vollständige Fassung vom 08.11.

Stochastik
Mathematik für Informatiker
Stochastik
1. Wahrscheinlichkeitsräume
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens
zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist. Die Menge der möglichen
Ergebnisse nennen wir Ergebnisraum und bezeichnen sie mit Ω. Die Teilmengen von Ω werden
als Ereignisse bezeichnet. Ereignisse mit nur einem Element entsprechen den Ergebnissen des
Zufallsexperiments und werden Elementarereignisse genannt. A ⊆ Ω sei ein Ereignis. Falls bei
der Durchführung des Zufallsexperiments ein Ergebnis ω ∈ A geliefert wird, so sagen wir, das
Ereignis A ist eingetreten. ∅ ist das unmögliche Ereignis und Ω das sichere Ereignis.
Merke: Die Menge aller Elementarereignisse Ω kann endlich, abzählbar unendlich oder
überabzählbar unendlich sein.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 1
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Ereignisbezeichnungen
Sachverhalt
A tritt sicher ein.
Wenn A eintritt, dann tritt auch
B ein.
Wenn A eintritt, tritt B nicht
ein.
Genau dann, wenn A eintritt,
tritt B nicht ein.
A tritt genau dann ein, wenn
mindestens ein Ai eintritt.
A tritt genau dann ein, wenn
alle Ai eintreten.
Sprechweise
A ist ein sicheres Ereignis.
Formel
A=Ω
A ist ein Teilereignis von B .
A⊆B
A und B schließen sich aus,
sind disjunkt oder unvereinbar.
A und B sind Komplementärereignisse.
A ist Vereinigung der Ai .
A∩B =∅
A = B̄
A=
S
Ai
T
Ai
i
A ist Durchschnitt der Ai .
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
A=
i
Folie 2
Stochastik
Mathematik für Informatiker
σ-Algebra
Def: Es sei Ω eine beliebige nichtleere Menge und A ⊆ P(Ω) eine Untermenge der Potenzmenge
von Ω. Die Menge A heißt σ -Algebra über Ω, wenn Ω in dem Mengensystem A liegt und
A abgeschlossen bezüglich der Komplementbildung und der Vereinigung von abzählbar vielen
Elementen aus A ist:
(a) Ω ∈ A;
(b) A ∈ A ⇒ Ā ∈ A;
(c) (An) ⊆ A ⇒
∞
S
n=1
An ∈ A.
Satz 1.1. Sei A ⊆ P(Ω) eine σ -Algebra. Dann gilt:
(a) Die leere Menge ∅ gehört zur σ -Algebra A;
(b) A ist abgeschlossen gegenüber einer abzählbaren Durchschnittsbildung:
∞
T
Sind A1, A2, A3, . . . ∈ A, so ist auch
An ∈ A;
n=1
(c) Sind A, B ∈ A, so ist auch A \ B ∈ A.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 3
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Wahrscheinlichkeitsraum
Def: Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) besteht aus einer Menge Ω, einer σ -Algebra A über
Ω und einer reelwertigen Abbildung P : A → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften:
(1) P (Ω) = 1;
(2) P (
∞
S
n=1
An ) =
∞
P
n=1
P (An ) für alle A1 , . . . , An, . . . ∈ A mit An ∩ Am = ∅, n 6= m.
Die Abbildung P wird Wahrscheinlichkeit genannt. P (A) heißt Wahrscheinlichkeit für das Ereignis
A ∈ A.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 4
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit(1)
Satz 1.2. Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt für alle A, B, A1, . . . , An ∈
A:
1. P (∅) = 0;
2. P (Ā) = 1 − P (A);
3. Monotonie: Aus A ⊆ B folgt P (A) ≤ P (B);
4. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B);
5. Aus A ⊆ B folgt: P (B\A) = P (B) − P (A);
6. Siebformel:
n
n
S
P
P
P
P(
Ak ) =
P (Ai ∩ Aj ) +
P (Ak ) −
P (Ai ∩ Aj ∩ Ak )
k=1
k=1
i<j
n+1
− . . . + (−1)
i<j<k
P (A1 ∩ A2 . . . ∩ An).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 5
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit(2)
Satz 1.3. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1, A2 , A3, . . . eine Folge von
Ereignissen aus A. Dann gilt:
∞
S
1. Aus A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . . folgt P (
An) = lim P (An ).
n=1
n→∞
∞
T
An) = lim P (An ).
