Skript - Universität Zürich

Physik III
Mitschrift der Vorlesung von
Prof. Dr. A. Schilling
Tobias Berner
Universität Zürich
2007/2008
Graphiken Linus Romer
Inhaltsverzeichnis
1
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
1.1 Interferenz und Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1
Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Röntgenstreuung an Festkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1
Die Bragg-Bedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2
Breite und Intensität der Interferenzmaxima . . . . . . .
1.3 Eigenschaften des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
Energietransport: Poynting-Vektor . . . . . . . . . . . .
1.3.2
Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3
Impulsdichte des Elektromagnetischen Feldes . . . . . .
1.3.4
Drehimpulsdichte von Elektromagnetischer Strahlung .
1.3.5
Abstrahlung beschleunigter Ladungen . . . . . . . . . .
1.4 Fourieranalyse/ -synthese / -transformation, Wellenpakete . . .
1.4.1
Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3
Fourier Transformation in ebene harmonische Wellen .
1.4.4 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5
Zeitliche Entwicklung eines (Gauss’schen) Wellenpaketes
1.5 Boltzmann-Verteilung, Boltzmann-Faktor, Zustandssumme . . .
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20
21
2
Teilchennatur des Lichtes; Plancksches Wirkungsquantum
24
2.1 Der Photoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1
Impuls der Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1
klassischen Herleitung der Wärmeabstrahlung: Rayleigh-JeansGesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Das Planck’sche Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Wellenphänomene des Lichtes im “Teilchenbild” . . . . . . . . . . . . . 31
3
Materiewellen
3.1 Die de Broglie-Wellenlänge . . . . . . .
3.2 Verbessertes Bohr-Atommodell . . . . .
3.3 Dispersionsbeziehung von Materiewellen
3.4 Wellenpakete aus Materiewellen . . . . .
3.5 Die Heisenberg’sche Unschärferelation .
2
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INHALTSVERZEICHNIS
4 Die Schrödinger Gleichung
4.1 Die Zeitabhängige Schrödinger Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Bedeutung der “Wellenfunktion” Ψ(x, t) . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 “Stationäre Zustände” – die Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung
4.4 Anwendung auf spezielle Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Der eindimensionale ∞-hohe Potentialtopf . . . . . . . . .
4.4.2 Eindimensionaler harmonischer Oszillator . . . . . . . . .
4.4.3 Potentialtopf in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Konkretes Problem: ∞ Topfpotential . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Endliche Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
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Das Wasserstoffatom
8
Fermionen und Bosonen: das Pauli-Prinzip
7.1 Unterscheidbarkeit von Teilchen . . . . . . . . . . . .
7.2 Mehrteilchen-Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . .
7.3 Das Pauli-Ausschluss-Prinzip . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1
Fermionen mit gleichen Ortswellenfunktionen
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Das Periodensystem
8.1 Freie Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Moleküle: kovalente Bindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Elektronen in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Allgemeine Betrachtungen
9.1 Reine Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Verschränkung von Zuständen . . . . . . . .
9.3 Kopplung nicht-reiner Zustände . . . . . . . .
9.4 Quantum Dots, Bose-Einstein Kondensate, . . .
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47
6 Drehimpuls, Spin und magnetische Momente
6.1 Magnetsiches Moment des Bahnimpulses . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Magnetische Momente im Magnetfeld: Larmor-Präzession . . . . . .
6.3 Zeeman Effekt (Aufspaltung von entarteten E-Niveaus im Magnetfeld
6.4 Eigendrehimpuls des Elektrons: “Spin” . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Korrektur zum Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1
Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) / Relativistische Effekte
6.6 Auswahlregeln für Emission/Absorption von Photonen . . . . . . . .
7
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. 68
A Operator Rechnung
69
B Umrechnung der Operatoren
B.1 Zylinder Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
71
C Aufgaben
C.1 Interferenz am Strichgitter . . . . . . . . . . . .
C.2 Beugung am einfachen Spalt . . . . . . . . . . .
C.3 Physikalische Probleme mit Bessel-Funktionen .
C.4 Beugung an Spaltsystemen . . . . . . . . . . . .
C.5 Röntgenbeugung an Festkörpern . . . . . . . .
C.6 Impuls und Strahlungsdruck . . . . . . . . . . .
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3
INHALTSVERZEICHNIS
C.7
C.8
C.9
C.10
C.11
C.12
C.13
C.14
C.15
C.16
C.17
C.18
C.19
C.20
C.21
C.22
C.23
C.24
C.25
C.26
C.27
C.28
C.29
C.30
C.31
C.32
C.33
C.34
C.35
C.36
C.37
C.38
C.39
4
Skin Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Jones Vektoren und Matrizen . . . . . . . . . . . . .
Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abstrahlung beschleunigter Ladung . . . . . . . . . .
Synchrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Frequenzspektrum bei Amplitudenmodulation . . . .
Fourier-Transformation eines Doppelspaltes . . . . .
Boltzmann-Faktor: kontinuierliche Energieverteilung
Boltzmann-Faktor: diskrete Energiezustände . . . . .
Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compton Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strahlungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kosmische Hintergrundstrahlung . . . . . . . . . . .
De Broglie-Beziehung I . . . . . . . . . . . . . . . .
De Broglie-Beziehung II . . . . . . . . . . . . . . . .
Verfeinertes Bohr-Sommerfeld Modell . . . . . . . .
De Broglie Beziehungen in Gasen und Flüssigkeiten .
Unschärferealtion in gebundenen Zuständen . . . . .
Natürliche Linienbreite von Spektrallinien . . . . . .
Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Elektron als Wellenpaket . . . . . . . . . . . . .
Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators . . .
Tunnel-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ϑ-Anteil der Kugelflächenfunktion . . . . . . . . . .
Teilchen im Gravitationspotential . . . . . . . . . . .
Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wasserstoffatom I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wasserstoffatom II . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetisches Moment des Elektrons . . . . . . . . .
Magnetisches Moment und Larmor-Präzessions . . .
Stern-Gerlach-Versuch I: Qualitativ . . . . . . . . . .
Stern-Gerlach-Versuch II: Quantitativ . . . . . . . . .
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80
80
80
80
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81
1 Repetition und Vertiefung von Physik I/II
1.1. Interferenz und Beugung
1.1.1. Ebene Wellen
Wellenvektor ~k, k =
I(y) =?
2π
λ .
Wellengleichung:
y
Bild 1.1 Wie ist die Intensität verteilt?
~ r, t) = E
~ 0 cos(ωt − ~k · ~r).
E(~
~
Komplexe Schreibweise für E
z komplexe Zahl, |z| = 1, dann kann man Schreiben z = eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ.
Für die Wellengleichung:
~ r, t) = E
~ 0 exp(iωt − i~k · ~r).
E(~
~
Die gemessene Grösse ist der Realteil Re(E).
2
∗
~
~
~
~
~ versteht.
Es gilt |E0 | = E · E , wobei man unter E ∗ das konjugiert komplexe zu E
Interferenzmuster bei N dünnen Spalten
y
Näherungen: ∆ λ
N ·dD
y0 D
N · d y0
λ
3
Für den Abstand der j-ten Spalte von y0 gilt:
p
rj = D2 + (y0 − jd)2
r
(y0 − jd)2
=D 1+
D2
2 !
1 y0 − jd
'D 1+
2
D
d
2
r1
y0
1
x
0
(1)
D
In y0 Überlagerung von j (Kugel-)Wellen. Verwenden die Formel für ebene Wellen.
~ = (E, 0, 0)>
E
N
−1
X
(y0 − jd)2
E(y0 ) = E0
exp i ωt − kD 1 +
2D2
j=0
= E0 eiωt
N
−1
X
j=0
(y0 − jd)2
exp −ikD 1 +
2D2
(2)
5
Bild 1.2 Interferenzmuster bei 4
Spalten
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
Für die Intensität gilt nun:

I(y0 ) ∝ E(y0 )E ∗ (y0 ) = E02 
N
−1
X
exp −ikD 1 +
j=0

N
−1
X

exp +ikD 1 +
j=0
2
(y0 − jd)
2D2
2
(y0 − jd)
2D2
Um dies auszurechnen definieren wir erst:
(y0 − jd)2
αj := kD 1 +
2D2




(3)
(4)
Somit kann man schreiben:
E(y0 )E ∗ (y0 ) = E02
N
−1 N
−1
X
X
e−iαm eiαn
m=0 n=0
=
E02
XX
e−i(αm −αn )
(5)
Weiter betrachten wir:
k 2 2
[d (m − n2 ) − 2y0 d(m − n)]
2D
kd
=
(m − n)[d(m + n) − 2y0 ]
2D
kd
≈ − (m − n)y0
D
αm − αn =
Beispiel mit N = 4.
0
1
2
0
0
1
2
1
1
0
1
2
2
1
0
3
3
2
1
also:
1: 3x
2: 2x
3: 1x
3
3
2
1
0
(6)
(7)
Damit können wir nun die doppelte Summe auflösen, es gilt nämlich:
m = n N mal die Zahl 1.
m 6= n p := |m − n|
0
ei(αm −αn ) + e−i(αm −αn ) = 2 cos(p kdy
D ),
dies kommt (N − p) mal vor.
Und somit:
I(y0 ) ∝
E02
N
−1
X
2(N − p) cos
p=0
= E02
= E02
cos
N kdy0
D
cos
kdy0
D
sin2
N kdy0
2D
sin2
kdy0
2D
kdy0
p −N
D
−1
−1
Der Abstand der Maxima ist:
∆y =
2Dπ
Dλ
=
.
kd
d
N > 2, dann Intensitätsmaxima Imax ∝ N 2 . Breite proportional zu 1/N . Fläche ∝ N .
6
1.1 Interferenz und Beugung
Beugung an einem einzelnen, ausgedehnten Spalt (Fraunhofer’sche Beugung)
p
Spalt habe Breite ∆. r = D2 + (y0 − y)2 .
p
Elementarwelle E ∝ exp iωt − ik D2 + (y02 − y)2 . Also hat man:
Z
E(y0 ) ∝
∆
p
exp iωt − ik D2 + (y0 − y)2 dy
0
Idee: Resultat vom Mehrfachspalt mit N =
Also
I(y0 ) ∝
∆
d,
also d =
∆
N,
N → ∞.
2 sin2 k∆y0
2D
E0
2 k∆y0
N
sin
2N D
Für N → ∞ gilt also (da sin(α) ≈ α für α klein)
0
sin2 k∆y
2D
I(y0 ) ∝ E02 2
k∆y0
2D
Minima Abstand:
∆y =
λD
.
∆
Für y0 = 0 hat man ein Maximum.
Interferenz bei N ausgedehnten Spalten
Für den Abstand gilt wieder:
r=
p
(y0 − y)2
D2 + (y0 − y)2 ≈ D 1 +
.
2D2
Weiter ist:
E(y0 ) =
N −1 Z
E0 X jd+∆
(y0 − y)2
exp iωt − ikD 1 +
dy
∆ j=1 jd
2D2
und somit
N
−1 Z jd+∆
X
E0
(y0 − y)2
E(y0 ) =
exp(+iωt)
exp −ikD 1 +
dy
∆
2D2
j=0 jd
(13)
Definiere nun
Z
jd+∆
Pj :=
jd
(y0 − y)2
exp −ikD 1 +
dy.
2D2
Es gilt:
I(y0 ) = E(y0 )E(y0 )∗
(14)
7
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
und somit
N −1 N −1
E02 X X
Pm Pn∗
∆2 m=0 n=0
I(y0 ) ∝
(15)
mit
Pm Pn∗
Z
md+∆
Z
nd+∆
=
md
nd
−2yy0 + y 2 + 2y 0 y0 − y 02
exp ik
2D
dydy 0
(16)
Weiter ist
−2yy0 + y 2 − y 02 + 2y 0 y0 = (y − y 0 )(y + y 0 ) − 2y0 (y − y 0 ) ≈ −2y0 (y − y 0 )
Pm Pn∗ ≈
Z
md+∆
md
D2
= 2 2
k y0
D2
= 2 2
k y0
4D2
= 2 2
k y0
nd+∆
+y0 (y − y 0 )
exp ik
dydy 0
(18)
D
nd
ik∆y0
ikdy0
ik∆y0
ikdy0
1 − exp −
m exp −
n
1 − exp +
exp +
D
D
D
D
k∆y0 ikdy0
ikdy0
2 − 2 cos m exp −
n
exp +
D D
D
ikdy0
|k∆y0 |
ikdy0
2
exp +
sin
m exp −
n
(19)
D
D
D
Z
Also hat man:
k∆y0
2D
2
ky0 ∆
2D
E02 sin2
I(y0 ) ∝
=
z
ER EO
exp
m=0 n=0
N
−1 N
−1
X
X
−ikdy0
+ikdy0
m exp
n
D
D
ei(αm −αn )
(20)
m=0 n=0
2D
Spiegel
x
k∆y0
2D
2
ky0 ∆
2D
E0 sin2
N
−1 N
−1
X
X
Die Doppelsumme ist gerade das Resultat vom Strichgitter (ohne Faktor E02 ), und somit
hat man:
2 N kdy0
0
sin
sin2 k∆y
2D
2D
(21)
I(y0 ) ∝ E02 2
2 kdy0
k∆y0
sin
2D
ebene Lichtwelle
y
O
Der linke Bruch entspricht also gerade der Interferenz an einem ausgedehnten Spalt, der
rechte Bruch gerade der Interferenz an N dünnen Spalten.
Film
Holographie
Bild 1.3 Aufnahme eines Holograms
Ebene Lichtwelle, monochromatisch.
Zuerst zur Aufnahme des Holograms:
I(x, y) auf dem Film (Filmebene)
ER (x, y, t) = ER0 exp iωt − i~k~r = ER0 eiωt
8
1.2 Röntgenstreuung an Festkörpern
da in der Filmebene gilt ~k~r = 0, da ~k⊥~r.
Weiter ist:
EO (x, y, t) = EO0 exp (iωt + iΦ0 (x, t))
virtuelles Bild
2
I(x, y) ∝ |ER (x, y, t) + EO (x, y, t)|
=
=
2
ER
0
2
ER
0
+
+
2
EO
0
2
EO
0
y
+ ER0 EO0 (exp(+iΦ(x, y)) + exp(−iΦ(x, y))
x
Film
z
+ 2ER0 EO0 cos(Φ(x, y))
Um das Hologram wieder auszulesen: Auf dem Film hat man Muster T (x, y) = βI(x, y). Bild 1.4 Auslesen des Holograms
Auf Filmebene:
ER (x, y, t) = ER0 eiωt
“Bild”:
EB (x, y, t) = ER0 eiωt · T (x, y).
2
2
EB (x, y, t) = βER0 exp(iωt) ER
+ EO
+ ER0 EO0 (exp(+iΦ(x, y)) + exp(−iΦ(x, y))
0
0
2
2
2
2
EO0 exp(iΦ(x, y)) +ER
EO0 exp(−iΦ(x, y))
= eiωt β ER0 (ER
+ EO
) + ER
0
0
0
0
{z
} |
{z
}
|
konst. diffus
Objekt
1.2. Röntgenstreuung an Festkörpern
Detektor
X-Ray
Die Erzeugung von Röntgenstrahlen wird in 1.3 behandelt.
Festkörper, Atomabstand a ≈ 0.3nm.
Damit Peaks gut sichtbar: sin λd / 1 =⇒λ / a. =⇒Röntgenlicht.
Hoffnung: Aus Interferenzmuster atomare Struktur des Festkörpers bestimmen.
θ
Kristall
Bild 1.5 Streuung an einem
Festkörper
1.2.1. Die Bragg-Bedingung
Man betrachtet ein Kristalgitter und bestrahlt dieses unter einem Winkel θ. Man weiss
Röntgen/Festkörper: Brechungsindex n = 1.
Annahme: elastischer Prozess, d.h. es geht keine Energie wird vom Kristal absorbiert.
Kriterium für konstruktive Interferenz: Wegdifferenz zweier reflektierter ebenen Wellen
muss mλ mit m ∈ N sein.
Wegdifferenz s = sind θ − d cos(2θ)
Also gilt
sin θ
s=
d − d cos2 θ + d sin2 θ
= 2d sin θ.
sin θ
2d sin θ = mλ
heisst Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz. d “Netzabstand”. Es existieren beliebig viele Netzebenen.
Koordinatensystem im Kristallgitter Punkt ~r = n1~a1 + n2~a2 + n3~a3 , die Vektoren
ai müssen nicht senkrecht aufeinander stehen. Koordinatenachsen bezüglich der ai .
Koordinaten der Schnittpunkte der Netzebene mit Achsen: u1 , u2 , u3 .
1
1
1
u1 , u2 , u3 erweiteren mit p, bis lauter ganze Zahlen: h, k, l.
9
θ
s(2
co
d· sin θ
)
θ
d
sind
θ
Bild 1.6 Bragg-Bedingung
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
d011
d012
d001
Falls Ebene einer der Achsen im Unendlichen schneidet, entsprechender Index null.
Die Indizes h, k, l nennt man Miller’sche Indizes.
Bei gegebenen Miller’schen Indizes ist der entsprechende Netzebenenabstand gerade
Bild 1.7 Gitterebenen
dhkl =
I
Elementarzelle
2π
~
|nb1 + k~b2 + l~b3 |
wobei
~a2 × ~a3
~a1 · (~a2 × ~a3 )
~b2 = 2π ~a3 × ~a1
~a1 · (~a2 × ~a3 )
~b3 = 2π ~a1 × ~a2
~a1 · (~a2 × ~a3 )
~b1 = 2π
θ
I
001
Punktgitter
010 . . .
hkl
θ
I
Faltung
Also hat man
sin θn,k,l =
mλ
2dnkl
θ
Bild 1.8 Man betrachtet das
Beugungsbild an einem Kristall. Ein
Molek ül (Elementarzelle) erzeugt ein
Beugungsbild. Die Anordnung der
Elementarzellen erzeugt wiederum
ein Beugungsbild f ür N Spalten, mit
N → ∞. Die Kombination davon ist
die Faltung der beiden
Beugungsbilder.
1.2.2. Breite und Intensität der Interferenzmaxima
Breite: wie bei einem Spaltsystem, d.h. je mehr Streuzentren, desto schärfer die Maxima.
N sehr gross, für reale Kristalle (1020 ) =⇒ unendlich scharfe “Peaks”. In der Realität
ist die Breite der Peaks abhängig von Probenqualität und kristallinen Ordnung über
lange Distanzen, sowie der instrumentellen Auflösung des Dektetors, bzw Qualität der
Röntgenquelle.
I(θ) wird durch die e− Verteilung innerhalb einer “Elementarzelle” (und der Temperatur) bestimmt.
1.3. Eigenschaften des Lichtes
Zur Repetition: Ebene Lichtwelle im Vakuum in x-Richtung.
~ = (0, Ey , 0)> , B
~ = (0, 0, Bz )> .
E
∂E
z
Ebene Welle: Ey (x, t) = E0 ei(ωt−kx) , ∂xy = −ikE0 ei(ωt−kx) = − ∂B
∂t Also:
k
Bz (x, t) = + E0 ei(ωt−kx)
w
weiter gilt für ebene harmonische Wellen:
k
ω
B0,z =
=
1
c
, was zur Amplitude
E0,y
c
führt.
1.3.1. Energietransport: Poynting-Vektor
Energiedichte: elektrisches Feld
magnetisches Feld
10
~
Wel (x, t) = 21 ε0 E(x,
t)2
1 ~
Wmag (x, t) = 2µ0 B(x, t)2
1.3 Eigenschaften des Lichtes
In Medium noch Faktor ε resp. µ1 .
Mittelung über Zeit t
1
T
y
Z
T
cos2 (ωt)dt =
0
1
1
2
1
2
x
0
also
hWel i = Wel =
T
Bild 1.9 Mittelung von cos2
1
2
ε0 Ey0
4
und
1 1 2
B
4 µ0 z0
hWmag i = Wmag =
Somit erhält man
hWtot i = hWel i + hWmag i =
mit Bz0 =
Ey0
c
und c2 =
1
ε0 µ0
1
1 2
2
B
ε0 Ey0
+
4
4µ0 z0
ergibt dies also
hWtot i =
1 Ey0 Bz0
.
2 µ0 c
Frage: Wieviel Energie wird pro Fläche und pro Zeit transportiert?
hWtot i = hWtot iAc∆t
1 Ey0 Bz0
tot i
Leistung pro Fläche = Intensität I = hW
.
A∆t = hWtot ic = 2
µ0
Definition:
~
~
~ = E×B
S
µ0
heisst Poynting Vektor.
~ = Ey0 Bz0 .
h|S|i
2µ0
~ = “Intesität”
|S|
~ Richtung des Energietransport.
Richtung von S
Metall (Leitf. σ)
~ = σ~j
E
1.3.2. Strahlungsdruck
ebene Welle
~ ~j Stromdichte).
Metall mit elektrischer Leitfähigkeit σ. (Ohmsches Gesetz: ~j = σ E,
~
~
~
~
Biot-Savart Kraft IL × B (Lorentz Kraft q~v × B = FL ).
~ an Metalloberfläche verursacht ~j = σ E,
~ spürt Lorentz-Kraft in x-Richtung.
E
~
~ und B
~ in Metall eindringen
Berechnung der totalen Kraft F auf Metall: Studieren, wie E
~
F
~
B
t=0
Bild 1.10 In Metall eindringende
Elektromagnetische Welle verursacht
Kraftwirkung
~
~
1. Herleitung von E(x,
t) und B(x,
t),
2. Volumenelement: Berechnen dF~ ,
3. Integration über Körper =⇒ F~ .
11
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
Der Skin-Effekt
~
~ ×E
~ = − ∂B
∇
∂t
~
~ ×B
~ = µ0~j + µ0 ε0 ∂ E
∇
∂t !
~
~ ×B
~ = µ0 σ E
~ + ε0 ∂ E
∇
∂t
in Metall ohne äusseren Strom
~ ·E
~ = δ =0
∇
ε0
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ − ∆A
~
∇
~ × (∇
~ × E)
~ = −∆E
~ = − ∂ (∇
~ × B)
~
∇
∂t
~
∂
~ + ε0 ∂ E )
= − µ0 (σ E
∂t
∂t
1 ∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
∂Ey
+ 2
=
∆Ey (x, t) = µ0 σ
∂t
c (∂t)2
(∂x)2
~
E(x,
t)
~ =0
E
δ
~
E(x,
t)
Ohne Metall (σ = 0): Lösungen Ey (x, t) = Ey0 ei(ωt−kx) ebene Wellen für x < 0
e
Ey (x, t) = Ey0 (x)ei(ωt−kx) für x ≥ 0 im Metall.
Bild 1.11 Skineffekt
Einsetzen:
Rechte Seite:
∂Ey
e
e
0
= Ey0
ei(ωt−kx) − ie
kEy0 ei(ωt−kx)
∂x
∂ 2 Ey
e
e
0 e i(ωt−e
kx)
= Ey000 ei(ωt−kx) − 2Ey0
ike
− Ey0 e
k 2 ei(ωt−kx)
∂x2
Linke Seite
µ0 σ
∂Ey
1 ∂ 2 Ey
ω2
e
e
+ 2
= µ0 σiωEy0 ei(ωt−kx) − 2 E0 ei(ωt−kx)
2
∂t
c (∂t)
c
Ein vergleich der Real und Imaginärteile führt nun zu:
00
Realteile: Ey0
− Ey0 e
k 2 = −Ey0 k 2
00
Ey0
= Ey0 (e
k2 − k2 )
es gilt e
k 2 − k 2 konstant.
Ey0 (x)
E0
0 e
Imaginärteile: −2Ey0
k = µ0 σωEy0
x
E0 e− δ
e
0
Ey0
=−
−1
0
δ
x
µ0 σω
Ey0
2e
k
=⇒ Exponentionalfunktion
Bild 1.12 Exponentioneller Abfall
Ey0 (x) = E0 · exp(−
Ey0 (x) = E0 · e−x/δ
12
µ0 σω
· x)
2e
k
mit
δ=
exponentieller Abfall
2e
k
µ0 σω
1.3 Eigenschaften des Lichtes
(µ0 σω)2 = 4e
k 2 (e
k2 − k2 )
zusammen mit k = ω/c kriegt man also
e
k2 =
Radiowellen
Mikrowellen
Infrarot
Röntgen
Kupfer
Stahl
Trinkwasser
ω2
c2
λ
ω in s−1
10m
2 · 108
5cm
4 · 1010
1µ m
101 6
0.15 nm 101 9
σ in 1/(Ωm)
5 · 107
1.4 · 106
5 · 10−3 (ε = 80)
±
q
ω4
c4
+ (µ0 σω)2
2
δ
12µm
900nm
4nm
σ/(ε0 ε)
6 · 1018
2 · 1017
7 · 106
Grenzfälle:
1. ω εσ0
=⇒ e
k≈
ω
c
2ε0 c
σ .
=⇒ δ =
(z.B. Wasser H2 O einige Meter.)
2. ω veσ0
p
=⇒ e
k ≈ µ02σω
q
=⇒ δ = µ02σω
Skin-Eindringtiefe.
Strahlungsdruck
~ und B
~ maximal.
(nur für ω εσ0 ). t = 0, wo E
dI(x) = jdxdz.
Mittels Biot-Savart (F = I · L · B, falls I⊥B) kann man die Teilkraft auf dI berechnen:
dF = jLy Bz (x)dxdz = σEy (x)Bz (x)Ly dxdz.
Aufsummieren über alle “Stromfäden” = Integrieren über dx und dz.
−2x
dF ∝ Ey (x)Bz (x) ∝ e δ .
So erhält man
ε0 c
Ftotal = σEy (0)Bz (0)Ly Lz
.
σ
Der Druck ist also
P =
Ftotal
E0 B0
=
Ly Lz
µ0 c
~ und B
~
t = 0, für max E
13
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
Und somit der Mittelere Druck
hP i =
~
E0 B0
I
|S|
= =
.
2µ0 c
c
c
1.3.3. Impulsdichte des Elektromagnetischen Feldes
Berechnung von F “Kraftstoss” = “Impulsänderung”.
Annahme em-Feld wird absorbiert.
Die Impulsdichte eines elektormagnetischen Feldes ist
ρp =
p
.
V
ρp =
P
.
c
F · ∆t = ∆p = ρp · V .
=⇒ hP iLz Ly ∆t = ρp c∆tLy Lz .
Und somit
1.3.4. Drehimpulsdichte von Elektromagnetischer Strahlung
~ = ~r × p~
klassisch: L
Jones Vektoren für polarisiertes Licht
~ r, t) = E0 (0, cos ϕ, sin ϕ)> exp (i(ωt − kx)).
E(~
J~ = (cos ϕ, sin ϕ)>
ist der entsprechende Jones-Vektor.
z
durchgelassener
Strahl
Linear polarisiertes Licht
cos ϕ sin φ
ϕ
cos
ϕ
cos2 ϕ
x
z
y
durchgelassener
ez
Strahl
ϕ
ϕ
sin ϕ
x
ey
sin2 ϕ
y
sin ϕ cos φ
Bild 1.13
Doppelbild
Kalkspat
λ
4
Versch.
(1, 0)> in y-Richtung, (0, 1)> in z-Richtung, 45◦ :
√1 (1, −1)> .
2
Filter → Jones Matrizen:
Input: (a1 , a2 )> , Output: (a1 , 0)>oder (0,
a2 ).
1 0
0
Polarisationsfilter für y-Richtung:
bzw in z-Richtung:
0 0
0
Beliebige Richtung ϕ:
A · (1, 0)> = (cos2 ϕ, cos ϕ sin ϕ)>
>
A · (0,1)> = (cos ϕ sin ϕ, sin2 ϕ)
2
cos ϕ
sin ϕ cos ϕ
Pϕ =
.
sin ϕ cos ϕ
sin2 ϕ
1 ±1
1
◦
◦
Spezialfall: ϕ = ±45 , P±45 = 2
±1 1
Experiment: Start (1, 0)> , Pz ◦ Pϕ (1, 0)> = (0, sin ϕ cos ϕ)>
Licht
linear
vertikal
bzw. horiz.
semiperm.
Bild 1.14 Erinnerung an das Kalkspat
Experiment
14
0
.
1
1.3 Eigenschaften des Lichtes
Zirkulare Polarisation
y
Zirkulare Welle ist Ebene Welle, bei der eine Komponente um π/2 phasenverschoben
ist.
1
1
~
√
Definition: Eine zirkulare Welle hat Jones Vektor J = 2
.
±i
π
Interpretation: ±i exp(i(ωt − kx)) = exp(iωt − kx ± 2 )) für z-Komponente.


