Seminararbeit

Wie misst man Marktliquidität
Seminar aus Finanz- und Versicherungsmathematik
Wintersemester 2014/2015
Autor:
Caroline Gerharter, 1225897
Betreuer: Privatdoz. Dipl.-Ing. Dr.techn. Stefan Gerhold
Inhaltsverzeichnis
1 Der Begriff der Liquidität
3
2 Die Bedeutung von Marktliquidität und ihre Auswirkung auf den
Asset-Preis
5
3 Volumenbasierte Liquiditätsmaße
3.1 Conventional Liquidity Ratio . .
3.2 Hui und Heubel . . . . . . . . . .
3.3 Liquiditätskennzahl von Martin .
3.4 Turnover Ratio . . . . . . . . . .
3.5 Illiquidity Ratio von Amihud . . .
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7
7
8
8
9
9
4 Preisbasierte Indizes
4.1 Liquiditätskennzahl von Marsh und Rock . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Variance Ratio oder Market Efficiency Coefficient (MEC) . . . . . . . .
4.3 Verschiedene Schätzungsmethoden mittels Vektor Autoregression . . . .
11
11
11
13
5 Messungen bezüglich Transaktionskosten
5.1 Bid-Ask Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Maß von Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Asymmetrische Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Beziehung zwischen Lagereffekten und Effekten nachteiliger Informationen
5.5 Das Modell von Stoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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17
18
6 Schlussfolgerungen
22
7 Literaturverzeichnis
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2
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1
Der Begriff der Liquidität
Die folgende Seminararbeit beschäftigt sich mit der Messung und den verschiedenen
Messmethoden von Asset Liquidität. In Finanzmärkten gilt die Liquidität als eines
der Schlüsselkonzepte. Das Konzept der Liquidität bezeichnet oftmals eine erwünschte
Funktion, die einen gut organisierten Finanzmarkt widerspiegeln soll.
Ein Markt wird als liquide bezeichnet, wenn Angebot und Nachfrage von Assets weitgehend übereinstimmen bzw. dementsprechend geringe Transaktionskosten anfallen.
Eine entscheidende Rolle bei der Marktliquidität spielt der Bid-Ask Spread und die
Bewertung seiner Komponenten.
Um das Konzept der Marktliquidität umfassend darzustellen, ist es erforderlich zwei
weitere Komponenten miteinzubeziehen:
1. Die Transaktionszeit: Sie bezeichnet die Schnelligkeit der Durchführung von Transaktionen. Dies ist einerseits jene Zeit, die es braucht, bis eine Order im Markt abgewickelt werden kann. Andererseits ermöglicht eine Bestellungsanfrage für einen
Investor, ein Asset zum derzeitigen oder nahezu derzeitigen Preis am Markt zu
kaufen oder zu verkaufen.
2. Die Transaktionskosten: Hierbei handelt es sich um jenen Preis, welchen der Investor für die Durchführung der Transaktion zu bezahlen hat.
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ein Asset als liquid bezeichnet werden
kann, wenn es schnell und zu den geringsten Kosten gehandelt werden kann.
Ein weiterer wichtiger Aspekt betrifft das Ausmaß der Beeinflussung eines Asset-Preises
durch die Handelsaktivität. Hier unterscheidet man zwischen folgenden Begriffen:
• In einem liquiden oder tiefen Markt sollten Preisveränderungen nicht durch Transaktionskosten bestimmt werden, d.h. auch sehr große Transaktionen sollten nur
eine minimale Auswirkung auf den Preis haben.
• In einem illiquiden oder engen Markt sind die Preise hingegen sehr leicht beeinflussbar über die Bestellgröße.
Infolgedessen ist es essentiell zu erkennen, inwieweit die Anzahl der Transaktionen oder
die Bestellgröße größere Preisschwankungen verursacht.
Es gibt unterschiedliche Konzepte, die Liquidität von Assets zu messen. Manche fokussieren sich auf die Rolle der Volumensgröße, andere wiederum konzentrieren sich auf
den Aspekt der Transaktionskosten. Generell basieren sämtliche dieser Analysen auf
3
dem Bid-Ask Spread und seinen Veränderungen.
Der Bid-Ask Spread ergibt sich im Wesentlichen aus drei Komponenten, nämlich aus der
Auftragsabwicklung, der nachteiligen Information und den Inventurkosten. Je stärker
der Wettbewerb zwischen den Vermittlern/Händlern ist, umso weniger Bedeutung ist
der Komponente der Auftragsabwicklung beizumessen. Die Informationskomponente
ist insofern entscheidend, als durch verborgene Informationen oder Insider-Handel eine
Informationsverzerrung vorliegen kann, die sich auf den Bid-Ask Spread auswirkt.
4
2
Die Bedeutung von Marktliquidität und ihre Auswirkung auf den Asset-Preis
Die Relevanz der Marktliquidität ergibt sich aus der Struktur des jeweiligen Finanzmarktes. Beide Faktoren beeinflussen einander und wirken sich auf die Effizienz von
Markttransaktionen aus.
Die Eigenschaften eines liquiden Markts kann man laut Baker (1996) in drei Dimensionen einteilen:
1. Tiefe (Depth): Ein Markt ist tief, wenn eine große Anzahl von Aufträgen existiert, deren Kursziele sich sowohl unter als auch über dem aktuellen Handelskurs
befinden.
