geometrische maxima und minima mit anwendung auf die optik

GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT
ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
VON JOHANNES FINSTERBUSCH.
§ 1.
UEBER DIE AUFLöSUNGS-METHODEN.
1. Geometrische Maximum- und Minimum-Aufgaben können entweder synthetisch oder analytisch behandelt werden. Die synthetische oder reingeometrische
Auflösungsmethode ist durch die Anschaulichkeit und Eleganz ihrer Lösungen
bemerkenswert, trägt aber vielfach den Charakter der Zufälligkeit, da sich, um mit
J. S t e i n e r zu reden, " nicht ein einziges gemeinsames Grundprinzip aufstellen lässt,"
während die analytische oder rechnerische Behandlung in der Anwendung der
Differentialrechnung eine umfassende Methode besitzt, wie die erstere nicht ihres
Gleichen hat. Damit soll aber nicht gesagt sein, dass für alle Aufgabengruppen die
analytische Behandlung mit höherer Analysis allen anderen Methoden vorzuziehen
sei. Selbst unter den rechnerischen Auflösungen eines Problems ist sie es bei weitem
nicht immer. So führt z. B. die Anwendung des bekannten Doppelsatzes :
(Summe)
.,.
~ ..
., 7
(Produkt)
n .
7
Hei gegebener -i p , , r von n positiven Grossen ist deren < ~
, > am
\j7.
_,_ [, wenn die n Grössen alle einanderJ gleich sind,
[kleinsten)
falls
weil
Auf
dass
die Zurückführung eines Problems auf ihn gelingt, deshalb kürzer zum Ziele,
hierdurch die Aufstellung der zu differenzierenden Funktion überflüssig wird.
den Beweis dieses Doppelsatzes soll hier verzichtet werden*; doch sei erwähnt,
er für n = 2 und n = 3 auch reingeometrisch geführt werden kann.
Für n = 2 steht er in E u k l i d ' s Elementen im vi. Buche als Satz 27 und bildet
nach Moritz C a n t o r " das erste Maximum, welches in der Geschichte der Mathematik
nachgewiesen worden ist f." Ebensowenig möchte ich auf die vielen Anwendungen
des Doppelsatzes näher eingehen. Nur des Zusammenhanges mit einer unten
behandelten Aufgabe wegen, werde mit seiner Hilfe kurz bewiesen, dass unter allen
Sehnenvierecken von gegebenem Umfang das Quadrat den grössten Inhalt hat. Bezeichnen a, b, c, d die Seiten eines beliebigen Sehnenvierecks vom gegebenen Umfange
25, so folgt aus der bekannten Heronischen Flächenformel
F = V(s - a) (s~- b) (s-e)
(s - d),
* Arithmetische Beweise finden sich z. B. i n : R u d o l f S t u r m , Maxima und Minima in der elementaren
Geometrie, 1910, S. 1—4.
f M o r i t z C a n t o r , Geschichte der Mathematik, i, S. 252.
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JOHANNES E I N S T E R B U S C H
in der die Summe der vier Faktoren = 2s, also konstant ist, dass ihr Produkt und
daher F zum Maximum wird, wenn die Faktoren einander gleich sind, d. h. wTenn das
Sehnenviereck ein Quadrat ist*.
Die synthetischen Methoden verdanken ihren Ausbau in erster Linie J a c o b
S t e i n e r . "Zwei der bedeutendsten Abhandlungen, in denen er die Ergebnisse
seiner langjährigen Untersuchungen über Maximum und Minimum bei den Figuren
in der Ebene, auf der Kugelfläche und im Räume überhauptf niedergelegt hat,"
sind bis heute der Ausgangspunkt ähnlicher, wenn auch nicht eben zahlreicher
Abhandlungen geblieben.
2. Im Folgenden will ich aus meinen Untersuchungen über denselben Gegenstand zunächst einige bekannte Aufgaben aus der Geometrie der Vielecke in neuer
Weise synthetisch behandeln. Meine Beweise, die die bisher vorhandenen an Einfachheit und Anschaulichkeit übertreffen dürften, enthalten zugleich den Schlüssel
zur Lösung anderer derartiger Aufgaben, z. B. der Steiner'schen Schliessungs-Sätze
über gespiegelte Lichtstrahlen. Als Hauptaufgabe behandle ich die Verallgemeinerung
des Problems der Minimal-Ablenkung, die ein Lichtstrahl beiin Durchgang durch ein
Prisma erfährt.
Ehe ich mich zu den Aufgaben selbst wende, möchte ich einige kurze Bemerkungen über die synthetischen Methoden, deren ich mich bediene, vorausschicken.
Die zu lösende Aufgabe kann als Theorem oder als Problem gestellt sein. Während
die analytische Auflösungsart in beiden Fällen durch das Verschwinden des ersten
Differentialquotienten die Bedingungsgleichung des Extremums gewinnt und ferner
durch das positive oder negative Vorzeichen des zweiten Differentialquotienten
erkennt, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt, behandelt die synthetische Methode
beide Fälle verschieden :
I. < Beim Beweise eines T h e o r e m s , wenn also die das Extremum kennzeichnende
Eigenschaft schon bekannt ist, gehen wir von der Figur des Extremums aus und
verändern diese derart, dass alle Eigenschaften der Figur, abgesehen von der
besonderen des Extremums, erhalten bleiben. Durch Vergleichung beider Figuren,
deren einzelne entsprechende Grössen um E n d l i c h e s von einander abweichen, wird
die Figur des Extremums als solche nachgewiesen. Dabei wird zugleich entschieden,
ob ein Minimum oder Maximum vorliegt.