2. Aus A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ . . . folgt P (
n→∞
n=1
Satz 1.4. Sei Ω eine endliche oder abzählbar unendliche Menge. Jede Abbildung p : Ω → [0, 1]
P
mit
ω∈Ω p(ω) = 1 bestimmt durch
P (A) =
X
p(ω)
ω∈A
für alle A ⊆ Ω eindeutig einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P(Ω), P ).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 6
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Laplace-Experiment
Ein Zufallsexperiment, das endlich viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse ω1, . . . , ωn besitzt,
heißt Laplace-Experiment. Es ist also Ω = {ω1 , . . . , ωn}. Der Laplace-Raum (Ω, P(Ω), P )
wird definiert durch p : Ω → [0, 1] mit
p(ωi ) =
1
n
für alle 1 ≤ i ≤ n. Für ein Ereignis A ⊆ Ω gilt
P (A) =
|A|
Anzahl der “günstigen” Ergebnisse
=
.
n
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 7
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Über Kombinationen und Variationen
Aus einer gegebenen Grundmenge E mit |E| = n wird eine r -elementige Probe entnommen.
Wird jedes Element aus E maximal einmal in die Probe aufgenommen: Probe ohne Wiederholung.
Bei einer Probe mit Wiederholung kann jedes Element aus E mehrfach für die Probe ausgewählt
werden. In einer geordneten Probe spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle, in einer
ungeordneten Probe ist dies nicht der Fall.
Die Probe ist eine
Menge,
Multimenge,
geordnete Menge,
geordnete Multimenge,
falls sie . . . ist.
ungeordnet ohne Wiederholung
ungeordnet mit Wiederholung
geordnet ohne Wiederholung
geordnet mit Wiederholung
Bezeichnung
Kombination ohne Wiederholung
Kombination mit Wiederholung
Variation ohne Wiederholung
Variation mit Wiederholung
Satz 1.5. Es gibt:
(a) C(n, r) = nr Kombinationen ohne Wiederholung;
(b) C w (n, r) = n+r−1
Kombinationen mit Wiederholung;
r
n!
Variationen ohne Wiederholung;
(c) V (n, r) = n · (n − 1) · . . . · (n − r + 1) = (n−r)!
(d) V w (n, r) = nr Variationen mit Wiederholung.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 8
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse
Def: Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit P (B) > 0. Die
Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, ist definiert als
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
und heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B . Ferner, sei 0 <
P (B) < 1. Dann heißt A (stochastisch) unabhängig von B , wenn
P (A|B) = P (A|B̄).
Satz 1.6. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit 0 < P (B) < 1.
Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) A ist unabhängig von B , also P (A|B) = P (A|B̄);
(b) P (A|B) = P (A);
(c) P (A ∩ B) = P (A) · P (B).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 9
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit
Die Ereignisse Ai , i = 1, . . . n, bilden ein vollständiges System von Ereignissen, falls P (Ai ) > 0,
n
S
Ai ∩ Aj = ∅ für alle i 6= j und
Ai = Ω gilt.
i=1
Satz 1.7. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und die Ereignisse
B, A1, . . . , An ∈ A, wobei die Ereignisse Ai , i = 1, . . . , n, ein vollständiges System
von Ereignissen bilden. Dann gilt:
P (B) =
n
X
i=1
P (B|Ai ) · P (Ai ).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 10
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Formel von Bayes
Satz 1.8. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) und die Ereignisse
B, A1, . . . , An ∈ A, wobei die Ereignisse Ai , i = 1, . . . , n ein vollständiges System von
Ereignissen bilden und P (B) > 0. Dann gilt:
P (Ak |B) =
P (B|Ak ) · P (Ak )
P (B|Ak ) · P (Ak )
= n
.