2. Breite (Breadth): Ein Markt ist breit, wenn die Preiseinflüsse minimal bleiben,
obwohl eine große Menge an Aufträgen mit großem Volumen vorhanden ist.
3. Elastizität (Resiliency): Der Markt wird als elastisch bezeichnet, wenn trotz Preisänderungen wieder schnell viele Aufträge eingehen.
Ob ein Markt liquide ist, hat entscheidende Konsequenzen auf die Asset-Preise und das
Ausmaß des Wettbewerbs.
Gemäß John Maynard Keynes ist ein Asset als liquide zu bezeichnen, wenn it is more
”
certainly realizable at short notice without loss“.
Keynes Aussage beleuchtet zwei wesentliche Aspekte, nämlich das Risiko der Realisierung eines Asset-Preises und das Vorhandensein eines Marktplatzes, auf dem das Asset
gehandelt werden kann ohne einen Preisverlust in Kauf nehmen zu müssen.
Andere Wirtschaftstheoretiker, Massimb und Phelps, stellen die Rolle der Geschwindigkeit und der Kosten verbunden mit Marktveränderungen in den Vordergrund ( im”
mediacy“).
Zusammenfassend kann gesagt werden, dass der Kern des Liquiditätskonzeptes darin
besteht, ein vorhandenes Asset auf einem Markt austauschen zu können, ohne dass sich
der aktuelle Preis stark verändert.
Die Liquidität eines Marktes wirkt sich auf verschiedenste Weise auf die Asset-Preise
aus. So sollte die Rentabilität/Verzinsung (Rate of Return) eines Assets auch den potentiellen Verlust aufgrund von Transaktionskosten berücksichtigen. Je höher die Transaktionskosten sind, desto niedriger werden die Asset-Preise in einem Markt sein bzw. wird
die Verzinsung steigen. In anderen Worten, ein illiquides Asset wird eine höhere Verzinsung aufweisen, um den Investor für die höheren Liquiditätskosten zu entschädigen.
Basierend auf dieser Annahme haben Amihud und Mendelson (1988, 1991) ein Modell
entwickelt, das die Auswirkungen der Marktliquidität auf die Asset-Preise berechnet.
5
Das Modell zeigt auf, dass höhere Spannen aufgrund höherer Transaktionskosten eine
höhere Rentabilität erbringen. Somit erzielen Investoren mit einem langfristigen Investitionshorizont einen Vorteil, wenn sie in Assets mit höheren Spannen investieren.
Liquidität ist auch wegen der technischen Analyse als Indikator für Preisdruck wichtig für Portfolio-Management. Oft wird die technische Analyse als teilwiese unwichtig
für die Bepreisung von Assets betrachtet. Allerdings können typische technische Indikatoren von Analysen, wie das gehandelte Volumen, sehr nützlich sein. Laut Blume,
Easley und O’Hara (1994) bekommt man durch Informationen von gehandeltem Volumen wichtige Einblicke, die durch einfache Preisstatistiken nicht übermittelt werden.
6
3
Volumenbasierte Liquiditätsmaße
Das Wesentliche bei volumenbasierten Kennzahlen ist die Beziehung zwischen Menge
und Preis eines Assets. Sie bewerten, in welchem Ausmaß sich die Größe einer Transaktion auf den Preis auswirkt. Die Höhe der Liquidität am Markt ist dabei direkt
proportional zum Handelsvolumen.
Trotzdem weisen volumenbasierte Kennzahlen ein paar Nachteile auf:
1. Einerseits weisen die Indizes keine Unterscheidung zwischen vorübergehenden
und bleibenden Preisschwankungen von gehandeltem Volumen auf. Unter einer
vorübergehenden Preisschwankung kann man einen kurzweiligen Mangel von Liquidität verstehen oder die alleinigen Kosten, die durch Transaktionen entstehen.
Eine bleibende Preisänderung bezieht sich auf Informationen, die gewisse kundige Händler haben. So entsteht das Konzept der asymmetrischen Information am
Markt.
2. Die Methode von volumenbasierten Liquiditätsmaßen zeigen nicht wie ein neuer
Auftrag die Preise beeinflussen kann, sondern es werden nur vergangene Änderungen betrachtet.
3. Marsh und Rock (1986) meinen, dass konventionelle Liquiditätsmaßen die Preisänderungen, welche wegen großen Transaktionen stattfinden, überschätzen. Außerdem würden diese die Preisänderungen von kleinen Transaktionen unterschätzen. Diese Defizite treten dadurch auf, dass Preise und Volumen nicht direkt
proportional zueinander stehen.
Das gehandelte Volumen am Markt bezeichnet den Betrag der zwischen Händlern durch
Kaufs- oder Verkaufsaktivität von einzelnen Assets oder für den ganzen Markt getauscht wird. Da Transaktionen sowohl auf der Käufer, als auch der Verkäufer Seite
aufgezeichnet werden können (double counting) ist das gehandelte Volumen oft nicht
als ein angemessenes Liquiditätsmaß angesehen. Ein dafür geeigneteres Maß ist es das
Verhältnis zwischen gehandeltem Volumen und Börsenwert zu betrachten.