0
E0 
~ r, t) = √
ei(ωt−kx) .
E(~
2
i(ωt−kx±π/2)
e


0
E0 
~ r, t) = √
cos(ωt − kx) 
in reeller Schreibweise: E(~
2
∓ sin(ωt − kx)
1
1
1
0
1
1
1
1
=2
+
,
= −2 i
−i
.
0
+i
−i
1
+i
−i
1 −i
1 +i
PL = 21
, PR = 12
+i 1
−i 1
1
, Intensität unabhängig von ϕ des linearen Polarisationsfilters.
Pϕ ◦ P L
0
~
E
λ
4
λ
2
3λ
4
λ
z
Bild 1.15 zirkulär polarisierte Welle
Metall
Drehimpulsdichte
σ
~ = n · |e| · ~v , n e− -Dichte.
~j = σ E


0
E0 
cos(ωt)  = n|e|~v (t)
E(0, t) = √
2
− sin(ωt)
also ist


0
E0 
cos(ωt) 
~v (t) = √
2n|e| − sin(ωt)
und dies führt zu
Z
~r(t) =
=⇒ Kreisbahn mit Radius R =
x=0
~
v
me−


0
E0
 sin(ωt) 
~v dt = √
2n|e|ω cos(ωt)
R
Bild 1.16
√ E0
.
2n|e|ω
Le− = me− |v|R
Drehimpuls wird übertragen.
L ∝ ω1 .
Die Drehimpulsdichte einer zirkular polarisierten elektromagnetischen Welle ist
ρL =
L
I
=
V
cω
1.3.5. Abstrahlung beschleunigter Ladungen
Larmor-Formel
~ 2.
Wel = 21 ε0 E
[Graphik]
Bild 1.17
15
x
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
~ Kraftwirkung auf positive Probeladung → Fernwirkung, pflanzt sich mit c fort. Die
E:
Coulombkraft, welche auf eine ruhende Probeladung qP zur Zeit t ausgeübt wird, zeigt
in die Richtung des Ortes, den die “Quellenladung” zu einem früheren Zeitpunkt t−∆t
eingenommen hat.
~ bei beschleunigten Ladungen, (Computerexpe• Transversale Komponente zu E
riment)
• Vergleiche Energiedichten mit und ohne transversale Komponente, d.h. mit Beschleunigung, bzw. unbeschleunigt.
vc
• Integration über “Störungszone” = Abgestrahlte Energie.
v≈c
Bild 1.18 Feldlinien, bei kleiner und
grosser Geschwindigkeit einer
Ladung
Feldlinienbild zur Zeit t = t0 + ∆t
• Beschleunigung während t0 “Schnappschuss” nach ∆t t0 .
• Beschleunigung a.
~ Radial = 1 q2 wäre ach bei ruhender Ladung vorhanden.
E
4πε0 r
~ transversal nur während Beschleunigung.
E
Etransversal
Eradial
kurze Beschl.
Bild 1.19 v c =⇒ Feldlinien
vor/nach Beschleunigung
Etrans ≈ v∆t sin θ
Erad = c · t0
r=
t
c∆
θ
0
θ
v∆t
Zeit
0 t0
t :=
t0 + ∆t
a∆t sin θ
θ
= ar csin
2
c
θ ~
~
=⇒ Etransversal = 4πεq0 c2 a sin
r , Etransveral ⊥Eradial .
~ transversal + E
~ radial )2 − 1 ε0 E
~2
Interessant ist, ∆wel = 21 ε0 (E
radial
2
2 2
2
q
a
sin
θ
∆wel = 32π12 ε0 c4 r2 .
=
v∆t sin θ
ct0
=
~2
= 21 ε0 E
transversal .
Integration (in Kugelkoordinaten)
R r+ct0 R 2π R 2π
∆Wel ∼
wel (r, θ)r2 sin θdθdϕdr.
= r
0
0
Also
q 2 a2 t0
∆Wel ∼
.
=
12πε0 c3
el
Leistung: ∆W
t0
Beitrag von Magnetfeld: gleich gross (im Vakuum).
Somit erhält man die Larmor-Formel (Abstrahlungsgesetz)
Bild 1.20
PStr =
q 2 a2
.
6πε0 c3
totale abgestrahlte Lesitung.
L
2
~ trans
Abstrahlungscharakteristik ist gegeben durch E
(θ, r) ∝ sin2 (θ).
θ
ax
ax
˜ ω
Der Hertzsche Dipol
Für die Intensität hat man:
I(r, θ) = I0
~
az
ω
vc
und es gilt I ∝ a2 ∝ ω 4 In Resonanz: λ = L,
Bild 1.21
λν = c =
Blaufärbung
Sonnenlicht
sin2 θ
r2
∝ ω4
Bild 1.22 Farbe des Himmels
Sonnenlicht trifft auf Luftmolek üle,
regt diese zum schwingen an. Diese
reagieren, wie Hertzscher Dipol =⇒
vorzugsweise hohe Frequenzen, also
blau (Rayleigh-Streuung).
16
λω
2π
1.4 Fourieranalyse/ -synthese / -transformation, Wellenpakete
Berücksichtigung relativistischer Effekte
" 2 #
2
d~
p
1 dE
q 2 cγ 2
− 2
PStr =
6πε0 (m0 c2 )2
dt
c
dt
wobei
1
γ=q
1−
≥1
v2
c2
. Im nicht relativistischen: (γ → 1) → Larmor-Formel
p = m(v)v = γm0 v, E = m(v)c2
p 2
d
d
(E 2 ) = 2E dE
p2 c2 ) = 2~
p d~
Lineare Beschleunigung: Trick dt
dt = dt (~
dt c .
2 2
2
2 2
2 2
(m0 c ) = E − p~ c . Weiter ist (m0 c ) eine Lorentz-Invariante, also konstant.
p
~c2 d~
p
p
dE
v d~
dt = E dt = ~
dt
2 d~p 2 2
− c12 dE
1 − vc2
= dt
dt
Also für γ → 1 =⇒ Larmor-Formel.
d~
p
dt
2
Beschleunigung auf einer Kreisbahn
E =konstant (wie Planetenbahn) =⇒ dE
dt = 0.
2
d~
p
q 2 cγ 2
PStr,Kreis = 6πε0 (m0 c2 )2 dt .
~a zeigt radial nach innen (Zentripetalbeschleunigung).
Für v → c Abstrahlung vorallem in “vorwärts Richtung”. ε(γ) =
wird um γ schmaler.
ε
γ
– Charakteristik
1.4. Fourieranalyse/ -synthese / -transformation, Wellenpakete
f (t)
1.4.1. Fourier-Reihe
Aus Physik II: Man betrachtet periodische Funktionen, d.h. f (t + T ) = f (t), mit Periode T .
Relle schreibweise:
f (t) = A0 +
∞
X
An cos(nωt) + Bn sin(nωt)
n=1
wobei
2
T
Z
2
Bn =
T
Z
1
T
Z
An =
A0 =
T
f (t) cos(nωt)dt
0
T
f (t) sin(nωt)dt
0
In komplexer Schreibweise
f (t) =
T
f (t)dt
0
∞
X
Fn einωt
n=−∞
17
t
0
T
2T
3T
Bild 1.23 Periodische Funktion
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
wobei
Fn =
1
T
T
Z
f (t)e−inωt dt
0
1.4.2. Fourier-Transformation
Nicht-periodische Vorgänge (T → ∞).
Modifikation
∞
X
1
Fn einωt ω
f (t) = √
2π n=−∞
√ Z T
2π
Fn =
f (t)e−inωt dt
ωT 0
Also:
“Knall”
Z ∞
1
f (t) = √
F (ω)eiωt dω
2π −∞
Z ∞
1
F (ω) = √
f (t)e−iωt dt
2π −∞
f (t)
A
τ
A
t
− τ2
1. “Knall”
Fläche A, Breite τ .
R τ /2
F (ω) = √12π −τ /2
Bild 1.24 Spektrum eines Knalls
A −iωt
dt
τe
=
τ
A/τ
√ (eiω 2
−iω 2π
τ
− eiω 2 ) =
sin( ωτ
2 )
√A
2π ( ωτ
2 )
2. Gausskurve
f (t)
Kurve
0.68A
1 A − t22
e 2τ
f (t) = √
2π τ
Fläche A Nach einwenig rechnen
A
t
−τ
Fourier-Transformation
Als Beispiel:
τ
2
Gauss-
Umkehr-Transforamation
τ
1 −ω2 τ 2
F (ω) = A √ e 2
2π
Bild 1.25 Gauss-Funktion
also wieder eine Gausskurve.
Zeit
Ort
t
x
ω=
k=
2π
T
2π
λ
Die Fourier-Transformation auch für Variable x möglich, k übernimmt dann die Rolle
von ω.
Also
Z ∞
1
u(x) = √
g(k)eikx dk
2π −∞
Z ∞
1
g(k) = √
u(x)e−ikx dx
2π −∞
Insbesondre also bei Gaussfunktion
u(x) =
x2
A 1 − 2σ
√ e x2
σx 2π
2
k 2 σx
A
g(k) = √ e− 2
2π
18
1.4 Fourieranalyse/ -synthese / -transformation, Wellenpakete
1.4.3. Fourier Transformation in ebene harmonische Wellen
Zerlegung von beliebigen ebenen Wellen in harmonische ebene WEllen ∝ ei(ωt−kx) .
1. Ort fest (z.B. x = 0) t variabel =⇒ u(0, t) = u(t) =⇒ gewöhnliche Transformation in t.
2. Zeit fest (z.B. t = 0) x variable =⇒ u(x, 0) = u(x)
Ebene Wellen von links nach rechts laufend −kx.
R∞
Für ebene Wellen als Basisfunktionen u(x, 0) = √12π −∞ g(k)e−ikx dk und
R∞
g(k) = √12π −∞ u(x, 0)eikx dx.
Spezialfall Fourier-Transformierte einer ebenen Welle:
u(x, t) = u0 exp(i(ωt − kx)).
Was ist g(k) für t = 0
u(x, 0) = u0 exp(−ik0 x). ω0 und k0 gegeben, c = ωk00 .
R∞
1
u(x, 0) = 2π
g(k)e−ikx dk.
−∞
√
Beh: g(k) = u0 2πδ(k − k0 ).
Nur Beitrag für k − k0 = 0 =⇒ k = k0
Die Dirac’sche
δ-Funktion

