Versuchsplanung

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isp oBe em
D
Wilhelm Kleppmann
Versuchsplanung
Produkte und Prozesse optimieren
7., aktualisierte und erweiterte Auflage
VII
Inhalt
1 Einführung.................................................................................................................
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Warum Versuche? .............................................................................................
Warum Statistik? ................................................................................................
Warum Versuchsplanung?.................................................................................
Welche Art von Ergebnissen kann man erwarten?............................................
Versuche oder systematische Beobachtung? ...................................................
Versuchsplanung und Six-Sigma-Strategie .......................................................
1
1
1
4
6
8
8
2 Ausgewählte Begriffe ............................................................................................... 10
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Zielgrößen ..........................................................................................................
Einflussgrößen ...................................................................................................
Steuergrößen .....................................................................................................
Störgrößen .........................................................................................................
Faktoren .............................................................................................................
Faktorstufen .......................................................................................................
Quantitative und qualitative Faktoren ................................................................
10
11
11
12
12
13
13
3 Vorgehensweise im Überblick................................................................................. 14
3.1 Ausgangssituation beschreiben .........................................................................
3.2 Untersuchungsziel festlegen..............................................................................
3.2.1 Optimale Lage des Mittelwerts ..............................................................
3.2.2 Reduzierung der Streuung/Robustheit..................................................
3.2.3 Erkennen der wichtigsten Störgrößen in der Fertigung.........................
3.2.4 Gleichzeitig fertigen und lernen..............................................................
3.2.5 Funktion und Zuverlässigkeit nachweisen..............................................
3.3 Zielgrößen und Faktoren festlegen ....................................................................
3.3.1 Auswahl der Zielgrößen .........................................................................
3.3.2 Sammlung der Einflussgrößen ...............................................................
3.3.3 Auswahl der Faktoren ............................................................................
3.3.4 Festlegung der Faktorstufen..................................................................
3.3.5 Einflussgrößen, die nicht untersucht werden .........................................
3.4 Versuchsplan aufstellen.....................................................................................
3.4.1 Festlegung der Faktorstufenkombinationen ...........................................
3.4.2 Anzahl der Realisierungen .....................................................................
3.4.3 Blockbildung ...........................................................................................
3.4.4 Randomisierung .....................................................................................
3.4.5 Aufwandsabschätzung ...........................................................................
3.5 Versuche durchführen........................................................................................
3.5.1 Vorbereitung ...........................................................................................
3.5.2 Durchführung..........................................................................................
14
16
16
17
18
18
19
19
19
20
22
23
25
26
26
27
28
28
30
31
32
33
VIII
Inhalt
3.6 Versuchsergebnisse auswerten.........................................................................
3.7 Ergebnisse interpretieren und Maßnahmen ableiten.........................................
3.7.1 Interpretation ..........................................................................................
3.7.2 Maßnahmen ...........................................................................................
3.8 Absicherung, Dokumentation, weiteres Vorgehen ............................................
3.8.1 Absicherung der Verbesserungen..........................................................
3.8.2 Dokumentation .......................................................................................
3.8.3 Weiteres Vorgehen.................................................................................
34
37
37
38
39
39
39
40
4 Systematische Beobachtung .................................................................................. 41
4.1
4.2
4.3
4.4
Multi-Vari-Bild.....................................................................................................
Darstellung der örtlichen Verteilung von Fehlern ..............................................
Prozessvergleich................................................................................................
Paarweiser Vergleich von Produkten.................................................................
41
45
48
50
5 Einfache Versuche ................................................................................................... 52
5.1 Variablenvergleich zur Prozessverbesserung ................................................... 52
5.2 Komponententausch zur Produktverbesserung................................................. 56
5.3 Überblick über die Methoden nach D. Shainin .................................................. 59
6 Statistische Grundlagen .......................................................................................... 60
6.1 Verteilung...........................................................................................................
