1) Harmonische Schwingung

WELLENLEHRE
1) Harmonische Schwingung
1.1) Fadenpendel
ŷ
Umkehrpunkt
Umkehrpunkt
y
Ruhelage
D: Ein Oszillator ist ein schwingfähiger Körper.
D: Die Ruhelage nimmt ein Oszillator ein, wenn er nicht am Schwingen ist.
D: In den beiden Umkehrpunkten steht der Oszillator beim Schwingen still.
S: Die Schwingung erfolgt symmetrisch um die Ruhelage vom einen zum anderen
Umkehrpunkt.
D: Die momentane Auslenkung y (auch Elongation) ist die Distanz zwischen Ruhelage und
momentanem Ort des Oszillators. Sie ändert ständig.
D: Die Amplitude ŷ ist die maximale momentane Auslenkung (Distanz von Ruhelage zum
Umkehrpunkt).
S: y nimmt Werte zwischen ‒ŷ und +ŷ an.
1
D: Die Schwingungsdauer T (auch Periode) ist die Zeitdauer für eine vollständige Hin- und
Herbewegung (= eine Schwingung).
D: Die Frequenz f gibt an, wie viele Schwingungen pro Sekunde erfolgen (= Kehrwert der
Schwingungsdauer):
(Fundamentum S. 88)
E: T des Fadenpendels bestimmen durch Messung von t =
A: Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Fadenpendels.
T=
A: Berechnen Sie die Frequenz der Schwingung.
F: [f] = = Hz = Hertz (Fundamentum Umschlag)
A: Wie sieht der zeitliche Verlauf der momentanen Auslenkung y = y(t) aus?
E: Stimmgabel auf Russplatte
y(t)
t
S: Der zeitliche Verlauf der momentanen Auslenkung kann bei der ungedämpften
harmonischen Schwingung als Cosinus-Funktion dargestellt werden.
B: http://www.walter-fendt.de/ph14d/fadenpendel.htm
S: Die momentane Auslenkung y berechnet sich mit
Exkurs: Gradmass und Bogenmass
E: Abrollen eines Rades mit Radius r = 1 m
r
0m
F: Hat sich das Rad um 360° gedreht, hat es eine Strecke von 6.28 m (2π ∙ 1 m) zurückgelegt.
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S: 360° entspricht 2π (Fundamentum S. 23)
F: Denselben Winkel können wir sowohl im Gradmass (z.B. 90°) wie auch im Bogenmass
(z.B. ) angeben.
S: Treten Winkel als Argumente trigonometrischer Funktionen auf, muss der Taschenrechner
entweder auf das Gradmass („deg“,….) oder auf das Bogenmass („rad“, …) eingestellt
werden.
A: sin(180°) =
Taschenrechner auf
gestellt
A: sin(π) =
Taschenrechner auf
gestellt
A: Das Pendel (T = 3 s) wird bei ŷ = +1 m losgelassen. Berechnen Sie die momentane
Auslenkung nach 1.5 s, 3 s und 3.75 s für obiges Fadenpendel.
y(1.5) = −1 m
y(3) = +1 m
y(3.75) = 0 m
A: Wovon hängt die Schwingungsdauer T ab?
l
m
F: Masse m ändern:
F: Amplitude ŷ ändern:
F: Standort (d.h. Ortsfaktor) g ändern:
F: Fadenlänge l ändern:
F: T ist direkt proportional zu l und indirekt proportional zu g: T
(Fundamentum S. 88)
A: Ein Fadenpendel habe l = 0.6 m und m = 2 kg. Berechnen Sie T und f auf der Erde.
T= 1.55 s
f = 0.64 Hz
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1.2) Federpendel
A: Wovon hängt hier die Schwingungsdauer T ab?
Umkehrpunkt
Ruhelage
ŷ
m
Umkehrpunkt
F: Masse m ändern:
F: Amplitude ŷ ändern:
F: Standort (d.h. Ortsfaktor) g ändern:
F: Federhärte (auch Federkonstante) D ändern:
F: T ist direkt proportional zu m und indirekt proportional zu D: T
(Fundamentum S. 88)
A: Ein Federpendel habe m = 3 kg und T = 2.3 s. Berechnen Sie die Federkonstante D.
D = 22.39
1.3) Kraftgesetz
D: Die rücktreibende Kraft Fr ist die Kraft, die den Oszillator in seine Ruhelage bringen
möchte.
