Vorlesung QUANTENPHYSIK I: Quantenmechanik

Quantenphysik
Quantenmechanik
Gerhard Franz
ISBN 978-3-9812472-5-1
12. Januar 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Der
1.1
1.2
1.3
schwarze Strahler
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kontinuität ↔ Diskontinuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwarzer Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Klassische Theorie des Schwarzen Strahlers . . . . . . . . . .
1.3.3 Klassische Erklärung der Spektralverteilung . . . . . . . . .
1.3.4 Plancks Deutung: Erstmaliges Auftreten diskreter Zustände
1.3.5 Plancks Deutung: Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Einsteins Deutung: Strahlungsgleichgewicht . . . . . . . . .
1.3.7 Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7.1 Wiensches Verschiebungsgesetz. . . . . . . . . . .
1.3.7.2 Stefan-Boltzmannsches Gesetz. . . . . . . . . .
1.3.7.3 Lambert-Strahler. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7.4 Experimentelle Bestimmung. . . . . . . . . . . . .
1.3.7.5 Sonne als Schwarzer Strahler und Farbtemperatur.
1.3.8 Abschließende Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Schwarzer Strahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Quanteneffekte
2.1 Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Einsteins Deutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Relativistische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Relativistischer Energiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Wellennatur des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 de Broglie-Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2.1 Bestimmung der Elementarladung durch Millikan.
I
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50
51
51
52
52
II
Inhaltsverzeichnis
2.5
2.6
2.7
2.8
2.4.2.2 Beugung von Elektronen. . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Welle und Partikel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3.1 Monochromatische Wellen und Phasengeschwindigkeit.
2.4.3.2 Phasengeschwindigkeit einer Materiewelle. . . . . . .
2.4.4 Wellengruppen und Gruppengeschwindigkeit . . . . . . . . . .
2.4.5 Wellenpaket einer konventionellen Welle . . . . . . . . . . . .
Unschärferelationen einer Materiewelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Berechnung der innersten Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.5 Berechnung des Spektrums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.6 Quantisierung auch für höhere Atome? . . . . . . . . . . . . .
2.7.7 Stabilität von Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.8 Das Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Plancksche Formel, de Broglie-Beziehung . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Einsteinscher Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.6 Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.7 Bohrsches Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Axiome der Quantenmechanik
3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Abelsche Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Skalare Multiplikation . . . . . . . . . .
3.3.3 Vektoren ⇋ Funktionen . . . . . . . . .
3.4 Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . .
3.5 Wellenfunktionen im Ortsraum . . . . . . . . .
3.6 Komplemenäre Funktionen und ihre Darstellung
3.6.1 Wellenfunktionen im Impulsraum . . . .
3.6.2 Fouriertransformation . . . . . . . . . .
3.7 Unschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Unschärfe im Ortsraum . . . . . . . . . .
3.7.2 Unschärfe im k-Raum . . . . . . . . . .
3.8 Eigenwertgleichung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
III
3.8.2 Erwartungswert und Eigenwert . . .
3.9 Klassische und quantenmechanische Systeme
3.9.1 Hamiltonsches Schema . . . . . . . .
3.9.1.1 Zeitumkehr. . . . . . . . . .
3.10 Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . . .
3.10.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
3.10.2 Fouriertransformation . . . . . . . .
3.10.3 Strahlungstheorie . . . . . . . . . . .
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4 Wellenmechanik
4.1 Da capo: Was ist eine Messung? . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . .
4.3 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung . . . . . . . . . . .
4.3.1 Zeitumkehr II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Fazit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Erwartungswert und Eigenwert, da capo . . . . . . . . .
4.5 Elektron im Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Stationäre Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Energie-Eigenwerte: Semiklassischer Ansatz . . .
4.5.3 Energie-Eigenwerte: Quantenmechanischer Ansatz
4.5.4 Eigenschaften der Wellenfunktionen . . . . . . . .
4.6 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Monochromatische Welle . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Ebene Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Elektron im Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Die Schrödinger-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Eigenzustand mit einer Eigenfunktion . . . . . . .
4.7.2 Eigenzustand mit zwei Eigenfunktionen . . . . . .
4.7.2.1 Schrödingers Katze. . . . . . . . . . . .
4.7.2.2 Die spukhafte Fernwirkung. . . . . . . .
4.8 Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Störungsrechnung
5.1 Formalismus . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Nullte Ordnung . . . . . . . . . . . . .
5.3 Erste Ordnung . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Energiekorrektur . . . . . . . .
5.3.2 Korrektur der Eigenfunktionen
5.4 Zweite Ordnung . . . . . . . . . . . . .
5.5 Schlußbemerkung . . . . . . . . . . . .
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6 Tunneleffekt
6.1 Grenzen der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Wellenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
I
6.2.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Eigenwerte der Energie . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.1 Ungerade n oder symmetrische Lösung. .
6.2.2.2 Gerades n oder antisymmetrische Lösung.
6.2.2.3 Zu flacher Potentialtopf. . . . . . . . . . .
6.2.2.4 Tiefer Potentialtopf. . . . . . . . . . . . .
α-Teilchen im Potentialwall . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die statistische Interpretation der Unbestimmtheitsrelation
Unbestimmtheitsrelation und Tunneleffekt . . . . . . . . .
Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Potentialkurven von Molekülen
7.1 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . .
7.2 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Anharmonischer Oszillator . . . . . . . . .
7.4 Wechselwirkung mit Strahlung . . . . . . .
7.4.1 Fermis Goldene Regel . . . . . . . .
7.5 Auswahlregeln . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Dipolmoment . . . . . . . . . . . .
7.5.1.1 Elektronische Übergänge.
7.6 Aufgaben und Lösungen . . . . . . . . . .
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191
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194
194
8 Dipole
199
8.1 Dipolpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.1.1 Approximatives Dipolpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.2 Das elektrische Feld eines Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.1.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.2 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.1 Intensität des Strahlungsfeldes in großen Entfernungen (Fernfeld)206
8.3.2 Nahfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.3.2.1 Fourier-Komponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.3.3 Strahlungsdämpfungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Literaturverzeichnis
219
II
Inhaltsverzeichnis
1 Der schwarze Strahler
Die Quantenphysik wurde mit der Theorie des Schwarzen Strahlers im Dez.
1900 geboren und wird deswegen im einführenden Kapitel erschöpfend diskutiert. Der zweite Schwerpunkt ist der Photoeffekt, dem sich die Diskussion des Welle-Teilchen-Dualismus (Versuche von Davisson und Germer,
Compton-Effekt) anschließt.
1.1 Einführung
Das wesentliche Ziel der Quantenmechanik ist die vollständige und genaue theoretische Beschreibung von Partikeln atomarer Dimension. Dazu gehören
• die statische Betrachtung auf ein Atom oder Molekül (Bestimmung der Energie
des Grundzustandes: warum ist genau dieser Zustand stabil?) ebenso wie die
• Dynamik des quantenmechanischen Systems mit seiner Umgebung, die z. B.
durch zahlreiche spektroskopische Untersuchungen ermittelt wird.
Beide Punkte bewirkten eine intensive Verbreiterung der experimentellen Methoden, mit denen entweder vorausgesagte Effekte bestätigt werden sollten (etwa
die Vorausssage der Existenz des Positrons durch P.A.M. Dirac, aktuell: BoseEinstein-Kondensation) oder umgekehrt neue experimentelle Tatsachen durch die
Theorie erklärt werden sollten.
1.2 Kontinuität ↔ Diskontinuität
Beispiele aus dem Alltag
• Mitarbeiterzahl kann nur um ganze Einheiten (1 MA) gesteigert oder gesenkt
werden. Dagegen kann die Produktivität pro Mitarbeiter jede beliebige Höhe
annehmen.
• Mit realen Eisenbahngleisen lassen sich beliebige Krümmungsradien ausführen,
mit Modellbahngleisen dagegen nur vorgesehene.
1
2
1 Der schwarze Strahler
Beispiele aus der Physik
• elektrischer Strom: es gibt positive und negative Ladungen, die voneinander
getrennt werden können.
• Gasentladungen: es gibt positive und negative Fragmente von Atomen.
• Millikan-Versuch: Es gibt eine kleinste Ladungseinheit, die Elementarladung.
Gilt dies auch für die Energie? Balmer interessierte sich für das Spektrum des
Wasserstoffs und fand eine verblüffende Lösung, die numerisch äußerst einfach war.
Fraunhofer stellte als erster fest, daß im kontinuierlichen Sonnenspektrum schwar”
ze“ Banden gerade an den Stellen auftraten, wo die Helium-Linien zu erwarten wären.
Schließlich fanden Heinrich Hertz und Philipp Lenard, daß beim Bestrahlen eines Metalls mit UV-Licht Elektronen die Oberfläche mit einer bestimmten Restenergie
verlassen (1887/88).
Eines der ungelösten Probleme der theoretischen Physik am Ende des 19. Jahrhunderts war die Frage der sog. Schwarzen Strahlers. Sie ist eng verknüpft bzw. folgt
direkt aus dem sog. Gleichverteilungssatz der Energie. So stellte man fest, daß die
spezifische Wärme einfacher Molekeln einfachen Regeln folgt, die aus der Thermodynamik ableitbar sind, und zwar gilt für adiabatische Änderungen (Wärmeaustausch
mit der Umgebung wird unterdrückt, d. h. dU = δQ + δw ∧ δQ = 0)
3
2
pV = RT = NA kB T ∧ U = RT ⇒ RT = U ∧ pV = 2/3 U = (γ − 1)U.
2
3
(1.1.1)
Dabei ist γ der sog. Adiabatenkoeffizient, der das Verhältnis der spezifischen Wärmen
3
/R+R
cp /cv bezeichnet und für Edelgase etwa 2 3
= 5/3 beträgt und für Wasserstoff
/2 R
5
/R+R
= 1, 4. Pro Freiheitsgrad wird danach eine spezifische Wärme von
etwa 2 5
/2 R
1
/2 kB = 1/2 NRA kreiert.
Beispiel 1.1 Derartige adiabatische Vorgänge spielen eine entscheidende Rolle in der Physik der Atmosphäre. Beispielsweise ist wegen der geringen Wärmeleitfähigkeit der Luft viel
eher eine adiabatische denn eine isotherme Schichtung zu erwarten. Um den reduzierten
Luftdruck mit steigender Höhe zu beschreiben, wird in erster Näherung die barometrische
Höhenformel verwendet, für die allerdings Isothermie Voraussetzung ist. Nimmt man dagegen eine adiabatische Schichtung an, dann findet man
const
Vγ
eine Halbierung der Dichte (Verdoppelung des Volumens) führt also nicht zu einer Halbierung, sondern zu einer Drittelung des Drucks.
p=
Für adiabatische Änderungen bilden wir das totale Differential unter der Beachtung der Tatsache, daß bei Unterdrückung des Wärmeaustauschs mit der Umgebung
die Druckvolumenarbeit pdV gleich der negativen Änderung der inneren Energie ist:
1.3 Schwarzer Strahler
dU + pdV = 0 ∧ dU =
3
1
1
d(pV ) ⇒ dU =
(pdV + V dp) = −pdV,
γ−1
γ−1
(1.1.2)
woraus durch Umformen leicht
γ
dp
dV
+
= 0 ⇒ pV γ = const
V
p
(1.1.3)
folgt, wenn γ eine Konstante ist. Experimentell findet man aber, daß der Adiabatenkoeffizient für Wasserstoff unterhalb von 80 K gegen 5/3 strebt: Wasserstoff wird
einatomig.“
”
Dieses war aber nur eine Schwierigkeit. Wir wollen im 1. Kapitel diesen historischen Weg kurz nachvollziehen und versetzen uns in einen Zustand, der nichts weiß
von Lichtquanten und diskreten Energieniveaus.
Die Organisation ist derart, daß wir im Anschnitt 1.3.1 die Phänomenologie und
in den Abschnitten 1.3.2. bis 1.3.4 die klassische Theorie mit dem Planckschen
Bruch beschreiben. Es folgt im Abschnitt 1.3.5 die einfachere Abzählmethode mit
dem Planckschen Wirkungsquantum und im Abschnitt 1.3.6 Einsteins Deutung
aus den Jahren 1916/1917, die sowohl für die Theorie des Lasers von großer Bedeutung
ist, aber auch den Fall eines Zwei-Niveau-Systems verwendet.
1.3 Schwarzer Strahler
1.3.1 Phänomenologie
IR-Strahlung wird auch als Temperatur- oder Wärmestrahlung bezeichnet, da sie
von erhitzten Körpern abgestrahlt wird, um thermodynamisches Gleichgewicht mit
der Umgebung herzustellen1 und als Wärme empfunden wird. In einer sehr einfachen,
aber historisch nachempfundenen Deutung geraten die Ladungsträger des Körpers in
heftige(re), beschleunigte Bewegung und strahlen nach den Gesetzen der Elektrodynamik elektromagnetische Energie ab. Kirchhoff stellte fest, daß eine Fläche um
so besser strahlt, je besser sie absorbiert. Denn wäre das nicht so, könnte eine Fläche
mehr Energie aufnehmen, als sie abstrahlen würde, sich also im Austausch mit anderen Platten aufheizen (Verstoß gegen 2. Hauptsatz). Am besten absorbieren schwarze
Flächen, nämlich perfekt über das gesamte Frequenzspektrum; folglich müssen sie
auch am besten strahlen. Er bezog daher die Abstrahlcharakteristik auf diejenige, Ps ,
der schwarzen Fläche (ε: (frequenzabhängiger) Absorptionsgrad, Kirchhoffsches
Strahlungsgesetz):
1
Thermodynamische Gleichgewicht innerhalb eines abgeschlossenen Systems erfordert T = const,
p = const. Besteht Ungleichgewicht, fließen zum Ausgleich Wärme- und Materieströme; die Prozesse
an der Oberfläche eines Körpers sind Absorption und Reflexion. Es kann der Fall eintreten, daß absorbierte Energie vom Körper nicht aufgenommen werden kann, sondern diesen ungenutzt“ wieder
”
verläßt (z. B. Fensterscheiben und sichtbares Licht); dann spricht man von Transmission. In der
Summe muß die Effizienz dieser drei Effekte Eins ergeben.
4
1 Der schwarze Strahler
P = ε(ω)Ps .
(1.2)
Aber selbst berußte rauhe Flächen erfüllen die zusätzliche Bedingung ε = 1 nur unzureichend (höchstens 0,9), der Rest wird entweder reflektiert oder durchgelassen.
Daher ersann Wilhelm Wien in den 1890iger Jahren den Schwarzen Strahler, einen
Strahler, der nicht nur den IR-Bereich, sondern Wellen des gesamten Spektrums abstrahlt. Das ist ein sog. Hohlraumstrahler: eine kleine Öffnung in einem sonst allseits
geschlossenen Hohlraum. Bringt man, z. B. durch elektrische Heizung, die Wände
des Hohlraumstrahlers auf Temperatur, sendet nur die Öffnung elektromagnetische
Strahlung aus, die an den Wänden hin- und herreflektiert wird, und eben irgendwann
einmal die Chance erhält, den Hohlraum zu verlassen.2
Zerlegt man also die Hohlraumstrahlung spektral (Versuche von Lummmer und
Pringsheim), stellt man fest, daß sich Kurven ergeben, die
• der Verteilung nach Maxwell-Boltzmann ähneln, d. h. bei sehr tiefen und
sehr hohen Temperaturen sehr wenig abgestrahlt wird und dazwischen ein Maximum liegt, und
• daß das Maximum der Intensität mit steigender Temperatur sich zu immer
kürzeren Wellenlängen verschiebt (Wiensches Verschiebungsgesetz). Dabei liegt
das Maximum z. B. für die Weißglut unserer Wolframdraht-Lampen noch im
IR (weswegen man mit einer Glühlampe in erster Linie eine Aufheizung des
Raums bewirkt), Rote Riesen wie die Betageuze oder Aldebaran bei 3 500 K,
die Sonne bei 5 800 K (Abbn. 1.1 und 1.2), blau-weiße wie Sirius bei deutlich
über 10 000 K.
• Insgesamt steigt bei Temperaturerhöhung die abgestrahlte Energie über den
gesamten Frequenzbereich stark an.
1.3.2 Klassische Theorie des Schwarzen Strahlers
Nach dem Kirchhoffschen Beweis ist die spektrale Dichte ρω völlig unabhängig vom
Wandmaterial und allein durch die Temperatur bestimmt (ρω = f (ω, T ), du ist die
Energiedichte der Strahlung zwischen ω und ω + dω):
du
,
dω
die mit der Dichte der elektromagnetischen Energie über
ρω =
u = 1/2 (ε0 E 2 + µ0 H 2 )
2
(1.3.1)
(1.3.2)
Umgekehrt wird einmal eingefangene Strahlung durch mehrfache Reflexion im Innern schließlich
vollständig verschluckt und in Wärme umgewandelt (Pupille, optischer Eindruck von Fenstern in
Gebäuden).
1.3 Schwarzer Strahler
5
0,006
0,15
5780 K
4000 K
2000 K
2000 K
1500 K
1000 K
r (l,T) [a. u.]
r (l,T) [a. u.]
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
0,004
0,002
0,000
5
0
1
2
3
4
5
6
7
Wellenlänge [ mm]
Wellenlänge [ mm]
Abb. 1.1. Experimentelle Kurven der schwarzen Strahlung für verschiedene Temperaturen
als Funktion der Wellenlänge. Das Maximum der Kurve von 1000 K liegt bei 3 µm, das der
von 2000 K bei 1,9 µm, das der Temperatur der Sonnenoberfläche (5780 K) bei 510 nm,
d. h. im grünen Bereich. Die grün eingetragene, die Maxima verbindende Kurve wird vom
Wienschen Verschiebungsgesetz beschrieben.
5780 K
4000 K
2000 K
0,4
0,3
0,020
r (w,T) [a. u.]
r (w,T) [a. u.]
0,5
2000 K
1500 K
1000 K
0,015
0,010
0,2
0,005
0,1
0,0
0,0
2,5
5,0
w/2p [10 15 sec -1]
7,5
10,0
0,000
0,0
0,5
1,0
1,5
w/2p [10 15 sec -1]
2,0
2,5
Abb. 1.2. Experimentelle Kurven für verschiedene Temperaturen als Funktion der Frequenz
(Energie). Das Maximum der Kurve, das der Temperatur der Sonnenoberfläche (5780 K)
entspricht, liegt nun im Infraroten (sichtbarer Spektralbereich entspricht einer Frequenzregion zwischen 3, 75 und 7, 5 · 1015 Hz). Die grün eingetragene, die Maxima verbindende
Kurve wird vom Wienschen Verschiebungsgesetz beschrieben.
zusammenhängt, die entscheidende Meßgröße.3 Im Vakuum ist im Gaussschen System noch |E| = |H|, so daß die Energiedichte den Wert
3
In der Literatur wird auch häufig die spektrale Dichte ρν verwendet. Die beiden Größen hängen
1
über ρω = 2π
ρν zusammen, weil ω = 2πν ist. Dann kommt z. B. genau die Formel (11.11) im
Gerthsen heraus.
6
1 Der schwarze Strahler
u=
1
1 2
2 E2 =
E
8π
4π
(1.3.3)
annimmt.4 Wenn man diesen Umstand beachtet, kann man die Wand durch eine Gesamtheit von Oszillatoren (Dipolstrahlern) ersetzen, und die mittlere Energie dieser
Oszillatoren wird vollständig durch die spektrale Dichte der Wärmestrahlung vorgegeben. Der Schwingungsansatz liefert dann mit der Planckschen Strahlungsdämpe2
fungskraft (die Dämpfungskonstante ist γ = 32 m00c3 ): 5
d2 x
d3 x
e0
2
Ex ,
+
ω
x
−
γ
=
2
3
dt
dt
m0
(1.4)
wobei ω die Frequenz seiner Eigenschwingung und Ex die x-Komponente der Feldstärke des elektrischen Feldes der schwarzen Strahlung ist, die als Fourier-Reihe
entwickelt
Ex =
∞
X
Exn einω0 t
(1.5)
n=−∞
mit der Amplitude einer einzelnen Schwingung des Feldes Exn bei der Frequenz
ωn = nω0
(1.5)
geschrieben werden kann. Dies ist der Ansatz eines harmonischen Oszillators, dessen
Eigenfrequenzen eben durch (1.5) als Vielfache der Frequenz der Grundmode gegeben
sind. Für die Amplitude finden wir dann aus Gl. (1.4)
x=
∞
X
ω2 −
n=−∞
e0
E einω0 t
m0 xn
,
(nω0 )2 + iγ(nω0 )3
(1.6.1)
also eine Bedämpfung 3. Ordnung an der Resonanzstelle, für die Geschwindigkeit
1
Wegen der anderen Einheiten ist der Zahlenwert 4π
= ε0 , so daß man leicht den Anschluß an
das MKSA-System bekommt.
5
Bei einem Dipolstrahler ist im Gegensatz zu einem mechanischen Oszillator, bei dem die Dämpfung der ersten zeitlichen Ableitung der Auslenkung entgegengesetzt proportional ist (entweder linear
wie bei der Coulomb-Reibung oder quadratisch wie bei der Newton-Reibung), die Dämpfung der
dritten zeitlichen Ableitung proportional, und wir sagen, daß die vom Dipol abgestrahlte Leistung
4
dW
= γW
dt
ist. Wenn der Oszillator als konstitutives Wandelement sich im thermischen Gleichgewicht mit seinen
Nachbarn befindet, dann hat er nach dem Gleichverteilungssatz der Energie eine mittlere Energie
von kB T , also ist die abgestrahlte Leistung im Mittel
dW
= γW = γkB T.
dt
1.3 Schwarzer Strahler
7
ẋ =
∞
X
inω0 e0
Exn einω0 t
m0
,
ω 2 − (nω0 )2 + iγ(nω0 )3
n=−∞
(1.6.2)
also die Summe über alle Glieder der harmonischen Reihe. Die mittlere Energie der
Oszillatoren ist das Doppelte des zeitlichen Mittelwertes der kinetischen Energie:6
ε = m0 ẋ2 .
(1.7.1)
Wir müssen also das Quadrat von (1.6.2) zeitlich über eine Periode mitteln:
ẋ2
=2
∞
X
2
( nωm00e0 )2 Exn
[ω 2 − (nω0 )2 ]2 + [γ(nω0 )3 ]2
n=−∞
,
(1.7.2)
Da die Resonanz trotz der Strahlungsdämpfung sehr scharf ist (die Güte ist etwa
10 ), bedeutet das, daß die Summe in der Gl. (1.7.2) nur aus Gliedern besteht, für
die nω0 ≈ ω gilt, also:
8
ωn = nω0 ⇒ ω ≈ nω0
(1.8.1)
bzw. an der Resonanzstelle selbst, wo ωn = ω0 = ω ist:
n = n0 ∧ ω = n0 ω0 ⇒ dωn = ω0 dn;
(1.8.2)
dn ist aber nach Voraussetzung (harmonische Reihe) Eins, also:
dωn = ω0 =
ω
n = n0 = 1
(1.8.3)
und statt der Summenbildung [Gl. (1.7.2)] können wir über ω integrieren (dies
entspricht mathematisch dem Übergang von der Fourier-Reihe zum FourierIntegral), wobei die Integrationsvariable n sich aus (1.8.1) und (1.8.3) zu
dωn
n0 dωn
dωn
= ω =
ω0
ω
n0 =1
dn =
(1.8.4)
ergibt:
ẋ2
n0
=2
ω
e0
m0
2
2
|Exn0 |
ˆ
∞
0
ωn2 dωn
,
(ω 2 − ωn2 )2 + (γωn3 )2
(1.8.5)
woraus nach Integration (Partialbruchzerlegung)
ẋ2 =
6
3π n0 c3
|Exn0 |2
2
2 ω ω m0
Der zeitliche Mittelwert dieser Größe wird gebildet aus
E=
1
T
ˆ
1
t= /2 T
1
t=− /2 T
E02 sin2 ωt dt,
was mit partieller Integration leicht zu lösen ist und den Wert 1/2 E0 aufweist.
(1.9.1)
8
1 Der schwarze Strahler
folgt, für die mittlere Energie also
3π n0 c3
|Exn0 |2 ,
ε=
2
2 ω ω
(1.9.2)
3 n0 c 3
|Exn0 |2 ,
8ε0 ω ω 2
(1.9.2)
1
in SI-Einheiten ( 4π
= ε0 )
ε=
Mit Gl. (1.3.3) folgt andererseits
u = ε0 E 2 = 3ε0 Ex2 = 3ε0
∞
X
n=−∞
|Exn |2 ,
was, über die Zeit gemittelt, die Beziehung
ˆ ∞
u = 2 · 3 ε0
|Exn |2 dn
(1.10)
(1.11)
0
ergibt, bzw. mit der Gl. (1.8.4)
u = 2 · 3 ε 0 n0
ˆ
∞
0
|Exn |2
dωn
.
ω
(1.12)
Also ist die spektrale Dichte der Integrand von Gl. (1.12), immer beachtend, daß
n ≈ n0 :
ρω = 2 · 3 ε 0 n 0
|Exn0 |2
.
ω
(1.13)
Durch Vergleich (Substitution von |Exn0 |2 ) zwischen den Gln. (1.9.2) und (1.13) stellen
wir fest:
ρω = 16 ε20
ω2
ε
c3
(1.14.1)
bzw. im cgs-System
ρω =
ω2
ε.
π 2 c3
(1.14.2)
Dabei ist der Mittelwert der Energie ε klassisch durch kB T zu ersetzen:7 Dies rührt
her aus der Energieverteilung der klassischen Teilchen, die mit einer Maxwellschen
Verteilungsfunktion
N (ε) = Ae−βε ; β =
7
1
kB T
(1.15)
Die mittlere Energie eines harmonischen Oszillators ist kB T , wobei je 1/2 kB T auf die Freiheitsgrade der potentiellen und der kinetischen Energie entfallen.
1.3 Schwarzer Strahler
9
mit A der reziproken Zustandssumme Q beschrieben werden kann.8 Damit wird die
mittlere Energie (Grenzen der Integrale von 0 bis ∞):
´
A εe−βε dε
´
,
(1.16.1)
ε=
A e−βε dε
was aber gleich der Ableitung des Logarithmus des Integrals nach β ist:9
ˆ ∞
∂
∂
ε=−
ln
e−βε dε =
ln Q = kB T.
∂β
∂β
0
(1.16.2)
Die Integrale in Gl. (1.16) setzen eine kontinuierliche Energieauf- bzw.
abgabe des Systems voraus.
1.3.3 Klassische Erklärung der Spektralverteilung
• Rayleigh-Jeans-Gesetz: für sehr niedrige Frequenzen gehorcht die spektrale
Verteilung einem quadratischen Gesetz:
ρ(ω, T ) ∝ ω 2 ε,
(1.17)
ρ(ω, T ) ∝ ω 2 kB T ⇒ ρω,T =
ω2
kB T.
π 2 c3
(1.18)
• Extrapolation für höhere und hohe Frequenzen führt zu einer Divergenz der
Energiedichte (und damit natürlich auch der Energie selbst), was Ehrenfest
als Ultraviolettkatastrophe bezeichnete (Abb. 1.3):
u=
ˆ
0
∞
kB T
ρω dω = 2 3
π c
ˆ
0
∞
ω 2 dω = ∞.
(1.19)
• Von hohen Frequenzen kommt das Wiensche Verschiebungsgesetz: das Maximum der Intensität ist das Produkt zweier gegenläufiger Faktoren:
ρ(ω, T ) ∝ ω 3 e−α/kB T :
(1.20)
auf der hochfrequenten Seite fällt die spektrale Dichte steiler ab, als sie auf der
langwelligen Seite ansteigt, nämlich nur“ parabolisch (Abbn. 1.4).
”
P
−βEi
versteht man die Summe aus von allen mit GeUnter der Zustandssumme Q =
i gi e
wichtsfaktoren gi versehenen Boltzmann-Termen der einzelnen Anregungen (Translation, Rotation, Oszillation).
9
∞
ˆ
1
1
e−βε dε = − e−βε = ;
β
β
0
8
10
1 Der schwarze Strahler
1.5
4
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
2
0.5
1
0
Rayleigh-Jeans
Planck
Wien
1.0
rw/r0
rw/r0
3
0
3
6
9
12
0.0
0.1
15
1
w/wo
w/wo
10
Abb. 1.3. Kurven der beiden Grenzgesetze von Rayleigh-Jeans (ρω = ρ0 x2 ) und
Wien (ρω = ρ0 x3 e−x ), verglichen mit der Planckschen Kurve (ρω = ρ0 x3 /(ex − 1).
ρ0 = (kB T )3 /π 2 ~2 c3 , ω = ω0 x, ω0 = kB T /~, lks. im linearen, re. im halblogarithmischen
Maßstab.
1.5
1.5
1/3 kT
1/2 kT
kT
2 kT
1.0
rl/r0
rw/r0
1.0
0.5
0.0
5 kT
2 kT
kT
1/2 kT
0.5
0.0
0
3
6
9
w/w0
12
15
0
3
6
9
l/l0
Abb. 1.4. Das Wiensche Gesetz beschreibt die schwarze Strahlung für hohe Frequenzen
(kurze Wellenlängen) und ein Maximum der Intensität und zeigt eine Verschiebung dieses
Maximums zu höheren Frequenzen (kürzeren Wellenlängen) bei Temperaturerhöhung.
Im Jeansschen Hohlraumstrahler würde also nicht, wie der Gleichverteilungssatz der Energie es fordert, die gesamte Strahlungsenergie über alle Wellenlängen
gleichmäßig verteilt sein, sondern sich vielmehr erstens im Gebiet sehr kurzer (unendlich kurzer) Wellenlängen konzentrieren, denn im Gegensatz zu einem Ensemble
aus Molekeln, deren Zahl zwar sehr groß, aber dennoch endlich ist, gibt es diese Restriktion für Schwingungen nicht! Jeder Oszillator würde also zweitens nur mit einem
unendlich kleinen Anteil an der Gesamtleistung beteiligt sein. Aus Wärmestrahlung
1.3 Schwarzer Strahler
11
würde so rotes, gelbes, . . . blaues, ultraviolettes Licht werden ad infinitum, eben die
Ehrenfestsche Ultraviolettkatastrophe oder das Jeanssche Paradoxon.
1.3.4 Plancks Deutung: Erstmaliges Auftreten diskreter Zustände
Dieses Dilemma wurde von Planck durch die Forderung nach quantenhafter Natur
der Strahlung gelöst. Dazu überlegte er, daß es zwar einen Vorrat“ an Frequenzen
”
gibt, die ein strahlender Körper aussenden kann, und es mehr hohe Frequenzen als
tiefe Frequenzen gibt. Aber um die Ultraviolettkatastrophe zu vermeiden, muß die
Abstrahlung hoher Frequenzen benachteiligt sein.
Bei Energie- oder Temperaturerhöhung nimmt dann die Wahrscheinlichkeit, daß
der Körper auch höhere Frequenzen abstrahlt, zu, und das Maximum, das dadurch
entsteht, daß der zweite den ersten Effekt überholt, verschiebt sich zu höheren Energien. D. h. nicht nur zwischen Temperatur und Energie besteht eine Proportionalität,
sondern auch zwischen Energie und Frequenz.
Mathematisch ging Planck so vor, daß er bei der Bestimmung des Mittelwerts der Energie in den Gln. (1.16) das Integral durch eine Summe (die
Zustandssumme) ersetzte, wobei er von einer harmonischen Anregung der
Oszillatoren ausging, so daß εi = iε ist, so daß wir in Gl. (1.21.1) mit einer unendlichen geometrischen Reihe starten:
ε=
∞
P
εi e−iβε
i=1
∞
P
e−iβε
i=1
z=
−
∞
X
∂
1
∂
e−iβε = −
ln
ln
.
=−
∂β i=1
∂β 1 − e−βε
1
dz
εe−βε
⇒
=
−
.
1 − e−βε
dβ
(1 − e−βε )2
(1.21.1)
(1.21.2)
εe−βε (1 − e−βε )
εe−βε
d ln z
=
=
.
dβ
(1 − e−βε )2
(1 − e−βε )
(1.21.3)
∂
1
εe−βε
ln
=
.
∂β 1 − e−βε
1 − e−βε
(1.21.4)
1
ε
∂
ln
.
=
∂β 1 − e−βε
eβε − 1
(1.21.5)
−
Multiplikation mit eβε liefert
−
Setzt man diesen Wert in die Gln. (1.14) ein, erhält man die Formel
ω2
ε
.
(1.22)
π 2 c3 eβε − 1
Damit diese Formel mit dem Wienschen Gesetz bei hohen Frequenzen übereinstimmt,
ist es hinreichend, zu fordern, daß
ρω =
12
1 Der schwarze Strahler
ε ∝ ω,
(1.23.1)
ε = ~ω
(1.23.2)
wobei Planck die Formel
mit ~ der Planckschen Konstanten wählte, und wir erhalten die Plancksche Formel
~ω 3
1
dω,
(1.24)
2
3
~ω/k
BT − 1
π c e
die in hervorragender Weise das Experiment beschreibt. Obwohl die Frequenz mit der
dritten Potenz im Zähler steht, wird durch den sehr viel größeren Wert von ~ω/kB T ,
mit dem die Zahl e potenziert wird, die Parabel 3. Grades nach unten“ gezogen!
”
Mit dieser Gleichung konnte Planck also die Verteilung der Frequenzen bei einer
bestimmten Temperatur T beschreiben. Gl. (1.24) ist zusammengesetzt aus mehreren
Beiträgen:
ρdω =
1. der Energie E = ~ω,
2. der Wahrscheinlichkeit des Auftretens e~ω/k1B T −1 oder auch die mittlere Zahl der
Photonen pro Mode — diese kann kleiner oder größer als Eins sein —,
3. der Zahl der Zustände ω 2 dω und
4. einem Normierungsfaktor
1 10
.
π 2 c3
Division von Gl. (1.24) durch die Energie der Quanten ergibt also deren Zahl pro
Volumen, also die spektrale Photonendichte (Abb. 1.5).
Obwohl also Planck von einer MB-Verteilung der Moden im Hohlraumstrahler ausging, erhielt er als Ergebnis dennoch eine andere Verteilung für die spektrale
Strahlungsdichte.11
1.3.5 Plancks Deutung: Quantenstatistik
Statistisch gesehen, lautet nun die Fragestellung für einen harmonischen Oszillator,
der über n äquidistante Energienievaus mit dem Abstand ~ω verfügt (Abb. 1.6): Wie
hoch ist das Gewicht eines jeden Zustandes zur Gesamtenergie? Wenn die Zahl der
Zustände im Grundzustand N0 mit der Energie E0 beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit der Besetzung eines Zustandes der Energie E1
−(E1 − E0 )
N1
= exp
.
(1.25.1)
W1 =
N0
kB T
Setzen wir den Grundzustand auf Null, vereinfacht sich die Gleichung zu
10
Wir werden später sehen, daß das aus den Faktoren (3) und (4) gebildete Produkt die Zustandsdichte der Photonen ist.
11
Dies liegt zum einen an der niedrigen Dichte und der hohen Temperatur, zum anderen an der
(unbewußten) Vernachlässigung der sog. Nullpunktsschwingung (s. Kap. 6).
1.3 Schwarzer Strahler
13
0.10
5780 K
4000 K
2000 K
0,4
N(w,T) [a. u.]
r (w,T) [a. u.]
0,5
0,3
0.08
0.06
0,2
0.04
0,1
0.02
0,0
0,0
2,5
5,0
w/2p [10 15 sec -1]
7,5
5780 K
4000 K
2000 K
0.00
0.0
10,0
2.5
5.0
7.5
10.0
w/2p [1015 sec-1]
Abb. 1.5. Spektrale Strahlungsdichte ρ(ω, T ) (lks.) und Modenzahl (re.) für den schwarzen
Strahler. Man sieht, daß die Zahl der Moden mit steigender Frequenz stärker abnimmt als
die spektrale Strahlungsdichte.
Amplitude [a. u.]
15
n=4
n=3
n=2
n=1
10
Abb. 1.6. Plancks Deutung des
schwarzen Strahlers: Die Oszillatoren
werden mit der Fundamentalschwingung und ihren höheren Harmonischen angeregt.
5
0
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
relative Kastenlänge
N1
W1 =
= exp
N0
−E1
kB T
,
(1.25.2)
der Energiebeitrag ist entsprechend
E1 · W1 = ~ω · W1 .
Für den zweiten Zustand der Energie E2 = 2 · E1 = 2~ω wird
−E2
−2 · E1
N2
= exp
= exp
W2 =
N0
kB T
kB T
und für den n-ten Zustand der Energie En = n · E1 = n~ω folgt
(1.25.3)
(1.25.4)
14
1 Der schwarze Strahler
Nn
Wn =
= exp
N0
−n · E1
kB T
= exp
−n · ~ω
kB T
,
(1.25.5)
sein Beitrag zur Gesamtenergie
nE1 · Wn .
(1.25.6)
Damit ist die Besetzung eines Zustandes höherer Energie weniger wahrscheinlich als
die Besetzung eines Zustandes
oniedrigerer Energie. Klammern wir den Term E1 = ~ω
n
−~ω
aus und bezeichnen exp kB T mit x, erhalten wir für den Mittelwert
P
Wi Ei
~ω(0 + x + 2x2 + 3x3 + . . .)
i
=
(1.26.1)
< E >= P
Wi
1 + x + x2 + x3 + . . .
i
P
Wi Ei
~ω(0x0 + 1x1 + 2x2 + 3x3 + . . .)
< E >= P
.
=
x0 + x1 + x2 + x3 + . . .
Wi
i
(1.26.2)
i
Der letzte Quotient kann weiter faktorisiert werden zu
(x1 + x2 + x3 + . . .)(x0 + x1 + x2 + . . .)
.
x0 + x1 + x2 + x3 + . . .
Also bleibt als Summe stehen,
< E >= ~ω
< E >= ~ω
∞
X
xi ,
(1.26.3)
(1.26.4)
i
die unendliche geometrische Reihe
∞
X
xi = x1 + x2 + x3 + . . . = x(1 + x1 + x2 + . . .),
(1.26.5)
i
die für x < 1 konvergiert und den Wert
x
hat. Multiplikation mit 1/x liefert
1
1−x
(1.27.1)
1
,
−1
(1.27.2)
1
x
nach der Rücksubstitution genau den Exponentialausdruck der Planckschen Formel,
um die die Formel von Rayleigh und Jeans [Gl. (1.14.2)] modifiziert werden muß,
um die Ultraviolettkatastrophe zu vermeiden:
< E >=
~ω
e~ω/kB T
−1
...
(1.28)
1.3 Schwarzer Strahler
15
. . . und natürlich ergibt diese Formel für den Fall sehr niedriger Frequenzen (ω →
0) oder sehr hoher Temperaturen (T → ∞) den Wert kB T für den Mittelwert der
Energie.
Aus Gl. (1.24) ergeben sich die Grenzfälle des Rayleigh-Jeansschen und des
Wienschen Gesetzes zwangsläufig
~ω
~ω
~ω 3 kB T
ω2
~ω
≪ 1 : e kB T ≈ 1 +
⇒ ρω = 2 3
−→ ρω = 2 3 kB T ,
kB T
kB T
π c ~ω
π c
~ω 3 −~ω
~ω
≫ 1 : ρω = 2 3 e kB T .
kB T
π c
(1.29.1)
(1.29.2)
1.3.6 Einsteins Deutung: Strahlungsgleichgewicht
Die einfachste Erklärung zur Planckschen Formel lieferte Einstein mit seinem Modell freier Oszillatoren, das fünfzig Jahre später auch zur Erklärung des Maser/LaserEffektes herangezogen werden konnte, und das deswegen hier erwähnt werden muß.
Angenommen, man hat ein System mit zwei Niveaus, einem unteren, das meist als
n und einem oberen, das meist als n′ bezeichnet wird, die um eine Energie E = ~ω
voneinander separiert sind, so daß dessen oberes Niveau durch Absorption eines Photons dieser Energie besetzt oder bevölkert“ werden kann, dann gibt es drei Prozesse
”
(Abbn. 1.7):
Ec
-
-
-
+
+
+
(a)
(b)
(c)
Eg
Ev
Abb. 1.7. Nach Einstein unterscheiden wir im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse, hier
dargestellt für einen Halbleiterlaser mit der Gapenergie Eg zwischen Valenzband (Ev ) und
Leitungsband (Ec ): induzierte Absorption (a), spontane Emission (b), induzierte Emission
c (S. Ziegler, 2008).
(c) • spontane Emission des Betrags ~ω: ∝ Anzahldichte angeregter Teilchen =
An′ n Nn′ mit An′ n der Geschwindigkeitskonstanten der spontanen Emission und
Nn′ der Anzahldichte im angeregten Zustand, die Leistung ist
16
1 Der schwarze Strahler
spont.
PEmiss.
= An′ n Nn′ ~ω;
(1.30)
• Absorption der Energie ~ω: Bnn′ ρ(ω, T )Nn dω mit Bnn′ der Geschwindigkeitskonstanten der Absorption der Teilchen der Anzahldichte Nn ,
die Leistung ist
induz.
PAbsorp.
= Bnn′ Nn ρ(ω, T )~ω;
(1.31)
• erzwungene Emission, die Umkehrung des Prozesses der erzwungenen Absorption: Bn′ n Nn′ ρ(ω, T )dω, die Leistung ist
induz.
PEmiss.
= Bn′ n Nn′ ρ(ω, T )~ω.
(1.32)
Im Gleichgewicht treten so viele Absorptionen wie Emissionen auf, wobei die Dichte der angeregten Zustände n⋆ durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung gegeben
ist (die Energie wird nun wieder als E geschrieben):
Nn′
= e−E/kB T = e−~ω/kB T ,
Nn
(1.33)
Bnn′ ρ(ω, T )Nn dω = Nn′ [An′ n + Bn′ n ρ(ω, T )] dω
(1.34)
also
bzw. mit Gl. (1.33)
Bnn′ ρNn dω = Nn e−~ω/kB T (An′ n + Bn′ n ρ) dω,
(1.35)
womit sich die spektrale Energiedichte zu
An′ n e−~ω/kB T
ρdω =
dω
Bnn′ − Bn′ n e−~ω/kB T
(1.36.1)
~ω
erweist. Division durch Bn′ n und Multiplikation mit e kB T führt zu
ρdω =
An′ n
·
Bn′ n
1
Bnn′ k~ωT
e B
Bn′ n
dω.
(1.36.2)
−1
Für T → ∞ wächst die Strahlungsdichte unbegrenzt an, was mit der Forderung, daß
der Nenner von Gl. (1.36.2) gegen Null geht, identisch ist. Das bedeutet
−~ω
Bnn′ = Bn′ n e kB T ,
(1.36.3)
was bedeutet, daß Bnn′ = Bn′ n . Um zweitens das Verhältnis An′ n /Bn′ n zu bestimmen,
kann man etwa, wie dies Einstein scharfsinnig tat, den langwelligen Grenzwert benutzen, der sich zu
1.3 Schwarzer Strahler
17
An′ n kB T
Bn′ n ~ω
(1.37.1)
An′ n kB T
ω2
= 2 3 kB T ,
Bn′ n ~ω
π c
(1.37.2)
lim
~ω/kB T →0
ρω =
erweist. Gleichsetzung mit (1.18) ergibt
damit also für das Verhältnis der Koeffizienten An′ n und Bn′ n :
~ω 3
An′ n
4h
An′ n
= 2 3 ⇒
= 3,
Bn′ n
π c
Bn′ n
λ
(1.37.3)
also genau den Vorfaktor der Planckschen Formel. Es ist also erstens nur die Kenntnis eines einzigen der Einsteinschen Koeffizienten notwendig. Zweitens ersehen wir
aus Gl. (1.37.3), daß damit die Koeffizienten der induzierten Prozesse proportional
dem für spontane Emission sind, der stark mit der Frequenz steigt, nämlich mit ω 3 .