6.1.1 Häufigkeitsverteilung von Versuchsergebnissen ...................................
6.1.2 Verteilungsdichte und Verteilungsfunktion .............................................
6.1.3 Normalverteilung ....................................................................................
6.2 Auswertung einer Stichprobe.............................................................................
6.2.1 Repräsentative Stichprobe .....................................................................
6.2.2 Eintragung ins Wahrscheinlichkeitsnetz.................................................
6.2.3 Schätzwerte für Mittelwert P und Varianz V ..........................................
6.2.4 Vertrauensbereiche ................................................................................
6.3 Vergleich von zwei Mittelwerten ........................................................................
6.3.1 Auswertung von Versuchsergebnissen..................................................
6.3.2 Festlegung des Stichproben- bzw. Versuchsumfangs ...........................
6.3.3 Voraussetzungen ...................................................................................
6.4 Transformation von Messwerten .......................................................................
6.4.1 Logarithmische Normalverteilung...........................................................
6.4.2 Poisson-Verteilung .................................................................................
6.4.3 Box-Cox-Transformation ........................................................................
60
60
63
65
66
66
68
71
73
77
78
84
86
90
90
91
93
7 Vollständige faktorielle Versuchspläne.................................................................. 95
7.1 Zwei Faktoren auf je zwei Stufen....................................................................... 95
7.1.1 Versuchsplan und Effekte ...................................................................... 95
7.1.2 Auswerteformalismus und Beurteilung der Signifikanz .......................... 98
7.1.3 Interpretation von Wechselwirkungen .................................................... 100
7.1.4 Randomisierung und Blockbildung......................................................... 102
Inhalt
IX
7.2 k Faktoren auf je zwei Stufen............................................................................. 107
7.2.1 Versuchsplan.......................................................................................... 107
7.2.2 Auswertung............................................................................................. 108
7.2.3 Versuchsumfang..................................................................................... 114
7.3 Auswertung von Versuchsplänen mit n = 1........................................................ 115
7.3.1 Wahrscheinlichkeitsdarstellung der Effekte............................................ 115
7.3.2 Schätzung der Zufallsstreuung durch „Pooling“ .................................... 119
7.3.3 Risiken ................................................................................................... 121
8 Screening-Versuchspläne........................................................................................ 122
8.1 Hintergrund ........................................................................................................ 122
8.2 Fraktionelle faktorielle Versuchspläne ............................................................... 123
8.2.1 Der fraktionelle faktorielle 24 – 1 - Plan als Beispiel .................................. 123
8.2.2 Anwendung des 24 – 1 - Plans zur Blockbildung ...................................... 127
8.2.3 Fraktioneller faktorieller 2k – p - Plan ........................................................ 130
8.2.4 Was bedeutet Vermengung?.................................................................. 133
8.2.5 Auflösung................................................................................................ 137
8.2.6 Überblick über 2k – p - Pläne ..................................................................... 138
8.2.7 Praxisbeispiel Reflowlöten ..................................................................... 140
8.3 Plackett-Burman-Versuchspläne * ..................................................................... 149
8.3.1 Plackett-Burman-Versuchspläne der Auflösung III ................................ 150
8.3.2 Plackett-Burman-Versuchspläne der Auflösung IV ............................... 152
8.3.3 Übersättigte Pläne ................................................................................. 153
8.4 Weitere Screening-Versuchspläne * .................................................................. 153
8.5 Funktionstest * ................................................................................................... 154
8.6 Einsatzempfehlungen ........................................................................................ 156
9 Robuste Produkte / Prozesse ................................................................................... 158
9.1 Ziel und Strategie von G. Taguchi ..................................................................... 158
9.1.1 Qualitätsziel: Streuung minimieren......................................................... 159
9.1.2 Entwicklungsstrategie: Robuste Produkte / Prozesse ............................. 159
9.2 Taguchis Versuchspläne und ihre Auswertung ................................................. 161
9.3 Alternative Ansätze ............................................................................................ 169
9.3.1 Aus der Differenz von Messwerten abgeleitete Zielgrößen ................... 169
9.3.2 Wechselwirkung zwischen Steuer- und Rauschfaktoren ....................... 170
9.4 Anmerkungen zu den „Orthogonalen Feldern“ u.ä. *......................................... 171
9.4.1 Orthogonale Felder ................................................................................ 171
9.4.2 Lineare Graphen und Dreieckstabellen ................................................. 172
9.4.3 Dummy Levels, Pseudo Factor Designs, Idle Columns ........................ 173
10 Regressionsanalyse ............................................................................................... 175
10.1 Einfache lineare Regression ............................................................................ 175
10.1.1 Methode der kleinsten Quadrate ........................................................... 176
10.1.2 Bestimmtheitsmaß und Korrelationskoeffizient ..................................... 178
10.1.3 Grafische Beurteilung der Residuen ..................................................... 181
10.1.4 Vertrauensbereiche und Signifikanz...................................................... 183
10.1.5 Zusammenhang lineare Regression – Mittelwertvergleich.................... 188
10.1.6 Quasilineare Regression ....................................................................... 189
X
Inhalt
10.2 Mehrfache Regression..................................................................................... 189
10.2.1 Zweifache lineare Regression ............................................................... 190
10.2.2 Transformierte Einflussgrößen .............................................................. 193
10.2.3 Prinzip der schrittweisen Regression .................................................... 196
10.2.4 Beurteilung des Regressionsmodells .................................................... 197
11 Versuchspläne für nichtlineare Zusammenhänge ............................................... 199
11.1 Zentral zusammengesetzte Versuchspläne..................................................... 199
11.1.1 Orthogonaler Versuchsplan.................................................................. 200
11.1.2 Technisch bedingte Abweichungen vom Versuchsplan....................... 202
11.1.3 Bekannte nichtlineare Abhängigkeiten................................................. 202
11.1.4 Varianten von zentral zusammengesetzten Plänen............................. 203
11.1.5 Praxisbeispiel Laserschneiden.............................................................. 206
11.2 Alternative Pläne * ........................................................................................... 213
11.2.1 3k- und 3k–p - Pläne ............................................................................... 213
11.2.2 Box-Behnken-Pläne ............................................................................. 214
11.2.3 Kleine zusammengesetzte Pläne ......................................................... 215