1.3.1) Federpendel: Fr = Federkraft FF (vergl. “Mechanik” Kap. 2.5)
Ruhelage
Fr
Umkehrpunkt
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S: FF = D ∙ y (Fundamentum S. 83)
S: Fr = k ∙ y wobei k: konstante Zahl
F: Fr ist direkt proportional zur momentanen Auslenkung y.
1.3.2) Fadenpendel: Fr = Senkrechtkomponente von FG (vergl. “Mechanik” Kap. 2.6)
l
y
Fr
FN
FG
A: Ist auch hier die rücktreibende Kraft direkt proportional zur momentanen Auslenkung?
(wegen Ähnlichkeit der Dreiecke)
wobei k: konstante Zahl
F: Fr ist direkt proportional zur momentanen Auslenkung y.
S: Ist die rücktreibende Kraft Fr direkt proportional zur momentanen Auslenkung y,
haben wir es mit einer harmonischen Schwingung zu tun.
S (Kraftgesetz): F = k ∙ y (Fundamentum S. 88)
B: Fadenpendel, Kinderschaukel, Federpendel, Bungee-Jump,…
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1.4) Gedämpfte Schwingung
E: Fadenpendel mit geringer Dichte
A: Warum kommt das Fadenpendel irgendwann zum Stillstand?
A: Was passiert dabei mit der Amplitude und der Periodendauer?
S: Bei einer gedämpften harmonischen Schwingung verkleinert sich die Amplitude ŷ
während die Periodendauer T erhalten bleibt.
A: Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der momentanen Auslenkung für eine gedämpfte
harmonische Schwingung in einem Diagramm.
y(t)
t
1.5) Angeregte Schwingung
E: Aufschaukeln bei Kinderschaukel
A: Mit welcher Frequenz muss die Schaukel angestossen werden, damit sie immer höher
schwingt?
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D: Die Eigenfrequenz ist die Frequenz, mit der ein Oszillator von sich aus schwingt, wenn er
nach dem Auslenken losgelassen wird.
D: Die Erregerfrequenz ist die Frequenz, mit der ein Oszillator von aussen zum Schwingen
angeregt werden soll.
S: Stimmt die Erreger- mit der Eigenfrequenz überein, beginnt der Oszillator zu schwingen.
Wir sprechen von Resonanz.
B: zwei Stimmgabeln in Resonanz
a)
b)
B: http://www.walter-fendt.de/ph14d/resonanz.htm
A: Was passiert beim Aufschaukeln mit der Amplitude und der Periode?
S: Bei der angeregten harmonischen Schwingung vergrössert sich die Amplitude ŷ, während
die Schwingungsdauer T erhalten bleibt.
A: Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der momentanen Auslenkung für eine angeregte
harmonische Schwingung in einem Diagramm.
y(t)
t
S: Wird das angeregte System nicht gedämpft, kann die Amplitude so stark ansteigen, dass
das Material des Oszillators beschädigt wird. Wir sprechen von Resonanzkatastrophe.
B: Einsturz der Tacoma-Brücke (http://www.youtube.com/watch?v=mjQ8793y_0I)
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2) Wellen
2.1) Gekoppelte Oszillatoren
E:
gekoppelte Pendel
Mehrfachpendel (Saitenmodell)
F: Die einzelnen Oszillatoren bewegen sich nicht mit der Geschwindigkeit der Welle durch
den Raum, sondern sie bleiben im Mittel an Ort, d.h. sie schwingen an Ort hin und her.
F: Durch die Welle wird somit nicht Masse weitergegeben sondern Bewegungsenergie. Diese
breitet sich in Form einer Welle aus.
B: Seilwelle
t=0s
t=1s
t=2s
t=3s
t=4s
t=5s
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2.2) Wellenausbreitung
A: Auf welche Arten kann sich eine Welle ausbreiten (Fundamentum S. 89)?
D: Bei der Transversalwelle schwingen die einzelnen Oszillatoren quer zur
Ausbreitungsrichtung der Welle.
B: Seilwelle
Schwingungsrichtung
Ausbreitungsrichtung
D: Bei der Longitudinalwelle schwingen die einzelnen Oszillatoren längs der
Ausbreitungsrichtung.
B: Schallwelle
Schwingungsrichtung
Ausbreitungsrichtung
2.3) Graphische Darstellung
A: Wie kann die Form einer Welle graphisch dargestellt werden
(s. Fundamentum S. 89)?
