Trigonometrie für bummies
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© 2008 AGI-Information Management Consultants May be used for personal purporses only or by libraries associated to dandelon.com network. Mary Jane Sterling Trigonometrie für bummies Übersetzung aus dem Amerikanischen Von Judith Muhr WILEYVCH WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA Inhaltsverzeichnis 1 Inhaltsverzeichnis Einführung Über dieses Buch Konventionen in diesem Buch Falsche Voraussetzungen Wie Sie nicht lesen müssen Wie dieses Buch strukturiert ist Die Symbole in diesem Buch Wie es weitergeht 19 19 20 20 2.0 20 22 22 Teitl öie Grundlagen 25 Kapitel 1 Trigonometrie - Formalien, die Sie einfach brauchen 27 Packen wir's an: Was ist Trigonometrie? Die wichtigsten Figuren Winkel und ihre Position Positionen mit Hilfe von Dreiecken festlegen Bilden wir einen Kreis! Trigonometrie-Slang Trigonometrische Funktionen definieren Wurzeln kann man.ziehen Gleichungen und Gleichheit Graphen sind Gold wert! Wir brauchen Skalen für die Graphen! Grundlegende Graphen erkennen 27 27 29 31 32 34 36 39 41 42 42 42 Kapitel 2 Alles eine Frage der Koordination: Kärtesische Koordinaten Wir fangen ganz einfach an: Punkte eintragen Ohne Achsen geht es nicht Der Ursprung von allem X gegen Y antragen Zerlegen wir den Graphen in vier Teile! Von hier nach dort: Distanzen berechnen Zählen bei vertikalen und horizontalen Distanzen Jetzt wird es schräg: Diagonale Distanzen Exakte Werte oder geschätzte Distanzen 47 47 47 48 49 49 50 50 52 53 L_^-_:r^_. i Trigonometrie für Oummies i Und jetzt zum Mittelpunkt Die Mitte einer Strecke finden Den Mittelpunkt eines Kreises finden Strecken weiter zerlegen Den Mittelpunkt eines Dreiecks ermitteln Steil nach unten - die Steigung. Slalom mit der Steigungsformel Parallele und senkrecht aufeinander stehende Geraden erkennen Kreise mit Zahlen definieren Kreise mit Mittelpunkt am Ursprung Wandernde Mittelpunkte Kapitel 3 Funktionen 53 54 54 56 58 60 60 61 62 62 63 funktionieren 65 Relationen oder Funktionen? Und welche Funktion hat die Funktion? Die Funktionsnotation Definitionsbereich und Wertebereich festlegen Inverse Funktionen - alles hat seinen Grund Für/welche Funktionen gibt es Inverse? Eine inverse Funktion finden Funktionen manipulieren Verschiebung einer Funktion Spieglein, Spieglein an der Wand • 65 65 66 67 67 68 69 71 71 73 • ' Kapitel (* Wie nichtig sind uns Grade 75 Winkel allüberall: Messen in Graden Eine Koordinatenebene in Stücke sehneiden Auf der Suche nach den Gradmaßen ' Winkel an der Standardposition zeichnen • Anfangs- und Endseiten der Winkel in Position bringen Messen nach Quadranten Welches ist Ihr Winkel? Verschiedene Möglichkeiten der Beschriftung Verwendung negativer Winkelmaße Winkel mit deckungsgleichen freien Schenkeln Winkel umbenennen: Namen in Hülle und Fülle! Kapitel 5 Und jetzt zum Pi: Winkel im Bogenmaß Was ist .ein Radiant? Das Verhältnis zum Kreis Grade und Radianten umrechnen Favoriten vor! 10- _ .. t • 75 76 76 79 79 80 81 81 82 82 85 85 86 86 90 i Inhaltsverzeichnis i Kreise klonen Kreisabschnitte ausschneiden Bewegte Uhrzeiger In die freie Natur! 90 90 94 95 Kapitel 6 Dreiecke im rechten Winkel 99 Die Dimensionen rechtwinkliger Dreiecke Aber warum sind sie so besonders? Die Anatomie eines rechtwinkligen Dreiecks Entzaubern wir den Satz von Pythagoras Pythagoreische Tripel Auflösung nach einer fehlenden Länge Eine eigene Liga: Spezielle rechtwinklige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke: 30-60-90 Gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke 99 99 100 102 102 103 106 106 106 Teil It 109 Trigonometrische Funktionen Kapitel 7 Mit trigonometrischen Funktionen liegen Sie richtig/ 111 m m Wie trigonometrische Funktionen funktionieren Das Namensspiel: Die drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Die sechs Verhältnisse: Bringen wir die drei Seiten zueinander in Beziehung