11.2.4 Optimale Pläne ..................................................................................... 216
11.3 Grenzen des quadratischen Modells ............................................................... 218
11.4 Einsatzempfehlungen ...................................................................................... 220
12 Varianzanalyse........................................................................................................ 222
12.1
12.2
12.3
12.4
Einfache balancierte Varianzanalyse............................................................... 222
Mehrfache Varianzanalyse .............................................................................. 228
Feste und zufällige Effekte * ............................................................................ 231
Nicht vollständige Randomisierung * ............................................................... 233
12.4.1 Alle Realisierungen einer Kombination gemeinsam.............................. 233
12.4.2 Split-Plot Versuche ................................................................................ 234
13 Screening für mehrstufige Faktoren * .................................................................. 236
13.1 Versuchspläne ................................................................................................. 236
13.2 Auswertung ...................................................................................................... 237
13.3 Einsatzempfehlungen ...................................................................................... 239
14 Versuchspläne für Mischungen *.......................................................................... 240
14.1
14.2
14.3
14.4
Mischungspläne ohne Begrenzungen ............................................................. 241
Auswertung von Mischungsplänen .................................................................. 243
Mischungspläne mit Begrenzungen................................................................. 243
Kombinierte Versuchspläne............................................................................. 244
15 Spezielle Zielgrößen * ............................................................................................ 246
15.1 Gut-Schlecht-Ergebnisse ................................................................................. 246
15.1.1 Möglichkeiten zur Vermeidung ............................................................. 246
15.1.2 Auswertung .......................................................................................... 248
15.2 Anzahl Fehler................................................................................................... 252
15.3 Mehrere Zielgrößen ......................................................................................... 253
XI
Inhalt
16 Sequentielle Optimierungsverfahren * ................................................................. 260
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
Evolutionary Operations (EVOP) ..................................................................... 261
Methode des steilsten Anstiegs ....................................................................... 263
Simplexverfahren ............................................................................................. 264
Neuere Entwicklungen ..................................................................................... 266
Alternative Modellansätze................................................................................ 268
17 Erweiterung von Versuchsplänen * ...................................................................... 271
17.1
17.2
17.3
17.4
Trennung vermengter Wechselwirkungen ....................................................... 271
Zentrumspunkt ................................................................................................. 273
Zuordnung quadratischer Effekte..................................................................... 275
Nicht realisierbare Faktorstufenkombinationen ............................................... 277
18 Software * ................................................................................................................ 280
18.1 Allgemeine Hinweise........................................................................................ 280
18.2 Beschreibung ausgewählter Programme......................................................... 281
18.3 Spezielle Anwendungsgebiete......................................................................... 287
19 Beispiele *................................................................................................................ 290
19.1 Beispiel Motoroptimierung ............................................................................... 290
19.2 Literaturbeispiele.............................................................................................. 295
19.3 Übungsbeispiele .............................................................................................. 296
19.3.1 Papier-Rotor ......................................................................................... 297
19.3.2 Nürnberger Trichter .............................................................................. 299
Anhang A – Abkürzungen und Formelzeichen........................................................... 301
Anhang B – Statistische Tabellen ................................................................................ 302
Anhang C – Wegweiser durch die Verfahren.............................................................. 304
Anhang D – Ablauf einer Versuchsplanung................................................................ 306
Anhang E – Ablauf einer Datenauswertung................................................................ 307
Anhang F – Glossar deutsch/englisch ........................................................................ 308
Anhang G – JAVA-Applets auf der DVD...................................................................... 312
Anhang H – Software/Beispiele auf der DVD .............................................................. 316
Anhang J – Software/Demos im Internet..................................................................... 319
Index ............................................................................................................................... 323
* Für das Verständnis der folgenden Kapitel nicht erforderlich
34
3 Vorgehensweise im Überblick
Tabelle 3.4
Vers.
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Einzelversuche aus Tabelle 3.3 mit den Versuchsergebnissen
syst.
Nr.
8
3
1
7
6
2
4
5
4
3
8
5
1
6
7
2
Realisierung Temperatur
(Block)
[°C]
1
140
1
120
1
120
1
120
1
140
1
140
1
140
1
120
2
140
2
120
2
140
2
120
2
120
2
140
2
120
2
140
Zeit
[h]
4
4
2
4
2
2
4
2
4
4
4
2
2
2
4
2
Katalysator
[%]
0,5
0,1
0,1
0,5
0,5
0,1
0,1
0,5
0,1
0,1
0,5
0,5
0,1
0,5
0,5
0,1
Ausbeute
[%]
68,5
56,7
52,8
56,5
62,2
61,5
67,9
53,6
70,2
55,2
67,2
54,1
54,1
62,9
54,6
61,8
3.6 Versuchsergebnisse auswerten
Die statistische Auswertung der Versuchsergebnisse wird ab Kapitel 6 ausführlich beschrieben. Hier werden nur ausgewählte Aspekte kurz erläutert.
Bei vollständigen faktoriellen Versuchsplänen wird jede Faktorstufenkombination
gleich oft realisiert. Für jede Faktorstufenkombination können die Mittelwerte der
Versuchsergebnisse berechnet werden.
Durch Vergleich der Einzelergebnisse bei derselben Faktorstufenkombination
kann man Ausreißer in den Ergebnissen erkennen. Ausreißer sind Ergebnisse,
die offensichtlich nicht zu den anderen Ergebnissen passen. Sie können
x durch einen falsch eingestellten Faktor,
x durch falsches Ablesen eines Messgeräts,
x durch einen Übertragungsfehler o.ä.
verursacht werden, d.h. durch Fehler beim Versuch. Da Ausreißer das Ergebnis
der Auswertung verfälschen würden, dürfen sie in der weiteren Analyse nicht
berücksichtigt werden. Wenn möglich, sollte die Ursache für die Abweichung
gesucht und das Ergebnis korrigiert oder der betroffene Einzelversuch wiederholt
werden.
Ist eine Wiederholung des Einzelversuchs nicht möglich, wird dieser Wert gestrichen. Dabei muss man jedoch sehr vorsichtig sein. Insbesondere wenn die
Faktorstufenkombination nur einmal realisiert wurde, kann ein Ausreißer die berechneten Effekte unbemerkt verfälschen. Umgekehrt kann ein scheinbarer Ausreißer auch auf bisher unbekannte, wichtige Einflüsse hinweisen.
35
3.6 Versuchsergebnisse auswerten
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
Durch Umsortieren der Versuchsergebnisse von Tabelle 3.4 in die systematische Reihenfolge von Tabelle 3.2 erhält man Tabelle 3.5.