Folglich ist die Emission bei hohen Frequenzen überwiegend spontan, während der
Anteil der induzierten Emission zu niedrigen Frequenzen hin zunimmt.12 Aus der
Gl. (1.35) ersehen wir, daß wg. Nn > Nn′ es wahrscheinlicher ist, daß ein Photon
absorbiert wird, als daß es seine Intensität durch induzierte Emission verdoppelt.
Die Dimension des Koeffizienten A ist Volumen/Zeit, und er ist der Lebensdauer
des angeregten Zustandes umgekehrt proportional.
Beispiel 1.2 Für gelbes Licht (600 nm) wird das Verhältnis A/B 3, 91 × 10−14 erg sec/cm3
= 3, 91×10−15 J sec/m3 . Der Bruch ist 7×10−4 für T = 3 300K. Er gibt direkt das Verhältnis
zwischen den im Strahlungsfeld der Stärke ρω auftretenden induzierten zu den spontanen
Übergängen an.
1.3.7 Energiedichte
1.3.7.1 Wiensches Verschiebungsgesetz. Das Maximum der Strahlungsdichte
eines schwarzen Strahlers ergibt sich durch Differenzieren von Gl. (1.24) und graphische Auswertung zu (s. Aufg. 1.18/19)
ωmax =
2, 82kB T
= 3, 70 · 1011 T
~
(1.38)
und hat am Maximum den Wert
1
(kB T )3
~ω 3
·
dω
=
0,
040
·
dω
π 2 c3 e2,82 − 1
~2 c3
bzw. auf Wellenlängen umgeschrieben
ρ(ωMax , T )dω =
12
(1.39.1)
Um den Anteil der induzierten Emission gegenüber dem der spontanen Emission zu erhöhen,
muß man die Intensität des Strahlungsfeldes vergrößern, wie das beim Laser passiert (gain guiding),
Division der Gln. (1.30) und (1.32).
18
1 Der schwarze Strahler
λmax · T = 0, 29 cm K :
(1.39.2)
Das ist das Wiensche Verschiebungsgesetz. Durch Erhöhung der Temperatur eines
absolut schwarzen Körpers wird das Maximum der Strahlungsintensität hin zu kürzeren Wellenlängen verschoben (s. Abb. 1.4).
1.3.7.2 Stefan-Boltzmannsches Gesetz. Für die Energiedichte folgt weiter
u=
ˆ
∞
0
Substituiert man x =
~ω
kB T
~
ρω dω = 2 3
π c
∧ dω =
kB T
dx,
~
ˆ
0
∞
ω 3 dω
~ω
.
(1.40.1)
e kB T − 1
wird daraus
(kB T )4
u= 3 2 3
~π c
ˆ
0
∞
x3 dx
.
ex − 1
(1.40.2)
´ ∞ 3 dx
4
= π15 ist, erhält man
Beachtet man noch, daß das bestimmte Integral 0 exx −1
weiterhin das Stefan-Boltzmannsche Gesetz mit a der Konstanten 7, 56 · 10−15
erg/cm3 K4 oder 7, 56 · 10−16 J/m3 K4
π 2 kB4 T 4
= aT 4 ,
(1.41)
15 c3 ~3
das die Gesamtenergie definiert, die ein Schwarzer Strahler abgibt. Das ist die Urfunktion, aus der sich die Plancksche Formel durch Differenzieren ergibt (Abb. 1.8) —
übrigens das gleiche Integral, das bei der Bestimmung der spezifischen Wärme eines
Festkörpers nach Debye auftritt. Die Fläche unter der Planck-Kurve, als Dreiecksfläche angenähert, ist etwa 1/2 Höhe · Breite. Die Höhe des Maximums ist proportional
ω 3 , also T 3 [Gln. (1.40)]. Die Breite ist etwa kB T .
u=
4x10-8
4x10-8
2x10-8
1x107
1x10-8
0
0
1x1015
w/2p [sec-1]
2x1015
3x10-8
Planck-Kurve
Stefan-Boltzmann-Kurve
2x10-8
105
1x10-8
0
106
r xw
Planck-Kurve
Stefan-Boltzmann-Kurve
r xw
r(w,T) [J sec/m3]
3x10-8
r(w,T) [J sec/m3]
107
2x107
104
1x1015
2x1015
103
w/2p [sec-1]
Abb. 1.8. Für die Oberflächentemperatur der Sonne wird die Plancksche Funktion integriert. Man sieht sehr schön die Wendestelle des Stefan-Boltzmannschen Gesetzes, die
mit dem Maximum der Planckschen Funktion koinzidiert. Das gleiche Integral ist bei der
Bestimmung der Gesamtenergie eines Festkörpers nach Debye zu lösen.
1.3 Schwarzer Strahler
19
1.3.7.3 Lambert-Strahler. Ist das Kirchhoffsche Gesetz erfüllt, dann muß das
von der Geometrie des Strahlers unabhängig sein. Das bedeutet: die Leuchtdichte
bzw. Strahldichte ist nach allen Richtungen gleich, also vollkommen diffus. Für einen
flächenhaften Strahler ist damit das Ideal eine Kugel mit der Strahlerfläche als Tangentialfläche (Abb. 1.9).
Imax
I(a)
a
F
Abb. 1.9. Ein idealer Schwarzer Strahler
strahlt diffus in alle Richtungen gleich intensiv ab. Was unter einem Betrachtungswinkel
α an Intensität verlorengeht, wird durch die
perspektivische Vergrößerung der strahlenden
Fläche kompensiert.
In Abb. 1.10 bedeuten F die Einheitsfläche des Strahlers und α der Winkel gegen die Flächennormale. Dann geht die Strahlungsstärke I(α) des Elements F mit
steigendem Winkel α zurück, aber unter dem Betrachtungswinkel α vergrößert sich
das Flächenelement um den inversen Betrag, so daß das Flächenelement F isotrop
abstrahlt:
I(α)
= Imax = P.
F cos α
(1.42)
1.3.7.4 Experimentelle Bestimmung. Experimentell bestimmt man nicht die
Energiedichte u = E/V , sondern die Energie σT 4 , die in jeder Sekunde von einem
schwarzen Körper mit 1 cm2 Oberfläche in den Halbraum Ω = 2π gestrahlt wird, so
daß die von dem Empfänger detektierte Strahlung (Oberfläche der Kugel ist viermal
die Oberfläche der scheinbaren Kreisscheibe des Senders)
P
u
= ·c
A
4
(1.43)
20
1 Der schwarze Strahler
ist.13 Dazu gehen wir davon aus, daß die Gleichgewichtsstrahlung vollkommen isotrop
ist, d. h. die Photonen bewegen sich mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle Richtungen. Folglich ist die spektrale Strahlungsdichte per Einheits-Raumwinkel (4π)
1
ρω .
4π
(1.44)
In der Zeit t verläßt durch die Oberfläche A ein Strom von ρ4πω ctA Photonen den Kubus
des Schwarzen Strahlers (Abb. 1.10). Da sein Volumen allgemein Act cos ϕ beträgt,
erhalten wir bei Multiplikation von Gl. (1.44) mit diesem Wert die Energie innerhalb
seines Volumens, bei weiterer Multiplikation mit dem Volumenelement des Raumwinkels sin ϑdϑdϕ und Division durch t die in der Zeit t in dieses Raumwinkelelement
ausgesendete Strahlung:
z
J
ct
ct cos J
y
A
Abb. 1.10. Skizze zur Berechnung
des Photonenstroms, der das Parallelepiped mit der Basisfläche A in der
Zeit t verläßt. Für einen Quader ist
cos ϑ = 1, und das Volumen wird einfach A c t.
x
dP =
ρω
sin ϑ cos ϑdϑdϕ.
4π
(1.45)
13
Dies ist eine Ausnutzung des Gaussschen Satzes, den wir für ein elektrisches Feld als PoissonGleichung kennengelernt haben:
˚
¨
ρ
∇ · E · d3 x =
E · dA = ,
ε0
und der, für unsere Zwecke umgeschrieben, bei Winkelunabhängigkeit der Strahlungsquelle mit D
der Flußdichte der Strahlung lautet:
˚
¨
∂ε
.
∇ · D · d3 x =
DdA =
∂t
Algebraisch ist dies dem Fluß an Gasteilchen identisch, die entweder auf eine Fläche eines Würfels
prallen (hier wird c durch die mittlere Geschwindigkeit < v > der Partikeln ersetzt), oder die durch
ein kleines Loch im Würfel diesen verlassen (Effusion). Tatsächlich kann nur in den Halbraum 2π
über der strahlenden Fläche emittiert werden.
1.3 Schwarzer Strahler
21
Beachtet man nun, daß die Energie durch die Fläche A nur in den Halbraum mit
dem Raumwinkel 2π abgestrahlt werden kann, so daß das mit cos ϑ zu multiplizierende
Integral über den Winkel ϑ nicht von Null bis π, sondern nur bis 1/2 π genommen
werden darf, womit das winkelabhängige Integral der Gl. (1.45)
ˆ
π
2
sin ϑ cos ϑdϑ
0
ˆ
2π
dϕ = π
(1.46)
0
dann π ergibt, folgt für die winkelunabhängige spektrale Strahlungsdichte durch die
Fläche A
ρω =
1
Ac ~ω 3
,
~ω
2
3
4 π c e kB T − 1
(1.47)
und die Leistung der Schwarzkörperstrahlung, bezogen auf die Einheitsfläche und
Sekunde, ist
dPω =
1
c ~ω 3
1
dω.
ρω dω =
~ω
2
3
At
4 π c e kB T − 1
(1.48)
Intuitiv bedeutet die Formel (1.48), daß sich die (spektrale) Strahlungsdichte u
mit der Geschwindigkeit c bewegt. Der Faktor 1/4 berücksichtigt die Isotropie der
Strahlung; sie geht nicht nur in Richtung des Loches der Fläche A.
Für den Bereich des sichtbaren Lichtes bezeichnet man diese Größe mit Stilb oder
Candela/cm2 , der mit dem Halbraumwinkel 2π multiplizierte Wert ist in Lumen (s.
Aufgaben 1.20 u. 1.22). Damit wird die Stefan-Boltzmann-Konstante
W
c
(1.49)
σ = a = 5, 67 · 10−8 2 4 .
4
m K
Tatsächlich existiert kein Schwarzer Strahler. Sorgfältig hergestellte kupferne
Eichkegel mit sehr geringer Neigung, um viele Reflexionen zu erhalten, die auf der
Innenseite mit nativem, hoch absorbierendem Kupferoxid überzogen sind, werden als
Eichinstrumente benutzt, und ihr Absorptionsgrad α (und damit auch ihr Emissionsvermögen ε) auf Eins gesetzt. Derartige Systeme reflektieren also nicht, noch findet
eine Transmission statt, und bei einer Temperatur T0 berechnet sich die emittierte
Strahlungsleistung zu
P0 = σε0 T04 .
(1.50.1)
Ein reale(re)s System weist ein ε auf, das kleiner als Eins ist, und damit wird seine
abgestrahlte Leistung
P1 = σε1 T14 :
(1.50.2)
Bei gleicher Temperatur ist also die abgestrahlte Leistung geringer, oder umgekehrt: Bei gleicher abgegebener Leistung ist die (Farb-)Temperatur des realen Systems, T1 , höher als die des Schwarzen Strahlers, T0 . Um das quantitativ zu machen,
verwenden wir das Plancksche Gesetz in der Wienschen Näherung, was deswegen
22
1 Der schwarze Strahler
berechtigt ist, weil die gemessenen Frequenzen weit rechts vom Maximum der Kurve
liegen. Wir bekommen
P0,1 = P = ε0,1
~ω 3 −~ω/kB T0,1
e
,
π 2 c3
(1.51.1)
woraus nach Logarithmieren folgt
~ω
ln ε1 =
kB
1
1
−
T1 T0
,
(1.51.2)
was für Emissivitäten, die kleiner Eins sind, bedeuten muß, daß T1 > T0 wird. Bei
Kenntnis von ε1 ist umgekehrt
T04 = ε1 T14 ,
(1.51.3)
und ein für Schwarze Strahler geeichtes Pyrometer findet eine zu tiefe Temperatur.14
1.3.7.5 Sonne als Schwarzer Strahler und Farbtemperatur. Das Strahlungsmaximum der Sonnenoberfläche (Photosphäre) liegt bei ν = 3, 4·1014 Hz, woraus sich
mit Gln. (1.39) eine Temperatur von 5 800 K ergibt. Sie wird als Schwarzer Strahler
betrachtet, und man versteht umgekehrt unter Farbtemperatur die Temperatur des
Schwarzen Strahlers, bei der dieser einen bestimmten Farbeindruck vermittelt. Das
gilt gut für Sterne der Hauptreihe im Hertzsprung-Russell-Diagramm, weniger
dagegen für glühende Metalle, bei denen die Farbtemperatur wesentlich über der mit
konventionellen Methoden gemessenen Temperatur liegt, da ε fast proportional der
Temperatur ist, also P ∝ T 5 statt T 4 . Bei gleicher Farbtemperatur sind daher Metalle
kühler (zum Unterschied der Maxima in Wellenlänge und Frequenz s. Aufgabe 1.15).
Beispiel 1.3 Angenommen, die Reflektivität eines Metalls betrage 80 %, dann ist die Farbtemperatur der korrigierten Schwarzen Strahlung für Rotglut etwa
4000 · (1 − 0, 8) ≈ 800 K, was mit der Erfahrung übereinstimmt.
1.3.8 Abschließende Bemerkung
Nach der Planckschen Hypothese besitzen Prozesse wie die Emission und die Absorption elektromagnetischer Strahlung Quantencharakter, d. h. die Energieveränderung der Mikroteilchen verläuft für diese Prozesse sprungartig.
Wie wir sahen, waren die beiden Grenzgesetze des Planckschen Strahlungsgesetzes incl. des Wienschen Verschiebungsgesetzes bereits vorher empirisch abgeleitet
worden. Auch war bereits lange bekannt, daß z. B. der photographische Film, der ja
aus einer AgI-Emulsion besteht, im Violetten, aber noch deutlicher in einer Umgebung
14
Schließlich gibt es noch graue Strahler, für die ε(λ) = const und zusätzlich α = ε < 1 gilt. Ihre
Strahlungsleistung ist proportional der des Schwarzen Strahlers. Deren Farbtemperatur muß mit der
schwarzen Temperatur übereinstimmen.
1.4 Aufgaben und Lösungen
23
mit hohem UV-Anteil wesentlich kürzer belichtet werden muß als in einer langwelligeren Umgebung, und daß ein Film sogar in einer Dunkelkammer unter Rotlicht
entwickelt werden kann. Die Quantenhypothese lag also, wie die Relativitätstheorie, zu der etwa Lorentz und FitzGerald bereits wesentliche Beiträge geliefert
hatten, sozusagen in der Luft.“ Dieses beim photographischen Film anzuwendende
”
Argument wandte nun Einstein auf den Photoeffekt an.
1.4 Aufgaben und Lösungen
1.4.1 Elektrodynamik
Aufgabe 1.1 Die Energiedichte eines geladenen Plattenkondensators ist 1/2 D · E,
was man bei Proportionalität zwischen D und E oft schreiben kann als D = ε0 εE.
In normaler Atmosphäre tritt oberhalb von 2, 5 · 106 V/m Funkenüberschlag auf.
Welche Energiedichte hat das elektrische Feld (ε = 1)? ρ = 27, 5 J/m3 .
Aufgabe 1.2 Zeigen Sie, daß die Kontinuitätsgleichung der Energie eines elektromagnetischen Feldes (2) sich von der Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung
(1) sich algebraisch und physikalisch unterscheidet durch einen Term E · j:
−
∂ρ
=∇·j
∂t
∂u
= ∇ · S + E · j!
∂t
Zeigen Sie weiterhin die Identität von
−
S = E × H!
(1)
(2)
(3)
Lösung. Die Ergänzung des Stromgliedes in der 3. Maxwellschen Gleichung erlaubt
es uns, einen Ausdruck für die Energie eines Strahlungsfeldes zu finden. Insgesamt
gesehen, muß die Änderung der Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes gleich
der Summe aus der Ergiebigkeit des Energieflusses sein, der aus den Wänden tritt,
die die Quelle umschließen, + der Änderung der kinetischen Energie der Teilchen, die
durch die Arbeitsleistung des elektromagnetischen Feldes an den Teilchen entstanden
ist. Dabei leistet nur das elektrische Feld Arbeit, nicht dagegen das Magnetfeld, da
die Kraft, mit der ein Magnetfeld auf ein Teilchen wirkt, immer senkrecht auf dessen
Geschwindigkeit steht. Die zeitliche Änderung des Impulses ist
F =
dp
= e0 E + e0 v × B,
dt
und die Änderung der kinetischen Energie T = p2 /2me ist
(4)
24
1 Der schwarze Strahler
dT
= v · ṗ,
dt
(5)
dT
= e0 v · E,
dt
(6)
j = e0 nv = ρv
(7)
1 dT
= e0 nvE = j · E.
V dt
(8)
bzw. mit Gl. (4)
und auf das Volumen bezogen mit
Damit ergibt sich aus Gl. (2)
ˆ
ˆ
ˆ
∂
u dV =
∇ · S dV +
E · j dV
−
∂t V
V
V
bzw. mit dem Gaussschen Satz
ˆ
˛
ˆ
∂
−
u dV = S · dA +
E · j dV.
∂t V
V
(9)
(10)
Da dieses für jedes Volumen gelten muß, können wir die Integrale fortlassen und
gelangen zur differentiellen Form der Energieerhaltung für elektromagnetische Felder:
∂u
∂u
=∇·S+E·j ⇒E·j =−
− ∇ · S.
(11)
∂t
∂t
Die linke Seite ergibt sich durch Bildung des Skalarproduktes aus der 3. MaxwellGleichung mit E:
−
j =∇×H −
∂D
∂t
(12)
zu
ε0 ∂
(E · E).
(13)
2 ∂t
Kümmern wir uns um den ersten Term auf der rechten Seite der Gl. (13), der durch
Umstellen von
E · j = ε0 c2 E · [∇ × B] −
E · [∇ × B]
(14)
[∇ × B] · E
(15)
∇ · [B × E]
(16)
über
zu
1.4 Aufgaben und Lösungen
25
wird, das nach Gesetzen der Vektoralgebra als Linearkombination geschrieben werden
kann nach
∇ · [B × E] = [∇ × B] · E − [∇ × E] · B,
(17)
[∇ × B] · E = ∇ · [B × E] + [∇ × E] · B.
(18)
1∂
(B · B)
2 ∂t
(19)
woraus für den ersten Term wird
Setzen wir in den zweiten Term auf der rechten Seite der Gl. (18) die 4. MaxwellGleichung ein, können wir schließlich
[∇ × B] · E = ∇ · [B × E] −
schreiben, so daß wir für E · j schließlich erhalten:
ε0 ∂
1∂
2
(B · B) −
(E · E),
E · j = ε0 c ∇ · [B × E] −
2 ∂t
2 ∂t
(20)
was eine Identität zu Gl. (2) dann ist, wenn
S = ε0 c2 [E × B]
und
(21)
ε0
ε0 c 2
(E · E) +
(B · B).
(22)
2
2
Der Vektor S wird nach seinem Entdecker Poynting-Vektor genannt, und u ist die
Dichte des elektromagnetischen Feldes.
u=
Aufgabe 1.3 Wenn die von einem Eichsender abgestrahlte ebene Welle eine Bestrahlungsstärke von 1 W/m2 hat: wie groß ist die Amplitude der elektrischen Feldstärke?
Lösung. Die mittlere Stromdichte der Energie ist
S=1
W
,
m2
(1)
und der Poynting-Vektor ist
S = E × H.
(2)
1
| E |,
c
(3)
Im Vakuum sind E und H gleichphasig,15 außerdem ist
| B |=
15
Dies gilt auch für Luft, in der die Materiedichte um drei Größenordnungen kleiner ist als in
kondensierter Materie.
26
1 Der schwarze Strahler
also
| B |=
√
| H |=
ε0 µ0 | E |,
r
ε0
| E |,
µ0
damit also für den Betrag des Poynting-Vektors:
r
ε0
| S |=
| E |2 .
µ0
Bei einer ebenen Welle ist der zeitliche Mittelwert sin2 ωt = 1/2 , damit
r
1 ε0
V
| S| =
| E |2 ≈ 27 .
2 µ0
m
(4)
(5)
(6)
(7)
Aufgabe 1.4 Nach dem Gaussschen Satz nimmt die Intensität
¸ eines Flusses mit
2
1/r nach außen ab, z. B. magnetischer Fluß und Flußdichte: Φ = B 2π r dr = Bπr2 .
Begründen Sie, warum in der Nahzone eines Strahlungsfeldes, in dem man die Wellen
als Kugelwellen betrachten muß, die Amplituden der beiden Feldvektoren nur mit 1/r
abfallen!
Lösung. Die Intensität einer Welle ist dem Quadrat der Feldstärke proportional.
r
ε0
| S |=
| E |2 .
(1)
µ0
Da die Intensität aber gleichzeitig mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt, geht
die radiale Variation der Feldstärke aber nur mit 1/r.
1.4.2 Thermodynamik
Aufgabe 1.5 Warum wäre ein Absorptionskoeffizient, der numerisch vom Emissionskoeffizienten abweicht, ein Verstoß gegen den 2. Hauptsatz der Thermodynamik?
Lösung. Das Substrat könnte entweder mehr oder weniger Energie absorbieren als
emittieren. Angenommen, es würde weniger absorbieren als emittieren, würde es sich
abkühlen. Da es sich aber im thermischen Gleichgewicht mit seiner Umgebung befindet, würde so kontinuierlich ungeordnete Energie in gerichtete (Strahlungs-)Energie
umgewandelt. Würde es mehr absorbieren als emittieren, also der Umgebung Energie
entziehen, würde es sich selbst aufheizen und die Umgebung abkühlen — ein feiner
Kühlschrank! In beiden Fällen finden wir also Wärmeflüsse, die nicht zum Ausgleich
der Temperaturen führen, sondern im Gegenteil solche Unterschiede erzeugen.
1.4 Aufgaben und Lösungen
27
Aufgabe 1.6 Mit der Verteilung von Maxwell-Boltzmann wird die Verteilung
der kinetischen Energie in einem wechselwirkungsfreien Gas beschrieben. Dabei ist
die Abhängigkeit für eine Molekel gegeben durch
2
E
1 √
f (E) dE = √ √
dE.
(1)
E exp −
kB T
π 3 kB T
Beschreiben Sie die Erzeugung einer scharfen Spitze für ein molekulares Ensemble bis
200 Molekeln, die jede für sich einer MB-Verteilung genügen!
Lösung.
Wie aus Abb. 1.11 ersichtlich, wird durch die Multiplikation voneinander unabhängiger Wahrscheinlichkeiten die sehr breite Verteilung der kinetischen Energie,
die eine einzelne Molekel aufnehmen kann, ganz ungemein verschärft. Das bedeutet für
rel. Häufigkeit
1.00
f(E) = SQRT(E) EXP(-E/50)
0.75
1 Molekül
2 Moleküle
5 Moleküle
10 Moleküle
50 Moleküle
200 Moleküle
0.50
Abb. 1.11. Verschärfung der
breiten, für eine Molekel gültigen MB-Verteilung der kinetischen Energie für bis zu 200
Molekeln. Der Mittelwert einer
MB-Verteilung (hier 50 a.u.)
liegt rechts vom Maximum.
0.25
0.00
0
50
100
150
200
Ekin [a.u.]
1019 Teilchen/cm3 , das nahezu keine Abweichungen vom Mittelwert mehr auftreten!
Aufgabe 1.7 Bestimmen Sie aus der Gleichung für den Mittelwert der Energie
< ε >=
∞
P
εi e−βεi
i=1
∞
P
i=1
mit β =
1
kB T
e−βεi
∞
X
∂
ln
e−βεi
=−
∂β i=1
(1)
das mittlere Schwankungsquadrat der Energie!
Lösung. Das mittlere Schwankungsquadrat ist definiert als
< ∆ε2 >=< ε2 > − < ε >2 .
(2)
Wir differenzieren nach der Quotientenregel die Bestimmungsgleichung für den Mittelwert der Energie (1) nach β und erhalten
28
1 Der schwarze Strahler
P
ε2i e−βεi
∂<ε>
= − iP −βεi −
e
∂β
P
i
2
i
P
εi e−βεi · −εi e−βεi
i
P −βε
.
( e i )2
(3)
i
Der Minuend ist < ε >, der Subtrahend dagegen < ε >2 , womit wir gezeigt haben,
daß
∂ <E >
.
(4)
∂β
Wie groß ist das mittlere Schwankungsquadrat jetzt absolut? Um das abzuschätzen,
ändern wir das Differential von der Veränderlichen β nach T (β = kB1T ):
∂ <E >
∂ <E >
∂T
=
·
= − < cV > kB T 2 ,
(5)
∂β
∂T
∂β V,N
V,N
V,N
< ∆ε2 >= −
also
< ∆ε2 >=< cV > kB T 2
(6)
und setzen das ins Verhältnis zu < E >:
√
√
T kB < cV >
< ∆ε2 >
=
.
(7)
<E >
<E >
Sowohl cV als auch E sind extensive Größen, hängen also von der Teilchenzahldichte N ab. Folglich ist der Quotient in Gl. (7) proportional zu √1N . Für ein (kanonisches) Ensemble, wie ein Gas bei einem Druck von 1 atm mit einer Teilchenzahldichte
von 1019 /cm3 , ist die Schwankung um den Mittelwert von der Größenordnung von
10−10 , also unmeßbar!
1.4.3 Schwarzer Strahler
Aufgabe 1.8 Gegeben eine Keramik-Vase (hellgrau) mit schwarzer Schrift. Beim
Verglasungsprozeß wird die Temperatur auf Gelbglut getrieben. Die Schrift erscheint
nun nicht mehr dunkel, sondern heller als der Hintergrund. Warum?
Lösung. Hier ist am einfachsten mit dem Kirchhoffschen Gesetz zu argumentieren.
Ein besonders gut absorbierender Körper, eben ein Schwarzer Körper, emittiert auch
besonders gut. Das Vasenmaterial war anfangs ein schlechter Grauer Strahler. Dieser zeigt ein in beiden Richtungen reduziertes Verhalten, da er die Strahlung nicht
vollständig absorbiert, sondern einen Teil reflektiert. D. h. seine abgestrahlte Leistung
ist niedriger als die des schwarzen Strahlers — bei gleicher Farbe. Hier kommt aber
ein zusätzlicher Effekt hinzu. Durch die Verglasung steigt die Reflektivität, und damit
ist bei gleicher Temperatur — die Vase befindet sich ja in einem Wärmebad! — die
Abstrahlung geringer, damit aber sinkt die emittierte Intensität, sie wirkt gegenüber
dem anderen Teil, der Schrift, dunkler.
1.4 Aufgaben und Lösungen
29
Aufgabe 1.9 Griechische Vasen sind durch einen Kontrast schwarz/rot charakterisiert. Wodurch entsteht dieser?
Lösung. Beim Brennen an Luft entsteht aus dem schwarzen Fe3 O4 (eigentlich FeO ·
Fe2 O3 ) rotes Fe2 O3 .
Aufgabe 1.10 Bestimmen Sie für die Frequenzen von
1. 2,45 GHz (handelsübliche Magnetron-Frequenz),
2. ω = 4 × 1015 sec−1 , was einer Frequenz von ν = 6, 4 × 1014 sec−1 entspricht oder
einer Wellenlänge von 470 nm (blaugrün) und
3. für weiche Röntgenstrahlen der Energie 1 kV, was einer Frequenz von 2, 42 · 1017
Hz entspricht,
das Verhältnis der Einstein-Koeffizienten A/B. Was ziehen Sie für Schlußfolgerungen aus diesen Zahlen?
Lösung. Die Wellenlängen sind 12,25 cm, 500 nm und 12,3 Å. Das Verhältnis beträgt
1.
2.
3.
A
= 1, 44 · 10−30 J sec/m3 ,
B
(1)
A
= 2, 12 · 10−14 J sec/m3 ,
B
(2)
A
= 1, 4 · 10−6 J sec/m3 .
B
(3)
Die spontanen Übergänge nehmen dramatisch zu und sind damit hauptsächlich verantwortlich für die Schwierigkeiten, einen kurzwelligen Laser zu realisieren.
Aufgabe 1.11 Bestimmen Sie für eine bei 3000 ◦ C betriebene Glühlampe die spektrale Strahlungsdichte bei 500 nm!
Lösung. Mit dem Ergebnis der letzten Aufgabe und dem Exponentialfaktor ergibt
sich ρω :
ρω =
A
1
.
~ω
B e kB T − 1
(1)
Damit erhalten wir für die spektrale Strahlungsdichte einen Wert von
ρω = 3, 2 · 10−18 Jsec/m3 ,
(2)
30
1 Der schwarze Strahler
was für grünes Licht der Wellenlänge 500 nm einen Faktor
1
~ω
kB T
= 1, 51 · 10−4
(2)
e
−1
ausmacht: Die induzierte Emission spielt nahezu keine Rolle.
Aufgabe 1.12 Die Einsteinsche Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes
beruht auf dem Strahlungsgleichgewicht: die Prozesse der induzierten Absorption (A)
sind gleich der Summe aus spontaner (S) und induzierter Emission (I):
A = S + I.
(1)
Dabei wird weiter angenommen, daß die Besetzung des höheren Niveaus (N ′ ) nach
Maxwell-Boltzmann aus dem unteren (N ) bestimmt werden darf:
~ω
E′ − E
′
= N exp −
,
(2)
N = N exp −
kB T
kB T
so daß die Einsteinsche Formel
Bρω N dω = (AN e−~ω/kB T + Bρω N e−~ω/kB T )dω
(4)
mit ρω der spektralen Strahlungsdichte und den Einsteinschen Koeffizienten A und
B resultiert. Angenommen, es gäbe keine induzierte Emission, Gl. (1) lautete also
A = S,
(5)
und das Verhältnis der Koeffizienten von induzierter (B) Absorption zu spontaner
(A) Emission bliebe bei
B
π 2 c3
=
:
(6)
A
~ω 3
wie lautete das Plancksche Strahlungsgesetz dann? Was ist Ihre direkte Schlußfolgerung?
Lösung.
Bρω N = AN e−~ω/kB T ,
(7)
~ω 3
A −~ω/kB T
e
= 2 3 e−~ω/kB T ,
(8)
B
π c
was das Wiensche Gesetz darstellt. Bekanntlich beschreibt das Wiensche Gesetz
im Bereich ~ω ≪ kB T , also bei tiefen Frequenzen oder hohen Temperaturen, das
Geschehen völlig falsch (s. Kap. 1, Abbn. 1.3), nämlich eine Abhängigkeit nach ρω ∝
ω 3 statt ρω ∝ ω 2 .
ρω =
1.4 Aufgaben und Lösungen
31
Aufgabe 1.13 Ein Hohlraum (V = 1 cm3 ) wird auf 1 500 K aufgeheizt. Wie hoch
ist der Energiebetrag im Bereich des gelben Lichts (550 − 575 nm) und im nahen
IR (1000 − 1025 nm)? Nehmen Sie für das Wellenlängenintervall ∆λ = 25 nm an
(dλ → ∆λ) und rechnen Sie mit der Wienschen Näherung (Rechteckformel für das
Integral!)!
Lösung. Umrechnen von ω −→ λ ergibt für du mit
dω
2πc
=− 2 :
dλ
λ
hc
8πhc
dλ,
du(λ) = − 5 exp −
λ
λkB T
(1)
(2)
also für ∆λ = 25 nm im gelben (Mittelpunkt: 562,5 nm) 8, 88 · 10−14 J/cm3 und im
IR (Mittelpunkt: 1012,5 nm) 9, 02 · 10−12 J/cm3 , also einen Faktor 100 höher. Die
Energie eines gelben Photons ist z. B. bei 5625 Å 3, 52 · 10−19 J oder 2,2 eV. Damit
wird die Anzahl der Photonen (N = u/E): N im gelben Bereich ist 2, 5 · 105 , und im
IR 4, 6 · 107 . Das Spektrum hat also seinen ganz überwiegend im IR.
Aufgabe 1.14 Wenn die Zeit des Sonnenuntergangs 2 min 8 sec dauert: wie hoch ist
die Oberflächentemperatur der Sonne? Gehen Sie von einer mittleren Oberflächentemperatur der Erde von 15 ◦ C aus!
Lösung. Ein Sonnendurchmesser (= 2 Radien) benötigt 128 sec zur Überquerung.
Am Tag des Äquinoktiums, an dem die Sonnenbahn genau zwölf Stunden über dem
Horizont steht, sind das dann (12 h für 180◦ , Abb. 1.12)
Sonnenbahn
Meridiankreis
Abb. 1.12. Der (scheinbare)
Lauf der Sonne am Tag des
Äquinoktiums. Der Horizont
wird am Erdäquator senkrecht
geschnitten, sonst schief entsprechend der Höhe des Breitenkreises (am Pol 90−90◦ , also gar nicht).
Horizontkreis
720 · 60
= 337, 5 d⊙
(1)
128
oder α = 0, 53 ◦ oder 675 Sonnenradien (Abb. 1.13). Also ist das Verhältnis von
Sonnendurchmesser ⊙ zu Erdbahnradius l⊙ ♁
32
1 Der schwarze Strahler
Abb. 1.13. Ein Sonnendurchmesser beträgt 0,53◦ . Also ist
tan α × r⊙ ♁ = ⊙ .
Sonnenbahn
Horizont
a
Abb. 1.14. In Wirklichkeit
dreht sich die Erde, und wir
bekommen für unsere Bedin⊙,scheinbar
gung
= tan α
r
♁
einen Wert für einen scheinbaren Sonnendurchmesser von
59,3 km.
Erdkreis
Erddurchmesser (12 760 km)
a
⊙
= tan α,
l⊙ ♁
(2)
d. h. der Abstand der Sonne von der Erde beträgt etwas mehr als das Hundertfache des
Sonnendurchmessers, genau 1/ tan α = 108 Sonnendurchmesser (= 216 Sonnenradien,
wie auch das Verhältnis von Sonnendurchmesser zu Erdbahndurchmesser ebenfalls
108 beträgt). — Crosscheck: 150 × 106 × tan α = 1, 38 × 106 km.
In Wirklichkeit dreht sich natürlich die Erde. Also ist ein scheinbarer Sonnendurchmesser (Abb. 1.14):
⊙,scheinbar
= tan α,
r♁
(3)
mit ⊙,scheinbar = 59, 26 km.
Die Intensitätsabschwächung geht mit dem Gaussschen Satz quadratisch mit
der Entfernung. Folglich ist die Strahlung bei uns um den Faktor (1/216)2 auf 21
ppm geschwächt“. Die von der Sonne in den Halbraum 2π abgegebene Leistung (der
”
Faktor 2π ist in σ bereits enthalten!) ist
4 2
PSonne = I⊙ A⊙ = σT⊙
r⊙ .
(3)
Davon erreicht uns nach der Entfernung von 108 Sonnendurchmessern noch (1/216)2 .
Also ist dort die Intensität :
I⊙ =
4
2
σT⊙
· r⊙
.
(216 · r⊙ )2
(4)
1.4 Aufgaben und Lösungen
33
Die Erde fängt davon einen Bruchteil ein mit ihrer auf eine Ebene projizierten Fläche,
also dem Querschnitt πr2 , also nur mit einem Viertel der Kugeloberfläche, gibt ihn
♁
aber über die Kugeloberfläche 4 πr2 wieder ab. Also ist die Abgabe viermal so groß
♁
wie die Aufnahme.
Auf nahme
z
}|
{
Abgabe
4
2
z }| {
σT⊙
· r⊙
2
P⊙ = P♁ =
.
(5)
· r2 = σT♁4 · 4r♁
(216 · r⊙ )2 ♁
Als Ergebnis der von der halben Erde aufgenommenen und der ganzen Erde abgegebenen Leistung ergibt sich eine Oberflächentemperatur von 288 K, und mit Gl. (5)
folgt daraus für die Oberflächentemperatur der Sonne T⊙ = 5986 K.
Aufgabe 1.15 Zeigen Sie, daß die Reihe in der Gl. (1) durch den Planckschen
Exponentialfaktor ersetzt werden kann, wenn εi = i · ε0 :
∞
X
∂
1
∂
< ε >= −
ln
ln
.
e−βεi = −
∂β i=1
∂β 1 − e−βε0
(1)
Lösung. Der Ausdruck
∞
X
e−βεi
(1)
i=1
stellt eine unendliche Reihe dar, deren erste Glieder lauten:
∞
X
e−1·βε0 + e−2·βε0 + e−3·βε0 . . . ,
(2)
i=1
also ist die Summe
Dann weiter mit Gln. (1.21).
X
=
1
.
1 − e−βε0
(3)
Aufgabe 1.16 In welchem Frequenzbereich strahlt ein schwarzer Körper am meisten
Energie ab? Und wo die meisten Photonen?
Lösung. Man ermittelt die Zahl der Photonen bei gegebener Leistung durch Division
mit der Energie eines einzelnen Lichtquants. Die Plancksche Formel liefert nicht
die Energie pro Zeiteinheit, sondern die Energiedichte pro Frequenzintervall. Division
durch die Energie der Lichtquanten liefert folglich die Zahl der Photonen pro Energieund Frequenzintervall.
34
1 Der schwarze Strahler
Der Photonenfluß und die Intensität [Leistung durch Fläche, Gl. (1.42)] hängen
nach
j=
ρ
E = hν
(1)
zusammen (s. a. Aufg. 2.11).
Das Maximum der schwarzen Strahlungsdichte findet man daher durch Differenzierung und Nullsetzen der Planckschen Strahlungsformel nach ν oder x = hν/kB T ,
das der Photonenstromdichte durch vorherige Division durch ν bzw. x:
∂ρ(ν, T )
∂x3 /(ex − 1)
∂x2 /(ex − 1)
∝
⇒j=
∂ν
∂ν
∂ν
Für Umrechnen in Wellenlängen benötigen wir den Zusammenhang
ρ(ν) =
(2)
dν
−c
c
⇒
= 2
λ
dλ
λ
und folglich für die Wellenlängenabhängigkeit (Abbn. 1.15)
ρ(λ) ∝
also
ν=
(3)
x5
∧ j(λ) ∝ x4 /(ex − 1),
ex − 1
(4)
d x4
−x
=
0
⇒
x
=
4
1
−
e
.
dx ex − 1
1
10
Ableitung
Ableitung
n=2
n=3
n=4
n=5
5
0
-5
(5)
0
2
4
6
x = hn/kT
8
0
n=2
n=3
n=4
n=5
-1
10
0
1
2
3
4
x = hn/kT
5
6
Abb. 1.15. Ableitungen der Planckschen Strahlungsformel für das Argument hν/kB T
zum Auffinden des Extremums.
Wir suchen also das Maximum der Funktionen
xn
ex −1
bzw. deren Ableitungen
,
(6)
1.4 Aufgaben und Lösungen
35
x = n 1 − e−x ,
(7)
was für große n ungefähr x ergibt, bei kleinen finden sich dagegen bedeutende Abweichungen (vgl. den Näherungswert x′ gegen x!).
Tabelle 1.1. Nullstellen der Funktion xn /(ex − 1).
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x′
1, 58
2, 81
3, 91
4, 96
5, 98
6, 99
7, 99
8, 99
9, 99
x
1, 5881
2, 8194
3, 9198
4, 9649
5, 9848
6, 9936
7, 9973
8, 9989
9, 9995
Das bedeutet z. B. für unsere Sonne (T = 5800 K), daß das Intensitätsmaximum
I(λ) bei 5070 Å, das Maximum des Photonenflusses (Mittelwert der asymmetrischen
Planck-Funktion) dagegen erst bei 6450 Å, also im (Infra-)Roten, liegt (s. Abbn.
1.16/17).16
Aufgabe 1.17 Welcher Anteil der Gesamtemission eines schwarzen Körpers der
Temperatur T = 1000, 2000 und 4000 K fällt in den sichtbaren Spektralbereich?
Lösung. Die spektrale Empfindlichkeit des Auges ε ist ziemlich genau eine Gausssche
Glockenkurve mit den Nullwerten bei 420 und 740 nm und dem Maximum bei 580
nm. Diese Funktion ist mit der Planckschen Funktion zu falten und zu integrieren.
Genaue Integration der Planckschen Formel in einem definierten Spektralbereich ist
sehr schwer (ζ-Funktion!). Daher wird die Glockenkurve besser durch ein Rechteck ersetzt der Höhe 1 in der Halbwertsbreite zwischen etwa 500 und 650 nm (entsprechend
ν1 = 4, 6 · 1014 Hz und ν2 = 6 · 1014 Hz; 400 nm entsprechen 7, 5 · 1014 Hz).
Eine Annäherung der Planckschen Strahlungsformel mit dem Wienschen Gesetz (der Exponent ist für die Temperaturstrahler für sichtbares Licht groß gegen
Eins) ergibt dagegen den Energiefluß pro Einheitsfäche A pro Sekunde zu
ˆ ∞
P
cE
c
j=
=
=
ρω (ω, T ) dω :
(1)
A
4πV
4π 0
16
Die Komplementärfarbe von rot ist grün. Eine Substanz, die rotes Licht absorbiert, erscheint
also grün. Offenbar ist das Chlorophyll deswegen grün, weil die Pflanze eher am Maximum des
Photonenflusses arbeitet als am Intensitätsmaximum.
36
1 Der schwarze Strahler
0,006
0,15
5780 K
4000 K
2000 K
2000 K
1500 K
1000 K
r (l,T) [a. u.]
r (l,T) [a. u.]
0,10
0,05
0,00
0
1
2
3
4
0,004
0,002
0,000
5
0
1
2
3
4
5
6
7
Wellenlänge [ mm]
Wellenlänge [ mm]
Abb. 1.16. Plancksche Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen des schwarzen
Hohlraums als Funktion der Wellenlänge. Das Maximum der Kurve von 1000 K liegt bei 3
µm, das der von 2000 K bei 1,9 µm, das der Temperatur der Sonnenoberfläche (5780 K) bei
510 nm, d. h. im grünen Bereich. Die grün eingetragene, die Maxima verbindende Kurve
wird vom Wienschen Verschiebungsgesetz beschrieben.
0,020
5780 K
4000 K
2000 K
0,4
r (w,T) [a. u.]
r (w,T) [a. u.]