3.1
Conventional Liquidity Ratio
Die Conventional Liquidity Ratio ist eine der meist verwendeten Kennziffern in der
empirischen Analyse und gibt an, wie viel Handelsvolumen notwendig ist, um eine
Preisänderung von einem Prozent zu erreichen. Die Formel der Liquiditätskennzahl für
7
ein Asset i sieht wie folgt aus:
PT
LRit = PTt=1
Pit Vit
t=1 |P Cit |
(1)
wobei Pit den Preis des Assets i am Tag t bezeichnet und Vit für das gehandelte Volumen
steht. |P Cit | ist die absolute prozentuelle Preisänderung über ein festes Zeitintervall,
welches durch P Cit = Pit − Pit−1 gegeben ist. Die Liquiditätskennzahl wird für eine bestimmte Anzahl an Assets mit ähnlichen Merkmalen aggregiert und berechnet.
Grundsätzlich wird das Zeitintervall willkürlich gewählt, doch in der Praxis meist monatlich. Je höher das Liquiditätsmaß LRit ist, desto höher ist auch die Liquidität, demnach haben große Handelsmengen wenig Einfluss auf den Preis. Die Liquiditätskennzahl
konzentriert sich offensichtlich mehr auf den Preisaspekt, als auf die Zeit oder die Kosten der Ausführung.
3.2
Hui und Heubel
Das Liquiditätsmaß von Hui und Heubel (1984) gibt in der Praxis das Verhältnis zwischen der größten Preisänderung und dem gehandelten Volumen der Marktkapitalisierung an. Die Formel für diese lautet:
(Pmax − Pmin )/Pmin
(2)
LRHH =
V /(S · P̄ )
Pmax und Pmin beschreiben den höchsten bzw. niedrigsten erzielten Preis über ein Zeitintervall von fünf Tagen. V steht für das Handelsvolumen der letzten 5 Tage. Unter S
versteht man die Gesamtanzahl der ausstehenden Assets und unter P̄ den durchschnittlichen Schlusspreis. Je höher der Wert von LRHH ist, desto niedriger die Liquidität.
Bei dem Index von Hui und Heubel gibt es zwei Nachteile. Zunächst ist der Zeitraum
von fünf Tagen zu lange, um Anomalien am Markt zu erkennen, welche sehr kurzfristig
auftreten können. Zudem ist die Wahl der Variablen kritisch, da so der Bid-Ask Spread
herangezogen werden könnte und die Schätzung verzerren könnte.
3.3
Liquiditätskennzahl von Martin
Martins (1975) Index bezeichnet ein Liquiditätsmaß, bei der eine stationäre Verteilung
von Preisänderungen vorliegt, welche konstant ist. Für Pit als closing price und Vit als
Handelsvolumen ist der Index von Martin so definiert:
N
X
(Pit − Pit−1 )2
(3)
M LIt =
Vit
i=1
8
Der Index wird über die Gesamtanzahl der Assets berechnet. Je höher der Wert von
M LIt ist, desto weniger liquid ist der Markt, wegen der Auswirkung der Preisstreuung.
Anders betrachtet bedeutet ein höherer Wert für das Verhältnis eine höhere Preisstreuung bezogen auf das Handelsvolumen und eine niedrigere Liquidität des Marktes.
Damit können Ereignisse oder Informationen gezeigt werden, die nicht mit dem Handelsprozess selbst zu tun haben. Der Index liefert aussagekräftige Werte, wenn er täglich
betrachtet wird. Diese Liquiditätskennzahl ist der von Hui und Heubel sehr ähnlich.
3.4
Turnover Ratio
Die Turnover Ratio T Rti für eine Aktie i zum Zeitpunkt t hat die Form:
T Pti =
Shit
N Shit
(4)
wobei Shit die Anzahl der gehandelten Assets zum Zeitpunkt t für eine Aktie i ist
und N Shit ist die Gesamtanzahl der sich im Umfeld befindenden Assets. Dieser Index
bezieht sich auf eine einzelne Zeitperiode, die beispielsweise ein Tag oder ein Monat sein
könnte. Um einen Durchschnittswert über einen vorgegebenen Untersuchungszeitraum
zu erhalten, wird folgende Formel verwendet:
T RTi
NT
1 X
=
T Rti
NT t=1
(5)
mit einer Anzahl an Subperioden NT .
3.5
Illiquidity Ratio von Amihud
Die Illiquiditätskennzahl von Amihud (2002) wird mithilfe folgender Formel dargestellt:
ILLIQiT
DT
i
|Rt,T
|
1 X
=
i
Dt t=1 Vt,T
(6)
i
Dt ist die Anzahl der Tage, an denen Daten verfügbar sind. Rt,T
bezeichnet die tägliche
i
Rendite am Tag t vom Jahr T und Vt,T das tägliche Handelsvolumen. Die Werte in der
Summe ergeben so den Einfluss vom t-ten Tag auf den Preis vom gehandelten Volumen.
Dieses Maß ist also der durchschnittliche tägliche Einfluss auf Preise für einen gegebenen
Zeitraum.
Dieses Liquiditätsmaß ist sehr ähnlich zur Conventional Liquidity Ratio. Im Unterschid
9
zum Bid-Ask Spread liegt der größte Vorteil der Illiquiditätskennzahl dabei, dass so
eine umfassende Verfügbarkeit von Daten zur Berechnung vorhanden ist. Dieser Vorteil
wirkt sich besonders auf Märkte aus, welche komplexe Messungen des Spreads nicht
angeben.