A: Zeichnen Sie den örtlichen Verlauf der momentanen Auslenkung y in einem Diagramm.
y(x)
x
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A: Was ist der Unterschied zwischen obigem Diagramm und dem Diagramm für eine
harmonische Schwingung auf Seite 2?
D: Die Wellenlänge  ist der örtliche Abstand zwischen zwei Wellenbergen (oder zwei
Wellentälern).
D: Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Welle durch
ein Medium hindurch ausbreitet.
S: Der Zusammenhang zwischen  f und c ist:
A: Schallwellen breiten sich in der Luft mit 340
Kammerton a mit 440 Hz?
aus. Welche Wellenlänge besitzt der
S: Je grösser die Frequenz f bei einer Schallwelle, desto höher der Ton.
S: Je grösser die Amplitude ŷ bei einer Schallwelle, desto lauter ist der Ton.
S: Die momentane Auslenkung y berechnet sich mit:
D: x ist die Ortskoordinate
(Fundamentum S. 89).
F: Diese Formel gilt nur für eine Welle, die sich auf der x-Achse in negativer Richtung
ausbreitet.
A: Eine Wasserwelle breite sich in negativer Richtung aus. Bei x = 4 m schwimme ein
Korkzapfen. Es sollen gelten: ŷ = 0.2 m, T = 1 s und  = 2 m. Skizzieren Sie die Situation.
Welche momentane Auslenkung hat der Zapfen nach 0, 1 und 1.25 s?
y(x)
x
y(0) = 0 m,
y(1) = 0 m
y(1.25) = 0.2 m
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2.4) Stehende Wellen
A: Auf welche Arten kann eine Gitarrensaite schwingen?
E: Mehrfachpendel
Saitenlänge L
ein Wellenbauch:
Grundschwingung, erzeugt Grundton
zwei Wellenbäuche: 1. Oberschwingung, erzeugt 1. Oberton
drei Wellenbäuche: 2. Oberschwingung, erzeugt 2. Oberton
u.s.w.
(laut)
(leise)
(leise)
F: Eine Gitarrensaite schwingt auf all diese Arten gleichzeitig.
F: - Die Wellen scheinen sich nicht auszubreiten → stehende Wellen
- Es gibt Orte auf der Saite, bei denen die momentane Auslenkung immer null ist
→ Wellenknoten
A: Wie lassen sich die Wellenlängen der einzelnen Schwingungen berechnen?
Grundschwingung:
1 = 2 ∙ L
=
1. Oberschwingung: 2 = L =
2. Oberschwingung: 3 =
∙L
=
3. Oberschwingung: 4 =
u.s.w.
∙L
=
→
n =
=
 (n = 1, 2, 3, …)
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A: Wie lassen sich die entsprechenden Frequenzen berechnen?
Grundschwingung:
1 = 2 ∙ L
1. Oberschwingung: 2 = L
=
→
=
→
2. Oberschwingung: 3 =
∙L
=
→
3. Oberschwingung: 4 =
∙L
=
→
u.s.w.
→
(n = 1, 2, 3, …)
A: Der Grundton der e-Saite einer Gitarre hat eine Frequenz von 660 Hz. Berechnen Sie die
Frequenzen der ersten drei Obertöne.
f1 = 660 Hz, f2 = 1320 Hz, f3 = 1980 Hz, f4 = 2640 Hz
F: - Gekoppelte Oszillatoren können mehrere Eigenfrequenzen aufweisen.
- Bei Musikinstrumenten bestimmt der Grundton die Tonhöhe, während die Obertöne die
Klangfarbe festlegen.
B: a von Gitarre und von Stimmgabel klingen anders.
A: Warum haben die sechs Saiten einer Gitarre verschiedene Grundtöne, obwohl alle Saiten
gleichlang sind?
B: Seil am Boden mehr oder weniger gespannt
A: Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle für unsere e-Saite (L = 58 cm)
und vergleichen Sie mit der Schallgeschwindigkeit.
c = 765.6 > 340
A: Wie kann man also die Frequenz einer Saite erhöhen?
- Saitenspannung erhöhen, was zu einer höheren Ausbreitungsgeschwindigkeit c führt.
- Saite verkürzen, was zur Verkürzung der Wellenlänge  führt.
A: Was hören Sie, wenn Sie die Gitarrensaite halbieren?
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A: Warum klingt eine Oktave so harmonisch d.h. konsonant?