0,5
0,3
2000 K
1500 K
1000 K
0,015
0,010
0,2
0,005
0,1
0,0
0,0
2,5
5,0
w/2p [10 15 sec -1]
7,5
0,000
0,0
10,0
0,5
1,0
1,5
w/2p [10 15 sec -1]
2,0
2,5
Abb. 1.17. Plancksche Strahlungsformel für verschiedene Temperaturen des schwarzen
Hohlraums als Funktion der Frequenz (Energie). Das Maximum der Kurve, das der Temperatur der Sonnenoberfläche (5780 K) entspricht, liegt nun im Infraroten (sichtbarer Spektralbereich entspricht einer Frequenzregion zwischen 3, 75 und 7, 5 · 1014 Hz). Die grün
eingetragene, die Maxima verbindende Kurve wird vom Wienschen Verschiebungsgesetz
beschrieben.
Die Energiedichte E/V bewegt sich in t = 1 sec um die Strecke ct; die Energie wird
in den Raumwinkel 4π gestrahlt. Dann lautet das Integral
ˆ
~
ρω dω ≈ 2 3
π c
ˆ
ω2
ω1
ω 3 e−~ω/kB T dω,
(2)
1.4 Aufgaben und Lösungen
37
also
(kB T )4
π 2 c3 ~3
ˆ
x2
x3 e−x dx,
(3)
x1
was durch vierfache Rekursion zu
(kB T )4 −x1 3
e
x1 + 3x21 + 6x1 + 6 − e−x2 x32 + 3x22 + 6x2 + 6 ,
(4)
2
3
3
π c ~
wird. Das Ergebnis geht aus Tab. 1.2 hervor. Erst bei 4 000 K sind 15 % im empfindlichen Bereich des Auges.
Tabelle 1.2. Berechnete optische und totale Leistungen von schwarzen Strahlern im Bereich
der Augenempfindlichkeit (ν1 = 4, 5 · 1014 Hz, ν2 = 6 · 1014 Hz); ∆ ist die Differenz in Gl.
(4), L ist das Produkt in Gl. (4), Φ = 2πL, 1 lm ≈ 1,5 mW/cm2 .
T
K
1000
2000
4000
x = hν/kB T
ν1
ν2
21,6
10,8
5,4
28,8
14,4
7,2
∆
L
Φ
P
PΣ
η
0,0000048
0,032
0,85
[cd/cm2 ]
0,00045
49,6
20450
[lm]
0,0028
311,6
128 491
[mW/cm2 ]
0,0042
467,4
192 737
[mW/cm2 ]
5 670
90 720
1 452 000
7 · 10−7
0,005
0,13
Aufgabe 1.18 Wie würde sich die Energieverteilung des schwarzen Körpers ändern,
wenn es nur spontane Emission gäbe? Was können Sie über das Verhältnis von spontaner zu erzwungener Emission bei einigen Temperaturen und einigen Spektralbereichen
sagen?
Lösung. Im Gleichgewicht muß die Absorption (A) genauso groß sein wie die Summe
aus spontaner (S) und induzierter (I) Emission:
A = S + I.
(1)
Bρn0 dω = An0 e−~ω/kB T dω + Bρn0 e−~ω/kB T dω,
(2)
In der Nomenklatur des Kap. 1:
wenn also der letzte Term Null sein soll, vereinfacht sich das zu
Bρn0 dω = An0 e−~ω/kB T dω,
(3)
womit sich das Wiensche Gesetz ergibt:
ρ=
A −~ω/kB T
~ω 3
e
= 2 3 e−~ω/kB T :
B
π c
(4)
38
1 Der schwarze Strahler
der Hauptteil der Emission (99 %), der bei hohen Frequenzen liegt, ist also spontan
bedingt, nur der tieffrequente Bereich ist induziert.
Aufgabe 1.19 Verifizieren Sie das Wiensche Verschiebungsgesetz aus dem Planckschen Gesetz für die Verschiebung von ω!
Lösung.
Die (nullzusetzende) Ableitung der Planckschen Funktion nach ω lautet
3~ω 2
~ω 3 ~
e~ω/kB T
1
−
= 0,
π 2 c3 e~ω/kB T − 1 π 2 c3 kB T (e~ω/kB T − 1)2
(1)
bzw. nach Ausklammern
1
e~ω/kB T − 1
was mit x =
~ω
kB T
3~ω 2
1
~2 ω 3
e~ω/kB T ~ω/k T
−
2
3
2
3
B
π c
π c kB T
e
−1
= 0,
(2)
geschrieben werden kann als
x
ex − 1
x
xex
⇒
=
→ = 1 − e−x ,
(3)
x
x
e −1
3
e
3
da der Bruch vor der Klammer nie Null werden kann. Diese transzendente Gleichung
muß graphisch gelöst werden (s. Abb. 1.18):
3=
1.00
f(x)
0.95
0.90
x/3
-x
1-e
0.85
0.80
2.5
2.6
2.7
2.8
Abb. 1.18. Verlauf der beiden
Funktionen aus Gl. (2) liefert
einen Wert für x von 2,82.
2.9
x
Damit ist
2, 82
kB T.
(4)
~
Ein anderer Weg geht über das Newtonsche Verfahren. Danach wird der Näherungswert einer Nullstelle bestimmt über
ω=
xn+1 = xn −
f (x)
.
f ′ (x)
(5)
1.4 Aufgaben und Lösungen
39
Wir lösen Gl. (3) auf nach
x
f (x) = 1 − e−x − ,
3
(6)
was die Ableitung
1
(7)
3
ergibt. Wir starten mit x0 = 3 und erhalten bereits für x1 einen Wert von 2,8243. x2
ist dann 2,82144 und x3 2,821439, also hinreichend konvergent.
f ′ (x) = e−x −
Aufgabe 1.20 Verifizieren Sie das Wiensche Verschiebungsgesetz aus dem Planckschen Gesetz für die Verschiebung von λ!
Lösung.
ω=
2πc
2πc
dλ
2πc
⇒λ=
⇒
=− 2 .
λ
ω
dω
ω
ˆ ∞
ˆ ∞
u=
ρω dω =
ρλ dλ.
0
dω
.
dλ
2πc
ρλ = −ρω 2 .
λ
(3)
(4)
1
16π 2 c~
.
· 2π~c/k T λ
5
B
λ
e
−1
dρλ
= 0.
dλ
Setzt man a = 16π 2 c~ und b = 2πc~/kB T , wird
ρλ =
was differenziert für den Zähler
(2)
0
ρλ = ρω
ρλ =
(1)
a
λ5 (eb/λ
− 1)
(5)
(6)
,
5λ(ebλ − 1) − beb/λ = 0
(7)
(8)
ergibt, was durch weitere Substitution von y = b/λ zu
y = 5(1 − e−y )
(9)
führt. Diese transzendente Gleichung hat eine Wurzel etwa bei y ≈ 4, 9649 (s. Tab.
1.1), und damit ergibt sich
40
1 Der schwarze Strahler
λmax T = 0, 2822 cm K.
(10)
Nimmt man auch hier wieder das Newtonsche Verfahren zur Hand und lösen
Gl. (9) auf, dann ist zunächst
y
= e−y .
(11)
5
Die Gerade hat eine Nullstelle bei y = 5, die Exp-Funktion ist dagegen bei y = 5
noch auf einem Wert von 0,0067. Also ist
1−
y ′ = 1 − 5e−y ,
(12)
und daraus folgt bereits für x1 (x0 = 5):
x1 = 4, 9654.
(13)
Aufgabe 1.21 Wie groß ist die Energieabstrahlung eines unbekleideten Menschen
mit der Hautfläche von 1 m2 und einer Hauttemperatur von 33 ◦ C bei Umgebungstemperaturen von 0, 25 und 50 ◦ C? Aus der Tatsache, daß nur die rote Nase Bardolfos
in Verdis Falstaff nachts leuchtete, dürfen Sie schließen, daß die Energie im IR mit
der Charakteristik der Schwarzen Strahlung abgestrahlt wird.
Lösung.
P = σ(T14 − T24 ) · A.
(1)
∆P1 = −182, ∆P2 = −50, ∆P3 = +121 W.
(2)
P wird damit 315 (0), 447 (25), 497 (33) und 618 W (50 ◦ C). Damit werden abgestrahlt
bzw. aufgenommen:
Die Betriebsleistung eines Menschen beträgt im Standby-Modus etwa 100 W.
Aufgabe 1.22 Die Einsteinsche Herleitung des Planckschen Strahlungsgesetzes
beruht auf dem Strahlungsgleichgewicht: die Prozesse der induzierten Absorption (A)
sind gleich der Summe aus spontaner (S) und induzierter Emission (I):
A = S + I.
(1)
Dabei wird weiter angenommen, daß die Besetzung des höheren Niveaus (N ′ ) nach
Maxwell-Boltzmann aus dem unteren (N ) bestimmt werden darf:
E′ − E
~ω
′
N = N exp −
= N exp −
.
(2)
kB T
kB T
Stellt ρω die spektrale Strahlungsdichte
ρω =
~ω 3
1
2
3
~ω/k
BT − 1
π c e
(3)
1.4 Aufgaben und Lösungen
41
nach Planck dar, dann wird aus Gl. (1)
Bρω N dω = (AN e−~ω/kB T + Bρω N e−~ω/kB T )dω
(4)
mit dem Verhältnis der Koeffizienten von induzierter B zu spontaner A Emission
B
π 2 c3
.
=
A
~ω 3
Wie groß ist das Verhältnis von induzierter zu spontaner Emission?
(5)
Lösung.
ρω B
π 2 c3
1
I
=
=
ρω = ~ω/k T
.
(6)
3
B
S
A
~ω
e
−1
Die induzierte Emission nimmt mit der Stärke des Strahlungsfeldes zu (beim Laser spricht man von gain guiding) und mit steigender Frequenz stark ab. Bei hohen
Frequenzen ist also die Emission ganz überwiegend spontan (s. Abb. 1.19).
10
8
f(x)
6
S/I
I/S
4
1 bei ln 2
2
0
0.0
Abb. 1.19. Verlauf von I/S
(rot) und S/I (schwarz) für
kleine x = ~ω/kB T . Für kleine
x überwiegt die induzierte Abstrahlung, für große x dagegen
die spontane.
0.5
1.0
1.5
hn/kT
Sind die Werte für I/S und S/I gleich, schlägt die Bevorzugung um. Das ist der
Fall für k~ω
= ln 2. Für die Sonne mit 6 000 K ist das bei 3,45 µm.
BT
Aufgabe 1.23 Erklären Sie aus dem Planckschen Strahlungsgesetz die Tempeder Gesamtenergiedichte! Wie heißt dieses Gesetz (das Integral
´raturabhängigkeit
4
∞ x3
dx
hat
den
Wert π15 )?
0 ex −1
Lösung.
u=
ˆ
∞
0
Substituiert man x =
~ω
kB T
~
ρω dω = 2 3
π c
∧ dω =
kB T
dx,
~
ˆ
0
∞
ω 3 dω
~ω
.
(1.40.1)
e kB T − 1
wird daraus
ˆ
(kB T )4 ∞ x3 dx
u= 3 2 3
.
~ π c 0 ex − 1
(1.40.2)
42
1 Der schwarze Strahler
´ ∞ 3 dx
4
Beachtet man noch, daß das bestimmte Integral 0 exx −1
= π15 ist, erhält man
weiterhin das Stefan-Boltzmannsche Gesetz mit a der Konstanten 7, 56 · 10−15
erg/cm3 K4 oder 7, 56 · 10−16 J/m3 K4 .
Aufgabe 1.24 Sie betreiben eine 80-W-Birne bei 3000 ◦ C und 230 V. Bestimmen
Sie die Oberfläche A, die Länge l und den Durchmesser d des Wolfram-Drahtes
(̺ = 1, 0 · 10−4 Ωcm)! Vernachlässigen Sie dabei die Umgebungstemperatur bei Ihrer
Abschätzung, so daß die elektrische Leistung vollständig in Strahlungsenergie umgewandelt wird.
Lösung.
Pelektr.
π
U2
=
=
R
d 2
2
U2
̺l
⇒ R = 661 Ω.
(1)
Aus dem Stefan-Boltzmannschen Gesetz bestimmen wir die Oberfläche O des
Drahtes zu
Pstrahl. = σOT 4 = σπdlT 4 ⇒ O = 2π r l = 12, 3 mm2 .
(2)
Aus dem Ohmschen Gesetz bestimmen wir mit (1) + (2) den Radius des Drahtes zu
r=
σ̺O2 T 4
2π 2 U 2
1/3
= 10 µm,
(3)
woraus sich mit
l=
O
,
2π r
(4)
die Länge zu 195 mm ergibt.
Aufgabe 1.25 Wenn es stimmt, daß ein blaues Photon doppelt so viel wert“ ist
”
wie ein rotes Photon: Warum ist es dann, wie die Beobachtungen Lenards zeigten,
dennoch nicht möglich, durch Aufnahme von zwei oder mehr roten Photonen die
notwendige Austrittsarbeit im UV zu erbringen (Temperatur 3 000 K)? Argumentieren Sie mit den Einstein-Koeffizienten und machen Sie eine Skizze der (virtuellen)
Energieniveaus für dieses Gedankenexperiment!
Lösung. Die Aufnahme des zweiten Photons muß während der Lebensdauer des
angeregten Zustands erfolgen. Deren Dauern werden durch die Einsteinschen Strahlungskoeffizienten bestimmt. Das Gedankenexperiment ist also:
Anregung zu einem virtuellen Zustand mit 1,5 eV über dem Grundzustand, von
dort entweder spontaner Zerfall oder induzierte Anregung. Es ist also erstens egal, wie
hoch dieser Zustand besetzt ist. Zweitens ist das Verhältnis zwischen diesen Prozessen
gegeben durch
1
Bρ
= ~ω/k T
,
B
A
e
−1
(1)
1.4 Aufgaben und Lösungen
43
was für rotes Licht und die oben genannte Temperatur 2, 4 · 10−3 ist. Also ist
1
⇒ τ ≪ Bρ
(2)
τ
mit τ der Lebensdauer des angeregten Zustands. Die spontane Emission wird wesentlich wahrscheinlicher sein als die Absorption eines zweiten Quants, mit dem die
Promotion in einen angeregten Zustand bewerkstelligt werden könnte.
Bρ = 2, 4 · 10−3 A ⇒ A ≫ Bρ, aber A =
Aufgabe 1.26 Diskutieren Sie den Umschlag von induzierter zu spontaner Emission als Funktion der Wellenlänge oder Frequenz bei Raumtemperatur an Hand der
Einstein-Koeffizienten für 5 MHz (NMR-Bereich) und 5 × 1014 Hz (gelbes Licht) bei
Zimmertemperatur!
Lösung. Die Energien der Lichtquanten unterscheiden sich um 8 Größenordnungen:
gelbes Licht: E = hν = 3, 3×10−19 J = 2 eV, NMR: E = 3, 3×10−27 J = 20 n eV. (1)
1
Bρ
.
(2)
= hν
A
e kB T − 1
1
Bρ
1
Bρ
= 80
= 0, NMR:
= 0,8·10−6
gelbes Licht:
=∞:
(3)
A
e −1
A
e
−1
Im Gegensatz zu Licht finden bei NMR mit erdrückender Wahrscheinlichkeit induzierte Prozesse statt.
44
1 Der schwarze Strahler
2 Quanteneffekte
2.1 Photoeffekt
2.1.1 Phänomenologie
Nach den Vorstellungen von Maxwell sollte die Energie, die durch eine elektromagnetische Welle auf eine bestimmte Fläche eingestrahlt wird, nur von der Amplitude
der Welle und der Bestrahlungsdauer abhängen, nicht dagegen von der Frequenz (s.
Kap. 1). Tatsächlich beobachtete man aber, daß Elektronen aus einem Metall austreten konnten, wenn die Frequenz nur hoch genug (bzw. die Wellenlänge genügend
klein) war. Für die höheren Alkalimetalle etwa reichte schon das nahe IR aus (Abbn.
2.1 und 2.2), bei Natrium liegt die Schwelle bei 6500 Å.
Ringelektrode
eZn
Cesiumschicht
UV-Licht
evaluierter
Glaskolben
hn
+
-
Abb. 2.1. Lks.: Wird eine Zinkplatte mit UV-Licht bestrahlt, lädt sich ein daran angeschlossenes Elektroskop auf, als Folge spreizen sich die Blättchen. Bei einem negativ aufgeladenen
Elektroskop fallen die Blättchen zusammen ⇒ es werden negative Ladungen ausgelöst. Re.:
Photozelle zum Nachweis des lichtelektrischen Effekts (H. Hertz, P. Lenard, ab 1887).
Wenn die Metallschicht an die Kathode gelegt wird, wird ein Photostrom beobachtet.
45
46
2 Quanteneffekte
GitterElektrode
2
UV-Licht
Cesiumschicht
Gegenspannung [V]
AuffängerElektrode
1
0
sichtbares Licht hört bei
14
7,5 * 10 Hz auf.
n0 = 4 * 1014 Hz
l = 750 nm
WA = 1,66 eV
-1
-2
0.0
2.5
5.0
n [1014 Hz]
7.5
10.0
Abb. 2.2. Lks.: Wird in die Photozelle ein Gitter eingebaut, kann an dieses eine negative
Gegenspannung angelegt werden, das den Photostrom unterdrückt. Re.: Der Photostrom
ist eine lineare Funktion der eingestrahlten Frequenz und weist einen Schwellenwert auf.
Dargestellt sind die Meßwerte der Gegenspannung, die gerade ausreicht, um die Photoelektronen von der Auffängerelektrode fernzuhalten. Die Schwellenfrequenz ν0 ist die Frequenz,
die gerade ausreicht, um ein Elektron aus dem Metall herauszulösen. Ein Lichtquant höherer
Energie verleiht dem Elektron zusätzlich kinetische Energie.
2.1.2 Einsteins Deutung
Licht wird nicht nur in Quanten abgestrahlt, auch bei der Bestrahlung beobachtet
man, daß die Energie einer Lichtwelle nicht kontinuierlich eingestrahlt, sondern in
Form vieler einzelner Energiepakete, sog. Quanten der Energie, aufgenommen wird:
ε = hν ∨ ~ω,
(2.1)
womit die photoelektrische Gleichung lautet:
~ω = WA + 1/2 mv 2 .
(2.2.1)
Die Energie des Lichtquants ist gleich der Austrittsarbeit WA plus der dem Elektron erteilten kinetischen Energie. Da sich die Geschwindigkeit der Photoelektronen
nur schwer messen läßt, bestimmt man statt dessen die kinetische Energie 1/2 mv 2 aus
der Messung der als Gegenspannung angelegten Spannung U , die gerade ausreicht,
um die Photoelektronen von der Auffängerelektrode fernzuhalten, dann ist1
eU = 1/2 mv 2 ⇒ eU = ~ω − WA .
(2.2.2)
Einige Werte für WA sind in Tab. 2.1 aufgeführt. Generell kann gesagt werden, daß
EA eine charakteristische Größe für verschiedene Metalle ist, insofern systematische
1
Diese Messung diente lange Jahre zur genauesten Bestimmung von ~.
2.2 Strahlungsdruck
47
Gänge innerhalb von Gruppen des Periodensystems festgestellt werden, andererseits
aber auch die kristallographische Orientierung, vor allem aber die Oberflächenbehandlung, diesen Wert empfindlich beeinflussen. Damit sind Bulk“-Theorien ausgereizt.
”
Tabelle 2.1. Austrittsarbeiten WA für verschiedenen Systeme. WA hängt stark von der
Oberflächenbeschaffenheit und der Kristallorientierung, weniger dagegen von der kristallographischen Richtung und am wenigsten von der Dotierung (bei Halbleitern) ab [5].
Material Austrittsarbeit WA
[eV]
Na
2,28
K
2,25
Ba
1, 8 − 2, 52
BaO
1,0
LaB6
2,14
Al
3, 0 − 4, 2
Cu
4, 3 − 4, 5
Ag
4, 05 − 4, 6
Au
4, 8 − 5, 4
W
4,5
Si
4, 4 − 4, 7
Für die Planckschen Oszillatoren gilt außerdem im Umkehrschluß, daß sie elektromagnetische Strahlung deshalb quantenhaft emittieren und absorbieren, weil die
Strahlung selbst aus einzelnen Korpuskeln besteht, die Träger der Energie hν sind.
2.2 Strahlungsdruck
Aus Gl. (1.3) folgt für den klassischen Ausdruck der Energie von Lichtwellen
ˆ
ˆ
1
2
2
3
(ε0 E + µ0 H ) d x = ε0 E 2 d3 x,
(2.3.1)
ε=
2
wobei die Integration über den gesamten Raum durchgeführt wird. Die Intensität einer
elektromagnetischen Welle (also Leistung pro Fläche oder Energie pro Zeiteinheit
und Fläche) wird durch den Poynting-Vektor S = E × H beschrieben, wobei
die beiden Vektoren im Vakuum betragsmäßig gleich groß sind, und außerdem die
Beziehung B = 1c E gilt. Für bewegte geladene Partikeln gilt außerdem, daß die
Kraft zwischen ihnen für einen ruhenden Beobachter als Lorentz-Kraft gesehen
wird, für einen bewegten dagegen als elektrische Kraft. D. h. es gilt außerdem, daß
F el = F L ⇒ e0 v × B = e0 E, d. h. v × B = E.
Um das elektromagnetische Moment (oder die Impulsdichte) zu bestimmen, wird
der Vektor g eingeführt.
48
2 Quanteneffekte
g=
1
1
S = 2 [B × E] ∧ g = ε0 [B × v × B].
2
c
c µ0
(2.3.2)
Andererseits ist B = E
. Damit wird aus (2.3.2):
c
g=
ε0
[E × v × E],
c2
(2.3.3)
woraus nach dem Entwicklungssatz
ε0 2
E v
(2.4)
c2
folgt. Der Faktor εc20 E 2 hat offenbar die Funktion einer Dichte, also Masse pro Volumen. Wir erhalten also eine Impulsdichte. Beim Auftreffen auf eine Oberfläche bekommen wir für die ideal absorbierenden Oberflächen eines schwarzen Strahlers einen
genau halb so großen Impulstransfer wie für ideal reflektierende Flächen (s. kinet.
Gastheorie).
Dieser Druck rührt daher, daß das E-Feld Ladungen in einer Oberfläche influenziert, und diese bewegten Ladungen (Strom) nun mit dem H-Feld der Welle wechselwirken, wodurch eine Kraftwirkung auf die Oberfläche ausgeübt wird:2
Verbindet man umgekehrt die für relativistische Teilchen geltende EinsteinBeziehung p = E/c mit der Planckschen Formel E = hν, ergibt sich für den Impuls
die Formel
g=
p=
h
λ
(2.5)
oder vektoriell
p = ~k.
(2.6)
Das elektromagnetische Feld kann danach eine Gesamtheit von Teilchen, den Photonen der Ruhemasse Null und der Energie ε = hν betrachtet werden. Nachdem die
Newtonsche Korpuskularstruktur des Lichts durch die Wellentheorie seines großen
Gegenübers Huygens für mehr als zwei Jahrhunderte obsolet gewesen war, wurde sie durch die genialen Erklärungen Plancks und Einsteins glänzend rehabilitiert. Sowohl die schwarze Strahlung wie der Photoeffekt sind eine Manifestation der
korpuskularen Struktur der elektromagnetischen Energie. Aus der Tatsache, daß die
relativistische Gleichung für die Ruheenergie eine wesentliche Rolle bei der Beschreibung des quantenmechanisch begründeten Strahlungsdrucks spielt, ergibt sich nun
die Notwendigkeit der Beschreibung einiger relativistischer Phänomene.
2
Dieser Strahlungsdruck wurde erstmals von Kepler postuliert, der sich nicht erklären konnte, weshalb sich von der Sonne entfernende Kometen ihren Schweif vor sich hertragen. — Daß es
in erster Linie das elektrische Feld ist, das auf das Elektron wirkt, hat folgenden Grund: In der
elektromagnetischen Welle sind der E- und der H-Vektor im Vakuum gleich groß und phasenstarr
miteinander verbunden, dagegen ist die Flußdichte B um 1/c kleiner als die elektrische Feldstärke.
Jetzt ist die Kraft auf das Elektron vom E-Feld e0 E, die vom H-Feld e0 v × B = ec0 v × E. Die
Geschwindigkeit des Elektrons beträgt im Atom nun 1 % der Lichtgeschwindigkeit; also ist auch die
magnetische Wirkung nur 1 % der elektrischen.
2.3 Relativistische Phänomene
49
2.3 Relativistische Phänomene
• Die Beobachtung, daß Licht durch ein Schwerefeld nicht beeinflußt würde, mußte revidiert werden. Tatsächlich erfahren Photonen im Schwerefeld eines Sterns
Kräfte, die sowohl zu einer Ablenkung des Lichtstrahls wie zu einer Verlangsamung, also zu einer Energieerniedrigung, führen.
– Licht von Sternen, das die Sonne in sehr geringer Entfernung passiert, wird
tatsächlich zum Sonnenzentrum abgelenkt. Da unsere Augen dem abgelenkten Lichtstrahl folgen, erscheint uns der Stern weiter vom Sonnenmittelpunkt entfernt, als er in Wirklichkeit ist. Dies Voraussage Einsteins
konnte 1919 im Golf von Guinea mit der ersten totalen Sonnenfinsternis
nach dem 1. Weltkrieg und ein halbes Jahr später, als die Sonne in Opposition zu der ersten Stellung stand, von Arthur Eddington nachgewiesen
werden (Abbn. 2.3) [1, 2].
radiale Abweichung ["]
1.00
0.75
Eddington
Einstein
Newton
0.50
0.25
0.00
90
50
Abstand [']
30
25
Abb. 2.3. Lks.: Eine von Eddingtons Photographien der Sonnenfinsternis von 1919 [2].
Re.: Radiale Abweichung der Sternpositionen (in Bogensekunden) gegen den reziproken
Abstand vom Zentrum in Bogenminuten [1].
– Da die Lichtwellen sich aber nur mit einer Geschwindigkeit, c, vorwärts
bewegen (können), manifestiert sich die Erniedrigung der Energie in einer Rotverschiebung. Dies konnte erstmalig bei der Strahlung von Weißen
Zwergen 1925 von W.S. Adams gemessen werden.3
3
Die Masse der Lichtenergie macht nach Einstein demnach
~ω
c2
aus. Um dem Gravitationsfeld eines Sterns zu entkommen, muß also die Arbeit
ˆ ∞
M ~ω
W =−
F dr = γ 2 2 dr
r c
r
m=
(2.A)
(2.B)
geleistet werden. Da diese Energie dem Photon fehlt, ergibt sich eine relative Frequenzverschiebung
von
50
2 Quanteneffekte
• Beim Mössbauer-Effekt wird die resonante Absorption von γ-Strahlen durch
eine Verschiebung von zwei Proben gegeneinander mit geradezu lächerlichen
Geschwindigkeit ermöglicht oder verhindert. Z. B. ist 57 Fe ein β-Strahler, der
in Cobalt umgewandelt wird. Die γ-Linie liegt bei 14,4 keV. Beim Abstrahlen erfährt der Kern daher einen gewaltigen Rückstoß, der durch Einbau in
ein Kristallgitter (Masse ∞) minim, aber nicht zu Null, gemacht wird. Wegen der Schärfe der Spektrallinie (Güte von 1012 ) kann das Quant also nicht
resonant absorbiert werden. Bewegt man aber Sender und präsumtiven Absorber mit relativen Geschwindigkeiten von lediglich einigen cm/sec gegeneinander
c
ν
(ν ′ = λc′ = (c−v)T
= 1−v/c
), reicht die durch den Doppler-Effekt ausgelöste
Verstimmung von weniger als 1 ppb aus, um eine Absorption zu ermöglichen.
2.3.1 Relativistischer Energiesatz
mit der
Während bei niedrigen Geschwindigkeiten (v ≪ c) der Impuls nach p = 2T
v
kinetischen Energie zusammenhängt, ergibt sich für relativistische Teilchen bei hohen
Geschwindigkeiten (v = c) dagegen p = E=T
, woraus weiter die Beziehung
c
hc
h
h
⇒ mc = p = ⇒ λ =
(2.7)
λ
λ
p
folgt. Bilden wir die Differenz der Impulsquadrate eines nicht-relativistischen und
eines relativistischen Teilchens mit β = vc ,
mc2 =
m20 v 2
1 − β2
(2.8)
E2
m20 c2
2 2
=
m
c
=
,
c2
1 − β2
(2.9)
p2 =
und
p2 =
erhalten wir
2
E2
m20
2
2
2
−
p
=
c
−
v
c = m20 c2 .
c2
c2 − v 2
Damit kann man erstens E durch p ausdrücken:
q
q
2 4
2
2
E = p c + m0 c = c p2 + m20 c2 ,
(2.10)
(2.11)
woraus für Photonen wegen E = pc folgt, daß m0 = 0 ist. Zweitens ist nach Voraussetzung die Propagationsgeschwindigkeit der Photonen c. Und drittens ist für Teilchen,
deren Geschwindigkeit klein ist gegen die Lichtgeschwindigkeit, die Energie des bewegten Körpers E = m(v)c2 , und seine Ruheenergie E0 = m0 c2 , die Differenz
∆ω
M 1
= −γ
.
ω
r c2
Für die Sonne macht das etwa 2 ppm aus, für den Sirius aber schon 60 ppm.
(2.C)
2.4 Wellennatur des Elektrons
51
T = E − m0 c2
(2.12.1)
s
(2.12.2)
also die kinetische Energie
T = m0 c
c2 +
v2
− m0 c2 ,
1 − β2
s
c2 − v 2 + v 2
− m0 c2 ,
1 − β2
!
1
T = m 0 c2 p
−1 .
1 − β2
T = m0 c
Hieraus ergibt sich wiederum näherungsweise
m0 2
1 v2
2
v .
T = m0 c 1 − 2 − 1 ⇒ T =
2c
2
(2.12.3)
(2.12.4)
(2.13)
2.4 Wellennatur des Elektrons
2.4.1 de Broglie-Beziehung
Licht weist also neben den Welleneigenschaften, die durch λ und ν charakterisiert
werden, auch noch Korpuskulareigenschaften auf, die durch E = ~ω und p = ~k
bestimmt werden. 1923 verband de Broglie in einem kühnen Wurf die Einsteinsche
Gleichung für die Ruheenergie E = mc2 mit der Planckschen Formel für die Größe
eines Energiequants
h
c
(2.14)
E = hν = h ∧ E = mcc ⇒ p = ∨ p = ~k
λ
λ
und übertrug sie auf gewöhnliche Teilchen, in erster Linie auf Elektronen. M. a. W.,
der Dualismus soll nicht nur für Licht charakteristisch sein, sondern auch für Elektronen und beliebige andere Teilchen gelten, und die de Brogliesche Wellenlänge
eines sich bewegenden Teilchens ist
λ=
2π
h
= .
k
p
(2.15)
Wir beschreiben in Analogie zum Licht die Bewegung freier Teilchen, z. B. entlang
der x-Achse, mit einer ebenen Welle
i
ψ(x, t) = ψ0 e−i(ωt−kx) = ψ0 e− ~ (Et−px) .
Ist diese Überlegung gerechtfertigt?
(2.16)
52
2 Quanteneffekte
2.4.2 Experimente
Durch den Parabelversuch von J.J. Thomson war das e/m-Verhältnis des Elektrons
und durch den Schwebeversuch von Millikan die Elementarladung bestimmt worden. Es gab also keinen Zweifel daran, daß die mechanische Masse mit einer Ladung
verknüpft war.
2.4.2.1 Bestimmung der Elementarladung durch Millikan. Als erster bestimmte Millikan die Größe der Elementarladung. Dazu baute er eine Apparatur,
die aus einem Zylinder besteht, der in Achsenmitte ein Rohr aufweist, das eine Verbindung zu einem zweiten Zylinder herstellt, in dem sich zwei Kondensatorplatten befinden. Senkrecht dazu befindet sich ein Loch mit einem angeschlossenen Zerstäuber.
Durch Versprühen eines Öls werden sehr kleine Nebeltröpfchen erzeugt. Diese fallen
im Schwerefeld der Erde und werden durch die Viskosität der Luft abgebremst. Ihre Endgeschwindigkeit kann mit dem Stokesschen Gesetz errechnet werden. Dazu
wird unterhalb des Rohrs auf Achsenmitte im unteren Zylinder zwischen den Kondensatorplatten ein Fernrohr angebracht, mit dem die Tröpfchen, und zwar ihr Radius
und ihr Weg von oben nach unten, untersucht werden können. Aus der Zeit zwischen
Eintritt und Austritt aus dem Beobachtungsfeld ermittelt man die Fallgeschwindigkeit der Tröpfchen. Aus dem Radius bestimmt man das Volumen der Tröpfchen, mit
der Öldichte kann man ihre Masse errechnen. Während der optischen Verfolgung der
Tröpfchen wird eine Spannung an die Platten gelegt, wodurch ein elektrisches Feld
entsteht, das zur teilweisen Ionisation der Tröpfchen führt. Man beobachtet dann
viererlei: (ungeladene) Tröpfchen, die mit gleicher Geschwindigkeit weiterfallen, und
(positiv oder negativ) geladene, deren Geschwindigkeit sich ändert, weil sie beschleunigt fallen, wieder andere, die steigen, und schließlich welche, die schweben. Wir
verfolgen das Schicksal eines dieser Tröpfchens, dessen Fallgeschwindigkeit wir vorher
bestimmt haben. Für ein schwebendes Tröpfchen kompensieren sich elektrische und
Gewichtskraft (d: Plattenabstand, Abb. 2.4):
qE
d
e0
2 e0
mg
Abb. 2.4. Millikan-Versuch: Ein Öltröpfchen, das eine oder eine Vielzahl der Elementarladung trägt, schwebt im konstanten Kondensatorfeld.
U
.
(2.17)
d
Es stellte sich heraus, daß die Tröpfchenladung immer ein Vielfaches einer bestimmten
Größe war, auf die man als Elementarladung“ spekuliert und nun gefunden hatte.
”
FGewicht = Felektr. ∨ m · g = n · e0 ·
2.4 Wellennatur des Elektrons
53
2.4.2.2 Beugung von Elektronen. Andererseits zeigten Davisson und Germer,
daß Elektronenstrahlen nach dem Durchgang durch dünne Metallfolien auf einem
Szintillationsschirm Bilder erzeugten, die aussahen, als ob es sich um Strahlen mit
Wellencharakter handele (Abb. 2.5).
Abb. 2.5. Beugungsbilder von Elektronen (lks.) und Röntgenstrahlen (re.) nach Passieren
einer dünnen Aluminiumfolie (Debye-Scherrer-Verfahren). Die Ähnlichkeit ist frappant
[6].
Ein geradezu klassisches Experiment ist die Beugung von Elektronen am Youngschen Doppelspalt (Abbn. 2.6). Die von einer Quelle ausgesandten Elektronen passieren einen Doppelspalt und werden auf einer photographischen Platte registriert. Im
einen Fall (Abb. 2.6 lks.) sind beide Schlitze offen, im anderen Fall (Abb. 2.6 re.) ist
alternativ nur ein Schlitz offen und der andere geschlossen.4
Wären die Teilchen bewegte Massenpunkte, dürfte das Ergebnis nicht davon
abhängen, ob ein Schlitz offen oder geschlossen ist oder beide gleichzeitig offen sind,
solange die gleiche Anzahl von Teilchen entweder den oberen oder unteren Schlitz
passiert. Wir können die Unbestimmtheit: geht ein Elektron durch den oberen oder
unteren Schlitz? nur dadurch aufheben, indem wir den Schirm mit den Schlitzen unmittelbar vor der Platte postieren. Dann wird die experimentelle Anordnung jedoch
so verändert, daß das ursprüngliche Beugungsbild nicht mehr beobachtbar sein kann.
Zum einen manifestiert sich in dem Beugungsbild der Wellencharakter der (langsamen) Elektronen. Zum anderen aber sehen wir, daß die Festlegung der veränderlichen
Größe, hier der Ort des Elektrons auf der Platte, solange unbestimmt ist, bis das Experiment durchgeführt worden ist. In diesem Moment tritt durch die Wechselwirkung
mit der Apparatur ein meßbarer, makroskopischer Effekt auf. Demgegenüber ist eine
physikalische Größe, die lediglich dem Experimentator unbekannt ist, ungewiß.
4
Die Darstellung im Bild re. suggeriert eine Gausssche Glockenkurve. Dies ist nur in erster Näherung richtig. In Wirklichkeit ist die Intensität der Funktion sinx x , der sog. Spaltfunktion, proportional.
54
2 Quanteneffekte
Abb. 2.6. Beugungsbilder von Elektronen nach Passieren des Youngschen Doppelspalts.
Lks.: Beide Schlitze offen, re.: konsekutive Messung, jeweils nur ein Schlitz offen.
Wenn wir annehmen, daß bis zum Auftreffen auf dem Schirm aus den Kugelwellen ebene Wellen entstanden sind, dann ist dort die Summe der beiden elektrischen
Feldvektoren (Abb. 2.7)
P
E2
k.(r1 - r2)
E1
kr1 - wt
kr2 - wt
Abb. 2.7. Zeiger- oder Rotordiagramm der elektrischen Feldvektoren
im Punkte P . Die Phasendifferenz der
beiden Vektoren ist δ = (k · r 2 − ωt)−
(k · r 1 − ωt) = k · (r 1 − r 2 ).
E 1 + E 2 = E,
(2.18)
genauer für die beiden Vektoren bei einer harmonischen Anregung
E 1,2 = E 01,2 sin(k · r 1,2 − ωt),
(2.19)
δ = k · (r 1 − r 2 )
(2.20)
wobei der Winkel
der Phasendifferenz der beiden Vektoren entspricht. Anwendung des Skalarproduktes
oder des Cosinussatzes ergibt für die Energie εp am Punkte P :
2.4 Wellennatur des Elektrons
55
εp = (E 1 + E 2 )2 = E12 + E22 + 2E1 E2 cos δ.
(2.21)
Der dritte Term wird als Interferenzterm bezeichnet. Für uns ist weiters von allergrößter Bedeutung, daß bei der Interferenz sich die elektrischen Felder nach Gl. (2.18)
addieren wie bei der Interferenz elektromagnetischer Wellen — und nicht z. B. die
Intensitäten. In der Elektrodynamik wurde das damit begründet, daß die Maxwellschen Gleichungen lineare DGln sind, so daß die Superposition von partikulären
Lösungen wieder eine Lösung ist. Die Intensität der resultierenden Welle ergibt sich
dann als Quadrat der resultierenden Feldstärke.
Beobachtet wird nun sowohl vom (unmenschlichen) Detektor wie vom menschlichen Auge die Intensität, also die Bestrahlungsstärke Leistung/Fläche. Es handelt
sich also um sog. quadratische Detektoren. D. h. aber daß die Maxwell-Gln. keine
direkt meßbare Größe beschreiben.
Mit diesen Experimenten ist also die Wellennatur der Elektronen klar bewiesen,
und man spricht von einer Materiewelle. Aber auch das Ergebnis beim Verschließen
eines Schlitzes, das der Zielscheibe eines ungeübten Schützen entspricht, läßt eine
weitere Folgerung zu, denn das ist das Beugungsbild einer Elementarwelle: Die Intensität der Elektronenwelle (also ihr Amplitudenquadrat) auf dem Schirm ist folglich der
Wahrscheinlichkeit des Auftreffens des Elektrons proportional. Das ist die statistische
Interpretation der Materiewelle von Max Born.
Damit unterscheidet sich die Mikrowelt, in der ~ eine Rolle spielt, von der Makrowelt fundamental. Ein konventionelles Experiment liefert eine Aussage dadurch, daß
durch die Beeinflussung der Meßapparatur durch ein Teilchen oder durch Energie ein
makroskopischer Effekt ausgelöst wird. Wir beobachten eine causa efficiens, die einen
Effekt verursacht, der prinzipiell beliebig genau vorhersagbar ist. Diese Kausalität
wird in der Quantenmechanik in Frage gestellt.
Aus diesen Experimenten und den daraus gezogenen Schlüssen erhellt die Notwendigkeit, bestimmte Begriffe der Wellentheorie, die für das Verständnis der Schrödingerschen Wellenmechanik unmittelbar erforderlich sind, im Rahmen dieser Vorlesung
darzulegen.
2.4.3 Welle und Partikel
2.4.3.1 Monochromatische Wellen und Phasengeschwindigkeit. Die symmetrische Wellengleichung lautet:
1 ∂ 2ξ
∂2ξ
=
,
c2 ∂t2
∂x2
und sie wird durch den allgemeinen Ansatz
ψ = f (x − ct)
(2.22)
(2.23)
gelöst, wobei f eine zweimal nach Ort und Zeit differenzierbare Funktion sein muß:
56
2 Quanteneffekte
∂2ψ
∂ 2ψ
′′
=
f
(x
−
ct)
∧
= ψ̈ = c2 f¨(x − ct),
(2.24)
∂x2
∂t2
was von den Kreisfunktionen Sinus und Cosinus sowie von der Exponentialfunktion
mit imaginärem Argument geliefert wird. Schreiben wir
y = x − ct,
(2.25.1)
erhalten wir eine Funktion, die nur von y abhängt. Trennen wir das auf in x und
t, dann ist f (x) eine Funktion des Profils, die sich mit der Geschwindigkeit c nach
positiven Werten von x bewegt. Ein mit der Geschwindigkeit c sich nach rechts bewegender Beobachter beobachtet immer denselben Funktionswert oder dieselbe Phase y
von ψ, d. h. y = const. Diese Funktion wird auch oft
x
f (x − ct) = F (t − )
c
(2.25.2)
geschrieben:
x
x − ct
F (t − ) = F (−
) = f (x − ct).
(2.25.3)
c
c
Wenn f (x − ct) eine Lösung der DGl ist, dann ist f (x + ct) natürlich auch eine, da
die DGl nur das Quadrat von c enthält. Also ist die allgemeine Lösung
ψ = f (x − ct) + g(x + ct).
(2.26)
Für eine elektromagnetische Welle der Energie E = h λc wird aus Gl. (2.25.1) eine
neue Veränderliche
z=
1
1
[kx − kct] = [kx − ωt] ,
k
k
(2.27.1)
damit also
y = kx − ωt =
1
(px − Et) = const,
~
(2.27.2)
woraus
px1 − Et1 = px2 − Et2 = const
(2.27.3)
und weiter
∆x
= c = vPh
(2.27.4)
∆t
folgen. In der Abb. 2.8 wird die Propagation der Welle in der Zeit- und Ortsdomäne
deutlich. Nach einer Periode ist die Welle in der Zeit T um λ vorwärts gewandert,
woraus sich die Propagationsgeschwindigkeit der Phase zu
E∆t − p∆x = 0 ⇒
Weg
λ
ω
= = νλ = ,
Zeit
T
k
die sog. Phasengeschwindigkeit, ergibt:
c=
(2.28)
2.4 Wellennatur des Elektrons
57
0
t=0
t = 1/8 T
Amplitude
-2
-4
t = 2/8 T
-6
t = 3/8 T
-8
t = 4/8 T
-10
Abb. 2.8. Das Fortschreiten
in der Zeit und im Ort wird
in dieser Abbildung deutlich,
in der Punkte gleicher Phase miteinander verbunden werden. Nach einer Periode ist
die Welle in der Zeit T um λ
vorwärts gewandert.
t = 5/8 T
-12
t = 6/8 T
-14
t = 7/8 T
t = 8/8 T
-16
-18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Periode
x
2π
ψ = ψ0 sin 2π
− νt = ψ0 sin
(x − ct) ,
λ
λ
(2.29)
was ganz offensichtlich eine spezielle Lösung der allgemeinen Gl. (2.25.3) darstellt. Die
Phasengeschwindigkeit ist eine Konstante. Man bezeichnet das als Dispersionsfreiheit.