II. Handelt es sich dagegen um ein Problem, soll also erst die noch unbekannte, das Extremum bedingende Eigenschaft gefunden werden, so sind es zwei
Wege, die zum Ziele führen:
I I a. Methode der gleichen, endlich getrennten Werte, wie ich sie nennen möchte.
Die in der Aufgabe aufgeführten Eigenschaften reichen zur vollständigen Bestimmung
der Figur nicht hin. Wir nehmen deshalb als noch fehlendes Bestimmungsstück
einen beliebigen Wert der veränderlichen Grösse, die zum Extremum werden soll,
hinzu. Dadurch geht, wenn ein Extremum existiert, die bisher unbestimmte Aufgabe
in eine immer mehrdeutig bestimmte über. Aus zwei verschiedenen Lösungen,
in geeigneter W'eise auf einander bezogen, ist nun abzuleiten, welche Beziehung
* Rudolf S t u r m , a. a. O., S. 25.
f J a c o b S t e i n e r , Werke, n, S. 177—308.
GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
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zwischen den Grössen bestehen muss, wenn die beiden e n d l i c h verschiedenen
Figuren zur Deckung gelangen sollen. Diese Bedingung ist die gesuchte Eigenschaft
des Extremums. Damit ist das Problem zum Theorem geworden. Die Art des
Extremums wird nach I entschieden.
I I b. Methode der gleichen, zusammenfallenden Werte oder Methode des UnendlichKleinen. Man geht von der Analysis-Figur des Extremums aus und denkt sich diese
nur unendlich wenig verändert. Die Beziehungen beider Figuren drücken sich
in einer Gleichung aus, die die unendlich kleine Veränderung der veränderlichen
Grösse enthält, deren Extremum gesucht wird. Wird diese unendlich kleine Veränderung gleich Null gesetzt, so erhält man die Bedingungsgleichung des Extremums.
Die Art des Extremums wird auch hier nach I entschieden.
Diese Methode 116, eine geometrische Vorläuferin der Differentialrechnung,
macht demnach wie diese von dem Verschwinden der Aenderung einer veränderlichen
Grösse in der Nähe des Extremums Gebrauch. Decken sich also hierin ihrem Wesen
nach beide Methoden, die synthetische und die analytische, so ist jedoch bei reingeometrischen Problemen die erstere der höheren Analysis weit vorzuziehen, da sie
vielmehr als diese geeignet ist, " das eigentliche Wesen oder die wahre Ursache des
Maximums und Minimums anzugeben" (Steiner, a. a. O., II, 179). Das erscheint
ganz natürlich und einleuchtend, wenn man bedenkt, dass bei der synthetischen
Methode die Bedingung des Extremums gleichsam organisch aus der Figur hervorgeht
und so ihre wesentlichen Grössen direkt zu einander in Beziehung bringt ; während
bei der Differentialrechnung die zu Grunde gelegten Grössen (Koordinaten) meist
recht fremdartig oder nur in losem Zusammenhange zu den wesentlichen Grössen der
Aufgabe stehen, sodass es oft sehr schwer ist, aus der erhaltenen Bedingungsgleichung
eine einfache Eigenschaft des Extremums herauszulesen. " Die synthetische Methode
hat noch in neuester Zeit zu einzelnen schönen Ergebnissen geführt, welche durch
die Anwendung der Differentialrechnung nicht gefunden worden waren" (Fiedler).
Auch von den nun zu behandelnden Aufgaben hätte ich wohl schwerlich so einfache
Beweise und Konstruktionen gefunden, wenn ich mich nicht synthetischer Methoden
bedient hätte.
§ 2.
EINIGE AUFGABEN üBER VIELECKE.
8. Im spitzwinkligen Dreieck ABC hat das Dreieck der Höhenfusspunkte
den kleinsten Umfang.
DEF
Von diesem Satze hat Schwarz einen schönen Beweis gegeben, der fälschlicherweise J a c o b S t e i n e r zugeschrieben worden ist*. Mein ebenfalls reingeometrischer
Beweis hat nicht wie jener 6 auf einander folgende Umklappungen oder Spiegelungen
des Dreiecks ABC nötig, sondern nur je eine um die Seiten AB und AC (Fig. 1).
Geht man von einem beliebigen Punkte X der Seite BC aus und sind X1 und
X2 die ihm entsprechenden Spiegelpunkte, so hat jedes beliebige eingeschriebene
Dreieck XYZ den geknickten Streckenzug X1YZX2 zum Umfang, also einen
grösseren als das Dreieck XT0ZQ, dessen Seite T0Z0 auf der Strecke XXX2 liegt. Da
je zwei Seiten des Höhenfusspunktdreiecks DEF mit einer Seite des gegebenen
* Vergleiche: J. S t e i n e r , Ges. W., n, Anmerkung auf Seite 728 und H. A. S c h w a r z , Ges. W., n, 349
(nach E. S t u r m , a. a. 0., Seite 90).
108
JOHANNES FINSTERBUSCH
Dreiecks gleiche Winkel einschliessen, also symmetrisch zu ihr liegen, was beim
vorigen Dreieck nur an den Ecken F 0 und ZQ der Fall war, so ist dessen Umfang
D1EFD2 gleich der Strecke D1D2, wenn D1 und D2 die Spiegelpunkte vom Höhenfusspunkt D bedeuten.