10
4
Preisbasierte Indizes
Bei preisbasierten Kennzahlen wird auch der Gleichgewichtspreis betrachtet. Das Ziel
soll sein, besser zu erkennen, welche Preisänderungen aufgrund neuer Informationen
auftreten, und welche rein durch mangelnde Liquidität entstehen.
4.1
Liquiditätskennzahl von Marsh und Rock
Die Formel für das Liquiditätsmaß von Marsh und Rock (1986) ist unabhängig von der
Handelsgröße außer es geht um Blocktransaktionen. Die dazugehörige Formel lautet
wie folgt:
Mi i
i
X
−
P
P
1
m−1
m
i
· 100
(7)
LRM
=
R
i
M i m=1 Pm−1
M i steht für die Gesamtanzahl der Transaktionen eines Assets i über eine bestimmte Zeitperiode. Pmi steht für den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t. Demnach
i
ist LRM
R die durchschnittliche prozentuelle Preisveränderung pro Transaktion über
eine vorgegebene Zeitperiode. So gilt: Je kleiner das Ergebnis, desto liquider ist das
Wertpapier. Bei volumenbasierten Messungen stellt die größenveränderte Variable das
gehandelte Volumen dar. Beim Liquiditätsmaß von Marsh und Rock hingegen ist die
größenveränderte Variable die Anzahl der Transaktionen. So hängt die Liquidität von
den Auswirkungen der Transaktionskosten ab und nicht vom Volumen. Dieser Index
ist für kurze Zeitperioden gedacht und ist ein geeignetes Maß für Händlermärkte und
auch Auktionsmärkte.
4.2
Variance Ratio oder Market Efficiency Coefficient (MEC)
Die Varianzkennzahl betrachtet den Einfluss von Ausführungs-Kosten auf Preisvolatilität über kurze Zeiträume.
Der MEC V Ri kann wie folgt dargestellt werden:
var(RTi )
VR =
T · var(ZTi )
i
(8)
Hier ist var(RTi ) die langfristige Varianz und var(ZTi ) die kurzfristige Varianz eines
Asset Returns i. Um die kurzfristige Varianz mit der langfristigen Varianz vergleichen
zu können, muss sie mit dem Faktor T multipliziert werden, welcher die Zeitperiode
gleichsetzt. Falls V Ri < 1, ist der Markt illiquid.
11
Der MEC kann über beliebige Zeitintervalle berechnet werden, wobei eine Folge von
kurzfristigen Intervallen von Transaktionen den Marktpreis stärker beeinflusst als langfristige.
Die Varianzratio weist jedoch zwei wesentliche Schwächen auf. Dies betrifft einerseits
das Zeitintervall, welches die Resultate stark beeinflussen kann. Andererseits ist es nicht
möglich zu beobachten, ob eine Tendenz zu einem Gleichgewichtspreis vorhanden ist.
Der MEC wird mittels effektiven Preisen berechnet, also wird die Handelsaktivität sowohl innerhalb als auch außerhalb der Bid-Ask Grenze miteinbezogen.
Gegeben ist der Assetpreis Pt als ein Random-Walk Prozess:
Pt = Pt−1 + ηt
(9)
Hier ist ηt eine homoskedastische Störung unkorrelliert über die Zeit. Nach dieser Hypothese erhalten wir ∆Pt = ηt . Um die Varianzkennzahl zu konstruieren, kann man
zeigen, dass folgende Gleichungen stimmen.
var(Pt − Pt−2 ) = var(Pt − Pt−1 ) + var(Pt−1 − Pt−2 ) = 2ση2 var(Pt − Pt−T ) = T ση2 (10)
Nach dieser Random-Walk Hypothese gilt: ∆Pt = RT , wodurch sich die Varianz-Ratio
folgendermaßen ergibt:
var(Pt − Pt−T )
=1
V RT =
T ση2
Für V RT = 1 gibt es keine Abweichungen von der Random Walk Hypothese.
Um die Auswirkung der Abweichung der Random Walk Hypothese zu beachten, betrachten wir folgenden Fall:
var(Rt + Tt−1 ) = 2V ar(Rt ) + 2Cov(Rt Rt−1 )
Die Varianzkennzahl kann durch folgende Umformung konstruiert werden:
Cov(Rt Rt−1 )
2V ar(Rt ) + 2Cov(Rt Rt−1 )
V R(2) =
=1+2
2V ar(Rt )
2V ar(Rt )
= 1 + 2ρ(1)
wobei ρ(1) eine Approximation für den Korrelationskoeffizienten ist. Diesen kann man
so angeben:
Cov(Rt Rt−1 )
ρ(1) =
2V ar(Rt )
Für einen allgemeineren Ausdruck der Varianzkennzahl schreiben wir:
T −1 X
V ar(Rt )
s
V R(T ) =
=1+2
1−
ρ(s)
T V ar(RT )
T
s=1
12
(11)
Mit reiheinweise unkorrelierten Asset Returns entspricht die Varianzratio 1. Mit der
Autokorrelation von 1,
Rt = φRt−1 + t und
E(t ) = 0, V ar(t ) = σ2 wird die Formel der Varianzkennzahl so umgeformt, dass sich
folgendes ergibt:
T −1 X
s k
φ
V R(T ) = 1 + 2
1−
T
s=1
4.3
Verschiedene Schätzungsmethoden mittels Vektor Autoregression
Vektorautoregressive Modelle (VAR) werden vielfach in der Volkswirtschaftslehre verwendet, um die Auswirkungen von Schockwellen in der Wirtschaftsstruktur zu identifizieren. Es werden die Übertragungsmechanismen von Schockwellen quer über die
Märkte untersucht.