Tabelle 3.5
Ergebnisse für die Ausbeute in der systematischen Reihenfolge
Nr. Temperatur
[°C]
1
2
3
4
5
6
7
8
120
140
120
140
120
140
120
140
Zeit
[h]
Katalysator
[%]
2
2
4
4
2
2
4
4
0,1
0,1
0,1
0,1
0,5
0,5
0,5
0,5
Einzelergebnisse
[%]
52,8
61,5
56,7
67,9
53,6
62,2
56,5
68,5
54,1
61,8
55,2
70,2
54,1
62,9
54,6
67,2
Mittel y i
[%]
53,45
61,65
55,95
69,05
53,85
62,55
55,55
67,85
Die Unterschiede zwischen den beiden Ergebnissen bei einer Faktorstufenkombination in Tabelle 3.5 sind alle vergleichbar groß. Es gibt daher keinen Hinweis auf Ausreißer.
Bei einem vollständigen faktoriellen Versuch gibt es je zwei Faktorstufenkombinationen, die sich nur in einem bestimmten Faktor unterscheiden. So unterscheiden sich in Tabelle 3.5 z.B. Nr. 1 und 2 bzw. Nr. 3 und 4, Nr. 5 und 6 und Nr. 7
und 8 jeweils nur in der Temperatur. Der Mittelwert dieser Unterschiede ist ein
Maß für den Einfluss dieses Faktors auf das Versuchsergebnis und heißt Effekt
oder auch Haupteffekt dieses Faktors (z.B. Effekt der Temperatur). Für jeden
Faktor kann so der Effekt berechnet werden.
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
Effekt der Temperatur
1
(y 2 y1) (y 4 y 3 ) (y 6 y 5 ) (y 8 y 7 )
4
1
(61,65 53,45) (69,05 55,95)... 10,575
4
Dieses Ergebnis bedeutet:
Bei 140 °C ist die Ausbeute im Mittel um 10,575 % höher als bei 120 °C.
1
(y 3 y1) (y 4 y 2 ) (y 7 y 5 ) (y 8 y 6 )
4
1
, )... 4,225
(55,95 53,45) (69,05 6165
4
Nach 4 h ist die Ausbeute im Mittel um 4,225 % höher als nach 2 h.
Effekt der Zeit
36
3 Vorgehensweise im Überblick
1
(y 5 y1) (y 6 y 2 ) (y 7 y 3 ) (y 8 y 4 )
4
1
, )... 0,075
(53,85 53,45) (62,55 6165
4
Mit 0,5 % Katalysator ist die Ausbeute im Mittel um 0,075 % niedriger als mit 0,1 %.
Effekt des Katalysators
Der Effekt eines Faktors auf das Versuchsergebnis hängt oft davon ab, welchen
Wert (welche Stufe) ein anderer Faktor hat. Man spricht dann von einer Wechselwirkung der Faktoren.
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
Bei 4 h Reaktionszeit beträgt der Effekt der Temperatur:
1
(y 4 y 3 ) (y 8 y 7 ) 21 (69,05 55,95) (67,85 55,55)
2
Bei 2 h Reaktionszeit beträgt der Effekt der Temperatur dagegen nur:
1
(y 2 y1) (y 6 y 5 ) 21 (61,65 53,45) (62,55 53,85)
2
Der Effekt der Temperatur ist der Mittelwert (siehe oben):
1
((y 4 y 3 ) (y 8 y 7 )) ((y 2 y1) (y 6 y 5 ))
4
12,7
8,45
1
12,7 8,45
2
10,575
Der Effekt der Wechselwirkung zwischen Temperatur und Zeit ist die Hälfte der Differenz:
1
((y 4 y 3 ) (y 8 y 7 )) ((y 2 y1) (y 6 y 5 ))
4
1
12,7 8,45
2
2,125
Dieses Ergebnis bedeutet:
Bei 4 h Reaktionszeit ist der Effekt der Temperatur um 2,125 % größer als im Mittel
und um 2 ˜ 2,125 % größer als bei 2 h Reaktionszeit.
A u s b e u te [% ]
7 0
T e m p e ra tu r
1 2 0
1 4 0
1 2 0
1 4 0
Z e it
A u s b e u te
°C
2 h
°C
2 h
°C
4 h
°C
4 h
5 3 ,6
6 2 ,1
5 5 ,7
6 8 ,4
5 %
0 %
5 %
5 %
4 h
6 5
Z e it
2 h
6 0
5 5
1 2 0 ° C
Bild 3-3
1 4 0 ° C
T e m p e ra tu r
Mittelwerte der Versuchsergebnisse bei verschiedenen Temperaturen und
Reaktionszeiten
3.7 Ergebnisse interpretieren und Maßnahmen ableiten
37
Durch Umsortieren der Werte kann man auch zeigen:
Bei einer Temperatur von 140 °C ist der Effekt der Reaktionszeit um 2 ˜ 2,125 % größer
als bei 120 °C.
Bild 3-3 zeigt die Mittelwerte der Versuchsergebnisse bei den Faktorstufenkombinationen Temperatur 120 °C und Zeit 2 h, Temperatur 140 °C und Zeit 2 h usw. als Zahlenwerte und grafisch. In der grafischen Darstellung ist die Abweichung der beiden Linien
von der Parallelität Ausdruck der Wechselwirkung zwischen Temperatur und Zeit.
Trotz aller Sorgfalt streuen Versuchsergebnisse aufgrund von zufälligen Einflüssen. Da die Effekte aus diesen Versuchsergebnissen berechnet wurden, streuen
auch diese. Die aus den Versuchsergebnissen berechneten (beobachteten) Effekte weichen von den unbekannten wahren Werten zufällig ab. Allerdings treten
große Abweichungen nur selten auf.