Werden nun die Punkte Xx und X2 auf D1D2 orthogonal projiziert, so folgt aus
der Gleichheit der Strecken DX = D1X1 — D2X2 und der Gleichheit der Winkel bei
Dx und D2 mit den Winkeln a bei D die Gleichheit ihrer Projektionen X1'D1= X2'D2
auf D1D2, und also X(X2' = D^D2. Da nun die Projektion X(X2 kleiner ist als die
projizierte Strecke XXX2 oder der projizierte Streckenzug XXYZX2, so hat das
Höhenfusspunktdreieck den kleinsten Umfang*.
4. Vorstehendes Theorem kann auch als "Problem" gelöst werden: Da
X1S H- X2S = Umfang des Dreiecks CBS, also konstant ist, kann unsere Aufgabe auf
die einfachere zurückgeführt werden : Welches unter allen Dreiecken X1SX2, die in
dem Winkel S an der Spitze und der Schenkelsumme übereinstimmen, hat die kleinste
Grundlinie XYX2i Dreieck XlSX2 und sein symmetrisches in Bezug auf die Winkelhalbierende von S stimmen in der Grösse von X1X2, dessen Extremum gesucht wird,
überein. Nach Methode I I a müssen im Falle des Extremums beide Dreiecke sich
decken, folglich ist die Basis D1D2 des gleichschenkligen unter den Dreiecken X1SX2
das gesuchte Extremum. Seine Art wird wie oben nach Methode I bestimmt.
5. Unter allen konvexen Vielecken V von gegebenen Seiten hat das einem Kreise
eingeschriebene oder Sehnen-Vieleck V0 die grösste Fläche.
Da meine Beweismethode für das w-Eck genau dieselbe bleibt, wie für das
Viereck, behandeln wir das letztere. Wir gehen vom Sehnen-Viereck V0 aus (Fig. 2)
und zerschneiden es vom Mittelpunkte M des umgeschriebenen Kreises aus durch die
4 nach den Ecken gehenden Radien in gleichschenklige Dreiecke Di, deren algebraische
Summe gleich der Fläche des Sehnenvierecks V0 ist. Liegt der Mittelpunkt M
innerhalb des Vierecks, so sind alle 4 Dreiecke positiv ; nur wenn M ausserhalb des
Vierecks liegt, ist das gleichschenklige Dreieck mit der grössten Vierecksseite als
Basis negativ zu nehmen. Werden die Winkel des Sehnenvierecks (als Gelenkviereck
aufgefasst) verändert (Fig. 3), so beschreiben die nach den Ecken gezogenen Radien
vier Sektoren #,-, die wir als positiv oder negativ in Rechnung bringen, je nachdem
durch sie der betreffende Winkel des Vierecks vergrössert oder verkleinert wird. Der
Mittelpunkt M beschreibt ein Kreisbogenviereck M1M2M3M4t = M. Dann folgt für
die neue Figur des Vierecks V
XDi +
tS^M+V.
Nun ist aber 2 / A = F 0 und 2 S ; = 0, weil die algebraische Summe der Zentriwinkel = 0 sein muss, damit die Winkelsumme des Vierecks konstant = 4 Rechte
bleibt. Also erhalten wir
womit der Satz bewiesen ist.
* Laut Jahresbericht xxxvi—xxxix, 1906-1909 des Vereins für Naturkunde zu Zwickau habe ich den
Beweis in der Sitzung vom 13./i. 1908 vorgetragen. In W e b e r and W e l l s te in, Enzykl. d. Elementarmath., in 1 , zweite Aufl. 1910 steht ein Beweis, der mit meinem übereinstimmt und nur am Ende die
Aehnlichkeit der gleichschenkligen Dreiecke X1AX2 und D1AD2 heranzieht, um D1D2<X1X2 nachzuweisen.
In der ersten Auflage in, 1907, S. 309, stand dieser Beweis noch nicht.
MAXIMA U. MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK.
JOHANNES FINSTERBUSCH.
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GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
109
Die Verwandlung eines konvexen Vielecks in ein Sehnenvieleck von denselben
Seiten ist immer möglich und eindeutig. Alle Sehnen vi elecke von denselben Seiten,
aber in verschiedener Reihenfolge, sind flächengleich.
6.
/7([
(6)1
Unter allen konvexen Vielecken V von gegebenen Winkeln und \ ^.. / . T
*v
[Flachemnh.
hat das einem Kreise umgeschriebene oder Tangentenvieleck VQ den -L, .
. '
Tr
[kleinsten Umfang.
Da auch hier die Beweisführung für das n-Eck genau dieselbe ist wie beim
Viereck, geben wir wieder die letztere. Wir gehen vom Tangentenviereck V0 aus
(Fig. 4) und zerschneiden es vom Mittelpunkte M des eingeschriebenen Kreises aus
durch die nach den 4 Berührungspunkten gehenden Radien in Teilvierecke, sogenannte rechtwinklige Deltoide D;. Durch (beim Viereck abwechselnde) Verlängerungen oder Verkürzungen der Seiten, wodurch die Winkel des Vierecks erhalten
bleiben, (Fig. 5) beschreiben die 4 Radien Rechtecke Riy die wir als positiv oder
negativ in Rechnung stellen, je nachdem es sich um Verlängerung oder Verkürzung
der Vierecksseiten handelt. Der Mittelpunkt M beschreibt im allgemeinen ein
geradliniges Viereck M1M2M3M4 = M. Dann ergibt die neue Figur des Vierecks V
XDi + ZRi^V
+ M.