0
x 6= 0
δ(x) =
∞ x=0
R∞
mit −∞ δ(x)dx = 1
Also “unendlich scharfer Peak” bei
x = 0 mit Fläche
R ∞ 1.
Eigenschaft: −∞
δ(x)f (x)dx ≈
R∞
f (0) −∞ δ(x)dx
1.4.4. Wellenpakete
Definition:
Ein (Gauss’sches) Wellenpaket ist die Faltung eine harmonische ebene Welle mit einer
Gauss-Funktion als Einhüllende. Also
2
x
− 2σ
2
u(x, 0) = u0 e
x
e−ik0 x
Wir wollen zwei Fragen betrachten
1. Fourier-Transformierte? g(k) =?,
2. u(x, t) =?.
Gauss
Fourier-Transformierte
Fkt
2
2
2
−k2 σx
2
.
Früher u(k) = σAx √12π e−x /(2σx ) und g(k) = √A2π e
Einsetzen in Definition von g(k) ergibt
Z ∞
2
u0
− x
g(k) = √
e 2σx2 ei(k−k0 )x dx
2π −∞
Z ∞
2
0
u0
− x
e 2σx2 eik x dx
=√
2π −∞
g(k)
1
σx
σx
x
k0 k
Fourier
Bild 1.26
Wenn man also k−k0 mit k 0 substituiert erhält man die Formler für Fourier-Transformation
für Gauss-Funktion.
Somit erhält man für die Fourier-Transformation eines Wellenpaketes
g(k) = u0 σx e−
u(x)
2
(k−k0 )2 σx
2
19
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
“Unschärferelation” für Wellenpakete
Mittlere
quadratische Abweichung:
p
√
2
2
2 i = σ , u(x, 0)2 ∝ e−x /σx , Breite σ / 2.
hu
x
x
p
1
hg(k − k0 )2 i = √2σ
.
x
p
p
Produkt dieser zwei mittleren quadratischen Abweichungen hui2 · hgi2 =
Gauss’sche Wellenpakete und > 12 für nicht-Gaussche Wellenpakete
1
2
für
1.4.5. Zeitliche Entwicklung eines (Gauss’schen) Wellenpaketes
Jede Wellenzahl k liefert gemäss der “Verteilungsfunktion” g(k) eine harmonische Teilwelle
g(k)ei(ωt−kx)
=⇒ Überlagerung
1
u(x, t) = √
2π
Z
∞
g(k)ei(ωt−kx) dk
−∞
wobei ω = ω(k).
Falls c = ωk =konstant: “dispersionsfrei”.
Ausgangssituation t = 0, Wellenpaket u(x, 0) = M (x, 0)e−ik0 x ,
x2
wobei wir M (x, 0) := u0 e− 2σx setzen.
Ansatz: u(x, t) = M (x, t)ei(ω0 t−k0 x) , mit ω0 = ck0 sei bekannt.
Dann ist also
1
M (x, t) = √
2π
Z
Annahme Dispersionsfrei, also c =
Somit kriegt man
ω
k
1
M (x, t) = √
2π
∞
g(k)ei([ω−ω0 ]t−[k−k0 ]x) dk
−∞
=
Z
ω0
k0
= konstant =⇒ ω − ω0 = c(k − k0 ).
∞
g(k)e−i([k−k0 ](x−ct)) dk
−∞
Zur Zeit t = 0
def
ik0 x
M (x, 0) = u(x, 0)e
M
t=0
0
t>0
Z
∞
g(k)e−i([k−k0 ]x) dk
−∞
=⇒ M (x, t) hat die selbe Form wie M (x, 0) nur x 7→ x − ct.
=⇒ M (x, t) = M (x − ct, 0).
c(t)
ct
1
=√
2π
x
Folgerung: Die Form der Einhüllenden bleibt gleich, sie pflanzt sich aber mit der Geschwindigkeit c fort.
Bild 1.27 Dispersionsfrei
Sobald c 6= konstant, also c = c(ω) (Dispersion), so “zerfliesst” ein Wellenpaket.
cph = c(k) =
Bild 1.28 nicht Dispersionsfrei
20
ω(k)
k
1.5 Boltzmann-Verteilung, Boltzmann-Faktor, Zustandssumme
heisst “Phasengeschwindigkeit” (Geschwindigkeit einer harmonischen Welle mit Wellenzahl k.)
Die “Gruppengeschwindigkeit” (Geschwindigkeit des Maximums der Einhüllenden) ist
cg =
dω
dk |k=k0,max
Bei Dispersion: cg 6= cph .
1.5. Boltzmann-Verteilung, Boltzmann-Faktor, Zustandssumme
Beispiel: Druckverteilung in der Atmosphäre (T =konst)
−m∗ gz
mgz
P (z) = P0 exp
= P0 exp −
R·T
kB T
wobei m∗ das Molekulargewicht, m die Molekülmasse und R = NA kB ist.
Frage, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, ein Lufmolekül im zwischen z und z + ∆z
anzutreffen?
Ideales Gas: P (z)V = N kB T =⇒ P (z)∆V = ∆N kB T , wobei ∆N = P (z)A∆z
.
kB T
∆N
Wahrscheinlichkeit: W[z,z+∆z] = N .
=⇒ dN = P (z)Adz
kB T
R∞
R∞
−mgz
AP0
=⇒ Ntotal = 0 Pk(Z)A
exp
dz
=
dz.
T
k
T
k
T
0
B
B
B
dW (z)|[z,z+∆z] =
dN
Ntotal
=
“
”
exp − kmgz
dz
BT
”
“
R∞
mgz
exp
−
k T dz
0
B
E
Als Funktion der potentiellen Energie: E = mgz. Also
E2
exp(− kBET )dE
dW[E,E+dE] = R ∞
0
exp(− kBET
E1
R∞
f (E) exp(− k ET )dE
B
R∞
.
exp(− k ET )dE
0
B
1
harmonische Oszilatoren, mit jeweils EPot,i = 2 f x2i , im ther0
Als Beispiel, betrachte N
modynamischen Gleichgewicht mit Temperatur T .
=⇒ Verteilung von Energien = Boltzmann-Verteilung.
Was ist die Mittlere Energie E, und was ist die mittlere Auslenkung x?
R∞
E exp(− kBET )dE
E = 0R ∞
= kB T
exp(− kBET )dE
0
(vgl. Äquipartionstheorem: f = 2, E = f 12 kB T
E
)dE
ist Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit Potentieller Energie zwischen E und E + dE
anzutreffen, und wird Boltzmannverteilung genannt.
exp( k−E
) heisst Boltzmann-Faktor. Mass für die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen mit
BT
E anzutreffen.
RE
Bei konstanter Temperatur: Wtot[E1 ,E2 ] = E12 dW
Bei gegebener Funktion f (E), mittlerer Wert f =
E + dE
W
[f #Freiheitsgrade].)
x=0
21
0
Bild 1.29
z
Repetition und Vertiefung von Physik I/II
p
, besser also x2 . Variablentransformation E, dE 7→ x, dx.
E = 21 f x2 , und dE
dx = f x=⇒ dE = f xdx
R∞
0
x2
= R∞
0
Ei+1
∆z
zi
Ei
.
.
.
E1
E0
Newton-
Quanten-
Mechanik
Mechanik
Bild 1.30
2
x2 exp(− 2kf xB T )xdx
2
exp(− 2kf xB T )xdx
= ...
In der Quantenphysik:
Oft können nur diskrete Energiewerte angenommen werden
E0 < E1 < E2 < E3 < . . .
Am Beispiel der Druckverteilung: Aufteilung der z-Achse in endliche Intervalle ∆z, Niveau zj = j∆x.
Mittlere Energie bei zj : Ej = mgzj .
Energieabstände ∆E = mg∆z.
Z
0
∞
∞
X
E
Ej
exp −
dE 7→
∆E
exp −
kB T
kB T
j=0
Wahrscheinlichkeit: Enerergien zwischen Ej nd Ej + ∆E, Ej ≤ E < Ej+1
Wir definieren
dW ∆E
W (EJ ) =
dE Ej
Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ei besetzt ist
i
exp − kE
BT
W (Ei ) = P
Ej
∞
exp
−
j=0
kB T
E
exp − kBjT heisst Zustandssumme.
Oft trifft der Fall auf, wo für einen Energiewert mehrere “Besetzungsmöglichkeiten”
vorhanden sind. Beispielsweise die höheren Energieniveaus in freiem Wasserstoffatom.
n=0 s=2
E0
n = 1 s = 2, p = 6
E1
n = 2 s = 2, p = 6, d = 10 E2
P∞
j=0
i
gi exp − kE
T
B
W (Ei ) = P
Ej
∞
g
exp
−
j
j=0
kB T
gj heissen Entartungsgrad.
Mittlewert für f (E)
P∞
f=
Ei
i=0 f (Ei )gi exp(− kB T
P∞
Ei
i=0 gi exp(− kB T )
)
Problem der Entartung bie kontinuierlichen Energieverteilungen
ρ(E) exp(− kBET )dE
dW[E,E+dE] = R ∞
0
ρ(E 0 ) exp(− kE
)dE 0
0
BT
22
1.5 Boltzmann-Verteilung, Boltzmann-Faktor, Zustandssumme
wobei ρ(E) = “Zustandsdichte”
Beispiele: Strahlungsgesetz, Festkörperphysik.
f (E)
mittlerer
Wert
Mittelwerte
R
f=
f (E)ρ(E) exp(− kBET )dE
R
ρ(E) exp(− kBET )dE
bei gegebenem f (E).
E
Bild 1.31
23
2 Teilchennatur des Lichtes; Plancksches
Wirkungsquantum
Zn
-
UV
Zn
e−
+
+
+
+
Elektro-
Elektro-
meter
meter
~ und B
~ (Feldgleichungen). Bei vielen ExperiMaxwell-Gleichungen, Gleichungen für E
menten (Wechselwirkung Strahlung ↔ Materie) können experimentelle Resultate viel
besser durch ein Teilchenbild beschrieben werden (Impulsübertragung, Drehimpuls,
etc.)
UV
2.1. Der Photoelektrische Effekt
Bild 2.32 Geladene, mit Elektrometer
verbundene, Platte wird mit UV-Licht
bestrahlt. Im Falle negativer Ladung
nimmt die Ladung ab, im postiven
Fall, bleibt die Ladung erhalten.
~
Vorläufige Interpretation: E-Feld
des Lichtes löst die Elektronen (e− ) aus dem Metall.
Einwände:
• sollte auch mit IR-Licht funktionieren, (Polarisationsabhängig?),
UV
Zn
−
e
~ 2 ) abhängen.
• Voraussage: Ekin
muss stark von Intensität (∝ E
I
e
Hypothese
I
V
Vbrems
1. I gross =⇒ Ekin,e− gross,
V
Bild 2.33
2. I nicht abhängig von ν =⇒ Ekin,e− sollte kaum von ν abhängen.
Ekin,max (I)
Experimentelle Überprüfung: Ekin,e− messen. =⇒ Betrachten maximal möglichen Wert
für Ekin,e− .
Befund
Ekin,max (ν)
Erwartung
Ergebnis
• Ekin,e− ,max unabhängig von I,
Bild 2.34
• Frequenzabhängigkeit.
Ekin,max (ν)
versch. Metalle
Es stellt sich heraus, dass
Ekin,e− ,max = −A + hν.
ν
−A
Bild 2.35
Ekin,max =
Ee−
−A + hν
hν
0
hν
hν
−A
e−
auf Metalloberfläche
Wobei h = 6.626 · 10−34 Js das Plancksche Wirkungsquantum.
A Austrittsarbeit ∼ 1..5eV pro e− .
Ausweg: Interpretiere Licht als Teilchenstrom. Die Energie dieser Teilchen sei E = hν.
(Impuls?, Masse?, Drehimpuls?)
Jedes Lichtteilchen (“Photon” ) kann genau ein e− aus dem Metall herausschlagen. A ist
analog zur Ionisierungsenergie bei Atom.
Somit hat man
Ekin,e− ≤ −A + hν.
Bild 2.36
24
2.1 Der Photoelektrische Effekt
A
2.1.1. Impuls der Photonen
Wir betrachten Licht also ist v = c.
~
F
c
p
~
2
Es gilt p = m(v) · v mit m(v) = γm0 → ∞ für v → c, E = m(v)c → ∞ für v = c.
=⇒m0 kann nicht 6= 0 sein.
Somit gilt
m0 = 0.
Weiter ist E 2 − p2 c2 = m20 c4 = 0. Also
E = pc = hν.
Was für den Impuls
h
hν
=
c
λ
bedeutet. (Das heisst Impuls, obwohl m0 = 0.)
p=
Frage: Stimmt p = hν
c überein mit “klassischer” Impulsformel für Elektromagnetische
Strahlung?
3
Teilchendichte N
V = n Photonen/m .
“Kraftstoss = Impulsänderung”
In ∆t Impuls aller Photonen.
hν
p = nAc∆t
c
F ∆t = ∆p = nAc∆t hν
c · d (wobei d = 1 bei Absorption, und d = 2 bei Reflexion der
Photonen).
Für den Druck erhählt man also
P =
F
= nhν.
A
Somit ist
I
c
Wobei wem = Energiedichte des Elektromagnetischen Feldes.
P = wem =
2.1.2. Drehimpuls
I
. Energiedichte wem = Ic .
Von früher: Drehimpulsdichte VL = ρL = ωc
Annahme rein zirkular polarisiertes Licht mit Kreisfrequenz ω.
Anzahl Photonen:
V wem
N=
hν
Totaler Drehimpuls:
I
L=V
ωc
Drehimpuls pro Photon:
hν
h
L
=
=
=~
N
ω
2π
25
c∆t
Bild 2.37
Teilchennatur des Lichtes; Plancksches Wirkungsquantum
2.2. Compton-Effekt
Bisher
• Bragg-Reflexion: vollkommen elastische Streuung
(E = E 0 , also Energie der einfallenden ist gleich der Energie der ausfallenden,
ν = ν 0 ).
• Photo-Effekt: vollständige Absorption E 0 = 0: vollkommen inelastischer Stoss.
Compton-Effekt: Photonen werden nicht absorbiert, nur gestreut, aber E 0 < E.
Hauptsächlicher Stosspartner sind Elektronen.
y
E = hν 0
p~0
E = hν0
ϕ
me
Ekin
=
x
θ
2
1
2 me v
v
Stossproblem Mechanik: Photon mit Energie E = hν0 stosse (in Richtung x) auf ein
e− mit Masse me , welches sich in Ruhe befindet. Nach dem Stoss fliegt das Elektron
unter Winkel ϑ weg und hat die Kinetische Energie Ekin = 21 me v 2 , und für das Photon
E 0 = hν 0 unter dem Winkel ϕ.
Es gilt Energie- und Impulserhaltung, somit
Bild 2.38
1. Energieerhaltung:
1
hν0 = hν 0 + me v 2 .
2
2. Impulserhaltung in x Richtung:
hν0
hν 0
=
cos ϕ + me v cos ϑ.
c
c
3. Impulserhaltung in y Richtung:
0=
hν 0
sin ϕ + me v sin ϑ.
c
Durch umformen von 2. und 3. folgt:
2 0
2
hν0
hν
hν
−
cos ϕ +
sin ϕ = m2e v 2
c
c
c
Ausmultiplizieren und anschliessendes Einsetzen von 1.
0 2
2
0 2
hν0 ν 0
hν
hν
hν0
2
−2 2 cos ϕ+
cos ϕ+
sin2 ϕ = m2e v 2 = 2me h(ν0 −ν 0 )
c
c
c
c
Somit kriegt man
v0
ν0
h(ν0 − ν 0 ) =
ϕ=π
ϕ
ν = ν0 − 2|∆ν|
h2
(ν 2 − 2ν0 ν 0 cos ϕ + ν 02 ).
2me c2 0
ν0
Betrachtet man die Formel für Röntgen Strahlen: ν0 = 4 · 1018 Hz (λ ≈ 0.07nm)
v c (experimentelle Tatsache). =⇒ ν 0 ≈ ν0 .
Aus 1. hν0 12 me v 2 falls v 108 ms .
Bild 2.39
∆ν
0
π ϕ
∆ν = (ν0 − ν 0 ) ≈
Bild 2.40
26
hν02
(1 − cos ϕ)
me c2
2.2 Compton-Effekt
heisst Compton-Verschiebung.
Historischer Beweis Photonen tragen Impuls
hν
c .
Unterschied zur Bragg-Reflexion:
• alle ϕ treten auf,
• ν 0 < ν.
Als Funktion von λ: λ =
c
ν
(falls ∆ν ν0 , ∆λ λ0 )
dλ c
|∆λ| = |∆ν| = 2 ∆ν
dν ν0
ν0
Somit kriegt
∆λ ≈
Für alle λ
h
(1 − cos ϕ)
me c
E = hν
e−
h
= λc = 2.4 · 10−12 m
me c
e−
Photo-Eff.
heisst Compton-Wellenllänge.
E 0 = hν
Bragg-Refl.
θBragg
E0 = 0
e−
e−
E = hν
ν nimmt ab bei der Streuung, λ nimmt zu.
E 0 = hν 0
Compton
e−
e− ~
v
E = hν
Paarbild.
Überblick über Streueffekte
e−
e+
e−
Bild 2.41
• Bragg-Reflexion
Tritt auf bei allen Materialien
E = E0
Beobachtbar bei ∼ 8keV
vollständig elastische Reflexion
200
20
0.2
λ
Absorptionseffekt
[10−13 m]
• Photo-Effekt
gut beobachtbar bei Metallen
E0 = 0
dominant < 500keV
volkommen inelastisch
Photo-Effekt
Paarbildung
Compton
E
0.1
1
5
Photoenergie hν [MeV]
Bild 2.42
• Compton-Streuung
Bei alle Materialien (auch amorph)
E 0 = hν 0 , E 0 < E
500keV < E < 5MeV
teilweise inelastisch
• Paarbildung
Elektronen & Positronen “Paarbildung” Materie+Antimaterie. Voraussetzungen
für Paarbildung: E = hν ≥ 2me c2 = 1.02MeV (melektron = mpositron ). in
~ (oder B)
~ Feld von Atomkern.
einem starken E
> 5MeV
27
50
Teilchennatur des Lichtes; Plancksches Wirkungsquantum
2.3. Das Plancksche Strahlungsgesetz
Erklärung von:
• Wien’sches Verschiebungsgesetz: λmax T = 2.898 · 10−3 Km.
• Stefan-Boltzmann-Gesetz: P = A · σ · T 4 , σ = 5.67 · 10−8 mW
2 K4 .
λ=
L
λ=
.
.
.
λ=
.
.
.
2L
1
2L
2
2L
n
L
Bild 2.43 Mögliche stehende Wellen
• Verteilung der Wellenlängen.
2.3.1. Versuch einer klassischen Herleitung der Wärmeabstrahlung:
Rayleigh-Jeans-Gesetz
Annahme: Kubus L3 mit innen (ideal → keine Reflexionsverluste) verspiegelten Wänden.
~
~ erfüllt Wellengleichung
Das E-Feld
bildet stehende Wellen aus, denn E
~
∂2E
~
= c2 ∆E
2
∂t
Wir nehmen an, nur Knoten an den Seitenflächen. Dies fürt zur Lösung der Wellengleichung
2π
2π
2π
E(x, y, z, t) = E0 sin
x sin
y sin
z sin(2πνnx ny nz t)
λ nx
λ ny
λ nz
wobei
λ nα =
Schnittebene des Kubus
2L
nα
Einsetzen in die Wellengleichung ergibt
νnx ny nz =
Bild 2.44
ny
8
Kugelschale
6
4
2
~
n
2dνL
c
2νL
c
α = x, y, z
c q 2
nx + n2y + n2z
2L
Zahlenraum mit ~n: 18 des Zahlenraums, wenn n ∈ Z, n > 0 erster Raumquadrant.
Jede stehende Welle entspricht Vektor ~n.
Frage:
Bei gegebenem ν, wieviele Eigenschwingungen gibt es im Intervall [ν, ν + dν].
dν2L
Die ~n liegen in einer Kugelschale mit Radius ν2L
c und Dicke
c .
Eine Eigenschwingung beansprucht das Volumen 1 im Zahlenraum, das heisst, die Anzahl Eigenschwingungen ist gerade das Volumen der Kugelschale. Also
0
nx
2 4 6 8
Volumen einer Eigenschw.
4π
8
Bild 2.45
~n-Raum “Kontinuum” falls
Würfel L3 ist dies erfüllt.
ν2L
c
2νL
c
2
·
dν2L
= 4π
c
L3
c2
1, somit muss λ =
c
ν
ν 3 dν
2L. Für makroskopische
Jeder Raumpunkt ~n hat zwei Polarisationsmöglichkeiten (z.B. ↑, →) =⇒×2.
Zustandsdichte (=Anzahl Eigenschwingungen pro Frequenzintervall)
ρ(ν) =
28
dN[ν,ν+dν]
L3
= 8π 3 ν 2
dν
c
2.3 Das Plancksche Strahlungsgesetz
~
Annahme: E-Feld
“spürt” Temperatur der Wände und nimmt Energie auf (dies ist klassisch nicht zu verstehen).
In Analogie zu mechanischen Schwingungen: Jede Eigenschwingung ν~n kann gemäss
dem Äquipartionsprinzip kB T aufnehmen (zwei Freiheitsgrade pro Schwingung 2 ·
1
2 kB T ).
Energiedichte im Frequenzintervall dν
ρ
dν
kB T dN[ν,ν+dν]
kB T ρ(ν)dν
ν2
=⇒ dw(ν, T ) =
=
=
8πk
T
dν
B
L3
L3
c3
∝ ν2
N
ν
Als Funktion von λ =
c
ν
Bild 2.46
also
dλ
c
=− 2
dν
ν
|dλ| = |dν|
=⇒
c2
λ2
= |dν|
2
ν c
c
also im Wellenlängenintervall dλ
dw(λ, T ) =
8πkB T
dλ
λ4
ρ
heisst Rayleigh-Jeans-Gesetz.
=⇒ für λ → 0 divergiert w(λ, T ) divergiert
=⇒ “UV-Katastrophe”.
Für grosse λ Übereinstimmung mit Experiment.
T = 300K
gemessen
Rayleigh-Jeans
λ [µm]
10
50
Bild 2.47
2.3.2. Das Planck’sche Strahlungsgesetz
T
Annahme: Energieaustausch mit Wänden via Photonen E = hν. Weiter sei jede Eigenschwingung ~n unabhängig von allen anderen Eigenschwingungen, und im thermischen
Gleichgewicht mit dem “Wärmbad” und kann nur Photonen mit hν~n aufnehmen oder
abgeben. Somit ist die Gesamtenergie, die zur Eigenschwingung ~n gehört:
T
T
T
E = jhν~n .
Bild 2.48
Phot.nachschub
Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes j realisiert ist (das heisst, dass
E = jhν) ist gegeben durch die Boltzmann Verteilung:
A
Öffnung
E
exp − kBjT
exp − kjhν
T
B
=P
w(Ej ) = P
∞
∞
Ei
nhν
i=0 exp − kB T
i=0 exp − kB T
c∆t
T
Bild 2.49
P∞
Ei
mhν
E
exp
−
i
i=0
kB T
m=0 mhν exp(− kB T )
~
E(ν~n ) = P
= P∞
mhν
∞
Em
m=0 exp(− kB T )
m=0 exp − kB T
P∞
Den nenner kann man auflösen, denn
∞
X
j=0
exp −
jhν~
n
ist geometrische Reihe, also
exp
−
j=0
kB T
P∞
jhν~n
kB T