P
P (B)
P (B|Ai ) · P (Ai )
i=1
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 11
Stochastik
Mathematik für Informatiker
2. Zufallsvariable
Def: Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine reellwertige Abbildung X : Ω → R heißt
Zufallsvariable, wenn das Urbild jedes reellen halboffenen Intervalls I = (−∞, t ] in A liegt:
X −1(I) = {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ t} ∈ A.
Merke: Ist X eine Zufallsvariable, so liegen für alle u ≤ t die Urbilde der Intervalle
(−∞, t), (u, t), (u, t], [u, t), [u, t], (u, +∞), [u, +∞) in A.
Abkürzungen:
Für das Ereignis {ω ∈ Ω | X(ω) ≤ t} schreiben wir X ≤ t.
Für das Ereignis {ω ∈ Ω | X(ω) = t} schreiben wir X = t.
Für das Ereignis {ω ∈ Ω | u ≤ X(ω) ≤ t} schreiben wir u ≤ X ≤ t.
Sprechweisen:
X < t: die Zufallsvariable X einen Wert kleiner t annimmt.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 12
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Verteilungsfunktion
Def: Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Zufallsvariable. Die
Funktion F : R → [0, 1] mit F (t) = P (X ≤ t) heißt die Verteilungsfunktion von X .
Merke: Für alle u < t gilt P (X > t) = 1 − F (t) und P (u < X ≤ t) = F (t) − F (u).
Satz 2.1. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine Zufallsvariable.
Dann gelten für die Verteilungsfunktion F von X die folgenden Aussagen:
(1) F (x) ist monoton wachsend, d.h. aus x ≤ y folgt F (x) ≤ F (y).
(2) F (x) ist rechtsseitig stetig, d.h. es gilt lim F (x) = F (a).
x→a+
(3) Der linksseitige Grenzwert lim F (x) existiert.
x→a−
(4) Es gelten lim F (x) = 0 und lim F (x) = 1.
x→−∞
x→+∞
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 13
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Diskrete Zufallsvariable
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable X : Ω → R heißt diskret, wenn
ihr Wertebereich W = X(Ω) nur endlich oder abzählbar unendlich viele Elemente enthält:
W = X(Ω) = {xi | i ∈ I}, wobei I eine endliche oder abzählbar unendliche Menge ist.
Die Funktion p : W → [0, 1] mit
p(xi ) = P ({ω ∈ Ω | X(ω) = xi }) = P (X = xi )
heißt Verteilung der Zufallsvariablen X .
Satz 2.2. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {xi | i ∈ I}. Dann gilt:
P
P
P
(X
=
x
)
=
(1) Für alle t ∈ R ist F (t) =
i
x ≤t p(xi ).
x ≤t
i
i
(2) Die Verteilungsfunktion F (t) von X ist eine Treppenfunktion, das heißt F (t) ist stückweise
konstant mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Sprungstellen.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 14
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen
Def: Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable
mit dem Wertebereich {xi | i ∈ I}. Der Erwartungswert (oder Mittelwert) von X ist definiert
als
X
X
E(X) =
xi · P (X = xi ) =
xi · p(xi ),
i∈I
i∈I
falls diese Reihe absolut konvergent ist, sonst existiert E(X) nicht.
Satz 2.3. Seien X, Y : Ω → R diskrete Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) und a, b ∈ R. Falls die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) existieren, dann existieren
auch die Erwartungswerte von X + Y und aX + b, und es gilt
(1) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ),
(2) E(aX + b) = aE(X) + b.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 15
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Unabhängige diskrete Zufallsvariablen
Die diskreten Zufallsvariablen X und Y mit den Wertebereichen {xi | i ∈ I} und {yj | j ∈ J}
auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) heißen unabhängig, wenn für alle Wertepaare (xi , yj )
gilt
P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ) · P (Y = yj ),
wobei (X = xi , Y = yj ) = {ω ∈ Ω | X(ω) = xi und Y (ω) = yj }.
Falls X und Y unabhängig sind, gilt für ihre Erwartungswerte
E(X · Y ) = E(X) · E(Y ).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 16
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen
Def: Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable
mit dem Wertebereich {xi | i ∈ I} und mit dem Erwartungswert µ := E(X). Die Varianz
(oder Streuung) von X ist definiert als
X
X
2
V (X) =
(xi − µ) · P (X = xi ) =
(xi − µ)2 · p(xi ),
i∈I
i∈I
falls diese Reihe konvergiert, sonst existiert V (X) nicht.
p
Die Wurzel σ := V (X) heißt Standardabweichung von X .
