~k 00 × E
~ 00 · ~ez = ~k 0 × E
~ 0 · ~ez
0
0
i.
ii.
~ H
~ =B
~
Tangentialkomponenten von E,
~0 + E
~ 00 ) × ~ez = E
~ 0 × ~ez
(E
0
0
~k × E
~ 0 + ~k 00 × E
~ 00 × ~ez = ~k 0 × E
~ 0 × ~ez
0
0
iii.
iv.
bel. einfallende Welle ist Überlagerung zweier orthogonal aufeinander linear pol. Wellen;
~ 0 in der Einfallsebene liegt, d.h. E
~ 0 · ~ey = 0
beschränken uns hier auf den Fall, dass E
~ 0, E
~0,E
~ 00 alle in Einfallsebene
Randbedg. −→ E
0
0
q
q
q
00
2
0
2
00
2
~
~
~ 0 2 , εII = n2 i.a. komplex
N.B.: E0 = E0 , E0 = E0 , εI = nI alle reell; E0 = E
0
II
i
−→
n2I E0 + E000 sin ϕ = n2II E00 sin ϕ0
dabei ist die i.a. (für κII 6= 0) komplexe Größe sin ϕ0 def. durch
k10 = k 0 sin ϕ0
(k10 reell, k 0 komplex)
~ ∝ ~ey
Relation ii ist identisch erfüllt, da ~k × E
iii
−→
E0 − E000 cos ϕ = E00 cos ϕ0 ,
~ ∝ ~ey
iv: da ~k × E
~ =0
da ~k · E
−→
nI
−→
sin2 ϕ0 + cos2 ϕ0 = 1
resultierender Vektor in x-Richtung
Produkt der Beträge k E geht ein; mit
k2
k 00 2
=
= n2I ,
k02
k02
E0 + E000 = nII E00
k0 2
= n2II
k02
83
−→
−→
i + iv
allg. Form des Brechungsgesetzes für komplexes nII
nI sin ϕ = nII sin ϕ0
iii + iv: 2 Gleichungen für E00 , E000 (ϕ0 mit Hilfe des Brechungsgesetzes eliminiert)
~ 0 in Einfallsebene)
Fresnelsche Formeln (für E
E00
E0
=
q
cos ϕ − nI n2II − n2I sin2 ϕ
q
=
E0
n2II cos ϕ + nI n2II − n2I sin2 ϕ
E000
2nI nII cos ϕ
q
,
n2II cos ϕ + nI n2II − n2I sin2 ϕ
n2II
q
n2II − n2I sin2 ϕ = nII cos ϕ0
i.a. komplexe Größen; wenn nII komplex:
zeitgemittelte Energiestromdichte
~> =
<S
=
c
c
∗
~ ×H
~ >= c Re E
~0 × H
~ ∗ µ=1
~
~
<E
Re
E
×
B
=
0
0
0
4π
8π
8π
(
)
∗ ~k0
~
c
n~
c
~
~0 · E
~ ∗ = c |E0 |2 k0 Re n
~
Re E0 ×
Re n E
k0 × E0
=
0
8π
k0
8π
k0
8π
k0
~ in Einfallsebene)
Reflexionskoeffizient R|| (für E
R|| =
~ 00 > |
|<S
|E 00 |2
= 02
~>|
|E0 |
|<S
ϕ=0
=
(nII,r − nI )2 + κ2II
|nII − nI |2
=
|nII + nI |2
(nII,r + nI )2 + κ2II
Transmissionskoeffizient T||
T|| =
~0 > |
|E 0 |2 Re nII
|<S
= 0 2
~>|
|E0 | nI
|<S
Energieerhaltung:
ϕ=0
=
4nI nII,r
4nI Re nII
=
2
|nII + nI |
(nII,r + nI )2 + κ2II
R|| + T|| = 1
für sichtbares Licht: Medium I = Luft, nI ' 1
Wasser:
nII,r ' 1.33, κII nII,r
−→
Metall:
−→
Wasser ist transparent:
nII ' iκII
−→
R|| ' 0.02
T|| ' 0.98
T|| ' 0
−→
R|| ' 1
Metallspiegel!
im weiteren angenommen:
nII reell
E00
2nI cos ϕ
=
,
E0
nII cos ϕ + nI cos ϕ0
E000
nII cos ϕ − nI cos ϕ0
=
E0
nII cos ϕ + nI cos ϕ0
Folgerung: E000 = 0 für nII cos ϕB = nI cos ϕ0
zusammen mit Brechungsgesetz nI sin ϕB = nII sin ϕ0 kann ϕ0 eliminiert werden
84
−→
Ergebnis
tan ϕB =
nII
nI
−→
tan ϕ0 =
nI
= cot ϕB
nII
−→
ϕB + ϕ0 =
π
2
ϕB : Brewsterscher Winkel
bei ϕ = ϕB : kein reflektierter Strahl
~ in Einfallsebene
wenn E
−→
bei einfallender unpolarisierter
Strahlung ist reflektierte Welle
~ 00 ⊥ Ebene
vollständig polarisiert mit E
Herstellung von polarisiertem Licht
(orth. polar. Komp. immer 6= 0)
Symmetrierelation für allgemeine Winkel:
|E000 |
ungeändert bei ϕ ↔ ϕ0 und nI ↔ nII
−→
Reflexionskoeffizient gleich groß für
|E0 |
Wellen, die von I nach II unter Winkel ϕ einfallen wie für Wellen, die von II nach I unter
Winkel ϕ0 einfallen, wobei nI sin ϕ = nII sin ϕ0
Totalreflexion
Einfall vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium:
sin ϕ =
−→
nII
nII
sin ϕ0 ≤
<1
nI
nI
−→
ϕ ≤ ϕTR = arcsin
Totalreflexion für ϕ > ϕTR
Anwendungen: Glasfaser als Lichtleiter, Röntgenlinsen
85
nII < nI
(beide reell)
nII
nI
VI
Relativistische Formulierung der Elektrodynamik
Mechanik: ausgezeichnete Rolle der Inertialsysteme
Relativitätsprinzip: alle Inertialsysteme gleichberechtigt
−→
Forminvarianz der Newtonschen Gleichungen unter Galilei-Transformationen
Elektrodynamik: offenbar nicht invariant unter Galilei-Transformationen,
da Lichtgeschwindigkeit ausgezeichnet
von Maxwell bis 1905: MG gelten in einem bevorzugten Bezugssystem, in dem der Träger
der elektromagnetischen Wellen ruht (Äther)
Michelson und Morley (1887): Lichtgeschwindigkeit in allen Richtungen gleich, obwohl Erde
sicher keine ausgezeichnete Position im Universum
(Bewegung der Erde im Sonnensystem, in der Milchstraße, gegenüber Fixsternen)
Einstein ( Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ , 1905): wenn c in allen Inertialsystemen
”
den gleichen Wert hat −→ Modifikation der Galilei-Transformationen notwendig
kein Äther, aber gravierende Änderung des Zeitbegriffs −→
Relativität der Gleichzeitigkeit
Galilei-Transformationen
−→
Lorentz-Transformationen
wichtiger Unterschied:
(Maxwellsche) Elektrodynamik ist bereits eine lorentzinvariante Theorie
(Newtonsche) Mechanik muss dagegen modifiziert werden, um Invarianz unter
Lorentz-Transformationen zu erreichen
VI.1
IS: t, ~r
Relativitätsprinzip und Lorentz-Transformationen
IS0 : t0 , ~r 0
(spezielle) Galilei-Transformation:
t0 = t
(universelle Zeit)
~r 0
= ~r − ~v t
d~r 0
d~r
d~r 0
−→
=
=
− ~v
0
dt
dt
dt
d2~r 0
d2~r
−→
= 2
−→
Galilei-Invarianz der Mechanik
0
2
dt
dt
angenommen, Elektrodynamik wäre galileiinvariant:
IS: Lichtgeschwindigkeit=c
−→
IS0 : c0 = c − v (in Richtung ~v )
Widerspruch zum Experiment −→ Relation zwischen (t, ~r) und (t0 , ~r 0 ) muss geändert werden
welche Kriterien sind maßgebend?
verlangen nach wie vor das
Relativitätsprinzip: kein Inertialsystem ist vor einem anderen ausgezeichnet
86
−→
sehr starke Einschränkung an mögliche Transformationen
stellen 3 Forderungen an erlaubte Transformationen zwischen Inertialsystemen
A. Eigenschaft der kräftefreien Bewegung
geradlinig, gleichförmig in IS0
⇔
geradlinig, gleichförmig in IS
Folgerung: lineare Transformation zwischen (t, ~r) und (t0 , ~r 0 )
Eigenschaft unter räumlichen Drehungen:
t, t0 Skalare, ~r, ~r 0 Vektoren
−→
allgemeiner Ansatz:
t0 = a t + b ~v · ~r
~r 0 = d ~r + e ~v (~v · ~r) + f ~v t
−→
a(~v ), . . . , f (~v ) drehinvariant
~r 0
Festlegung:
nur von v = |~v | abhängig
= 0 soll ~r = ~v t entsprechen
d + e v2 + f = 0
−→
~v
IS0
−→
B. Inverse Transformation:
IS
sehr starke Einschränkung
−→
IS0
⇔
−~v
−→
IS
nur mehr einzige unbestimmte Funktion a(v)
1 − a2
~v · ~r
a v2
a−1
= ~r +
~v (~v · ~r) − a ~v t
v2
t0 = a t +
~r 0
C. Gruppeneigenschaft
IS
~v
−→
IS0
w
~
−→
IS00
⇒
IS
~
u
−→
IS00 selbe Struktur mit ~u(~v , w)
~
Forderung legt a(v) bis auf eine Konstante K fest:
a(v) = r
1
v2
1− 2
K
=: γ
außerdem folgt aus der Gruppeneigenschaft das Geschwindigkeitsadditionstheorem:
wenn ~v || w
~
−→
Geschwindigkeitsadditionstheorem für allg. ~v , w
~
~u =
~v + w
~
vw
1+ 2
K
−→
Übungen
legen ~v in die x-Richtung:
vx t0 = γ t − 2
K
0
x = γ (x − v t)
87
y0 = y
z0 = z
was ist die Bedeutung der Konstanten K (Dimension einer Geschwindigkeit)?
v 2 x2
02
2 02
2
2
2 2
2 2
x −K t
= γ x − 2v x t + v t − K t + 2v x t −
K2
v2
v2
= x2 − K 2 t2
= γ 2 x2 1 − 2 − K 2 t 2 1 − 2
K
K
Folgerung:
K ist eine invariante Geschwindigkeit