=
1
~
n
1 − exp − khν
BT
P∞
Pi=0
∞
xi =
i=1 (i
.
29
i
1
1−x
·x )=
x
(1−x)2
Teilchennatur des Lichtes; Plancksches Wirkungsquantum
Den Zähler hν~n
P∞
j=0
~
n
j exp − jhν
kann man ebefalls auflösen und man erhählt
kB T
hν~n
M
X
hν~n exp(. . . )
jhν~n
j exp −
=
.
kB T
(1 − exp(. . . ))2
j=0
Und somit, kriegt man
~
n
hν~n exp − khν
T
hν~n
B
=
E(ν~n ) =
hν~
~
n
n
1 − − khν
exp
+
kB T − 1
BT
Die Mitlere Besetzungszahl der Eigenschwingung ~n (mittlere Anzahl Photonen) ist
E(ν~n )
1
= n(ν~n ) =
hν~
hν~n
exp + kB nT − 1
Dies ist die “Bose-Statistik für Bosonen”.
f (x) =
Energie für irgendeine Eigenschwingung mit ν~n = ν,
dN = Anzahl der Eigenschwinungen mit Frequenzen [ν, ν + dν],
=⇒νdN = mittlere Energie aller Eigenschwingungen mit [ν, ν + dν].
Energiedichte
1
x5 (e1/x −1)
dw(ν, T ) =
0.2014
x
Als Funktion von λ =
c
ν
8hπν 3
1
E(ν)ρ(ν)dν
=
3
L
c3 exp( khνT ) − 1
B
also
Bild 2.50
dw(λ, T ) =
1
8hπc
dλ
5
hc
λ exp
−
1
λkB T
Energieinhalt des elektromagnetischen Feldes
R∞
0
w(λ, T )dλ ist endlich.
Frage, welche Abstrahlung bei Öffnung des Kastens:
In ∆t wird die Energie w(λ, T ) · Ac∆t abgestrahlt.
Leistung pro Fläche A, pro Raumwinkel, pro Wellenlängeintervall:
L(λ, T ) =
dw(λ, T )Ac∆t
c
2hc2
1
=
dw(λ, T ) = 5
.
dλ∆tA4π
4π
λ exp( λkhc T ) − 1
B
heisst “spektrales Emissionsvermögen”.
Als Funktion der Frequenz:
L(ν, T ) =
c dw(λ, T )
2hν 3
1
·
= 2
4π
dν
c exp( k hcT λ ) − 1
B
heisst spektrales Emissionsvermögen pro Frequenzintervall.
Maximal für xmax =
kB T λmax
hc
= 0.2014
λmax T = 2.89810−3 mK
30
2.4 Wellenphänomene des Lichtes im “Teilchenbild”
Wiensches Verschiebungsgesetz
Die gesamte abgesrahlte Leistung
Z ∞
4 4
2π 5 kB
T
= AσT 4 ,
P = πA
L(λ, T )dλ = A
3
2
15h
c
0
wobei
W
m2 K4
Ein idealer “schwarzer Körper” gehorcht dem Planck’schen Strahlungsgesetz. Reale Körper
strahlen in der Regel weniger ab (Emissionskoeffzient ε, Emissionsgrad ≤ 1, je nach
Oberflächeneigenschaften.)
Aufnahme von Strahlung: Absorptionskoeffizient = Emissionskoeffizient ε.
σ = 5.67 · 10−8
2.4. Wellenphänomene des Lichtes im “Teilchenbild”
Ist die Hypothese von Lichtteilchen (Photonen) verträglich mit Interferenz und Beugung?
Experiment: einzelene Photonen durch Doppelspalt, ergibt statistische Verteilung hinter dem Doppelspalt entspricht Intensitätsmuster für Wellen.
Also: einzelne Photonen verhalten sich statistisch wie eine klassische Welle.
Naheliegende Frage: Gilt dieses Verhalte nur für Photonen oder auch für andere Teilchen?
31
3 Materiewellen
3.1. Die de Broglie-Wellenlänge
Für Materiewellen.
Licht/Photonen
Für die Energie gilt
E = hν = ~ω
Für Impuls gilt
p=
wobei ω = 2πν, ~ =
d
h
2π ,
k=
h
= ~k
λ
2π
λ .
de Broglie postulierte
d
λ=
h
p
ist gültig, auch für Materie.
Bild 3.51 Erwartetes Muster f ür
Doppelspalt Versucht mit Materie
(z.B. Elektronen)
λd
D
d
Wenn gültig, so müssten Interferenzerscheinungen auch mit “Materie” auftreten.
Wie gross ist λ? Sei zum Beispiel v = 1m/s. Wie gross müsste λ sein, damit beobachtbar
λ & 0.1nm =: λ0 (Atomabstand in einem Festkörper).
Somit p = mv = λh =⇒ m . vλh0 = 6.6 · 10−24 kg.
Protonen/Neutronen
He-Atome
Elektronen
Bild 3.52 Tatsächliches Ergebnis eines
Doppelspalt Versuchs mit Materie
e−
1.7 · 10−24 kg
6.7 · 10−24 kg
9.1 · 10−31 kg
3.2. Verbessertes Bohr-Atommodell
klassisches Bohr-Modell:
e− Planetenbahnen um Atomkern.
2
mv 2
1 |e|
FZ = r = 4πε0 r2 fr̈ H. |e| = Kernladung, Ladung des Protons.
∞ viele Lösungen für r. (Experiment zeigt aber, nur bestimmte r sind möglich).
p
r
Bild 3.53
Kriterium für “stationären Zustand” (stehende Welle)
=⇒ Umfang 2πrn = nλ = n hp mit n ∈ N.
Klassisch p = me v
1 |e|2
me v 2
=
FZ =
rn
4πε0 rn2
32
3.3 Dispersionsbeziehung von Materiewellen
Daraus erhält man
1
=
p = me v =
4πε0
So erhält man für rn
rn = n 2 h2
r1 := h2
me |e|2
h
hn
= =
4πε0 rn
λ
2πrn
ε0
= n 2 r1
πme |e|2
ε0
= 5.29 · 10−11 m
πme |e|2
Energien Ekin = 21 me v 2 =
p2
2me ,
Bohr-Radius
2
|e|
Epot = − 4πε
0 rn
Ekin + Epot = −
1 |e|4 me
|e|2
=− 2
8πε0 rn
n 8h2 ε20
E∞ = 0
4
1Ry :=
|e| me
= 2.18 · 10−18 J = 13.6eV = 1 Rydberg
8h2 ε20
Angeregte Elektronen (z.B. durch Temperatur) “fallen” wieder auf tiefere Energiezustände
unter Abgabe der Energie
.
.
.
E2
−13.6eV
wobei
s
hν = ∆E
E1 = −1Ry
Bild 3.54
∆E = hν = |Ry|
1
1
− 2
m2
n
heissen Spektrallinien.
~ = ~r × p~, hier ~r⊥~
Drehimpuls: L
p (Kreisbahn) =⇒ L = rp.
s
Ln = rn pn =
me |e|2
rn =
4πε0
s
nh
me |e|2 ε0 n2 h2
=
= n~
4πε0 πme |e|2
2π
~2 k2
2m
E = hν
3.3. Dispersionsbeziehung von Materiewellen
Ma
ω(k) =?
m0 c2
Licht: ω = c · k im Vakuum, “dispersionsfrei” c unabhängig von ω.
Materie (freies Teilchen,
( palso nicht in einem
pPotential):
m20 c4 + p2 c2 = m20 c4 + ~2 k 2 c2
Etot = hν = ~ω =
p2
~k2
klassisch
2m = 2m
Li
ch
ti
n
ie
ter
k
Va
we
uu
+ m0 c2
lle
n
m
p
Bild 3.55
ω(k) zeigt Dispersion:
• Gruppengeschwindigkeit vG =
• Phasengeschwindigkeit vPh =
∂
∂k ,
ω
k,
beide sind nicht konstant, sondern hängen von ω ab.
vG
vPh
33
Bild 3.56
Materiewellen
3.4. Wellenpakete aus Materiewellen
v=
~2 k0
2m
langsamer
k0 − ∆k
k0
Dispersionsfrei ω = ck =⇒ Wellenpaket ändert mit der Zeit seine Form nicht.
~k2
2m
schneller
Materiewellen ω =
Zeit.
k0 + ∆k
Wie läuft das Wellenpaket auseinander? Jedes k hat eine andere Geschwindigkeit.
Betrachten Wellenlängenanteile k0 + ∆k und k0 − ∆k.
~
~
~(k0 ±∆k)2
ω
vPh = k0 ±∆k
k0 ±
∆k
= 2m(k
=
0 ±∆k)
{z }
|2m{z }
|2m
Bild 3.57
t0
t=0
vG
σx
=⇒ Dispersion. =⇒ Wellenpaketk ändert seine Form mit der
x=0
Differenz in vPh ≈
r
vG
~∆k
2m
σx (t) = σx (0) 1 +
Bild 3.58
Abweichung
mit k=k0 ±∆k
vPh mit k=k0
σx
x=0
=
~
2mσx .
2
ht
2
2mσx
3.5. Die Heisenberg’sche Unschärferelation
R∞
f=
p
~
t3
t4
Newton
f (x)Φ(x)dx
−∞
R∞
−∞
Φ(x)dx
ist der Mittelwert von f , wenn Φ(x) Wahrscheinlichkeitsverteiung für x.
t2
t1
~
r
p
~
QP
∆p∆x
hier: f (x) = x2 (Mittelwert von x2 )
(mittlere quadratische Abweichung von x = 0)
2
R∞ 2
x
exp
− σx2 dx
−∞
1
x
2
x = R∞
= σx2 > 0
x2
2
exp − σ2 dx
−∞
x
~
r
Bild 3.59 In der Newton’schen Physik
kennt man, wenn man die Parameter
des Systems zu einem Zeitpunkt
kennt, das Verhalten des Systems f ür
alle anderen Zeitpunkte in Zukunft
und Vergangenheit. In der
Quantenmechanischen
Betrachtungsweise ist dies nicht mehr
der Fall.
In der Quantenphysik ist die Wahrscheinlichkeit w = |Φ(x)|2 (später mehr dazu. . . )
Das Gleiche mit der Fourier-Transformierten, quadratische Abweichung k0 :
R∞
2 2
(k − k0 )2 e−(k−k0 ) σx dk
1
1
−∞
2
R ∞ −(k−k )2 σ2
(k − k0 ) =
=
(= σk2 )
2
0
2σ
2
k
e
dk
x
−∞
q
=⇒ “Unschärfe” ∆x := 12 σx2 der Einhüllenden des Wellenpakets,
q
“Unschärfe” ∆k := 2σ1 2 der Verteilung in k. Es gilt (für Gaussverteilung)
x
∆x∆k =
1
2
Für alle anderen Arten von Wellenpakten gilt
∆x∆k >
1
2
Physik: p = ~k =⇒ Verteilung in k =
ˆ Verteilung von Impulsen
∆x∆p ≥
34
1
~
2
3.5 Die Heisenberg’sche Unschärferelation
heisst Heisenberg’sche Unschärferelation für x und p.
Interpretation: Jedes Wellenpaket kannn aus einer Verteilung von Materiewellen mit
verschiedenen Impulsen zusammengesetzt werden. Je schärfer ein Wellenpaket in x lokalisiert ist (∆x klein), desto breiter ist seine Impulsverteilung (desto weniger scharf ist
der Impuls definiert).
Massepunkt: ∆x = 0 (δ-Funktion) =⇒ x ist exakt bekannt =⇒ ∆p → ∞ =⇒ Impuls
völlig unbestimmt.
Ist umgekehrt p genau bekannt (= (ebene) Welle mit Wellenlänge 2π~
p ) ∆p = 0
=⇒ ∆x → ∞ Ort völlig unbestimmt.
∆x∆p ≥ 21 ~: man kann nicht gleichzeitig x und p = mv beliebig genau bestimmen.
Die Unschärferelation gilt auch für L und ϕ.
L
1
∆L∆ϕ ≥ ~
2
ϕ
sowie q
auch für E und t (“Lebensdauer”). Analog: mechanische Resonanzen
ω0 = 2k
m . Resonanz am grössten bei ω0 . E genau bekannt: ∆E klein =⇒ Lebensdauer
τ gross. =⇒ “Teilchenresonanzen” in Teilchenphysik.
Bild 3.60
k
A
k
m
e
Rv = −βv
A
τ
∝
ω0
(~ω0 )
Bild 3.61
35
−t
τ
t
1
τ
ω
(~ω)
=E
∆E klein
τ gross
(~ω)
=E
4 Die Schrödinger Gleichung
(Wellengleichung für Materiewellen)
4.1. Die Zeitabhängige Schrödinger Gleichung
Gesucht: Wellengleichung für Photonen und Materiewellen (zunächst) für einzelne Teilchen
~
∂2E
2
Inspiration: Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Wellen → (∂t)
2 = c ∆E
~
Gleichung für E-Feld.
Wunschkatalog
A. Etot = ~ω soll auch für Materie gelten.
B. Ebene Wellen Ψ(x, t) = Ψ0 exp(~k · ~r − ωt) soll Lösung sein
(→ Interferenzphänomene).
C. Ekin =
p2
2m
=
~2 k2
2m
für Teilchen mit Masse m.
D. Etot = Ekin + V
1. Ekin =
~2 k2 V =0
=
2m
Etot . =⇒ ω =
~k2
2m
Dispersion, ω ∝ k 2 .
2. Herkömmliche Wellengleichung für ebene Wellen in x:
∂2
∂
Ψ0 ei(kx−ωt) = v 2 2 Ψ0 ei(kx−ωt)
(∂t)2
∂x
=⇒ −ω 2 · = −v 2 k 2 . . . =⇒ ω ∝ k.
Versuch: Nur erste Ableitung nach t soll vorkommen: Hoffnung ω ∝ k 2
∂Ψ
∂2
~k 2
2
= −iωΨ(x, t) = α
Ψ(x,
t)
=
−k
αΨ(x,
t)
=
−i
Ψ(x, t)
∂t
(∂x)2
2m
Somit muss
α=
i~
2m
∂Ψ
i~
=
∆Ψ
∂t
2m
und somit kriegt man für freie Teilchen (V = 0) die Gleichung
−
36
~ ∂Ψ
−~2
=
∆Ψ
i ∂t
2m
4.2 Bedeutung der “Wellenfunktion” Ψ(x, t)
Korrektur, falls V 6= 0:
~ ∂Ψ
~2
=−
∆Ψ + V Ψ
i ∂t
2m
heisst zeitabhängige Schrödinger Gleichung (Lösungen sind in der Regel komplex).
Einsetzen: Ausdruck für ebene Welle:
− ~2 ∂Ψ
∂t = ~ωΨ(x, t) = Ekin Ψ(x, t) + V Ψ(x, t) = (Ekin + V )Ψ(x, t).
=⇒ Etot = Ekin + V .
−
4.2. Bedeutung der “Wellenfunktion” Ψ(x, t)
~ ∗E
~
Interferenzmuster bei Licht: Intensität I ∝ E
Bei Interferenz von Materiewellen beobachtet man also auch
Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 ∈ R
ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen bei x zu finden (eigentlich Wahrscheinlichkeitsdichte).
Betrachte das ganze in einer Dimension: Die Wahrscheinlihckeit ein Teilchen zwischen
−∞ und +∞ zu finden ist 1. Somit gilt (Normierungsbedingung)
Z ∞
|Ψ(x, t)|2 dx = 1
−∞
Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Intervall [a, b] zu finden ist somit
Z b
W[a,b] =
|Ψ(x, t)|2 dx
a
Annahme, Ψ(x, t) sei bekannt. Was ist nun der wahrscheinlichste Ort?
Der Erwartungswert für den Ort ist:
ZZZ
h~ri =
Ψ∗ (~r, t)~rΨ(~r, t)d3 r
“gewichtetes Mittel”
Freies Teilchen (ebene Welle) pΨ(x, t) = ~kΨ(x, t) =
~ r, t)
In drei Dimensionen p~Ψ(~r, t) = ~i ∇Ψ(~
~ ∂Ψ
i ∂x .
Definition: Impulsoperator
~p =
~~
∇
i
Der wahrscheinlichste Impuls p~ ist
ZZZ
~~
h~pi =
Ψ∗ (~r, t) ∇Ψ(~
r, t)d3 r
i
h. . .i Erwartungswert, ist die physikalisch messbare Grösse: immer reell.
Ein weiteres Beispiel für einen Operator ist
37
Die Schrödinger Gleichung
• Drehimpuls Operator
~L := ~r × ~p
• Energie Operator
Ekin =
~2
~p2
=−
∆
2m
2m
• totale Energie Operator
~ = Ekin + V =
H
−~2
∆+V
2m
“Hamilton Operator”
Somit lässt sich die Zeitabhängige Schrödinger Gleichung auch schreiben als
−
~ ∂
Ψ(x, t) = HΨ(x, t)
i ∂t
Die totale Energie ist Etot = hHi = Erwartungswert von H.
Klassische Mesgrössen =
Erwartungswerte von Operatoren
klassisch
Quantenphysik
~
r
~
r
~~
p
~ = m~
v
i∇
~
~ =~
L
r×p
~
~
r × ~i ∇
E
H
Klassisch gilt xpx = px x. Das heisst, kommutativ.
In der Quantenphysik ist aber
px xΨ =
~ ∂
~
~ ∂Ψ
(xΨ(x)) = Ψ(x) + x
i ∂x
i
i ∂x
und
~ ∂Ψ
.
i ∂x
Das heisst x und p sind nicht kommutativ. xpx − px x = i~.
Das heisst: die Reihenfolge der Messung spielt eine Rolle.
Dies gilt auch für (y, py ), (z, pz ), (H, t), (~L, ϕ).
xpx Ψ(x) = x
Nicht kommutative Operatoren entsprechen Grössen die nicht gleichzeitig beliebig genau messbar sind. Kommutierende Operatoren sind Grössen, die gleichzeitig beliebig
genau messbar sind, Reihenfolge spielt bei diesen also keine Rolle.
Ziel: Ψ(x, t) für konkrete Probleme berechnen =⇒ Zeitabhängige Schrödinger Gleichung lösen.
4.3. “Stationäre Zustände” – die Zeitunabhängige Schrödinger
Gleichung
Unter stationär versteht man, dass die Erwartungswerte sich zeitlich nicht ändern.
Beispiel: Energie – wann beliebig genau bekannt?
Hinreichende Bedingung:
R HΨ(~r, t) = EΨ(~
R r, t) ∀~r, t mit E skalar.
Denn dann ist hHi = Ψ∗ HΨd3 r = E Ψ∗ Ψd3 r = E.
=⇒ Eigenwerte: Energien sind “Eigenwerte” des Operators H. Die entsprechenden Lösungen
Ψ(~r, t) sind “Eigenfunktionen” von H.
38
4.4 Anwendung auf spezielle Fälle
Gesucht: Eigenwerte-/Funktionen von H.
−iωt
Ansatz: ΨStat (~r, t) = Φ(~
(wie stehende
Welle).
r)e
~
∆Φ + V (~r)Φ eiωt = EΦ(~r)e−iωt .
Somit HΨStat (~r, t) = − 2m
2
Dies führt zur Zeitunahbängigen Schrödingergleichung
−
~2
∆Φ(~r) + V Φ(~r) = EΦ(~r).
2m
Einsetzen in Zeitabhängige Schrödinger Gleichung:
−
~ ∂
ΨStat (~r, t) = ~ωΨStat (~r, t) = HΨ(~r, t) = EΨStat (~r, t).
i ∂t
Die Lösungen Φ(~r) bilden mit ΨStat (~r, t) = Φ(~r)e−iωt Zustände scharfer Energie E.
Was ist ω?
E = ~ω.
• Löse die Zeitunabhängige SG → Φ(~r) und E.
• ΨStat (~r, t) = Φ(~r)e−iωt mit E = ~ω
Normierung
Z
Ψ∗Stat (~r, t)ΨStat (~r, t)d3 r = 1 =
Z
Φ(~r)∗ Φ(~r)d3 r
4.4. Anwendung auf spezielle Fälle
E
4.4.1. Der eindimensionale ∞-hohe Potentialtopf
E3 = 9E1
Wir betrachten ein eingespertes Teilchen im Potential
0
|x| ≤ a
V (x) =
∞ sonst
E2 = 4E1
E1
Suche stationäre Zustände scharfer Energie.
Bild 4.62
Aus der Schrödinger Gleichung folgt
2
2
~ ∂
− 2m
∂x2 Φ(x) = EΦ(x) für x ≤ a
Φ(x) = 0
für |x| > a
Bei x = a: ∂Φ
∂x muss wohldefiniert sein, sonst p nicht wohldefiniert. Φ muss mindestens
stetig sein, bie x = a =⇒ Φ(a) = 0.
=⇒ analog zur schwingenden Saite.
39
Φ(x)
Φ(x)2
Die Schrödinger Gleichung
Ansatz
Φ(x) =
Somit
A sin(kn x)
B cos(kx )
= 0 ⇐⇒ kn a = 0, π, 2π, 3π, . . .
5π
= 0 ⇐⇒ kn a = π2 , 3π
2 , 2 ,...
π
mit n gerade
kn = n 2a
π
kn = n 2a mit n ungerade
~2 π 2
~2 kn2
= En =⇒ En = n2
= n2 E1
2
2m
2m
4a
| {z }
=:E1
Für n = 0 müsste Φ = 0 sein.
Ra
Dies ist aber keine Lösung, denn dann ist −a Φ∗ Φdx 6= 1.
Tiefstmögliche Energie ist E1 > 0 = “Nullpunktsenergie”. Zugehörige Wellenfunktion
heisst “Grundzustand” und ist 6= 0 [wegen Normierungsbedingung].
Allgemein: Jedes räumlich begrenzte Problem führt immer zu einem Grundzustand mit
endlicher Nullpunktsenergie.
Zur Berechnung der Energien E, müssen die “Normierungsfaktoren” (A,B) nicht bekannt sein.
Makroskopische Teilchen
Betrachte die Masse m = 1g in einem Topf der Breite 2a.
π 2 ~2
−63
J.
Es gilt dann E1 = 8ma
2 = 5 · 10
Wäre E1 reine Kinetische Energie E1 = 21 mv 2 =⇒ v = 3 · 10−30 m/s [unmessbar].
Das heisst, in der makroskopische Welt ist n 1.
Bild 4.63 Wellenpaket des
makroskopischen Teilchens zerfliesst
Wellenpaket ist Mischung verschiedener k mit Dispersion
=⇒ Wellenpaket “zerfliesst”.
=⇒ Problem für
Schrödinger Gleichung.
r zeitabhängige
2
σx (t) = σx (0) 1 + 2m·σhtx (0)2 .
Sei bei obigem Beispiel σx = 1mm. Wann ist dann σx (t) = 2a?
t = 4m·σ~x (0)·a ≈ 1027 s. Im Vergleich dazu ist das Universum nur ≈ 1017 s.
Ra
Normierung: a Φ∗ (x)Φ(x)dx = 1.
analog):
RFür ∗n gerade (für n2 Rungerade
a
Φ Φ(x)dx = A −a sin2 nπ
2a x dx = 1.
Substitution α := nπ
2a · x
Somit kriegt man
Z nπ
2
2a
2
A
sin2 (α)dα ·
= A2 a
nπ
nπ
− 2
Somit ist
1
A= √ .
a
Zur Berechnung von En ist diese Rechnung nicht nötig. Sie ist aber zur Berechnung des
Erwartungswertes notwendig.
40
4.4 Anwendung auf spezielle Fälle
Erwartungswerte (Φ muss normiert sein):
Z
Z a
nπ 1 a
x sin2
· x dx
hxi =
Φ∗ (x) · x · Φ(x)dx =
a −a
2a
−a
Die gleiche Substitution wie oben liefert dann
hxi =
4a
n2 π 2
Z
nπ
2
α sin2 (α)dα = 0
− nπ
2
Das heisst hxi muss nicht mitr den Werten grösster Wahrscheinlichkeit übereinstimmen.