B: Frequenzen der Obertöne des Grundtons e und des Grundtons e’ (Einheit: Hertz):
f(e)
660
1320
1980
2640
3300
3960
4620
5280
f(e‘)
1320
2640
3960
5280
F: Jeder zweite Oberton ist gemeinsam, also haben e und e‘ viele gemeinsame Obertöne.
A: Berechnen Sie das ganzzahlige Frequenzverhältnis der jeweiligen Grundtöne.
f1(e‘) : f1(e) =
A: Wann klingen zwei Töne nicht harmonisch d.h. dissonant?
B: Frequenzen der Obertöne des Grundtons e und des Grundtons dis (1237.5 Hz). Einheit Hz
f(e)
660
1320
1980
2640
3300
3960
4620
5280
f(dis)
1237.5
2475
3712.5
4950
F: e und dis haben wenig gemeinsame Obertöne.
A: Berechnen Sie das entsprechende ganzzahlige Frequenzverhältnis der Grundtöne.
f1(dis) : f1(e) =
S: Je einfacher das ganzzahlige Zahlenverhältnis der Frequenzen (d.h. der Saitenlängen)
zweier Grundtöne ist, desto mehr gemeinsame Obertöne kommen vor und desto harmonischer
klingt daher das Tonintervall.
S: Je komplizierter das ganzzahlige Zahlenverhältnis der Frequenzen zweier Grundtöne ist,
desto weniger gemeinsame Obertöne kommen vor und desto dissonanter tönt das Intervall.
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2.5) Dopplereffekt
A: Wie ändert sich das Motorengeräusch eines an Ihnen vorbei fahrenden Löschfahrzeuges?
A: Wie breiten sich Schallwellen einer ruhenden Schallquelle aus (Bild links)?

v
A: Was geschieht, wenn sich die Quelle mit der Geschwindigkeit v bewegt (Bild rechts)?
S: Schallwellen werden in Bewegungsrichtung gestaucht und entgegen der
Bewegungsrichtung gedehnt.
A: Was geschieht dabei mit der Wellenlänge  und damit der Frequenz f?
F: Beim Stauchen wird  kleiner, d.h. f grösser (Ton höher)
Beim Dehnen wird  grösser, d.h. f kleiner (Ton tiefer)
(Fundamentum S. 89)
fB :
fS:
vB:
vS:
beobachtete Frequenz
Senderfrequenz
Geschwindigkeit des Beobachters
Geschwindigkeit des Senders
wobei: oberes Vorzeichen bei Annäherung, unteres Vorzeichen bei Entfernung
A: Ein ruhendes Auto sendet ein Motorengeräusch der Frequenz 400 Hz aus. Welche
Frequenz nimmt ein ruhender Beobachter wahr, wenn das Auto mit 70
auf ihn zufährt?
fB = 424.2 Hz
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A: Wie kommt es zum Überschallknall?
Annahmen: Flugzeug flog mit der doppelten Schallgeschwindigkeit, startete beim Kreuz und
gelangte nach 3 Sekunden zur Position rechts.
2.6) Überlagerung von Wellen (Interferenz)
A: Was geschieht, wenn ein Oszillator von zwei Wellen gleichzeitig erreicht wird?
B: Wellen zweier Schiffe erreichen einen schwimmenden Korkzapfen.
- Extremfall 1: Die Wellenberge treffen gleichzeitig ein:
2
1
0
0
90
180
270
360
450
-1
-2
F: Überlagerung führt zur Verstärkung der momentanen Auslenkung
→ maximale konstruktive Interferenz
15
540
630
- Extremfall 2: Die Wellenberge treffen um eine halbe Wellenlänge versetzt ein:
1.6
0.8
0
0
90
180
270
360
450
540
630
-0.8
-1.6
F: Überlagerung führt zur Auslöschung der momentanen Auslenkungen
→ maximale destruktive Interferenz
S: Allgemein gilt, dass sich bei der Überlagerung von Wellen die momentanen Auslenkungen
unter Berücksichtigung der Vorzeichen addieren.
B: y1 = 2 cm, y2 = ‒ 3.5 cm → yÜberlagerung = ‒ 1.5 cm
A: Was geschieht, wenn aus zwei Lautsprechern derselbe Ton gespielt wird?