Im Falle (a) ist nun, da der Umfang erhalten bleibt, die algebraische Summe der
Verlängerungen und also auch die algebraische Summe der Rechtecke XR; = 0 und
folglich
V^V+M,
womit der Satz (a) bewiesen ist.
Im Falle (b) ist, da der Inhalt nicht verändert wird, XD,= V0= V, und mithin
HR,- = M oder S ä , > 0. Ist aber die algebraische Summe der Rechtecke grösser als
Null, so ist es auch die algebraische Summe der Verlängerungen der Vierecksseiten,
womit der Satz (b) bewiesen ist.
7. Nur andeutungsweise werde für 2n-Ecke ein Zusammenhang der Aufgabe (a)
mit den Steiner'schen Schliessungssätzen über gespiegelte Lichtstrahlen gegeben.
Werden im Viereck V= A1A2AsAi
die Winkelhalbierenden gezogen und auf ihnen
in den je 4 Punkten Ai und Mi Lote errichtet, so schneiden sich die letzteren in
einem Punkte M, der zugleich der Diagonalschnittpunkt von den Sehnenvierecken
Nx N2 N3 N4 und 8X S2 89 S4 ist. Durch Parallel Verschiebung längs der Strecken Mx M, M2 M,
MSM,M4M schliessen sich die Deltoide Dv; zum Tangentenviereck
V^A^A^A^A?
zusammen. Das Tangentenviereck V0 und das Viereck V sind also demselben
Sehnen viereck S1S2SSS4 eingeschrieben, und man erhält die St ein ersehen Sätze, die
hierdurch eine neue Beleuchtung erfahren. Ich gedenke an anderer Stelle ausführlich
hierauf zurückzukommen, da ich hier auf die vielen interessanten Beziehungen, die
sich allgemein bei 2n-Ecken und (2n + 1)-Ecken ergeben, nicht eingehen kann.
§ 3.
D I E ABLENKUNG DES LICHTES IN PRISMEN.
8. Bekanntlich erfährt ein Lichtstrahl, der im Hauptschnitt durch ein Prisma
geht, immer eine Ablenkung von der brechenden Kante des Prismas weg oder nach
ihr hin, je nachdem das Prisma optisch dichter oder dünner als seine Umgebung ist,
110
JOHANNES FINSTERBUSCH
und der Ablenkungswinkel ist bei symmetrischem Durchgang am Kleinsten. Hiervon
gibt es zahlreiche Beweise, die sich auf goniometrische Rechnungen mit oder ohne
Anwendung der höheren Analysis stützen. Ein reingeometrischer Beweis, der diesen
symmetrischen Durchgang nicht nur als extremen Wert der Ablenkung, sondern auch
als Minimum erkennen lehrt, scheint nicht vorhanden zu sein. Ich gebe im
Folgenden einen solchen, den ich am 12./7. 1911 gefunden habe, und zwar behandle
ich gleich die allgemeine, wie ich glaube neue Aufgabe :
Das Minimum oder Maximum der Ablenkung eines Lichtstrahls im Hauptschnitt
eines Prismas zu finden, dessen Begrenzungsebenen an zwei verschiedene optische Mittel
angrenzen.
Als gegebene Grössen betrachten wir die Verhältnisse der Lichtgeschwindigkeiten in den drei optischen Mitteln c0 : cx : c2 oder die relativen Brechungsexponenten
n0, n1, n und den brechenden Winkel co des Prismas. Zwischen den Grössen c und n
besteht dann der Zusammenhang
c0nQ = e1n1 = c2n2
(1).
Wir rechnen im Hauptschnitt des Prismas positiv den brechenden Winkel w,
wenn dessen Scheitel links von der Lichtstrahlenrichtung liegt, ferner den Einfallswinkel «„__! und Brechungswinkel ßv beim Uebergang in das vte Mittel, wenn die
Drehung des Strahles in das Einfallslot im Sinne des Uhrzeigers erfolgt, und endlich
den Ablenkungswinkel </>„, wenn bei der z^ten Brechung der Lichtstrahl in diesem
Sinne gedreht wird. Dem Snellius-schen Brechungsgesetz zufolge erhalten wir
dann das Gleichungssystem :
sina 0
sin ß1
c0
c1
?i!
n0
Q
sin«!
sin ß2
c1 n,
c2 n,
Q
und hieraus für die Gesamtablenkung
<£ = </>! + <k = o r 0 - £ 2 - û >
(3).
9. Die Abbildung (Fig. 6) stellt einen solchen Strahlengang für den Fall dar,
dass das Licht aus Luft in ein Glasprisma eintritt und aus diesem in Wasser austritt.
Um die Figur möglichst übersichtlich zu gestalten, ist der Winkel w so gross gewählt
worden, dass a2 und ß2 unserer obigen Festsetzung gemäss negativ werden. Ihre
absoluten Werte seien durch äY und ß2 angedeutet. Zur Ermittelung des gebrochenen
Strahles aus dem einfallenden dient die bekannte Konstruktion von Reu seh. Sie ist
nicht an den beiden Uebergangsstellen Oi und 0 2 sondern, da parallelen Einfallsstrahlen auch parallele gebrochene Strahlen entsprechen, an der brechenden Kante 0
des Prismas ausgeführt worden. Wir geben zwei verschiedene Konstruktionen, deren
Zusammenhang wichtig ist.
(1) Um 0 seien zunächst 3 konzentrische Kreise gezogen, deren Radien im
Verhältnis n0 : nY : n2 stehen. Von dem Punkte N0 auf Kreis n0 des einfallenden
Strahles ausgehend bestimmen die Einfallslote JV^oHOiZ und X1N2\\L02
die
Richtungen des im Prisma verlaufenden Strahles Xß || 0102 und des austretenden
Strahles N20.