Rb
∂
 mathematisch: hpx i = a Φ∗ (x) ~i ∂x
Φ(x)dx = · · · = 0
Impuls hpx i =
physikalisch:
hpx i = 0 weil Teilchen “gefangen” ist. R

Erwartungswerte sind immer reell =⇒ . . . dx = 0
En =
4.4.2. Eindimensionaler harmonischer Oszillator
1. V (x) =?
F~ = −f~x
(n+1)
~ω
2
~ (~x)
F~ = −∇V
2. Randbedingungen V (~x) = 12 f~x2
eindimensional: V (x) = 12 f x2 .
2
1
2 fx
E2
~2 ∂ 2
1
−
Φ(x) + f x2 Φ(x) = EΦ(x)
2
2m ∂x
2
q
f
Klassisch: alle E möglich, ω = m unabhängig von der Auslenkung.
Nullpunktsschwingung: E0 =
1
2 ~ω
E1
0
> 0.
x
Bild 4.64
Warum Nullpunktsschwingung?
Heisenberg’sche Unschärfe: ∆p∆x ≥ 12 ~.
=⇒ ∆p ≥
1 ~
2 ∆x
=⇒ Ekin =
∆p2
2m
> 0 =⇒ Nullpunktsenergie.
Betrachte nochmals das Topfpotential: ∆x ≈ a
=⇒ ∆p ≈ 21 ~a
2
=⇒ E1 ≈ 8a~2 ·m
=⇒ stimmt bis auf Faktor π 2 .
z
y
L
4.4.3. Potentialtopf in zwei Dimensionen
Φ=0
x
1. Quadratischer Querschnitt L × L. V = 0 für x, y ≤ L, V = ∞ sonst.
2
~2
∂
∂2
−
Φ(x, y) + 2 Φ(x, y) = EΦ(x, y)
2m ∂x2
∂y
L
V =0
Bild 4.65 Zweidimensionaler
Potentialtopf
Gesucht sind stehende Wellen. Das heisst:
Φ(L, y) = Φ(0, y) = Φ(x, L) = Φ(x, 0) = 0
Ansatz:
Φ(x, y) = A sin(kx x) sin(ky y)
41
Die Schrödinger Gleichung
Für x, y = 0 erfüllt diese die Randbedigungen schon, es muss also weiter noch
gelten
kx L = nx π und ky L = ny π
wobei nx , ny ganze Zahlen.
Einsetzen in obige Gleichung ergibt
~2 2
(k + ky2 ) · Φ(x, y) = EΦ(x, y)
2m x
Somit
~2 π 2 2
(n + n2y )
2m L2 x
(zwei Quantenzahlen [zweidimensionales Problem])
Enx ,ny =
Es gilt E21 = E12 .
Das heisst E kann zweifach entartet sein.
Erwartungswerte:
L
,
2
hpx i = hpy i = 0.
hxi = hyi =
Drehimpuls: Hat nur z-Komponente
Lz . 