Ein repräsentatives Beispiel hierzu liefern Chung, Han und Tse (1996), die das Verhältnis der verschiedenen Aktienindices von NYSE (New York Stock Exchange) und AMEX
(American Stock Exchange) messen. Das Ergebnis zeigt, dass der NYSE liquider ist als
der AMEX.
Die Veränderungen der Preisindices des AMEX lassen sich an Hand des Modells aufgrund der verzögerten Veränderung des NYSE erklären.
Eine Weiterentwicklung des VAR Modelles stammt von Hasbrouck (2002). Er berücksichtigt die Abweichung der tatsächlichen Transaktionspreise von den nicht beobachtbaren Gleichgewichtspreisen. Darüber hinaus ist es mit seinem Methodik möglich, das
Ausmaß der in einem Markt stattfindenden Fluktuationen zu berechnen, die aus den
Schwingungen eines anderen Marktes resultieren.
13
5
Messungen bezüglich Transaktionskosten
Es gibt zwei verschiedene Arten von Transaktionskosten - die expliziten und die impliziten. Zu den expliziten gehören die Gebühren, Steuern und Courtagen (Vermittlungsgebühren für Broker). Die impliziten sind die Kosten zwischen dem theoretisch
richtigen Gleichgewichtspreis, welcher die Mitte des Bid-Ask Spreads bedeutet, und
dem echten Preis. Demnach wird bei einem Kauf mehr als der theoretische Marktwert
bezahlt und bei einem Verkauf ein niedrigerer Wert erhalten. Je enger diese beiden
Werte aneinander liegen, desto liquider ist der Markt. Daher ist der Bid-Ask Spread
und seine Varianten eines der geläufigsten Maße bezüglich Transaktionskosten.
5.1
Bid-Ask Spread
Das Marktangebot ist der höchste Preis, zu dem ein Händler eine Aktie kaufen würde
und ein Investor die Aktie verkaufen würde, daher wird der höchste Preis auch als das
beste Marktangebot bezeichnet. Die Marktnachfrage ist der niedrigste Preis, zu dem
ein Händler seine Aktie verkaufen würde.
Laut Huang und Stoll (1996) arbeiten Experten oft selbst als Händler. Normalerweise
setzt ein Händler einen Preis fest. Die Marktaufträge werden dann mit den Aufträgen
der Kunden verglichen.
Der absolute Bid-Ask Spread hat die Form:
St = At − Bt
(12)
At ist der Ask-Preis, Bt der Bid-Preis und St der Spread zum Zeitpunkt t. Ein liquiderer
Markt ergibt einen niedrigeren Spread. Demnach gibt es einen negativen Zusammenhang zwischen Spread und Asset Preis. Um die Formel wirklich anwenden zu können,
also auch für verschiedene Wertpapiere mit unterschiedlichen Kursen, muss man sie um
den Gleichgewichtspunkt Mt = (At +Bt )/2 erweitern. Dann ist der prozentuelle Spread
pSt definiert durch:
At − Bt
(13)
pSt =
Mt
Der Spread stellt viel mehr ein Maß für Transaktionskosten dar, und weniger ein Liquiditätsmaß. Wie schon zuvor erwähnt, implizieren hohe Transaktionskosten niedrige
Liquidität.
Der Unterschied zwischen Dealer Spread und Market Spread wird von Cohen (1986)
erläutert. Der Dealer Spread ist durch die Bid-Ask Formel St = At − Bt definiert.
Der Market Spread allerdings betrachtet die Differenz des höchsten Gebots und des
14
niedrigsten Verkaufspreises zwischen Dealern die zur gleichen Zeit die gleiche Aktie
anbieten.
5.2
Maß von Roll
Das Maß von Roll (1984), als Maß eines impliziten Spreads, ist ein Modell um den
realisierten Spread zu folgern, der durch die Eigenschaften von Zeitreihen der beobachteten Marktpreise oder Renditen dargestellt wird. Hierbei bekommt man keine Einsicht
auf die möglichen Komponenten des Spreads, da bei diesem Index davon ausgegangen
wird, dass Händler gleichviele Informationen haben. So wird ohne die Möglichkeit von
nachteiliger Information gerechnet.
Das große Nachteil beim Maß von Roll ist, dass asymmetrische Information nicht beachtet werden kann. Laut Huang und Soll (1997) können kurzzeitige Renditen von
verschiedensten weiteren Faktoren, die beim Maß von Roll nicht beachtet werden, beeinflusst werden.