x = ±K t
x0 = ±K t0
↔
i. Galilei, Newton: es gibt keine (endliche) invariante Geschwindigkeit
Galilei − Transformation (γ = 1) :
ii. Einstein:
K = c = 299792458 m s−1
−→
t0 = t
y0 = y
x0 = x − v t
z0 = z
K=∞
Lichtgeschwindigkeit
v t0 = γ t − 2 x
c
0
x = γ (x − v t)
y0 = y
z0 = z
spezielle (eigentliche, orthochrone) Lorentz-Transformation mit
γ=r
1
1−
v2
,
~u =
c2
~v + w
~
vw
1+ 2
c
(f ür ~v || w)
~
betrachten massives Teilchen in IS mit Geschwindigkeit w < c :
Lorentz-Transformation (in Richtung von −w):
~ immer v < c, damit γ < ∞
in IS0 :
w0 =
v+w
vw
1+ 2
c
für festes w ist w0 streng monoton wachsend in v
da lim
v→c
v+w
vw = c
1+ 2
c
−→
w0 =
v+w
vw < c
1+ 2
c
Folgerung: c ist eine Grenzgeschwindigkeit −→ massive Teilchen haben immer v < c
(s. Abschnitt VI.4: Relativistische Mechanik)
andererseits:
w=c
v+w
vw = c
1+ 2
c
−→
88
−→
masselose Teilchen (wie Photonen, s. relativistische Mechanik) haben in allen IS
Lichtgeschwindigkeit c (← Invarianz von c)
allgemeine Form einer speziellen (eigentlichen, orthochronen) Lorentz-Transformation
t
0
~v · ~r
= γ t− 2
c
~r 0 = ~r +
,
γ=
v2
1− 2
c
−1/2
γ−1
~v (~v · ~r) − γ~v t
v2
wichtigste Konsequenz:
da Raum- und Zeitkoordinaten gemischt −→ keine universelle Zeit mehr
−→
Begriff der Gleichzeitigkeit nicht mehr unabhängig vom IS
−→ Ursache aller begrifflichen Schwierigkeiten der speziellen Relativitätstheorie (SRT)
Raum und Zeit zur Beschreibung von Ereignissen notwendig
Raum-Zeit-Diagramm
auf 1 Raumdimension beschränkt
t0 -Achse:
−→
x0 = 0
x = vt ,
tan α =
v
c
x0 -Achse: t0 = 0
vx
c2
t − 2 = 0 −→ x = t
c
v
ct
ct
v
tan β =
= 2 =
x
c
c t
v
−→
α=β
bereits abgeleitet: x = ±c t
↔
x0 = ±c t0
Lichtkegel für 3 Raumdimensionen:
r2
=
Lichtkegel
c2 t2
Grenzgeschwindigkeit c
−→
Tangente der Weltlinie (Trajektorie in der Raum-Zeit)
eines massiven Teilchens immer innerhalb des Lichtkegels
Relativität der Gleichzeitigkeit
Raum-Zeit-Punkte A,B: bei t = 0 (gleichzeitig in IS) Lichtblitz nach rechts, bzw. links
IS: A und B gleichzeitig
IS0 :
B war vor A !
unausweichliche Konsequenz der
Invarianz von c
Zeitordnung verschiedene Bedeutung
bei Galilei- und Lorentz-Transformationen
89
Newton (Galilei)
Einstein (Lorentz)
Zukunft
Zukunft
Vergangenheit
Vergangenheit
Gegenwart:
t0 = t = 0
Ereignisse G, G’:
universelle Zeit
potenzielle Gegenwart
Abstand zweier Raum-Zeit-Punkte (Ereignisse) definiert einen Vierervektor (ct, ~r)
lorentzinvariante Klassifizierung (da c2 t2 − r2 unabhängig vom IS)
c2 t2 − r2 > 0
t>0
zeitartiger Abstand
Zukunft
—”—
t<0
—”—
Vergangenheit
c2 t2
c2 t2
−
r2
=0
lichtartiger Abstand
−
r2
<0
raumartiger Abstand
potenzielle Gegenwart
potenzielle Gegenwart: ∃ IS, so dass Ereignisse gleichzeitig in diesem IS
Grenzgeschwindigkeit c: nur zeitartig oder lichtartig getrennte Ereignisse können
kausal miteinander verbunden sein
Konsequenzen der Relativität der Gleichzeitigkeit
A. Zeitdilatation (Motto: Laufen erhält jung!)
90
Uhren synchronisiert
Uhr in IS: t = T, x = 0
Uhr in IS0 : x0 = 0 (x = v T )
v
r
T − 2v T
v2
c
0
= 1− 2 T
t = r
c
v2
1− 2
c
t = 0, x = 0
t0 = 0, x0 = 0
r
v2
T < T −→ bewegte Uhren gehen langsamer
c2
Relativitätsprinzip: von IS0 aus betrachtet, geht die in IS ruhende Uhr langsamer !
Zeitdilatation:
t0 =
1−
Veranschaulichung mit spezieller Uhr in IS0 :
L.-T. ⊥ auf Lichtweg
−→
IS0 :
Abstand d ungeändert
t0 =
2d
c
von IS aus betrachtet:
misst Zeit t = T
cT 2
vT 2
=
+ d2
2
2
0 2
vT 2
ct
=
+
2
2
r
v2
−→
t0 = 1 − 2 T
c
unausweichliche Konsequenz der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit
Realität der Zeitdilatation
Myonen: instabile Geschwister der Elektronen, mittlere Lebensdauer im Ruhsystem: τµ =
2.2 · 10−6 s (zerfallen fast ausschließlich in Elektronen und Neutrinos: µ− → e− + νµ + νe )
werden in Atmosphäre durch Höhenstrahlung erzeugt −→ sollten nach einer Strecke
c τµ = 3 · 108 m s−1 2.2 · 10−6 s = 660 m zerfallen sein (genauer: ursprüngliche Zahl auf e-ten
Teil abgesunken)
tatsächlich erreichen auch Myonen die Erde, die in 30 km Höhe erzeugt wurden
Grund: wegen Zeitdilatation fliegen Myonen im Mittel eine Strecke γ c τµ 660 m für v <
∼c
da im IS(Erde): t = γ t0 = γ τµ τµ
Zeiten t, t0 offensichtlich
keine invariante Bedeutung
beliebig bewegte Uhr (kein IS i.a.)
infinitesimaler lorentzinvarianter Abstand:
ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2
91
im augenblicklichen Ruhsystem IS0 (Geschw. ~v (t0 ) relativ zu IS): dx0 = dy 0 = dz 0 = 0
1
−→
ds2 = c2 dt0 2
−→
dt0 = ds : infinitesimale Eigenzeit dτ
c
für endliches Wegstück:
s
2
Z
Z τ2
Z t2
1 t2 ds
d~r
τ2 − τ1 =
dτ =
dt =
dt 1 −
/c2
c t1 dt
dt
τ1
t1
s
0 2
Z t2 r
Z t0
2
~v (t)2
d~r
0
dt 1 − 2 =
=
dt 1 −
/c2
c
dt0
t1
t01
Eigenzeit τ ist unabhängig vom Inertialsystem und für beliebige Weltlinien berechenbar
offenbar gilt (für Zeiten t1 , t2 in beliebigem IS)
|τ2 − τ1 | ≤ |t2 − t1 |
Messung des anomalen magnetischen Moments des Myons
Myon-Speicherring (Brookhaven National Laboratories):
Myonen durch Magnetfeld auf Kreisbahn gehalten
v ' 0.99942 c → γ = 29.3
vτµ ' cτµ = 660 m
naive Erwartung:
Myonen im Mittel nach
n=
660 m
= 7.5 Runden zerfallen
2Rπ
tatsächlich zerfallen die Myonen im Mittel erst nach 220 Runden
−→
sehr genaue Bestätigung des γ-Faktors
r
Z T r
~v 2 (t)
v2
T
220
=γ=
= 29.3
τµ =
dt 1 − 2 = T 1 − 2 −→
c
c
τµ
7.5
0
Bem.: v = 0.999 c würde n = 168 Runden ergeben
−→
sehr präziser Test für SRT
biologisch unbedenkliche Version des Zwillingsparadoxons:
Vergleichsprobe von Myonen in Ruhe sind im Mittel bereits nach τµ zerfallen, während die
beschleunigten Myonen γτµ leben, also 29.3 mal länger
N.B.: kein Paradoxon, da kreisende Myonen kein Inertialsystem definieren!
B. Lorentzkontraktion=Längenkontraktion (Motto: Laufen macht schlank!)
Übereinkunft: Längen immer zu gleichen Zeiten in geg. IS gemessen
da Gleichzeitigkeit vom IS abhängt, auch Längenmessung abhängig vom IS
92
Stab der Länge L soll in IS0 ruhen
Messung in IS zur Zeit t = 0: ∆x = AB
Messung in IS0 : ∆x0 = AB 0 = L
x0 = L :
t=0:
L
= x−vt
γ
xB = ∆x =
L
∆x0
=
γ
γ
r
v2
∆x0
c2
Folgerung: bewegte Maßstäbe sind kürzer“ −→
”
Konsequenz aus Def. der Längenmessung und Relativität der Gleichzeitigkeit
−→
1−
∆x =
VI.2
Minkowski-Raum und Lorentz-Gruppe
L.-T. mischen räumliche und zeitliche Komponenten −→
(ct, ~r) zu Vierervektor zusammengefasst, Koordinaten parametrisieren Ereignisse = Punkte
in der Raum-Zeit (Minkowski-Raum M4 )
Skalarprodukt in
M4
Ziel: c2 t2 − ~r 2 lorentzinvariante Größe (im Gegensatz zu c2 t2 + ~r 2 )
Basis in
M4 : eµ (µ = 0, 1, 2, 3)
Konvention: griechische Indizes für Vierervektoren (µ = 0, 1, 2, 3), keine Vektorpfeile
lateinische Indizes für Dreiervektoren (i = 1, 2, 3), Vektorpfeile
Def. des Skalarprodukts in
M4 :
eµ · eν = ηµν