Sie liegt für elektromagnetische Wellen im Vakuum vor: alle Wellen bewegen sich
mit der gleichen Geschwindigkeit vorwärts. In einer Momentaufnahme des ganzen
Zustandes erkennen wir die räumliche Periodizität in der Wellenlänge, die zeitliche in
der Zahl einer bestimmten Phase.
2.4.3.2 Phasengeschwindigkeit einer Materiewelle. Für eine Materiewelle der
Energie E = m0 c2 wird aus Gl. (2.25.1)
y = Et − px = const ⇒ Et1 − px1 = Et2 − px2 = const ⇒ E∆t − p∆x = 0. (2.30)
Für die Propagationsgeschwindigkeit gilt also (Abb. 2.9)
vPh =
E
mc2
c2
∆x
=
=
= ,
∆t
p
mv
v
(2.31)
wenn v die Teilchengeschwindigkeit ist, damit also eine Ausbreitungsgeschwindigkeit, die größer ist als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Setzen wir mit der de
Broglie-Beziehung
p2
~2 k 2
=
,
2m
2m
dann wird für die Phasengeschwindigkeit c = ωk
E = ~ω =
c=
~2
ω
=
k:
k
2m
(2.32)
(2.33)
58
2 Quanteneffekte
1.0
y (x,t 1)
y (x,t 2)
0.5
y (x,t)
t2 = t 1 + Dt
0.0
vPh = c 2/v
-0.5
-1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Abb. 2.9. Das Fortschreiten
in der Zeit und im Ort wird
in dieser Abbildung deutlich,
in der Punkte gleicher Phase miteinander verbunden werden. Nach einer Periode ist
die Welle in der Zeit T um λ
vorwärts gewandert.
x [a. u.]
auch im Vakuum besteht eine Abhängigkeit der Phasengeschwindigkeit von der Wellenlänge oder der Frequenz. Materiewellen zeigen immer Dispersion, auch im Vakuum.
Auf Grund von Gl. (2.31) kann eine monochromatische Welle prinzipiell kein
Teilchen übertragen.
2.4.4 Wellengruppen und Gruppengeschwindigkeit
Um den Teilchen ihre Welleneigenschaften zu erhalten, beschreiben wir, wie in der
Wellentheorie üblich, einen harmonischen Vorgang nicht mittels monochromatischer
Wellen, sondern mittels Wellengruppen oder Wellenpaketen. Dies wird auf zwei unterschiedlichen Abstraktionsniveaus durchgeführt, einem einführenden, eher qualitativen, und einem quantitativen, der im Abschn. 1.2 der Advanced Topics beschrieben
ist. Dazu überlegen wir als erstes, daß in der Realität alle Wellen polychromatisch
sind; sie besitzen also ein k + ∆k, so daß in einem dispergierenden Medium auch
ω + ∆ω folgt.
2.4.5 Wellenpaket einer konventionellen Welle
Wir beschreiben also nun die Welle als eine Gruppe von Wellen oder als eine Wellengruppe mit einer orts- und zeitabhängigen Amplitude nach Abb. 2.10.
Die Wellenlänge einer Welle kann nur mit einer bestimmten Unsicherheit angegeben werden. So ist es z. B. erforderlich, mehrere Wellenzüge abzuwarten, um die
(mittlere) Wellenlänge einer Wellengruppe tatsächlich messen zu können. Die Wellenlänge an einem bestimmten Ort kann also gar nicht definiert sein, da die Welle
immer aus einer endlichen Anzahl von Wellenzügen unterschiedlicher Wellenlängen
besteht. Die Größen λ und x sind folglich komplementär. Was ist die größte Unsicherheit?
Habe unser Element ∆x die Länge L, dann ist die Zahl der darauf passenden
Wellenzüge
2.4 Wellennatur des Elektrons
59
2
Amplitude
0
-2
-4
Abb. 2.10. Die Interferenz zwischen
zwei (stationären) Eigenfunktionen ergibt eine zeitabhängige Resultierende,
hier gezeigt für das Verhältnis von
Grundton zu kleiner Sekunde.
-6
-8
0
2
4
6
8
Phase [rad]
10
12
L
kL
=
.
(2.34.1)
λ
2π
Da wir bei einer endlichen Länge die Wellenlänge λ — und damit auch k — nur mit
einer endlichen Sicherheit bestimmen können, könnten auch N + 1 Wellenzüge einer
etwas kürzeren Wellenlänge darauf passen:
N=
N +1=
(k + ∆k)L
,
2π
(2.34.2)
was mit (2.34.1)
(k + ∆k)L
kL + 2π
(k + ∆k)L
kL
+1=
⇒
=
2π
2π
2π
2π
ergibt. Nach Auflösen folgt
2π = L∆k = ∆x∆k,
(2.34.3)
(2.35.1)
was die unterste Grenze der Unsicherheit darstellt, denn wenn N + 2 Wellenzüge auf
unsere Länge ∆x = L passen würden, würde ja gelten
4π = L∆k = ∆x∆k.
(2.35.2)
Mithin sind Gln. (2.35) Spezialfälle der Unbestimmtheitsbeziehung
∆x∆k ≥ 2π.
(2.36)
Für eine de Brogliesche Materiewelle ergibt sich daraus einfach
∆x∆p ≥ h,
die die Bezeichnung Unbestimmtheitsrelation erhielt.
(2.37)
60
2 Quanteneffekte
2.5 Unschärferelationen einer Materiewelle
Wie wir gesehen haben [Gln. (2.37) u. (2.54)], sind der Impuls und der Ort einer
Materiewelle durch die Heisenbergsche Unschärferelation
∆p∆x ≥ h
(2.38)
miteinander verbunden. Einsetzen der Planck-Einstein-Beziehung E = hν = hc/λ
[Gl. (1.23)] mit ∆x = c∆t liefert die sog. 4. Unschärferelation
∆E = h∆ν =
hc
hc
∆E
= ∆p ⇒ ∆p =
,
∆λ
h
c
∆x = c∆t ⇒ ∆E∆t ≥ h,
(2.39)
(2.40)
die uns später bei der Bestimmung der Schärfe der Spektrallinien nochmals beschäftigen wird (s. Kap. 4). In beiden Fällen sind es zueinander komplementäre Größen, die
durch die Fourier-Analyse miteinander verknüpft werden.
In der Literatur finden wir meist statt (2.40)
∆p∆x ≥ ~,
(2.41)
die aus einem Gedankenexperiment folgt, nachdem es unmöglich sei, Ort und Impuls
einer Partikel simultan besser als durch die Schranke ~ gegeben zu bestimmen. Es sei
explizit darauf hingewiesen, daß die Gl. (2.41) von Heisenberg mittels der Eigenschaft der Nichtkommutierbarkeit von Operatoren aufgefunden wurde. Wir werden
am Ende des Kapitels 5 sehen, daß dieses Gedankenexperiment einen Gedankenfehler
enthält und deswegen hier nicht diskutiert wird.
2.6 Compton-Effekt
Im selben Jahr, als de Broglie seine Formel aufstellte, in dem er von der Seite
der Materie kam und einem (langsamen) Elektron eine Welleneigenschaft attestierte, untersuchte Compton die spektrale Verteilung der Intensität der Streustrahlung
einer Röntgenröhre an Graphit und anderen Stoffen (Lithium, Beryllium, Eisen,
Kupfer, . . . ) in einer Ionisationskammer unter verschiedenen Winkeln (Abb. 2.11).
Klassisch würde man Streuung bei unveränderter Wellenlänge erwarten. Tatsächlich aber beobachtet man neben dem Nullstrahl“ das Auftreten eines zweiten, lang”
wellig verschobenen Maximums. Die Wellenlänge, die diesem zusätzlichen Maximum
entspricht, ist um so stärker verschoben, je größer der Streuwinkel ϑ ist; am frappierendsten aber ist, daß bei Rückwärtsstreuung, also bei Streuung um 180◦ , der Wert
immer 0,0484 Å beträgt, unabhängig von der eingestrahlten Wellenlänge. Als alter
Billardspieler näherte sich Compton dem Problem spielerisch (Abbn. 2.12).
2.6 Compton-Effekt
61
Intensität [a. u.]
0°
45°
90°
135°
0.708
0.710
0.712
o
0.714
0.716
l [A]
Abb. 2.11. Comptons Nobelpreisexperiment: Kα -Strahlung von Molybdän fällt auf Graphit. Gezeigt ist die spektrale Verteilung der Röntgenstrahlung unter verschiedenen Winkeln. Die Wellenlänge, die dem zusätzlichen Maximum entspricht, ist um so stärker verschoben, je größer der Streuwinkel ϑ ist; bei Rückwärtsstreuung um 0,0484 Å, unabhängig von
der eingestrahlten Wellenlänge [3].
Abb. 2.12. Billard: Eine Zielkugel ist mit einem Bindfaden an einem Nagel befestigt (lks.).
M.: Bei niedriger Geschwindigkeit bleibt die rote Kugel am Bindfaden hängen, und die weiße
Kugel wird stark abgelenkt. Re.: Bei hoher Geschwindigkeit dagegen bemerkt“ die weiße
”
Kugel den Bindfaden gar nicht, und die rote Kugel wird vom Bindfaden getrennt.
Er betrachtete die Röntgen-Quanten genauso als Kugeln wie die Elektronen und
überprüfte die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.5 Geht man von folgendem
Bild aus (Abb. 2.13):
Energie : ~ω − ~ω ′ = c2 (m − m0 ),
(2.42)
Impuls : ~(k − k′ ) = mv,
(2.43)
~2 (k 2 + k ′2 ) − 2 cos[~2 (k · k′ )] = m2 v 2
(2.44)
p
mit m0 und m = m0 / 1 − β 2 der Elektronenmasse vor und nach dem Stoß, v der
Geschwindigkeit des Elektrons, β = v/c, ~k = ~ω/c und ~k ′ = ~ω ′ /c der Photonenimpuls vor und nach dem Stoß, dann ist unter Anwendung des Cosinus-Satzes
5
Bei der Rayleighschen Streuung verändert sich die Frequenz des Lichts nicht, außerdem würde
man als Folge eines Energieverlustes der elektromagnetischen Welle eine Reduktion der Amplitude
erwarten.
62
2 Quanteneffekte
Abb. 2.13. Lichtstreuung an einem
quasifreien Elektron. Die Energie des
Röntgenquants ist groß gegen die
Bindungsenergie des Elektrons (Bindungsenergien der Valenzelektronen
liegen in der Gegend von 10 eV,
Röntgenstrahlung einer Wellenlänge
von 1 Å hat eine Energie von 12 keV).
hk´
hk
m0
J
j
m0v
leicht zu zeigen, daß das gestreute Licht bei dem Impulstransfer seine Wellenlänge
vergrößert (Abb. 2.14). Dazu bilden wir die Differenz der Gln. (2.44) und dem Quadrat
von Gl. (2.42), multiplizieren mit c2 , und erhalten nach längerer Rechnung
ωω ′ (1 − cos ϑ) =
m0 c
(cω − cω ′ )
~
(2.45)
bzw. nach der Division mit ωω ′
h
ϑ
(1 − cos ϑ) = 2λ0 sin2
(2.46)
m0 c
2
mit λ0 der Compton-Wellenlänge des Elektrons (Wellenlänge der Röntgen-Quanten, die die gleiche Masse wie ein ruhendes Elektron hätten, λ0 = 2, 4 · 10−10 cm):
∆λ = λ′ − λ =
Intensität [a. u.]
λ0 =
2π~
h
=
,
m0 c
m0 c
(2.47)
einfallende
Welle
gestreute
Welle
Abb. 2.14. Prinzipskizze der spektralen Verteilung der Röntgenstrahlung
beim Comptoneffekt vor (blaue) und
nach (rot) der Streuung.
l
l'
Wellenlänge
Bei Rückwärtsstreuung erhält man dann den doppelten Wert, also 0,0485 Å. Aus
der Compton-Gleichung (2.46) geht hervor, daß
• die Zunahme der Wellenlänge um so wesentlicher ist, je größer der Streuwinkel
ist, und daß
2.6 Compton-Effekt
63
• die Änderung der Wellenlänge nur vom Streuwinkel, nicht dagegen von der
Wellenlänge und damit von der Frequenz abhängt. Schreibt man jedoch für
∆λ = λ′ − λ =
c
ν − ν′
c
=
c
−
,
ν′ ν
ν ν′
(2.48)
und setzt das in (2.46) ein:
c
ν − ν′
ϑ
= 2λ0 sin2 ,
′
νν
2
(2.49)
folgt für die Differenz der Frequenzen:
∆ν = 2 ν ν ′
ϑ
h
sin2 .
2
m0 c
2
(2.50)
Da sich ja selbst im Röntgen-Bereich ν und ν ′ kaum unterscheiden, ist
∆ν ≈ ν 2 ⇒
∆ν
≈ν:
ν
(2.51.1)
Praktisch sind die die relativen Frequenz- bzw. Wellenlängenänderungen um so
eher sichtbar, je höher die Frequenz bzw. je kürzer die Wellenlänge ist. Daher ist
der Effekt am besten im Röntgen- bzw. Gammastrahlenbereich beobachtbar,
wie wir aus Gl. (2.46) sehen (∆λ ∝ λ0 ):
UV/VIS :
λ0
∆λ
≈
≈ 10−5 = 10−3 %,
λ
λ
X(10−8 − 10−9 cm) :
λ0
≈ 10−1 = 10 %.
λ
(2.51.2)
(2.51.3)
Dann aber ist die Energie der Photonen so groß, daß die Elektronen auf den
äußeren Bahnen als frei“ zu betrachten sind und ihre kinetische Energie ver”
nachlässigbar klein ist. Das nicht verschobene Maximum wird durch die Streuung an Elektronen verursacht, die so stark an den Kern gebunden sind, daß ihre
Bindungsenergie groß gegen die Quantenenergie der Röntgenstrahlen ist.
Für Abschätzungen ist die Gl. (2.47) sehr brauchbar: Wegen der geringen Größe
von λ0 kann man diese Streuung nur bei sehr kurzen Wellenlängen beobachten, da
die optimale Energieübertragung bei Gleichheit der stoßenden Massen erfolgt. Ein
solches Photon würde bei Rückwärtsstreuung seine Wellenlänge verdoppeln, seine
Masse also halbieren. Die Stoßgesetze verlangen dagegen, daß bei Massengleichheit
und zentralem Stoß das stoßende Teilchen liegenbleibt, und das gestoßende Teilchen
mit der gleichen Geschwindigkeit fortfliegt. Dies zeigt, daß relativistisch gerechnet
werden muß!
Sehen wir uns dazu nochmals Gl. (2.42) für die Energieübertragung auf das Elektron an:
64
2 Quanteneffekte
~ω − ~ω ′ = c2 (m − m0 ) = Ekin,e ⇒ 1 =
Ekin,e ω ′
+ .
~ω
ω
(2.52)
Damit wird das Verhältnis der Elektronenenergie nach dem Stoß zur Energie des
Photons vor dem Stoß
Ekin,e
ω′
=1− .
~ω
ω
(2.53)
Gl. (2.49) können wir leicht nach ω ′ auflösen und erhalten
ω′ =
ω
1+
2 m~ω
2
0c
sin2
ϑ
2
,
(2.54)
Gl. (2.54) eingesetzt in Gl. (2.53) liefert
2 ϑ
2 m~ω
Ekin,e
2 sin 2
0c
,
=
2 ϑ
~ω
1 + 2 m~ω
2 sin 2
0c
(2.55)
und mit der Definition für λ0
Ekin,e
was durch Erweitern mit
c
ν
2 λ0c ν sin2 ϑ2
,
= ~ω
1 + 2 λ0c ν sin2 ϑ2
(2.56)
2 λ0 sin2 ϑ2
= ~ω
λ + 2 λ0 sin2
(2.57)
= λ zu
Ekin,e
ϑ
2
wird. Nehmen wir nun an, wir schießen mit Photonen der Compton-Wellenlänge auf
die Elektronen (λ = λ0 ) und beobachten den zentralen Stoß (head-on collision), dann
wird daraus
2
Ekin,e = ~ω :
3
(2.58)
Das Elektron bekommt im Fall maximalen Energietransfers nur 2/3 der Photonenenergie, weil zusätzlich ein Massentransfer einhergeht: das Elektron gewinnt Masse, das
Photon verliert sie.
Diese Herleitung nützt den Welle-Teilchen-Dualismus auf geschickte Weise aus.
Von den beiden alternativen Möglichkeiten zur Erklärung gilt seit der Erfindung von
Ockhams Rasiermesser, daß die einfachere Erklärung die richtige sei: simplex signum veri. Man kann aber auch die Zunahme der Geschwindigkeit des Elektrons ∆v
durch die einfallende elektromagnetische Welle mit der Frequenz ω0 als erzwungene
Schwingung weit weg von der Resonanzfrequenz mit dem Doppler-Effekt deuten
[4].
2.7 Bohrsches Atommodell
65
2.7 Bohrsches Atommodell
2.7.1 Daten
• Balmer-Linien des Wasserstoff-Atoms (1885)
– Hα : 656,279 nm;
– Hβ : 486,133 nm;
– Hγ : 434,047 nm;
– Hδ : 410,174 nm;
– Hε : 397,008 nm.
• Ionisierungspotential des Wasserstoff-Atoms: 13,6 eV
2.7.2 Geschichte
• Kinetische Gastheorie: Atome
• Thomson (1904): gleichmäßige Verteilung der positiven Ladung in einer Kugel
mit schwingfähigen negativen Ladungen. Linienspektren? Lenard-Rohr: Kathodenstrahlen durchdringen eine Folie aus Aluminium und mehrere cm Luft
und werden auf einem ZnS-Schirm nachgewiesen ⇒ Masse ist nicht gleichmäßig
im Atom verteilt.
• Rutherfordsche Streuversuche von α-Teilchen an dünner Goldfolie (1906 −
1911): nahezu keine Ablenkung ⇒ Masse ist nicht gleichmäßig im Atom verteilt: positiver, schwerer Kern, der die α-Teilchen durch sein Coulomb-Feld
auf Hyperbelbahnen ablenkt und nicht, wie das Thomsonsche Modell erwarten ließe, auf einer Glockenkurve (Abb. 2.15, Z: Ordnungszahl (79 für Gold, 2
für Helium), ∆x: Dicke der Folie, Ω: Raumwinkel):
dN
Z 2 e4
= const 4 0 dΩ∆x :
N
sin ϕ/2
(2.59)
durch die Gewichtung mit 1/ sin4 ϕ sind große Streuwinkel außerordentlich selten.
2.7.3 Postulate
Um diesen Widerspruch zu lösen, schuf N. Bohr 1913 sein Modell des Wasserstoffatoms. Er benötigte dazu zwei Postulate:
66
2 Quanteneffekte
100
Gauss
Rutherford
-3
Streuamplitude
10
-6
10
-9
10
0
20 40 60
80 100 120 140 160 180
Abb. 2.15. Rutherfordscher
Streuversuch von α-Teilchen
an einer Goldfolie: Das
Thomsonsche Modell des
Atoms läßt eine Glockenkurve
für die Winkelabhängigkeit
der Streuamplitude erwarten,
während von Rutherford
eine steile Hyperbel nach Gl.
(2.50) beobachtet wurde.
Streuwinkel [Grad]
• Die Bahnen der Elektronen um den Kern sind Kreisbahnen, und die wellenmechanische Bedingung für stabile Bahnen lautet:
L = r · p = n~
(2.60)
mit n einer ganzen Zahl.
• Diese Bewegung ist dadurch ausgezeichnet, daß trotz der beschleunigten Bewegung einer (Elementar-)Ladung dennoch keine Energie abgestrahlt wird.6
2.7.4 Berechnung der innersten Bahn
Kräftegleichgewicht: Zentrifugalkraft entgegengesetzt gleich der elektrostatischen
Kraft (Z: Ordnungszahl):
me v 2
1 Ze20
=−
r
4πǫ0 r2
(2.61)
oder
1 Ze20
= Epot :
(2.62)
4πǫ0 r
Virialtheorem der Mechanik: In einem Zentralfeld ist die kinetische Energie entgegengesetzt gleich der Hälfte der potentiellen Energie.7
me v 2 = 2Ekin = −
6
Das zweite Postulat war nur durch den Erfolg gerechtfertigt. Erst zehn Jahre später konnte de
Broglie zeigen, daß durch Einsetzen seiner Beziehung λ = phe in Gl. (2.60) herauskommt, daß nur
ganze Vielfache ganzer Wellenlängen auf die Kreisbahn passen:
nλ = 2πr :
es entsteht ein System stehender Wellen, gerastert mit n, und stehende Wellen transportieren keine
Energie. Folglich kann auch keine Energie abgestrahlt werden (Abb. 2.16).
7
Dies ist ein spezieller Fall der Potentialform V ∝ ry , für den < T >= 1/2 y < V > ist. Für das
Coulomb-Potential gilt V ∝ r−1 , also ist y = −1 und < T >= −1/2 < V >.
2.7 Bohrsches Atommodell
67
Abb. 2.16. Das 1. Bohrsche
Postulat in der Form der Materiewelle. Es können nur ganze Wellenzüge auf dem Umfang eines Kreises untergebracht werden: nλ = 2πr.
E = Epot + (Ekin = −1/2 Epot ) = 1/2 Epot .
(2.63)
Mit Gl. (2.60) folgt allgemein für r aus Gl. (2.62)
rn =
4πε0 ~2
· n2 :
Z e20 me
(2.64)
Die Radien verhalten sich wie die Quadrate ganzer Zahlen. Gl. (2.64), eingesetzt in
Gl. (2.63), ergibt für die potentielle Energie der n-ten Bahn
Epot =
1
4πε0
2
me Z 2 e40
me (Z e20 )2
=
:
n2 ~ 2
4ε20 h2 n2
(2.65)
die potentielle Energie ist dem Quadrat des Produkts der Elementarladungen von
Kern und Elektron proportional, die Gesamtenergie der n-ten Bahn ist nach dem
Virialsatz genau halb so groß:
E = Epot + Ekin =
1 me (Z e20 )2
,
2 4ε20 h2 n2
(2.66)
und die Kombination der Gln. (2.61) und (2.64) liefert für die Bahngeschwindigkeit
vn =
Z e20 1
· :
4πε0 ~ n
(2.67)
68
2 Quanteneffekte
diese verhält sich also proportional 1/n, wobei n später den Namen Hauptquantenzahl
erhielt. Einsetzen ergibt für die erste Bahn (n = 1) aus Gl. (2.65) mit Z = 1
Epot = 2 EIon =
me (Z e20 )2 1
· 2 = −27, 2 eV,
4ε20 h2
n
(2.68)
für die Gesamtenergie der ersten Bahn also mit −13, 60 eV. Für die Gesamtenergie
der n-ten Bahn wird für ein wasserstoffähnliches Atom mit einer Kernladung Ze0
En = −13, 60
Z2
eV,
n2
(2.69)
und im speziellen für Wasserstoff mit Z = 1
En =
−13, 60
eV
n2
(2.70)
und für r (n = 1) damit
r = 0, 529 × 10−8 cm,
(2.71)
und man bezeichnet diesen Wert als Bohrschen Radius a0 . Für n = 1 ergibt sich
schließlich für die Bahngeschwindigkeit
v=
2, 56 × 10−38
m/sec,
2 × 8, 85 × 6, 63 × 10−12 × 10−34
(2.72)
also etwa 2, 2×106 m/sec, etwa 1/137 der Lichtgeschwindigkeit. Der Vorfaktor in
Gl. (2.72) besteht nur aus Konstanten und wird mit n = 1 zu Ehren Sommerfelds
als Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante α bezeichnet:8
α=
e20
1
=
.
4πε0 ~c
137
(2.73)
Aus Gl. (2.64) folgt noch, daß
Epot ∝
1
1
∝ 2
rn
n
(2.74)
und aus Gl. (2.67) entsprechend für die kinetische Energie
Ekin ∝ v 2 ∝
1
:
n2
(2.75)
da sie unabhängig voneinander beide dem Virialsatz genügen müssen, müssen sie
notwendig die gleiche Abhängigkeit von n aufweisen.
8
Im damals gebräuchlichen cgs-System war die Konstante ε0 unbekannt. In diesem System ist
e2
α = ~c0 .
2.7 Bohrsches Atommodell
69
2.7.5 Berechnung des Spektrums
Die elektrische Wechselwirkung ist F = −e20 /(4πε0 a20 ), damit wird die Energie zum
Anheben von der Bahn mit dem Radius rm und der Quantenzahl m auf die Bahn mit
Radius rn und der Quantenzahl n
ˆ rn
e20
e20
1
1
W =−
dr =
−
.
(2.76)
2
4πε0 rm rn
rm 4πεr
Mit Gl. (2.64) folgt dann
e4 me
W = 02 2
4ε0 h
1
1
− 2
2
m
n
.
(2.77)
Wg. Virialsatz wird die Hälfte der aufzuwendenden Energie dadurch geliefert, daß die
kinetische Energie auf der äußeren Bahn kleiner ist [Gl. (2.67)]:
e40 me
me 2
1
1
2
W =
− vn=1 ) = 2 2
,
(2.78)
(v
−
2 n=2
8ε0 h m2 n2
was man leicht umrechnet in die Frequenz des ausgesandten Lichts:
e40 me
me 2
1
1
2
∆E = hν =
⇒
(v − vn ) = 2 2
−
2 m
8ε0 h m2 n2
me 2
e40 me
1
1
1
1
2
ν=
=R
,
(v − vn ) = 2 3
−
−
2 m
8ε0 h m2 n2
m 2 n2
(2.79)
(2.80)
mit R der Rydberg-Konstanten (Abb. 2.17). Formel (2.80) war schon früher von
Ritz abgeleitet worden, und der eigentliche Triumph der Bohrschen Theorie war
daher die Feststellung, daß er R ausschließlich aus Naturkonstanten ermitteln konnte.
Paschen
Brackett
Balmer
Lyman
Abb. 2.17. Das Bohrsche Atommodell konnte nicht nur die Frequenzen (Wellenlängen) der
bereits bekannten Balmer-Serie im VIS-Bereich (Zielbahn ist m = 2) exakt beschreiben,
sondern auch die erst später im UV (Lyman, Zielbahn m = 1) bzw. im UR entdeckten
(Paschen (m = 3), Brackett (m = 4)), nicht maßstäblich.
70
2 Quanteneffekte
2.7.6 Quantisierung auch für höhere Atome?
Franck und Hertz beschossen mit Elektronen Quecksilberdampf und bestimmten
den Anodenstrom.
Dazu wird an ein Filament eine Heizspannung UH angelegt, und auf Grund des RichardsonEffektes werden Elektronen emittiert, die durch eine variable
q Spannung U0 , die an ein Gitter
0
angelegt wird, auf die maximale Geschwindigkeit v = 2e
me U0 beschleunigt werden. Eine
Bremsspannung U1 zwischen dem Gitter und der Anode kann die Elektronen verzögern,
die durch das Gitter fliegen. Dieses Feld kann entweder nur die langsamsten oder auch alle
Elektronen am Erreichenden der Anode hindern.
Bei der Ionisierungsenergie von 4,9 eV bzw. Vielfachen davon beobachten sie ausgeprägte Dellen in der U-I-Kennlinie, was am einfachsten durch unelastische Stöße der
Elektronen an den Atomen interpretiert werden kann, die ihrerseits ionisiert werden
(Abbn. 2.18 + 2.19).
Anode
Gitter
Filament
U1
UH
_
U0
Abb. 2.18.
Versuch von
Franck und G. Hertz: In
einer mit Hg-Dampf gefüllten
Röhre werden Elektronen aus
einem Filament emittiert und
durch ein Gitter beschleunigt.
+
2.7.7 Stabilität von Atomen
Warum fällt das Elektron auf Grund der elektrostatischen WW nicht in den Kern
hinein? In der Quantenmechanik gilt die Unschärferelation:
∆x∆p ≥ ~.
(2.81)
Für ein Teilchen, das in ein kugelförmiges Volumen mit dem Radius R eingesperrt sei,
bedeutet das also für die Angabe der aktuellen Position eine Unschärfe von maximal
R:
~
R
und damit eine Unschärfe der kinetischen Energie von maximal
∆p ≥
∆E =
(∆p)2
~2
=
= T.
2me
2me R2
(2.82)
(2.83)
2.7 Bohrsches Atommodell
71
400
14,7 V
Anodenstrom [a. U.]
sIon [10-16 cm2]
30
300
9,8 V
200
20
4,9 V
10
100
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
10
Anodenspannung [V]
12
14
Elektronenenergie [eV]
16
Abb. 2.19. Franck-Hertz-Versuch II: Der Anodenstrom (lks.) und der Streuquerschnitt
der Ionisation (re.) als Funktion der Beschleunigungsspannung (Elektronenenergie) in
Quecksilberdampf [7]. Bei der Ionisierungsenergie von 4,9 eV bzw. Vielfachen davon beobachtet man ausgeprägte Dellen in der Kennlinie, und auch der bei etwas höheren Energien
gemessene hochaufgelöste Streuquerschnitt zeigt keinen glatten Verlauf [8].
Die gesamte Energie ist
~2
−e20
+
,
4πε0 R 2me R2
was durch Nullsetzen der ersten Ableitung
E =T +V =
dE
e20
~2
=
−
=0
dR
4πε0 R2 me R3
(2.84)
(2.85)
zu einem R von
R=
~2 · 4πε0
= 0, 53 · 10−8 cm
me e20
(2.86)
führt, also exakt dem Bohrschen Radius.
2.7.8 Das Korrespondenzprinzip
Offensichtlich sind Quanteneffekte um so leichter beobachtbar, je kleiner die Quantenzahlen sind; schließlich bekommt man bei sehr hohen Quantenzahlen, deren reziproke
Werte sich nahezu nicht mehr unterscheiden, einen Übergang ins Kontinuum, also
klassisches Verhalten.
Bestimmt man die Frequenz eines Übergangs für sehr große n:
1
2R
1
ν=R
≈ 3,
−
(2.87)
2
2
n
(n + 1)
n
stellt man fest, daß sie gleich der Umlauffrequenz eines Bohrschen Elektrons ist
[Kombination der Gln. (2.64) und (2.67)]:
72
2 Quanteneffekte
v
n~
m2e e40
ν=
=
·
⇒
2πr
2πme 16π 2 ε20 ~4 n4
(2.88)
2R
v
= 3,
(2.89)
2πr
n
wie man dies für ein klassisch oszillierendes Elektron erwartet. Für sehr kleine Quantenzahlen dagegen gibt es drastische Unterschiede. So ist die Umlauffrequenz auf der
innersten Bahn 6, 58 · 1015 sec−1 , die Frequenz des Übergangs 2 → 1 dagegen nur
2, 47 · 1015 sec−1 .
Das Prinzip, das für hohe Quantenzahlen die Resultate mit denen der klassischen
Theorie übereinstimmen, kann auch exakt aus der Quantentheorie abgeleitet werden.
ν=
2.8 Aufgaben und Lösungen
2.8.1 Grundlagen
Aufgabe 2.1 Geben Sie je ein Beispiel für eine lineare und eine nichtlineare Funktion
an und begründen Sie Ihre Wahl!
Lösung. Eines der wichtigsten Prinzipien der Physik ist das aus dem Superpositionsprinzip herausgehende Prinzip der Linearität. Die Ursache ist darin zu finden, daß
viele Gesetzmäßigkeiten durch eine lineare DGl zu beschreiben sind. Wenn eine lineare DGl etwa zwei Lösungen f1 und f2 hat, dann ist die Summe f1 + f2 auch eine.
Daher sind viele der fundamentalen Gesetze der Physik linear. Nicht linear sind die
trigonometrischen Funktionen oder die Exponentialfunktion, bei der mindestens ein
Parameter als Exponent verschieden von Eins vorkommt.
So genügt die Schwingung eines Federpendels der linearen Gleichung
d2 x
= −kx,
dt2
während ein Pendel mit der Gleichung
(1)
g
d2 θ
= − sin θ
(2)
2
dt
L
beschrieben wird, die durch elliptische Integrale gelöst wird. Die Rückstellkraft hängt
dann von der Amplitude ab (was für den linearen Fall nicht gilt!), die Amplitude ist
nicht mehr eine eindeutige Funktion von ω oder umgekehrt formuliert: ω hängt stark
von der Amplitude ab etc.
2.8.2 Strahlungsdruck
Aufgabe 2.2 Die Solarkonstante beträgt in der Sahara S = 1, 4 × 103 W/m2 . Wie
hoch ist dort der Strahlungsdruck? Verwenden Sie die Einsteinsche Masse-EnergieBeziehung und die de Broglie-Beziehung zur Ermittlung! Verwenden Sie die Nähe-
2.8 Aufgaben und Lösungen
73
rung des Schwarzen Strahlers! Wie hoch wäre der Druck, wenn der Boden nicht aus
Fels oder Sand, sondern aus einem Alu-Spiegel bestünde?
Lösung. Es gibt verschiedene Möglichkeiten zum Start:
E = hν ∧ p(Impuls) =
h
hν
E
=
= .
λ
c
c
E = mc2 = pc ⇒ p =
E=
ˆ
E
.
c
SA dt.
1 ∆p
F
=
.
A
A ∆t
ˆ
1 d
S·A
p(Druck) =
dt.
A dt
c
p(Druck) =
p = 4, 7 × 10−6 Pa.
(1.1)
(1.2)
(2)
(3)
(4)
(5)
Beim Alu-Spiegel hat man perfekte Reflexion. D. h. der Druck ist genau doppelt
so hoch wie im hier angenommenen Fall.
Aufgabe 2.3 Berechnen Sie die Beschleunigung einer kugelförmigen, perfekt absorbierenden Partikel mit einem Radius von 10−4 cm und einer Dichte von 2 g/cm3
durch den Strahlungsdruck des Sonnenlichts, wenn es sich in einem gut evakuierten
Glasgefäß befindet. Die Solarkonstante ist 1, 4 · 10−1 W/cm2 , der Druck ist p = I/c.
Lösung.
p=
V = 4, 19 · 10−12 cm3
(1)
m = 8, 4 · 10−12 g
(2)
1
A = 4πr2 = 6, 3 · 10−8 cm2
2
(3)
I
I ·A
F = ma = A ⇒ a =
c
m·c
(4)
1, 4 · 103 W m−2
I
=
= 1, 4 · 103 Wm−2
c
3 · 108
m2
a = 0, 35 · 10−2 m/sec2 .
(5)
(6)
74
2 Quanteneffekte
Aufgabe 2.4 Zur Eichmessung, um den Strahlungsdruck der Sonnenphotonen zu
messen:
• Wie groß ist die auf eine perfekt reflektierende Fläche von 1 m2 Anzahl von
Photonen, die dort senkrecht auftreffen, von
– einem Laserstrahl (λ = 656 nm, P = 5 mW)
– einer ebenen elektromagnetischen Welle aus einem Magnetron (2,45 GHz,
λ = 12, 25 cm, P = 5 mW)?
• Wie groß ist die mittlere Kraft auf die Platte?
Lösung. Die Anzahl der pro Sekunde auftreffenden Photonen n ist gleich dem Quotienten aus Strahlungsleistung und Photonenenergie:
n=
P
P
=
.
~ω
hc/λ
(1)
Das ergibt folglich für
• 656 nm: 1, 64 · 1016 /sec;
• 12,25 cm: 3, 06 · 1021 /sec.
Bei senkrechtem Einfall ist der Kraftstoß wegen Impulsumkehr
h
∆p = 2 ,
λ
(2)
was mit Gl. (1)
2h
2P
=
λ
c
ergibt. Da die Geschwindigkeit beider Wellen c ist, ergibt sich für
F =n
F = 0, 33 · 10−10 N.
(3)
(4)
2.8.3 Plancksche Formel, de Broglie-Beziehung
Aufgabe 2.5 Welche Möglichkeiten kennen Sie, um quantenmechanische Systeme
anzuregen? Was sind die prinzipiellen Unterschiede?
Lösung. Anregung durch Stoß (schwere Teilchen untereinander, im Hochvakuum oder
im Plasma auch mit Elektronen) oder durch elektromagnetische Strahlung. In allen
Fällen muß natürlich die erforderliche Schwellenenergie aufgebracht werden, da es sich
um unelastische Streuprozesse handelt. Im Gegensatz zu den ersten beiden Fällen ist
dann aber bei den Photonen auch schon wieder Schluß: es muß die Photonenenergie
im Rahmen der Breite der Spektralline mit der Energie des anzuregenden Oszillators
übereinstimmen.
2.8 Aufgaben und Lösungen
75
Aufgabe 2.6 Bestimmen Sie die de Broglie-Wellenlänge für ein 1s-Elektron (Geschwindigkeit: 2200 km/sec)! 0,33 nm = 3,3 Å.
Aufgabe 2.7 Bestimmen Sie die de Broglie-Wellenlänge für ein Elektron der
Energie 1 eV! 1,2 nm = 12 Å.
Aufgabe 2.8 Bestimmen Sie die de Broglie-Wellenlänge für ein Photon, dessen
Masse gleich der Ruhemasse des Elektrons ist!
Lösung.
λ=
h
= 2, 4 · 10−10 cm.
cme
(1)
Aufgabe 2.9 Wie groß ist die Wellenlänge eines Elektrons mit 13,6 eV kinetischer
Energie (sog. de Broglie-Wellenlänge)?
Lösung.
E = 1/2 mv 2 = 13, 6 · 1, 6 · 10−19 J = 2, 19 · 10−18 J.
pe =
λ=
p
E · 2me =
p
4, 38 · 9, 11 · 10−18−31 kg m sec−1 .
pe = 2, 00 · 10−24 kg m sec.
6, 625 · 10−34 kg m2 sec−1
h
=
= 3, 31 · 10−10 m = 3, 31 Å = 2π · a0 .
mv
2, 00 · 10−24 kg m sec−1
Aufgabe 2.10 Wo liegt die kurzwellige Grenze der Bremsstrahlung einer mit 50 kV
betriebenen Röntgen-Röhre?
Lösung. Die auf die Antikathode auftreffenden Elektronen besitzen die Energie 50000
eV oder
1, 6 · 50 · 10−19+3 = 8, 01 · 10−15 J.
(1)
Die Wellenlänge ergibt sich dann nach
λ=
c
c
hc
=
=
= 0, 248 Å.
−1
ν
Eh
E
(2)
76
2 Quanteneffekte
Aufgabe 2.11 Ein Lichtstrahl der Wellenlänge 6500 Å und der Intensität (Leistung)
1 · 10−1 J/sec 9 trifft auf eine Natriumzelle und wird dort mit einem Wirkungsgrad
von 100 % zur PE-Erzeugung verwendet. Wie hoch ist der PE-Strom?
Lösung. Die Energie eines Lichtquants beträgt 3, 06 · 10−19 J. Daraus folgt ein Photonenfluß von
1 · 10−1
= 3, 27 · 1017 Photonen/sec.
3, 06 · 10−19
Bei einem Wirkungsgrad von 100% erzeugen diese Photonen gleich viele Elektronen
oder
3, 27 · 1017 · 1, 6 · 10−19 = 5, 2 · 10−2 A = 52 mA.
Aufgabe 2.12 Eine Röhre, die Wasserstoffatome im Grundzustand enthält, ist
transparent, absorbiert also keinerlei Licht im sichtbaren Bereich, sondern nur im
äußersten Ultraviolett. Die Wellenlänge der langwelligsten Absorptionslinie beträgt
λ = 1216 Å. Um welchen Betrag liegt der angeregte Zustand energetisch über dem
Grundzustand?
Lösung.
ν=
c
3 · 108 m sec−1
=
= 2, 47 · 1015 Hz.
−7
λ
1, 2 · 10 m
E = hν = 6, 6 · 2, 47 · 10−34+15 = 1, 634 · 10−18 J = 10, 20 eV.
Aufgabe 2.13 Zur Strukturuntersuchung kann man mit Teilchen (Elektronen, Neutronen), aber auch mit Röntgenstrahlung arbeiten. Welche Energie (in eV), welchen
Impuls und welche Geschwindigkeit haben ein Neutron mit einer Wellenlänge von 1
Å (0,1 nm) und ein gleichlanges Röntgenquant?
Lösung.
Neutron
6, 625 · 10−27
h
=
= 6, 63 · 10−19 gcm/sec.
−8
λ
1 · 10
(1)
6, 63 · 10−19
= 3, 96 · 105 cm/sec = 3, 96 km/sec.
1840 · 9, 1 · 10−28
(2)
pN =
vN =
p2
= 0, 08 eV = 1, 28 · 10−20 J.
2m
Das sind sog. thermische Neutronen.
EN =
9
Das ist etwa die Sonnenenergie pro cm2 ; die Solarkonstante beträgt 0,14 W/cm2 .
(3)
2.8 Aufgaben und Lösungen
77
Röntgenquant
EX = hν = h
c
6, 625 · 10−27 · 3 · 1010
=
= 19, 875 · 10−9 erg.
λ
1 · 10−8
(4)
Umgerechnet in J und eV sind das
pX =
19, 875 · 10−16 J = 12, 4 keV.
(5)
vX = c.
(6)
E/ν
h
E
=
= = 6, 63 · 10−24 Nsec.
c
c/ν
λ
(7)
Aufgabe 2.14 Zur Strukturuntersuchung kann man mit Elektronen, aber auch mit
Röntgenstrahlung arbeiten. Welche Energie (in eV), welchen Impuls und welche
Geschwindigkeit hat ein Elektron, das an der (100)-Ebene unter einem Winkel von
45◦ bei einer Gitterkonstanten von d = 4 Å reflektiert werden soll? Was ist folglich
der Unterschied zwischen den Elektronen, mit denen ein Streubild oder mit denen ein
Interferenzbild erzeugt werden soll?
Lösung. Wir beginnen mit der Bragg-Gleichung (1)
√
8· 2
nλ = 2d sin ϑ =
= 5, 656 Å.
2
p=
h
= 1, 172 · 10−19 g cm sec−1 .
λ
E = 7, 6 · 10−12 erg = 4, 7 eV.
(1)
(2)
(3)
Die Elektronen sind extrem niederenergetisch. Mit diesen Elektronen kann man also in
Beugung untersuchen, während Elektronen höherer Energie dazu verwendet werden,
Streuexperimente an Oberflächen auszuführen (Erzeugung von Sekundärelektronen
im Bereich einiger 10 − 100 V, Erzeugung von Rückstreuelektronen mit Elektronen
von einigen kV).