Sei Pt der beobachtete Transaktionspreis eines Assets zum Zeitpunkt t, welche zwischen
dem Bid- und Ask-Angebot oszillieren. Sei der Gleichgewichtspreis Vt ein Random-Walk
Prozess mit Störung:
(14)
Vt = V + Vt−1 + t
wobei sich t die unbeobachtbare Erneuerung des Wertes eines Assets zwischen Transaktionen t − 1 und t befindet. Dieser Ausdruck ist unabhängig gleichverteilt (i.i.d für
independent and identically distributed) mit Mittelwert 0 und konstanter Varianz σ2 .
Der beobachtete Preis kann folgendermaßen beschrieben werden:
Pt = Vt +
S
Qt
2
(15)
S stellt den absoluten bepreisten Spread dar, der nach Annahme konstant ist. Qt ist eine
Indikatorfunktion, die entweder den Wert −1 oder 1 annimmt, mit gleicher Wahrscheinlichkeit, abhängig davon, dass die t-te Transaktion zum Bid- oder Ask-Preis zustande
kommt. So ist die Veränderung der Transaktionspreise so gegeben:
∆Pt = V +
S
∆Qt + t
2
(16)
Um eine verkürzte Form zu erhalten, braucht man zwei weitere Annahmen. Erstens
gehen wir davon aus, dass der Markt informationseffizient ist, also cov(t , t−1 ) = 0.
Des Weiteren haben die Kaufs- und Verkaufsaufträge die gleiche Wahrscheinlichkeit
(z.B.: cov(∆Pt , ∆Pt−1 ) = −1).
15
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Handelsrichtung kann man so darstellen:
Handelsfolge
→
↓
Qt−1 = −1
Qt−1 = +1
Handel zum Bid Preis
Handel zum Ask Preis
Bt−1 Bt
Bt−1 At
At−1 At
At−1 Bt
0
2
0
-2
Bt Bt+1
0
1/4
0
1/4
Bt At+1
2
1/4
0
0
1/4
At At+1
0
0
1/4
1/4
0
At Bt+1
-2
0
1/4
1/4
0
Da die Kauf- und Verkaufstransaktionen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, kann
man die zusammengesetzte Verteilung so darstellen:
∆Qt
∆Qt+1
2
0
-2
2
0
0
1/8
0
1/8
1/4
1/8
-2
1/8
1/8
0
Die Autokovarianz der Handelstransaktionen ist folgendermaßen gegeben:
Cov(∆Qt , ∆Qt+1 ) = −4 ·
1
1
− 4 · = −1
8
8
(17)
Demnach kann man die Autokovarianzfunktion der Preisabweichungen so darstellen:
S
S
S2
Cov(∆Pt , ∆Pt−1 ) = Cov
∆Qt , ∆Qt−1 =
Cov(∆Qt , ∆Qt−1 )
2
2
4
Von dieser Gleichung erhalten wir:
S2
Cov(∆Pt , ∆Pt−1 ) = −
4
16
(18)
Diese Formel liefert das Maß des Spreads von Roll (1984). Man erhält seinen Schätzer,
indem man die Autokovarianz abschätzt und nach S auflöst. Der Schätzer für die serielle
Kovarianz ist:
n
1X
2
d
Cov =
∆Pt ∆Pt−1 − ∆P
(19)
n t=1
2
wobei ∆P der Stichenprobenmittelwert von {∆P } ist. Laut Harris (1990) ist die Bevöld asymptotisch normal, wenn n wächst.
kerungsverteilung von Cov
Der Schätzer der seriellen Kovarianz hat eine fallende Tendenz in kleinen Probedaten
mit kleiner Häufigkeit.
Die Auswirkungen von (18) und (19) sind, dass je negativer die Rückholautokorrelation
ist, desto illiquider wird die gegebene Aktie sein.
5.3
Asymmetrische Information
Glosten (1987) erläutert den Unterschied zwischen den Preiseffekten bezüglich des Bestellvorgangs und jenen bezüglich nachteiliger Information. Wie schon erwähnt sind die
Folgen des Bestellvorgangs vorübergehend. Die Auswirkungen von nachteiliger Information sind dauerhaft, da sie den Gleichgewichtswert des Wertpapiers verändern.
Glosten hat zwei Grundformeln dazu veröffentlicht:
Vt = V̄ + Vt−1 + (1 − γ)
S
+ t
2
(20)
S
Pt = Vt + γ Qt
(21)
2
wobei γ der Anteil am angebotenen Spread aufgrund von Transaktionskosten ist und
(1 − γ) der Anteil der durch nachteilige Information entsteht. t stellt den Effekt, der
durch das Vorhandensein öffentlicher Information zustande kommt, dar. Der echte Preis
Vt spiegelt die gesamte Information, die in der Öffentlichkeit verfügbar ist, sofort nach
einer Transaktion t wider. Qt ist die Information, welche durch eine einzelne Transaktion
zum Vorschein kommt. Das Modell von Roll (1984) entstand durch diese Angabe mit
γ = 1.
5.4
Beziehung zwischen Lagereffekten und Effekten nachteiliger Informationen
Durch Informationseffekte entwickeln sich die Preise nach einem Handel in entgegengesetzte Richtung. Sie steigen nach einem Händlerverkauf und fallen nach einem Händler-
17
kauf. Das ist ein sogenanntes price reversal“ und bedeutet, dass ein Dealer gegen in”
formierte Agenten handelt. Dadurch kann ein Kursmacher große Verluste machen. Das
Konzept des price reversal“ bringt also mit sich, dass der erzielte Spread oft anders
”
ist als der bepreiste Spread.