Dies nutzt man, um die Signifikanz von Effekten zu beurteilen: Ist der Effekt größer als seine Zufallsstreuung (formal: die Breite seines Vertrauensbereichs), so
nennt man ihn „signifikant“ – man ist überzeugt, dass der Effekt echt ist. Ist er
kleiner als seine Zufallsstreuung, so nennt man ihn „nicht signifikant“ – das heißt
nicht, dass er 0 ist, aber er könnte auch 0 sein (Einzelheiten in Kapitel 6 und 7).
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
Die Effekte der Temperatur (A), der Zeit (B) und der Wechselwirkung zwischen Temperatur und Zeit (AB) sind signifikant, der Effekt des Katalysators und der Wechselwirkungen zwischen Katalysator und Temperatur bzw. Zeit sind nicht signifikant.
3.7 Ergebnisse interpretieren und Maßnahmen ableiten
Das Ergebnis der rein statistischen Analyse in Abschnitt 3.6 sind Zahlenwerte für
die Größe der Effekte, die Breite der Vertrauensbereiche und daraus abgeleitet
Aussagen über die Signifikanz der Effekte. Dieses Ergebnis muss jetzt technisch
verstanden, interpretiert und in Verbesserungsmaßnahmen umgesetzt werden.
3.7.1 Interpretation
Ist die Wechselwirkung zwischen zwei Faktoren signifikant, so bedeutet dies,
dass der Effekt des einen Faktors davon abhängt, welchen Wert (Stufe) der andere Faktor hat. Die beiden Faktoren müssen gemeinsam betrachtet werden. Da
Wechselwirkungen als Zahlenwerte nur schwer zu interpretieren sind, wird empfohlen, Mittelwerte für alle Faktorstufenkombinationen dieser beiden Faktoren
wie in Bild 3-3 zu berechnen und Konsequenzen aus diesen Mittelwerten abzuleiten.
Wichtig ist, dass das Ergebnis technisch plausibel ist. Die besten Ergebnisse
sind diejenigen, bei denen im Nachhinein alle Beteiligten denken: Das ist doch
eigentlich klar. Warum sind wir da nicht schon längst draufgekommen?
38
3 Vorgehensweise im Überblick
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
In Bild 3-3 sind alle signifikanten Effekte grafisch dargestellt:
x
Der Effekt der Temperatur von 10,575 % bedeutet, dass der Mittelwert der beiden
Ausbeuten bei 140 °C (rechts) um 10,575 % höher ist als bei 120 °C.
x
Der Effekt der Reaktionszeit von 4,225 % bedeutet, dass der Mittelwert der beiden
Ausbeuten bei 4 h (oben) um 4,225 % höher ist als bei 2 h.
x
Der Effekt der Wechselwirkung ist die Abweichung von der Parallelität der beiden
Linien (große Wechselwirkung heißt große Abweichung von der Parallelität). Da
der Zahlenwert selbst aber ziemlich unanschaulich ist, wird bei signifikanten Wechselwirkungen immer eine Darstellung wie in Bild 3-3 empfohlen.
Es ist technisch plausibel, dass bei einer chemischen Reaktion die Ausbeute mit der
Temperatur und der Reaktionszeit zunimmt. Es ist auch plausibel, dass der Effekt der
Temperatur bei längerer Zeit größer ist als bei kürzerer Zeit (bei noch höheren Temperaturen bzw. Zeiten würde jedoch irgendwann eine Sättigung eintreten, eine Extrapolation der Ergebnisse ist nicht zulässig).
Die Katalysatormenge hat – anders als ursprünglich erwartet – keinen signifikanten Effekt. Das bedeutet, dass auch bei 0,1 % Katalysator bereits eine Sättigung erreicht ist.
Da der Katalysator bei der Reaktion unverändert bleibt, ist auch dieses Ergebnis plausibel.
3.7.2 Maßnahmen
Plausibilität bezieht sich auf die qualitative Abhängigkeit der einzelnen Zielgrößen von den Faktoren. Dabei ist es normal, dass bei mehreren Zielgrößen Zielkonflikte auftreten. Was für eine Zielgröße günstig ist, ist manchmal für eine andere ungünstig. In dieser Situation hilft die quantitative Kenntnis der Abhängigkeit. Damit kann man gezielt Kompromisse finden und alle (widersprüchlichen)
Ziele soweit möglich miteinander verbinden. Auch und gerade Kostenminimierung und Prozessvereinfachung sind wesentliche Ziele.
Aus diesen quantitativen und technischen Betrachtungen resultiert schließlich ein
vorläufiger Maßnahmenkatalog für konkrete Prozess- bzw. Produktverbesserungen. Werden aus den Ergebnissen keine Maßnahmen abgeleitet, so war der Aufwand verschwendet. Dabei kann natürlich im Einzelfall auch die Bestätigung der
bisherigen Vorgehensweise ein wichtiges Ergebnis sein.
Beispiel aus der chemischen Industrie (Fortsetzung)
Die Erhöhung der Temperatur von 120 °C auf 140 °C erbringt im Mittel eine Erhöhung
der Ausbeute von über 10 % und damit pro Füllung 1000 € Mehrerlös. Auch bei 2 h
Reaktionszeit beträgt die Erhöhung der Ausbeute noch über 8 %. Die Mehrkosten betragen nur 50 €. Daher wird die Prozesstemperatur (zunächst probeweise) auf 140 °C
erhöht.
Die Erhöhung der Katalysatormenge erbringt keine erkennbare Erhöhung der Ausbeute, würde jedoch zusätzliche Kosten verursachen. Daher wird die Katalysatormenge bei 0,1 % belassen.