1 0
0
0
0 −1 0
0

=
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
ηµν : metrischer Tensor (pseudo-euklidische Metrik)
x ∈ M4 :
x = xµ e µ
xµ
x0
−→
Summenkonvention!
=
(x0 , x1 , x2 , x3 )
=
c t, x1
=
x, x2
kontravariante Komponenten
=
y, x3
=z
des Vierervektors x
lorentzinvariantes (aber nicht positiv definites) Skalarprodukt
x·y
=
xµ eµ · y ν eν = xµ y ν eµ · eν = xµ y ν ηµν
=
x0 y 0 −
3
X
xi y i = x0 y 0 − ~x · ~y
i=1
x
2
:= x · x = x0 2 − ~r 2 = c2 t2 − ~r 2
93
bis jetzt: spezielle L.-T. betrachtet (Boosts)
suchen jetzt allgemeine lineare Transformationen x −→ x0 , y −→ y 0 der Form
z 0µ = Lµν z ν + aµ
z = x, y
mit reeller 4x4-Matrix L und reellem Vierervektor a, die den lorentzinvarianten Abstand
(x − y)2 = ηµν (x − y)µ (x − y)ν = (x0 − y 0 )2 − (~x − ~y )2
ungeändert lassen
Komponenten aµ : zeitliche (µ = 0) und räumliche (µ = i = 1, 2, 3) Translationen
homogener Anteil (zur Vereinfachung y = 0 gesetzt):
x0 2
=
ηµν x0 µ x0 ν = ηµν Lµλ Lνρ xλ xρ = x2 = ηλρ xλ xρ
ν
−→ ηµν Lµλ Lνρ = ηλρ = L>µ
λ ηµν L ρ
L> η L = η
µ
L>µ
λ := L λ
mit der transponierten Matrix:
O> 1 O = 1
Analogie zu orthogonalen Transformationen:
−→
−→
Lorentz-Transformationen sind pseudo-orthogonale Transformationen
spezielle L.-T. in x-Richtung:
v c t0 = γ c t − x
c
v 0
x = γ x − ct
c
y0 = y
Lµλ
z0 = z
Def.: γ =: cosh ψ
−→
−→
v
γ
− γ
c
 v
− γ
γ
=
 c
 0
0
0
0

0 0


0 0


1 0
0 1
Rapidität ψ
sinh2 ψ = cosh2 ψ − 1 = γ 2 − 1 =
im (x0 , x1 ) Unterraum
cosh ψ − sinh ψ
L=
− sinh ψ cosh ψ
1 − 1 + v 2 /c2
v2 2
=
γ
1 − v 2 /c2
c2
pseudo − orthogonale Transformation
Menge aller L.-T. bilden die Lorentz-Gruppe:
L>
i η Li = η
>
>
(i = 1, 2) −→ (L1 L2 )> η L1 L2 = L>
2 L1 η L1 L2 = L2 η L2 = η
bekannte Untergruppe:


1 0 0 0
0


L=
0
D 
0
D> (−1)D = −1 → D> D = 1
−→
orthogonale Gruppe O(3)
zur Erinnerung: orthogonale Gruppe O(3) zerfällt in 2 Teile
94
det D = 1
Drehungen
SO(3)
det D = −1
Drehspiegelungen
keine Gruppe
4 Zusammenhangskomponenten
Lorentz-Gruppe O(3, 1):
L> η L = η −→ det L> det η det L = det η
| {z }
| {z }
−1
−1
2
(det L) = 1 −→ det L = ±1
L ηL
>
00
= η00 = 1 =
=
2
L00
−
3
X
Li 0
2
−→
L00
2
≥1
i=1
L00
daher:
L↑+ :
ηµν Lµ0 Lν0
≥1
entweder
oder
≤ −1
det L
sgn L00
L↑+
1
1
L↑−
L↓+
L↓−
-1
1
P
1
-1
PT
-1
-1
T
Untergruppe SO(3, 1) der eigentlichen orthochronen L.T.
L↑+ ∪ L↑− :
Untergruppe der orthochronen L.T.
spezielle L.T. (Boost) in x-Richtung:

cosh ψ − sinh ψ
− sinh ψ cosh ψ
L=

1

det L = cosh2 ψ − sinh2 ψ = 1



1
cosh ψ ≥ 1 −→ sgn L00 = 1
eigentlich, orthochron
Raumspiegelung P(arität)
x0 0 = x0 , x0 i = −xi
−→
det L = −1, sgn L00 = 1
−→
det L = −1, sgn L00 = −1
Zeitumkehr T
x0 0 = −x0 , x0 i = xi
N.B.: nur eigentliche orthochrone L.T. sind stetig mit der Einheit verbunden
fundamentale Wechselwirkungen:
Naturgesetze sind nach derzeitigem Stand invariant bezüglich L↑+ (plus Translationen)
aber nicht bezüglich P und T (verletzt durch schwache Wechselwirkungen)
starke und elektromagnetische Wechselwirkungen invariant unter der gesamten
Poincaré-Gruppe (semi-direktes Produkt von Lorentz-Gruppe und Translationen)
95
o.B.: jede eigentliche orthochrone L.T. kann als Produkt einer Drehung um den Winkel φ
~ = φ ~n und einer speziellen L.T. (Boost) mit Geschwindigkeit ~v
um eine Achse φ
dargestellt werden
~ LBoost (~v ) x + a
x0 = LRot (φ)
(VI.1)
Folgerung:
Lorentz-Gruppe hat
6
Parameter
Poincaré-Gruppe hat
10
Parameter
−→
Poincaré-Invarianz
~ ~v )
(φ,
~ ~v , aµ )
(φ,
10 Erhaltungsgrößen
(selbe Anzahl wie bei Galilei-Invarianz)
Tensoren und Tensorfelder auf dem Minkowski-Raum
Def.:
4 Größen V µ = (V 0 , V 1 , V 2 , V 3 ) bilden die kontravarianten Komponenten eines
Vierervektors V = V µ eµ , wenn sie sich unter Poincaré-T. wie die Differenziale
dxµ transformieren
dx0 µ = Lµν dxν
−→
−→ V 0 µ = Lµν V ν
(L> η L = η)
eν = e0µ Lµν
Transformation der Basisvektoren:
(passive Transformation)
V = V ν eν = V ν e0µ Lµν = Lµν V ν e0µ = V 0 µ e0µ
Tensoren:
n-stufiger Lorentz-Tensor
T = T µ1 ...µn eµ1 ⊗ · · · ⊗ eµn mit
kontravarianten Komponenten:
Basisvektoren eµ des Dualraums von
T 0 µ1 ...µn = Lµν11 . . . Lµνnn T ν1 ...νn
M4 :


eµ · eν = δ µν = 


1
1

 = δνµ

1
1
Beh.: eν = ηνµ eµ
Bew.:
eµ · eν = eµ · ηνλ eλ = ηνλ eµ · eλ = ηνλ δµλ = ηνµ = ηµν
wie im Euklidischen:
M4 kann mit seinem Dualraum identifiziert werden
V = V µ eµ = V µ ηµν eν =: Vν eν
Def.: Vν = ηµν V µ = ηνµ V µ
−→
kovariante Komponenten des Vierervektors V
Vµ = (V0 , V1 , V2 , V3 ) = (V 0 , −V 1 , −V 2 , −V 3 )
Transformationsverhalten der kovarianten Komponenten (leicht nachzuprüfen):
analog für beliebige Tensoren (“Indexziehen” mit metrischem Tensor):
Tµ1 ...µn
= ηµ1 ν1 . . . ηµn νn T ν1 ...νn
Tν1 ...νn
= Tµ0 1 ...µn Lµν11 . . . Lµνnn
96
Vµ0 Lµν = Vν
metrischer Tensor ist ein invarianter Tensor 2. Stufe mit kovarianten Komp. ηµν :
0
ηµν Lµλ Lνρ = ηλρ −→ ηµν
= ηµν
kontravariante Komponenten:
ηµν = ηµλ ηνρ η λρ −→ η µν = ηµν
daher Indexziehen auch mit η µν :
V µ = η µν Vν
auch gemischte Tensorkomponenten möglich, z.B.
δ µν gemischte Komponenten des metrischen Tensors: δ µν = η µλ ηλν = ηνλ η λµ = δνµ
N.B.: δ̂µν = diag(1,1,1,1) sind nicht die (kovarianten) Komponenten
eines invarianten Tensors
einfachster Tensor: Skalar = Tensor nullter Stufe (invariant unter L.T.)
wichtiges Beispiel: elektrische Ladung q ist ein Skalar
außerdem: Skalarprodukt zweier Vierervektoren ist ein Skalar
V · W = ηµν V µ W ν = η µν Vµ Wν = V µ Wµ = Vµ W µ
weitere wichtige (Lorentz-)Skalare:
– 4-dimensionales Volumselement
d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 = c dt dx dy dz
d4 x0 = | det
∂x0 µ 4
| d x = d4 x
ν
∂x
| {z }
(wegen
| det L| = 1)
Lµν
– invariantes Linienelement
ds2 = (c dt)2 − (d~r)2 = ηµν dxµ dxν = dxµ dxµ
4-dimensionaler ε-Tensor (Levi-Cività-Symbol):
Def.:
kovariante Komponenten