...
~ = ~
~L = ~r × ~p = ~r × ~ ∇

...
i
i
∂
∂
x ∂y − y ∂x
Somit
Lz Φ(x, y) = A(xky sin(kx x) cos(ky y) − ykx cos(kx x) sin(ky y))
~
i
Und daher
hLz i =
0
L
Z
0
L
Φ∗ (x, y)Lz Φ(x, y)dxdy = · · · = 0
2. Allgemeines zylindersymmetrisches Potential. Das heisst
p
V (x, y) = V (r) mit r = x2 + y 2 .
z
Es empfiehlt sich in Zylinderkoordinaten zu rechnen.
Wir wollen eine Aussage über Φ(r, z, ϕ) machen, ohne die Schrödinger Gleichung zu lösen.
Aus der Zylinder-Symmetrie kriegen wir einen Ansatz
y
r
ϕ
x
Z
~
eϕ
~
er
Φ(r, ϕ) = u(r) · einϕ
Bild 4.66
damit ist
Φ(r, ϕ) = Φ(r, ϕ + 2πn)
42
mit n ∈ Z
mit n ∈ Z
4.4 Anwendung auf spezielle Fälle
Der Drehimpuls dieser Lösung ist
~L = ~r × ~p
~~
= ~r × ∇
Z i
h~Li = Φ∗~LΦd3 r
Es gilt ~r × ~er = 0 (parallel), k~r × ~eϕ k = r in z-Richtung. Somit ist
1 ∂Φ(r, ϕ)
r ∂ϕ
1
= i · n u(r)ei·nϕ
r
1
= i · n Φ(r, ϕ)
r
~ ~
Lz Φ = r ∇Φ(r) = ~nΦ(r)
i
~
|∇Φ(r)|
=
~n ist reine Zahl, also
= Φ(r)~n
somit
hLz i =
Z
Φ∗ (r, ϕ)Φ(r, ϕ)dA~n
wegen Normierung von Φ
= ~n
mit n ∈ Z
Der Drehimpuls von Teilchen in Zylindersymmetrischen Potentialen ist quantisiert (= n~).
Betrachtet man das Gravitationspotential V = mgz für z ≥ 0 und V = ∞ sonst. Dann
ist die Schrödinger Gleichung
−
E
~2 ∂ 2
Φ(z) + mgzΦ(z) = EΦ(z)
2m ∂z 2
E2
E1 : Nullpt.Energ.
Die Lösungen davon sind Airy-Funktionen.
Der tiefstmögliche Energiewert (Nullpunktsenergie) E1 ist nicht null.
Der Erwartungswert
s
Z ∞
~2
∗
· 2.34 > 0
z1 = hzi =
Φ1 (z)zΦ1 (z)dx ≈ 3
2m2 g
0
0
z1
Bild 4.67
Konkret: Neutron: z1 ≈ 10µm. Elektron: z1 ≈ 2mm.
43
z
Die Schrödinger Gleichung
4.4.4. Konkretes Problem: ∞ Topfpotential
0
r≤R
V (r) =
∞ sonst
Im Innern haben wir
−
~2
∆Φ(r, ϕ) = EΦ(r, ϕ)
2m
Ansatz: u(r)einϕ
∂ 2 u inϕ 1 ∂u inϕ n2
e
+
e
−
u(r)einϕ
∂r2
r ∂r
r
2m
= − 2 E · u(r)einϕ
~
∇ϕ =
J0 : ein Bauch, 1. Nullst.
somit
∂ 2 u 1 ∂u
2mE
n2
+
+
−
u=0
∂r2
r ∂r
~2
r
q
Eine Substitution dx = dr 2mE
~2 ergibt
J1 :zwei Bäuche, 1. Nullst.
∂ 2 u ∂u
n2
+
+
1
−
u=0
∂x2
∂x
x2
=⇒ Gleiches Problem wie “Schwingende Membran” (→ siehe eine der ersten Aufgaben)
Lösung: Besselfunktionen Jn (x).
J0 : ein Bauch, 2. Nullst.
Bild 4.68
4.4.5. Endliche Potentiale
V0
−a
II
x=0
I
a
II
Endlicher Potentialtopf
0
|x| ≤ a
V (x) =
V0 sonst
Klassisch: E < V0 Teilchen gefangen, E ≥ V0 Teilchen kann entweichen.
Betrachte den Fall E < V0
Die Schrödinger Gleichung ist
Bild 4.69
~2 ∂ 2
Φ(x) = EΦ(x)
2m ∂x2
~2 ∂ 2
Φ(x) + V0 = EΦ(x)
−
2m ∂x2
−
|x| ≤ a
I
|x| > a
II
Problem symmetrisch bezüglich x = 0 =⇒ |Φ(x)|2 wahrscheinlich auch symmetrisch.
Gebiet I: harmonische Funktion
ΦI (x) =
AI cos(kI x)
AI sin(kI x)
Dies ergibt
~2 kI2
=E
2m
44
4.4 Anwendung auf spezielle Fälle
und somit
r
kI =
Gebiet II:
+
2mE
~2
~2 ∂ 2
Φ(x) = (V0 − E) Φ(x)
| {z }
2m ∂x2
>0
Hat die Lösung
ΦII (x) = AII e±kII x
Einsetzen
~2 2
k = (V0 − E)
2m II
und somit
r
kII =
2m(V0 − E)
~2
R∞
Aus Normierungsbedingung −∞ Φ(x)2 dx = 1 folgt Φ(x) → 0 für x → ∞
=⇒ Exponentieller Abfall. Also
AII e−kII x x > a
ΦII (x) =
AII ekII x
x < −a
Unbekannt sind also noch E, AI und AII aus drei Gleichungen
Z ∞
Φ(x)2 dx = 1
(1)
−∞
ΦI (±a) = ΦII (±a)
dΦI dΦII =
dx dx ±a
(2)
(3)
±a
Problem: Es gibt keine analytische Lösung für E.
Zum Beispiel für cos-Lösung:
AI cos(kI a) = AII e−kII a
−kII a
−AI kI sin(kI a) = −AII kII e
(2)
(3)
Division der beiden Gleichungen ergibt
E
kI tan(kI a) = kII
Aufenthaltw.
cos-Lsg.
das heisst
E1
r
2mE
tan(kI a) =
~2
r
2m(V0 − E)
~2
exponentieller Abfall
E
Ist also Gleichung für E, ist aber nicht lösbar
E2
Bild 4.70 Grundzustand
45
Die Schrödinger Gleichung
=⇒ Es gibt einen Grundzustand.
Wichtig: Aufenthaltswahrscheinlichkeit |Φ(x)|2 > 0 für |x| > a.
Beispiel (Radioaktiver) Zerfall von Atomkernen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte |Φ(x)|2 am Rand (|x| = a) ist proportional zu
!
r
8m(V0 − E)
−i2kII a
·a .
e
= exp
~2
Potentialbarrieren/Tunnel-Effekt
E
Φ(x)
b
V0
V0
0
|x| ≤ a oder |x| ≥ a + b
V0 sonst
Die Wahrscheinlichkeitsdichte bei x = a ist Φ∗ (A)Φ(a) ∝ e−2kII a . Bei x = a + b ist
sie ∝ e−2kII (a+b) .
Wir betrachten ein Potential der Form V (x) =
E1
−a
III
a
II
I
II
III
Die Wahrscheinlichkeit für “Durchtunneln”
Bild 4.71
Wa→a+b =
#gelungene Versuche
A · e−2kII (a+b)
= e−2kII b
≈
#aller Versuche
A · e−2kII a
Somit
r
Wa→a+b = exp −
abstoss. Coul.pot.
q
b
8m·(V0 −E)
~2
8m · (V0 − E)
·b
~2
!
· b =: G heisst Gramov Faktor.
V0 (x)
Falls V0 (x) 6= const, dann
V (x)
Z
x2
G=
x1
x1
r
8m · (V0 − E)
dx.
~2
Und so wieder W = e−G . Modell für Kernzerfall.
anz. Kernpot.
Bild 4.72
Metall 2
z
V2
~
E
e−
e−
V1
Metall 1
Ein Anwendungsbeispiel des Tunneleffekts ist das “STM” (scanning-tunneling-microscope).
Prinzip: Man hat zwei Metalle (Metall1 und Metall2), und man will Metall1 abbilden.
Ohne Spannungsdifferenz: V2 − V1 = 0, positive Spannung V2 > V1 . → Tunnelstrom
proportional zu W = e−G(b) , hängt stark von b ab.
=⇒ Variante 1: I(x, y) messen → hängt von b ab.
=⇒ Variante 2: I konstant halten durch Regelung von b (hierzu verwendet man PiezoElektrische Materialien).
Spitze
Bild 4.73 STM
V1 − V2 = 0
V2 > V1
eV1
e−
Austr.arb.
eV2
V1
&&
e−
Bild 4.74
Tunnel
46
5 Das Wasserstoffatom
Repetition und Ergänzung zu Quantenmechanischen Operatoren
Bei der Zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung hatten wir
HΦ(~r) = EΦ(~r), Φ ist Eigenfunktion, E ist Eigenwert von H.
Wenn Φ(~r) eine Eigenfunktion von H ist (“=Lösung”), dann ist E beliebig genau bestimmbar, wegen ∆E · ∆t ≥ 12 ~ heisst dies, dass ∆E = 0 =⇒ Lebensdauer ∆t unendlich.
Seien Ω1 und Ω2 zwei Operatoren. Eigenwrete und Eigenfunktionen wie bei der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung.
Ist Φ(x) gleichzeitig eine Eigenfunktion von Ω1 und Ω2 , dann gilt
Ω1 Ω2 Φ(x) = Ω2 Ω1 Φ(x)
Konkret: Ωi Φi (x) = ai Φi (x) =⇒ Ω1 Ω2 Φ = Ω2 Ω1 Φ = a1 a2 Φ.
(Ω1 Ω2 = Ω2 Ω1 ) ⇐⇒ (alle Eigenwerte von Ω1 und Ω2 sind gleichzeitig beliebig genau
messbar.)
=⇒ Eigenwerte/Eigenfunktionen haben unendliche Lebensdauer
=⇒ Physikalische Grösse ist erhalten.
1×s
3×p
Strategie:
löse Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung für V (~r) =
2
−1 |e|
4πε0 r
(Coulomb Potential)
• Kugelsymmetrisches Problem: in Kugelkoordinaten.
• Ersetze me durch µ :=
me ·mp
me +mp
Was wir jetzt schon wissen
• bestimmte, diskrete Energiewerte (Eigenwerte von H) En .
→ z-Komponente des Drehimpulses wird quantisiert sein (m~).
• Es gibt einen Grunzustand, mit endlicher Nullpunktsenergie.
• da d = 3 =⇒ drei Quantenzahlen.
(4 + 1) × d
Kugelkoordinaten
Bild 5.75 Wasserstofforbitale
0≤r<∞
x = r sin ϑ cos ϕ
0 ≤ ϕ < 2π
y = r sin ϑ sin ϕ
0≤ϑ≤π
z = r cos ϑ
47
Das Wasserstoffatom
~2 1 ∂
∂
∂2Φ ∂Φ
1
1
2 ∂Φ
−
r
sin
ϑ
+
+ V (r)Φ = EΦ
+
2µ r2 ∂r
∂r
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r2 ∈2 ϑ ∂ϕ2
|
{z
} |
{z
}
∆r
∆ϑϕ
1. Separationsansatz
Φ(r, ϑ, ϕ) = R(r) · f (ϑ) · g(ϕ)
Dies eingesetzt ergibt:
"
~2 1 ∂
2 ∂R
−
r
· f (ϑ)g(ϕ)
2µ r2 ∂r
∂r
∂
1
∂f
+ 2
sin ϑ
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
#
2
1
∂ g
+ 2 2
R(r)f (ϑ)
r sin ϑ ∂ϕ2
+ (V (r) − E)R(r)f (ϑ)g(ϕ) = 0
Dies führt zu
1
∂
∂2g
1 ∂
∂R
2µr2
∂f
1
r2
+ 2 (E−V (r)) = −
sin ϑ
−
2
R(r) ∂r
∂r
~
f (ϑ sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
g(ϕ) sin ϑ ∂ϕ2
Das die linke Seite nur von ϑ und die recht nur von ϕ, muss es konstannt sein.
Die Konstante sei l(l + 1).
2. Diskussion der Winkelanteile
−
sin θ ∂
∂f
1 ∂2g
= l(l + 1) sin2 ϑ +
(sin ϑ ) = konstant =: m2
2
g(ϕ) ∂ϕ
f (ϑ) ∂ϑ
∂ϑ
Die Linke Seite hängt nur von ϕ, die rechte nur von ϑ ab, somit muss es konstant
sein.
ϕ-Anteil
∂2g
= −m2 g(ϕ)
∂ϕ2
Lösung
g(ϕ) = eimϕ
Randbedingung: g(α) = g(α + 2π) =⇒ e2πim = 1, m ∈ Z.
ϑ-Anteil hat Lösung
f (ϑ) = flm (ϑ) =
48
l
(sin θ)|m|
dl+|m|
·
cos2 ϑ − 1
2l · l!
d(cos ϑ)l+|m|
mit l ∈
nome.
N0 , und m ∈ Z mit |m| ≤ l. Die flm heissen assoziierte Legendre Poly-
Kugelflächenfunktionen:
Ylm (ϑ, ϕ) = Clm · flm (ϑ)e+imϕ
wobei Clm so, dass
2π
Z
Z
0
π
∗
Ylm
Ylm sin ϑdϑdϕ = 1
0
So erhält man
s
Clm =
(l − |m|)!(2l + 1)
(l + |m|)!4π
ist m = 0 =⇒ hängt nicht von ϕ ab =⇒ “zonale Kugelfunktionen”.
3. Quantenzahlen m und l: der Drehimpuls
~
Berechnung
  von L nur aus Ylm (ϑ, ϕ) ist möglich.
Lx
~L = Ly .
Lz
Die Frage ist nun, können alle drei Komponenten von ~L gleichzeitig bestimmt
werden.
Das ist der Fall, wenn die Operatoren kommutieren, z.B. also Lz Lx = Lx Lz , dann
können hLx i und hLz i beliebig genau bestimmt werden.
~L = ~r × ~p =⇒ Lx =
Lz Lx − Lx Lz = −~
~
i
2
∂
∂
∂
∂
y ∂x
− z ∂x
, Lz = ~i x ∂y
− y ∂x
∂
∂
x ∂z
− z ∂x
= i~Ly 6= 0 (gilt auch bei zyklischer Ver-
tauschung)
Folgerung: nur eine einzige Komponente von ~L z.B. Lz ist scharf bestimmbar, sobald hLz i bekannt =⇒ Lx und Ly nicht mehr scharf bestimmbar.
z
er
eϕ
Der Operator ~L2 = L2x + L2y + L2z kommutiert mit Lz , das heisst ~L2 Lz = Lz ~L2
Weiter gilt Lz H = HLz und ~L2 H = H~L2
θ
r
y
eθ
ϕ
H, Lz und ~L2 haben gemeinsame Eigenfunktionen =⇒ Erwartungswerte gleichzeitig beliebig genau messbar.
x
Wie gross sind nun h~L2 i und hLz i?
~ ~ ~ ∂
|Lz | = ~r × ∇ =
i
i ∂ϕ
z
Bild 5.76
θ
sin θ
eθ
ϕ Abhängigkeit: eimϕ , somit
Lz Φ(r, ϑ, ϕ) = m · ~ · Φ(r, ϑ, ϕ)
Bild 5.77
49
Das Wasserstoffatom
Eigenfunktion von Lz , Eigenwert m~. Ist auch Eigenwert von H (weil Lösung von
Schrödinger Gleichung).
Somit
Z
Z
∗
3
hLz i = Φ Lz Φd r = m~ Φ∗ Φd3 r = m~,
mit |m| = 0, 1, . . . , l. Die z-Komponente von ~L ist quantisiert.
Was ist h~L2 i.
Aus Ansatz haben wir
1
l(l + 1) = −
f (ϑ) sin ϑ
p
~
∂f
sin ϑ
∂ϑ
−
∂2g
1
g(ϕ) sin2 ϑ ∂ϕ2
Wir benutzen nun
~2 Ylm = ~2 f (ϑ)g(ϕ)
p
~θ,ϕ
multipliziert man nun die beiden Gleichungen, so erhält man
∂Ylm
1 ∂ 2 Ylm
1 ∂
2
2
sin ϑ
+
~ l(l + 1)Ylm = −~
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
span(eθ , eϕ )
~ = ~r × p~, |~r × p~| = rpϑϕ wobei pϑϕ die ⊥ Komponente zu ~r ist. Somit ist
L
|~L2 | = r2 p2ϑϕ = −~2 r2 ∆ϑϕ
Bild 5.78
weiter ist
∆ϑϕ =
Somit ist
Radius=
p
m=
l(l + 1)~
z
1
0
~2 l(l + 1)Ylm = ~L2 Ylm
dies kann man beidseitig mit R(r) multiplizieren und erhält so, dass
Φ(r, ϑ, ϕ) = R(r)Ylm = ~2 l(l + 1)
3
2
1 ∂
∂Ylm
1 ∂ 2 Ylm
1
sin
ϑ
+
r2 sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
Lz
~
L
Daher
~
h~L2 i =
y
Z
Φ∗~L2 Φd3 r = ~2 l(l + 1).
−1 x
hLz i2 = m2 ~2 ist maximal, wenn |m| = l, aber h~L2 i hat Maximum ~2 l(l + 1).
Das heisst, hLz i nimmt nicht (wie gewohnt) das Maximum an.
−2
−3
4. Der Radialanteil R(r)
Wir hatten
1 ∂
2µr2
1 |e|
2 ∂R
r
+ 2
= l(l + 1)
E+
R(r) ∂r
∂r
~
4πε0 r
Bild 5.79
mit l ∈ N0 .
2
2
h ε0
4π~ ε0
Wir schreiben r in Einheiten von a0 = πµe
2 =
µe2 (Bohrradius), also R(x)
mit x = r/a0 . =⇒ Differentialgleichung wird dimensionslos.
E
1 ∂
2 ∂R
2
x
+
· x + 2x = l(l + 1)
R(x) ∂x
∂x
Ry
50
Die Lösungen sind
x
−n
Rnl (x) = Nnl · e
Lα,0 = ex
Lα,β =
2x
n
l
Ln+l,2l+1
2x
n
dα α −x
(x e )
dxα
dβ
Lα,0 (x)
dxβ
E3
E2
E1
Durch Einsetzen in die Differentialgleicung erhält man En,l = En (das heisst,
hängt nicht von l ab). Ausgerechnet
En = −
En
.
.
.
wobei n eine weitere Quantenzahl, und Nnl Normierung.
Die Lα,β heissen Laguerre-Polynome.
Bild 5.80
Ry
n2
Also genau wie beim Bohr’schen Atommodell.
ρ1,0
5. Diskussion der Lösungen
ρ3,0
3s
1s
r
a0
(a) n ∈ N
1
5
15
ρ2,0
(b) l < n
1 5
2s
r
a0
1 5
3s
15
ρ2,1
5
5
Ψ∗nlm (r, ϑ, ϕ)Ψn0 l0 m0 (r, ϑ, ϕ)d3 r = δnn0 δll0 δmm0
das heisst Ψnlm sind orthogonal.
Ψnlm sind komplexwertig, aber es gilt Ψnlm = Ψ∗nl−m
Relle Funktionen:
• |Ψnlm |2
51
15
3d
r
a0
RRR ∗
1 =
Φ (r, ϑ, ϕ)Φ(r, ϑ, ϕ)r2 sin ϑdrdϑdϕ Wahrscheinlichkeit ein Elektron
zwischen [r, r + dr] zu haben =⇒ R(r)2 r2 sin ϑdr Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Abstand r.
Pn−1
Pn−1
Die En sind “entartet”. Zu jedem n gehören l=0 (2l − 1) = n + 2 l=0 l = n2
Eigenfunktionen. Ψnlm := Clm Rnl (r)Ylm (ϑ, ϕ) Eigenfunktionen von H, ~L2 und Lz .
Eigenwerte E1 , l(l + 1)~2 und m~.
Es gilt:
ZZZ
r
a0
ρ3,2
2p
L00 = 1, L10 = 1 − x, L20 = 2 − 4x + x2 , L11 = −1, L21 = −4 + 2x, L22 = 2
15
ρ3,1
(c) |m| ≤ l
n nennt man Hauptquantenzahl → Energie
n, l undm zusammen bestimmen die “räumliche Verteilung”
l bestimmt h~L2 i = ~2 l(l + 1)
m bestimmt hLz i = m~
r
a0
15
r
a0
5
15
Bild 5.81
Tabelle reeller Orbitale
Ψ100
1s
Ψ200
2s
Ψ210
2pz
1
√
(Ψ211 + Ψ21−1 )
2px
2
√1 (Ψ211 − Ψ21−1 )
2p
x
2i
Ψ300
3s
Ψ310
3pz
1
√
(Ψ311 + Ψ31−1 )
3px
2
√1 (Ψ311 − Ψ31−1 )
3py
2i
Ψ320 )
3d2z
√1 (Ψ321 + Ψ32−1 )
3dzx
2i
1
√
(Ψ
−
Ψ
)
3d
321
32−1
zy
2
√1 (Ψ322 + Ψ32−2 )
3dx2 −y2
2i
1
√
(Ψ322 − Ψ32−2 )
3dxy
2
Das Wasserstoffatom
52
(Ψnlm + Ψ∗nlm )
• ReΨnlm =
√1
2
• ImΨnlm =
√1
2i
(Ψnlm − Ψ∗nlm )
6 Drehimpuls, Spin und magnetische Momente
6.1. Magnetsiches Moment des Bahnimpulses
~
B
Bahndrehimpuls ~L (“Bewegung um ein Zentrum”).
Eigendrehimpuls (Spin) ~S (“Eigenrotation”).
I
Fe
Definition “magnetisches Moment”.
~ eff = B
~ + µ0 M
~ , wobei B
~ eff die Messgrösse, B
~ das von aussen
Früher: “Magnetfeld” B
~
angelegte Magnetfeld, und µ0 M die Magnetisierung ist.
Von jetzt an
~
µ0 M
~ eff = B
~ + µ0 M
~
B
Bild 6.82
~ = “B
~ eff Magnetische Flussdichte/Induktion,
• B
~
B
~ = “B 00 Magnetfeld,
• H
~
B
I
Fe
=
l
~
M
~ = M Magnetisierung.
• M
~
H
A
~ = µ(H
~ +M
~)
B
Bild 6.83
Vs
Vs
Die Einheiten sind [B] = 1T, [H] = 1A/m = [M ], µ0 = 4π · 107 Am
, 1T = 1 m
2.
Im Vakuum
~ = µ0 H
~
B
Magnetisches Moment
~ ·V
µ
~ =M
wobei V Volumen. [µ] = 1Am2 . Gilt unabhängig davon, wie M zustande kommt
(durch H induzierte Magnetisierung, Permanente Magnetisierung, durch Ströme verursacht).
~
n
v
I
q, m
~
H
Gegeben Strom I. Gesucht H.
q, m
µ0 H =
I
IN
µ0 I
N =⇒ H = N =⇒ µ =
Al = I · A · N.
l
l
l
Bild 6.84
Eine Stromschlaufe mit der Fläche A hat ein magnetisches Moment von µ = AI. I 6= 0
in Stromschlaufe =⇒ Drehimpuls der Ladungsträger.
Klassischer Zusammenhang zwischen Bahndrehimpuls von Ladungsträgern und magnetischem Moment.
53
v
Drehimpuls, Spin und magnetische Momente
~
(Vermutung: µ
~ = γ L)
L = mvR = mωR2
Ladungsmenge
q
qω
I=
=
=
Sekunden
T
2π
qωR2
2
µ = IA = IπR =
2
ω
somit
v =ω·R
µ=
q, m
q
L
2m
~ gilt allgemein. γ heisst das “gyromagnetische Verhältnis”.
µ
~ = γL
Bild 6.85
~
B
Quantenphysik: Oft ist hLz i quantisiert.
µ
~
hLz i = m~
α
q
auch ist h~L2 i =
Man findet
Bild 6.86
p
l(l + 1)~ quantisiert.
|µ| =
|e| p
|e|~ p
l(l + 1)~ =
l(l + 1)
2me
2me
Das Bohrsches Magneton (µ-Bohr) ist
µB =
|e|~
= 9.27 · 10−24 Am2
2me
Quantisierung von Lz . hLz i = m~
hµz i = −µB m
µ
~
Wie L2 und Lz ist auch µ
~ und µz Quantisiert.
d
6.2. Magnetische Momente im Magnetfeld: Larmor-Präzession
d
von Seite:
(wichtig für NMR (→ MRI), EPR, ESR)
~
H
FBS
d
2
L sin α
~
L
µ
~
α
klassisch: Quadratischer (Seitenlänge d) stromdurchflossener (Strom I) Leiter.
FBS
d
2
Biot-Savart:
Man betrachtet diese Schleife nun in einem Magnetfeld, mit Winkel α zu µ
~.
Die Biot-Savart Kraft (für gerade Leiter) ist
F
F
µAI = d2 I
F
FBS = I · d · µ0 · H
F
~ = ~r × F~
=⇒ Drehmoment M
Bild 6.87
Mtot = 2 ·
54
d
· FBS sin α = I · d2 µ0 · H sin α
2
6.3 Zeeman Effekt (Aufspaltung von entarteten E-Niveaus im Magnetfeld
Vektoriell
~ =µ
~ =µ
~
M
~ × µ0 H
~ ×B
(im Vakuum).
~ wird angestrebt.
Das heisst µ
~ kB
ω
Drallsatz
und
~
dL
~
=M
dt
dϕ
~
µ
~ = γL
α
L sin α
~ =M
~ dt
dL
Bild 6.88
dL
dϕ =
L sin α
Die Präzessionsfrequenz ω ist:
ω=
dϕ
dL
µB sin α
=
=
=γ·B
dt
L sin αdt
L sin α
~
ω
~ L = −γ B
heisst Larmor-Präzessionsfrequenz.
Beispiel: Für Elektronen im Wasserstoffatom gilt γ =
−|e|
2m
|e|
und somit ωL = + 2m
B
6.3. Zeeman Effekt (Aufspaltung von entarteten E-Niveaus im
Magnetfeld
µ
~ der Elektronen im Atom im Magnetfeld.
Wie gross ist Epot eines magnetischen Momentes im Magnetfeld?
Arbeit α → α + dα.
µB B
m=
dW = F⊥ r · dα = M dα = µB sin αdα
Totale Arbeit α1 → α2
Z
W =
−2 −1 0
1
−1 0
1
2
d-Orb.
l=2
α2
µB sin αdα = −(µB cos α2 − µB cos α1 )
m=
α1
~
µB cos α = µ
~ ·B
p-Orb.
l=1
Das heisst: hineingesteckte Arbeit = Gewinn an Potentieller Energie. somit
~
Epot = −~
µ·B
s-Orb.
l=0
~ kleinste Epot
µ
~ kB
~ grösste Epot
µ
~ 6 kB
~
Wasserstoffatom: hµz i = −mµB , weil hLz i = m~, µ
~ = γ L.
Etot = En + mµB B
Bild 6.89
m = −l, . . . , l
nur beobachtbar für Ψnlm mit l ≥ 1.
=⇒ Aufspaltung von vorher entarteten Spektrallinien.
55
B 6= 0
B=0
nicht entartet
entartet
Drehimpuls, Spin und magnetische Momente
6.4. Eigendrehimpuls des Elektrons: “Spin”
Annahme (klassisch)
Modell: homogen geladene Kugel, mit Drehimpuls S.
S = Θ · ω,
wobei Θ Trägheitsmoment der Kugel, also Θ = 25 me R2 also
S=
ω
me
Die Ladungsdichte ist ρ ist
r sin θ
ρ=
rdθ
dr
Schlauch
dθ
2
me R 2 · ω
5
|e|
.
4
2
3 πR
Schlauch mit Querschnitt rdrdϑ und Volumen 2πr2 sin ϑdrdϑ. Dia Ladung des Schlauches 2πρr2 sin ϑdrdϑ. Der Strom I im Schlauch ist also
R
I=
2πρr2 sin ϑωdrdϑ
2π
Für Schlauch
Bild 6.90
dµ = dI · πr2 sin2 ϑ = πωρr4 sin3 ϑdrdϑ
Gesamtes magnetisches Moment
Z
π
Z
µ=
0
R
r4 sin3 ϑdrdϑ · πωρ =
0
4π 3 R2
R ρ· ω
|3 {z } 5
|e|
Somit
µ=−
Lochblende
Aggas
Agliq
Bild 6.91
Klassische Erwartung
|e|
S.
2me
~ abgeWie messen? Messung von µ für Elektronen. Freie e− durch Lorentzk-Kraft in B
lenkt → ungünstig.
Ausweg: elektrisch neutrale Teilechen, die ein µ aufweisen, das von einem e− herkommt
(nicht vom Bahndrehimpuls L, sondern von S). Also l = 0 =⇒ s-Schale (1s,2s,3s,4s,. . . ).
Wasserstoff H ist ungünstig, da H2 .
Man nimmt Ag Atome: 1e− in der 5s Schale. Die Spins der Elektronen in den tieferen
Schalen heben sich gegenseitig auf.
Silberstrahl durch inhomogenes Magnetfeld B = (0, 0, B(z))> .
~
Epot = V = −~
µ0 · B
Messergebnis
~
V (z) =⇒ F~ = −∇V
S
also
∂B
∂z
Fz = −
N
Atomstrahl
Bild 6.92
56
∂V
∂Bz
= −µz
∂z
∂z
6.5 Korrektur zum Atommodell
=⇒ Aufspaltung in 2s + 1 Teilstrahlen.
s Spinquantenzahl (Analog zu l) = maximalwert
Die Teilstrahlen sind “Spin-poralisiert”.
Sz
~ .
(Stern-Gerlach Versuch)
Resultat aus Experiment: Zwei Teilstrahlen =⇒ (2s + 1) = 2 =⇒ s = 1/2.
hSz i = ±~/2.
−
e haben einen Eigendrehimpuls von |Sz | = 21 ~.
Von früher: µe = µB L~ , |γ| =
µB
~
=⇒ hµe− i = −2µB hS~z i = ±µB .
~
~
L
S
= g · µB ·
~
~
~
~ (für Elektronen).
wobei g = 1 für Bahndrehimpuls L und g = 2 für Spin S
µ
~ = g · µB ·
Protonen: g = 5.51, Neutronen: g = −3.8.
g heisst Landé-Faktor
6.5. Korrektur zum Atommodell
6.5.1. Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung) / Relativistische Effekte
Qualitativ (halbklassisch)
~ und µ
Berechne B
~ m (Bahndrehimpuls).
p
µB l(l + 1),
gµB
p
s(s + 1)
Am Ort des e− gilt
~ r)
∆E = −~
µ · B(~
Magnetfeld für magnetisches Moment µ
~.
µ (~
µ · ~r)~r
~ r) = µ0 −~
B(~
+
4π r3
r5
(letze Formel ist allgemeingültig.)
Annahme e− -Bahn am Äquator.
µ0 µB
4π r3
Energiedifferenz zwischen den nach “oben” und nach “untenz” zeigenden Magnetischen
Momenten µS ist
µ0 µ2B
|∆E| = 2µs B =
2π a30
|B(r)| =
Einsetzen a0 =
4π~2 ε0
me l2
somit erhält man
2 4
e2
e me
|∆E| =
4πε0 ~c
32~2 ε20 π
| {z }
| {z }
α
1Ry
57
Drehimpuls, Spin und magnetische Momente
α Feinstrukturkonstante α ≈
1
137 .
Korrektes Rsultat inkl. relativist.
|∆E| =
1Ry
α2 3
n
3
1
−
4n m + 1/2
Wirkt nur auf Zustände, wo m 6= 0.
6.6. Auswahlregeln für Emission/Absorption von Photonen
(bei Atomspektren)
Photonen haben Drehimpuls ~.
Hauptkriterium: Drehimpulsordnung.
58
7 Fermionen und Bosonen: das Pauli-Prinzip
7.1. Unterscheidbarkeit von Teilchen
Statistische Definition der Entropie (Boltzmann, 1872)
S = kB · ln(w).
Man unterscheidet
• extensive Variablen: thermodynamische Variablen, die proportional zur Systemgrösse sind. Beispielsweise N , V , U , S.
• intensive Variablen: thermodynamische Variablen, die unabhängig von der Systemgrösse sind. Beispielsweise T , p.
Entropie: Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Teilchenkonfiguration
w=
# günstige Fälle
#mögliche Fälle
Betrachet man ein Feld mit n = 16 Feldern, und p = 3 Kugeln.
Dann gilt
1
(n − p)!
w=
=
n · (n − 1) . . . (n − p + 1)
n!
Somit ist
S1
= ln ((n − p)!) − ln(n!)
kB
System wird um Faktor f vergrössert: n 7→ n · f , p 7→ p · f . Die Frage ist nun, ob das
Verhältnis zwishcen S1 und S2 auch f ist.
Für grosse x gilt
ln(x!) ≈ x · ln x
Somit ist
S1
≈ (n − p) · ln(n − p) − n · ln(n)
kB
S2
≈ (f · n − f · p) ln(n − p) + (n − p) · f · ln(f ) − n · f · ln(n) − n · f · ln(f )
kB
=⇒ S 6= f · S1 .
59
Fermionen und Bosonen: das Pauli-Prinzip
Um dies zu beheben definiert man die Wahrscheinlichkeit neu
w=
(n − p)!
· p!
n!
Das heisst, die Anzhal möglicher Zustände wird um p! reduziert.
=⇒ Teilchen sind prinzipiell ununterscheidbar.
Somit ist neu
S1
≈ (n − p) · ln(n − p) − n · ln(n) + p ln(p)
kB
S2
≈ (f n − f p) ln(n − p) + (n − p)f ln(f ) − nf ln(n) − nf ln(f ) + f p ln(p) + f p ln(f )
kB
=⇒ S = f · S1 .
Mikroskopische Skala/Quantenphysik: Teilchen können nicht “markiert” werden weil
die “Freiheitsgrade” fehlen. Mikroskopische Teilchen (z.B. p, n, e− , andere Elementarteilche, sowie Atome (falls isotoprein, da Isotopgemische sich thermodynamisch anders
verhalten, als isotopreine Elemente)) unterscheiden sich durch
• Ladung
• Masse
• Drehimpuls
• Magnetisches Moment
Anwendung auf die Quantenphysik
Wellenfunktion von “Mehrteilchensystemen” (zum Beispiel Wellenfunktion für zwei e−
im He-Atom).
Damit ein identischer Zustand bei ~r1 ↔ ~r2 hergestellt wird, muss also gelten
2
2
|Ψ(~r1 , ~r2 )| = |Ψ(~r2 , ~r1 )| .
7.2. Mehrteilchen-Wellenfunktionen
Zwei Teilchen
Ψ(~r1 , ~r2 ) = ±Ψ(~r2 , ~r1 )
Die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung lautet dann
−
~2
(∆r1 + ∆r2 ) Ψ(~r1 , ~r2 ) + V (~r1 , ~r2 )Ψ(~r1 , ~r2 ) = EΨ(~r1 , ~r2 )
2m
Annahme: Wechselwirkungsfreie Teilchen (das heisst, die zwei Teilchen beeinflussen
sich gegenseitig nicht)
Ansatz:
Ψ(~r1 , ~r2 ) = Ψa (~r1 )Ψb (~r2 )
60
7.3 Das Pauli-Ausschluss-Prinzip
wobei Ψa und Ψb einzeln die Schrödinger Gleichungen erfüllen.
konkret:
~2
∆r Ψa + V Ψ = Ea Ψa
2m 1
~2
∆r Ψb + V Ψ = Eb Ψb
−
2m 2
−
Einsetzen
−
~2
((∆r1 Ψa )Ψb + (∆r2 Ψb )Ψa ) + V (~r1 )Ψa Ψb + V (~r2 )Ψa Ψb = EΨa Ψb
2m
Somit
−
~2
2m
∆r1 Ψa
∆r2 Ψb
+
Ψa
Ψb
+ V (~r1 ) + V (~r2 ) = E
Problem
Ψ100 (~r1 )Ψ219 (~r2 ) 6= ±Ψ100 (~r2 )Ψ210 (~r1 )
Abhilfe: Jede Linearkombination von Wellenfunktionen, welche die Schrödingergleichung
mit derselben Eerngie E erfüllen, ist auch wieder eine Lösung der Schrödingergleichung
mit der gleichen Energie
−
~2
(∆[αΨ1 + βΨ2 ]) + V [αΨ1 + βΨ2 ] = αEΨ1 + βEΨ2 = E(αΨ1 + βΨ2 )
2m
Also Modifikation des Produktansatzes
Ψa (~r1 )P sib (~r2 )
(A)
hat die selbe Energie E = E1 + E2 wie
Ψa (~r2 Ψb (~r1 )
(B)
=⇒ Jede Linearkombination von (A) und (B) ist Lösung
Also hat man Lösungen
1
2
1
ΨS (~r1 , ~r2 ) =
2
ΨS (~r1 , ~r2 ) =
·
·
√
√
2 · (Ψa (~r1 )Ψb (~r2 ) + Ψa (~r2 )Ψb (~r1 ))
2 · (Ψa (~r1 )Ψb (~r2 ) − Ψa (~r2 )Ψb (~r1 ))
7.3. Das Pauli-Ausschluss-Prinzip
Version 1
Wellenfunktionen von Fermionen (Teilchen mit “halbzahligem Spin”, halbzahlig
heisst, dass Sz,max = (n + 12 )~) ändern bei der Vertauschung von zwei Teilchen
das Vorzeichen.
Für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) kein Vorzeichenwechsel.
61
Fermionen: Elektronen, Protonen,
Neutronen, 3 He.
Bosonen: Photone, 4 He
Fermionen und Bosonen: das Pauli-Prinzip
7.3.1. Fermionen mit gleichen Ortswellenfunktionen
Unterscheiden zwei Fälle.
1. Alle Quantenzahlen sind gleich (beispielsweise H-Atom: n, l, m, Sz )
=⇒ Ψa ≡ Ψb =⇒ Ψ(~r1 , ~r2 ) ≡ 0 für alle ~r1 und ~r2 =⇒ unmöglich.
Version 2
Zwei Fermionen können keine Zustände einnehmen, die in allen Quantenzahlen
identisch sind.
Beispielsweise e− .
Erstes Elektron Ψ100 , Sz = + 12 ~, zweites Elektron Ψ100 und Sz = − 12 ~.
Version 3
Eine Ortswellenfunktion kann von höchstens zwei Elektronen gleichzeitig besetzt
werden.
2. Zwei Unterschiedliche Wellenfunktionen. (Zum Beispiel n, m und Sz gleich, aber
l verschieden).
Man unterscheidet nach dem Gesamtspin (Gesamt-Eigendrehimpuls). Gibt zwei
Möglichkeiten
• Auslöschung S = 0 und Sz = 0. Spin-Singlet-Zustand,
• S = 1, Sz ∈ {−1, 0, 1}. Spin-Triplet-Zustände.
62
8 Das Periodensystem
8.1. Freie Atome
Nullte Näherung: H-Orbitale =⇒ werden nach und nach aufgefüllt.
Reihenfolge der Besetzung mit zunehmender “Ordnungszahl” z (=Kernladung) 1s –2s
–2p –3s –3p –4s – . . . .
Korrekturen
1. Kernladung z · |e|,
2. e− spüren sich gegenseitig, das heisst Potential V wird komplizierter,
3. alle anderen Korrekturen (LS, Hyperfein, etc).
Aufgrund dieser Korrekturen ist die Besetzungsreihenfolge geändert.
Illustration zu 1.: He-Atom mit z = 2. Ionisierungsenergie für beide e− .
• ohne Abschrimumg
Eion = 2 · z 2 · 1Ry = 109eV
• mit Abschrimung
Eion = 1Ry + z 2 1Ry = 68eV
• Gemessen
Eion = 79eV.
8.2. Moleküle: kovalente Bindung
Gewisse Elektronen teilen sich Orbitale, die über mehrere Atomrümpfe verteilt sind.
Rechnungen an realen Atomen: Näherungsverfahren (→ Quantenchemie).
E
V0
Einfaches Modell: “Kastenmolekül”
Eindimensionales Potential
Grundzust.
x
• ungeladene Teilchen
II
Kastenpotential als “Ersatz” für anziehendes Coulomb-Potential.
Das heisst