Die Verlängerung der Reaktionszeit von 2 h auf 4 h erbringt im Mittel eine Erhöhung
der Ausbeute von ca. 4 %, bei 140 °C sogar um 6 % und damit pro Füllung 600 € Mehrerlös. Die Mehrkosten betragen jedoch 1000 € pro Füllung. Daher wird die Reaktionszeit bei 2 h belassen.
323
Index
A
Ablauf
Datenauswertung 307
Produkt-/Prozessoptimierung 304
Versuchsplanung 306
A-Effizienz 278
Alias 125
Alternativhypothese 79
Anpassungstest Siehe Lack-of-Fit-Test
A-optimal 216
array
inner/outer 161
orthogonal 171
ASSISTANT“ 320
Aufgabe
Ausbeute Chemie 104, 114
Ausbeute Halbleiterfertigung 120
Drehautomat 226
Druckgießen 80, 86, 89
Gewinderollen 112
Gießerei 43
Längenmessgerät 67
Leckstrom 180
Motoren 72, 75
Papier-Rotor 297
Schaltkreis 166
Trichter 299
Auflösung 137, 271, 308
augment 271
Ausreißer
Begriff 34, 308
Beispiel 146, 294
Tests 71
Wahrscheinlichkeitsnetz 69
Auswertungsverfahren
Effektberechnung 95
Mittelwertvergleich 77
Regressionsanalyse 175
Varianzanalyse 222
Vertrauensbereich 73
B
backward selection 196
Beispiel
Abscheidung in vier Anlagen 223
Ankerwellen 42
Antriebsritzel 250
Anzahl Lötfehler 92
Ausbeute Halbleiterfertigung 115
chemische Industrie 21, 110, 201,
274, 275
Computertest 154
Dickendifferenz Metallschicht 128
Dickenzunahme 175
Elektronikmodul 50
EVOP 315
Galvanik 61
Gewinderollen 134
Gießerei 48
Gummimischung 257
Halbleiterfertigung 49
Keramikfliesen 164
Laserschneiden 206, 255
Lebensdauer 90
Leiterplattenfertigung 45
Literatur 295
Metallpresse 54
Motoroptimierung 290
Papier-Rotor 297
Reaktionsrate 228, 231, 234
Reflowlöten 140
Reifenabrieb 237
Schaltkreis 166, 170
Schichtdicke 88
SiO2-Abscheidung 96
Spritzgießprozess 315
Stahlsorten 79
Stoßdämpfer 50
Trichter 299
Vakuumverpackung 49
Wafermap 46
Zeitzähler 57
Bestimmtheitsmaß 178, 308
Binomialverteilung 248
Blockbildung
Aufwand 30
Auswertung 103
Begriff 28, 308
bei Erweiterung 272
Beispiel 29, 102
Blockfaktor(en) 127, 237
zentral zusammengesetzt 204
324
Box-Cox-Transformation 93
Brainstorming 21
C
CAMEO“ 288, 320
constraints 217, 278, 291
contour plot Siehe
Höhenliniendiagramm
control factor 161
Cook-Distanz 198, 315
Cornerstone® 281, 283, 319
crossed 235
D
Datenauswertung 307
D-Effizienz 278
Design of Experiments Siehe
Versuchsplanung
Design-Expert® 281, 284, 317, 320
desirability function 253
destra“ 288, 320
DFFITS 198
DMAIC 8
DOE Siehe Versuchsplanung
DOE++“ 289, 320
Dokumentation 39
D-optimal 216, 273, 278, 291
Dosis-Wirkungs-Zusammenhang 249
Dreieckstabelle 172
Drei-Faktor-Wechselwirkung Siehe
Wechselwirkung
dummy levels 173
E
Effekt
als Mittelwertdifferenz 78
Anzahl 108
Begriff 308
Berechnung 109
einer Wechselwirkung 96
eines Faktors 35, 96
fest/zufällig 231
für Mittelwert 109
S/N (signal/noise ratio) 163
Signifikanz 98
Vertrauensbereich 99
Wahrscheinlichkeitsdarstellung 115
Wechselwirkung bei Regression 193
Zusammenhang mit Regression 188
Index
Einflussgröße
Begriff 11, 308
Ideenfindung 21
nicht untersucht 25
Regression 175
Einflussgrößen-/Zielgrößenmatrix 21
Einsatzempfehlungen
Funktionstest 157
nichtlineare Zusammenhänge 220
Screening mehrstufig 239
Screening zweistufig 156
Einzelversuch 308
E-optimal 217
Ergebnisse interpretieren 37
erwartungstreu 71, 313
Erwünschtheit 253
Evolutionary Operations Siehe EVOP
EVOP
Faktorstufen 24
Probleme 262
Untersuchungsziel 18, 19
Vorgehensweise 261, 315
extreme vertices 278
F
Faktor
Auswahlhilfen 41
Auswahlkriterien 22
Begriff 12, 309
gegenseitige Beschränkung 293
geschachtelt/gekreuzt 235
qualitativ (=kategorisch) 13, 24, 309
quantitativ (=numerisch) 13, 23, 309
Faktorstufe
Anzahl festlegen 23
Begriff 13, 309
fest/zufällig 231
natürlich/normiert 201
nichtlinear 202
Werte festlegen 24
Faktorstufenkombination 26, 107
nicht realisierbar 277
Fehler
1./2. Art 85, 309, 314
Anzahl 91, 252
feste Effekte 231
Foldover 152, 271
forward selection 196
Freiheitsgrad
bei Pooling 119
einfache Regression 184
325
Index
einfache Varianzanalyse 224
faktorieller Plan 109
korrigiert für Block 104
Lateinische Quadrate 237
Mittelwertvergleich 78