Aufgabe 2.15 Berechnen Sie die Wellenlänge eines Elektrons, das durch die Spannung 10 kV beschleunigt wurde und eine Geschwindigkeit von 6 × 107 m/s besitzt,
und eines Stickstoffmoleküls (Masse 28 amu) bei 25 ◦ C!
Lösung.
E = QU = 1, 6 × 10−15 J.
(1)
78
2 Quanteneffekte
1
1
E = mv 2 = 9 × 10−31 × 36 × 1014 kg m2 /s2 = 1, 6 × 1015 J.
2
2
(2)
p = mv = 9 × 6 × 10−31 × 107 kgm/s = 54 × 10−24 N s.
(3)
λ = 1, 1 · 10−11 m.
(4)
Ekin = kT ⇒ v =
r
2Ekin
.
m
(5)
v = 550 m/s.
(6)
p = 2, 57 · 10−23 N s.
(7)
λ = 2, 6 · 10−11 m.
(8)
2.8.4 Einsteinscher Photoeffekt
Aufgabe 2.16 Welche Gegenspannung unterbindet den Strom von Photoelektronen,
der durch Auftreffen von Licht der Wellenlänge 6500 Å in einer Natriumzelle erzeugt
wird? Die Austrittsarbeit WA von Na beträgt 1,91 eV.
Lösung.
c
= 3, 06 · 10−19 J = 1, 91 eV :
(1)
λ
Die photoelektrische Schwelle von Natrium liegt eben bei 6500 Å. Die von Licht dieser
Wellenlänge erzeugten Photonen erhalten also eben noch keine kinetische Energie,
denn die Energie der Lichtquanten reicht gerade nur aus, die Elektronen aus dem
Natrium zu lösen. Deshalb hält bereits eine äußerst kleine Gegenspannung den PEStrom auf.
E=h
Aufgabe 2.17 Welche Gegenspannung unterdrückt dann den PE-Strom, den Licht
einer Wellenlänge von 3250 Å in einer Natriumzelle erzeugt?
Lösung.
c
= 6, 12 · 10−19 J = 3, 75 eV.
λ
Davon wird genau die Hälfte zur Herauslösung der Photoelektronen benötigt ⇒
E = hν = h
U=
3, 06
· 10−19+19 = 1, 91 V.
1, 602
2.8 Aufgaben und Lösungen
79
2.8.5 Unschärferelation
Aufgabe 2.18 Modell des Neutrons: Ein Proton und ein Elektron, beide als Punktladungen betrachtet, sollen innerhalb eines Kubus mit einer Kantenlänge von 1 fm
eingesperrt werden, was der größenordnungsmäßige Durchmesser des Neutrons ist;
sie werden durch Coulombsche Kräfte zusammengehalten. Begründen Sie mit der
Unschärferelation quantitativ, warum dieses Modell falsch ist. Was hat das für Konsequenzen bei der Entstehung der β-Strahlung?
Lösung.
∆px ≥
~
⇒ ∆px ≥ 10−14 g cm sec−1 .
∆x = 10−13 cm
(1)
Das bedeutet in drei Raumrichtungen eine kinetische Energie von
Ekin =
∆Ekin ≈
1
∆p2x + ∆p2y + ∆p2z .
2me
3 · 10−28
· 10−7 = 2 · 10−8 J.
18 · 10−28
Epot =
1 e20
= 2 · 10−13 J :
4πε0 r
(2)
(3)
(4)
Der Gewinn an potentieller Energie reicht für ein Gleichgewicht bei weitem nicht aus,
um ein Elektron auf ein Volumen von 10−3·13 cm3 einzusperren! Elektronen können
sich nicht im Kern aufhalten.
Aufgabe 2.19 Zeigen Sie für das Elektron im Kasten der Länge L mit dem Impuls
p, daß die maximale Unsicherheit in Position und Impuls gerade den niedrigsten
Energiewert E1 = ~2 π 2 /(2me L2 ) ergibt!
Lösung.
E=
p2
2me
∆x = L, ∆p = 2px ⇒ px =
E=
~2 π 2
h2
=
.
8me L2
2me L2
(1)
h
2L
(2)
(3)
80
2 Quanteneffekte
2.8.6 Compton-Effekt
Aufgabe 2.20 Vergleichen Sie mit den Gln. für die Compton-Streuung den zentralen Stoß eines Photons mit einem quasi-freien Elektrons, mit dem klassischen Fall
eines zentralen Stoßes zweier gleichschwerer Kugeln! Sie sollten dazu folgende Fragen
beantworten:
• Was bedeutet quasi-frei“ in diesem Zusammenhang?
”
• Unter welchem Winkel ist ∆λ maximal?
• Wie groß ist ∆λ dann?
• Was passiert im klassischen Fall?
• Wie groß wäre die Masse eines Photons der Wellenlänge 2,43 pm?
Lösung.
1. Compton verwendete Substrate aus Graphit und einer Vielzahl von Elementen, z. B. Lithium und Molybdän, die er mit Röntgenstrahlen in einer Ionisationskammer beschoß. Die Bindungsenergie der Valenzelektronen (einige eV) ist
klein gegenüber der Photonenenergie. Er untersuchte die spektrale Verteilung
der Intensität der Streustrahlung unter verschiedenen Winkeln. Es entsteht ein
zusätzliches, bathochrom verschobenes Maximum. Die Wellenlänge, die diesem
zusätzlichen Maximum entspricht, ist um so stärker verschoben, je größer der
Streuwinkel ϑ ist. Überprüft wurden die Erhaltungssätze von Energie und Impuls.
2. Mit der Formel
∆λ = λ′ − λ = 2λ0 sin2
ϑ
2
(1)
ist es leicht, auszurechnen, daß der maximale Transfer bei Rückwärtsstreuung
(180◦ ) stattfindet.
3. ∆λ ist dann 2λ0 .
4. Bei der Rayleighschen Streuung verändert sich die Frequenz des Lichts nicht.
Aus der Mechanik (Stoßlatte) ist bekannt, daß es zu einem vollständigen Energieübertrag kommt.
5. λ0 ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons (Wellenlänge der Röntgen-Quanten, die die gleiche Masse wie ein ruhendes Elektron haben), 2, 4 · 10−10 cm:
Aufgabe 2.21 Bestimmen Sie die Zunahme der Wellenlänge des Röntgen-Quants
bei der Ablenkung um 45, 90, 135 und 180◦ .
Lösung.
2.8 Aufgaben und Lösungen
81
• 45◦ : 0,71 pm;
• 90◦ : 2,42 pm (λ0 );
• 135◦ : 4,14 pm;
• 180◦ : 4,85 pm (2 λ).
2.8.7 Bohrsches Atommodell
Aufgabe 2.22 Wie hoch ist die de Broglie-Wellenlänge des 1s-Elektrons im Wasserstoff-Atom?
Lösung. Einsetzen in die erste Bohrsche Bedingung ergibt eine Wellenlänge von
3,32 Å.
Aufgabe 2.23 Berechnen Sie den Durchmesser des Wasserstoff-Atoms und die Elektronengeschwindigkeit für n = 2!
Lösung.
ε0 h2 (n = 2)2
= 2, 12 Å.
πe20 me
(1)
e20
= 1, 09 · 106 m/sec.
2ε0 h(n = 2)
(2)
r2 =
v2 =
Aufgabe 2.24 Berechnen Sie das Ionisationspotential des Wasserstoff-Atoms aus
dem Grundzustand heraus!
Lösung. Nach dem Virialsatz ist die Gesamtenergie des H-Atoms gleich der Hälfte
der potentiellen Energie, die bei der Bindung eines Elektrons aus dem Unendlichen
auf den Abstand r = a0 frei wird:
ˆ
1 e20
1
1 r=∞ e20
dr =
= 13, 59 eV.
(1)
We =
2
2 r=r1 4πε0 r
2 4πε0 r1
Aufgabe 2.25 Berechnen Sie die Frequenzen der ersten drei Linien der Lyman-Serie
des Wasserstoff-Atoms!
Lösung. Die Energie-Eigenwerte ergeben sich mit (1 eV = 8066 cm−1 )
En (1) = −13, 60 · 8066 ·
zu
1
1
= −109700 · 2 cm−1
2
n
n
(1)
82
2 Quanteneffekte
• E1 = 13,6 eV = −109 700 cm−1 ;
• E2 = 3,4 eV = −27 400 cm−1 ;
• E3 = 1,51 eV = −12 200 cm−1 ;
• E4 = 0,85 eV = −6 900 cm−1 ;
• E∞ = −0 cm−1 .
Damit ergeben sich die Wellenzahlen der ersten drei Lyman-Linien in den Einheiten Wellenzahlen“ zu
”
1
∆E = hν = R 1 − 2
(2)
n
• ∆E12 = 82 300 cm−1 ;
• ∆E13 = 97 500 cm−1 ;
• ∆E14 = 102 800 cm−1 ;
• ∆E1∞ = 109 700 cm−1 .
Aufgabe 2.26 Berechnen Sie das Verhältnis der Wechselwirkungen von Gravitation
zur elektrostatischen für das Wasserstoff-Atom im Grundzustand!
Lösung.
FCoul =
e20 1
= 8, 2 · 10−8 N,
4πε0 r2
(1)
m1 m2
.
r2
(2)
Fgrav = γ
Fgrav = 6, 67 · 10−11
1836 · (9, 11 · 10−31 )2 3 −1 −2 2 −2
m kg sec kg m .
(0, 529 · 10−10 )2
(3)
Fgrav = 6, 67 · 9, 112 · 1, 836/0, 5292 · 10−53 N
(4)
Fgrav = 3, 62 · 10−47 N.
(5)
Damit ergibt sich ein Verhältnis der beiden Kräfte von 2, 3 · 1039 zugunsten der elektrostatischen Wechselwirkung.
2.8 Aufgaben und Lösungen
83
Aufgabe 2.27 Beschreiben Sie den Unterschied zwischen den Bahnen der Planeten
und denen der Elektronen im Bohrschen Atommodell!
Lösung. Der wesentliche Unterschied besteht in der Quantelung des Drehimpulses, wodurch definierte Bahnen ausgezeichnet und ausschließlich zugelassen sind.
Dem steht die Bodesche Theorie gegenüber, derzufolge auch die Planeten in einer merkwürdigen Ordnung um die Sonne aufgereiht sind. Weitere Unterschiede sind
Ellipsen vs. Kreisbahnen, magnetisches Moment . . .
Aufgabe 2.28 Wieso ist das Atom eigentlich nach außen neutral?
Lösung. Gaussscher Satz: Der (elektrische) Fluß durch eine geschlossenen Fläche
ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz dieses (elektrischen) Flusses:
˚
¨
ˆ
3
∇ · Φel d x =
Φel dA = Φel 2πrdr = 0.
(1)
Die Flüsse der positiven Kernladung und der negativen Elektronenladung gleichen
sich in einiger Entfernung vom Atom genau aus. Dicht am Atom ist das nicht unbedingt der Fall (Heitler-Londonsche Dispersionskräfte dienen zur Erklärung der
Kondensation der Edelgase).
Aufgabe 2.29 Nehmen Sie an, zwischen Wasserstoffkern und Elektron befinde sich
ein Dielektrikum der DK ε.
• Schreiben Sie die Gleichungen für die Energieniveaus und den Bohrschen Radius hin!
• Bestimmen Sie dann die Energieniveaus für ein Medium mit ε = 16 (entspricht
dem Fall des Germaniums)! Geben Sie den Bohrschen Radius an!
Lösung.
V =−
e20
.
4πε0 εr
E = T + V = 1/2 V.
e4 me
En = 20 2 2 ·
8ε0 ε h
r=
2
2
1
1
= R∞
.
n
εn
ε0 εh2 2
n = a0 ε n 2 .
2
πe0 me
(1)
(2)
(3)
(4)
EGe = −0, 053 eV.
(5)
r = 8, 5 Å.
(6)
84
2 Quanteneffekte
Aufgabe 2.30 Wie schwer müßten zwei gleich schwere Massen sein, damit sie sich
im Abstand des Bohrschen Radius mit derselben Kraft anziehen wie zwei Elementarladungen?
Lösung. Die Massen müßten 2 µg (genau: 1,86 µg) schwer sein.
Aufgabe 2.31 Stellen Sie sich zwei gleiche Ladungen im Abstand Sonne/Erde vor,
die die gleiche Kraft aufeinander ausüben sollen wie die beiden Himmelskörper. Wie
groß (in Einheiten der Elementarladung) müssen die Ladungen sein? Wieviel Elementarladungen sind das? Und wieviel Mol?
Lösung. Die Ladungen betragen 2, 97 · 1017 Coul oder 1, 88 · 1036 e0 , d. h. 3 · 1012 Mol.
Aufgabe 2.32 Was verstehen Sie unter einer Seriengrenze? Beginnen Sie dazu am
besten mit einem Beispiel, etwa mit der Balmer-Serie!
Lösung. Ist die Abhängigkeit der Energie der Linien einer Spektralserie umgekehrt
proportional einer Laufzahl, so konvergieren diese mit steigender Energie in einem
Häufungspunkt, der Seriengrenze. Z. B. sind die Linien der Balmer-Serie gegeben
durch
1
1
En = R
.
(1)
−
4 n2
Für großes n konvergiert diese Folge gegen R/4.
Aufgabe 2.33 Bestimmen Sie den Radius der 1s-Bahn im Uran-Atom!
Lösung. Die Bestimmungsgleichung, deren Maximum ermittelt werden soll, ist
2
4πr2 ,
ψ100
(1)
wobei
ψ100 =
Man findet das Extremum bei
Z3
πa0 3
1/2
r=
Zr
exp −
a0
a0
,
Z
.
(2)
(3)
also bei 0,00575 Å. Löst man nach Bohr zur Umlaufgeschwindigkeit auf, ergibt sich
v = 2, 1 · 108 m/sec,
(4)
2.8 Aufgaben und Lösungen
85
es ist also offensichtlich, daß hier eine relativistische Korrektur angebracht werden
muß. Alternativ kann man auch direkt die Bestimmungsgleichung für vn verwenden:
vn =
Ze20 1
,
4πε0 ~ n
(5)
die natürlich das gleiche Resultat liefert.
Aufgabe 2.34 Das 1s-Elektron bewegt sich mit 137tel der Lichtgeschwindigkeit auf
der ersten Bohrschen Bahn um den Kern. Bestimmen Sie das Magnetfeld am Kern
(Abb. 2.20).
Lösung.
ds
r
dH
r
b
I
a
P
x
Abb. 2.20. Vom Elektron
auf dem Radius ρ umkreiste
Fläche. ds steht senkrecht
auf ρ und r. Im Falle der
Untersuchung des Mittelpunkts der Kreisfläche ist
zusätzlich ρ = r.
Das Biot-Savartsche Gesetz lautet
dH =
r−s
1
Idl ×
.
4π
|r − s|3
(1)
Mit diesem Gesetz bestimmen wir die magnetische Feldstärke eines Stromleiters der
Länge dl, der von einem Strom der Stärke I an der Stelle s durchflossen wird, an der
Stelle r. Das entstehende Feld H steht senkrecht auf r und senkrecht auf r × s, und
ρ
ρ
(2)
sin β = , β = 90◦ − α ⇒ cos α = .
r
r
Wir benötigen nur die x-Komponente, denn in den anderen Richtungen ergänzen
sich alle Magnetfeldkomponenten zu Null:
ˆ
I ds
I ρ 2πρ
dH =
r cos α ⇒ H =
ds.
(3)
4π r3
4π r3 0
Somit erhalten wir für das Magnetfeld eines rotierenden Elektrons im Ursprung (für
verschwindendes x wird r = ρ):
H=
I ρ2
I
.
⇒
H
=
2 r3
2ρ
Im konkreten Fall (v = 1/137c) bedeutet das eine Stromstärke von
(4)
86
2 Quanteneffekte
I=
e0 ωr
= 1, 05 mA,
2πr
(5)
woraus ein Magnetfeld von
A
(6)
m
folgt. In einer Luftspule mit 5 cm Länge und 50 Windungen, durch die ein Strom von
5 A fließt, entsteht ein Magnetfeld von 5 kA/m.
H = 1, 05 · 107
Aufgabe 2.35 Bestimmen Sie den klassischen Elektronenradius aus der Ruheenergie des Elektrons und dem Ansatz einer gleichmäßig auf der Oberfläche einer Kugel
verteilten Ladung!
Lösung. Die Energiedichte eines elektromagnetischen Feldes ist im Vakuum gegeben
durch
1
ε0 E 2 + µ0 H 2 ,
2
im elektrischen Feld allein (Ladung in Ruhe):
u=
1
u = ε0 E 2 .
2
Das elektrische Feld einer Punktladung Q ist
(1)
(2)
1 Q
,
4πε0 r2
(3)
Q2
.
32π 2 ε0 r4
(4)
E=
damit
u=
Damit ergibt sich die gesamte Energie U , wenn man über das Volumenelement 4πr2 dr
integriert:
ˆ ∞
ˆ ∞
Q2
2
Uelec =
u · 4πr dr =
dr,
(5)
8πε0 r2
a
a
wobei a der Radius der Kugel sei, auf der die Ladung gleichmäßig verteilt sei, so daß
man erhält:
Uelec =
1 Q2 1
,
2 4πε0 a
(6)
was mit der Ruhenergie E = m0 c2 und für Q = e0
Uelec =
e20
= m0 c2
8πε0 r
(7)
2.8 Aufgaben und Lösungen
87
ergibt. Also ist der klassische Elektronenradius
e20
⇒ a = 1, 4 · 10−15 m.
(8)
8πε0 m0 c2
Das ist genau die Hälfte des Wertes, die man durch Gleichsetzung der Selbstenergie
mit der Ruhenergie
a=
e20
Uselbst =
= m0 c2
(9)
4πε0 r
erhält. In der Literatur wird der klassische Elektronenradius aus dieser Gleichsetzung
bestimmt, und man erhält einen Wert von 2,82 fm. Weswegen wird diese Größe als
klassischer Elektronenradius“ bezeichnet? Weil es zahlreiche Möglichkeiten gibt, die
”
Ladung e0 zu verteilen. In unserem Fall haben wir die Singularität bei r = 0 ausgespart, indem wir fordern, daß die Ladung auf einer Kugel mit dem Radius r = a
verteilt und das Innere der Kugel ladungsfrei sei.
Aufgabe 2.36 Bestimmen Sie weiterhin den klassischen Elektronenradius aus der
Ruheenergie des Elektrons und dem Ansatz einer homogen im Volumen einer Kugel
verteilten Ladung.
Lösung. Zu der im Außenraum gleichen Feldenergie kommt jetzt noch ein Beitrag
hinzu.
ˆ R
ˆ
1
3
E 2 (r) 4πr2 dr,
(1)
ε = u d x = ε0
2
0
mit
E=
1 e0
r,
4πε0 a3
wenn a der Radius der Kugel ist. Also wird aus (1)
ˆ a
1 1
ε=
E 2 (r) 4πr2 dr,
2 4πε0 0
ˆ a
e20
r4 dr,
ε=
8πε0 0
(2)
(3)
(4)
also
1 e20 1
.
5 8πε0 a
Damit ergibt sich ein geringfügig anderer Wert:
1 e20
1
1
+
= m0 c2
2 4πε0 a 5a
(5)
(6)
88
2 Quanteneffekte
oder
r0 =
3 e20
1
5 4πε0 m0 c2
⇒ r0 = 3, 36 · 10−15 m.
(7)
(8)
Weiteres zu dieser spannenden Frage findet man z. B. in den Feynman Lectures
oder im Jackson [9, 10].
Aufgabe 2.37 Wie Einstein herleiten konnte, krümmt sich der Raum durch die
Schwerkraft. Phänomenologisch erscheint der Strahl eines Sterns, der sich dicht an
der Sonne vorbeibewegt, um einen steileren Winkel als ohne diese Ablenkung durchs
Schwerefeld. Diese Ablenkung ergibt sich zu [11]
1
α=− 2
c
ˆ
ϑ= π2
ϑ=− π2
kM
2kM
cos ϑds = 2 .
2
r
c∆
(1)
Ein an der Sonne vorbeigehender Lichtstrahl erlitte demnach eine Ablenkung vom
”
Betrage 4 · 10−6 = 0, 83 Bogensekunden,“ schreibt er in seiner berühmten Arbeit
aus dem Jahre 1911. Wenn die Verhältnisse von Gravitation zu Elektrodynamik im
H-Atom etwa 40 Größenordnungen ausmachen: Warum gibt es keine Ablenkung im
elektrischen Feld?
Lösung. Sehr starke elektrische Felder, z. B. an zwei parallelen Rasierklingen mit
Abstand a = 0, 1 − 0, 5 mm, liegen bei 107 V/cm an einer Schneide mit Radius
r = 0, 5−1 µm einige 10 kV an. Selbst diese verursachen absolut keine Abweichung von
der Geradlinigkeit der Lichtausbreitung. Aber diese Felder sind klein gegenüber denen
im Atom. Z. B. erregt das Proton im H-Atom im Abstand der ersten Bohrschen
Bahn
11
2
eine Feldstärke von 5, 8 · 109 V/cm und eine Feldinhomogenität ∂E
≈
10
V/cm
.
∂r 0
Selbst hier ist keine merkliche Abweichung festzustellen. Die Ablenkung von Photonen erfordert quadratische Zusatzglieder in den Maxwell-Gleichungen
für sehr starke Felder.
3 Axiome der Quantenmechanik
3.1 Einführung
Um ohne große Umwege in die Quantenmechanik einsteigen zu können, sind verschiedene Begriffsbildungen erforderlich. Dazu gehören der Vektorraum, die Abelsche
Gruppe, der Hilbert-Raum und etwas Wahrscheinlichkeitsrechnung.
3.2 Vektorraum
Ein Vektorraum ist eine algebraische Struktur, die aus Elementen besteht, die Vektoren genannt werden. Mit ihnen können bestimmte Rechenoperationen durchgeführt
werden, deren Ergebnis wiederum ein Vektor desselben Vektorraums ist. Die Basis
eines Vektorraums ist die geringste Menge von Vektoren, mit denen es möglich ist,
jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten zu beschreiben, die skalare Zahlen sind.
Man bezeichnet dann diese Basis als linear unabhängig. Deren Anzahl heißt Dimension n des Vektorraums. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch
unendlich sein.
Die skalaren Zahlen, mit denen die Koordinaten eines Vektors beschrieben werden, und mit denen man einen Vektor z. B. auch multiplizieren kann, stammen aus
einem Körper. Man sagt dann, der aus diesen Vektoren gebildete Vektorraum sei ein
Vektorraum über“ einem bestimmten Körper. Seien die Elemente die der reellen
”
Zahlen, spricht man von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. Sind es komplexe Zahlen, ist es der Vektorraum über den komplexen Zahlen mit der Dimension
n: Cn . Die Elemente eines Vektorraums können aber auch Funktionen oder Matrizen
sein, also z. B. die Funktionen C im Intervall [a, b]: C[a, b].
3.3 Abelsche Gruppe
Alle hier betrachteten Vektorräume erfüllen die Kriterien einer Abelschen Gruppe,
innert derer bestimmte Rechenoperationen definiert sind.
89
90
3 Axiome der Quantenmechanik
3.3.1 Addition
• Kommutativgesetz
• Assoziativgesetz
a + b = b + a,
(3.1)
a(bc) = (a b)c,
(3.2)
• Existenz eines inversen Elements
(3.3)
−a,
• aus dessen Verknüpfung zu a die Existenz eines neutralen Elements folgt:
a + (−a) = o.
(3.4)
3.3.2 Skalare Multiplikation
• Distributivgesetze
a(b + c) = ab + ac,
(3.5.1)
a(b + c) = ba + ca.
(3.5.2)
• Existenz eines neutralen Einselements, das den Wert des Vektors unverändert
läßt:
1 a = a.
(3.6)
3.3.3 Vektoren ⇋ Funktionen
Man kann also mit Funktionen so umgehen wie mit Vektoren. Und deswegen sind
zu den Vektorräumen insbesondere die reellen wie die komplexen Zahlen zu zählen,
aber auch Polynome mit reellen Koeffizienten wie die stetigen Funktionen aus einem Intervall [a, b]. Den Begriff der Stetigkeit haben Sie bei der Begriffsbildung des
Differentialquotienten kennengelernt, wo im Zähler die Differenz
lim f (x + ∆x) − f (x) = 0
∆x→0
(3.7)
wird. Wenn also C[a, b] ein Vektorraum ist, ist auch die Summe zweier stetiger Funktionen stetig, und auch ihr Vielfaches. Ein sehr wichtiger Vektorraum ist der der
komplexwertigen Funktionen im Intervall [−π, +π].
3.4 Hilbert-Raum
91
3.4 Hilbert-Raum
In der statistischen Physik wird die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses mit Wahrscheinlichkeitsfunktionen beschrieben. Diese Funktionen müssen normierbar sein — schließlich muß die Summe aller Wahrscheinlichkeiten Eins ergeben.
Dazu definieren wir aus Gründen, die aus der Theorie der Fehlerrechnung und der
Fourier-Reihen kommen, und der verkürzt auf das Betragsquadrat einer komplexen
Zahl c
|c|2 = c∗ c
(3.8)
und der Bestimmung der Länge eines Vektors (hier dargestellt als dreidimensionaler
Vektor
l = xi + yj + zk
(3.9)
mit x, y, z komplexen Vorfaktoren und den Einheitsvektoren i, j und k) mit
L=
√
l∗ · l =
√
x∗ x + y ∗ y + z ∗ z
(3.10)
zurückgeführt werden kann, den Begriff der quadratischen Integrierbarkeit in einem
Intervall [a, b], worunter wir verstehen wollen, daß die Integrale
ˆ
b
f (x, t) dx
(3.11)
|f (x, t)|2 dx
(3.12)
a
und
ˆ
b
a
existieren, die Absolutstriche deswegen, weil auch komplexe Funktionen f (x, t) =
g(x, t) + ih(x, t) betrachtet werden können, die dann wg.
|f (x, t)|2 = g 2 (x, t) + h2 (x, t)
(3.13)
quadratisch integrierbar im Intervall [a, b] sind. Für beliebige Grenzen gilt dann
ˆ
+∞
−∞
2
|f (x, t)| dx =
ˆ
+∞
−∞
f ∗ (x, t)f (x, t) dx < ∞,
(3.14)
wobei f ∗ (x, t) die konjugiert-komplexe Funktion von f (x, t) bedeutet. Der Raum aller quadratisch integrablen Funktionen wird übrigens mit L2 (manchmal auch L2 )
bezeichnet.
Es ist ersichtlich, daß diese Definition der eines Skalarproduktes zwischen Vektoren nicht nur ähnelt, sondern gleichkommt, da wir ja Funktionen als Elemente eines
Vektorraumes zugelassen haben, und man bezeichnet diesen Vektorraum, in dem ein
Skalarprodukt definiert ist, als Hilbert-Raum.
92
3 Axiome der Quantenmechanik
3.4.1 Orthonormalbasis
Die einzelnen Elemente, Vektoren oder Funktionen, werden nun durch eine Linearkombination linear unabhängiger Einheitsvektoren dargestellt, z. B. der in Gl. (3.9)
vorgestellte Vektor
l = xi + yj + zk,
(3.9)
den wir jetzt allgemein in n Dimensionen schreiben als
l=
n
X
αk bk .
(3.15)
k=1
Wie wir aus der Vektorrechnung her wissen, bestimmen wir die Koeffizienten αk unter
Ausnutzung der Bedingung, daß zueinander orthogonale Vektoren ein verschwindendes Skalarprodukt haben, nach dieser Rechenregel durch skalare Muktiplikation mit
einer Orthonormalbasis
n
X
1 bk
(3.16)
αk = bk αk bk .
(3.17)
b=
k=1
also die k-te Komponente einfach zu
Der Koeffizient wird Fourier-Koeffizient genannt, da diese Methode von Fourier
entwickelt worden ist, bei der ebenfalls zueinander orthogonale Funktionen die Basis
seiner Analyse periodischer Vorgänge darstellen.
3.4.2 Zusammenfassung
Für einen Vektorraum K, der aus den reellen Zahlen Rn oder komplexen Zahlen
Cn bestehen soll, definieren wir ein Skalarprodukt mit den Anforderungen an eine
Abelsche Gruppe. Dann ist auch das Skalarprodukt ein Element dieses Vektorraums,
der dann als Hilbert-Raum bezeichnet wird. Dasselbe gilt für das Produkt aus zwei
Funktionen f und g auf L2 [−π, +π]:
f (x, t) · g(x, t) =
ˆ
+π
f ∗ (x, t) g(x, t) dx.
(3.18)
−π
3.5 Wellenfunktionen im Ortsraum
Axiom 3.1 Zu einem Teilchen (Massepunkt) gehört eine eindeutige, quadratisch integrable, im allgemeinen komplexe Wellenfunktion ψ(x, t). Sie beschreibt den Zustand
des Teilchens. Dabei gibt ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) die Wahrscheinlichkeit an, das Teilchen zur
3.6 Komplemenäre Funktionen und ihre Darstellung
93
Zeit t zwischen x und x + dx anzutreffen. Die Größe ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) wird daher als
Wahrscheinlichkeitsdichte bezeichnet.
Da die Funktion quadratisch integrabel ist, weist sie keine Singularitäten auf.
Sie ist, wie oben vorausgesetzt, stetig und differenzierbar und kann daher normiert
werden. Die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zur Zeit t irgendwo auf der x-Achse zu
finden, muß natürlich Eins sein:
ˆ +∞
ψ ∗ (x, t)ψ(x, t) dx = 1.
(3.19)
−∞
Wenn wir nach dem 1. Axiom feststellen können, daß mit der Kenntnis der
Wellenfunktion der Zustand des Teilchens bekannt ist, dann bedeutet das, daß die
Wahrscheinlichkeit, die die Funktion f (x, t) im Mittel annimmt, die also den sog.
Erwartungswert bezeichnet, der bei einer unendlich großen Zahl von Versuchen auch
tatsächlich immer erreicht wird, zu einem bestimmten Zeitpunkt t gegeben ist durch
ˆ +∞
< f (x, t) > =
ψ ∗ (x, t) f (x, t) ψ(x, t) dx.
(3.20)
−∞
Für den Fall, daß f (x, t) einzelne skalare Werte annimmt, z. B. den Wert E, ist (3.20)
identisch mit
< f (x, t) > =
ˆ
+∞
∗
f (x, t) ψ (x, t) ψ(x, t) dx = E
−∞
ˆ
+∞
ψ ∗ (x, t) ψ(x, t) dx : (3.21)
−∞
Der Erwartungswert E (Mittelwert) ist gleich dem Funktionswert f (x, t), multipliziert
mit der Wahrscheinlichkeit, daß dieser Wert beobachtet wird. Für alle anderen Fälle
ist die Reihenfolge der Operationen in der Gl. (3.20) strikt einzuhalten.
3.6 Komplemenäre Funktionen und ihre Darstellung
3.6.1 Wellenfunktionen im Impulsraum
Wie wir aus der Wellenlehre wissen (Abschn. 2.4.5), sind die Größen Ort und Wellenzahl (bzw. für eine Materiewelle ihr Impuls) zueinander komplementär. Die FourierKoeffizienten der einen Größe lassen sich jeweils durch eine Fourier-Transformation
der anderen Größe gewinnen.
Wir schreiben zunächst für die Funktion φ(k, t) die zu (3.19) und (3.20) analogen
Ausdrücke nieder:
ˆ +∞
φ∗ (k, t)φ(k, t) dk = 1,
(3.22)
−∞
< g(k, t) > =
ˆ
+∞
−∞
φ∗ (k, t) g(k, t) φ(k, t) dk.
(3.23)
94
3 Axiome der Quantenmechanik
3.6.2 Fouriertransformation
Wir gehen von einem Teilchen aus, das sich mit konstanter Geschwindigkeit v (also
mit konstanter kinetischer Energie) und in einem konstanten Potential V (x) = const
bewegt. Für eine monochromatische Welle schreiben wir
x
ψ(x, t) = ψ0 sin 2π
− νt
(3.24)
λ
oder
mit ν =
daraus
c
λ
oder c =
ω
.
k
ψ(x, t) = ψ0 sin (kx − ωt)
(3.25)
Für eine polychromatische, aber harmonische, Welle wird
ψ(x, t) =
i=n
X
i=1
Ai sin (ki x − ωt) ,
(3.26)
bzw. in Exponentialschreibweise (dann aber von −∞ bis +∞, weil jeder Cosinus über
die Euler-Relation auch Glieder mit negativem Exponenten liefert):
ψ(x, t) =
+∞
X
Ai ei(ki x−ωt) .
(3.27)
−∞
Die Fourier-Koeffizienten A(k) ergeben sich nun durch Multiplikation mit dem
konjugiert-Komplexen und Integration über die ganze Periode:
A(k) =
T
ˆ
ψ(x, t)e−ikx dx,
(3.28)
0
A(k) =
ˆ
0
+∞
T X
A(k) =
Ai ei(ki x−ωt) e−i(kk x−ωt) dx
(3.29)
−∞
+∞ ˆ
X
T
Ai ei(ki −kk )x dx
(3.30)
0
−∞
Alle Integrale verschwinden wegen der Orthogonalität für i 6= k, und nur die k-te
Komponente bleibt übrig (s. Übungsaufgaben zum Kap. 3).
ˆ
T
1
B(x) =
2π
ˆ
A(k) =
ψ(x, t)e−ikk x dx.
(3.31)
0
Umgekehrt gilt aber auch
+∞
φ(k, t)eikx dk,
−∞
und zur gleichmäßigen Verteilung des Vorfaktors schreibt man schließlich
(3.32)
3.7 Unschärfe
95
1
ψ(x, t) = √
2π
ˆ
+∞
φ(k, t)eikx dk,
(3.33)
ψ(x, t)e−ikx dx.
(3.34)
−∞
und
1
φ(k, t) = √
2π
ˆ
+∞
−∞
3.7 Unschärfe
Wir beginnen mit Gl. (3.21) und überlegen uns, wie wahrscheinlich die Schwankungen
einer Größe X um ihren Mittelwert < X > sind, wobei der Mittelwert eines Mittelwerts
natürlich dieser selbst ist:
< X− < X >>2 =< X 2 > −2 < X >2 + < X >2 =< X 2 > − < X >2 =< (∆X)2 >,
(3.35)
wobei die Wurzel aus dieser Größe, dem mittleren Schwankungsquadrat, die Standardabweichung ist.
3.7.1 Unschärfe im Ortsraum
Wir betrachten jetzt ein Teilchen, dessen Zustand durch eine Wellenfunktion ψ(x, t)
beschrieben werden kann. Seine Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ(x, t)|2 , also seine Ortsunschärfe, soll mit einer Gauss-Verteilung
x2
1
(3.36)
e− 2a2
2πa
beschreibbar sein, wobei a die Breite des Wellenpakets sein soll. Sei der Schwerpunkt
bei x = 0, dann ist es also zwischen −1/2 a und +1/2 a verschmiert“, so daß sein
”
Erwartungswert der Ortskoordinate < x > mit
ˆ +∞
< x >=
ψ(x, t)∗ x ψ(x, t) dx
(3.37)
|ψ(x, t)|2 = √
−∞
oder
< x >=
ˆ
+∞
ψ(x, t)∗ ψ(x, t) x dx = 0
(3.40)
−∞
zu beschreiben ist, da x eine Zahl und kein Operator ist. Seine Unschärfe (Standardabweichung) ist dann
∆x =
p
√
< x2 > − < x >2 = < (∆x)2 >.
Dieser Ausdruck ist aber (s. Übungsaufgabe 3.8)
(3.41)
96
3 Axiome der Quantenmechanik
√
< x2 > =
sˆ
+∞
ψ(x, t)∗ x2 ψ(x, t) dx =
−∞
sˆ
+∞
−∞
|ψ(x, t)|2 x2 dx = a :
(3.42)
∆x ist also gleich a, also gerade der Breite der Gauss-Verteilung. Diesen Typ der
Abweichung bezeichnet man als kohärenten Zustand oder kohärente Wellenfunktion.
Von allen möglichen Wellenpaketen weist dieser Zustand die geringste Breite auf, also
minimale Unschärfe.
3.7.2 Unschärfe im k-Raum
Wir müssen uns zunächst die Verteilungsfunktion für den k-Raum verschaffen. Dazu
starten wir mit Gl. (3.34)
1
φ(k, t) = √
2π
+∞
ˆ
ψ(x, t)e−ikx dx
(3.34)
−∞
und setzen für ψ(x) wieder die Gausssche Funktion ein:1
1
1
φ(k, t) = √ p √
2π a 2π
was sich durch Ausklammern von
1
4a2
+∞
ˆ
x2
e− 4a2 e−ikx dx,
(3.43)
−∞
als
1
1
φ(k, t) = √ p √
2π a 2π
ˆ
+∞
e− 4a2 (x
1
2 +4ikxa2
) dx
(3.44)
−∞
schreiben läßt. Der Exponent kann in eine binomische Formel gekleidet werden:
1
1
2
2
2 2
x
+
4ikxa
=
−
x
+
2ikxa
)
− k 2 a2 ,
(3.45)
2
2
4a
4a
womit der Minuend vor das Integral gezogen werden kann. Der Rest ist einfach mit
der Substitution γ = x + 2ikxa2 das Fehlerintegral
−
ˆ
+∞
1
2
e− 4a2 γ dγ =
√
√
4a2 π = 2a π.
(3.46)
−∞
Damit folgt endlich
φ(k, t) =
s
2a
2
√ e−(ak)
2π
und für die Wahrscheinlichkeitsdichte im k-Raum:
2
1
− x
1
√ e 4a2
a 2π
Aus (3.36) folgt für die Wurzel |ψ(x, t)| = √
.
(3.47)
3.8 Eigenwertgleichung
97
2a
2
|φ(k, t)|2 = √ e−(ak)
2π
bzw. mit der de Broglie-Beziehung im Impulsraum
ap 2
2a
|φ(p, t)|2 = √ e−( ~ ) .
~ 2π
(3.48)
(3.49)
Mit den Gleichungen (3.48) und (3.49) bestimmen wir die Mittelwerte für k,
p und deren Standardabweichungen. Der Mittelwert ist in beiden Fällen Null, die
1
~
Standardabweichungen 2a
bzw. 2a
.
Für das Produkt aus ∆x und ∆k bzw. ∆p ergibt sich somit
∆x∆k = a
1
1
= ,
2a
2
(3.50.1)
~
~
= .
(3.50.2)
2a
2
Für die quadratischen Abweichungen (∆x)2 , (∆k)2 , (∆p)2 aber ergibt sich die exakte Unschärferelation zu
2
1
1
2
2
= ,
(3.51.1)
(∆x) (∆k) = a
2a
4
2
~2
~
2
2
= .
(3.51.2)
(∆x) (∆p) = a
2a
4
∆x∆p = a
3.8 Eigenwertgleichung
3.8.1 Operatoren
In der Quantenmechanik wird jeder Observablen, worunter man eine Meßgröße versteht, ein Operator zugeordnet, der dann auch so heißt. Ein Operator stellt eine
Rechenvorschrift dar, die auf die nachfolgende Funktion anzuwenden ist. In unserem
Falle sind das die Wellenfunktionen. Da die Wellenfunktionen dem Superpositionsprinzip gehorchen müssen, sind alle Operatoren linear. Die in der Quantenmechanik
verwendeten Operatoren stellen daher Objekte des oben definierten Hilbert-Raumes
dar.
Beispiel 3.1 Die Kreisfunktionen sind nach der Euler-Formel z. B. Superpositionen der
Exponentialfunktion mit imaginärem Argument und stellen Linearkombinationen mit dem
Faktor 21 bzw. 2i1 dar.
Die Observablen und die Operatoren sind über die Eigenwertgleichung miteinander verbunden. Deren am bekannteste ist die Schrödinger-Gleichung. Ihre prinzipielle Form lautet:
98
3 Axiome der Quantenmechanik
Hψn (x, t) = En ψn (x, t),
(3.52)
in Worten: der Operator H,2 angewendet auf die Eigenfunktion ψn (x, t) des Zustandes
n, ergibt skalare Größen En , die sog. Eigenwerte, des nten Zustandes, multipliziert mit
der Eigenfunktion ψn (x, t). Unter einem Eigenwert verstehen wir den Wert, den eine
gegebene physikalische Größe annehmen kann, die dann einen observablen Meßwert
liefert. Nur ein Eigenwert ist ein mögliches Meßergebnis.
Der Energieoperator heißt deswegen so, weil er, auf irgendeine (Wellen-)Funktion
angewendet, als Erwartungswerte die Eigenwerte der Energie ergibt. Er ist ein linearer
Differentialoperator, und zwar nach der Zeit, genauso, wie der Impulsoperator ein
linearer Differentialoperator nach den Koordinaten ist, der also in erster Ordnung für
ψ ′ ist, genauso, wie die Maxwell-Gleichungen linear in Raum und Zeit sind. Auch
dieser heißt deswegen so, weil seine Eigenwerte für die freie Bewegung mit denen des
klassischen Impulses zusammenfallen:
p −→
~
∂
~
i, j, k −→ ∇.
i ∂(x, y, z)
i
(3.53)
3.8.2 Erwartungswert und Eigenwert
In welcher Beziehung steht nun der oben definierte Erwartungswert mit dem Eigenwert?
Dazu betrachten wir ein System, das zwei Zustände einnehmen kann. Der Zustand
1 wird durch die Wellenfunktion Ψ1 (q1 ) mit dem Eigenwert E1 gegeben, der Zustand
2 durch die Wellenfunktion Ψ2 (q2 ) mit dem Eigenwert E2 . Befindet sich das System
im ersten Zustand, dann gehört der Eigenwert also zu einem Eigenzustand, und der
Erwartungswert ist identisch mit dem Eigenwert, genauso im zweiten Fall.
Wenn die Wahrscheinlichkeit für die Koordinaten q1 des ersten Teils unabhängig
von den Koordinaten q2 des zweiten Teils sind, dann ist zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung für das ganze System gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten
für die einzelnen Teile:
Ψ12 (q1 , q2 ) = Ψ1 (q1 )Ψ2 (q2 ),
(3.54)
Ψ12 (q1 , q2 , t) = Ψ1 (q1 , t)Ψ2 (q2 , t).
(3.55)
bei zeitlicher Konstanz auch
Jede Linearkombination von Ψ1 und Ψ2
Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2
(3.56)
mit c1 , c2 Konstanten ergibt einen Zustand, in dem eine Messung entweder das Ergebnis 1 mit dem Eigenwert E1 oder das Ergebnis 2 mit dem Eigenwert E2 hat,
allgemein
2
Im allgemeinen schreibt man für Operatoren wie für Matrizen und Tensoren fette, senkrechte
Buchstaben (im Unterschied zu Vektoren, die fett und kursiv geschrieben werden).
3.9 Klassische und quantenmechanische Systeme
Ψ=
X
cn Ψn .
99
(3.57)
n
In diesem Fall ist der Erwartungswert nicht gleich dem Eigenwert, im Falle einer
Messung finden wir mit einer Wahrscheinlichkeit, die über das Verhältnis der Quadrate der Amplitudenkoeffizienten cn gegeben ist, den Erwartungswert, der immer
bestimmbar ist.