(2) Eine zweite ebenso einfache Konstruktion beginnt mit 3 um 0 konzentrischen Kreisen, deren Radien sich wie die Lichtgeschwindigkeiten c0 : c1 : c2 verhalten. Von dem Punkte 0 / auf Kreis c1 des einfallenden Strahles ausgehend,
GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
111
bestimmt das Einfallslot C1'C0fiO1L den im Prisma verlaufenden Strahl G0C2O und
das durch G2 gehende Lot C2C"f \\L02 auf die Austrittsebene die Richtung C"'0 des
austretenden Strahles.
In beiden eben besprochenen Konstruktionen ist das Brechungsgesetz gewahrt.
Sie gelten für jeden, das Prisma durchsetzenden Strahlengang. Bei Vergleichung
mehrerer Strahlengänge, wollen wir in der Figur C20 festhalten, und alle übrigen
Geraden, also auch die Einfallslote und Begrenzungsebenen des Prismas, die entsprechenden Drehungen ausführen lassen.
10. Mit Hilfe der Methode I I b soll nun an der Hand der Figur eine Bedingung
für das Minimum -der Ablenkung gesucht werden. Wir nehmen an, der gezeichnete
Strahlengang sei der des gesuchten Minimums. Eine oo kleine Aenderung da0 des
Einfallswinkels a0 zieht dann oo kleine Aenderungen der übrigen Winkel nach sich.
Nach 8(2) ist hierbei da1-—dß1. Da wir vom Extremum des Ablenkungswinkels <£
ausgehen, muss dessen oo kleine Aenderung d$ gegen die übrigen verschwinden. Es
muss also dcf) — dfa + dcf)2 = 0 sein. Hieraus folgt auf dem Kreise Cj die Gleichheit
der Bögen
c^d^
Wird auf G0Ci=x0 in C0 das Lot
= — cxd^>2.
und ebenso auf C$"' = x2 in C2
x
das Lot CM)"' II 00* errichtet, so schneidet auf dem über G,D' = —— als Durchmesser
cos a0
G^D'WOOY,
beschriebenen Kreise k0 der oc kleine Winkel dß1 einen Bogen —--— dß, ab und
°
cos a0
ebenso auf dem über G"'D"' = — V als Durchmesser beschriebenen Kreise h
cos ß2
der oo kleine Winkel dä} einen Bogen —2 „ dd^ ab. Diese fallen aber mit den oo kleinen
° cos ß2
Bögen Cidfa und c^d^ zusammen, da die Kreise k0 und k2 sich mit dem Kreise Cj in
G-l bezüglich G"' berühren. Wir erhalten also die Gleichungen
Xi
X
—— dß, = Ci^ój und ------ da, = c^dòo,
r
cos a0
cos ^ 2
"
aus denen nach oben
Xa
Xn
cos a0
cos ß2 '
d. h. die Gleichheit der Durchmesser der Kreise k0 und k2
D'C,' = D'"Cr oder auch DV = D'"0
(E2)
folgt. Dies ist eine gesuchte geometrische Bedingung für das Extremum der
Ablenkung. Für jeden anderen Strahlengang haben die Durchmesser der Kreise
k0 und k2 verschiedene Länge.
Handelt es sich im Besonderen um ein Prisma, das an zwei g l e i c h e optische
Mittel angrenzt, ist also c2 = c0, so fallen C2 und C0 in einen Punkt zusammen und
dieser ist dann ein Schnittpunkt der beiden gleichen Kreise k0 und k2. Da deren
gemeinsame Sehne, hier G00, immer durch 0 geht, so ist, falls ßx und a1 = — al
verschiedene Vorzeichen haben (wie in der Figur), diese die Symmetrieaxe der Figur.
Es folgt also äj = ßj und oo = 2äx = 2ß}. Wenn dagegen ßl und a2 gleiche Vorzeichen
112
JOHANNES FINSTERBUSCH
haben, decken sich die beiden gleichen Kreise k0 und k2 und die Winkel ^ und ßl9
woraus folgt, dass co — 0 ist. Dieser Fall scheidet aus.
11. Haben wir jetzt für den allgemeinen Fall von 3 verschiedenen Mitteln eine
geometrische Bedingung (E : ) für das Extremum gewonnen, so ist noch zu untersuchen,
ob wir es mit einem Maximum oder Minimum zu tun haben. Da bei einem Prisma
für kleine, aber endliche co positive und negative Ablenkungen cj> möglich sind (im
besonderen Falle von nur 2 verschiedenen Mitteln dagegen nicht), so wollen wir von
einem Maximum oder Minimum reden, je nachdem der absolute Wert <j)m der
extremen Ablenkung grösser oder kleiner ist, als die der benachbarten Strahlengänge.
Wir führen diesen Nachweis ganz elementar nach Methode I.
Wir nehmen an, der durch obige geometrische Bedingung bestimmte Strahlengang liege gezeichnet vor. Für einen beliebigen anderen Strahlengang bleibe wieder
G00 fest, die Einfallslote und das Prisma sind dann um einen e n d l i c h e n Winkel
gedreht. Dabei schneiden sich die zwei neuen Einfallslote C0A0' und C2A9'" immer in
einem Punkte A^ auf einem festen durch G0 und C2 gehenden " co-Kreis!' Auf den
gleichen Kreisen k0 und k2 werden von ihnen die gleichen Bögen C1/A0 = C1'"A2
abgeschnitten. Wird nun durch Drehung um 0 der Kreis k0 mit dem Kreis k2 zur
Deckung gebracht, wodurch alle mit bewegten Geraden um den Winkel c\>m gedreht
werden, so deckt sich G0A0' m ^ C0'A2. Es ist Winkel A0'OA*=CiOC"'.