Satz 2.4. Seien X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) und a, b ∈ R. Falls der Erwartungswert µ := E(X) und die Varianz V (X)
existieren, dann gilt
(1) V (X) = E((X − µ)2 ) = E(X 2 ) − µ2,
(2) V (aX + b) = a2 V (X).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 17
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Zentrieren einer Zufallsvariablen
Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y = X − µ heißt Zentrieren der
Zufallsvariablen X , wobei µ = E(X).
Eigenschaft: E(Y ) = 0.
Normieren einer Zufallsvariablen
X
σ
heißt Normieren der
X−µ
σ
heißt Standardisieren
Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y =
p
Zufallsvariablen X , wobei σ := V (X).
Eigenschaft: V (Y ) = 1.
Standardisieren einer Zufallsvariablen
Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y =
p
der Zufallsvariablen X , wobei µ = E(X) und σ := V (X).
Eigenschaft: E(Y ) = 0 und V (Y ) = 1.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 18
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Tschebyschew-Ungleichung
Satz 2.5. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ . Dann gilt bei beliebig
gewähltem ε > 0 die Ungleichung:
σ2
P (|X − µ| ≥ ε) ≤ 2 .
ε
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 19
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariablen
Die diskrete Gleichverteilung
Eine Zufallsvariable X mit dem Wertebereich {x1 , . . . , xn }, für die gilt
P (X = xi ) =
1
,
n
heißt gleichverteilt.
Erwartungswert:
E(X) =
1
n
n
P
xi
Varianz:
i=1
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
V (X) =
1
n
n
P
i=1
x2i −
1
n
n
P
i=1
xi
2
Folie 20
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die Binomialverteilung
Seien n ≥ 1 eine ganze Zahl und 0 < p < 1. Eine Zufallsvariable X mit dem Wertebereich
{0, 1, . . . , n}, für die gilt
P (X = k) =
n
k
k
n−k
p (1 − p)
,
heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p.
Erwartungswert:
E(X) = n · p
Varianz:
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
V (X) = n · p · (1 − p)
Folie 21
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Bernoulli-Kette
Ein Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum Ω = {ω, ω̄} und den Wahrscheinlichkeiten
P (ω) = p und P (ω̄) = 1 − p für ein 0 < p < 1 heißt Bernoulli-Experiment. Führt man ein
Bernoulli-Experiment n-mal so durch, dass die Versuchsergebnisse ω1, ω2, . . . , ωn mit ωi ∈ Ω
vollständig unabhängig sind, so erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist die Anzahl der
Ausführungen nicht durch n begrenzt, so erhält man eine unbeschränkte Bernoulli-Kette.
Sei X die Zufallsvariable, dass in einer Bernoulli-Kette der Länge n das Ereignis ω genau k-mal
auftritt. Dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 22
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die hypergeometrische Verteilung
Seien N > S, n positive ganze Zahlen. Eine Zufallsvariable X mit den Werten {0, 1, . . . , n},
für die gilt
S N −S P (X = k) =
k
n−k
N
n
,
heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, S und n.
Erwartungswert:
E(X) = n ·
S
N
Varianz:
V (X) =
S
N
· (1 −
S
N)
·
N −n
N −1 .
Satz 2.6. Ist 0 < S < N, 0 < n < N und sind n und p = S/N konstant, so gilt für alle
0≤k≤n
S N −S n
n−k
k
n−k
k
=
p
(1
−
p)
.
lim
N
N →∞
k
n
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 23
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die Poissonverteilung
Sei λ > 0. Eine Zufallsvariable X mit den Werten {k | k ∈ N} für die gilt
λk −λ
P (X = k) =
e
k!
heißt Poissonverteilt mit dem Parameter λ.