Im Modell von Roll (1989) wird davon ausgegangen, dass Transaktionen einzig zu
den Kaufs- oder Verkaufspreisen stattfinden. Falls Lagerhaltungskosten miteinbezogen
werden, wird der Dealer den Spread verändern, um weitere Handelsbewegungen herbeizurufen oder zu verhindern. Nach einem Händlerkauf (Marktverkauf) fallen die Preise
für Kauf und Verkauf, um einen Anreiz für Händlerverkäufe zu bieten und weitere
Händlerkäufe abzuwehren. Genau das gleiche Prinzip erfolgt beim Händlerkauf, wobei
hier die Verkaufs- und Kaufpreise steigen um weitere Händlerverkäufe anzuregen.
Durch asymmetrische Information übermittelt eine vom Käufer ausgelöste Transaktion
Informationen über einen Preis des Assets, den man höher erwartet hätte. Der Grund
dafür ist, dass Marktteilnehmer davon ausgehen, dass aktive Händler mehr Informationen haben.
5.5
Das Modell von Stoll
Im Modell von Stoll (1989) werden die drei Schlüsselkomponenten des Spreads berechnet. Damit sind die Shares aufgrund von Auftragsabwicklung, Inventurbestand und
nachteiliger Information gemeint. Das Handelsvolumen, welches hier durch verschiedene Aspekte ausgelöst wird, muss nicht mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten.
So definieren wir θ als die Wahrscheinlichkeit einer Preisumkehrung, wie zum Beispiel
die unbeschränkte Wahrscheinlichkeit eines Handelswechsels: θ = P {Qt = Qt−1 }. Die
Größe einer Preisänderung bedingt durch eine Umkehrung ist gegeben durch (1 − ∆)S.
Das kann man wie folgt darstellen:
(1 − λ)S = ∆Pt | {Qt 6= Qt−1 }
wobei
(
{Qt 6= Qt−1 } =
Pt−1 = Bt−1 , Pt = At , oder
Pt−1 = At−1 , Pt = Bt
Die Preisänderung ∆Pt ergibt sich hier dadurch, dass der Einführungspreis gleich dem
Bid oder Ask ist. Demnach ist die Formel, bei welcher eine Transaktion zum Ask Preis
beginnt, so gegeben:
(
(Bt − At−1 ) = (1 − λ)S, mit Wahrscheinlichkeit θ
∆Pt =
(At − At−1 ) = −λS, mit Wahrscheinlichkeit (1 − θ)
18
Falls die Transaktion mit dem Bid Preis anfängt, sieht die Formel so aus:
(
(At − Bt−1 ) = (1 − λ)S, mit Wahrscheinlichkeit θ
∆Pt =
(Bt − Bt−1 ) = −λS, mit Wahrscheinlichkeit (1 − θ)
Demnach wird die erwartete Preisänderung bedingt durch eine Einführungstransaktion
zum Ask Preis so dargestellt:
E{∆Pt | Pt−1 = At−1 } = −(θ − λ)S
(22)
und die erwartete Preisänderung bedingt durch einen Einführungspreis zum Bid Preis
folgendermaßen dargestellt:
E{∆Pt | Pt−1 = Bt−1 } = (θ − λ)S
(23)
Der realisierte Spread ist der Gewinn des Dealers nach zwei Transaktionen, bestehend
aus einem Kauf und einem Verkauf. Genauer beschreibt er den Unterschied zwischen der
erwarteten Preisänderung nach einem Dealer Kauf und der erwarteten Preisänderung
nach einem Dealer Verkauf. Mit dem effektiven Spread s ergibt sich:
s = 2(θ − λ)S
(24)
Der realisierte Spread ist der Lohn für die Dienstleistungen des Marktmachers. In der
vorigen Gleichung wird die Bestellvorgangskomponente, als auch die Inventurkomponente miteinbezogen. Hier bezeichnet die nachteilige Komponente den Teil des Spreads,
welcher nicht vom Marktmacher eingenommen wurde, und entspricht [1 − 2(θ − λ)S].
Man kann hier zwischen zwei interessanten Fällen unterscheiden. Das betrifft einerseits den Fall, der auftritt, wenn es möglich ist, die Handelsrichtung zu beobachten,
und wenn die Daten für den Handel nicht zur Verfügung stehen. Falls die Marktdaten
verfügbar sind, kann man die erwartete Preisveränderung folgendermaßen anschreiben:
i
(siτ | Bτi ) = [(Pt+τ
) | Pti = Bτi ]
(25)
ist die Gleichung für den Handel zum Bid-Preis.
Für den Handel zum Ask-Preis sieht diese so aus:
i
) | Pti = Aiτ ]
(siτ | Aiτ ) = [(Pt+τ
(26)
Hier bezeichnet τ die Länge der Zeit, nach welcher ein nachfolgender Preis betrachtet
wird. Es ist nicht einfach den Zeitraum für die Berechnung auszuwählen, da es so zu
Nachteilen kommen kann. Falls der Zeitraum zu kurz ist, könnte der nachfolgende Preis
daran scheitern, eine Umkehr widerzuspiegeln, und zeigt vielleicht nur einen Handel in
19
die gleiche Richtung an. Falls jedoch ein zu langer Zeitraum gewählt wird, könnten
Ergebnisse, beeinflusst von übermäßiger Preisvolatilität wegen häufigen aufeinanderfolgenden Preisveränderungen auftreten.