Befindet sich das System in einem Eigenzustand, fallen daher Eigenwert und
Erwartungswert zusammen.
3.9 Klassische und quantenmechanische Systeme
Zur Vorbereitung auf die Schrödinger-Gleichung ist ein weiterer Ausflug in die Begriffsbildung der statistischen Mechanik erforderlich, in der die Hamilton-Funktion
definiert wird.
3.9.1 Hamiltonsches Schema
Für ein mechanisches System ist
E = T + V (x) = const ⇒ T = E − V (x).
(3.58)
In der Physik wird diese Energiefunktion als Hamilton-Funktion H bezeichnet,
wobei gilt:
p=
p
∂H
∂H
∂H
p
2m0 T =
=
= m0 ẋ ∧ v =
= .
∂v
∂ ẋ
∂p
m
(3.59)
In der statistischen Physik schreibt man gerne die Koordinaten als qi (statt xi ), und
wir erhalten für die Bewegungsgleichungen
q̇ =
∂H(q, p)
∂H(q, p)
∧ ṗ = −
.
∂p
∂q
(3.60)
3.9.1.1 Zeitumkehr. Zur Zeit t = t0 seien Koordinate und Impuls q0 und p0 , zur
Zeit t1 > t0 entsprechend q1 und p1 . Wenn wir jetzt bei t = t1 die Bewegung rückwärts
laufen lassen, so daß wir mit den Phasenkoordinaten q1 und −p1 starten, dann wird
in einem mechanischen, konservativen System zur Zeit t = t0 der Anfangszustand
mit q0 und p0 wieder erreicht sein. Damit ist das System invariant gegenüber der
Zeitumkehr (Abb. 3.1). Mathematisch wird dabei t durch −t ersetzt:3 Während also
die Ortskoordinaten unverändert bleiben (r(t) → r(−t)), werden die Zeiten und die
Impulse der Teilchen durch ihre negativen ersetzt (t → −t, p(t) → −p(−t)):
3
Es sei explizit darauf hingewiesen, daß dies nicht in Systemen gilt, bei denen magnetische Effekte
involviert sind.
100
3 Axiome der Quantenmechanik
H(q, p) = H(q, −p).
0
-t
-2
(3.53)
-4
20
q(t)
15
10
Abb. 3.1.
Zeitumkehr
in
einem
konservativen
mechanischen
System:
q(t) = q(−t), p(t) = −p(−t).
5
0
0
2
4
t
Ist also die Hamilton-Funktion quadratisch in p, so ist die Bewegung zeitumkehrinvariant, und die Zeitumkehr ist mit einer Bewegungsumkehr verbunden. Zwar
kann die Zeit durch eine Koordinate ausgedrückt werden, aber klar ist, daß eine Partikel an einer Stelle qk zu zwei Zeiten t1 und t2 sein kann, daß sie aber nicht zur Zeit
t an zwei Stellen qi und qj sein kann.
3.10 Aufgaben und Lösungen
3.10.1 Grundlagen
Aufgabe 3.1 Ist die Funktion
1
f (x) = √
x
(1)
im Intervall [0, 1] quadratisch integrierbar? Nein, weil das Integral
ln(x)|10
(2)
1
f (x) = √
3
x
(1)
bei 0 divergiert.
Aufgabe 3.2 Ist die Funktion
im Intervall [0, 1] quadratisch integrierbar? Ja, weil das Integral
ˆ
0
1
1
3
√
dx = x2/3
3
2
x
(2)
3.10 Aufgaben und Lösungen
den Wert
3
2
101
liefert und das Integral
1
1
√
dx = 3x1/3
3
2
x
(3)
cos kx sin lx dx = 0,
(1)
ˆ
0
den Wert 3.
Aufgabe 3.3 Zeigen Sie, daß
ˆ
π
−π
und
1
π
1
π
´π
−π
´π

cos kx cos lx dx 
sin kx sin lx dx 
−π
= δkl !
(2)
Lösung.
Die Untersuchung der Orthogonalität der Kreisfunktionen geschieht am besten über
die Eulersche Formel
π
1
cos kx cos lx dx =
4
−π
ˆ
ˆ
+π
−π
was die vier Terme
ei(k+l)x + ei(k−l)x + ei(−k+l)x + ei(−k−l)x dx,
π
π
1
1
±i(k+l)x ±i(k−l)x +
e
e
±i(k + l)
±i(k − l)
−π
−π
(3)
(4)
ergibt. Für k = l ist der erste Term Null, da eiπ0 = 1, beim zweiten müssen wir nach
l’Hôspital vorgehen und setzen als Veränderliche k − l = y und leiten danach ab:
d 1 ±iyx ±ixe±iyx
e
=
= xe±iyx .
dy ±iy
±i
(5)
Das gibt für beide Vorzeichen 2π, in der Summe also 4π, damit wird das Integral π.
Ein anderer Weg ist die Verwendung der Additionstheoreme. Es ist z. B.
sin kx sin lx =
1
(cos(k − l)x − cos(k + l)x) ,
2
(6)
also
π
π
1 1
1 1
sin(k − l)xl +
sin(k + l)xl = 0.
−
2 k−l
2 k+l
−π
−π
(7)
102
3 Axiome der Quantenmechanik
Aufgabe 3.4 Zeigen Sie an Hand der Gleichung
ay1′′ + by1′ + cy1 = 0,
(1)
daß sie dem Superpositionsprinzip gehorcht!
Lösung. Im einfachsten Fall einer homogenen DGl ist klar, daß mit dem System
a1 y1′′ + b2 y1′ + c1 y1 = 0
(1.2)
a2 y2′′ + b2 y2′ + c2 y2 = 0
(1.3)
wir für die Lösungen y1 (x) und y2 (x) durch Einsetzen in die Gleichungen (1.2/3) und
Summation der beiden Lösungen in beliebigen Verhältnissen auch wieder eine Lösung
dieses Systems erhalten, also:
a1 y1′′ + a2 y2′′ + b1 y1′ + b2 y2′ + c1 y1 + c2 y2 = 0,
(1.4)
was man als Linearkombination bezeichnet. Man kann also die Lösung der DGln aus
den Einzellösungen und anschließende Addition erhalten. Dasselbe gilt, wenn auf der
rechten Seite von (1.2/3) nicht Null, sondern irgendwelche Funktionen f (x)
a1 y1′′ + b1 y1′ + c1 y1 = f1 (x)
(1.5.1)
a2 y2′′ + b2 y2′ + c2 y2 = f2 (x)
(1.5.2)
stehen. Statt (1.4) bekommen wir dann
a1 y1′′ + a2 y2′′ + b1 y1′ + b2 y2′ + c1 y1 + c2 y2 = f1 (x) + f2 (x),
(1.6)
und die Lösung y(x) ist demnach die Summe der Teillösungen
y(x) = y1 (x) + y2 (x).
(1.7)
3.10.2 Fouriertransformation
Aufgabe 3.5 Geben Sie die Fouriertransformierte der gedämpften Schwingung
δ
ψ0
ψ(t) = √ e− 2 t eiω0 t
2π
(1)
mit ω0 = 1/sec und δ = 2/sec an. Zeichnen Sie auch die Funktion!
Lösung. Das Fourier-Spektrum lautet
ˆ ∞
δt
ψ0
e− 2 e−i(ω−ω0 )t dt,
φ(ω) = √
2π 0
woraus sich durch Integration
(2)
3.10 Aufgaben und Lösungen
103
ψ0
φ(ω) = − √
2π
δ
2
∞
δt
1
e− 2 e−i(ω−ω0 )t 0
+ i(ω − ω0 )
(3)
ergibt. Das Integral ist −1 (obere Grenze ist Null):
ψ0
φ(ω) = √
2π
δ
2
so daß mit dem Betrag
p
ψ0
|φ(ω)2 | = √
2π
1
,
+ i(ω − ω0 )
s
δ2
4
(4)
1
+ (ω − ω0 )2
(5)
sich eine Glockenkurve mit Maximum bei ω0 ergibt (Abb. 3.2).
rel. Amplitude [a. u.]
1.0
f(w) = y / SQRT[12 +( w -w 0)2 ]
0.8
w1/2
0.6
0.4
0.2
0.0
-20
-10
0
10
20
w[sec-1]
Abb. 3.2. Die Fouriertransformierte einer gedämpften Schwingung ist eine Lorentzsche
Glockenkurve mit Maximum bei ω0 .
Da die Energie einer Schwingung dem Quadrat ihrer Amplitude proportional ist,
ist die Halbwertsbreite dort, wo die Quadrate der Funktionswerte im Verhältnis 2 : 1
zueinander stehen (Abb. 3.3). Am Maximum ist ω = ω0 , also
1
=
2
δ2
4
δ2
4
+ (ω0 − ω)2
⇒2
δ2
δ2
=
+ (ω0 − ω)2 ,
4
4
δ
δ
± = ω − ω0 ⇒ ω = ω0 ± .
2
2
(6)
(7)
Aufgabe 3.6 Geben Sie die Fouriertransformierte der Schwingung ψ = ψ0 eiωt an,
die die Zeit τ = 2 sec bzw. τ = 5 sec dauern, und zeichnen Sie die Funktionen! Die
Kreisfrequenz soll 1/sec betragen.
104
3 Axiome der Quantenmechanik
rel. Intensität [a. u.]
1.0
f(w) = y / [12 +(w -w 0)2 ]
0.8
0.6
w1/2
0.4
0.2
0.0
-20
-10
0
10
20
-1
w[sec ]
Abb. 3.3. Die Halbwertsbreite wird vom Quadrat der Amplitudenfunktion bestimmt.
Lösung. Die Aufgaben werden auf gleiche Weise gelöst. Der Lösungsweg wird an
τ = 2 sec gezeigt. Zunächst wird das Integrations-Intervall symmetrisch zum Ursprung
(t = 0) gelegt, also 1/2 τ = 1 sec. Also ist ν ′ = 1/sec, und ω ′ = 2πν ′ :
ψ0
ψ(ω ) = √
2π
′
Mit
ˆ
τ
2
′
ei[(ω−ω )t] dt,
(1)
−τ
2
1
ψ0
i(ω−ω ′ ) τ2
−i(ω−ω ′ ) τ2
ψ(ω ′ ) = √
e
−
e
2π i(ω − ω ′ )
r
τ
2 ψ0
′
ψ(ω ) =
sin(ω − ω ′ ) .
′
π (ω − ω )
2
r
τ
2 ψ0
′ τ
2
ψ(ω ′ ) =
τ sin(ω − ω ) .
′
π (ω − ω ) 2
2
(2)
(3)
(4)
τ
ω − ω′
=
τ
2
2
(5)
2 τ sin y
ψ0
.
π 2 y
(6)
y = (ω − ω ′ )
erhalten wir
ψ(y) =
r
Die Funktion siny y , die wir bereits im Abschn. 2.4.6 untersucht haben, spielt in der
Beugungstheorie eine überragende Rolle und wird als Spaltfunktion bezeichnet. Ihre
Nullstellen liegen bei
y = nπ, n = 0, 1, 2 . . . ,
ihre Maxima bei y = 0 und
(7)
3.10 Aufgaben und Lösungen
105
1
y = n+
π, n = 1, 2 . . . .
2
(8)
1
sin y
|ψ(y)|
= =
.
|ψ(0)|
2
y
(9)
1
y = sin y,
2
(10)
Da nach Gl. (5) ∆ω ∝ τ1 , ist die Halbwertsbreite um so breiter, je kürzer τ . Wir
ermitteln sie aus der Bedingung (6):
Das ist eine transzendente Gleichung, die graphisch gelöst wird (Abb. 3.4)
2.0
1.5
sin y
y/2
f(y)
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
1
2
3
4
y
Abb. 3.4. Mit Gl. (10) ergibt sich die Wurzel der Halbwertsbreite zu ω1/ =
2
2·1,79
τ
=
3,79
τ .
und wir finden sie zu
2 · 1, 79
3, 79
=
.
2
τ
τ
Die Intensität erhalten wir durch Quadrierung der Gl. (6) zu (Abb. 3.5)
ω1/ =
I ∝ ψ 2 (ω ′ ) =
2 2 τ 2 sin2 y
.
ψ
π 0 2
y2
(11)
(12)
Aufgabe 3.7 Ein Teilchen ist lokalisiert zwischen −a bis +a. Bestimmen Sie die
Fourier-Transformierte dieses Systems!
Lösung.
ψ(x, t) =
A, −a ≤ x ≤ a
0, sonst
Gesucht ist φ(k, t). Dazu normieren wir zunächst ψ(x, t):
(1)
106
3 Axiome der Quantenmechanik
1.0
1.0
0.8
0.6
Amplitude [a. u.]
Amplitude [a. u.]
0.8
f(w) =
y 0 /(w -w 0) sin[(w-w 0) * 1]
0.4
0.2
0.0
-0.2
-20
-10
0
10
f(w) =
y0 /(w-w0) sin[(w-w0) * 2.5]
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-20
20
-10
0
10
20
w [sec-1]
w [sec-1]
Abb. 3.5. Die Fouriertransformierte einer zeitlich limitierten Sinusschwingung ist ähnlich
dem Beugungsbild eines Spaltes. Je kürzer die Dauer, um so unschärfer seine Frequenz: so
ist der Sinusimpuls auf der LHS 2, auf der RHS 5 sec lang.
ˆ
+a
−a
2
2
ψ (x, 0) dx = |A|
Also ist die Normierungskonstante A
√1 .
2a
ˆ
+a
dx = 2a|A|2 = 1.
(2)
−a
Die Fourier-Transformierte ist
1
1
φ(k, t) = √ √
2π 2a
ˆ
+a
e−ikx dx.
(3)
−a
Integration ergibt
+a
1 e−ikx ,
φ(k, t) = − √
2 aπ ik −a
(4)
was nach Ausführung der Integration und unter Benutzung der Eulerschen Formel
für den Sinus
1 sin ka
φ(k, t) = √
aπ k
(5)
ergibt (Abb. 3.6).
Wir sehen uns die Grenzfälle mit der Unschärferelation an:
• Ist a sehr klein, ist das Teilchen
p also stark lokalisiert, wird sin ka ≈ ka, und
damit wird aus (5): φ(k) ≈ πa : k kann jeden Wert annehmen, die kinetische
Energie auch.
• Ist
groß, der Ort also beliebig unscharf, wird (Erweitern mit a) φ(k) =
p aasinsehr
ka
.
Die
Spaltfunktion hat ihre erste Wurzel bei ±π, oder k = ± πa . k und
π ka
damit die kinetische Energie sind also klar definiert.
3.10 Aufgaben und Lösungen
107
2.0
1.0
sin(ka)/ka
0.5
1.0
f(x)
f(x)
1.5
0.0
0.5
0.0
-2
-1
0
1
-0.5
-20
2
-15
-10
-5
x
0
5
10
15
20
x [rad]
Abb. 3.6. Die Fouriertransformierte eines Rechteckimpulses ist die eines Beugungsbildes
eines Spalts.
Für unsere inverse Fourier-Transformierte folgt daraus
ˆ ∞
sin ka ikx
1
e dk.
ψ(x, t) = √
2aπ −∞ k
(6)
Aufgabe 3.8 Zeigen Sie die Identität in Formel (3.42)!
Lösung. Es ist zu zeigen, daß die Unschärfe ∆x eines Teilchen, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte durch eine Gauss-Verteilung gegeben ist, gerade seine Breite a beträgt.
Wir starten mit dem Fehlerintegral
r
ˆ +∞
π
−kz 2
e
dz =
.
(1)
k
−∞
Wenn nach Pythagoras z 2 = x2 + y 2 gilt, dann ist auch
ˆ
+∞
e
−kz 2
dz =
−∞
ˆ
+∞
e
−kx2
dx
−∞
ˆ
+∞
−∞
e
−kx2
dz =
ˆ
+∞
e
−ky 2
−∞
sˆ
+∞
e−kx2
dx
−∞
ˆ
r 2
π
⇒
dy =
k
(2)
+∞
e−ky2 dy.
(3)
−∞
r in Polarkoordinaten ist der trigonometrische Pythagoras:
x = r cos ϕ ∧ y = r sin ϕ,
(4)
dA = r dr dϕ,
(5)
das Flächenelement
und wir bekommen
108
3 Axiome der Quantenmechanik
ˆ
+∞
e
−kx2
dx =
−∞
ˆ
+∞
e
−kx2
s
ˆ
dx =
−∞
+∞
2π
0
ˆ
s
ˆ
+∞
e−kr2 r dr dϕ,
(6)
0
2π
e−kr2 r dr.
(7)
0
Einmal partielle Integration mit z = kx2 liefert
r
ˆ +∞
π
2
.
e−kx dx =
k
−∞
(8)
Damit steigen wir in die Gleichung
∆x =
√
< x2 > =
p
ψ(x, t)∗ x2 ψ(x, t) dx.
(9)
x2
ein. Wir zerlegen das x2 und bekommen den freundlichen Integranden x e , und
damit wird für das Integral:
s
ˆ +∞ “ 2 ” 1
−x
√
∆x =
dx,
(10)
x x e 2a2
a 2π −∞
das wir wieder mit partieller Integration bekämpfen:
ˆ +∞ “ 2 ” ˆ
“
” +∞
2
− x2
− x 2 2
2a
2a
x xe
dx = −xa e
+
−∞
−∞
Der erste Summand ist Null, der zweite
+∞
2
ae
“
−
x2
2a2
”
dx :
(11)
−∞
p
√
a2 a 2π, so daß
∆x = a
(12)
herauskommt.
Aufgabe 3.9 Gegeben die symmetrische Funktion
e−α|ω| ,
(1)
Abb. 3.7. Bestimmen Sie die Fourier-transformierte Funktion!
Lösung.
ˆ
+∞
−∞
e
−α|ω|
e
−iβω
dω = 2
ˆ
+∞
e−αω cos βω dω
(2)
0
aus Symmetriegründen. Wegen der leichteren Integrierbarkeit der Exponentialfunktion schreiben wir das aber wieder um und nehmen dann nur den Realteil:
ˆ +∞
ω=∞
2
(3)
ℜ2
e−(α+iβ)ω ω=0 .
e(−α+iβ)ω dω = ℜ
−α + iβ
0
An der oberen Grenze verschwindet das Integral, da die Exponentialfunktion mit
imaginärem Argument nur zwischen −1 und +1 schwankt:
3.10 Aufgaben und Lösungen
109
Abb. 3.7. Die gerade doppelseitige Exponentialfunktion für
verschiedene Werte für
den Steigerungskoeffizienten α im Argument. Die Funktion
wird immer schärfer.
1.0
0.8
-15|x|
f(x)
0.6
e
-10|x|
e
e-5|x|
e-|x|
0.4
0.2
0.0
-4
-2
0
2
4
x
e−(α+iβ)ω = e−αω · e−iβω ,
(4)
der zweite Term ist dagegen Eins. Also wird für den Realteil die Bildfunktion
α2
α
.
+ β2
(5)
Aufgabe 3.10 Gegeben die symmetrische Funktion
αe−α|ω| ,
(1)
Abb. 3.8. Bestimmen Sie die Fourier-transformierte Funktion!
15
10
-15|x|
f(x)
15e
10e-10|x|
5e-5|x|
1e-|x|
5
0
-4
-2
0
x
Lösung.
2
4
Abb. 3.8. Die gerade doppelseitige Exponentialfunktion für
verschiedene Werte für
den Steigerungskoeffizienten α im Argument und im Vorfaktor. Die Funktion
wird immer schärfer,
die Fläche aber bleibt
gleich.
110
3 Axiome der Quantenmechanik
α
ˆ
+∞
e
−α|ω|
e
−iβω
dω = 2α
−∞
ˆ
+∞
e−αω cos βω dω
(2)
0
aus Symmetriegründen. Wegen der leichteren Integrierbarkeit der Exponentialfunktion schreinen wir das aber wieder um und nehmen dann nur den Realteil:
ˆ +∞
ω=∞
2α
ℜ 2α
e(−α+iβ)ω dω = ℜ
e−(α+iβ)ω ω=0 .
(3)
−α + iβ
0
An der oberen Grenze verschwindet das Integral, da die Exponentialfunktion mit
imaginärem Argument nur zwischen −1 und +1 schwankt:
e−(α+iβ)ω = e−αω · e−iβω ,
(4)
der zweite Term ist dagegen Eins. Also wird für den Realteil die Bildfunktion
α2
,
α2 + β 2
und das Integral ist für alle α gleich groß.
(5)
Aufgabe 3.11 Zeigen Sie durch Transformation in Kugelkoordinaten und anschließende Ausintegration, daß die Fourier-Transformierte des Yukawa-Potentials
Φ(r) = Φ0
e−µr
r
gegeben ist durch
Φ(k) = Φ0
µ2
(1)
4π
+ k2
(2).
Lösung. Es geht um das Integral
Y =
ˆ
+∞
−∞
e−µr ik·r 3
e
d r.
r
(3)
Das Volumenelement d3 x ist in Kugelkoordinaten r2 sin ϑdr dϑ dϕ, das Skalarprodukt
k · r = kr cos ϑ.
ˆ ∞ −µr
ˆ 2π
ˆ π
e
2
Y =
r dr
dϕ
eikr cos ϑ sin ϑdϑ.
(4)
r
0
0
0
Das zweite Integral ist 2π, wir substituieren cos ϑ → α, so daß dα = − sin ϑdϑ, und
wir lösen erstmal das dritte Integral:
ˆ π
ˆ −1
ˆ 1
ikr cos ϑ
ikrα
e
sin ϑdϑ = −
e dα =
eikrα dα,
(5)
0
1
ˆ
1
−1
e
ikrα
−1
sin kr
eikr − e−ikr
=2
.
dα =
ikr
kr
(6)
3.10 Aufgaben und Lösungen
111
Um das letzte Integral
Y = 2 · 2π
ˆ
∞
0
e−µr 2 sin kr
4π
r
dr =
r
kr
k
ˆ
∞
e−µr sin kr dr
zu lösen, benutzen wir wiederum die Euler-Formel und integrieren gliedweise:
ˆ ∞
ˆ ∞
4π 1
−r(µ−ik)
−r(µ+ik)
Y =
e
dr −
e
dr ,
k 2i 0
0
∞
∞ 1
4π 1
1
−r(µ−ik) −r(µ+ik) e
e
Y =
−
,
k 2i −(µ − ik)
−(µ + ik)
0
0
1
1
4π 1
(0 − 1) −
(0 − 1) ,
Y =
k 2i −(µ − ik)
−(µ + ik)
1
1
4π 1
,
−
Y =
k 2i (µ − ik) (µ + ik)
Y =
(7)
0
(8)
(9)
(10)
(11)
4π 1 (µ + ik) − (µ − ik)
,
k 2i (µ + ik)(µ − ik)
(12)
4π 1 2ik
,
k 2i µ2 + k 2
(13)
Y =
Y =
µ2
4π
,
+ k2
(14)
was zu zeigen war; der langreichweitige Anteil des Coulomb-Potentials wird beseitigt. Für verschwindende Abschwächung (µ → 0) ergibt sich die Fourier-Transformierte des Coulomb-Potentials zu
4π
:
(15)
k2
Bei k = 0 ist entsprechend der unendlich großen Reichweite des Coulomb-Potentials
die Fourier-Transformierte singulär.
lim Φ(k) = Φ0
µ→0
3.10.3 Strahlungstheorie
Aufgabe 3.12 Eine Spektrallinie mit Lorentz-Profil wird durch Doppler-Verbreiterung zu einer Gaussschen Glockenkurve, in der man einige ausgezeichnete Werte definieren kann. Was sagt uns z. B. die Halbwertsbreite? Und wo ist der Wert auf
ca. 1/3 abgefallen?
Lösung. Die (eindimensionale) Geschwindigkeitsverteilung im Gas kann durch eine
Gauss-Verteilung
mvx2
dvx
(1)
f (vx ) = A exp −
2kB T
112
3 Axiome der Quantenmechanik
beschrieben werden. Die Doppler-Verbreiterung um die ursprünglich scharfe Spektrallinie der Frequenz ω0 ist
ω − ω0 = ω0
vx
,
c
(2)
woraus
vx = c
ω − ω0
ω0
(3)
wird. Die Geschwindigkeitsverteilung f (vx ) erzeugt also eine spektrale Frequenzverteilung f (ω) nach
mc2 (ω − ω0 )2
f (ω) = A exp −
2ω02 kB T
dω.
(4)
Üblich ist es, die Abkürzung
σ = ω0
r
kB T
mc2
(5)
einzuführen, so daß die Glockenkurve in die Form
f (ω) = exp
(ω − ω0 )2
2σ 2
(6)
gekleidet werden kann. Wie aus der Theorie der Fehlerrechnung sich ergibt, ist die
Halbwertsbreite ω1/2 für ein Gauss-Profil definiert als
√
FWHM = ω1/ = 2 2 ln 2σ.
2
(7)
√
Der Faktor 2 2 ln 2 vor dem σ beträgt 2,355. Reduziert auf die Wellenlänge, wird
daraus
∆λ = 2, 36λ0 ·
r
kB T
.
mc2
(8)
So ist für die Kr-Wellenlänge λ = 763 nm mit einer Masse von m = 1, 4 · 10−22 g
bei 300 K von 3 · 10−2 nm, was gut mit dem beobachteten Wert übereinstimmt.
Zusätzlich ist klar, daß ein Abfall auf etwa 1/3 , genauer: auf 1/e-tel, gegeben ist
durch
f (ω) = e−1 .
(8)
Also muß das Argument des Exponenten gerade Eins sein oder
ω − ω0 =
√
2σ.
(9)
3.10 Aufgaben und Lösungen
113
Aufgabe 3.13 Was ist der Unterschied zwischen Lebensdauer eines angeregten Zustandes und der Emissionszeit?
Lösung. Die Lebensdauer ist die Emissionszeit. Sie tritt in der Quantenphysik an
die Stelle der Abklingzeit eines Oszillators im klassischen Strahlungsmodell. Vorausgesetzt wird, daß der Quantensprung beliebig schnell erfolgt, also genau die in den
beiden vorherigen Aufgaben diskutierten unterschiedlichen Betrachtungen, entweder
gedämpfte Oszillation oder Oszillation in einer bestimmten Zeit, gleichgesetzt werden (können),4 ist also ein digitaler Prozeß, bei dem die Lebensdauer des angeregten
Zustandes groß gegenüber der Zeit des Qantensprungs ist. Dann ist die Zahl der
spontanen Zerfallsakte pro Zeiteinheit
dN
= −An′ n N,
dt
und wir erhalten eine Reaktion 1. Ordnung nach
N (t) = N0 e−t/τ ∧ τ =
(1)
1
.
An′ n
(2)
Sie ergibt sich aus dem Verhältnis der Gesamtenergie einer Schwingung zu der
abgestrahlten Leistung, also für eine elektronische Anregung mit den Gln. für den
Hertzschen Dipol:
1
1
E = me v 2 = me x20 ω 2
2
2
P =
e20 x20 ω 4
µ2 ω 4
=
3 · 2πε0 c3
3 · 2πε0 c3
(3)
(4)
zu etwa τ ≈ 10−8 sec, woraus sich eine Dämpfungskonstante von
2π
2τ
ergibt. Damit ergibt sich eine Wellenlängenverbreiterung (FWHM) von
∆λ =
δω =
(5)
c
≈ 2cτ.
∆ω/2π
(6)
Die Kohärenzlänge L ergibt sich danach zu
λ2
.
(7)
FWHM
Z. B. hat die grüne Hg-Linie bei 546 nm in einer Niederdruck-Entladungsröhre eine
Halbwertsbreite von 0,028 Å, damit wird die Kohärenzlänge 11 mm oder etwa 20 000
Wellenlängen, während die Na-D-Linie bei 596 nm eine Halbwertsbreite von 0,6 nm
aufweist und damit nur eine Kohärenzlänge von 600 µm oder 1000 Wellenlängen.
L = Nλ ∨
4
Wie erst kürzlich an der ETH nachgewiesen werden konnte, erfolgt der Übergang in einem
Zeitraum von weniger als 34 Attosekunden [12].
114
3 Axiome der Quantenmechanik
Aufgabe 3.14 Beim Wienschen Versuch werden in einer elektrischen Entladung
Kanalstrahlen, meist Wasserstoffionen (in diesem Falle also Protonen), durch eine
Lochblende in der Kathode geschossen, wo sie beschleunigt werden. In dem dahinterliegenden Beobachtungsraum stoßen sie mit H2 -Molekülen zusammen und regen sie
zum Leuchten an.
Wird der Druck weiter reduziert, verschwindet der Kanalstrahl nahezu vollständig;
nur ein etwa 1 cm langer Schweif unmittelbar hinter dem Kanal bleibt auch bei noch
so gutem Vakuum immer noch sichtbar. Daher nahm Wien an, daß er von Kanalstrahlteilchen stammen müsse, die unmittelbar vor Verlassen des Kanals noch angeregt worden seien. Die beobachtete Leuchterscheinung wäre dann das Abklingleuchten
dieser Anregung.
Bestimmen Sie für einen Kanalstrahl, der mit 60 kV beschleunigt wird, aus der
Abschwächung
auf 1 etel nach 7 mm die Lebensdauer der angeregten Zustände (Abb.
p
3.9, v = 2e0 U/m)! Bestimmen Sie weiters die Länge des Wellenzuges und für die
Hα -Strahlung die Anzahl der Wellenlängen!
rel. Strahlungsstärke S
1.00
R
Kathode
SzintillationsSchirm
Anode
0.75
0.50
0.25
Fenster
Detektor
Hb (l = 486 nm)
W. Wien, 1921
0.00
0
zur
Pumpe
2
4
6
8
10
12
x [mm]
Abb. 3.9. Abklingleuchten von Kanalstrahlen nach W. Wien, 1921. Wasserstoffkanalstrahlen werden durch eine Blende in der Kathode beschleunigt und fliegen feldfrei
weiter, wo sie auf H2 -Moleküle anregen, u. a. in optische Niveaus. Die Leuchtintensität
nimmt nach einem Beerschen Gesetz ab.
Lösung.
v=
r
2e0 U
= 3, 4 · 106 m/sec.
m H+
t
I = I0 exp −
τ
x
= I0 exp −
.
vτ
τ = 2, 1 · 10−9 sec.
(1)
(2)
(3)
3.10 Aufgaben und Lösungen
115
Damit ist die Länge des Wellenzuges L = cτ = 63 cm. Die Hα -Linie hat eine Wellenlänge von 656,279 nm, und damit sind das ziemlich genau 1 Million Wellenlängen
(0, 96 · 106 ).
116
3 Axiome der Quantenmechanik
4 Wellenmechanik
Zu Beginn des Kapitels erfolgt eine Rekapitulation der in den ersten drei
Kapiteln erreichten Aussagen; hier allerdings in Textform ohne Formeln.
Dann werden wir die Schrödinger-Gleichung zunächst induktiv einführen
und die zeitunabhängige Form auf einfachste stationäre Systeme, nämlich
das Elektron im Kasten, anwenden. Weiter finden wir die zeitabhängige
Schrödinger-Gleichung. Zum Abschluß dieses Kapitels untersuchen wir
die beiden Schrödinger-Gleichungen auf ihre Verwendbarkeit.
4.1 Da capo: Was ist eine Messung?
In der klassischen Physik gilt das Prinzip der Kausalität. Um ein System zu beschreiben, müssen an diesem Messungen durchgeführt werden. Es wird stillschweigend vorausgesetzt, daß eine Messung an diesem System störungsfrei erfolgt: Der Akt der
Messung beeinflußt den Zustand nicht, in dem sich das System befindet. Die beobachteten Schwankungen der Meßresultate sind zufällig und lassen sich daher mit der
Gaussschen Fehlerrechnung beschreiben.
Während die Voraussetzung der Kausalität auf unsere Beobachtungen der Natur
und die Interpretation der Ergebnisse derselben zuerst von Kant Ende des 18. Jahrhunderts kritisiert wurden, stellte man in der 1920er Jahren fest, daß es eine untere
Grenze gibt, ab der die Störungsfreiheit der Messung nicht mehr gegeben ist. Der
Zustand des gemessenen Systems wird durch den Akt der Messung verändert: es tritt
eine nicht mehr zu vernachlässigende Wechselwirkung zwischen messender Sonde und
gemessenem System auf.
Im Bereich, wo diese Beobachtungen bedeutungsvoll sind, in dem also die Zahl
~ eine wesentliche Rolle spielt, sind die Systeme sehr klein, und es gibt nur wenige,
diskrete, Zustände. Sie unterscheiden sich also ganz wesentlich von den klassischen
Systemen, in denen kontinuierliche Veränderungen möglich sind, und es daher sinnlos
ist, von diesen Zuständen zu sprechen.
Sowohl vor wie nach der Messung nimmt dieses Quantensystem einen Zustand
ein, der das System (teilweise oder umfassend) charakterisiert. Die Meßwerte werden
als Eigenwerte bezeichnet (s. a. Abschn. 3.8).
Wir haben uns im letzten Kapitel die mathematischen Hilfsmittel der Wahrscheinlichkeitsrechnung verschafft, um nun solche Eigenwertprobleme anzugehen.
117
118
4 Wellenmechanik
4.2 Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
Die Wellengleichung eines mechanischen Systems lautet
1
ψ̈;
(4.1)
c2
sie beschreibt eine sich im Raum fortbewegende zeitliche Störung oder Auslenkung
(Abb. 4.1). Setzt man für c die Wellenlänge λ und die Frequenz ν ein:
∆ψ = ∇2 ψ =
0
t=0
t = 1/8 T
Amplitude
-2
-4
t = 2/8 T
-6
t = 3/8 T
-8
t = 4/8 T
-10
t = 5/8 T
Abb. 4.1. Welle: Eine sich in
Raum und Zeit nach rechts
ausbreitende,
periodische
Störung. Die Phase ist die
Differenz ϕ = kx − ωt.
-12
t = 6/8 T
-14
t = 7/8 T
t = 8/8 T
-16
-18
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Periode
E
c
∨ c = λν = λ ,
λ
h
und für λ die de Broglie-Beziehung
ν=
λ=
h
~ω
⇒c=
,
p
p
(4.2)
(4.3)
erhält man insgesamt für c mit dem Energiesatz in der Nomenklatur des Abschn. 3.9
(H = T + V):
~ω
c= p
.
2m0 [H − V (x, y, z)]
(4.4)
Setzt man Gl. (4.4) in die allgemeine Wellengleichung ein, folgt die quantenmechanische Beziehung
2m0 [H − V (x, y, z)]
ψ̈.
(4.5)
~2 ω 2
Wenn es sich um eine monochromatische Welle handelt, kann man die Lösung
der Gl. (4.5) mit einem nur ortsabhängigen und einem nur zeitabhängigen, mit der
Frequenz ω oszillierenden Anteil suchen (Fourierscher Ansatz):
∇2 ψ =
4.2 Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung
119
E
ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) · eiωt = ψ(x, y, z) · ei ~ t ,
(4.6)
ψ̈ = −ω 2 ψ(x, y, z) · eiωt = −ω 2 ψ
(4.7)
so daß man für ψ̈
erhält. Einsetzen von Gln. (4.6) und (4.7) in Gl. (4.5) ergibt
2m0 [H − V (x, y, z)]
ψ,
(4.8)
~2 ω 2
aus der man einfach durch Eliminierung des Zeitfaktors die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erhält:
eiωt · ∇2 ψ = −ω 2 · eiωt ·
∇2 ψ +
~2 2
2m0
∇ ψ + [V (x, y, z) − H] ψ = 0.
[H
−
V
(x,
y,
z)]
ψ
=
0
∨
−
~2
2m0
(4.9)
Für die meisten Phänomene, etwa die Bestimmung der Eigenwerte der Energie, die
zeitlich konstant sind, reicht dieser Ansatz aus. Er kann dann verwendet werden, wenn
sich das Quantenteilchen in einem zeitunabhängigen Potential bewegt und damit die
Gesamtenergie konstant ist. Wenn wir uns etwas Vertrautheit mit der SchrödingerGleichung erworben haben werden, werden wir dies im Abschn. 4.7 genauer studieren.
Beispiel 4.1 Wir betrachten einen sog. stationären Zustand, den wir mit der Gleichung
E
Ψ(x, t) = ψ(x)e−i ~ t
(4.10)
beschreiben können. Wie wir sehen, ist Ψ zeitabhängig, die Wahrscheinlichkeitsdichte
E
E
|Ψ(x, t)|2 = Ψ∗ Ψ = ψ ∗ ei ~ t ψe−i ~ t = |ψ(x)|2
(4.11)
aber nicht.
Beispiel 4.2 Für den Fall ebener Wellen eikx ergeben sich die Energieeigenwerte bei fehlender Ortsabhängigkeit des Potentials zu
En =
~2 kn2
+ (V = const),
2m0
(4.12)
was für die Wellenlänge geschrieben werden kann als (T = Ekin ):
Das bedeutet für
h
h
λ= p
.
=√
2m0 T
2m0 (E − V )
V =0:λ=
h
: k ist scharf, x ist beliebig unscharf.
p
0 ≤ V < E : λ steigt.
(4.13)
(4.14.1)
(4.14.2)
120
4 Wellenmechanik
V = E : T = 0 ⇒ λ −→ ∞.
(4.14.3)
V > E : T ǫ N ⇒: λ ǫ I.
(4.14.4)
Die Wellenlänge nimmt über alle Maßen zu, wenn die kinetische Energie gegen Null geht,
und sie wird imaginär im Falle V > E (z. B. beim Tunneleffekt im Potentialwall, s. Kap.
5). Umgekehrt wird ein System mit einem scharfen Impuls nach (4.14.1) durch eine ebene
Welle beschrieben, die nicht lokalisierbar ist, sondern im Gegenteil unendlich ausgedehnt
ist.
Wenn dagegen das Potential ortsabhängig wird, wird es schwierig, Lösungen der
Schrödinger-Gleichung zu finden. Meist ist es sinnlos, von einer Wellenlänge zu
sprechen, da dafür mehrere Wellenzüge vorhanden sein müssen. Je kürzer aber die
Wellenlänge, um so stärker die Krümmung der Kurve (Wellenfunktion), die durch
∇2 ψ beschrieben wird und nach Gl. (4.14) gleich der kinetischen Energie ist.
4.3 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Um zeitabhängige Phänomene zu beschreiben, reichen die Gln. (4.8/9) nicht aus; wir
benötigen die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. Mit ihr werden z. B. Strahlungsübergänge beschrieben. Dazu setzen wir wieder eine ebene Materiewelle mit
i
ψ(x, y, z, t) = ψ0 · e ~ (px−Et) ,
(4.15)
an und bilden zunächst die erste Zeit- und die zweite Ortsableitung:
∇2 ψ(x, y, z, t) = −
p 2
~
ψ(x, y, z, t)
(4.16.1)
i
(4.16.2)
ψ̇(x, y, z, t) = − Eψ(x, y, z, t)
~
Mit dem Energiesatz E = T +V erkennen wir in (4.16.1) die kinetische, in (4.16.2)
die Gesamtenergie und schreiben die vollständige Schrödinger-Gleichung
~∂
~2 2
−
∇ + V ψ(x, y, z, t)
(4.17)
ψ(x, y, z, t) = −
i ∂t
2m0
auf.1 Hängt die potentielle Energie nicht von der Zeit ab, genügt es, Lösungen für die
stationäre Schrödinger-Gleichung zu finden, z. B. für die Eigenwerte der Energie.
Die Wellenfunktion, die der Gl. (4.17) genügt, haben wir bereits mit dem Fourierschen Verfahren in den Gln. (4.6/7) angesetzt und machen das nochmals explizit
mit dem Separationsparameter E für die linke Seite:
−
1
~∂
ψ(t) = Eψ(t),
i ∂t
Für die Formulierung dieser Funktion erhielt Schrödinger 1933 den Nobelpreis.
(4.18.1)
4.3 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
121
was für die monochromatische Welle
E
ψ(t) = Ee−i ~ t
(4.18.2)
gelöst wird. Also für das Produkt aus zeit- und ortsabhängiger Funktion
ψ(x, y, z, t) =
X
n
die, in Gl. (4.17) eingesetzt,
X
n
Cn e
−iEn t
~
Cn ψ(x, y, z) · e−i
~2 2
En +
∇ −V
2m0
En
t
~
,
ψn = 0
(4.18.3)
(4.19)
ergibt. Die monochromatische Welle ist also ein partieller Fall der Gl. (4.19), wozu in
dieser Gleichung Cn0 = 1 und alle anderen Null gesetzt werden müssen.
4.3.1 Zeitumkehr II
Wir hatten in Gl. (3.53) gesehen, daß in einem konservativen mechanischen System die Hamilton-Funktion zeitinvariant ist. Mit der Definition der vollständigen
Schrödinger-Gleichung in Gl. (4.17) können wir das auch für Systeme der Quantenmechanik fordern, wenn die zur Gl. (4.17) konjugiert-komplex ist. Zeigen wir das
für eine ebene Welle mit einem Phasenfaktor von kx − ωt = ~1 (px − Et), dann ist
i
~∂
exp (px − Et) = E,
(4.20.1)
−
i ∂t
~
und der konjugiert-komplexe Phasenfaktor mit gleichzeitiger Substitution von t durch
−t kx + ωt = ~1 (px + Et), was mit −i versehen, dasselbe Ergebnis, nämlich
−i
~∂
exp
(px + Et) = E,
(4.20.2)
−
i ∂t
~
liefert. Das wird in Aufgabe 4.13 studiert.
4.3.2 Fazit
Der (formale) Übergang von der klassischen Theorie zur Quantenmechanik besteht
also darin, daß man in dem klassischen Ausdruck des Erhaltungssatzes der Energie
p2
+V
(4.21)
2m
anstelle der Energie E und des Impulses p die entsprechenden Operatoren einsetzt
und diese auf die Wellenfunktion anwendet. Damit wird schließlich unter Definition
des Hamilton-Operators
E − (T + V ) = 0 ∨ E =
122
4 Wellenmechanik
H=−
~2 2
∇ + V (r)
2m0
(E − H)ψ(t) = 0,
(4.22)
(4.23)
was sich für den Fall der stationären Schrödinger-Gleichung zu
oder
(En − H)ψn = 0
(4.24.1)
En ψn = Hψn
(4.24.2)
vereinfacht. Für den stationären Fall ist der Erwartungswert des Hamilton-Operators
gleich dem Eigenwert der Energie, genau wie im klassischen stationären Fall die
Hamilton-Funktion gleich der Energie des Teilchens ist. Im allgemeinen schreibt
man für Operatoren wie für Matrizen und Tensoren fette, senkrechte Buchstaben (im
Unterschied zu Vektoren, die fett und kursiv geschrieben werden).
Es gibt mehrere Unterschiede zur klassischen Mechanik:
• In der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung finden wir eine erste Zeitableitung und eine zweite Ortsableitung: die beiden Kategorien werden also ungleich
behandelt und können deswegen relativistisch nicht invariant sein. Warum? Weil
wir in Gl. (4.21) von der normalen“ Beziehung zwischen Energie und Impuls
”
p2
ausgegangen sind. Beide Alternativen, also entweder für beide KateE = 2m
gorien die zweiten Ableitungen (Gleichung von Klein und Gordon) wie nur
die erste Ableitung (Dirac-Gleichung) erweitern die von Heisenberg und
Schrödinger begründete nicht-relativistische Quantenmechanik und liefern“
”
Wellengleichungen für die beiden Quantenteilchensorten Fermionen und Bosonen.