Die Sinus-Funktion: Gegenkathete durch Hypotenuse Die Kosinus-Funktion: Ankathete durch Hypotenuse Die Tangens-Funktion: Gegenkathete durch Ankathete Und jetzt das Ganze zusammen: Mit einer Funktion nach einer anderen auflösen Der nächste Schritt: Reziproke Funktionen Die Kosekans-Funktion: Der umgekehrte Sinus Die Sekans-Funktion: Kosinus auf dem Kopf Die Kotangens-Funktion: Tangens verkehrt' Lieblingswinkel Die beliebtesten Winkel Die exakten Werte von Funktionen ermitteln 112 113 114 115 116 116 117 118 118 118 118 118 ff Trigonometrie für öummies i Kapitel 8 Tausche Dreieck gegen Kreis: Kreisfunktionen Der Einheitskreis als Konvention Punkte auf dem Einheitskreis platzieren Eine fehlende-Koordinate finden Die Winkel tanzen im Kreis! Bleiben wir positiv! Seien Sie negativ - oder multiplizieren Sie Ihre Winkel Referenzwinkel finden und berechnen Trigonometrische Funktionen für alle Winkel definieren Referenzwinkel einsetzen • Bestimmung der Optimisten und der Pessimisten Alle Regeln kombinieren . Kreiskoordinaten für die Lösung trigonometrische Funktionen Mit Koordinaten auf dem Kreis rechnen Mit Koordinaten beliebiger Kreise am Ursprung rechnen Definitionsbereiche und Wertebereiche trigonometrischer Funktionen Freundliche Funktionen: Sinus und Kosinus Enge Verwandte ihrer Reziprok-Funktionen: Kosekans und Sekans Blutsbrüder: Tangens und Kotangens Kapitel 9 Trigonometrische Funktionen für den Alltag Das Wichtigste zuerst: Auf- und Abstiege Neigungswinkel Die Höhe großer Gebäude bestimmen Das Burgfräulein auf dem Turm Die Höhe eines Baumes bestimmen Die Distanz zwischen Gebäuden messen Steigung messen Der Himmel ist (nicht) die Grenze Einen Bai Ion orten Verfolgen wir die Rakete! Den Sichtwinkel von Satellitenkameras messen Unregelmäßige Umrisse berechnen und um Ecken manövrieren Die Fläche eines dreieckigen Grundstücks ermitteln. Ein Objekt um eine Ecke schieben 12 125 125 126 128 130 130 131 132 136 136 136 137 139 141 143 145 146 147 148 1U9 149 150 151 151 153 154 155 157 157 159 160 162 163 165 rrrrzj Inhaltsverzeichnis i Teil W Identitäten 169 Kapitel 10 Grundlegende Identitäten der Trigonometrie 171 Funktionen verkehrt: Reziproke Identitäten Funktion um Funktion: Verhältnis-Identitäten Gegensätze ziehen sich an: Identitäten für entgegengesetzte Winkel Zurück zum klassischen Satz: Pythagoreische Identitäten Die Mutter aller Pythagoreischen Identitäten Erweiterung auf Tangens und Sekans Zum Schluss noch Kotangens und Kosekans Neuanordnung der Pythagoreischen Identitäten Die Identitäten kombinieren Die vielen Gesichter des Sinus Auswertung der verschiedenen Versionen Kapitel 11 Mit Identitäten arbeiten Addieren wir das Ganze Differenzen sind zu klären Verdoppeln Sie Ihr Geld! Eins plus eins gibt zwei Sinus Ein Massenandrang Halbieren macht auch Spaß! Was es mit dem ± auf sich hat Halber Tangens, doppelter Spaß Halbwinkel-Identitäten verwenden Kapitel 12 Idetitäten beweisen Die Spieleraufstellung Seitenauswahl Auf beiden Seiten arbeiten Zurück zum Anfang In Sinus und Kosinus umwandeln Ausklammern Ein bisschen von beidem Brüche ausklammern Trennungen sind nie ganz einfach Einen gemeinsamen Nenner finden 171 173 173 176 177 178 179 179 181 181 182 185 185 189 194 194 195 197 198 198 199 203 203 205 208 210 211 214 215 217 217 219 113 rassa Trigonometrie für Dumtnies t Die Tricks in der Welt der Trigonometrie Multiplikation mit einer konjugierten Form Beide Seiten quadrieren Identifizieren Sie sich mit Ihren Operationen Addieren Differenzen - welchen Unterschied macht es? Multiplizieren macht Spaß Halbieren macht nur halb so viel Spaß Teil W Gleichungen und Anwendungen Kapitel 13 InVerse trigonometrische Funktionen Die richtige Darstellung ' Die Notation Zwischen wenigen und vielen unterscheiden Definitionsbereich und Wertebereich inverser trigonometrischer Funktionenbestimmen Inverse Sinus-Funktion Inverse Kosinus-Funktion Inverse Tangens-Funktion