Falls Handelsdaten nicht verfügbar sind, muss man auf Informationen von statistischen
Mustern, welche einen Asset Preis charakterisieren, zugreifen. So ist die Kovarianz einer
Preisänderung folgendermaßen gegeben:
Cov(∆Pt , ∆Pt+1 ) = S 2 [λ2 (1 − 2θ) − θ2 (1 − 2λ)]
(27)
Um Inventurkosten zu ermitteln gibt Stoll (1989) auch die Autokovarianz von Veränderungen des Kurses an:
Cov(∆Qt , ∆Qt+1 ) = S 2 λ2 (1 − 2θ)
Q = A, B
Unter der Annahme eines konstant bepreisten Spreads kann die Kovarianz entweder
durch Veränderungen des Bid- oder des Ask-Preises berechnet werden, sodass
Cov(∆Bt , ∆Bt+1 ) = S 2 λ2 (1 − 2θ)
oder
Cov(∆At , ∆At+1 ) = S 2 λ2 (1 − 2θ)
Die Ausdrücke der Kovarianz von verschiedenen Versionen des Modells kann man anhand folgender Tabelle betrachten:
Kovarianz vom Modell von Stoll
Spread Bestimmungsfaktor
Cov(∆Pt , ∆Pt+1 ) Cov(∆Qt , ∆Qt+1 )
Bestellvorgangskosten: θ = 1/2, λ = 0
Nachteilige Information: θ = 1/2, λ = 0.5
Inventurkosten: θ > 1/2, λ = 0.5
− 41 S 2
0
0
0
− 41 S 2 , 0
− 14 S 2 , 0
Der Bid-Ask Spread basiert auf verschiedensten Annahmen. George, Kaul und Nimaledran (1991) zeigen dass die Faktoren für den Spread meistens verzerrt und ineffizient
sind. Sie haben in ihrem Modell zeitlich veränderliche erwartete Returns eingeführt
indem sie V t 6= V angenommen haben. Dabei ist die Autokovarianz von Angebotsveränderungen positiv.
Andere Ansätze zur Berechnung der Spread Komponenten sind die sogenannten ”Trading Indikatoren”. Die Modelle in diesem Kontext, wie das von Glosten und Harris
(1988), Glosten (1987) und Madhavan, Richardson und Roomans (1997) beinhalten keine Annahmen über die Ankunft von Bestellungen. Hier beeinflusst nur die tatsächliche
20
Richtung die Bewertung der Parameter. Wegen der Struktur dieser Modelle ist eine
genaue Spezifikation des Markt-Typs notwendig, da sie nicht allgemein genug sind.
Bei kleinen Transaktionen wird im Modell von Glosten und Harris (1988) die Komponente der nachteiligen Selektion unterschätzt und die Komponente des Bestellungsvorgangs überschätzt. Der gegenteilige Fall tritt bei großen Transaktionen ein. Im Modell
von Madhavan, Richardson und Roomans (1997), welches zu denen, konzentriert auf
Handelsindikatoren, gehört, werden die Ausiwrkungen von nachteiliger Information und
Inventurveränderungen nicht betrachtet. Der vorgestellte Preismechanismus zeigt die
Komponente der asymmetrischen Informationen des Spreads bezüglich Erneuerungen
der Auftragseingänge. Madhavan, Richardson und Roomans (1997) haben es in ihrem
Modell möglich gemacht, dass auch Informationsvorsprünge bezüglich unerwarteten
Handelsbewegungen erfasst werden können.
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6
Schlussfolgerungen
Zusammenfassend kann Folgendes gesagt werden: Das Konzept der Marktliquidität
beschreibt unter welchen Umständen Assets gekauft und verkauft werden können. Je
liquider ein Markt ist, desto einfacher ist es ein Asset zu handeln. Der Markt ist dann
idealerweise tief, breit und elastisch. Zur Messung der Marktliquidität gehören die volumenbasierten Indizes, welche die Beziehung zwischen der Menge und des Preises eines
Assets untersuchen. Eine der wichtigsten Kennzahlen dafür ist die Conventional Liquidity Ratio.
Weitere Liquiditätskennzahlen sind die preisbasierten Indizes, wie der von Marsh und
Rock. Hierbei steht die Auswirkung der Transaktionskosten im Vordergrund und beeinflusst damit die Anzahl der Transaktionen und so die Liquidität.
Das wichtigste Maß, welches sich mit den Transaktionskosten auseinandersetzt ist der
Bid-Ask-Spread. Dieser bezeichnet die Spanne des zugleich angebotenen Kauf bzw.
Verkaufspreises. Asymmetrische Information bezeichnet den Zustand, in dem Vertragsparteien zum Zeitpunkt eines Handels nicht über dieselben Informationen verfügen und
diese von einer Seite möglicherweise ausgenützt werden können.
Nach diesen Ausführungen können sie erkennen, dass das Konzept der Marktliquidität
einen wesentlichen Bestandteil für das funktionieren eines Finanzmarktes darstellt.
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