• Wenn aber nur die erste Zeitableitung auftritt, bedeutet daß umgekehrt, daß
die Anfangsbedingungen bereits mit Ψ(x, y, z, t = t0 ) ausreichend beschrieben
sind — im Unterschied sowohl zu der Formulierung Newtons, in der die zweite Zeitableitung auftritt, so daß die Anfangsbedingungen erst mit der Kenntnis
auch der Geschwindigkeiten vollständig bekannt sind. Ähnliches finden wir für
die Wellengleichung, die in zweiter Ordnung symmetrisch in Ort und Zeit sind,
aber aus den Gleichungen von Maxwell gewonnen werden, die erster Ordnung in den Kategorien Ort und Zeit sind (s. Kap. 8 zur Dipolstrahlung). Im
Unterschied zur Wellengleichung finden wir in der Schrödinger-Gleichung —
wiederum durch unsere einfache“ Energie-Impuls-Beziehung — eine Abhängig”
keit von der Masse wie von der Größe ~. Diese Asymmetrie hat aber noch eine
weitere Konsequenz:
• In der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung tritt nämlich noch eine imaginäre Größe vor die erste Zeitableitung. In der klassischen Mechanik bezeichnen
Differentialgleichungen erster Ordnung und ersten Grades keine periodischen
Lösungen; durch sie werden vielmehr irreversible Prozesse beschrieben wie z. B.
4.4 Erwartungswert und Eigenwert, da capo
123
die Diffusion, Dissipation von Energie durch Reibung etc. Für diese Prozesse gilt
die Invarianz der Gleichungen gegenüber der Zeit nicht. Wegen des imaginären
Koeffizienten von ψ̇ kann die Schrödinger-Gleichung als DGl 1. Ordnung und
1. Grades auch periodische Lösungen in der Zeit besitzen. Mathematisch wird
das dadurch erreicht, daß die konjugiert-komplexe Funktion ψ ∗ das Gegenstück
zur Urfunktion ψ darstellt. Zeigen wir das an der Gl. (4.17):
~∂
−
Eψ(x, y, z, t) =
i ∂t
~2 2
−
∇ + V ψ(x, y, z, t).
2m0
(4.17)
Für t → −t erhalten wir bei der Differentiation nach der Zeit ein zusätzliches
Minuszeichen, was wir dadurch berücksichtigen, daß wir schreiben
−
~∂
~∂
Eψ(x, y, z, −t) = −
Eψ ∗ (x, y, z, t).
i ∂t
i ∂t
(4.25.1)
Auf der rechten Seite spielt das keine Rolle, da hier die zweite Ableitung nach
den Ortskoordinaten gebildet wird, die natürlich invariant gegen die Zeit ist:
~2 2
−
∇ +V
2m0
ψ(x, y, z, t) =
~2 2
−
∇ +V
2m0
ψ ∗ (x, y, z, −t),
(4.25.2)
Damit ist also
ψ(x, y, z, t) = ψ ∗ (x, y, z, −t).
(4.25.3)
• Gln. (4.24) liefern zwar ein Ergebnis für die Gesamtenergie, aber nicht für die
beiden Beiträge separat. Die kinetische Energie ist im cartesischen Koordinatensystem eine Funktion der Impulse, die potentielle eine Energie der Koordinaten.
Aber es gibt keine Zustände quantenmechanischer Gesamtheiten, die gleichzeitig scharf für Ort und Impuls definiert sind. Daher kann man die Gesamtenergie
nicht dadurch bestimmen, indem man die potentielle und die kinetische Energie
separat mißt.
4.4 Erwartungswert und Eigenwert, da capo
An diesem speziellen Fall der Energie eines Systems haben wir das quantenmechanische Verfahren exemplifiziert, um einen Erwartungswert zu bestimmen, der eine
observable Größe darstellt. Dieser Erwartungswert kann nun scharf sein (in der Sprache der Quantenmechanik diskret) oder einen Mittelwert darstellen. Erinnern wir uns
daran, daß wir im Kap. 2 beim Youngschen Doppelspaltversuch die Intensität der
Elektronenwelle als proportional der Wahrscheinlichkeitsdichte, mit der das Elektron
auf dem Schirm auftrifft, identifiziert hatten. Ein diskreter Eigenwert bedeutet, daß
bei jeder Messung derselbe Wert erhalten wird.
124
4 Wellenmechanik
Wenn ein Operator L nur einen Eigenwert λ und eine Eigenfunktion ψ besitzt,
dann wird dieser dem Mittelwert gleich sein und wird nach Gl. (4.26.1) bestimmt:
ˆ
Lψ = λψ ⇒< L >= ψ ∗ Lψ d3 x =< ψ|L|ψ >;
(4.26.1)
woraus folgt, daß
< L >= λ < ψ|ψ >= λ.
(4.26.2)
ψ ∗ ψ übernimmt also die Rolle der (normierten) Verteilungsfunktion. Wenn der Operator L mehrere Eigenwerte λ1 , λ2 , . . . , λn besitzt, die zu den Funktionen ψ1 , ψ2 , . . . , ψn
gehören, wie dies für das Spektrum von Eigenwerten für die Energie typisch ist,
können wir mit dem allgemeinen Ansatz
X
ψ=
cm ψm
(4.27)
m
für den Mittelwert des Operators L finden, daß
X
< L >=
c2m λm .
(4.28)
m
c2m ist dabei die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Quantenzustand m besetzt werden
kann. Sind alle cm , mit Ausnahme von cm0 , gleich Null, ist < L >= λm0 , und der
Mittelwert stimmt mit dem Eigenwert überein. Sind dagegen mehrere Koeffizienten
cm verschieden von Null, ergibt sich aus den Experimenten entweder der eine oder
der andere Wert, und zwar mit der Wahrscheinlichkeit c2m .
Das typische Verfahren ist also folgendermaßen:
• Aufstellen der Schrödinger-Gleichung
En ψn = Hψn
(4.29.1)
• Multiplikation von links mit der konjugiert-komplexen Wellenfunktion und Integration des Produkts:
ˆ
ˆ
∗
ψn En ψn dx = ψn∗ Hψn dx =< n|H|n > .
(4.29.2)
• Da En ein Zahlenwert ist, kann man ihn vor das Integral ziehen und die Energie
isolieren:
< n|H|n >
En =
.
(4.29.3)
< n|n >
• Sind die Funktionen ψn orthonormiert, ist der Nenner Eins, und wir erhalten
als Bestimmungsgleichung:
ˆ
En = ψn∗ Hψn dx =< n|n > .
(4.29.4)
4.5 Elektron im Kasten
125
Es soll hier nochmals darauf hingewiesen werden, daß die Begriffe Eigenfunktion
und Eigenvektor in der Quantenmechanik oft synonym verwendet werden. Während in
der Schrödingerschen Darstellung meist die Bezeichnung Eigenfunktion üblich ist,
hat der Eigenvektor seinen Charme in der Matrizenmechanik, in der ein Operator als
Matrix einen Eigenvektor dreht und man eine Diagonalmatrix erhält, deren Elemente
die Eigenwerte des Eigenzustandes darstellen.2
4.5 Elektron im Kasten
4.5.1 Stationäre Wellen
Die Wellengleichung für eine vorlaufende ψ1 = ψ1,0 sin (kx − ωt) und eine rücklaufende Welle ψ2 = ψ2,0 sin (kx + ωt) ist bei gleicher Amplitude ψ0 :3
ψ = ψ0 [sin(kx − ωt) + sin(kx + ωt)] ,
(4.30.1)
was mit den trigonometrischen Additionstheoremen sin α + sin β = 2 sin α+β
cos α−β
2
2
ct
x
ψ = 2ψ0 cos(ωt) sin(kx) = 2ψ0 sin(2π ) cos(2π )
λ
λ
(4.30.2)
ergibt, die Gleichung einer Sinusschwingung, deren Amplitude 2ψ0 cos 2π λx sich
längs der x-Richtung periodisch ändert. Dort, wo t ein ganzes Vielfaches der halben
Schwingungsdauer ist, ist x nλ/2, verschwindet ψ; an Stellen, an denen die Amplitude
ihren Maximalwert 2ψ0 erreicht, liegen die Schwingungsbäuche. Eine an ihren Enden
eingespannte Saite kann nur so schwingen, daß an den Enden Schwingungsknoten
sind (Abb. 4.2). Der Abstand zweier Knoten ist 1/2 λ. Die Wellenlängen λn der auf
einer Saite der Länge L möglichen Schwingungen ergeben sich aus
L=n
λ
2L
⇒ λn =
,
2
n
(4.31)
damit die Eigenfunktionen selbst zu4
ψn = ψ0,n sin
nπ
2π
x − ωt = ψ0,n sin
x − ωt .
λn
L
2
(4.32)
s. Kap. 4 der Advanced Topics.
Damit die Phase φ konstant bleibt, muß bei wachsendem t x abnehmen; die Welle läuft dann
nach links, zu negativen x-Werten. Wenn x dagegen zunimmt, die Welle also nach rechts läuft, muß
t abnehmen. Für t = 0 ergibt sich für die Phase ϕ = kx.
4
Genau genommen muß die Amplitude ψ0,n noch derart normiert werden, daß
3
ˆ
0
Damit ergibt sich als Wert für ψ0 :
q
2
L.
L
ψn2 dx = 1.
126
4 Wellenmechanik
Amplitude [a.u.]
15
n=4
n=3
n=2
n=1
10
Abb. 4.2. Eine an beiden
Enden eingespannte Saite
schwingt so, daß an beiden
Enden
Schwingungsknoten
auftreten.
5
0
0
45
90
135
180
Phasenwinkel [Grad]
4.5.2 Energie-Eigenwerte: Semiklassischer Ansatz
Setzt man die de Broglie-Beziehung für λ ein:
pn =
n~
nh
· 2π =
.
2L
2L
(4.33)
2
p
erhält man für die kinetische Energie eines Elektrons bei verschwindender
Mit T = 2m
potentieller Energie (V (x) = 0 ⇒ E = T ):
h2 2
1 n2 h2
=
n.
(4.34)
2m 4L2
8mL2
Dies sind die Eigenwerte der Energie eines Elektrons im Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden. Die Energie nimmt quadratisch mit n zu und damit auch der
Abstand zwischen den Zuständen.
En =
4.5.3 Energie-Eigenwerte: Quantenmechanischer Ansatz
Es handelt sich um ein Eigenwertproblem, bei dem der Eigenwert der Energie dadurch
ermittelt wird, daß der Hamilton-Operator auf die Wellenfunktion (4.32) nach den
Gln. (4.29) angewendet wird (eindimensionaler, stationärer Fall):
h nπ i
h nπ i
~ 2 d2
Hψn = −
sin
x + V sin
x .
2m dx2
L
L
~2 nπ 2
(−ψn ) + V ψn .
2m L
2
h
2
n + V ψn .
Hψn = En ψn =
8mL2
Hψn = −
(4.35.1)
(4.35.2)
(4.35.3)
4.5 Elektron im Kasten
127
Wir müssen nun mit der konjugiert-komplexen Wellenfunktion von links multiplizieren und das Produkt integrieren, allgemein:
´ ∗
ψ Hψn dx
En = ´ n∗
(4.36.1)
ψn ψn dx
Im vorliegenden Fall ist die Wellenfunktion die Sinusfunktion, und die Integrale des
Quadratsinus treten im Zähler und Nenner gleich auf, da wir die Innenableitung als
Konstante vor das Integralzeichen ziehen dürfen. Damit wird
´
~2 nπ 2 ψn∗ ψn dx
´
En =
;
(4.36.2)
2m L
ψn∗ ψn dx
da das Integral für eine orthonormierte Funktion Eins, damit also verschieden von
Null, ist, dürfen wir kürzen und identifizieren die Eigenwerte als identisch mit denen
nach Gl. (4.34) erhaltenen Werten, denn V wird für den Quantentopf Null und für die
den Topf begrenzenden Wände unendlich hoch. Wie man sieht, ist die Wahrscheinlichkeitsdichte |ψ|2 erstens vom jeweiligen Energiezustand abhängig und zweitens nicht
über den Raum konstant.
4.5.4 Eigenschaften der Wellenfunktionen
An diesem einfachen Beispiel studieren wir die Eigenschaften der Wellenfunktionen:
• Die Serie der Funktionen stellt ein vollständiges Funktionssystem dar. Jede
Funktion Ψ(x) kann als Linearkombination der ψn dargestellt werden:
Ψ(x) =
∞
X
cn ψn (x) =
n=1
r
∞
nπ 2X
cn sin
x
a n=1
a
(4.37)
Dabei bezeichnet die Wellenfunktion mit n = 1 den Grundzustand, die mit
n > 1 die der angeregten Zustände.
• Die Abfolge der Funktionen ist gerade (g oder e) ungerade (u oder o).
• Die Zahl der Wurzeln (Nullstellen) ist n − 1.
• Die Funktionen sind zueinander orthogonal und für sich normiert (orthonormiert).
• Die Bestimmung der Amplitudenkoeffizienten cn nützt die Orthogonalität der
Wellenfunktionen aus:
ˆ
+∞
−∞
∗
ψm
(x) f (x)
dx =
ˆ
∞
+∞ X
−∞
∗
ψm
(x) cn ψn (x) dx,
n=1
was durch Herausziehen des Koeffizienten cn
(4.38.1)
128
4 Wellenmechanik
ˆ
+∞
−∞
∗
ψm
(x) f (x)
dx =
∞
X
cn
ˆ
+∞
−∞
n=1
∗
ψm
(x)ψn (x) dx
(4.38.2)
ergibt. Die beiden Funktionen sind zueinander orthogonal; alle Funktionen sind
normiert, woraus
ˆ
+∞
−∞
∗
ψm
(x) f (x)
dx =
∞
X
cn δmn = cm
(4.38.3)
n=1
folgt.
En
• Stationäre Zustände sind zeitlich unabhängig. Sei Ψn (x, t) = ψn (x)e−i ~ t die
Wellenfunktion des nten Zustands, dann ist die Wahrscheinlichkeitsdichte
2
|Ψ(x, t)| =
ˆ
+∞
−∞
ψn∗ (x)ei
En
t
~
ψn (x)e−i
En
t
~
dx,
(4.39)
in der, wie man leicht sieht, die zeitlichen Faktoren herausfallen, so daß
2
|Ψ(x, t)| =
ˆ
+∞
−∞
ψn∗ (x)ψn (x) dx
(4.40)
übrigbleibt.
4.6 Kontinuitätsgleichung
Aus der Elektrodynamik ist uns die Kontinuitätsgleichung
∂ρ
+∇·j =0
(4.41)
∂t
bekannt: Die Ergiebigkeit der Stromdichte beim Durchströmen durch etwa einen
Würfel ist gleich der negativen Zeitableitung der Stromdichte (Abb. 4.3).
Diese Gleichung ist eine differentielle Form des Satzes von der Ladungserhaltung.
Um das zu beweisen, integrieren wir Gl. (4.41) über den Raum
ˆ
ˆ
∂ρ 3
d x + ∇ · j d3 x = const.
(4.42)
∂t
Da wir über den Raum integrieren, können wir die Zeitableitung vor das Integral ziehen. Wenden wir den Gaussschen Satz an, können wir das Volumen- in ein
Oberflächenintegral umwandeln:
ˆ
˛
d
3
ρ d x + j · dS = const.
(4.43)
dt
4.6 Kontinuitätsgleichung
129
(x+Dx,y + Dy,z)
1
Dy
(x,y,z + Dz)
2
Dz
Dx
(x,y,z)
(x + Dx,y,z)
Abb. 4.3. Zum Gaussschen Theorem und zur Kontinuitätsgleichung. Eine Flüssigkeit
strömt durch die Flächen 1 und 2 in x-Richtung von negativen x zu positiven x durch
einen Würfel. Wie groß ist die Ergiebigkeit des Quellengebiets (wieviel Flüssigkeit kommt
also hier dazu)? Das ist die zeitliche Änderung der Teilchenzahldichte. Für eine inkompressible Flüssigkeit ohne Senke und Quellen ist die Summe aus beiden Null.
Im Unendlichen verschwinden sowohl Ladungen wie Ströme, damit wird das Oberflächenintegral Null, und es bleibt der Ladungserhaltungssatz:
ˆ
e0 = ρ d3 x = const.
(4.44)
Wie sieht das nun im Quantenbild aus?
Im Kap. 3 haben wir gesehen, daß eine Wellenfunktion Ψ(x, t) quadratintegrabel
sein muß, d. h. ihr Linien- oder Raumintegral muß zu jedem Zeitpunkt t normierbar
sein:
ˆ
+∞
−∞
|Ψ(x, t)|2 dx = 1.
(4.45)
Was heißt zu jedem Zeitpunkt“? Da hier die Zeitabhängigkeit eines Zustandes
”
untersucht wird, müssen wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung benutzen;
den ortsabhängigen Anteil lassen wir als konstant nach Gl. (4.49) weg:
~∂
~2 ∂ 2
−
Ψ(x, t) = −
+ V (x, t) Ψ(x, t),
(4.46)
i ∂t
2m0 ∂x2
etwas umgeschrieben
i~ ∂ 2
i
∂
Ψ(x, t) − +
− V (x, t) Ψ(x, t) = 0;
∂t
2m0 ∂x2 ~
das konjugiert-komplexe Pendant sieht so aus:
~2 ∂ 2
~∂ ∗
Ψ (x, t) = −
+ V (x, t) Ψ∗ (x, t),
2
i ∂t
2m0 ∂x
(4.47)
(4.48)
130
4 Wellenmechanik
umgeschrieben
∂ ∗
Ψ (x, t) +
∂t
i
i~ ∂ 2
− V (x, t) Ψ∗ (x, t) = 0;
2m0 ∂x2 ~
Multiplikation von (4.47) mit Ψ∗ (t) und von (4.49) mit Ψ(t) liefert
i~ ∂ 2
i
∂
∗
∗
− V Ψ(t) = 0;
Ψ (t) Ψ(t) − Ψ (t) +
∂t
2m0 ∂x2 ~
(4.49)
(4.50)
umgeschrieben
∂
Ψ(t) Ψ∗ (t) + Ψ(t)
∂t
i
i~ ∂ 2
− V
2
2m0 ∂x
~
Ψ∗ (t) = 0.
(4.51)
Bei Addition von (4.50) und (4.51) unter doppelter Berücksichtigung der Produktregel
folgt
∂ ∗
i~
[Ψ (t) Ψ(t)] +
∇ [Ψ(t)∇Ψ∗ (t) − Ψ∗ (t)∇Ψ(t)] = 0.
∂t
2m0
(4.52)
Wenn wir diese Gleichung mit der Kontinuitätsgleichung (4.41) vergleichen und weiters berücksichtigen, daß ρ = e0 n mit n der Teilchenzahldichte, die hier ja gleich der
Wahrscheinlichkeitsdichte Ψ∗ (t)Ψ(t) ist, also
ρ = e0 Ψ∗ (t)Ψ(t),
(4.53)
in dem wir den ersten Summanden der Gl. (4.52) erkennen, dann finden wir für die
Stromdichte, wenn wir den zweiten Summanden mit e0 multiplizieren,
j=
ie0 ~
[Ψ(t)∇Ψ∗ (t) − Ψ∗ (t)∇Ψ(t)] .
2m0
(4.54)
Nach Gl. (4.53) ist die Ladung e0 eine Erhaltungsgröße, und ihre Verteilung
über den Raum, die Ladungsträgerdichte, wird über die Wahrscheinlichkeitsdichte
|Ψ∗ (t)Ψ(t)| beschrieben. Die Änderung von |Ψ∗ (t)Ψ(t)|, der Wahrscheinlichkeitsstrom
durch die das Volumen begrenzende Oberfläche, wird aber mit (4.54) beschrieben.
Mit der Analogie zwischen der für Ladungen oder eine inkompressible Flüssigkeit
geltenden Kontinuitätsgleichung stellen wir fest, daß die Wahrscheinlichkeit weder
erzeugt noch vernichtet werden kann. Sie kann sich in einem Volumen nur dadurch
ändern, indem sie hinaus- bzw. hineinfließt.
4.6.1 Monochromatische Welle
Für die monochromatische Welle mit
E
Ψ(t) = Ψ0 e−i ~ t
ergeben sich eine Ladungsdichte von
(4.55)
4.7 Die Schrödinger-Gleichungen
131
ρ = e0 Ψ∗ (t) Ψ(t)
(4.56)
und eine Stromdichte von
j=
ie0 ~
[Ψ(t)∇Ψ∗ (t) − Ψ∗ (t)∇Ψ(t)] :
2m0
(4.57)
die beide zeitunabhängig sind.
Weiters finden wir, daß für reelle Wellenfunktionen Ψ(t) = Ψ∗ (t) die Stromdichte
immer verschwindet.
4.6.2 Ebene Welle
Diese Wellenfunktion beschreiben wir mit
1 i
ψ = √ e ~ p·r .
L3
(4.58)
Setzen wir diesen Ausdruck für Ψ in die Gln. (4.53) und (4.54) ein, finden wir für
Ladungs- und Stromdichte:
1
e0 ,
L3
(4.59)
e0
p = ρv :
m 0 L3
(4.60)
ρ = e0 Ψ∗ Ψ =
j=
Die Ladungsdichte ist gleich der Größe dieser Ladung, dividiert durch das gesamte
Volumen bei gleichmäßiger Verteilung; und die Stromdichte können wir mit dem
Ausdruck, den wir aus der klassischen Elektrodynamik her kennen, beschreiben.
4.6.3 Elektron im Kasten
Hier verschwindet die Stromdichte im Potentialtopf, denn die Schwingungen des Elektrons werden mit reellen Wellenfunktionen beschrieben und sind stehende Wellen.
Stehende Wellen erzeugen aber keinen Teilchenstrom.
4.7 Die Schrödinger-Gleichungen
4.7.1 Eigenzustand mit einer Eigenfunktion
In den Abschnitten 4.2 und 4.3 haben wir die beiden Schrödinger-Gleichungen
eingeführt. Wir sahen, daß
• das Volumenintegral über das Quadrat der Wellenfunktion bzw. das Produkt
mit ihrem konjugiert-komplexen Pendant als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden kann, das Elektron in einem bestimmten Volumen anzutreffen;
132
4 Wellenmechanik
• die Quantenzustände, auch Eigenzustände genannt, durch Wellenfunktionen beschrieben werden können, und
• je nach Potentialfunktion ein Hamilton-Operator definiert werden kann, zu
dem ein Satz von Eigenfunktionen gehört, mit denen die Eigenwerte der Energie
des Systems bestimmt werden können.
• Zur Untersuchung zeitunabhängiger Phänomene reicht die zeitunabhängige
Schrödinger-Gleichung aus, zeitabhängige Phänomene erfordern dagegen die
Behandlung mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung.
Sehen wir uns dazu das Wasserstoffatom an, das im Grundzustand durch einen
einzigen Zustand beschrieben werden kann, also mit nur einer Wellenfunktion. Diese
habe einen zeitunabhängigen und einen zeitabhängigen Anteil:
r
E
E1
1 − 2ar
−i ~1 t
Ψ(x, t) = ψ1 (x)e
e 0 · e−i ~ t .
= 3
(4.61)
a0
In diesem Fall ist ψ(x) sogar reell, und bei der Multiplikation mit ihrem konjugiertkomplexen Pendant fällt der Zeitfaktor heraus. Das bedeutet, daß die Ladungsverteilung zeitlich konstant ist, vom elektrischen Standpunkt aus gesehen, die Ladungen also entweder statisch verteilt oder gleichförmig bewegt (konstante Ströme) sein
müssen, m. a. W. das Melonenmodell“ von J.J. Thomson wird wiederbelebt. Damit
”
ist das erste Bohrsche Postulat auf eine überraschende Weise erklärt.
Als nächstes untersuchen wir für Wasserstoff mit Gl. (4.61) die Bestimmung der
Energie des einzigen Eigenzustandes in seinem Grundzustand, und dazu stellen wir
die Schrödinger-Gleichung auf:
−
i
E1
E1
~∂
ψ1 (x)e−i ~ t = Hψ1 (x)e−i ~ t ,
i ∂t
(4.62.1)
E1
E1
E1 ~
ψ1 (x)e−i ~ t = Hψ1 (x)e−i ~ t .
~ i
E1 ψ1 (x)e−i
E1
t
~
= Hψ1 (x)e−i
E1
t
~
(4.62.2)
.
(4.62.3)
Der nächste Schritt besteht im Multiplizieren dieser Gleichung mit der konjugiertkomplexen Funktion von links:
ψ1∗ (x)ei
E1
t
~
E1 ψ1 (x)e−i
E1
t
~
= ψ1∗ (x)ei
E1
t
~
Hψ1 (x)e−i
E1
t
~
,
(4.63)
Der Hamilton-Operator besteht aus einem Anteil für die kinetische Energie und
einem für die potentielle Energie. Sind beide nicht zeitabhängig, kann man den
E1
zeitabhängigen Anteil von Ψ1 (x, t) = ψ(x)e−i ~ t vor den Operator ziehen und gegen die linke Seite kürzen:
E1 ψ1∗ (x)ei
und es bleibt
E1
t
~
ψ1 (x)e−i
E1
t
~
= ei
E1
t
~
e−i
E1
t
~
ψ1∗ (x)Hψ1 (x),
(4.64)
4.7 Die Schrödinger-Gleichungen
133
E1 ψ1∗ (x)ψ1 (x) = ψ1∗ (x)Hψ1 (x)
(4.65)
übrig. Zur Bestimmung der Eigenwerte der Energie eines stabilen Systems ohne Zeitabhängigkeit reicht die Anwendung der zeitunabhängigen SchrödingerGleichung aus. Die Wahrscheinlichkeitsdichten ergeben sich aus den Quadraten der
Wellenfunktionen ψi ; für den Fall des Elektrons im Kasten“ ist dies für die beiden
”
ersten Wellen in Abb. 4.4 gezeigt.
1.0
y, y2
0.5
0.0
y1
y2
y12
y22
-0.5
-1.0
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Abb. 4.4. Die Wahrscheinlichkeitsdichte stationärer Zustände ist unabhängig von der
Zeit.
rel. Position
Die Antworten für das Wasserstoffatom finden sich in den Aufgaben zum Kap. 4.
4.7.2 Eigenzustand mit zwei Eigenfunktionen
Da die Eigenfunktionen zueinander orthogonal sind, ergibt die Ermittlung der Eigenwerte der Energie für einen Eigenzustand, der aus einem Gemisch zweier Eigenfunktionen Ψ1 (x, t) und Ψ2 (x, t)
Ψ(x, t) = C1 Ψ1 (x, t) + C2 Ψ2 (x, t)
(4.66)
mit C1 , C2 den Mischungskoeffizienten durch Superponierung gebildet wird, zwei Eigenwerte E1 und E2 . Damit ist die Wahrscheinlichkeit, daß der Eigenwert E1 beobachtet wird,
W1 =
c21
c21 + c22
(4.67)
und vice versa. Die Wahrscheinlichkeitsdichte für ein Elektron hängt aber im Gegensatz zu einem stationären Zustand sehr wohl von der Zeit ab (Abbn. 4.5 + 4.6). Zeigen
wir dies für das Elektron im Kasten“, dessen erste Harmonische eine Wellenfunktion
”
bilden sollen mit
E1 =
h2 2
h2 2
1
∧
E
=
2,
2
8m0 a2
8m0 a2
(4.68)
134
4 Wellenmechanik
woraus sich für die Wellenfunktion
Ψ(x, t) = C1 Ψ1 (x, t) + C2 Ψ2 (x, t),
(4.69)
im speziellen
π π −iω1 t
Ψ(x, t) = C1 ψ0,1 sin 1 x e
+ C2 ψ0,2 sin 2 x e−iω2 t
(4.70)
a
a
ergibt. Damit ergibt sich für dieWahrscheinlichkeitsdichte Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) mit den
Abkürzungen ψi (x) = ψ0,i sin πa x = ψi
Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = C12 ψ12 + C1 C2 ψ1 ψ2 ei(ω2 −ω1 )t + C1 C2 ψ1 ψ2 e−i(ω2 −ω1 )t + C22 ψ22 , (4.71)
und in den beiden mittleren Termen erkennen wir die Cosinus-Funktion, die die beiden
ortsabhängigen Funktionen moduliert:
Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = C12 ψ12 + 2(C1 C2 ψ1 ψ2 ) cos(ω2 − ω1 )t + C22 ψ22 ,
(4.72)
die Wahrscheinlichkeitsdichte oszilliert mit der Zeit.
1.0
Y, Y2
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
sin (k 1 x)
sin (k 2 x)
sin (k 1 x) sin (k2 x)
cos [(w2-w1)t]
1/4
2/4
a
3/4
4/4
Abb. 4.5.
Die Interferenz
zwischen zwei (stationären)
Eigenfunktionen ergibt eine
zeitabhängige Resultierende,
hier gezeigt für das Elektron
”
im Kasten“, für die 1. und
2. Harmonische, die mit der
(zeitlichen) Cosinus-Funktion.
Das bedeutet, daß ein Teilchen eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besitzt, daß es
in beiden Zuständen gleichzeitig gefunden werden kann. Dieses Auftreten gemischter
Glieder führt
• zur Interferenz von Materiewellen (s. Kap. 2, Youngscher Versuch) und damit
• zur Lokalisierung von Materiewellen durch das Entstehen von Wellenpaketen, die eben durch Überlagerung monochromatischer, unendlich ausgedehnter
Wellen entstehen. Der dadurch begrenzte Raum wird über die de BroglieBeziehung mit der Lage des Teilchens in Beziehung gebracht.
Wie aus Gl. (4.71) ersichtlich, ändert das Interferenzglied nichts für die Bestimmung der (zeitunabhängigen) Eigenwerte der Energie, da die beiden Eigenfunktionen
zueinander orthogonal sind.
4.7 Die Schrödinger-Gleichungen
Phasenwinkel 0°
Phasenwinkel 45°
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
0.0
0.0
-0.5
-1.0
0
-0.5
Y(x) = sin (k1 x) sin (k2 x)
Y(t) = cos [(w2-w1)t]
Y(x) Y(t)
[Y(x) Y(t)]2
1/4
2/4
a
-1.0
3/4
4/4
0
Y,Y2
0.5
Y,Y2
Y, Y2
1.0
135
2/4
a
Y(x) = sin (k1 x) sin (k2 x)
Y(t) = cos [(w2-w1)t]
Y(x) Y(t)
[Y(x) Y(t)]2
-0.5
Y(x) Y(t)
[Y(x) Y(t)]2
Y(x) = sin (k1 x) sin (k2 x)
Y(t) = cos [(w2-w1)t]
1/4
Phasenwinkel 135°
-1.0
3/4
4/4
0
1/4
2/4
a
3/4
4/4
Abb. 4.6. Während die Eigenwerte der Energie nicht von der Zeit abhängen, ist die resultierende Wellenfunktion, und damit die Wahrscheinlichkeitsdichte, sehr wohl zeitabhängig,
hier gezeigt für drei verschiedene Zeiten eines Zyklus (a ist die Topfbreite).
Die Schlußfolgerung daraus ist teilweise trivial, führt aber andererseits zu erstaunlichen Konsequenzen: Wenn keine Messung durchgeführt wird, können wir auch keine
Aussage über das System treffen. Das System befindet sich dann aber nicht in einem
undefinierten Zustand, sondern in einem Zustand, der aus einer Überlagerung aller
möglichen Zustände besteht. In der abstrakten Welt der Quantenmechanik ist das
nicht so schlimm, aber der Bruch mit den Modellen der Vergangenheit wird bei der
Vergrößerung auf die reale Welt evident [13].
4.7.2.1 Schrödingers Katze. Schrödingers Katze befindet sich in einer Kammer, deren Atmosphäre durch die Freisetzung eines durch radioaktiven Zerfall entstehenden giftigen Gases für die Katze tödlich sein wird. Wir kennen die Halbwertszeit
des Elements genau. Da der radioaktive Zerfall absolut unabhängig von äußeren Einflüssen ist, kann die Katze nach einer bestimmten Zeit noch am Leben sein oder auch
nicht. Der Zustand ist also eine Überlagerung von tot“ und lebendig“, den wir mit
”
”
Gl. (4.66)
Ψ(x, t) = C1 Ψ1 (x, t) + C2 Ψ2 (x, t)
(4.66)
identifizieren, wobei Ψ1 den Status lebende Katze“ und Ψ2 den Status tote Katze“
”
”
beschreiben. Wir finden also einen eklatanten Widerspruch zur Wirklichkeit.
Die Lösung dieses Problems liegt darin, daß erst eine Messung das eine oder andere Ergebnis ergibt, aber evidentermaßen können nicht beide gleichzeitig beobachtet
werden, weder in einem makroskopischen noch in einem mikroskopischen System. Diese Messung entspricht in der sog. Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik, daß
Ψ kollabiert, entweder in den einen Zustand, der durch Ψ1 mit der Wahrscheinlichkeit
[C1 /(C1 + C2 )]2 beschrieben wird, oder eben den anderen Zustand mit Ψ2 , der mit
der Wahrscheinlichkeit [C2 /(C1 + C2 )]2 eingenommen wird.
Heute wird dieses Phänomen mit der sog. Dekohärenz erklärt: Das makroskopische ist nie isoliert, sondern wechselwirkt immer mit der Umgebung. Objekte und
auch Systeme, die mit der Schrödinger-Gleichung beschrieben werden, sind aber
abgeschlossen (s. a. [14]).
136
4 Wellenmechanik
4.7.2.2 Die spukhafte Fernwirkung. In einem 1935 erschienenen Aufsatz fragten
Albert Einstein, Nathan Rosen und Boris Podolsky, ob die Quantenmechanik nur eine unvollständige Beschreibung physikalischer Probleme liefern könne.
Ihr Beispiel beruht auf folgender Annahme: Bei einem Experiment stoßen zwei
Teilchen zusammen und fliegen danach auseinander. Bekannt ist der Gesamtimpuls
p, jedoch sind die beiden Impulse p1 und p2 unbestimmt. Gleiches gilt für den Vektor
r = q 1 − q 2 der relativen Lage der Teilchen zueinander. Wenn der Impuls p1 des
Teilchens 1 gemessen wird, ist damit gleichzeitig der Impuls p2 bestimmt. Gleiches
gilt für die Koordinaten.
• Sind Ort und Impuls der zweiten Partikel davon abhängig, was an der ersten
Partikel gemessen wird? Ist die Information am zweiten Meßpunkt instantan
erhältlich?
• Mißt man am zweiten Ort den Impuls und am ersten den Ort oder umgekehrt,
dann sind offenbar beide Größen absolut bestimmbar.
Die Antwort darauf ist:
• Die Impulswerte des Teilchens 2 liegen seit dem Stoß fest, genau wie die des
Teilchens 1. Die Messung macht diese Werte nur manifest. Eine Größe, die
bestimmt gemacht werden kann, kann aber ihren Wert erst bei der Messung
offenbaren, nicht vorher.
• Die Apparatur zur Messung des Impulses ist natürlich eine andere als die, mit
der der Ort des Teilchens gemessen wird. Wird in Abb. 4.7 (Wiederholung
von Abb. 2.6) der Schirm direkt hinter den Schlitzen befestigt, ist eine genaue
Ortsmessung möglich, aber keine Impulsmessung und vice versa.
4.8 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 4.1 Was sind die Eigenwerte der Funktion ekn x für den Differentialoperator?
Lösung.
d kn x
e
= kn ekn x :
dx
(1)
Die Eigenfunktionen ekx besitzen für den Differentialoperator die Eigenwerte kn =
nk0 .
4.8 Aufgaben und Lösungen
137
Abb. 4.7. Beugungsbilder von Elektronen nach Passieren des Youngschen Doppelspalts.
Lks.: Beide Schlitze offen, re.: konsekutive Messung, jeweils nur ein Schlitz offen.
Aufgabe 4.2 Normieren Sie die Sinusfunktion eines Elektrons im Kasten mit un”
endlich hohen Wänden“!
Lösung.
1=
ˆ
L
|ψ0 |2 sin2
0
2
1 = |ψ0 |
Substitution von z =
nπ
x
L
ˆ
L
sin2
0
nπ
x dx.
L
(1)
nπ
x dx.
L
(2)
ergibt
L
1 = |ψ0 |
nπ
2
ˆ
sin2 z dz,
(3)
dessen Lösung elementar ist:
L
cos z sin z z
1 = |ψ0 |
+
−
,
nπ
2
2
L
nπx
cos nπx
sin
nπx
2 L
L
L
.
+
1 = |ψ0 |
−
nπ
2
2L 0
2
(4)
(5)
Der erste Term in der Klammer verschwindet, da sin nπ = 0, und es folgt
L
1 = |ψ0 |2 .
2
(6)
Also ist der Normierungsfaktor
r
ψ0 = ±
2
.
L
(7)
138
4 Wellenmechanik
Aufgabe 4.3 Ermitteln Sie den Erwartungswert des Ortes für ein Elektron im Potentialtopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden für die nte Mode mit der
quantenmechanischen Methode und der Normierung aus der vorherigen Aufgabe!
Lösung.
pψn = pψn
(1)
x=x
(2)
ψn = ψ0 sin
< x >=
ψ02
< x >=
ˆ
L
sin
0
ψ02
ˆ
0
nπx
L
(3)
nπx
nπx
x sin
dx
L
L
L
x sin2
(4)
nπx
dx.
L
(5)
Das Integral ist etwas kompliziert, die Stammfunktion ist
ˆ
x2 x sin(2ax) cos(2ax)
−
−
.
x sin2 (ax) dx =
4
4a
8a2
"
#L
2nπx
cos
2 x2 x sin 2nπx
L
L
< x >=
−
−
.
nπ 2
L 4
4 nπ
8
L
L
(6)
(7)
0
In der Differenz sind die Sinusterme bei L und bei 0 beide Null, dagegen die
beiden Cosinus-Terme beide Eins, so daß
"
#
2 L2
1
L
1
< x >=
−
(8)
=
+
2
2
nπ
L 4
2
8 nπ
8
L
L
übrigbleibt: Der Erwartungswert ist in der Kastenmitte!
Aufgabe 4.4 Bestimmen Sie die Eigenwerte der Energie für ein O2 -Molekül in einem
5 m langen Raum!
Lösung. Mit dem Ansatz aus den vorherigen Aufgaben und der Masse eines O2 Moleküls
m O2 =
wird mit der Kastenkonstante
32 g
= 5, 4 · 10−26 kg
0, 6 · 1024
h2
8 m a2
(1)
= 4, 0 · 10−44 J
n2 · 4, 0 · 10−44 J.
Bei 300 K ist kB T ≈ 1/40 eV oder 4, 4 · 10−21 J, womit sich für n2
(2)
4.8 Aufgaben und Lösungen
139
n2 =
bzw. für die Wurzel
44 · 10−22
= 11 · 1022
−44
4 · 10
(3)
n = 3, 3 · 1011
(4)
10
2L
=
m
n
3, 3 · 1011
(5)
ergeben. In die Raumlänge von 5 m passen dann mit L = 1/2 nλ
λ=
oder
λ = 33 pm
(6)
1, 5 · 1011 Perioden. Ein Graph, gezogen mit schwarzer Tinte, würde also die Schwärze
des Schwarzen Strahlers in den schwarzen Schatten stellen. Der Durchmesser eines
O2 -Moleküls ist aber etwa 3,2 Å = 320 pm, also das Zehnfache der ausgerechneten
Wellenlänge! Damit ist die Lage eines O2 -Moleküls vollständig beliebig. Rufen Sie
sich in Erinnerung, daß kB T ein statistisch definierter Wert für eine MB-Verteilung
ist!
Der Test über die Formel von de Broglie ergibt ebenfalls
λ=
h
h
=p
p
2mO2 E
(7)
λ = 30 pm, die Länge einer Wellengruppe.
Aufgabe 4.5 Zeigen Sie mit dem üblichen quantenmechanischen Verfahren zur Bestimmung der Eigenwerte der Energie, daß die Funktionen
1
1
ψn = √ sin nϑ ∧ ϕn = √ cos nϑ
π
π
(1)
die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators für die Bahnbewegung eines Elektrons
sind, das sich auf einem Kreis mit Radius a in einem konstanten Potential bewegt
(Modell des Starren Rotators).
• Wie ist die Abhängigkeit der Eigenwerte von der Quantenzahl n?
• Wie sehen die Eigenwerte für n = 0 aus? Vergleichen Sie mit dem Elektron im
”
Kasten“! Was bedeutet das für die kinetische Energie, den Impuls, den Ort?
• Wie ist die Periodizität der Eigenfunktionen?
• Sind die beiden Funktionen gleich viel wert“?
”
• Wie bezeichnet man die Eigenschaft, daß zu einem Eigenwert mehrere Eigenfunktionen gehören?
140
4 Wellenmechanik
Lösung.
Einsetzen der Eigenfunktionen in die Schrödinger-Gl. führt zu
2
1
~2
n
√ sin nϑ = 0.
Eψ = Hψ ⇒ E √ sin nϑ −
2me
π
π
1
~2 2
√ sin nϑ E −
n = 0.
2me
π
(2)
(3)
Eine andere Lösung ergibt sich mit der Cosinus-Funktion. Beide führen zum selben
Eigenwert der Energie mit der Abhängigkeit En ∝ n2 . Der ist also zweifach entartet.
Aus Gl.(3) geht hervor, daß die Periodizität von ψ 2π ist:
ϑ = ϑ + 2π :
(4)
ψ = ψ0 sin(ϑ + 2π) = ψ0 sin(ϑ),
(5)
denn die Sinusfunktion verschwindet alle 2π. Dies ist also nur dann der Fall, wenn n
eine ganze Zahl ist.
Die Lösung von (3) ist aber auch für n = 0 definiert, im Gegensatz zum Elektron
”
im Kasten“. Da Epot = const und damit auf Null gesetzt werden kann, ist auch
Ekin = 0 → p = 0. Wenn p = 0, ist der Ort
∆p∆x ≥ ~ ⇒ ∆x =
∆p
= ∞.
~
(6)
→ ∞. Egal, wie klein oder groß das
In unserem Fall bedeutet das, daß ∆ϑ = ∆x
a
Argument ist, der Sinus schwankt nur zwischen −1 und +1. Wir können also nicht
sagen, in welchem Winkelsegment sich das Elektron gerade aufhält.
Aufgabe 4.6 Ermitteln Sie umgekehrt die Eigenwerte des starren Rotators, wenn
der Laplace-Operator in Polarkoordinaten gegeben ist durch
∂ψ
1 ∂2ψ
1 ∂
r
+ 2 2!
(1)
∆ψ =
r ∂r
∂r
r ∂ϕ
Lösung. Für den starren Rotator betrachten wir die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn (r = const), was die Gl. (1) wesentlich vereinfacht. Unsere
Eigenwert-Gl.