x < −a
 AII ekII x
AI cos(kI x) −a ≤ x ≤ a
Φ(x) =

AII e−kII x
x>a
wobei
r
kI =
E1
2m · E
,
~2
r
kII =
I
Bild 8.93 Kastenmolek ül
2m · (V0 − E)
.
~2
63
II
Das Periodensystem
ΦS (x), ES
E
E1
ΦA (x), EA
2a
2d
2a
e−x ex
bonding O.
E1
antibonding O.
sinh bzw. cosh
ES < EA
E
EA , ΦA
E1
ES , ΦS
=⇒ −Φ(x) ist auch eine Lösung der Schrödinger Gleichung mit gleicher Energie. |Φ(x)|2
ist identisch für beide.
Annäherung von zwei Modellatomen.
Volle e− -Schalen: Bahndrehimpuls 0, Spin 0, magnetisches Moment der Elektronen 0.
Nullstellenregel
Die Energie-Eigenwerte von Ortsorbitalen steigen meist mit der Anahl von Zonen, wo
|Φ|2 = 0 (“Nullstellen”). (In einer Dimension: Punkte – in drei Dimensionen: Punkte,
Linien, Flächen).
Zustand tiefster Energie: d → 0. =⇒ Topfmoleküle ziehen sich an, symmetrische Lösung
wird realisiert.
Aufenthaltswahrscheinlichkeit zwischen den Töpfen ist 6= 0 für ΦS (für ΦA ist |ΦA |2 =
0 für x = 0).
=⇒ Gemeinsame Wellenfunktion über beide Töpfe ΦS . ΦA Tendenz, Töpfe zu trennen
(“abstossendes Potential”).
d
Anwendung:
H+
2 -Ion (ein Elektron): Elektron besetzt ΦS .
H2 -Molekül (zwei Elektronen): das zweite Elektron wird ΦS besetzen (Pauili Prinzip).
H−
2 -Ion (drei Elektronen): müsste ΦA ersetzen.
Bild 8.94
H+
2
ES < EA
E
ΦS
P
P
ΦA
H3 -Molekül. Drei Protonen, drei Elektronen. H3 Molekül instabil, aber H+
3 (mit zwei
Elektronen) ist stabil wegen bindendem Orbital.
|ΦS |2
E
8.3. Elektronen in Metallen
Prot.abstossung
EA
ES
d0 ≈ 2.5a0
Gleichgew.abst.
d
Bild 8.95
H3 ?
(1)
⊗
(2)
E1 < E2,3
⊗
⊗ (3) [(1 − 3)]
E2
E3
Annahmen: Äussere e− sind schwach gebunden, Hypothese: ganz freie e− .
=⇒ Vernachlässigen Atomkerne,
=⇒ “freies Elektronengas”
=⇒ Randbedingung: Φ(~r) = 0 an den Rändern
Lösung für ein Elektron
2πnx x
2πny y
2πnz z
Φ(x, y, z) = A · exp i
· exp i
· exp i
L
L
L
mit (nx , ny , nz ) ∈ Z3 \{0}.
(erfüllt “periodische Randbedingungen”)
Bild 8.96
L
Φ=0
Φ=0
−
L
e
Elektronengas
L
L
L
Pauli-Prinzip: jedes (nx , ny , nz ) kann zwei e− “tragen”. Bei N Elektronen also
lentripel.
Radius ~n(nx , ny , nz )=
ˆ ~k(kx , ky , kz ), ~k =
2π
L ,
nmax =
L
Bild 8.97
kx =
2πnx
L .
kmax L
2π
3
N
4
L3 kmax
= πn2max =
,
2
3
3π 2
64
N
2
Zah-
8.3 Elektronen in Metallen
r
kmax =
3
nz
3π 2 N
.
L3
kz
nmax
kmax
ny
N/L3 ist die e− Dichte.
2 2
nx
k
(V = 0)
E = ~2m
Fermi-Energie Emax , Fermi-Wellenvektor ~kF
Gröss von Emax : typisch
Das führt zu
N
V
28
ky
kx
unbesetzte Zustände
3
E
0
∼ 5.10 · 10 /m → 4.5eV=k
ˆ B T →T = 50 000K.
E-Spr ünge mögl.
Emax
−kmax
Bild 8.98
65
kmax
9 Allgemeine Betrachtungen
9.1. Reine Zustände
Definition: Ein Reiner Zustand ist eine Eigenfunktino eines, oder mehrere Quantenmechanischer Operatoren (Messwert = Eigenwert).
Beispiele:
• Ψnlm als Eigenfunktion von H und L2 im Wasserstoffatom,
• alle Eigenfunktionen der zeitunabhängigen Schrödinger Gleichung.
Es gilt: Jede Superposition reiner Zust2ande mit gleichen Eigenwerten ist wieder ein reiner Zustand mit gleichem Eigenwert.
Ohne Messung einer weiteren “Observablen” (d.h. eines weiteren Eigenwertes) des reinen Zustandes gilt:
Allgemeiner Zustand = unbestimmte kohärente Superposition reiner Zustände.
Beispiel: Wasserstoffatom
Ψ21... = αΨ211 + βΨ210 + γΨ21−1
mit α2 + β 2 + γ 2 = 1. wegen der Normierungsbedingung.
Gemeinsame Eigenwerte: E2 (n = 2) von H und l(l + 1)~2 (l = 1) von L2 .
Messung einer wetieren “Observablen” (d.h. eines Eigenewrtes eines reinen zustandes,
zum Beispiel Lz führt dazu, dass die vorher unbestimmte kohärente Superposition “kollabiert”, und ein bestimmter Eigenzustand realisiert wird.
Weitere Beispiele
1. Eigenzustand zum Operator x:
δ(x − x0 )
mit Eigenwert x0 .
2. Ein Einzelnes Photon bei Doppelspaltversuch.
Vor der Messung: unbestimmte kohärente Superposition von Kugelwellen.
Nach der Messung: Eigenzustand δ(x − x0 ) mit Eigenwert x0 .
3. Verbreiterung eines Wellenpaketes.
66
9.2 Verschränkung von Zuständen
4. Die (Quanten-) Karte fällt nach beiden Seiten um und bildet dabei eine Zustandssuperposition. Der Endzustand ist dabei kohärent.
5. Schrödingers Katze.
Ψ = αΨtot + βΨlebendig
Erst der Messvorgang legt fest: α = 1 oder β = 1.
Dekohärenzeffekte werden bei makroskopischen Objekten immer wahrscheinlicher. Auch
Dekohärenzeffekte führen zum Kollaps der Wellenfunktion und legen fest: α = 1 oder
β = 1.
Bild 9.99 Quantenkarte
9.2. Verschränkung von Zuständen
Beispiel: Zwei auseinanderlaufende Photonen mit jeweils verschiedener aber unbestimmter Polarisationen.
Ψ↑↓ =
1√
2 Ψ↑← (r1 )Ψ↓→ (r2 ) + Ψ↑← (r2 )Ψ↓→ (r1 )
2
Bild 9.100 Schrödinger Katze
oder
1√
2 Ψ↓← (r1 )Ψ↑→ (r2 ) + Ψ↓← (r2 )Ψ↑→ (r1 )
2
Solange die einzlenen Polarisationsrichtungen nicht gemessen werden, ist der allgemeine Zustand eine unbestimmte Superposition gemäss
Ψ↓↑ =
Ψ = αΨ↑↓ + βΨ↓↑
mit α2 + β 2 = 1.
Erst der Messvorgang der Polarisationsrichtung eines der Photonen legt augenblicklich
fest: α = 1 oder β = 1. Die Photonen waren also vorher über weite Distanzen “verschränkt”.
Solche Photonen erzeugt man zum Beispiel mit nicht linearen Kristallen (gängigster:
β-Bariumborat [β − BaB2 O4 ]). Wesentliche Funktionsweise: Der Kristall wandelt ein
“blaues” Photon in zwei “rote” Photonen, die aufgrund der Doppelbrechung und Dispersion des Krsitalls unter leicht verschiedenen Winkeln emmitiert werden.
9.3. Kopplung nicht-reiner Zustände
Definition: Ein nicht-reiner Zustand ist die Superpostiion von reinen Zuständen mit
verschiedenen Eigenwerten.
Ein nicht-reiner Zustand in Bezug auf H erfüllt die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung nicht, ist alos keinstationärer Zustand.
Mit zum Beispiel HΨi = Ei Ψi , wobei E1 6= E2 , ist
H(αΨ1 + βΨ2 ) = αE1 Ψ1 + βE2 Ψ2 6= E(αΨ1 + βΨ2 ).
Beispiele
67
Allgemeine Betrachtungen
1. Eigenfunktionen des Impulsoperators p = ~i ∇.
Freie ebene Wellen exp(i[kx − ωt]) mit Eigenwerten ~k und E = ~2 k 2 /(2m).
Superposition
Z
Ψ(x, 0) = C
g(k) exp(ikx)dk.
(=Umkehr-Fouriertransformation von g(k).)
Also Wellenpakete (Gauss-Verteilung für g(k)) sind zum Beispiel keine stationären
Lösungen, sie laufen mit der Zeit auseinander.
2. Neutrino-Oszillation zwischen reinen Massen (=Energie)-Eigenzuständen mit
sin(2ϕ) ≈ 0.85 . . . 1.
Neutrinos aus Reaktion (νe− ,νµ− ,ντ ): keine Reinen Massenzustände, sondern
Mischungen.
9.4. Quantum Dots, Bose-Einstein Kondensate, . . .
Quantom Dot (Quantenpunkt): Lösung des zylindersymmetrischen Topfpotentials
Wunsch: Ein frei bewegliches Elektron pro “Quantenpunkt”: “freie WEglänge” bestimmt
durch Verunreinigung und Temperaturbewegung des Kristallgitters (≈ 10 bis 100nm).
Dies bestimmt die Grösse des Quantepunktes.
Im Volumen von zum Beispiel 3×10×10nm3 soll es ein freies Elektron haben: N/V =
3 · 1024 Elektronen/m3 .
Metalle 5 · 1024 Elektronen pro Quadratmeter =⇒ Halbleiter
Bose-Einstein-Kondensate: De-Broglie Wellenlänge vergelicbar mit TEilchenabstand
λ= √
h
≈ (N/V )−1/3
2πm · kB T
Quanteneffekte werden spürbar, sobald
TBEC = h2
(N/2.612V )2/3
2πmkB
“Kondensation” von Bosonen in eine einzige Wellenfunktion (Reibungsfreies “Quantengas” mit praktisch unendlicher Kohäreznlänge).
4
HE, 7 Li, 23 Na, 41 K, 85 Rb.
68
A Operator Rechnung
Es mag anfänglich einwenig verwirrend erscheinen, dass es bei der Operatorrechnung
teils auf die Reihenfolge ankommt und teils nicht. Wir werden nun anhand des Erwartungswertes des Impulses h~pi herleiten, warum dies so ist.
Ψ(~r, t)
Ψ∗ (~r, t)Ψ(~r, t)
ist Wahrscheinlichkeitsdichte.
Gewichteter Mittelwert
ZZZ
h~ri =
~rΨ∗ (~r, t)Ψ(~r, t)d3 r
die Reihenfolge spielt hier keine Rolle
ZZZ
=
Ψ∗~rΨ(~r, t)d3 r
Betrachtet man aber den Impuls so spielt die Reihenfolge eine Rolle
hpi =
ZZZ
~~
r, t)d3 r
Ψ∗ (~r, t) ∇Ψ(~
i
Ab jetzt betrachten wir es nur noch eindimensional.
Z ∞
hxi =
Ψ∗ (x, t)xΨ(x, t)dx
−∞
hpi auch als gewichtetes Mittel schreiben, aber wie?
p~ = ~~k, px = ~k.
Wie ist nun die Verteilung von k? Verteilung der Wellenzahl k ist gegeben durch die
Fourier Transformierte g(k) von Ψ(x, t).
Verteiungsfunktion von k ist:
Z ∞
1
g(x) = √
Ψ(x, t)e−i·k·x dx
2π −∞
Z ∞
Z ∞
hki =
kg ∗ (k)g(k)dk =
g ∗ (k)kg(k)dk
−∞
−∞
69
Operator Rechnung
[also auch unabhängig von Reihenfolge]
Dies kann man nun umschreiben als Integral in x.
g(k) einsetzen
Z ∞
Z ∞Z ∞
00
0
1
Ψ(x00 , t)e−ikx dx00 dk
hki =
Ψ∗ (x0 , t)ei·k·x dx0 k
2π −∞ −∞
−∞
{z
} |
{z
}
|
g ∗ (k)
g(k)
R∞
00
Betrachte nun k −∞ Ψ(x00 , t)e−ikx dx00 . Dies kann man partiell integrieren – das heisst
R 0
R
b
u v = [uv]|ba − a uv 0
Z ∞
Z ∞
00
−ikx00
k
Ψ(x00 , t)e−ikx dx00 =
Ψ(x00 , t) |k · e{z
dx00
}
|
{z
}
−∞
−∞
u0
v
∞
Z
−1 −ikx00
1 ∞ ∂Ψ −ikx00 00
=
+
e
Ψ(x00 , t)
e
dx
i
i −∞ ∂x
−∞
R∞
Ψ(x, t) normiert, sodass −∞ kΨ(x, t)k2 dx = 1 =⇒ Ψ(x, t) → 0 für x → ±∞.
Daher verschwindet der erste Term
Z
1 ∞ ∂Ψ −ikx00 00
=
e
dx
i −∞ ∂x
Somit kriegt man für hki
hki =
1
2πi
Z
∞
−∞
Z
∞
0
Ψ∗ (x0 , t)eikx dx0
−∞
Z
∞
−∞
∂Ψ(x00 , t) −ikx00 00
e
dx dk
∂x
Umstellung der Integrationsreihenfolge
Z ∞Z ∞
Z
1
∂Ψ(x00 , t) ∞ +ik(x0 −x00 )
=
Ψ∗ (x0 , t)
e
dkdx0 dx00
2πi −∞ −∞
∂x
−∞
R
0
00
∞
Es gilt √12π −∞ eik(x −x ) dk = δ(x0 − x00 ) = Dirac’sche Deltafunktion (sieht man ein,
wenn man δ(x0 − x0 ) Fouriertransformiert.)
Z ∞Z ∞
1
∂Ψ(x00 , t)
=
Ψ∗ (x0 , t)
2πδ(x0 − x00 )dx0 dx00
2πi −∞ −∞
∂x
Ist x0 6= x00 so liefert Integral keinen Beitrag =⇒ x00 = x0
Z
1
∂Ψ(x0 , t) 0
dx
=
Ψ∗ (x0 , t)
2
∂x
Beidseitiges Multiplizieren mit ~ liefert nun
Z
~
∂Ψ(x0 , t) 0
~hki =
Ψ∗ (x0 , t)
dx
2
∂x
und somit
Z
∞
hpi =
−∞
70
Ψ∗ (x0 , t)
~ ∂
Ψ(x0 , t)dx
i ∂x
B Umrechnung der Operatoren
B.1. Zylinder Koordinaten
∆r,z,ϕ Φ(r, z, ϕ) =
∂2
1 ∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
Φ
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂ϕ2
∂z 2
~ r,z,ϕ = ∂Φ ~er + 1 ∂Φ ~eϕ + ∂Φ ~ez
∇
∂r
r ∂ϕ
∂z
71
C Aufgaben
C.1. Interferenz am Strichgitter
Zeigen Sie, dass die Intensität am Ort der Interferenzmaxima für Strichgitter mit N
spalten wie N 2 anwächst. Zeigen Sie zudem, dass die gesamte Intensität, integriert über
ein Interferenzmaximum, für vier Spalten nur doppelt so hoch ist, wie für ein Strichgitter
mit zwe Spalten. Was sagt dies über die Schärfe der Maxima aus?
C.2. Beugung am einfachen Spalt
Begründen Sie, dass im Zentrum des Beugungsbildes (y0 = 0) für einen einfachen Spalt
0
= 0. Wo befindet sich das erste
kein Intensitätsmaximum auftritt, obwohl dort sin(k∆y
2D
Nebenmaximum?
C.3. Physikalische Probleme mit Bessel-Funktionen
Zur Information: Bessel Funktionen Zn (x) erfüllen die Differentialgleichung
1 dZ
d2 Z
n2
+
+ 1 − 2 Z = 0.
dx2
x dx
x
Besselfunktion der ersten Art, Jn (x), können auch durch die Integraldarstellung
Z 2π
1
Jn (x) =
ei(x sin ϕ−nϕ) dϕ
2π 0
charakterisiert werden.
a). Zeigen Sie, dass die Eigenschwingungen einer kreisförmigen fest eingespannten
Membran mit Radius R (Schallgeschwindigkeit c) durch Jn (x) dargestellt werden können.
Wie gross sinst die ersten drei Eigenfrequenzen?
b). Leiten Sie einen Ausdruck für das Beugungsbild einer kresiförmigen Blende mit
Radius R auf einem Schirm im Abstand D her (Wellenlänge λ). Zeigen Sie, dass
die Intensität durch J1 (x) ausgedrückt werden kann. Wo befinden sich die ersten
drei Intensitätsminima?
C.4. Beugung an Spaltsystemen
Ein Spaltsystem bestehe aus beliebig vielen unendlich dünnen Doppelspalten mit Spaltabstand d1 , die im Abstand d2 jeweils wiederholt werden. Wie sieht das entsprechende
72
C.5 Röntgenbeugung an Festkörpern
Interferenzmuster auf einem Schirm aus? Was gschieht, wenn d1 = 12 d2 ?
(Die Aufgabe kann ohne komplizierte Rechnung mit einfachen Argumenten gelöst werden).
C.5. Röntgenbeugung an Festkörpern
a). Finden Sie eine Formel, mit der bei einer kubischen Kristallstruktur mit Gitterkonstanten a die Netzebenenabstände dhkl berechnet werden können.
b). Ein kubischer Kristall mit einer Atomsorte haben den Atomabstand a = 0.3nm.
Berechnen Sie die möglichen Streuwinkle < 60, wenn der Kristall mit Röntgenlicht
der Wellenlänge λ = 0.154nm beleuchtet wird.
C.6. Impuls und Strahlungsdruck
W
Die Sonne strahlt mit ungefähr 350 m
2 auf die Erde. Welcher totalen Kraft auf die Erde
auf Grund des Strahlungsdruckes entspricht dies? Wie gross ist diese Kraft im Vergleich
zur Gravitationsanziehung durch die Sonne? Wie lange dauert es, bis ein Raumfahrzeug
mit einem Segel von 85m2 und 100kg Masse von null auf 10 ms beschleunigt wird?
C.7. Skin Effekt
Mobilfunkanlagen mit dme GSM Standard arbeiten üblicherweise mit einer Frequenz
von 900MHz. Wie dick muss eine Aluminiumfolie sein (elektirsche Leitfähigkeit σ =
3.7·107 Ω−1 m−1 ), damit die Intensität einer einfallenden Mobilfunkstrahlung auf 1/1000
abklingt?
C.8. Jones Vektoren und Matrizen
Erklären Sie anhand von Jones Vektoren, wie (wie in der Vorlesung gezeigt) aus rein vertikal polarisiertem Licht mit Hilfe von zwei rein linearen Polarisationsfiltern ein rein horizontal polarisierte Lichtkomponente hergestellt werden knan. Welce maximale Lichtintensität hat diese im Vergleich zur ursprünglichen Intensität?
C.9. Drehimpuls
Sonnenlicht der Intesität 350W/m2 werde im Weltall durch ein Farbfilter der Wellenlänge λ = 600nm geschickt und danach vollständig zirkular polarisiert. Dabei gehe
90% der Intesität verloren. Dann wird das Licht von einer zunächst ruhendne kreisförmigen
Mylar-Folie (Dichte ρ = 1.5g/cm3 ) von 1cm Durchmesser und 50µm Dicke senkrecht vollständig absorbiert. Nach welcher Zeit wird sich die Folie im Idealfall (ohne
Reibungsverluste) genau einmal gedreht haben?
C.10. Abstrahlung beschleunigter Ladung
Im einfachsten Modell für das Wasserstoffatom kreist ein Elektron im Abstand rB =
5.29 · 10−11 m um ein Proton. Vergleichen Sie die abstrahlte Leistung des Elektrons mit
der Differenz der totalen Energien von Kresibahnen mit Radius rB und für den Fall, wo
73
Aufgaben
das Elektron das Proton auf einer Kresibahn (Radius rp = 10−15 m) gerade berührt.
Was können Sie über die Stabilität des Wasserstoffatoms aussagen?
C.11. Synchrotron
Ein Synchrotronring arbeite mit Elektronen der Gesamtenergie 1.5GeV pro Elektron.
Ein Magnetfeld mit B = 1.5T hält die Elektronen auf einer Kreisbahn.
a). Wie nahe sind die Elektronen an der Lichtgeschwindigkeit?
b). Wie gross ist der Radius der Kreisbahn?
c). Welche Leistung wird pro Elektron abgestrahlt und wie gross ist die abgestrahlte
Leistung insgesamt, falls der Strom im Synchrotronring 150mA beträgt?
C.12. Fourieranalyse
Verifizieren Sie die Äquivalenz der Schreibweisen für reelle Funktionen f (t)
f (t) = A0 +
∞
X
(An cos(nωt) + Bn sin(ωnt))
n=1
mit reellen
Z
1 T
A0 :=
f (t)dt,
T 0
2
An :=
T
T
Z
f (t) cos(nωt)dt,
0
und
∞
X
f (t) =
2
Bn :=
T
Z
T
f (t) sin(nωt)dt
0
Fn einωt
n=−∞
mit komplexen
Fn :=
1
T
Z
T
f (t)e−inωt dt
0
falls Fn = 1/2(An − iBn ) und F0 = A0 .
C.13. Frequenzspektrum bei Amplitudenmodulation
In der alten Radiotechnik (aber auch bei gewissen modernen Messmethoden) ist die so
genannte Amplitudenmodulation (AM) üblich. Dabei wird ein Trägersignal mit konstanter Trägerfrequenz ω0 so verändert, dass sich seine Amplitude mit dem zu übertragenden
(im allgemeinen nicht periodischen) Signal zeitlich ndert.
a). Skizzieren Sie den Verlauf von ω(t) (reelle Funktion) fr den speziell einfachen
Fall, wo das zu übertragende Signal ebenfalls aus einer einzigen Frequenz ωs ω0 besteht, also ω(t) = A(1 + ε cos(ωs t)) cos(ω0 t), üblicherweise mit ε < 1.
b). Berechnen Sie das Frequenzspektrum fr ω(t) und überlegen Sie sich, wie sich das
Frequenzspektrum qualitativ ändert, wenn beliebige periodische (oder nichtperiodische) Signale übertragen werden sollen.
74
C.14 Fourier-Transformation eines Doppelspaltes
C.14. Fourier-Transformation eines Doppelspaltes