Demnach
ist der neue Ablenkungswinkel A0'OA2" = cj)a um A2OA2" grösser als <j>m. Ebenso
folgt, dass wenn die neuen Lote sich auf der anderen Seite von Zw in i?w schneiden,
der neue Ablenkungswinkel B^OB"' = cj)b um B^OB^" grösser ist als cj>m. <j>a > </>m < <j>h.
Es handelt sich also in unserer Figur um ein positives Minimum c\>m = <f>min.
In gleicher Weise kann in jedem vorliegenden Falle Lage und Art der extremen
Ablenkung bestimmt werden. Ehe wir jedoch die Ergebnisse für die verschiedenen
Fälle zusammenstellen, sollen aus der oben gefundenen Bedingung einige andere
abgeleitet, oder auch direkt gefunden werden, die zur Erledigung verschiedener
Fragen besonders geeignet sind.
12. Bei jedem beliebigen Strahlengang gelten für die 4 durch die Punkte
C0 und JVJ bez. C2 und Aj auf die Begrenzungsebenen des Prismas gefällten Lote der
beiden oben gegebenen Konstruktionen :
HO
CM
NYL0
N,0
CVO
C71'Z0/
N0L0
M0O
D'"0
G2L2m
N,L2
A\0
CrO
GC'U" N2L2
M20'
Für den extremen Strahlengang sind (Ej), d. h. unserer obigen Bedingung
HO = D'"0 gemäss alle Quotienten einander gleich, woraus M0O = M20 = MO folgt ;
d.h.:
und
(E2) Für den extremen Strahlengang schneiden sich die durch X0 und N2 zu den
Begrenzungsebenen des Prismas gezogenen Parallelen in einem Punkte M auf Nx0,
oder der durch N0NlN2 bestimmte Kreis co berührt Kreis nlt
Dies lässt sich auch direkt ganz elementar nach Methode I I a begründen.
Entspricht das Viereck AVA^N20 einem beliebigen Strahlengange vom Mittelstrahl
GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
113
NiO, dessen E i n t r i t t s - und Austrittsstrahl den Winkel N^0N2 = c£> einschliessen,
so wird der w'-Kreis vom Kreise nx nicht n u r in Nly sondern auch in einem anderen
P u n k t e N-! geschnitten. Das Viereck NJNiN20
entspricht also ebenfalls einem
Strahlengang vom Ablenkungswinkel cf>. F ü r den extremen Strahlengang muss <b
einen solchen W e r t haben, dass die beiden Vierecke auch m i t ihren Mittelstrahlen
(= Diagonalen) sich decken, d. h. Nx und A / müssen zusammenfallen, der a/-Kreis
also den Kreis n± berühren.
Aus (E 2 ) folgt ferner: (E 3 ) Beim extremen Strahlendurchgang
werden alle vier
Einfallslote von den betreffendeil Kreisen c oder n in demselben Verhältnis
geschnitten.
(E 4 ) Die Sehnenvierecke X^N.M,
einander ähnlich.
13.
L.X.Lß,
0200,L
und C2O„C0L„ sind
Aus vorstehenden Sätzen k a n n n u n leicht eine einfache
Konstruktion
der Winkel ax und ß1 des extremen
Strahlenganges
gefunden werden : W i r wählen das Sehnen viereck LQNYL20.
Da ß1 — ax = & -f äj = co,
also bekannt ist, suchen wir cos ß1 : cos a3 = NXLQ : NXL2 zu bestimmen. Dies k a n n
auf verschiedene A r t elementar geschehen. Sehr einfach ist folgende reingeometrische
Lösung : Nach (E 3 ) verhält sich
N^-.N.L^N^-.NM
Durch entsprechende Addition und Subtraktion ergibt sich hieraus
Wo)
2
: (NM2
=W o
+ N«L0) W o - N0L0) : W * + N2L2) W
2
-
N2L2).
Die beiden letzten Glieder sind n u n Produkte von den Abschnitten zweier Sehnen im
Kreise nly von denen die eine durch A 0 , die andere durch N2 geht.
Nach dem
Sehnensatze der Planimetrie sind diese Produkte aber gleich den Quadraten der
entsprechenden halben kleinsten Sehnen im Kreise nlf die durch A"0 und N~2 gehen.
Es ist daher das gesuchte V e r h ä l t n i s *
cos yöj : cos «! = AjZo : N2L2 = sin? - ni : \/n? - n22
oder : Die von N1 auf die Begrenzungsebenen
des Prismas gefällten Lote verhalten sich
wie die Sehnen im Kreise nly die die Kreise n0 und n2 berühren.
Dasselbe gilt für
die Winkelschenkel von co in allen Vierecken die in (E 4 ) aufgeführt worden sind.
Eins dieser Vierecke kann n u n leicht konstruiert werden.
14. Werden die in 12 an zweiter oder dritter Stelle übereinander stehenden
Quotienten durch die Winkel a und ß allein oder durch die Winkel und Radien c
bez. n ausgedrückt, so erhält man für den extremen Strahlengang die Formeln
cotg ßi _ cotg «x
cotg a0 cotg ß2
oder
,
und
i c0 cos /3j _ c2 cos OLx
d cos of0 c1 cos ß2
t a n g of0 t a n g «!