(µνρσ) gerade Perm. von (0123)
 1
−1
(µνρσ) ungerade Perm. von (0123)
εµνρσ =

0
sonst
ε-Tensor ist ein invarianter Pseudo-Tensor:
εµνρσ Lµα Lνβ Lργ Lσδ = det L εαβγδ
dreht bei uneigentlichen L.T. das Vorzeichen um
(wie 3-dimensionaler ε-Tensor bei Drehspiegelungen)
Relativitätsprinzip: Naturgesetze haben in jedem IS dieselbe Form
Tensorgleichungen
T1 = T2
−→
(beide Seiten gleiches Verhalten bei IS −→ IS0 )
Feldtheorie (im Gegensatz zur Punktmechanik):
Tensorfelder
T (x)
mit (kontravarianten) Komponenten T µ1 ...µn (x)
97
Lorentz-Transformation für Tensorfelder:
T 0 µ1 ...µn (x0 ) = Lµν11 . . . Lµνnn T ν1 ...νn (x)
d.h.: Raum-Zeit-Argumente müssen ebenfalls transformiert werden!
Φ0 (x0 ) = Φ(x)
skalares Feld:
Vektorfeld, Tensorfeld (z.B. elm. Feldstärke-Tensor), etc.:
F 0 µν (x0 ) = Lµλ Lνρ F λρ (x), . . .
V 0 µ (x0 ) = Lµν V ν (x),
Feldgleichungen enthalten Ableitungen von Tensorfeldern; einfachstes Beispiel:
∂Φ(x)
4-Gradient eines skalaren Feldes mit Komponenten
∂xµ
Transformationsverhalten unter L.T.:
∂Φ(x)
∂Φ0 (x0 )
∂Φ0 (x0 ) ∂x0 µ
∂Φ0 (x0 ) µ
=
=
=
Lν
∂xν
∂xν
∂x0 µ ∂xν
∂x0 µ
∂Φ
sind die kovarianten Komponenten des Gradientenvektorfeldes ∇Φ
∂xµ
analog für mehrfache Ableitungen, Indexziehen wie bei allen Tensoren
−→
Φ, µ :=
spezieller Differenzialoperator:
η µν
−→
∂ ∂
1 ∂2
∂2
1 ∂2
µν
µ
=
η
∂
∂
=
∂
∂
=
−
=
−∆=2
µ
ν
µ
∂xµ ∂xν
c2 ∂t2 ∂xi ∂xi
c2 ∂t2
d’Alembert-Operator ist ein lorentzinvarianter Differenzialoperator
konkret:
ist T (x) ein Tensorfeld n-ter Stufe, dann ist auch
2 T (x)
– “ –
Kontraktion (analog wie für euklidische Tensoren):
sind T µ1 ...µn die (kontravarianten) Komponenten eines Tensors n-ter Stufe, dann sind
T
µ1 ...µi−2 ν µi+1 ...µn
ν
= ηµi−1 µi T µ1 ...µi−2 µi−1 µi µi+1 ...µn
die (kontravarianten) Komponenten eines Tensors der Stufe n-2
VI.3
Elektrodynamik
Ziel: MG in lorentzkovariante Form bringen (Tensorgleichungen im Minkowski-Raum)
−→
Elektrodynamik erfüllt Relativitätsprinzip für L.-T.
Ladungs- und Stromdichte als Felder in
M4 :
~j(x) = ~j(t, ~r)
ρ(x) = ρ(t, ~r) ,
betrachten stromführenden Draht in 2 verschiedenen IS (alle Ladungen haben gleiche Geschwindigkeit)
98
IS
IS0
alle Ladungen Geschw. ~v
mitbewegtes System (ruhende Ladungen)
Ladungserhaltung: Gesamtladung q unabhängig vom IS (q ist ein Skalar)
da Querschnitt F bei L.T. nicht geändert
q = L F ρ(x) = L0 F ρ0 (x0 )
L = γ −1 L0 (bewegter Draht kürzer)
Lorentz-Kontraktion:
ρ0 (x0 ) =
L
ρ(x) = γ −1 ρ(x) ,
L0
Beh.: ρ und ~j transformieren unter L.T. wie t und ~r
−→
~j(x) = ρ(x) ~v
−→
j µ (x) = cρ(x), ~j(x)
kontravariante Komponenten der Viererstrom(dichte) j(x) (Vektorfeld)
Bew. (da ~v || ~j):
~v ~
v2
ρ (x ) = γ ρ(x) − 2 · j(x) = γρ(x) 1 − 2 = γ −1 ρ(x)
c
c
~j 0 (x0 ) = γ −~v ρ(x) + ~j(x) = 0
0
0
qed
Kontinuitätsgleichung:
3
~ ~j =
ρ̇ + ∇
∂(cρ) X ∂j i
∂j µ
+
=
=0
∂(ct)
∂xi
∂xµ
i=1
da
∂j µ
=: ∂µ j µ =: j µ,µ skalares Feld
∂xµ
−→
Kontinuitätsgleichung (Stromerhaltung) lorentzinvariante Aussage:
Viererstrom für Punktteilchen
Weltlinie z µ (s) mit Weglänge s
(invariante Weglänge s = cτ )
d~z ds
d~z
Geschw.: ~v (s) = c 0 = c
dz
ds dz 0
0
0
0
für geg. x , ~r : x = z (s) → s(x0 )
ρ, ~j nur dann 6= 0, wenn ~r = ~z(s(x0 ))
99
∂µ j µ = 0
ρ(x0 , ~r) = q δ (3) (~r − ~z(s))
−→
~j(x0 , ~r) = q ~v (s) δ (3) (~r − ~z(s))
Ziel: Viererstrom j(x) in manifest kovariante Form bringen
für jede stetige Funktion f (x0 ) gilt offenbar
Z ∞
dz 0 δ(x0 − z 0 ) f (z 0 ) = f (x0 )
−∞
parametrisieren z 0 mit Weglänge s
−→
Z
dz 0
ds
δ(x0 − z 0 (s)) f (z 0 (s)) = f (x0 )
| {z } | {z }
ds
g(s)
und daher für g(s) = δ (3) (~r − ~z(s)), bzw. g(s) =
Z
cq
ds
Z
cq
−→
ds
g(s)
d~z ds (3)
δ (~r − ~z(s)):
ds dz 0
dz 0
δ(x0 − z 0 (s)) δ (3) (~r − ~z(s)) = cq δ (3) (~r − ~z(s)) = c ρ(x)
ds
d~z
δ(x0 − z 0 (s)) δ (3) (~r − ~z(s)) = q ~v (s) δ (3) (~r − ~z(s)) = ~j(x)
ds
endgültige Form
j (x) = (c ρ, ~j) = c q
µ
Z
ds
dz µ (4)
δ (x − z(s))
ds
mit 4-dimensionaler δ−Funktion δ (4) (x) = δ(x0 ) δ (3) (~r)
leicht nachzuprüfen: δ−Funktion ist eine lorentzinvariante Distribution
δ (4) (x0 ) = δ (4) (x)
x0 µ = Lµν xν
f ür
damit folgt sofort das richtige Transformationsverhalten
j 0 µ (x0 ) = Lµν j ν (x)
Def.:
Vierergeschwindigkeit u(s) eines Punktteilchens mit kontravarianten Komponenten
uµ (s) = c
dz µ
dz µ dz 0
dz 0
=c 0
=c
ds
dz ds
ds
d~z
1, 0
dz
mit ds2 = dz 0 2 − (d~z)2 :
ds
dz 0
−→
s
=
1−
d~z
dz 0
uµ (s) = γ (c, ~v (s))
r
2
=
−→
100
1−
~v 2
= γ −1
c2
uµ uµ = γ 2 (c2 − v 2 ) = c2
−→
u(s) ist ein zeitartiger Vierervektor
Z
µ
Vierervektorfeld des Stromes: j (x) = q ds uµ (s) δ (4) (x − z(s))
inhomogene MG:
2Φ(x) = 4π ρ(x) ,
da d’Alembert-Operator 2 =
~
2A(x)
=
4π ~
j(x)
c
1 ∂2
− ∆ = ∂ µ ∂µ lorentzinvarianter Differenzialoperator
c2 ∂t2
−→
2Aµ (x) =
4π µ
j (x)
c
~
inhomogene MG für das Viererpotenzial A(x) mit Komponenten Aµ (x) = Φ(x), A(x)
gilt allerdings nur in der Lorenz-Eichung
3
∂Φ X ∂Ai
∂Aµ
1 ∂Φ ~ ~
+ ∇A =
+
=
= ∂µ Aµ = Aµ, µ = 0
c ∂t
∂x0
∂xi
∂xµ
i=1
−→
Lorenz-Eichung ebenfalls lorentzinvariante Aussage
Bem.: Lorentzinvarianz hier von Vorteil, aber nicht unbedingt notwendig,
da Potenziale keine unmittelbare physikalische Bedeutung
(auch nichtlorentzinvariante Eichungen möglich)
Eichtransformation:
Φ0 (x) = Φ(x) −
1 ∂Λ(x)
∂Λ(x)
∂Λ(x)
= Φ(x) −
= Φ(x) −
0
c ∂t
∂x
∂x0
∂Λ(x)
∂Λ(x)
~ 0 (x) = A(x)
~
~
A
+ ∇Λ(x)
−→ A0 i (x) = Ai (x) +
= Ai (x) −
i
∂x
∂xi
A0 µ (x) = Aµ (x) −
−→
Def.:
∂Λ(x)
= Aµ (x) − ∂ µ Λ(x)
∂xµ
elektromagnetischer Feldstärketensor F (x) (2-stufiges Tensorfeld)
F µν (x) :=
∂Aµ (x) ∂Aν (x)
−
= ∂ ν Aµ (x) − ∂ µ Aν (x) = −F νµ (x)
∂xν
∂xµ
Eichtransformation:
F 0 µν = ∂ ν A0 µ − ∂ µ A0 ν = ∂ ν Aµ − ∂ µ Aν − ∂ ν (∂ µ Λ) + ∂ µ (∂ ν Λ) = F µν
−→
F µν
F (x) ist ein eichinvariantes Tensorfeld
= −F νµ
−→
6 unabhängige Komponenten
F 0i = ∂ i A0 − ∂ 0 Ai =
= −
∂A0 ∂Ai
∂A0 ∂Ai
−
=− i −
∂xi
∂x0
∂x
c∂t
∂Φ
1 ∂Ai
−
= Ei
∂xi
c ∂t
101
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂A )
(E
c ∂t
Achtung: Ei (und Bi ) sind nicht die (kovarianten) Komponenten eines Vierervektors,
sondern Komponenten eines 2-stufigen Tensors!
F ij
= ∂ j Ai − ∂ i Aj =
∂Ai ∂Aj
∂Ai ∂Aj
−
=− j +
= εijk Bk
∂xj
∂xi
∂x
∂xi

0
Ex
Ey
Ez
−Ex
0
Bz −By 

=
−Ey −Bz
0
Bx 
−Ez By −Bx
0

−→
F µν
in der Lorenz-Eichung:
∂ν F µν =
∂F µν
4π µ
= ∂ν (∂ ν Aµ − ∂ µ Aν ) = 2Aµ − ∂ µ (∂ν Aν ) =
j
∂xν
c
Folgerung: ∂µ ∂ν F µν = 0 = ∂µ j µ
Stromerhaltung (Kontinuitätsgleichung)
eichinvariante, manifest lorentzkovariante Form der inhomogenen MG:
∂ν F µν =
4π µ
j
c
Def.: dualer Feldstärketensor F̃ mit kovarianten Komponenten