Stichprobe 74
zweifache Regression 193
F-Test 89
Funktionstest 154
FUSION® 289, 320
F-Verteilung 224
G
G-Effizienz 278
gemischtes Modell 231
Generator 126
GlobalOptimize 268
GlobalOptimize® 320
G-optimal 217
grafische Darstellung
Box-Cox-Transformation 93
Effekt Faktor 97
Effekt Wechselwirkung 98
Fehlerverteilung 45
Histogramm 63
Höhenlinien Beispiel 210, 294
Höhenlinien Mischung 243
Komponententausch 58
Masern-Diagramm 48
Messwerte 61
Mittelwertvergleich 2
Multi-Vari-Bild 41
Normalverteilung 65
Signifikanz 82, 100, 111, 208
Variablentausch 53
Wahrscheinlichkeitsnetz
Effekte 118
Messwerte 70
Residuen 89
Wechselwirkung bei Regression 195
Wechselwirkung mehrstufig 230
Wirkungsfläche 6
Grundgesamtheit 63
Grundlagen Statistik 60
Gut-Schlecht-Ergebnisse 246
H
Half-Normal-Plot 121
Häufigkeit
absolut/relativ 61
kumuliert 62
Häufigkeitsverteilung 60
Haupteffekt 35
Hebel 197, 315
Histogramm 61
Höhenliniendiagramm 195, 209, 243,
294
I
Ideenfindung 21
idle columns 173
inclusions 217, 273
indifferent 79
inner array 161
I-optimal 217
Ishikawa-Diagramm 21
J
JAVA-Applets 312
JMP® 281, 284, 319
K
Kernel-Regression 268
Klasse 61
klassisch 7, 17
Kolmogoroff-Smirnoff-Test 71
Komponententausch 56
Korrelation zwischen Einflussgrößen
190, 197
Korrelationskoeffizient 178
Kriging 268
kubisches Modell 291
L
Lack-of-Fit-Test 186, 198, 275, 315
Lateinische Quadrate 236
Lenth ME 121
leverage Siehe Hebel
lineare Regression 175, 315
linearer Graph 172
Linearitätstest 186, 198
Literatursuche 295
Logit-Regression 249
loss function 159
M
Masern-Diagramm 48
Maßnahmen ableiten 38
Metaplantechnik 21
326
Minimum Aberration 140
Minitab® 281, 285, 317, 319
Mischungspläne
kombiniert 244
mit Begrenzungen 243
ohne Begrenzungen 241
Mittelwert
Begriff 309
Effekt 109
Lage 16
Normalverteilung 65
Stichprobe 71
Vertrauensbereich für 73, 313
Mittelwertvergleich 77, 314
mixed model 231
MODDE® 281, 285, 317, 320
MultiSimplex“ 321
Multi-Vari-Bild 41
N
nested 235
Neuronale Netze 268
Nichtlinearität 273
noise factor 161
normal probability plot Siehe
Wahrscheinlichkeitsnetz
Normalverteilung 65
Simulation 313
standardisiert 66
Nullhypothese 79
O
One-factor-at-a-time 4
Optimierung
mehrere Zielgrößen 209, 253, 294
sequentiell 260
orthogonales Feld 162, 171
Orthogonalität
Begriff 191
Beispiel 205
outer array 162
Outlier Siehe Ausreißer
P
Paarweiser Vergleich 50
Parameterdesign 161
Pareto-Prinzip 59
Plackett-Burman 149
Plan Siehe Versuchsplan
Index
Poissonverteilung 91, 252
Pooling 119
P-P-Plot 71
PRESS 198, 315
probability level 83
probability plot Siehe
Wahrscheinlichkeitznetz
Prognosefähigkeit 198
Prozessablaufdiagramm 21
Prozessvergleich 48
pseudo factor designs 173
Pure Error 198
Q
Q-optimal 217
Q-Q-Plot 71
quadratisches Modell
Erweiterung auf 275
Gleichung 199
Grenzen 218
R
Radiale Basisfunktionen 268
Randomisierung
Aufwand 30
Begriff 28, 309
Beispiel 29
nicht vollständig 233
Wirkung an Beispiel 102
Rauschfaktor
Begriff 13
Faktorstufen 24
outer array 161
Realisierung
Anzahl n berechnen 27, 114
n=1 auswerten 115
Regression
Beurteilung 197
einfach linear 175, 315
Matrixformalismus 193
mehrfach 189
quadratischer Effekt 199
quasilinear 189
schrittweise 196
Wechselwirkung 193, 199, 208
Zusammenhang Effekt 188, 191, 194
Regressionsanalyse 175, 309
Regressionskoeffizient 309
Reihenfolge
Einzelversuche 87, 102
327
Index
systematisch 35
zufällig 28
Residuen
Begriff 310
Berechnung 88
grafische Beurteilung 181, 315
standardisiert/studentisiert 181
Wahrscheinlichkeitsnetz 89
resolution Siehe Auflösung
response surface 209
Robustheit
als Ziel 158
alternative Ansätze 169
Begriff 17
grafische Darstellung 160
Maßzahlen 163
Rosa X 54
Rotes X 53
S
S.d.q.A. 176, 315
S/N signal-to-noise-ratio 163
Sättigung 202, 218
Screening
Erweiterung 271
mehrstufige Faktoren 236
zweistufige Faktoren 122
sequentielle Optimierung
EVOP 261, 315
neuere Entwicklungen 266
Simplexverfahren 264
Software 320
steilster Anstieg 263
Shainin
Komponententausch 56
Multi-Vari-Bild 41
Paarweiser Vergleich 50