-,—--ö-7—^-ö- =
t a n g ß1 t a n g ß2
cos a0 cos ax c0
5
-- = - =
cos ßx cos ß2
c2
,
\^)>
/17
1
n2
n0
/T1,
(üi6).
* In der Diskussion, die dem Vortrag folgte, gab ich auf Anregung von Professor S c h o u t e eine andre
Ableitung mit Hilfe von Formel {Ew).
M. c. TT.
8
114
JOHANNES FINSTERBUSCH
Von diesen beiden Bedingungsleichungen für den extremen Strahlengang ist
besonders die erste wichtig, da sie nur die vier Winkelgrössen enthält und da aus ihr
wichtige Folgerungen gezogen werden können.
(E7) In der Prismenfigur sehneiden sich beim extremen Strahlengang der eintretende und austretende Strahl in einem Punkte S auf dem Durchmesser OL, wo L der
Schnittpunkt der Einfallslote ist. Zum Beweise fälle man von S Lote auf die Begrenzungsebenen und wende die Bedingung (EB) an.
Da der Quotient der Tangenten zweier spitzer Winkel, ebenso wie der Quotient
ihrer Sinus ^ 1 ist, je nachdem der Quotient der Winkel selbst es ist, so kann die
Gleichung (E5) nur dann bestehen, wenn ein Bruch > 1, der andere < 1 ist. Es muss
daher
entweder ° 1 2 oder ° 1 2 sein, d. h.:
n0 < n-x > n2
n0 > nx < n2
(E8) Beim Prisma ist ein extremer Durchgang nur dann möglich, wenn das
Prisma dichter oder dünner als seine beiden umgebenden Mittel ist.
15. Es fragt sich, wie weit, vom Extremum ausgehend, in der Figur die
Einfallslote nach beiden Seiten gedreht werden können, damit noch ein Austreten
des Strahls und nicht eine Totalreflexion an der zweiten Begrenzungsebene erfolge,
wie weit also z. B. auf dem «-Kreise AM oder J5W wandern können. Ist c1< c0, c2, so
bestimmt je eine von c0 und von c2 an den Kreis cY gelegte Tangente diese beiden
Grenzlagen. Im allgemeinen ist keine ein Extremum, sondern nur in dem besonderen
Falle, dass das oben betrachtete Extremum mit einer dieser Grenzlagen zusammenfällt.
Wir gehen nicht näher darauf ein. Grenzlagen gibt es auch, wenn c0< c1 < c2 oder
c0 > c} > c2 ist, also nach (E8) kein Extremum vorhanden ist.
Während im Sonderfalle c2 — c{), wie einleitend in 8 bemerkt wurde, die Ablenkungswinkel (/> und ihr Extremum cpm entweder immer positiv oder immer negativ
sind, so ist dies im allgemeinen Falle nicht so einfach (vergi. 11). Ausschlaggebend
ist der «-Kreis. Wenn dieser den Kreis cx berührt, ist
(Co-C2)C!
sin co0 = ••—
(w 3 — Wo)**?!
-2 = - -
.
Man erhält für die drei zu unterscheidenden Fälle co = co0 folgende
Uebersieht über die Vorzeichen der Ablenkungswinkel <f>
und die Art des Extremums </>m,
je nachdem das Prisma
optisch dichter
oder
optisch dünner,
als seine Umgebung ist :
I , &> > co0.
Der «-Kreis schneidet den Kreis ci nicht.
$ > 0,
<jf>< 0,
<Ì>m = + orniti >
<l>m = ~ tyrninII,
CO =
co0.
GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
115
Der «-Kreis berührt cx und fällt mit den beiden Kreisen k0 und k2 zusammen.
0^0,
tb £ 0.
cf)m = 0,
<j>m = 0.
Das Prisma ist für den extremen Strahlendurchgang ein " Geradsichtsprisma."
I I I , CO < « 0 .
Der «-Kreis schneidet den Kreis clt
0 | 0,
* | 0,
Für zwei verschiedene Strahlendurchgänge, die den Schnittpunkten Am und 5W des
«-Kreises mit c1 entsprechen, wird 0 = 0, das Prisma also zum " Geradsichtsprisma."
Diese beiden Strahlendurchgänge sind keine Extrema, sondern bilden nur die Uebergänge von positiver zu negativer Ablenkung.
16. (E9) Der Tangensbedingung (E5) kann ein einfaches geometrisches Gewand
in Gestalt eines geschlossenen Vierecks H()G1H1G2 gegeben werden, dessen Ecken
abivechselnd auf zwei einander in 0 senkrecht schneidenden Geraden liegen (Fig. 7).
Sind für einen beliebigen Strahlengang die Winkel H^Gf) = or0, Hflfi = ßl9 HiG20 - a1,
H2G20 = ß2, mithin GlH1G2 = ^ — co, so sind H2 und H0 verschiedene Punkte, gehören
die Winkel dagegen dem extremen Strahlengang an, so ist H2 = H0. In letzterem
Falle folgt, wenn /7 0 0 = /i0, H^0 = hì, G]0 = gi, G20=g2, aus der Identität
h0 hx _
AJL
h0
fh 9i ~ ffl 9-2
obige Tangensbedingung (Ea).