0 −Bx −By −Bz
Bx
1
0
Ez −Ey 

F̃µν = εµνρσ F ρσ −→ F̃ µν = 

By −Ez
0
Ex 
2
Bz Ey −Ex
0
homogene MG (Übungen):
1
εµνρσ ∂ ν F ρσ = ∂ ν F̃µν = 0
2
manifest lorentzkovariante Form der Maxwell-Gleichungen
4π µ
j ,
∂ν F̃ µν = 0
∂ν F µν =
c
Bem.:
* F̃ ist ein Pseudotensor 2. Stufe mit
F̃˜ = F
(Involution)
~ ↔B
~ bis auf Vorzeichen) wegen Abwesenheit magneti* Asymmetrie zwischen F, F̃ (E
scher Monopole: ∂ν F̃ µν = 0
* Lorentz-Kraft nicht in lorentzkovarianter Form
formulieren
102
−→
zuerst relativistische Mechanik
~ B
~
lorentzinvariante Kombinationen von E,
−→
F (x) 2-stufiges Tensorfeld
−→
F µµ skalares Feld, allerdings F µµ ≡ 0
~ B
~
skalare Kombinationen mindestens quadratisch in E,
~2 − E
~2
F µν Fµν = 2F 0i F0i + F ij Fij = 2 B
~ ·B
~
εµνρσ F µν F ρσ = 4ε0ijk F 0i F jk = 4εijk F 0i F jk = 8E
Skalar
Pseudoskalar
Folgerungen:
~ in IS kann nicht zu einem rein magnetischen Feld B
~ 0 in IS0
• rein elektrisches Feld E
werden
~ ⊥ B
~ gilt in allen IS, da E
~ ·B
~ = 0 lorentzinvariante Aussage (Strahlungsfeld!)
• E
~ B
~
Lorentz-Transformation der Felder E,
L.T.: x0 µ = Lµν xν
−→
F (x) 2-stufiges Tensorfeld
F 0 µν (x0 ) = Lµλ Lνρ F λρ (x)
für spezielle L.T. in x-Richtung (Boost: ~v = v ~ex )


v
γ
−γ
0 0
c
 v

−γ

µ
γ
0
0

Lν =
c


 0
0
1 0
0
0
0 1
explizite Berechnung von
Ex0 (x0 ) = Ex (x) ,
Bx0 (x0 ) = Bx (x) ,
L = L> in diesem Fall
ν
F 0 µν (x0 ) = Lµλ F λρ (x)L>
ρ :
v
Ey0 (x0 ) = γ Ey (x) − Bz (x) ,
c
v
0
0
By (x ) = γ By (x) + Ez (x) ,
c
~ = E|| ~ex + E
~ ⊥,
Notation: E
v
Ez0 (x0 ) = γ Ez (x) + By (x)
c
v
0
0
Bz (x ) = γ Bz (x) − Ey (x)
c
~
analog für B
E||0 (x0 ) = E|| (x) ,
~v
0
0
~
~
~
E⊥ (x ) = γ E⊥ (x) + × B⊥ (x) ,
c
B||0 (x0 ) = B|| (x)
~v
0
0
~
~
~
B⊥ (x ) = γ B⊥ (x) − × E⊥ (x)
c
Feld einer gleichförmig bewegten Ladung
Ladung q soll im Ursprung von IS0 ruhen:
0
~ 0 (x0 ) = q ~r ,
E
r0 3
~ 0 (x0 ) = 0
B
103
Trajektorie des Teilchens:
−→
IS0 :
z 0 0 (s) = s ,
~z 0 (s) = 0
IS :
z 0 (s) = γ s ,
z 1 (s) = γ v s/c ,
z 0 (s) = c t
−→
z2 = z3 = 0
t = γ s/c
~
~
~ 0 (x0 ), B
~ 0 (x0 ) = 0
Berechnung von E(x),
B(x)
aus E
−→
z1 = v t
−→
in früheren Transformationsgleichungen v −→ − v, mit d2 = y 2 + z 2
Ex (x) = Ex0 (x0 ) =
q x0
(x0 2
Ey (x) = γEy0 (x0 ) =
[
Bx (x) = Bx0 (x0 ) = 0 ,
y0 2
+
+
γqy
]3/2
z 0 2 )3/2
,
=
γ q(x − vt)
− vt)2 + d2 ]3/2
γqz
Ez (x) = γEz0 (x0 ) =
[
]3/2
[γ 2 (x
v
γ q zv/c
By (x) = −γ Ez0 (x0 ) = −
c
[
]3/2
v
γ q yv/c
Bz (x) = γ Ey0 (x0 ) =
c
[
]3/2
~ zur Zeit t = 0, wo Ladung gerade im Ursprung von
betrachten jetzt Momentaufnahme von E
IS ist (~z = 0)
~ = 0, ~r) = γ q
E(t
d=0:
x=0:
~r
[γ 2 x2 + d2 ]3/2
= q γ −2
~r
[x2 + γ −2 d2 ]3/2
2
~ = q ~r (1 − v )
E
r3
c2
~ < |E|
~ v=0
|E|
~ =q
E
(1 − v 2 /c2 )~r
[d2 (1 − v 2 /c2 ]3/2
q ~r
=p
1 − v 2 /c2 r3
~ > |E|
~ v=0
|E|
Konsequenz:
Ionisationsdichte eines geladenen
Teilchens in Materie
v c: Abnahme mit v, da
weniger Zeit zum Ionisieren
<
v ∼ c: Feld um Ladung breiter −→
mehr Atome im Umgebung ionisiert
104
=q
(1 − v 2 /c2 )~r
(r2 − v 2 d2 /c2 )3/2
Bremsstrahlung
~ 6= 0, B
~ 6= 0; wenn
sehr schnelles Teilchen nur in dünner Scheibe um augenblicklichen Ort E
Teilchen plötzlich abgebremst oder gestoppt
−→
Feld kann nicht instantan folgen,
sondern fliegt in Vorwärtsrichtung gebündelt weiter (s. VI.5: Synchrotronstrahlung)
Dopplereffekt und Aberration
Sternenlicht fällt auf Erde: als ebene Welle mit Wellenvektor ~k genähert
IS:
IS0 : Ruhsystem Erde
Stern ruht
(L.T. in x-Richtung)
~
Aµ (x) = Aµ (k) ei(k · ~r − ω t)
Vierervektor k mit k µ = (ω/c, ~k)
−→
k · x = ηµν k µ xν = k µ xµ = ω t − ~k · ~r
~ B
~ aus Viererpotenzial berechnen:
E,
Def.:
A0 µ (x0 ) = Lµν Aν (x)
=
0
0
Lµν Aν (k) e−i k · x = A0 µ (k 0 ) e−i k · x
k · x = k 0 · x0 ↔ k 0 µ = Lµν k ν
nicht überraschend: k ist ein lichtartiger Vektor
kµ =
−→
ω
(1, cos θ, sin θ, 0) ,
k0 µ
c



1
γ
−γ v/c
0
0



ω cos θ  ω −γ v/c
γ
= 
0
0
c  sin θ0 
c
0
0
0
v
ω 0 = ω γ 1 − cos θ ,
c
tan θ0 =
sin θ
γ cos θ −
k 2 = ω 2 /c2 − ~k 2 = 0
←−
=
0
0
1
0
ω0
1, cos θ0 , sin θ0 , 0
c