Prozessvergleich 48
sieben Werkzeuge 59
Überblick 59
Untersuchungsziel 18
Variablenvergleich 52
Shapiro-Wilk-Test 71
Signal-Rausch-Verhältnis 163
significance level 83
Signifikanz
Begriff 310
Definition 79
grafisch 82
Regression 185
Signifikanzniveau 83
Simplexgitterplan 241
Simplexverfahren 264
Simplex-Zentroid-Pläne 242
Six-Sigma 8
Software 280, 316, 319
Soll-/Istwerte 277
Spline Funktionen 268
Split-Plot 234
standard error 78, Siehe auch
Standardabweichung z.B. eines
Effekts
Standardabweichung
Begriff 310
eines Effekts 78, 98, 109, 279
eines Mittelwerts 73
Normalverteilung 65
Stichprobe 71
STATGRAPHICS® 281, 285, 317, 319
STATISTICA® 281, 286, 318, 319
STAVEX® 281, 286, 318, 320
steepest ascent Siehe steilster Anstieg
steilster Anstieg 263, 315
Steuerfaktor
Begriff 13
inner array 161
Unterteilung 164
Steuergröße 11, 21, 310
Stichprobe
Begriff 60, 65
repräsentativ 66, 87
Stichprobenumfang 73, Siehe auch
Versuchsumfang
Störgröße 12, 21, 310
Streudiagramm 59
Stufe Siehe Faktorstufen
Summenhäufigkeit 62
Systemdesign 161
T
Taguchi
Alternativen zu 169
Designphasen 160
Kritik an 171
mehrstufige Pläne 236
Robustheit 158
Software 321
Strategie 159
Untersuchungsziel 17
Versuchspläne 161
Team 21
Testabdeckung 155
328
Toleranzdesign 161
Transformation
Z- 249
Anwendung 183
arcsin 248
Box-Cox 93
Einflussgrößen 193
logarithmisch 90
Messwerte 90
Wurzel 92, 252
Trend 102, 182
t-Wert 74
Typ Siehe Auflösung
U
ULTRAMAX“ 321
Umgebungsbedingungen 293
Unterschied
(hoch)signifikant 79
indifferent 79
Untersuchungsziel 16
Ursache-Wirkungs-Diagramm 21
V
Variablenvergleich 52
Varianz
Begriff 310
Normalverteilung 65
Residuen 184
Stichprobe 71
Varianzanalyse
Begriff 310
einfach 222
mehrfach 228
Streuungszerlegung 227
Varianzinflationsfaktor 197, 278
Varianzkomponente 231
Verbesserung absichern 39
Verbesserungszyklus 40
Verlustfunktion 159
Vermengung
Begriff 125, 310
Risiken 133
trennen 271
Versuchsaufwand abschätzen 30
Versuchsplan
k
k p
3 - und 3 213
Begriff 311
Box-Behnken 214
Desperado 153
Index
D-optimal 216, 273, 291
drehbar 203
Erweiterung 271
flächenzentriert 204
fraktionell faktoriell 123
gesättigt 138, 172
klein zusammengesetzt 215
Minimum Aberration 140
Minimum Resolution IV/V 153
Mischungen 240
nichtlineare Zusammenhänge 199
optimal 216
orthogonal 197, 200
orthogonal und drehbar 203
orthogonale Blöcke 204
orthogonales Feld 162
Plackett-Burman 149
Screening 122
Simplexgitterplan 241
Simplexverfahren 264
Simplex-Zentroid-Pläne 242
Split-Plot 234
übersättigt 153
vollständig faktoriell 95
Wechselwirkungen trennen 271
zentral zusammengesetzt 199
Zentrumspunkt 273
Versuchsplanung
Einsatzgebiete 1
Ergebnisse 6
klassisch 7, 17, 95, 199
Prinzip 4
Shainin 7, 18, 41, 59
Software 280, 319
Taguchi 7, 17, 158
Vorgehensweise 14, 306
Vorteile 5
Versuchsumfang
Anzahl Fehler 252
Auswirkung 84
Begriff 4, 78, 311
gut-schlecht 250
Mittelwertvergleich 85
nichtlineare Zusammenhänge 221
Plackett-Burman 152
Screeningpläne 156
Varianzanalyse 226
vollständig faktoriell 114
Verteilung
Binomial 248
F- 224
Fehler örtlich 45
329
Index
Häufigkeit 60
logarithmisch normal 90
nicht normal 69
normal 65, 313
Poisson 91
t- 73
Verteilungsdichte 63
Verteilungsfunktion 63
Vertrauensbereich
Begriff 311
für Differenz 78
für Effekt 99
für Mittelwert 73, 313
für Regression 184, 315
Hinweise zu 76
Simulation 313
Vertrauensniveau 74, 313
VIF 197, 278
Visualisierung 312
Vorhersagebereich 187, 311, 315
W
Wahrscheinlichkeitsnetz
Effekte 115
Entstehung 68
Messwerte 69
Residuen 88
Wechselwirkung
Begriff 311
Drei-Faktor 109
Formel 96
Grafik 98
Höhenliniendiagramm 195
Interpretation 100, 111
Varianzanalyse 228
Vermengung 125, 134
Vermengung trennen 271
Zwei-Faktor 100, 109
Wirkungsfläche 6, 195, 209
Wunschfunktion 253, 311
X
XSel® 281, 287, 318, 319
Z
Zentrumspunkt 273, 315
Zielgröße
Anzahl Fehler 252
Auswahlkriterien 19
Begriff 10, 311
gut-schlecht 246
mehrere 210, 253, 291
zufällige Effekte 231
Zuordnung 124
Zuverlässigkeitsuntersuchungen 156
Zwei-Faktor-Wechselwirkung Siehe
Wechselwirkung