Vorbereitung: Wellenberge seien schwarz, Wellentäler weiss
y(x)
x
F: Es gibt Regionen mit lautem Ton (Amplituden überlagern sich konstruktiv, d.h. schwarz
auf schwarz und weiss auf weiss) und andere mit leisem Ton (Amplituden überlagern sich
destruktiv, d.h. schwarz auf weiss und weiss auf schwarz) → Interferenzmuster
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E: Zwei Kugelwellen überlagern (Folien mit zwei konzentrischen Kugelwellen)
F: Es gibt einzelne Richtungen mit ausschliesslich konstruktiver Interferenz (weiss und
schwarz alternierend) und Richtungen mit ausschliesslich destruktiver Interferenz (nur
schwarz).
A: Wie lassen sich diese Richtungen bestimmen?
E: Doppelquelle im Abstand d
d

m
D: m sind die Richtungen von Intensitätsmaxima, d.h. maximale konstruktive Interferenz.
(m = 0, 1, 2, ...)
B: Das zweite Intensitätsmaximum liegt bei 2, wobei gilt:
A: Zwei Lautsprecher stehen 2 m voneinander entfernt und "schauen" in dieselbe Richtung.
Beide senden einen Ton von 500 Hz aus. In welche Richtung wird das erste Maximum
ausgesendet?

1 = 19.9°
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E: parallele Wellen treffen auf einen Spalt
Simulation:
http://jakobvogel.net/legacy/index.php?url=physics/waves/basin2d/index.xml&lang=de

F: Die Wellen breiten sich hinter dem Spalt halbkugelförmig aus.
S: Prinzip von Huygens:
Wird ein einzelner Oszillator von einer Wellenfront getroffen, bildet er den Ausgangspunkt
für eine neue Kugelwelle. Diese so genannten Elementarwellen überlagern sich zu einer
neuen Wellenfront.
B: Wasserwellen
1)
2)
3)
3)
F: Was aussieht wie einzelne parallele Wellen, ist die Überlagerung von unzähligen
halbkugelförmigen Elementarwellen.
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2.7) Reflexion von Wellen
Video:
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/reflexion.vlu/P
age/vsc/de/ph/14/ep/einfuehrung/wellen/reflexion1.vscml.html
E: Saitenmodell
F: Bei einer Transversalwelle wird am festen Ende ein Wellenberg als Wellental und ein
Wellantal als Wellenberg reflektiert:
F:Am freien Ende wird ein Wellenberg als Wellenberg und ein Wellental als Wellental
reflektiert:
A: Wie verhält es sich bei einer Longitudinalwelle?
E: Saitenmodell
F: Bei der Longitudinalwelle wird am festen Ende eine Verdichtung als Verdichtung und eine
Verdünnung als Verdünnung reflektiert.
F: Am freien Ende wird eine Verdichtung als Verdünnung und eine Verdünnung als
Verdichtung reflektiert.
A: Sie rufen im Nebel an eine für Sie nicht sichtbare Felswand und hören ihr Echo nach 3.5 s.
Wie weit ist die Wand von Ihnen entfernt?
s = 595 m
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2.8) Lautstärke L
S: Schallwellen sind Druckschwankungen in der Luft.
A: Was geschieht, wenn eine Schallwelle in unser Ohr dringt?
F: Das Trommelfell wird durch Schallwellen zum Schwingen angeregt, d.h., Energie wird auf
das Trommelfell übertragen.
D: Die Intensität I gibt die Energiemenge an, die pro Sekunde auf eine Fläche von 1 m2
übertragen wird.
B: Ein Motorrad erzeugt eine Intensität von 10-4
A: Was geschieht mit der Intensität, wenn ich zwei identische Motorräder starte?
A: Höre ich die Motorräder auch doppelt so laut?
E: eine, dann zwei Stimmgabeln
S: Die menschliche Gehörwahrnehmung arbeitet „logarithmisch“. Sie nimmt die Lautstärke
L wahr, nicht die Intensität I.
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[L] = dB = Dezibel
A: Wie gross ist die Lautstärke von einem, von zwei und von 100 Motorrädern?
L1 = 80 dB
L2 = 83 dB
L100 = 100 dB
A: Hören wir in allen Frequenzbereichen gleich laut?
B: Hundepfeife, Ultraschall/Infraschall
S: Das menschliche Gehör ist in verschiedenen Frequenzbereichen unterschiedlich
empfindlich.
D: Ein Phon nehmen wir bei allen Frequenzen als gleich laut wahr.
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