Inverse Kotangens-Funktion Inverse Sekans-Funktion Inverse Kosekans-Funktion Überblick über Definitionsbereich und Wertebereich Die Arbeit mit Inversen Freunden Sie sich mit Ihrem Taschenrechner an Den Modus ändern Interpretation der Notation auf dem Taschenrechner Die Eingabe multiplizieren Gemischte Aufgaben lösen Kapitel H Trigonometrische Gleichungen lösen Einfache Lösungen erzeugen Ausklammern in den Lösungen Einen größten gemeinsamen Faktor finden Quadrate ausklammern Grade durch Ausklammern erhöhen Ausklammern durch Gruppierung Die Quadratformel anwenden Identitäten berücksichtigen 221 221 223 225 225 226 228 229 231 233 233 234 235 238 238 238 239 239 239 239 239 241 243 243 243 245 247 21*9 250 251 252 253 255 257 259 260 j Inhaltsverzeichnis i Mehrfachwinkel-Lösungen finden Beide Seiten quadrieren Durchmultiplizieren Mit einem graphischen Taschenrechner lösen Kapitel 15 Gesetze befolgen Die Teile von Dreiecken beschreiben Standardisierung der Teile Ein Dreieck bestimmen Der Sinus-Satz Weiter mit dem Kosinus-Satz Den Kosinus-Satz definieren Kosinus-Satz für SWS Kosinus-Satz für SSS Mehrdeutigkeiten Der Tangens-Satz Dreiecksflächen berechnen Die Fläche nach Grundlinie und Höhe berechnen Die Fläche aus drei Seiten berechnen Die Fläche mit SWS ermitteln Die Fläche mit WSW ermitteln Teil V Die Graphen trigonometrischer Funktionen Kapitel 16 Graphen für Sinus und Kosinus Das ABC der Graphen Sinus-Wellen Amplitude und Periode Die Sinus-Gleichung formalisieren Den Sinus verschieben Der Kosinus-Graph Kosinus und Sinus vergleichen Eigenschaften für das Zeichnen des Kosinus-Graphen Der Sinus der Zeiten Sonnenbäder Durchschnittstemperatur Messen Sie Ihre Temperatur Tore schießen Die Theorie des Biorhythmus 263 265 267 268 271 271 271 272 274 278 279 279 282 283 287 289 290 291 293 295 297 299 299 300 300 303 303 306 306 308 308 309 310 311 312 313 Trigonometrie für bummies i Kapitel 17 Graphen für • Tangens — und .-.—:- •- --.---—-i Kotangens 317 Der Tangens Die Periode bestimmen Die Asymptoten zuordnen Tangens-Gefummel " Den Tangens multiplizieren Den Winkel multiplizieren Etwas zum Tangens addieren Und jetzt zum Kotangens Kapitel 18 Graphen anderer 317 317 318 320 321 322 324 326 trigonometrischer Funktionen Wozu ist der Kosekans gut? Die Asymptoten bestimmen Verwendung des Sinus-Graphen Den Kosekans variieren Die Offenbarung des Sekans Die Asymptoten bestimmen Den Graphen des Sekans skizzieren Ein paar weitere Informationen zum Sekans Die inversen Funktionen skizzieren Den inversen Sinus und Kosinus zeichnen Inverse des Tangens und des Kotangens Inverse Sekans- und Kosekans-Funktionen zeichnen Kapitel 19 Trigonometrischer Graphen in 16 cz: ~ • 329 329 329 332 333 333 ' 335 336 337 337 338 339 ' Vollendung Die Grundlagen trigonometrischer Gleichungen Über eine horizontale Linie spiegeln Die Gleichung interpretieren Graphen mit der allgemeinen Form Funktionen addieren und subtrahieren Und jetzt zu Beispielen aus der Praxis Die Gezeiten messen Eine Hirschpopulätion verfolgen Die Bewegung eines Objekts an einer Feder messen 329 34 / ,* 341 342 343 343 348 349 350 352 352 Inhaltsverzeichnis Der Top-Ten-Teil 355 Kapitel 20 Zehn grundlegende Identitäten ... und noch eine Reziprok-Identitäten Verhältnis-Identitäten Pythagoreische Identitäten Gegenwinkel-Identitäten 357 • 357 357 358 358 . Kapitel 21 Zehn nicht so grundlegende Identitäten Produkt-zu-Summe-Identitäten Summe-zu-Produkt-Identitäten Reduktionsformel Die Gleichungen von Möllweide • 359 __ 359 360 360 361 Kapitel 22 Zehn nicht so grundlegende Identitäten 363 Grundlinie und Höhe Gewöhnen Sie sich an Heron! Trigonometrie in der Praxis (oder wofür auch immer Sie dieses Buch lesen) Seite-Winkel-Seite-Formeln Winkel-Seite-Winkel-Formeln Zurück zur Algebra: Determinanten verwenden Kapitel 23 Wertetabelle für Stichwortverzeichnis die trigonometrischen . Funktionen 364 364 364 364 365 365 367 373