Die Fusspunkte Af)B1AlB2 der 4 von 0 auf die Seiten des Vierecks gefällten Lote
aQ, bly a1} b2, liegen auf einem Kreise*, wie man leicht erkennt, wenn man die
rechtwinkligen Dreiecke der Figur durch ihre umgeschriebenen Kreise ersetzt und
die Figur von 0 aus in vers transformiert. Diesem Satze J. S t ein er's möchte ich
hinzufügen, dass A0B1 und A1B2 sich auf HO, A0B2 und B1A1, sich auf GO schneiden,
was ebenfalls durch Inversion leicht bewiesen werden kann.
Das Sehnenviereck B10A1H1 (Fig. 7) ist den in (E4) aufgeführten (Fig. 6) ähnlich.
Werden die reciproken Werte der Strecken g und h doppelt ausgedrückt, so folgt
sin <x0 1 sin ft
aQ
g,
bx
COS «o __ 1 _ cos ß2
do
ilo
sin «i __ 1
di
92 ~
02
sin ß2
b2
• COS a i _ 1 __ cos ßi
[ a1
hx
\
)
Werden diese Gleichungen quadriert und die durch Klammern bezeichneten Paare
* J. S t e i n e r , Ges. W., n, S. 358, Lehrs. 2.
8—2
116
JOHANNES FINSTERBUSCH
oder alle vier addiert, so folgen einfache Beziehungen zwischen den Strecken allein.
In letzterem Falle ergibt sich
eine Beziehung, die für manche Berechnungen gute Dienste leistet.
17.
Zum Schlüsse noch einige Bemerkungen über den
Verlauf des Lichtstrahles im Hauptschnitte eines Prismensystems
bei minimaler oder maximaler Ablenkung.
Abgesehen von einigen Sonderfällen ist es mir bis jetzt nicht gelungen, für
dieses allgemeine Problem von beliebig vielen Brechungen s y n t h e t i s c h zu entsprechend einfachen elementargeometrischen Ergebnissen zu kommen, oder das
Problem des Prismensystems auf das soeben behandelte von drei lichtbrechenden
Medien zurückzuführen. Ich beschränke mich daher vorläufig darauf, mit Hilfe der
Differentialrechnung die Herleitung der Bedingung (E) für den extremen Strahlengang
kurz anzudeuten.
Von den drei verschiedenen Bedingungsgleichungen, die ich gebe, habe ich nur
die Cosinusbedingung (Ex) in dem Werke : " die Theorie der optischen Instrumente,
bearbeitet von wissenschaftlichen Mitarbeitern der optischen Werkstätte von Carl
Zeiss," gefunden*. Die wichtigere Tangensbedingung (E n ) ist dem Bearbeiter des
Kapitels über Prismensysteme entgangen, was um so auffälliger ist, als er diese für
2 Brechungen, allerdings nur in dem besonderen Falle c2 = c0 des gewöhnlichen
Prismas, angibt. Bei Aufstellung der Gleichungssysteme, deren Differentiation zur
Bedingungsgleichung führt, bin ich möglichst dem oben angeführten Werke gefolgt.
Wir setzen k Begrenzungsebenen, k — 1 Prismen von den brechenden Winkeln cov
und k + 1 optische Mittel von den Lichtgeschwindigkeiten cv voraus. Ueber die
Vorzeichen der Winkel a und ß siehe die in 8 getroffenen Bestimmungen. Die
einzelnen Ablenkungen seien cj>v und die Gesamtablenkung </>. Dann gelten analog
wie in 8 folgende Gleichungssysteme :
" S ^ - t av-ßv = -cov,
cfy^a^-ß*,
<-'-
s
»
(i/=l,2,...,fc-l)
(v =
l,2,...,k),
<»•
(2),
cf> = lcpv = a0-ßk-iicov
i
(3).
i
Für den extremen Wert erhalten wir durch Differentiation der Gleichungen (1)
bis (3) und Elimination der c durch (1) die Gleichungssysteme :
da,-! = çv_i cos/3, = t a n g a ^
=
dßv
cv cosaci
tang/3, '
' '*"'
^
= 1,
(v = \,2,...,k-\)
...{21),
- g = ^ - l = 0 oder^ = l
(3').
dßk
v
dßk
dßk
* a.a.O., i, Bd. Die Bilderzeugung in optischen Instrumenten; vin Kap. F. Löwe (Czapski), Prismen
und Prismensysteme, S. 422,
GEOMETRISCHE MAXIMA UND MINIMA MIT ANWENDUNG AUF DIE OPTIK
117
Die Multiplikation der Gleichungen (V) ergibt nach (2') und (3') als Bedingung für
den extremen Strahlengang,
cos «o cos aj ... cos ak^ _ c0 _ nk
cos ßi cos ß2 ... cos ßk
ck nQ
v
l)
tan
und
S \ tang « . . . tang a, , ^
tang ß1 tang ß2 ... tang ßk
( E m ) Ganz analog wie in (E8) folgt hieraus, dass ein Extremum c\>m der Ablenkung nur dann stattfinden kann, wenn weder alle Brechungen aus je einem dünneren in
ein dichteres Medium noch umgekehrt erfolgen,
(E IV ) Auch hier lässt sich die Tangensbedingung (E n ) durch ein geschlossenes
2A;-Eck darstellen, dessen Seiten abwechselnd sich auf zwei zu einander senkrechten
Geraden schneiden. Die vom Schnittpunkt beider auf die Vielecksseiten gefällten
Lote genügen wie in (E10) der Gleichung:
1 1
+
+ +
1
=
1
1
+
+
+
1
v är- - ö s? v - v
/J?
(Ev)
.
-