In der Vorlesung wurde der “Knall” (d.h. die Funktion f (t) = A/τ , für |t| < τ und
f (t) = 0 für t ≥ τ /2) als Funktion der Zeit Fourier transformiert. Das Resultat für das
Quadrat der Fourer-Transformierten |F (ω)|2 entsprach im Wesentlichen dem Resultat
für das Beugungsbild an einem Spalt der Breite τ . Betrachten Sie in Analogie zu diesem
Sachverhalt das Quadrat der Fourier-Transformierten einer Doppelspaltfunktion (als
Funktion des Ortes x).
1
d
d
u(x) =
δ(x + ) + δ(x − )
2
2
2
wobei δ(x) der Dirac’schen Deltafunktion entspricht. Vergleichen Sie das Resultat für
|g(k)|2 mit der Formel für das Interferenzmuster hinter einem Doppelspalt mit Spaltabstand d.
C.15. Boltzmann-Faktor: kontinuierliche Energieverteilung
Leiten Sie einen Ausdruck für die Durckverteilung p(r) in der Atmosphäre (ideales Gas
mgr 2
mit Teilchenmasse m) im Gravitaionspotential E = − ΓMrE m = − r E der Erde als
Funktion von r > rE her (der Luftdruck p0 für r = rE sei gegeben). Überzeugen Sie
sich, dass für z = r − re rE das Resultat in p(z) = p0 exp(−mgz/kB T ) übergeht.
C.16. Boltzmann-Faktor: diskrete Energiezustände
Wir verwenden hier eine später in Physik III besprochene Tatsache: Gebundene Elektronen können nur bestimmte diskrete Energiezustände annehmen.
Wir nehmen nun an, wir hätten N identische Atome in einem Fesktörper vor uns, in
welchem die Elektronen bei T = 0 die tiefstmöglichen Energiezustände besetzen. Das
höchste noch besetzte Energieniveau (E0 ) sei bei T = 0 gerade mit einem Elektron pro
Atom bgelegt und sei zweifach entartet (g0 = 2). Das nächst höhere, bei T = 0 unbesetzte, Energieniveau E1 = E0 + ∆ sei ebenfalls zweifach entartet (g1 = 2).
a). Skizzieren Sie die Besetzungszahlen N für die beiden Energieniveaux als Funktion der Temperatur (sinnvole Werte: 0 < kB T < 3∆). Wo liegen die Grenzwerte
für hohe, bzw tiefe Temperaturen?
b). Berechnen Sie die Wärmekapazität dieses elektronischen Systems und stellen Sie
diese graphisch in Einheiten von kB dar.
C.17. Photoeffekt
a). Die Austrittsarbeit von Elektronen bei Zink ist 4.34eV. Welche Wellenlänge muss
einfallendes Licht mindestens haben, um Elektronen aus der Platte herauszulösen?
b). Eine Zinkplatte von 10cm × 10cm Fläche wird mit monochromatischem UVLicht von 250nm Wellenlänge beleuchtet. Welcher maximalen kinetischen Energie bzw. maximalen Geschwindigkeit entspricht dies für die austretenden Elektronen?
75
Aufgaben
c). Die Intensität des Lichtes sei I = 10W/m2 . Wie viele Photonen pro Kubikmeter
entspricht dies? Wenn jedes Photon genau ein Elektron aus der Zinkplatte rausschlägt, welchen Photostrom wird man maximal messen, sobald man die Zinkplatte geeignet in einen Stromkreis einfügt?
C.18. Compton Effekt
a). Ein Compton-Streuexperiment wird mit Röntgenstrahlung der Wellenlänge λ =
0.154nm durchgeführt. Wie gross ist der maximale Energieübertrag auf ein Elektron im Vergleich zur Energie des einfallenden Photons?
b). Was für Konsequenzen hätte es für die Compton-Wellenlängenverschiebung, wenn
Photonen an Protonen statt Elektronen gestreut würden?
C.19. Strahlungsgesetz
a). Zeichnen Sie das spektrale Emissionsvermögen eines Schwarzenb Körpers für
Temperaturen von 0–1600C als Funktion der Wellenlänge im Bereich des sichtbaren Lichtes (λ = 380–780nm) mit den verschiedenen Farbbereichen ein. Wo
liegt im Vergleich dazu das Maximum eines 2800K heissen Wolframdrahtes in
einer Glühlampe? Wie heiss müsste ein Strahler sein, damit das Maximum im
“Nahen UV” bei λ = 200nm liegt?
b). Denksportaufgabe: Liegt das Maximum λmax im spektralen Emissionsvermögen
L(λ, T ) =
1
2hc2
c
dw(λ, T )dλ = 5
hc
4π
λ exp
λkB T − 1
auch beim Maximum von
L(ν, T ) =
c dw(ν, T )
2hν 3
1
= 2
4π
dν
c exp hν − 1
kB T
in der Frequenz ν, sodass νmax =
Wenn nein, warum wohl nicht?
c
λmax ?
C.20. Kosmische Hintergrundstrahlung
Der Satellit COBE hat das oben [. . . ] gezeichnete Spektrum der kosmischen Hintergrundstrahlung gemessen. Welcher Temperatur entspricht dieses Spektrum? Überprüfen
Sie, ob die Messdaten über den ganzen gezeichneten Bereich mit dem Planck’schen
Strahlungsgesetz übereinstimmen.
C.21. De Broglie-Beziehung I
a). Wie gross ist die de Broglie Wellenlängen eines Sportlers von m = 70kg, der
100m in 10 Sekundenläuft?
b). Wie schnell müsste er laufen, um eine Wellenlänge wie sichtbares Licht zu bekommen?
76
C.22 De Broglie-Beziehung II
c). Wie schnell müsste er laufen, damit Begungserscheinungen an einer Türe von
60cm Breite beobachtbar werden? (Kriterium: die Abstände der Nebenminima
sollen makroskopisch deutlich messbar sein, zum Beispiel einne Winkel von ca
10◦ einschliessen). Vergleichen Sie die Zeit, die er brauchen würde um die 10cm
dicke Öffnung zu passieren mit dem Alter des Universums.
C.22. De Broglie-Beziehung II
Elektronen können mit den heute zur Verfügung stehenden Geräten auf “relativistische
Geschwindigkeiten” beschleunigt werden. Mit E 2 − p2 c2 = m20 c4 und der kinetischen
Energie Ekin = E − m0 c2 heisst dies, dass Ekin nicht mehr klein gegenüber der Ruheenergie m0 c2 sein muss.
a). Finden Sie eine Beziehung zwischen dem Verhältnis Ekin /(m0 c2 ) und dem Quotienten λ/λc (das heisst der de Broglie Wellenlänge und der Compton-Wellenlänge
für Elektronen, λc = h/(m0 c)). Stellen Sie das Resultat in einer doppelt-logarithmischen Graphik dar.
b). Wie gross muss die kinetische Energie eines Elektrons ungefähr sein, damit die
Beugungserscheinungen bei der Streuung an einem Atomkern (Radius ca 10−14 m)
beobachtbar werden können? Ist diese Energie bereits relativistisch.
C.23. Verfeinertes Bohr-Sommerfeld Modell
Eigentlich stellt das Wasserstoff Atom ein Zweikörperprolbem dar. Welche Modifikationen müssen an den in der Vorlesung besprochenn Rechnungen für die Bohr-Radien, für
die Rydberg-Energie (Ionisierungsenergie) und für die Bahndrehimpulse der Elektronen gemacht werden, um diesem Sachverhalt zu entsprechen? Welche Grössen ändern
sich um wie viel, und welche bleiben unverändert? Welches sind die qualitativen Auswirkungen auf die Spektrallinien, wenn einfacher Wasserstoff mit Deutrium oder Tritium
verglichen wird?
C.24. De Broglie Beziehungen in Gasen und Flüssigkeiten
Überlegen Sie sich, ob die Wellennatur von Teilchen in Gasen oder Flüssigkeiten Konsequenzen haben könnte.
a). Machen Sie dazu zunächst aus den Beziehungen von Physik I und II eine grobe Abschätzung für die De Broglie Wellenlänge der Teilchen mit Teilchenmasse m eines idealen Gases als Funktion der Temperatur T . Vergleichen Sie Ihre
h
Abschätzung mit dem korrekten Resultat λ = √2πmk
. Wie gross ist die De
BT
Broglie Wellenlänge für Heliumgas bei Zimmertemperatur?
b). Vergleichen Sie den Teilchenabstand bei Normaldruck mit der De Broglie Wellenlänge. Bei welchen Temperaturen werden Teilchenabstand und De Broglie Wellenlänge im Gaszustand vergleichbar?
c). Flüssiges Helium hat eine Dichte von 0.122g/cm3 . Bei welchen Temperaturen
werden hier der Teilchenabstand und die De Broglie Wellenlänge vergleichbar?
77
Aufgaben
C.25. Unschärferealtion in gebundenen Zuständen
a). Ein Teilchen der Masse m sei durch äussere Randbedingungen in einem Raumgebiet der Ausdehnung ∆x gefangen. Welche kinetische Energie kann das Teilchen
auf Grund der Heisenberg’schen Unschärferelation haben?
b). Wenden Sie das Resultat auf das Wasserstoffatom an, bei dem der kleinstmögliche
Radius im Bohr-Sommerfeld-Modell als räumliche Begrenzung betrachtet wird.
Ist diese aus a) resultierende kinetische Energie vernachlässigbar klein gegenüber
der Ionisierungsenergie?
C.26. Natürliche Linienbreite von Spektrallinien
Spektrallinien bei der Emission von Photonen haben in der Praxis stets eine endliche
Linienbreite. Ist es theoretisch möglich, unendlich schmale Spektrallinien zu bekommen?
Welchen Effekt könnte die Temperatur auf die Breite der Spektrallinien habne?
C.27. Schrödinger-Gleichung
a). Lösen Sie zunächst die Zeitunabhängige Schrödingergleichung für ein Teilchen
im rechteckigen zweidimensionalen Kastenpotential.
V (x, y) =
0
∞
für 0 ≤ x ≤ ax und 0 ≤ y ≤ ay
sonst
Berechnen Sie den korrekten Normierungsfaktor und die Energie-Eigenwerte.
Wann können entartete Energie-Eigenwerte auftreten?
b). Berechnen Sie die Erwartungswerte für x, y, px , py und den Drehimpuls Lz .
C.28. Das Elektron als Wellenpaket
a). In einer halbklassischenen Überlegung kann man sich einen “Radius des Elektrons” herleiten. Dazu nimmt man an, die im elektrischen Feld des Elektrons gespeicherte Energie sei genau die Hälfte der Ruheenergie des Elektrons. Wie gross
ist dieser Radius (“klassischer Elektronenradus”)?
b). Betrachten Sie nun das Elektron als Wellenpaket, dessen Lage zur Zeit t = 0
bis auf den klassichen Elektronenradius genau bekannt sei. Wie lange dauert es,
bis die Unbestimmtheit des Ortes des Elektrons 1m beträgt? Betrachten Sie zum
Vergleich ein Eisenkügelchen von r = 1mm und Dichte ρ = 7.9g/cm3 . Wie
lange dauert es, bis hier die Unbestimmtheit des Ortes 1cm beträgt?
c). Das Elektron sei als Leitungselektron in einem metallischen Festkörper vollkommen frei beweglich. Wäre sein Ort zur Zeit t = 0 auf 5cm genau bekannt, wie
lange würde es dauern, bis sich die Unbestimmtheit des Ortes auf 10cm verdoppelt?
78
C.29 Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators
C.29. Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators
Ein Teilchen der Masse m befinde sich im Potential V (x) = 12 f x2 und sei nur in einer
Dimension (x) beweglich.
a). Rekapitulieren Sie aus Physik I, wie sich das Teilchen klassisch bewegen würde
und welche totalen Energien klassisch erlaubt sind.
b). Stellen Sie die zeitunabhängige Schrödingergleichung auf und suchen Sie Lösungen.
Anleitung: Die Ansätze Φ0 (x) = A0 exp(−b0 x2 ) respektive Φ1 (x) = A1 x ·
exp(−b1 x2 ) liefern die Lösungen mit den zwei tiefsten Energien. Wie gross sind
diese Energien? Welchen maximalen Auslenkungen xmax würden diese Energi2
en klassisch entsprechen? Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten |Φ(x)|
und überlegen Sie sich, ob die wahrscheinlichsten Aufenthaltsorte mit dem Er2
wartungswert hxi übereinstimmen. Kommentieren Sie |Φ(x)| für x > xmax .
c). Sudieren Sie aus einem Lehrbuch oder im Internet die vollständige Lösung des
Problems.
C.30. Tunnel-Effekt
a). Ein Hochspringer der Masse m = 70kg verpasst die angestrebte Sprunghöhe
über eine 1cm breite Stange um nur gerade 0.1mm. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Springer durch die Stange “durchtunnelt”? (Annahme: die Flugbahn am höchsten Punkt sei durchwegs horizontal).
b). Um welchen Faktor ändert sich der Tunnelstrom durch die Messspitze eines RasterTunnelmikroskops, wenn sie um 0.01n gegenüber ihrer ursprünglichen Position
über einer Natrium-Oberfläche mit Austrittsarbeit A = 2.28eV angehoben wird?
C.31. ϑ-Anteil der Kugelflächenfunktion
Verifizieren Sie durch Einsetzen für l ∈ {0, 1, 2, 3} sowie m ∈ {0, ±1, ±2, ±3} dass
die Funktionen
flm (ϑ) =
(sin ϑ)|m|
dl+|m|
·
(cos2 ϑ − 1)l
l
2 l!
d(cos ϑ)l+|m|
die Differentialgleichung
sin ϑ ∂
l(l + 1) sin ϑ +
·
f (ϑ) ∂ϑ
2
∂f
sin ϑ
)m2
∂ϑ
erfüllen.
C.32. Teilchen im Gravitationspotential
In der Vorlesung wurde erwähnt, dass für ein Teilchen im Gravitationspotential V (z) =
mgz der Grundzustand einen Erwartungswert hzi > 0 aufweist. Schätzen Sie diesen
Erwartungswert mit Hilfe der Energie-Lebensdauer-Unschärferelation ab. Wie gross ist
die Energie in diesem Zustand für ein Elektron beziehungsweise Neutron im Vergleich
zur thermischen Energie bei Zimmertemperatur?
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Aufgaben
C.33. Drehimpulsoperator
Zeigen Sie, dass die Operatoren L2 und Lz kommutieren. Was bedeutet dies physikalisch?
C.34. Wasserstoffatom I
Berechnen Sie für das Wasserstoffatom den Erwartungswert für die Variable r im Grundzustand, und vergleichen Sie das Resultat mit dem wahrscheinlichsten Wert.
Wie gross wäre der wahrscheinlichste Wert für r, wenn anstelle des Protons ein Neutron
das Elektron nur auf Grund der Gravitationskraft an sich binden würde? Wr̈e ein solches
Objekt im freien Weltall auf Grund der kosmischen Hintergrundstrahlung stabil?
C.35. Wasserstoffatom II
Betrachten Sie eine Wasserstoff-Wellenfunktion mit der Quantenzahl l = 2.
a). Obwohl nur hLz i gleichzeitig scharf bestimmbar ist, können Sie dennoch eine
Unter- beziehungsweise Obergrenze für (L2x + L2y ) angeben?
b). Wie gross ist (L2x + L2y ) für l = 2 und m = 1? Kann man daraus Lx oder Ly
bestimmen?
c). Welchen Wert muss die Hauptquantenzahl n für diesen Zustand mindestens haben?
C.36. Magnetisches Moment des Elektrons
In der Vorlesung wurde ein klassisches Modell zur Erklärung des magnetischen Momentes des Elektrons durchgerechnet. DAbei wurde eine homogene Massen- und Ladungsverteilung angenommen.
a). Um welchen Faktor würde sich das Resultat ändern, wenn man zwar eine homogene Massenverteilung annimmt, die Elektronenladung aber als punktförmiges
Objekt auf dem Äquator des Elektrons betrachtet?
b). Auf welcher “geographischen Breite” auf der Oberfläche des Elektrons müsste sich
diese Ladung befinden, damit man das Resultat µ = µB mit dem korrekten Eigendrehimpuls S = ~/2 erhält?
C.37. Magnetisches Moment und Larmor-Präzessions
a). Berechnen Sie die Präzessionsfrequenz für freie Elektronen in einem Magnetfeld
von µ0 H = 1T.
b). Schätzen Sie auf Grund einfacher Analogieüberlegungen zur Situation bei Elektronen das magnetische Moment des Protons ab (Protonen haben einen Kernspin
von S = ~/2).
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C.38 Stern-Gerlach-Versuch I: Qualitativ
c). Bei Protonen ist der Land’e-Faktor g = 5.59. Berechnen Sie die das tatsächliche
magnetische Moment und die Präzessionsfrequenz eines Wasserstoffkerns in einem Magnetfeld von µ0 H = 1T.
d). Neutronen besitzen ebenfalls ein magnetisches Moment (µn = 9.66·10−27 J/T),
obwohl sie elektrisch neutral sind. Was können Sie daraus schliessen?
C.38. Stern-Gerlach-Versuch I: Qualitativ
a). Beim Stern-Gerlach-Versuch spaltet sich ein Teilchenstrahl in einem Magnetfeldgradienten in zwei Spin-polarisierte Teilstrahlen auf. Drei Stern-Gerlach-Apperaturen
werden nun hintereinander angeordnet. Die erste Anordnung erzeugt eine Polarisation in z-Richtung (“Spin-Up” und “Spin-Down”). Der “Spin-Down” Anteil wird ausgeblendet. Wie kann aus dem verbleibenden “Spin-Up” STrahl mit
den zwei anderen Stern-Gerlach-Apperaturen ein Teilstrahl mit nur “Spin-Down”
Teilchen hergestellt werden? Wie gross wird seine Intensität maximal sein?
b). Was könnte die Intensität der zwei Teilstrahlen in einem einzelnen Stern-GerlachVersuc beeinflussen? Wäre es theoretisch denkbar, unter gewissen Umständen
nur einen der Teilstrahlen zu sehen, und welche quantitative Bedingung müsste
dann für den Teilchenstrahl erfüllt sein (mittleres Magnetfeld: µ0 H = 1T)?
C.39. Stern-Gerlach-Versuch II: Quantitativ
a). Aus einem Ofen der Temperatur 1500◦ C wird mit Hilfe von Blenden ein Dampfstrahl von Silberatomen hergestellt. Diese durchqueren einen s = 60cm langen
Stern-Gerlach Magneten mit einem Feldgradienten von 1T/m. Wie gross ist der
Abstand der Linien auf einer Glassplatte im Abstand d = 1m hinter dem Magneten? (Vereinfachende Annahme: alle Silberatome haben alle die gleiche kinetische
Energie, nämlich die mittlere kinetische Energie bei 1500◦ C).
b). Wie gross ist die ungefähre Breite der Linien, wenn die Geschwindigkeit der Silberatome der Maxwell-Boltzmann’schen Geschwindigkeitsverteilung gehorchen?.
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