1
0


0
 cos θ
0  sin θ 
1
0
v
ω 0 cos θ0 = ω γ − + cos θ ,
c
v ,
c
ω 0 sin θ0 = ω sin θ
v
p
ω 1 − cos θ
ω
1 − v 2 /c2
ω0 = p c
=
v
1 − v 2 /c2
1 + cos θ0
c
105
Dopplereffekt
s
p
2 /c2
1
−
v
1 − v/c
=ω
θ0 = 0, v > 0: ω 0 =
<ω
v
1 + v/c
1+
c
s
1 + v/c
θ0 = π, v > 0: ω 0 = ω
>ω
1 − v/c
p
θ0 = π/2:
ω 0 = ω 1 − v 2 /c2
ω
Rotverschiebung (Stern entfernt sich)
Blauverschiebung (Stern nähert sich)
transversaler Dopplereffekt
charakteristisch für L.T. (Zeitdilatation), erstmals 1938 expt. bestätigt
für kleine Geschwindigkeiten Frequenzänderung O(v 2 /c2 )
für θ0 6= π/2 dominieren für kleine v i.a. Terme der O(v/c)
Bem.: systematische Rotverschiebung durch Expansion des Weltalls (v = H d , HubbleKonstante H , H −1 ' 1.4 · 1010 Jahre), relativ dazu auch Blauverschiebung möglich
(z.B. in Doppelsternen)
außerdem Gravitationsrotverschiebung: Photonen verlieren Energie, wenn sie sich
aus Gravitationsfeld des Sterns entfernen (Arbeit notwendig, um Gravitationsanziehung zu überwinden)
Schallwellen: elastisches Medium ausgezeichnetes System −→ Dopplerverschiebung abhängig
davon, ob Quelle oder Empfänger sich bewegt; außerdem natürlich keine Zeitdilatation
Aberration
θ0
tan =
2
sin θ
tan θ0 =
v −→
γ cos θ −
c
Folgerung: für v > 0, 0 < θ < π
Interpretation: zur O(v/c)
s
1 + v/c
θ
tan
1 − v/c
2
−→
θ0 > θ
Regenschirmeffekt (endliche Laufzeit des Lichts im Fernrohr)
Galilei-Transformation: ~c → ~c + ~v
sin θ =
h
cT
tan θ0 =
h
a+vT
, cos θ =
a
cT
tan θ0 =
c T sin θ
sin θ
=
v
c T cos θ − v T
cos θ −
c
Bradley 1728
Einfluss von γ für Sternenlicht gering
Effekt der
O(v 2 /c2 )
−→
meist vernachlässigbar
Konsequenz: scheinbare Änderung von Sternpositionen durch Erdbewegung
IS:
Ruhsystem der Sonne
IS0 :
mit Erde mitbewegtes System (vErde ' 30 km/s −→ v/c ' 10−4 )
106
z.B. für Stern orthogonal auf Umlaufbahn (θ = π/2):
tan θ0 = −
c
vγ
θ0 − π/2 '
−→
v
' 10−4
c
Stern beschreibt in einem Jahr Kreis mit Öffnungswinkel 10−4
−→
VI.4
180
360000 ' 2000
π
Relativistische Mechanik
Newton:
m
d~
p
d2~r
~
=
=K
2
dt
dt
~
offensichtlich nicht lorentzinvariant, da galileiinvariant (für entsprechendes K)
dx
Hauptgrund:
kein Vierervektor
dt
p
ds
2
2
naheliegende Modifikation: t −→ Eigenzeit τ
dτ =
= dt 1 − v /c
c
Vierergeschwindigkeit des Teilchens (zeitartiger Vektor)
dxµ (τ )
dxµ (s)
=c
= uµ (s) ,
dτ
ds
dxµ dxµ
= c2
ds ds
Viererimpuls (relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Impulses)
uµ uµ = c2
zur Erinnerung:
−→
uµ = γ (c, ~v )
p = mu
pµ = m γ (c, ~v ) = m
m~v
p~ = p
1 − β2
−→
vc
c
~v
!
β 2 := v 2 /c2
p
,p
1 − β2
1 − β2
Bedeutung von p0 ?
p~Newton = m ~v ,
Wirkung des freien Teilchens in der relativistischen Mechanik
freies Teilchen:
Gerade
Extremum der Wirkung sollte
als Lösung Gerade ergeben
Forderung: Wirkung S soll
lorentzinvariant sein
Z
S = −a
2
Z
ds = −a c
1
2
dτ
a>0
1
107
Konstante
Z
2
ds maximal für Gerade (Geodäte in
Wirkung S minimal, da
1
daher in beliebigem IS:
Z
S = −a c
t2
t1
N.B.:
r
~v 2 (t)
dt 1 − 2
c
M4 )
r
−→
L = −a c 1 −
~v 2 (t)
c2
Lagrangefunktion L keine lorentzinvariante Größe!
nichtrelativistischer Limes:
~v 2
v4
a ~v 2
L = −a c 1 − 2 + O( 4 ) = −a c +
+ ...
2c
c
2c
Z
S = −m c
r
2
ds ,
2
L = −m c
1−
1
−→
a = mc
~v 2 (t)
c2
kanonischer Formalismus (immer noch für freies Teilchen)
Impuls (im gewählten IS):
pi =
2
∂L
2 −vi /c
p
=
−m
c
∂ ẋi
1 − β2
−→
m ~v
p~ = p
1 − β2
−→
vc
m ~v
Energie:
m v2
m c2 (1 − v 2 /c2 )
m c2
p
E = p~ · ~v − L = p
+
=p
= p0 c
1 − β2
1 − β2
1 − β2
Folgerung:
(E/c, p~) = mγ (c, ~v ) = m uµ = pµ
vc:
E=
m c2
|{z}
+
Ruhenergie
m 2
v
|2{z }
Vierervektor des Impulses p
+ O(
m v4
)
c2
kinetische Energie
pµ = m uµ −→ p2 = pµ pµ = m2 u2 = m2 c2
E2
− p~ 2 = m2 c2
c2
−→
E 2 = m2 c4 + p~ 2 c2 = c2 (~
p 2 + m2 c2 )
p
−→
Hamiltonfunktion des freien Teilchens:
H = c p~ 2 + m2 c2
r
p~ 2
p~ 2
p~ 2
2
2
2
|~
p| m c :
H = mc 1 + 2 2 = m c 1 +
+
.
.
.
=
m
c
+
+ ...
m c
2m2 c2
2m
Energie-Impuls-Relation:
m 6= 0:
−→
Impuls und Energie divergieren für v → c
−→
massives Teilchen kann sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegen
E = c|~
p| (entspricht ω = c k)
E~v
da allgemein gilt (freies Teilchen): p~ = 2
−→
v=c
c
Teilchen mit Wechselwirkung
m = 0:
Photonen, Gluonen, etc. haben
dp
du
d2 x
=m
= m 2 Vierervektor
dτ
dτ
dτ
relativistische Verallgemeinerung des Newtonschen Gesetzes
p Vierervektor
−→
−→
auch
108
m
d2 x
dp
=
=K
dτ 2
dτ
Viererkraft
Einschränkungen an die Komponenten K µ :
uµ uµ = c2
d 2
duµ
u = 0 = 2uµ
dτ
dτ
µ
du
m uµ
= uµ K µ = 0
dτ
−→
−→
Beh.:
Bew.:
−→
K µ sind die kontravarianten Komponenten eines raumartigen Vierervektors
u zeitartig −→ ∃ IS, in dem zu einem gegebenen Zeitpunkt uµ = (c, ~0)
(momentanes Ruhsystem des Teilchens)
uµ K µ = 0
c K0 = 0
−→
−→
−→
~
K µ = (0, K)
im momentanen Ruhsystem des Teilchens (~v = 0):
m
−→
K 0 = 0 in diesem IS
~ 2 < 0 raumartig (invariante Aussage)
K 2 = −K
−→
d2 x0
=0,
dτ 2
m
d2~r
d2~r
~N
=
m
=K
dτ 2
dt2
in beliebigem IS (wo Teilchen Geschwindigkeit ~v )
~ N)
KRν = (0, K
K µ = Lµν KRν ,
−→
~ transformiert wie ~r, allerdings ist K 0 = 0
K
R
µ
K =
−→
K0 =
γ
~ N = γ dA ,
~v · K
c
c dt
wobei
−→
!
dA
= Leistung der Kraft am Teilchen
dt
−→
d(p0 c)
dA
=
dt
dt
Änderung der Energie E = p0 c durch die von der Kraft am Teilchen geleistete Arbeit
relativistischen Erhaltungsgrößen entsprechen die Komponenten pµ (folgt vor
allem auch aus Invarianz gegenüber zeitlichen und räumlichen Translationen)
p~ 2
E = p0 c und nicht etwa T =
ist erhalten (modulo potenzieller Energie)
2m
Umwandlung von Ruhenergie m c2 in kinetische Energie möglich
tägliches Brot der Kern- und Teilchenphysik (Zerfälle, Streuprozesse)
Folgerung:
−→
−→
~N
~v · K
~ N + γ − 1 ~v (~v · K
~ N)
γ
,K
c
v2
dp0
dp0
γ dA
= K0 = γ
=
dτ
dt
c dt
−→
Newtonsche Kraft
Zerfall eines massiven Teilchens in 2 andere Teilchen
Beispiele:
π0 → 2 γ ,
π + → µ+ νµ ,