Erwartungswert:
E(X) = λ
V (X) = λ
Varianz:
Satz 2.7. Ist n · p = λ konstant, so gilt für alle 0 ≤ k ≤ n
lim
n→∞
n
k
k
n−k
p (1 − p)
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
λk −λ
e .
=
k!
Folie 24
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Stetige Zufallsvariable
Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable X : Ω → R heißt stetig, wenn
es eine Funktion ϕ : R → R mit ϕ(x) ≥ 0 für alle x ∈ R gibt, die eine Stammfunktion F
besitzt, so dass die Verteilungsfunktion von X in der Form
P (X ≤ t) = F (t) =
Z
t
ϕ(x)dx
−∞
für alle t ∈ R dargestellt werden kann. Die Abbildung ϕ wird Dichtefunktion von X genannt.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 25
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Stetige Zufallsvariable
Satz 2.8. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion ϕ. Dann gilt für alle a, b ∈ R mit a < b
P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) =
und
P (X > a) = 1 − F (a) =
Z
∞
Z
b
ϕ(x)dx
a
ϕ(x)dx.
a
Für alle a ∈ R ist P (X = a) = 0.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 26
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Der Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen
Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → R eine stetige Zufallsvariable mit
der Dichtefunktion ϕ. Existiert das uneigentliche Integral
Z ∞
|x|ϕ(x)dx,
−∞
so heißt das Integral
E(X) = µ =
Z
∞
xϕ(x)dx
−∞
der Erwartungswert von X . Im Fall ihrer Existenz ist
Z ∞
V (X) =
(x − µ)2 ϕ(x)dx
−∞
p
die Varianz und die Wurzel σ = V (X) die Standardabweichung von X .
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 27
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Der Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen
Satz 2.9. Seien X, Y : Ω → R Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P )
und a, b ∈ R. Falls die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) existieren, dann existieren auch die
Erwartungswerte von X + Y und aX + b, und es gilt
(1) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ),
(2) E(aX + b) = aE(X) + b.
(3) Existiert die Varianz V (X), so gilt V (aX + b) = a2 V (X).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 28
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Unabhängige stetige Zufallsvariablen
Zwei stetige Zufallsvariable X und Y heißen unabhängig, wenn für alle x, y ∈ R gilt
P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x) · P (Y ≤ y).
Satz 2.10. Seien die Zufallsvariablen X, Y : Ω → R auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P ) unabhängig. Falls die Erwartungswerte E(X), E(Y ) und die Varianzen V (X), V (Y )
existieren, so gilt:
E(X · Y ) = E(X) · E(Y ) und V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 29
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Verteilungen stetiger Zufallsvariablen
Die stetige Gleichverteilung
Seien a < b reellen Zahlen. Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
ϕ(x) =
1
b−a
für a ≤ x ≤ b
0,
sonst
heißt gleichverteilt mit den Parametern a und b.
Erwartungswert:
E(X) =
a+b
2
Varianz:
V (X) =
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
(b−a)2
12
Folie 30
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die Exponentialverteilung
Sei λ > 0 eine reelle Zahl. Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion
ϕ(x) =
λe−λx für x > 0
0,
sonst
heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ.
Erwartungswert:
E(X) =
1
λ
Varianz:
V (X) =
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
1
λ2
Folie 31
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Die Normalverteilung
Seien µ und σ reellen Zahlen mit σ > 0. Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit
den Parametern µ und σ , wenn für ihre Dichtefunktion gilt:
2
(x−µ)
1
−
ϕµ,σ (x) = √
e 2σ 2 .
σ 2π
Erwartungswert:
E(X) = µ
Varianz:
V (X) = σ 2
Ist eine stetige Zufallsvariable X normalverteilt mit Parametern µ = 0 und σ = 1, so heißt X
standardnormalverteilt.
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 32
Stochastik
Mathematik für Informatiker
Zentraler Grenzwertsatz
Satz 2.11. Sei (Xi ) eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit gleichem
Erwartungswert µ und gleicher Varianz σ 2. Dann konvergiert die Folge (Fn) der Verteilungsfunktionen für die standardisierten Zufallsvariablen
Yn =
n
P
i=1
Xi − n · µ
√
n · σ2
gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
lim Fn(t) = Φ(t).
n→∞
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan
Folie 33