Z 0 → e+ e− , etc.
Energie-Impuls-Erhaltung
P = p1 + p2
109
Gleichung für Vierervektoren
E=
p
(E/c, P~ ) = (E1 /c, p~1 ) + (E2 /c, p~2 )
p
M 2 c4 + P 2 c2 , Ea = m2a c4 + p2a c2
(a = 1, 2)
gilt in jedem IS, insbesondere im Ruhsystem des zerfallenden Teilchens:
P~ = 0
−→
p~1 = −~
p2 =: p~
einzige verbleibende Gleichung:
E/c = M c = (E1 + E2 )/c =
−→
q
q
m21 c2 + p2 + m22 c2 + p2 ≥ c (m1 + m2 )
Zerfall nur für M ≥ m1 + m2 möglich, Massendifferenz → kinetische Energie
pa · P = Ea M
Ruhsystem:
E1 =
−→
c2
M 2 + m21 − m22 ,
2M
E2 =
c2
M 2 + m22 − m21
2M
π 0 → 2 γ: Zerstrahlung neutraler π-Mesonen
Mπ0 ' 135 MeV/c2 , m1 = m2 = 0
−→
E1 = E2 =
1
M c2 ' 67.5 MeV
2
γ-Strahlung
sichtbares Licht zum Vergleich: z.B. λviolett ' 400 nm
2π
2π
E = ~ω = h ν = ~c
' 2 · 10−7 eV m
−→
Eviolett ' 3.1 eV
λ
λ
Teilchenerzeugung
Beispiel:
e+ + e− → Z 0
Speicherring L(arge)E(lectron)P(ositron)/CERN
warum Speicherring statt Positronen auf Materie (jede Menge Elektronen)?
PZ = p E + p P
MZ2 c2 = 2m2e c2 + 2pE · pP
−→
Labor-System (LS):
pE = (me c, ~0) ,
ruhende Elektronen
pP = EPLS /c, p~P
−→
2pE · pP = 2me EPLS = c2 MZ2 − 2m2e
daher
EPLS
c4 MZ2 − 2m2e
M 2 c4
(91 GeV)2
=
' Z 2 '
' 8 · 106 GeV = 8 · 103 TeV
2
2me c
2me c
1 MeV
so hohe Energien werden noch lange nicht in Beschleunigern erzeugt werden können
Schwerpunkt-System (SS):
−→
EESS = EPSS =
Vergleich LS mit SS
LEP
MZ c, ~0 = EESS /c, p~ + EPSS /c, −~
p
p
1
m2e c4 + p2 c2 = MZ c2 = 45.6 GeV
2
−→
gewaltiger Vorteil der Speicherringe:
EPSS
MZ c2 2me c2
me
=
=
= 5.6 · 10−6
LS
MZ
2 MZ2 c4
EP
110
Streuprozesse
T1 + T2 −→ X1 + X2 + . . . Xn
p1 + p2
q1 + q2 + · · · + qn
=
i.a. nur mit Quantenfeldtheorie zu behandeln (insbesondere für n > 2)
Schwellenbedingung (wie vorher):
(p1 + p2 )2 ≥ (m1 + m2 + · · · + mn )2 c2
immer erfüllt für elastische Streuung T1 + T2 −→ T1 + T2
Beispiel: Compton-Streuung
Labor-System:
γ(q) + e− (p1 ) → γ(q 0 ) + e− (p2 )
p1 = (me c, ~0)
q
0
0
2
2
2
(Eγ /c, ~q) + me c, ~0 = Eγ /c, ~q +
me c + p2 , p~2
−→
ruhendes Elektron-Target
Eγ = ~ω , Eγ0 = ~ω 0
Eγ2 = c2 ~q 2 , Eγ0 2 = c2 ~q 0 2
Eγ0
ω0
=
=
ω
Eγ
−→
1
2 Eγ
θ
sin2
1+
me c2
2
geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
nichtrelativistisch:
d~
pN
~v
~
~
~
= KL = q E + × B
dt
c
dp
=K
dτ
Standardüberlegung (Kovarianz): K muss Vierervektor sein, der
~ B,
~ d.h. in F ist;
* linear in E,
muss in kovariante Form gebracht werden:
*
*
Ansatz:
Vierergeschwindigkeit u enthält;
~ ergibt
im nichtrel. Limes (~v → ~0) K µ = (0, q E)
K µ = b F µν uν
NR-Limes (~v → ~0):
Kµ
mit Konstante b
uν = γ (c, −~v )
→
b F µ 0c
=⇒
Ki
−→
(c, ~0)
= −b c Ei
−→
b = −q/c
relativistische Verallgemeinerung der Lorentz-Kraft
dpµ
q
= − F µν uν
dτ
c
111
daher in beliebigem IS:
dp0
dτ
−→
d m c2
p
dt 1 − β 2
dpi
dτ
−→
= γ
=
mc
d
q
q~
p
= − F 0 i ui = − E
· (−~v )γ
2
dt 1 − β
c
c
dE
~ · ~v
= qE
dt
Leistung des Feldes an Ladung q
d m vi
q
q
p
= − F iν uν =
Ei γ c − F ij uj
2
dt 1 − β
c
c
1
~v
~
~
= γ q Ei − εijk Bk (−vj ) = γ q E + × B
c
c
i
= γ
Lorentz-Kraft ist räumlicher Anteil von K/γ
~
v
m ~v
d
~ + ×B
~ =K
~L
p
=q E
dt 1 − β 2
c
einziger Unterschied zum nichtrelativistischen Fall:
−→
p~N = m ~v
m ~v
p~ = p
1 − v 2 /c2
für Punktteilchen im elektromagnetischen Feld (ohne Beweis):
Z
h
i
q
Wirkung
S = − ds m c + 2 Aµ (x(s)) uµ (s)
c
r
q ~ 2
Hamiltonfunktion
H = c m2 c2 + P~ − A
+qΦ
c
VI.5
Synchrotronstrahlung
Strahlungsfeld einer beschleunigten Ladung (Liénard-Wiechert)
h
i
~ × β~˙
q ~n × (~n − β)
~ Str = ~n × E
~ Str
~ Str (t, ~r) =
E
|ret ,
B
~ 3
cR(1 − ~n · β)
mit β~ = ~v /c
~
~ = ~r − ~rq (tret )
~n = R/R
, R
tret = t −
R(tret , ~r)
c
implizite Gleichung für tret (t, ~r)
pro Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung
q2
dP
=
dΩ
4πc
h
i
~ × β~˙ |2
|~n × (~n − β)
~ 6
(1 − ~n · β)
112
|ret
Leistung P = Energie/Zeit
−→
im relativistischen Fall wichtig: welche Zeit?
dE
bis jetzt Felder zur Zeit t des Beobachters betrachtet: P =
dtB
dE
dE
zu unterscheiden von P̂ =
=
dtTeilchen
dtret
dP̂
dΩ
=
t = tret + R(tret )/c −→
dP̂
dΩ
=
dP ∂t
dΩ ∂tret
∂t
= 1 + Ṙ(tret )/c = 1 − ~n · β~ = κ
∂tret
h
i
~ × β~˙ |2
|~
n
×
(~
n
−
β)
2
q
~ 5
4πc
(1 − ~n · β)
differenzielle Strahlungsleistung = abgestrahlte Energie pro Zeit des Teilchens
im NR-Limes kein Unterschied: β → 0 , κ → 1
relativistischer Fall: betrachten Spezialfall ~v˙ || ~v (Beschleunigung in Richtung Geschw.)
i
h
˙2 2
~ × β~˙ |2 = ~v sin θ
|~n × (~n − β)
c2
−→
dP̂
dΩ
=
θ = Winkel (~n, ~v˙ )
q 2~v˙ 2
sin2 θ
4πc3 (1 − β cos θ)5
Nenner κ5 modifiziert Winkelverteilung drastisch für β → 1
−→
Strahlung ganz in Vorwärtsrichtung (kleine θ) gebündelt:
1
1
1
κ = 1 − β cos θ ' 1 − β(1 − θ2 /2) ' (1 − β 2 + θ2 ) = (1 − β 2 )(1 + γ 2 θ2 ) = γ −2 (1 + γ 2 θ2 )
2
2
2
−→
dP̂
dΩ
'
q 2~v˙ 2 32γ 10 θ2
8q 2~v˙ 2 γ 8
γ 2 θ2
=
4πc3 (1 + γ 2 θ2 )5
πc3 (1 + γ 2 θ2 )5
mit x = γθ:
Maximum von
x2
1
bei x = ±
(1 + x2 )5
2
−→
θmax = ±
Winkelverteilung
starke Bündelung
in Vorwärtsrichtung
maximale Intensität ∝ γ 8
z.B.:
v = 0.9c → γ 8 = 767
Gesamtleistung durch Integration über Raumwinkel (mühsam)
113
1
1p
=±
1 − β2
2γ
2
stark vereinfachtes Argument:
(kovariante Form der Energie-Impuls-Erhaltung wesentlich → pp. 119):
dE
: Zähler und Nenner 0-te Komponente eines Vierervektors
dtT
P̂ ist ein Lorentz-Skalar, quadratisch in ~v˙
P̂ =
−→
NR Grenzfall (von früher)
P̂ =
2q 2 ˙ 2
2q 2
~
v
=
3c3
3m2 c3
d~
pN
dt
2
naheliegende allgemeine Form (N.B.: dp/dτ ist ein raumartiger Vierervektor)
P̂ = −
2q 2 dpµ dpµ
3m2 c3 dτ dτ
~ und dτ = γ −1 dt
mit pµ = m cγ (1, β)
P̂ =
−→
i
2q 2 γ 6 h ~˙ 2
~˙ 2
β − (β~ × β)
3c
˙
allgemeine relativistische Strahlungsformel für beliebige Orientierung von β~ und β~
Anwendung:
kreisförmige Beschleuniger (Speicherring, Synchrotron)
˙
jetzt ~v˙ ⊥ ~v , β~ · β~ = 0
P̂ =
2
2q 2 2 d~
p
2q 2 γ 6 h ~˙ 2 ~ 2 ~˙ 2 i 2q 2 γ 4 ~˙ 2
β −β β =
β =
γ
3c
3c
3m2 c3
dt
dabei benützt:


~
1 d~
p
d(γ β)
˙
˙ 3~
~
~
~
=
= γ β + (β · β)γ β =

m c dt
dt
˙
γ 3 β~
˙
γ β~
~v˙ || ~v
~v˙ ⊥ ~v
kreisförmige Bewegung (Radius R, ~v 2 = konstant ' c2 )
2
2
d~
p = m dγ~v = m γ d~v = m γ v ' γ m c = E
dt dt dt R
R
R
−→
Folgerung:
P̂ =
2q 2 E 4
2q 2 c γ 4
=
3 R2
3m4 c7 R2
Strahlungsverluste wachsen mit 4. Potenz der Energie
−→
Synchrotronstrahlung beschränkt Verwendung von Kreisbeschleunigern
bei hohen Energien
Beispiel: LEP (R ' 4.3 km, zuletzt Ee− = Ee+ ' 100 GeV)
Energieverlust eines Elektrons pro Umlauf
∆E = P̂
2πR
4πe2 γ 4
'
' 2 GeV !!
v
3R
114
gewaltige Verluste durch Synchrotronstrahlung: LEP hatte Energiebedarf einer Kleinstadt
Elektronbeschleuniger höherer Energie nur mehr als Linearbeschleuniger möglich:
wesentlich geringere Strahlungsverluste, da
2
2q 2
d~
p
P̂ =
in diesem Fall (Faktor γ 2 weniger)
2
3
3m c
dt
Nachteil der Hochenergiephysik
−→
Vorteil der Festkörperphysik
Synchrotronstrahlung für Strukturforschung verwendet
−→
Frequenzspektrum der Synchrotronstrahlung
zum Unterschied zur Dipolstrahlung auch Vielfache der Grundfrequenz ω0 =
v
c
'
R
R
Fourierzerlegung führt auf modifizierte Besselfunktionen
Abschätzung mit Hilfe der klassischen Unschärferelation
scharfer Puls in der Zeit
des Beobachters (pro Teilchen):
R
(ohne Rechnung)
c γ3
für relevanten Frequenzbereich
∆t = κ∆tret ∼
∆t ∆ω ∼ 1
c
1
∼ γ 3 = ω0 γ 3
−→ ∆ω ∼
∆t
R
Fourieranalyse: Maximum des Frequenzspektrums tatsächlich bei ωm ' ω0 γ 3
−→
γ3
praktisch kontinuierliches Spektrum für
1
3
E
c
ωm =
R me c2
3
3
~c
E
2 · 10−7 eV m
E
E(GeV)3
=
=
1.6
keV
~ωm =
R me c2
R
me c2
R(m)
ESFG:
European Synchrotron Facility in Grenoble (Speicherring mit 0.2 A Stromstärke)
Ee− = 6 GeV, R = 134 m
−→
~ωm = 2.6 keV (ν = 6 · 1017 Hz)
(stark gebündelte) Röntgenstrahlung
VI.6
Lagrange-Formulierung der Elektrodynamik
nicht die zentrale Rolle wie in der Mechanik, da MG bereits vorgegeben sind
Vorteile: kompakte Darstellung, Symmetrien manifest, Ausgangspunkt für Quantisierung
4-dimensionale relativistische Feldtheorien
Felder Φa (x) und 1. Ableitungen ∂µ Φa =
∂Φa
= Φa,µ
∂xµ
115
(a = 1, . . . , n)
Φa ≡ Aµ Potenziale
Z
Wirkung S = dt L(q(t), q̇(t), t)
Elektrodynamik:
Mechanik:
relativistische Feldtheorie: t, ~r gleichberechtigt“ −→ Wirkung muss lorentzinvariant sein
”
Z
1
d4 x L (Φa (x), Φa,µ (x), x)
S=
c
mit Lagrangedichte L (Φa (x), Φa,µ (x), x)
N.B.: für Ableitung der Feldgleichungen Indizes a unterdrückt
Integrationsmaß d4 x Skalar: lorentzinv. Lagrangedichte −→ lorentzinv. Wirkung
Umkehrung nicht zwingend, trotzdem (fast) immer Lagrangedichte L lorentzinvariant
Analogie zur Mechanik (Hamiltonsches Prinzip):
Felder Φ(x01 , ~r) und Φ(x02 , ~r) vorgegeben, Φ(x) für x01 ≤ x0 ≤ x02 so zu wählen, dass
Wirkung(sfunktional) S Extremum annimmt
Vor.:
lim Φ(x0 , ~r) = 0
r→∞
Variation: Φ(x) → Φ(x) + η(x)
mit η(x01 , ~r) = η(x02 , ~r) = 0
S extremal:
δS = 0 für infinit. η(x)
δS =
=
=
1
c
Z
x02
dx
0
Z
x01
x02
d3 r [L (Φ + η, Φ,µ + η,µ , x) − L (Φ, Φ,µ , x)]
∂L
∂L
2
dx
d r
η+
η,µ + O(η )
∂Φ
∂Φ,µ
x01
Z 0
Z
∂L
∂ ∂L
∂
∂L
1 x2 0
3
dx
d r η
−
+ µ
η
+ O(η 2 )
c x01
∂Φ ∂xµ ∂Φ,µ
∂x
∂Φ,µ
1
c
Z
0
Z
3
mit
∂L
∂
η,µ =
∂Φ,µ
∂xµ
zur Erinnerung:
∂L
∂ ∂L
η −η µ
∂Φ,µ
∂x ∂Φ,µ
Gaußscher Satz in 3 Dimensionen
Z
Z
3 ~ ~
~
d r ∇A =
dF~ · A
V
2-dim. Fläche in 3 Dim.:
dF~ =
~r(u, v)
∂V
−→
∂~r
∂~r
×
du dv ,
∂u ∂v
orientiertes Flächenelement
dFi = εijk
116
∂xj ∂xk
du dv
∂u ∂v
Gaußscher Satz in 4 Dimensionen
Z
d4 x ∂µ Aµ =
Z
∂G
G
3-dim. Hyperfläche in 4 Dim.:
dσµ = εµνρσ
η|∂G = 0,
−→
x(u, v, w)
orientiertes Flächenelement
∂xν ∂xρ ∂xσ
du dv dw
∂u ∂v ∂w
{x0 = x01 } ∪ {x0 = x02 } ∪ {x01 ≤ x0 ≤ x02 , r → ∞}
Rand ∂G in unserem Fall:
nach Vor.:
dσµ Aµ
−→
da η sonst beliebig in G
∂L
∂ ∂L
−
=0
µ
∂x ∂Φ,µ ∂Φ
Euler-Lagrange Feldgleichungen
4π µ
j ,
∂ν F̃ µν = 0
c
1. Ableitungen in den Feldern entsprechen 2. Ableitungen der Potenziale
∂ν F µν =
Maxwell-Gleichungen:
weitere Forderung: Wirkung muss eichinvariant sein
lässt für j = 0 nur L ∝ Fµν
F µν
−→
zu
Fµν F̃ µν ist eine totale Divergenz (außerdem Pseudoskalar)
kein Beitrag zu den Feldgleichungen
Bem.:
−→
inhomogener Term 4π j/c nur durch L ∝ Aν j ν zu erreichen
mit geeigneter Normierung (Gauß-System!)
LM(axwell) (x) = −
1
1
Fµν (x)F µν (x) − jµ (x)Aµ (x) = LFeld + LWechselwirkung
16π
c
Potenzial A tritt explizit in LM auf
scheinbares Problem:
−→
Eichinvarianz?
Aµ −→ A0 µ = Aµ − ∂ µ Λ
1
1
1
LM −→ LM + jµ ∂ µ Λ = LM + ∂ µ (Λ jµ ) − Λ ∂ µ jµ
c
c
c
wegen Stromerhaltung ∂ µ jµ = 0 ändert sich Lagrangedichte nur um eine totale Divergenz
∂ µ (Λ jµ ) −→ Feldgleichungen ungeändert (analog Bewegungsgleichungen in Mechanik)
wichtige Erkenntnis: Eichinvarianz nur bei erhaltenem Strom
können jetzt auch Unabhängigkeit der Ladung vom IS zeigen
Z
d3 r ρ(x0 , ~r)
Z
d3 r0 ρ0 (x0 0 , ~r 0 )
qIS =
qIS0 =
Z
4
µ
Z
d x ∂ jµ = 0 =
G
dσµ j µ
∂G
117
wobei ∂G = {x0 = 0} ∪ {x0 0 = 0} ∪ {r → ∞ zwischen x0 = 0 und x0 0 = 0}
für lokalisierte Ströme kein Beitrag von r → ∞
Hyperebene x0 = 0:
dσµ = εµνρσ
parametrisiert durch u = x1 , v = x2 , w = x3
−→
∂xν ∂xρ ∂xσ
du dv dw = ε0123 dx1 dx2 dx3 , 0, 0, 0 = d3 r, ~0
∂u ∂v ∂w
orientierte Flächenelemente haben entgegengesetzte Richtung für x0 = 0 und x0 0 = 0
Gaußscher Satz
Z
0=
x0 0 =0
−→
Lorentzinvarianz der Ladung
Z
Z
Z
µ
3 0 0 0
0 0µ
dσµ j = d r ρ (x ) − d3 r ρ(x) = qIS0 − qIS
dσµ j +
x0 =0
Feldgleichungen überprüfen:
L=−
1
1
Fµν F µν − jµ Aµ
16π
c
1 ν µ
1
∂ A (∂ν Aµ − ∂µ Aν ) − jν Aν
8π
c
1
1
= − Aµ,ν (Aµ,ν − Aν,µ ) − jν Aν
8π
c
L = −
Euler-Lagrange:
∂ν
−
∂L
∂L
=
∂Aµ,ν
∂Aµ
−→
1
1
4π µ
∂ν (Aµ,ν − Aν,µ ) = − j µ −→ ∂ν F µν =
j
4π
c
c
homogene MG automatisch erfüllt:
F µν = Aµ,ν − Aν,µ
−→
∂ν F̃ µν = 0
Wechselwirkungsterm für Punktteilchen:
Z
µ
j (x) = q ds uµ (s) δ (4) (x − z(s))
Z
Z
1
1
d4 x LWW = − 2 d4 x j µ (x)Aµ (x)
−→ SWW =
c
c
Z
Z
q
q
= − 2 ds uµ (s) Aµ (z(s)) = −
dτ uµ (τ ) Aµ (z(τ ))
c
c
p
mit den bekannten Relationen dτ = dt 1 − v 2 /c2 = γ −1 dt , uµ = γ (c, ~v )
Z
h
i
q
~ ~r(t))
SWW = −
γ −1 dt γ c Φ(t, ~r(t)) − ~v (t) · A(t,
c
q
~ ~r(t))
−→
LWW = −q Φ(t, ~r(t)) + ~r˙ (t) · A(t,
c
−→
bekannte (Wechselwirkungs-)Lagrangefunktion für Punktteilchen
118
Struktur der elektromagnetischen Wechselwirkung
S = SMaterie + SFeld + SWW
allgemein gültig, in klassischer Elektrodynamik wie in QED (mit Feldoperatoren):
Z
Z
1
1
SFeld = −
d4 xFµν F µν ,
SWW = − 2 d4 x jµ Aµ
16π c
c
klassisches Punktteilchen:
Z
SMaterie = −m c
Z p
q
2
µ
dτ u (τ )uµ (τ ) = −m c
dt 1 − ~v 2 (t)/c2
beschränkter Anwendungsbereich: im atomaren und erst recht im subatomaren Bereich kann
Materie nicht durch klassische Punktteilchen beschrieben werden
−→ Quantentheorie, Quantenfeldtheorie
in allen Bereichen der Physik (Mechanik, klassische Feldtheorie, QM, QFT)
Invarianz der Wirkung
Noether-Theorem in der Feldtheorie
Energie-Impuls-Tensor:
T 00 =
=
weiters:
−→
Erhaltungsgröße
−→
T µν
=
T νµ
1
=
4π
1 µν
µ λν
ρσ
F λ F + η Fρσ F
4
1
F 0λ F λ0 + Fρσ F ρσ
4
1 ~2 1 ~2 ~2
1 ~ 2 ~ 2
E + (B − E ) =
E + B = uem
4π
2
8π
1
4π
~ und
T 0i = Si /c und T ij = −TM ij mit Poynting-Vektor S
(3-dim.) Maxwellschem Spannungstensor TM ij
T µν
~
S/c

uem

=
~
S/c



−TM ij
berechnen 4-Divergenz von T µν
∂µ T
µν
=
=
=
da der Ausdruck [
1
1
µ
λν
µ λν
ν ρσ
∂ Fµλ F + Fµλ ∂ F + Fρσ ∂ F
4π
2
1 νλ
1
F jλ +
Fρσ [∂ ρ F σν − ∂ σ F ρν + ∂ ν F ρσ ]
c
8π
1 νλ
F jλ
c
] in 2. Gleichung identisch verschwindet (Bianchi-Identität)
119
Beh.:
obiges Resultat ist die kovariante Formulierung der
Energie-Impuls-Erhaltung
betrachten hier den Fall j = 0
∂µ T µν = 0
−→
(keine Ladungen oder Ströme im betrachteten Raum-Zeit-Gebiet)
Integration über 3-dimensionales Volumen V
Z
Z
Z
Z
Z
1d
1d
3
µν
3
iν
3
0ν
3
0ν
d r ∂µ T =
0=
d r ∂i T =
dFi T iν
d rT +
d rT +
c dt V
c dt V
V
V
∂V
ν = 0:
Energieerhaltung
1d
c dt
−→
ν = i:
Z
d
dt
3
d rT
00
Z
Z
dFi T i0 = 0
+
V
∂V
Z
3
d r uem +
V
~ = 0
dF~ · S
∂V
Impulserhaltung
für abgeschlossenes System (z.B. im gesamten 3-dim. Raum) und j = 0
Z
1
µ
−→
Pem
=
d3 r T 0µ = konstant
(µ = 0, 1, 2, 3)
c V
j 6= 0: Materiebeitrag muss berücksichtigt werden (hängt von SMaterie ab)
Mechanik
Feldtheorie
Lagrangefunktion L
Lagrangedichte L
Bewegungsgleichungen
∂L
p=
, H = pq̇ − L
∂ q̇
Feldgleichungen
Z
1
µ
P =
d3 r T 0µ
c V
120