~2
∆ψn = En ψn
2m0
(2)
~2 ∂ 2 ψn
= En ψn ,
2m0 r2 ∂ϕ2
(3)
−
vereinfacht sich so zu
−
4.8 Aufgaben und Lösungen
141
wobei wir mr2 als Trägheitsmoment Θ identifizieren. Auflösung nach
DGl
∂ 2 ψn
∂ϕ2
2Θ En
∂ 2 ψn
= − 2 ψn = −k 2 ψn ,
2
∂ϕ
~
liefert die
(4)
die wir aus der Theorie der Schwingungen her kennen. Sie hat die Lösung
ψ = A · sin kϕ + B · cos kϕ.
(5)
Aus der Randbedingung ψ(0) = 0 folgt B = 0, aus der Periodizitätsbedingung ψ(ϕ +
2π) = ψ(ϕ) folgt
A sin kϕ = A sin(kϕ + 2π) = A[sin kϕ cos 2πk + cos kϕ sin 2πk].
(6)
Diese Gleichung muß für alle ϕ gelten. Wir testen das an den ausgezeichneten Werten
für die Argumente kϕ = 0 ∨ 1/4 π und kϕ = 1/2 π:
1. kϕ = 0 :
[sin kϕ cos 2πk + cos kϕ sin 2πk] = 0 :
(7)
Die beiden Sinus-Terme sind 0.
2. kϕ = 1/4 π:
π
π
1
= cos = √ :
4
4
2
(8)
1
1
π
= √ = √ (cos 2πk + sin 2πk) ⇒
4
2
2
(9)
sin
sin
1 = cos 2πk + sin 2πk.
(10)
sin 2πk ist für alle ganzzahlige k Null, und cos 2πk ist für alle ganzzahligen k
Eins, also
k = 0, 1, 2, . . .
(11)
3. kϕ = 1/2 π:
π
π
= 1 ∧ cos = 0 :
2
2
(12)
π
= 1 = 1 · cos 2πk + 0 · sin 2πk) ⇒
2
(13)
sin
sin
1 = cos 2πk.
(14)
cos 2πk ist für alle ganzzahligen k Eins, also
k = 0, 1, 2, . . .
(15)
142
4 Wellenmechanik
Damit ist
ΘEn
~2 2
k .
∨
E
=
n
~2
2Θ n
Quantenmechanisch ergeben sich die Eigenwerte der Energie zu
kn2 =
En =
~2
kn (kn + 1),
2Θ
(16)
(17)
und man schreibt statt kn J.
Aufgabe 4.7 Bestimmen Sie mit der Eigenwertgleichung aus der vorherigen Aufgabe die Energieeigenwerte der Rotation für das O2 -Molekül um eine Achse senkrecht
und parallel zur Bindung bei RT (Bindungslänge ist 2,6 Å)! Für die Kerndichte
verwenden Sie den Wert, den Sie aus Gl. (8) der Aufgabe 2.35 für den klassischen
Elektronenradius errechnen!
Lösung.
Die Masse eines Sauerstoffmoleküls ist
m O2 =
32 g
= 5, 4 · 10−26 kg
0, 6 · 1024
(1)
Einsetzen von r = 1, 3 Å in die Gl. (17) ergibt ein Θ von 8, 96 · 10−46 kg m2 und
damit
~2
= J(J + 1) · 3, 6 · 10−23 J.
(2)
2Θ
Da die thermische Energie bei RT etwa 4, 14 · 10−21 J beträgt, wird für J(J + 1) ≈
115 oder J ≈ 11: bei RT ist diese Rotation voll angeregt.
Im zweiten Fall ist der Radius nicht mehr der halbe Bindungsabstand, sondern
nur noch der Kerndurchmesser. Ein Sauerstoffatom wiegt 2, 7 · 10−26 kg, und aus Gl.
(8) der Aufgabe 2.35 ermitteln wir einen Wert für das Volumen eines Elektrons von
91, 95 · 10−45 m3 . Damit ergibt sich eine Dichte von 1 · 1013 kg/m3 . Die Masse des
Sauerstoffatoms ist 16 · 1826 = 29 216 mal größer als die des Elektrons, also ist sein
Volumen 6, 41 · 10−40 m3 und damit der Radius der Kernkugel 86, 24 · 10−15 m (man
kann auch einfacher das Massenverhältnis nehmen und die dritte Wurzel ziehen). Also
ist in diesem Falle Θ
EJ = J(J + 1)
Θ = 2 · 2, 7 · 10−26 · 7437 · 10−30 kg m2 = 4, 02 · 10−52 kg m2 ,
(3)
und damit der erste Energieeigenwert zu
43, 9 · 10−68
= 0, 28 · 10−16 J.
(4)
8π 2 · 4 · 10−52
Da die thermische Energie bei RT etwa 4, 14 · 10−21 J beträgt, ist das ein Verhältnis
von 6 700. Die Temperatur müßte also 6 700 · 300 = 2, 01 · 106 K betragen, um diese
Rotation anzuregen.
E(J = 1) = 1 · 2 ·
4.8 Aufgaben und Lösungen
143
Aufgabe 4.8 Ermitteln Sie den Erwartungswert des Impulses für ein Elektron im
Potentialtopf der Länge L mit unendlich hohen Wänden für die nte Mode mit der
quantenmechanischen Methode. Machen Sie dasselbe für ein freies Quantenteilchen,
das als eindimensionale ebene Welle mit dem Wellenvektor kx unterwegs ist. Kommentieren Sie das Ergebnis!
Lösung.
pψn = pψn
~
∇
i
p=
ψn = ψ0 sin
~ nπ 2
< p >=
ψ
i L 0
ˆ
L
sin
0
~ nπ L 2
ψ
< p >=
i L nπ 0
Das Integral wird von 0 bis L genommen:
ˆ
(1)
(2)
nπx
L
(3)
nπx
nπx
cos
dx
L
L
(4)
L
sin z d sin z dz
(5)
0
L
~ 2
2 nπx (6)
< p >= ψ0 sin
,
2i
L 0
das Integral ist Null: alle Werte zwischen −π und π sind gleich wahrscheinlich. Das
bedeutet: die nach rechts propagierende und die nach links propagierende Welle sind
gleich stark. Die Gleichung muß noch normiert werden,
r
ˆ L
2
2
2 nπx
dx ⇒ ψ0 =
.
(7)
1=
|ψ0 | sin
L
L
0
Für eine ebene Welle mit dem Wellenvektor kx , die sich mit einer konstanten
Geschwindigkeit vPh = ωk bewegt, sieht das aber so aus:
ψx = ψ0 eikx x ,
(8)
und es gibt keine Randbedingungen, das Teilchen kann eine beliebige Energie haben.
In den Grenzen zwischen −∞ und +∞ zeigt sich: eine ebene Welle ist unendlich
ausgedehnt und damit nicht quadratisch integrabel!
ˆ +∞
2
< px >= ~ · kx ψ0
e−ikx x eikx x dx,
(9)
−∞
< px >= ~ · kx x|∞
−∞ :
(10)
Ein freies Teilchen kann nicht in einem (gebundenen) stationären Zustand sein. Diese
Überlegung zeigt, daß ein prinzipiell endlich ausgedehntes Teilchen nicht als ebene
Welle beschreibbar ist, sondern nur als Wellenpaket.
144
4 Wellenmechanik
Um dieses Problem zu lösen, verwenden wir die Gleichung für den Wahrscheinlichkeitsstrom (4.54)
ie0 ~
[Ψ(t)∇Ψ∗ (t) − Ψ∗ (t)∇Ψ(t)] ,
(4.54)
2m0
den wir als Stromdichte aus der Elektrodynamik in Erinnerung haben. Mit Gl. (8) ist
j=
ψ ′ = ikx ψ ∧ ψ ∗,′ = −ikx ψ ∗ ,
(11)
ie0 ~
[−2ikx Ψ(t)Ψ∗ (t)] ,
2m0
(12)
damit für die Stromdichte
j=
was aber mit
ρ = Ψ(t)Ψ∗ (t)
~ kx
ρ
m0
ergibt. Damit ist die Normierungsbedingung
j=
ρ = jv = j
m0
,
~ kx
(13)
(14)
(15)
bzw. aus (13)
ˆ
+∞
3
ρd x =
−∞
ˆ
+∞
Ψ(t)Ψ∗ (t) d3 x = e0 = const,
(16)
−∞
also normierbar. Damit wird aus (10)
< px >= ~ · kx x|∞
−∞ = ~kx .
(17)
Aufgabe 4.9 Hat das Teilchen im Kasten bzw. als ebene Welle einen Eigenwert des
Impulses?
Lösung. Damit das der Fall ist, darf der Erwartungswert nicht der Mittelwert sein,
sondern muß einen speziellen Wert, eben den Eigenwert, haben, und die Eigenwertgleichung
pψn = pψn
(1)
muß erfüllt sein. Für das Elektron im Kasten“ sind das wg. der Randbedingung, daß
”
die Amplitude ψ bei x = 0 und x = L beidesmal verschwinden muß, die Sinusfunktion,
bei der ebenen Welle die Exp.-Funktion mit imaginärem Argument. Elektron im
”
Kasten“:
pψn =
~ ∂
nπx
~ nπ
nπx
sin
=
cos
:
i ∂x
L
i L
L
(2)
4.8 Aufgaben und Lösungen
145
Es handelt sich nicht um eine Eigenwertgleichung, denn die Sinusfunktion hat sich
nach der Operation in die Cosinusfunktion geändert. Damit ist der Erwartungswert
kein Eigenwert.
Für die ebene Welle gilt
~ ∂ ikn x ~
e
= ikn eikn x = ~kn eikn x :
(3)
i ∂x
i
Ja, bzgl. des Differentialoperators ist die Exp.-Funktion eine Eigenfunktion und liefert
die mit kn gerasterten Eigenwerte des Impulses.
pψn =
Aufgabe 4.10 Warum hat das Elektron im s-Zustand keinen Bahndrehimpuls?
Lösung. Der Drehimpuls ist klassisch
L2 = L2x + L2y + L2z
(1)
und nach der Bohrschen Theorie
L = n~, n = 1, 2, . . .
(2)
Damit hätte ein s-Elektron einen Bahndrehimpuls. Die Quantentheorie sagt: Der
Gesamtdrehimpuls ist
L=
p
l(l + 1)~,
(3)
für l = 0 (s-Elektron) also Null. Angenommen, Bohr hätte recht, dann wäre nach
Gl. (2)
L2 = ~2 ⇒ L = ~,
(4)
aber gleichzeitig nach Gl. (1) auch gleich der z-Komponente, da die beiden anderen
Null sein müßten, weil die Wurzel aus 1 wieder 1 ist. D. h. der gesamte Drehimpuls
und alle seine Komponenten wären scharf:
L = ~, Lx = 0, Ly = 0, Lz = ~,
(5)
damit sind alle Komponenten und der Gesamtwert scharf. Dieses Dilemma kann man
nur vermeiden, wenn der Gesamtdrehimpuls für die s-Bahn verschwindet, denn nur
dann ist er weder scharf noch unscharf. Etwas, was nicht existiert, kann man keinen
Wert zuordnen.
Für l = 1 gilt z. B.
q
p
√
1(1 + 1) = 2 = L2x + L2y + L2z = 1, 414.
(6)
Die Projektion in z-Richtung ist m~ = ~, die in x- oder y-Richtung aber auch. Wir
wissen aber nicht, in welche Richtung!
Daher ist für l = 0 1. Damit wären das Quadrat des Drehimpulses und seine
einzige(!) Komponente in z-Richtung scharf, was im Gegensatz zur Unschärferelation
146
4 Wellenmechanik
steht. Ein s-Zustand hat kein klassisches Analogon, und es gibt keine ihm entsprechenden Bohrschen Bahnen! Insbesondere war die Bohrsche Theorie gezwungen,
dem optischen s-Term Zustände mit l = 1 zuzuordnen, obwohl die Versuche eindeutig bewiesen, daß ein Elektron im s-Zustand kein mechanisches (und magnetisches)
Bahnmoment besitzt (s. z. B. Stern-Gerlach-Versuch).
Für alle anderen l, l = 3, 2, 1 sind 7, 5, 3, allgemein 2l + 1 Zustände möglich.
Aufgabe 4.11 In Kugelkoordinaten unter Vernachlässigung der winkelabhängigen
Anteile lautet die Schrödinger-Gleichung für das Kepler-Problem
~2 1 d
Ze20
2 dψ(r)
−
ψ(r) = Eψ(r).
(1)
r
−
2m r2 dr
dr
4πε0 r
Verifizieren Sie die Richtigkeit der 1s-Bahnfunktion mit
ψ100 = Ae−r/a0 .
(2)
Aufgabe 4.12 Zeigen Sie, daß der wahrscheinlichste Radius des 1s-Elektrons im
Wasserstoffatom der Bohrsche Radius ist! Verwenden Sie dabei die Funktion
s
1 −r/a0
ψ=
e
.
(1)
πa30
Lösung. Die (radiale) Wahrscheinlichkeitsdichte D(r) wird durch den Ausdruck
2
D(r) = Rnl
4πr2
(1)
mit
ψ100 = R100 =
s
1 −r/a0
e
πa30
(2)
bestimmt. Damit wird die Funktion, deren Maximum gesucht wird:
−2r
2 1
4πr
exp
.
πa30
a0
(3)
Abgeleitet:
−2r
2r · exp
a0
2
− r · exp
a0
2
r = a0 .
−2r
a0
= 0.
(4)
(5)
4.8 Aufgaben und Lösungen
147
Aufgabe 4.13 Der wahrscheinlichste Radius des 1s-Elektrons im Wasserstoffatom
ist der Bohrsche Radius. Was aber ist der Mittelwert? Die Wellenfunktion lautet
s
1 −r/a0
ψ100 =
e
.
(1)
πa30
Lösung. Es handelt sich um eine asymmetrische Funktion, ähnlich wie die MBVerteilung, für die der Mittelwert rechts vom Maximum, der häufigsten Geschwindigkeit, liegt:
s
1 −r/a0
e
.
(1)
ψ=
πa30
ˆ
< x >= ψ ∗ xψ d3 x.
(2)
< r >=
ˆ
2π
dφ
0
ˆ
π
ˆ
sin θ dθ
0
∞
0
1
< r >= 2 · 2π · 3
πa0
ˆ
0
∞
r2 r
1
−2r
dr.
exp
3
πa0
a0
r3 exp
−2r
dr.
a0
(3)
(4)
Dreifache Rekursion liefert einen Wert für das Integral von 83 a40 , was mit dem Quadrat
der Normierungskonstanten von (1)
3
(5)
< r >= a0 = 0, 79 Å
2
ergibt. Bei einer großen Zahl von Messungen wird der Erwartungswert gleich dem
Mittelwert der Messungen sein und 0, 79 Å betragen. Das ist der 1 1/2 fache Wert von
a0 . Dieser Wert ist der Beginn einer Folge von Werten, die nach Landau/Lifschitz
gegeben ist durch [15]:
< rn,l >=
1
3n2 − l(l + 1) .
2
(6)
Aufgabe 4.14 Erklären Sie an Hand der Schrödinger-Gleichung das Verhalten
der Wellenfunktion für unterschiedliche kinetische Energien von T = 0 bis T > V für
eine ebene Welle (E −→ p −→ λ)!
Lösung.
−
~2 2
∇ ψ + V (x)ψ = Eψ,
2m0
(1)
woraus sich für den Fall ebener Wellen eikx die Energieeigenwerte bei fehlender Ortsabhängigkeit des Potentials zu
148
4 Wellenmechanik
~2 kn2
En =
+ V,
2m0
(2)
ergeben, und was für die Wellenlänge geschrieben werden kann als (T = Ekin ):
h
h
λ= p
:
=√
2m0 T
2m0 (E − V )
V =0:λ=
h
.
p
(3)
(4)
0 ≤ V < E : λ steigt.
(5)
V = E : T = 0 ⇒ λ −→ ∞.
(6)
V > E : T < 0 ⇒ λǫℑ.
(7)
• Die zweite Ableitung der Wellenfunktion gibt die kinetische Energie.
• Verschwindet die kinetische Energie, findet ein Cutoff bei der Ausbreitung elektromagnetischer Strahlung statt (die Wellenlänge wird singulär).
• Für eine freie Materiewelle, bei der also V = 0 ist, ist die de BroglieBeziehung erfüllt.
Aufgabe 4.15 Der Eigenzustand eines Elektrons im Kasten der Topfbreite a mit
unendlich hohen Wänden wird durch die Wellengleichung
r
r
1
4
Ψ(x, t) =
ψ1,0 (x)ψ1 (t) +
ψ2,0 (x)ψ2 (t)
(1)
5
5
beschrieben. Bestimmen Sie unter der Annahme einer harmonischen Anregung
1. die Gesamtwellenfunktion (zeitabhängiger und zeitunabhängiger Anteil),
2. daraus die Eigenwerte für die Energie,
3. den Mittelwert der Energie und
4. die zeitliche Abhängigkeit bei t = 0, 1/2 π, π, 3/2 π, 2π (mit Skizze)!
5. Welche Energie wird tatsächlich gemessen?
Lösung.
1.
r r
r r
π E
π 4E
1 2
4 2
−i ~ t
sin 1 x e
sin 2 x e−i ~ t .
Ψ(x, t) =
+
5 a
a
5 a
a
(2)
4.8 Aufgaben und Lösungen
149
2.
Hψn = En ψn
(3)
Für die normierten Eigenfunktionen
ψn =
ergeben sich die Eigenwerte zu
r
nπ 2
sin
x
a
a
< n|H|n >= En < n|n >,
(4)
(5)
also
~ 2 n2 π 2
< n|n >,
2m0 a2
(6)
h2
h2
∧
E
=
4
.
2
8m0 a2
8m0 a2
(7)
En =
damit
E1 =
3.
1
4
E = E1 + (E2 = 4E1 ) = 3, 4 · E1 :
5
5
(8)
Die Messung liefert kein diffuses, sondern ein diskretes Ergebnis: mit 20 % Wahrscheinlichkeit (|c1 |2 ) wird E1 , mit 80 % Wahrscheinlichkeit aber E2 gemessen.
Die Wellenfunktion kollabiert mit der Wahrscheinlichkeit des Amplitudenfaktors ins Quadrat in einen Eigenzustand mit der entsprechenden Energie.
4. Um die Zeitabhängigkeit zu studieren, bilden wir die Wahrscheinlichkeitsdichte
ψψ ∗ aus
Ψ(x, t) =
was
r
1
ψ1,0 (x)ψ1 (t) +
5
r
4
ψ2,0 (x)ψ2 (t),
5
2
1 4
+ + 2 sin ψ1,0 sin ψ2,0 cos(ω1 − ω2 )t
5 5
5
(1)
(9)
ergibt, d. h. die Wahrscheinlichkeitsdichte oszilliert harmonisch mit der Kreisfrequenz ω1 − ω2 . Im vorliegenden Fall ist ω2 = 4ω1 , und bei den vorgeschriebenen
Positionen (um 1/2 π entfernt) ist die ortsabhängige Wellenfunktion zu multiplizieren mit 1, 0, −1, 0. In der Abb. 4.9 ist die Modulationsfunktion dargestellt, in
den Abbn. 4.10 die entsprechende Auswirkung auf den Interferenzterm der Gl.
(9) bei verschiedenen Phasenwinkeln, die etwas mehr hergeben“ als die Werte
”
0 und 1.
150
4 Wellenmechanik
cos (w1t)
1.0
-cos w
( 2t)
cos[(w1-w2)t]
Amplitude
0.5
Abb. 4.8. Der zeitabhängige Term
moduliert die beiden ortsabhängigen
Teile der Wellenfunktion mit einer
cos-Funktion, der Argument die Differenz der beiden Energien der stationären Zustände ω1 = E1 /~ und
ω2 = E2 /~ enthält.
0.0
-0.5
-1.0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Phasenwinkel
2.5
0.50
2.0
y(x)
2
y(x)
0.25
90°
270°
90°, square
270°, square
1.5
0.00
y, y2
y, y2
1.0
0.0
-0.5
-0.25
-0.50
0.00
0.5
-1.0
-1.5
0.25
0.50
rel. Position
0.75
1.00
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
rel. Position
Abb. 4.9. Der ortsabhängige (lks.) und der zeitabhängige Anteil der Gesamtwellenfunktion.
Zu den Zeiten t = 0 und t = 1/2 T ist die Amplitude Null, zu den Zeiten t = 1/4 T und t = 3/4 T
erhält man das rechte Bild.
Aufgabe 4.16 Bestimmen Sie den Mittelwert für 1r für das Wasserstoffatom. Bestimmen Sie damit die mittlere potentielle Energie. Die Wellenfunktion lautet
s
1 −r/a0
ψ100 =
e
.
(1)
πa30
Lösung.
ˆ
1
1
= ψ ∗ ψ d3 x.
x
x
ˆ 2π
ˆ π
ˆ ∞
1 1
−2r
1
=
dφ
sin θ dθ
r2
exp
dr.
3
r
r πa0
a0
0
0
0
(2)
(3)
4.8 Aufgaben und Lösungen
151
ˆ ∞
1
1
−2r
dr.
= 2 · 2π · 3
r exp
r
πa0 0
a0
(4)
Einfache Rekursion liefert einen Wert von 1, und damit für
1
1
:
=
r
a0
(5)
Damit ergibt sich für die mittlere potentielle Energie ein Wert von
< V >= −
e20
= −27, 2 eV.
a0
Allgemein gilt für den Mittelwert von 1r für die Kernladungszahl Z
1
Z
= ,
r
a0
(6)
(7)
Ze2
was mit der Bestimmungsgleichung für die potentielle Energie V = − r 0 einen Wert
2
2
für den Mittelwert von − (Zer0 ) ergibt. Da die Gesamtenergie ja durch E = − (Ze2r0 )
2
gegeben ist, bedeutet das, daß die mittlere kinetische Energie durch < T >= (Ze2r0 )
gegeben ist, womit das Virial-Theorem bestätigt wird.
Aufgabe 4.17 Zeigen Sie, daß mit der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung in
einem konservativen mechanischen System die Hamilton-Funktion zeitinvariant ist.
Lösung. Es soll gezeigt werden, daß für die Zeitumkehr t → −t
~∂
i
−i
~∂
−
exp (px − Et) = −
exp
(−px + Et) .
i ∂t
~
i ∂t
~
q.e.d.
~
−
i
i
−
~
i
~
i
i
E exp (px − Et) = −
−
E exp (px − Et)
~
i
~
~
(1)
(2)
152
4 Wellenmechanik
5 Störungsrechnung
Nach der Einführung der Störungsrechnung verwenden wir dieses Werkzeug,
um sie in der zeitabhängigen Form der Schrödinger-Gleichung auf dipolare Strahlungsvorgänge wirken zu lassen. Als Ergebnis erhalten wir die
Auswahlregeln der Spektroskopie.
5.1 Formalismus
Wir stören unser System, z. B. durch die Einwirkung eines dipolaren Wechselfeldes,
bei dem die Stärke des oszillierenden elektrischen Feldes sicher klein gegenüber den
elektrischen Feldern sind, wie sie in Atomen oder Molekülen herrschen. Das übliche Verfahren ist, die Eigenfunktionen des ungestörten Systems als Basis zur Bestimmung der Eigenfunktionen des gestörten Systems zu verwenden. Normalerweise
müssen die Eigenfunktionen der gebundenen und ungebundenen (Grund- und angeregter) Zustände berücksichtigt werden. Ist die Gleichung für den Grundzustand
(nichtentarteter Fall)
H0 ψ 0 = E 0 ψ 0
(5.1)
HΨ = EΨ
(5.2)
und die des gestörten Zustandes
mit
Ψ = ψ 0 + ψ ′ + ψ ′′ + . . . , c = c0 + c′ + c′′ + . . . , E = E 0 + E ′ + E ′′ + . . . .
Wir entwickeln die Funktion Ψ nun nach den Funktionen ψn0 :
X
Ψ=
cn ψn0 .
(5.3)
(5.4)
n
Ist nach Voraussetzung die Störung klein, wird der Hamilton-Operator aufgespaltet in den für das ungestörte System und einen Störungsterm, d. h. der neue
Eigenwert des Systems ist E = E 0 + E ′ und der neue Hamilton-Operator ist
H = H0 + H′ .
153
(5.5)
154
5 Störungsrechnung
und wir erhalten
(H0 + H′ )Ψ = EΨ
(5.6.1)
bzw. mit Gl. (5.4)
X
cn (H0 + H′ )ψn0 =
n
X
cn Eψn0 .
(5.6.2)
n
Bilden wir jetzt zur Bestimmung der Eigenwerte nach der Gleichung
Ei =< i|H|i >
(5.7)
0∗
• von links das Produkt mit der konjugiert-komplexen Wellenfunktion ψm
,
• das Volumenintegral und beachten die
• Orthonormalitätsbedingung,
bekommen wir als Lösung
X
cn Hmn = cm E.
(5.8)
n
• Linke Seite: Das Matrixelement Hmn ist
Hmn =< m0 |(H0 + H′ )|n0 >,
(5.9)
aufgelöst
′
Hmn =< m0 |H0 |n0 > + < m0 |H′ |n0 >= En0 δmn + Hmn
,
(5.10)
′
=< m0 |H′ |n0 >
Hmn
(5.11)
wobei
das Matrixelement der Störungsenergie ist.
• Rechte Seite: Alle Matrixelemente sind Null außer n = m:
E
X
n
cn < m0 |n0 >= Ecn δmn = Ecm .
(5.12)
5.1 Formalismus
155
Damit ergibt sich
X
cn Hmn =
n
X
′
(En0 δmn + Hmn
)cn = cm E
(5.13.1)
n
oder, erneut leicht umgeschrieben:
X
0
En0 δmn cn = Em
cm ,
(5.13.2)
n
X
′
Hmn
cn =
n
X
′
′
Hmn
cn + Hmm
cm :
(5.13.3)
n6=m
wir ziehen also den Spezialfall n = m aus der Summe heraus,
X
′
′
0
(Em
+ Hmm
− E)cm +
Hmn
cn = 0,
(5.14)
n6=m
wobei der Laufindex so zu verstehen ist, daß n bei festgehaltenem m alle ungestörten
Eigenfunktionen durchläuft. Dieser Störoperator soll klein sein, und wir entwickeln
ihn in Potenzen von λ, einem Parameter, mit dem wir die Störung variabel gestalten
können; für λ = 0 beobachten wir keine Störung, und H′ geht in H0 über.
H′ = λh,
(5.15)
mit
cm = c0m + λ1 c′m + λ2 c′′m ,
1 ∂ 2E
∂E
0
1
E=E +
λ +
λ2 ∨ E = λ0 E 0 + λ1 E ′ + λ2 E ′′ ,
∂λ
2! ∂λ2
∂ψ
1 ∂2ψ
0
1
ψ=ψ +
λ2 ∨ ψ = λ0 ψ 0 + λ1 ψ ′ + λ2 ψ ′′ ,
λ +
∂λ
2! ∂λ2
(5.16.1)
(5.16.2)
(5.16.3)
so daß wir erhalten
0
(Em
+ λhmm − E)cm + λ
X
hmn cn = 0.
(5.17)
n6=m
Setzen wir in die Gl. (5.17) die Gln. (5.16.1/2) ein, also
0
[Em
+ λhmm − (λ0 E 0 + λ1 E ′ + λ2 E ′′ )](λ0 c0m + λ1 c′m + λ2 c′′m )+
X
+λ
hmn (λ0 c0n + λ1 c′n + λ2 c′′n ) = 0
n6=m
und gruppieren nach gleichen Potenzen in λ, ergibt sich
#
"
X
0
0
hmn c0n +
− E 0 )c′m +
− E 0 ) + λ1 (hmm − E ′ )c0m + (Em
λ c0m (Em
0
n6=m
(5.18)
156
5 Störungsrechnung
"
0
− E 0 )c′′m +
+λ2 −E ′′ c0m + (hmm − E ′ )c′m + (Em
0
1
2
X
#
hmn c′n + . . . = 0.
n6=m
(5.19)
Je nachdem, ob λ oder λ oder λ berücksichtigt wird, spricht man von der nullten, ersten und zweiten Näherung (Ordnung), und die Methode wird als sukzessive
Approximation bezeichnet.
5.2 Nullte Ordnung
Für λ0 = 1 bekommen wir aus Gl. (5.17)
woraus
0
− E 0 )c0m = 0, m = 1, 2, 3, . . . , k
(Em
(5.20.1)
0
E 0 = Em
∧ c0m = 1
(5.20.2)
folgt. Das ist die Gleichung für das ungestörte System.
5.3 Erste Ordnung
5.3.1 Energiekorrektur
Wir untersuchen nun die Änderung der Energie Ek0 des Zustands k unter dem Einfluß
der Störung λh. Mit der Gl. (5.20.2) ist also für m = k
E 0 = Ek0 ∧ c0m = δkm :
(5.21.1)
alle c0m sind Null mit Ausnahme von c0k , das Eins ist. Dies wird in Gl. (5.19) eingesetzt
und ergibt
#
"
X
0
(5.21.2)
λ (hmm − E ′ )δkm + (Em
− Ek0 )c′m +
hmn δkn = 0,
n6=m
wobei wir wieder n bei festgehaltenem m laufen lassen, aber schließlich die Lösung
mit m = k auswählen. Für diese Kombination wird aber der zweite Summand Null,
und das Kronecker-Delta in der Summe wird ebenfalls Null, denn wenn m = k
wird, aber die Summe dann gerade das Glied mit m = n auslassen soll, sonst würde
dieses ja doppelt gezählt [Gl. (5.13.3)], wird δmn = δkn = 0.
Also ist
E ′ = hkk ,
(5.22)
die Diagonalelemente der Störmatrix; diese zusätzliche Energie E ′ des Systems ist
gleich dem Mittelwert der Störungsenergie E ′ über die Definition des Mittelwerts [s.
a. Gl. (4.28)]
5.3 Erste Ordnung
157
< Ek′ >=< k|h|k > .
(5.23)
5.3.2 Korrektur der Eigenfunktionen
Nun suchen wir noch für k = m die Korrekturen der Amplitudenkoeffizienten. Die
finden wir ebenfalls aus der Gl. (5.21.2). Aus der unbekannten Funktion ψk = ψk0 +λψk′
ergibt sich zunächst mit (5.16.3) der Wert für ψk′ im Rahmen der 1. Ordnung zu
ψk′ =
∂ψk
.
∂λ
(5.24)
0
Entwickeln wir ψk als Reihe der ungestörten Funktionen ψm
ψk =
X
0
cm ψm
,
(5.25)
m
dann gilt die Orthonormierungsbedingung für die ψk
ˆ
ψk∗ ψk d3 x = 1,
X
cm
m
ˆ
(5.26)
0 3
ψk ψm
d x = cm δmk = ck .
(5.27)
0
0
Wenn ψk aus den ψm
komponiert wird, steht sie zu allen ihren Komponenten ψm
′
0
orthogonal, dann muß aber auch ψk orthogonal zu den ψm sein, denn nach (5.16.3)
ist ψ = ψ 0 + λψ ′ :
ˆ
ψk0,∗ ψk′
3
d x=
X
m
cm
ˆ
0,∗ ∂ψk
ψm
∂λ
3
d x=
X
m
∂
cm
∂λ
ˆ
0,∗
ψm
ψk d3 x = 0.
(5.28)
Setzt man in den letzten Term von Gl. (5.28) die Gl. (5.27) ein, sieht man, daß der
Term mit m = k nicht genommen werden darf, weil der Eins ergibt. Damit wird mit
Gl. (5.21.2):
!
X
0
(Em
− Ek0 )c′m +
hmn δkn = hmk = 0 :
(5.29)
n6=m
für n = k 6= m = 1, für n 6= k = 0. Für den Einfluß des kten Niveaus auf das mte
Niveau ist
c′m =
hmk
, m 6= k.
0
− Em
Ek0
(5.30)
Die Orthogonalitätsbedingung verhindert eine Singularität für m = k, für die der
Nenner verschwindet.
158
5 Störungsrechnung
5.4 Zweite Ordnung
Dazu setzen wir in die Gl. (5.19) für k = m die Lösungen für die Energie und die
Amplitudenkoeffizienten der ersten Näherung für m 6= k ein:
λ2
"
X
hmk
hnk
0 ′′
0
−E ′′ δmk + (hmm − hkk ) 0
+
h
)c
−
E
+
(E
mn
m
k
m
0
Ek − Em
Ek0 − En0
n6=k
#
= 0.
(5.31)
Und für m = k ergibt sich für die Energie des Zustands k mit der Störung in zweiter
Ordnung, da der zweite und der dritte Summand verschwinden:
E ′′ =
oder
E ′′ =
X hkn hnk
,
0
0
E
−
E
n
k
n6=k
X < k 0,∗ |h|n0 >< n0,∗ |h|k 0 >
.
Ek0 − En0
n6=k
(5.32.1)
(5.32.2)
Im Zähler steht ein symmetrisches Produkt, das immer reell sein muß.1 Die Wechselwirkungen mit Zuständen, deren Eigenwerte der Energie höher liegen als der in
Betrachtung stehende mit dem Index k, erniedrigen dessen Energie und umgekehrt.
Insbesondere ist die Korrektur zweiter Ordnung zum Grundzustand Ek◦ immer negativ, da für alle anderen Zustände gilt, daß Ek0 < En0 .
5.5 Schlußbemerkung
Aus den Gln. (5.29/30) und (5.32) ist ersichtlich, daß die Korrektur 1. Ordnung für
die Koeffizienten der Eigenfunktionen und die Energiekorrektur 2. Ordnung Energiedifferenzen ungestörter Eigenwerte enthält. Daher haben insbesondere die Zustände,
deren Energie-Eigenwerte sehr dicht beieinander liegen, den stärksten Einfluß auf die
Wellenfunktion!
Weiter ist Voraussetzung der Kleinheit des Operators H′ = λh gegenüber H0 ,
daß auch
λhmk (5.33)
E 0 − E 0 ≪ 1.
m
k
1
Für den Fall der Hermitizität Ank = A∗kn erhalten wir für den Zähler von (5.31) h2nk .
6 Tunneleffekt
In diesem Kapitel beschäftigen wir uns zunächst mit den Grenzen der Bewegung eines makroskopischen Teilchens und untersuchen danach die Bewegung eines Quantenteilchens in einem symmetrischen Potentialtopf mit
hohen Wänden mit der Methode von Wentzel, Kramers und Brillouin
(sog. WKB-Methode). Es folgt die Bestimmung der diskreten Energieniveaus innerhalb dieses Topfes, wobei die Wände nicht notwendig unendlich
hoch sein müssen. Daran schließt sich die Beschreibung des Tunneleffektes
und die Berechnung des Durchlässigkeitskoeffizienten an. Eine Betrachtung
zur Unschärferelation beschließt das Kapitel.
6.1 Grenzen der Bewegung
Ein Masseteilchen kann sich energetisch nur innerhalb eines Bereichs aufhalten, in
dem seine potentielle Energie kleiner als seine Gesamtenergie ist (Abb. 6.1):
E =T +V =
m 2
v + V (x) = const,
2
(6.1)
und wir definieren:
• Endliche Bewegung: Bewegung, bei der das Teilchen in einem endlichen Raumgebiet bleibt.
• Unendliche Bewegung: Das Teilchen kann sich beliebig weit entfernen.
• Eindimensionale Bewegung: Das Teilchen kann sich nur entlang einer Koordinate bewegen und besitzt nur einen Freiheitsgrad.
Bewegung vom Extrempunkt (x1 oder x2 ) nach x0 , wo die potentielle Energie ein
Minimum aufweist:
dV
=0:
(6.2)
dx
an dieser Stelle bewegt sich das Teilchen kräftefrei, und es liegt ein stabiles Gleichgewicht vor. Die kinetische Energie hat dort ein Maximum. Wie ist die Kraft gerichtet?
F =−
159
160
6 Tunneleffekt
30
25
V(x)
20
15
Vmax
10
Vmin
5
F
F
0
x1
x x0
x2
Abb. 6.1. Die Potentialkurve zeigt Bewegungsfreiheit zwischen x1 bis x2 , da hier E ≥ V .
• F ist positiv zwischen x1 und x0 : in Richtung abnehmender (stärker negativ
werdender) x-Werte nimmt F zu;
• F ist negativ zwischen x2 und x0 : in Richtung zunehmender x-Werte nimmt F
ab.
Je größer die Auslenkung, um so größer die rücktreibende Kraft Richtung Minimum der potentiellen Energie. Das stabile Minimum zeichnet sich dadurch aus, daß
keine Kraft am Teilchen angreift.
Im Beispiel der Abb. 6.1 führt das Teilchen eine periodische Bewegung aus, und
die Schwingungsdauer ist dabei doppelt so lang wie die Zeit, die es für das Zurücklegen
der Zeit zwischen x1 und x2 benötigt.
Gewinnt das Teilchen potentielle Energie über Vmax hinaus, so daß es die Potentialschwelle überschreiten kann, kann die endliche in eine unendliche Bewegung
übergehen. Das Teilchen verläßt dann die Potentialmulde. An der Stelle x3 ist der
Gradient der potentiellen Energie ebenfalls Null, so daß an diesem außerordentlichen
Punkt Kraft und kinetische Energie verschwinden (Abb. 6.2).
Jenseits von x3 wird das Teilchen beschleunigt. Da im Unendlichen die potentielle
Energie Null ist, erreicht das Teilchen dort die Geschwindigkeit
r
r
2(E − V )
2E
=
.
(6.3)
v∞ = lim
x→∞
m
m
Ein sehr wichtiger Fall ist der Potentialverlauf bei der Molekülbildung, bei der
man die potentielle Energie bei unendlich weit voneinander entfernten Molekeln auf
Null setzt (Abb. 6.3).
Da die Kraft immer in Richtung abnehmender potentieller Energie geht, führt
die Annäherung von Teilchen, die sich einander anziehen, zu einer Abnahme der
potentiellen Energie, und die Bewegung bleibt immer endlich.
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
161
30
unendliche Bewegung
25
V(x)
20
15
Endliche Bewegung
Vmax
in der
Potentialmulde
10
Vmin
5
F
0
x1
x0
PotentialF schwelle
x x2
x3
x4
Abb. 6.2. Gewinnt das Teilchen potentielle Energie über Vmax hinaus, so daß das Teilchen
die Potentialschwelle überschreiten kann, kann die endliche in eine unendliche Bewegung
übergehen. Ist Vmax kleiner als die Energieschwelle, wäre die kinetische Energie im Potentialwall negativ, die Geschwindigkeit imaginär.
1.0
V(x) [a.u.]
0.5
0.0
-0.5
x
Abb. 6.3. Bei der Molekülbildung wird das Normal der potentiellen Energie im Unendlichen
auf Null gesetzt.
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
6.2.1 Wellenfunktionen
Wir nehmen im einfachsten Falle folgende Potentialverteilung in den Regionen
162
6 Tunneleffekt
• I: x ≤ 0; V = V0 > E;
• II: 0 ≤ x ≤ a; V = 0 und
• III: x > a; V = V0 > E
V
V0 > E
V1 = V0
V3 = V0
V2 = 0
x=0
Abb. 6.4. Verhältnisse für
ein Quantenteilchen endlicher
kinetischer Energie zwischen
sehr hohen, jedoch nicht unendlich hohen Potentialbarrieren.
x=a
an (Abb. 6.4). Mit der Schrödinger-Gleichung (4.9) erhalten wir in der Region II:
2E m0
ψII = 0,
(6.4)
~2
deren Lösung die trigonometrischen Funktionen oder die Exponentialfunktion mit
imaginärem Argument sind:
∇2 ψII + k 2 ψII = ∇2 ψII +
ψII = B1 cos kx + B2 sin kx
(6.5.1)
mit
√
2E m0
.
~
In den Regionen I und III dagegen gilt
k=
∇2 ψI + κ2 ψI = 0,
(6.5.2)
(6.6)
wobei
2(E − V0 )m0
(6.7)
~2
eine Zahl kleiner Null ist. Deswegen ist die Wurzel der Gl. (6.7) rein imaginär, und
die Lösung dieser DGl ist daher nicht die Schwingungsgleichung, sondern z. B. die
Exponentialfunktion mit reellem Argument. Die Lösung ist folglich
κ2 =
ψI = (A, C)1 eκx + (A, C)2 e−κx ,
(6.8)
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
163
und da die Funktion nach Voraussetzung endlich und normierbar sein soll, müssen
die Amplitudenkoeffizienten A2 und C1 Null sein. Außerdem muß die Funktion an
den Nahtstellen x = 0 und x = a stetig und differenzierbar sein, also
ψI (0) = ψII (0) ∧ ψII (a) = ψIII (a);
dψII dψII dψIII dψI =
∧
=
.
dx x=0
dx x=0
dx x=a
dx x=a
(6.9.1.)
(6.9.2)
Daraus folgt unmittelbar für die Ableitungen aus Gln. (6.5.1) und (6.8)
ψII′ = −B1 k sin kx + B2 k cos kx ∧ ψI′ = κA1 eκx
(6.10.1)
für eine vorwärts laufende Welle und damit (aus den Funktionen bzw. den Ableitungen)
B1 = A1 ∧ κA1 = B2 k,
(6.10.2)
woraus man eine Beziehung für die Amplitudenkoeffizienten in der Region II zu
κ
B1
(6.10.3)
k
findet. Mit der Kontinuitätsbedingung bei x = a gewinnen wir leicht eine Relation
zwischen C2 und B1 (rückwärts laufende Welle):
κ
(6.10.4)
ψII (a) = ψIII (a) ⇒ B1 cos ka + sin ka = C2 e−κa ,
k
woraus sofort
κ
(6.10.5)
C2 = B1 eκa cos ka + sin ka
k
folgt: Von den sechs Koeffizienten müssen zwei Null sein, denn innerhalb des Potentialwalles sind keine zu Singularitäten führenden exponentiell ansteigenden Lösungen
möglich, und die restlichen vier können durch starre Beziehungen aus B1 erhalten
werden. Damit ergibt sich die Wellenfunktion zu
B2 =
ψI = B1 eκx ,
κ
ψII = B1 cos kx + sin kx ,
k
i
h κ
ψIII = B1 eκa cos ka + sin ka e−κx .
k
Der Koeffizient B1 kann aus der Normierungsbedingung
ˆ ∞
ψ ∗ ψ d3 x = 1
−∞
(6.11.1)
(6.11.2)
(6.11.3)
(6.12)
164
6 Tunneleffekt
1.0
1.00
0.75
y2 [a. u.]
y[a. u.]
0.5
0.0
I
II
III
0.50
I
III
0.25
-0.5
II
0.00
-1.0
-2
0
2
4
6
-2
0
2
x [a. u.]
4
6
x [a. u.]
Abb. 6.5. Die Gesamtwellenfunktion des Quantenteilchens ist aus drei Teilen entsprechend
der drei Regionen unterschiedlichen Potentials zusammengesetzt; hier gezeigt für E ≤ V0
mit A2 = C1 = 0.
gewonnen werden (Abbn. 6.5 und 6.6). Aus den Abbn. 6.5 und 6.6 geht hervor, daß die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Quantenteilchens im Potentialwall einer Energie,
die höher als die kinetische Energie des Teilchens ist, dennoch endlich ist.
Umgekehrt kann man sagen, daß die Wellenfunktion in die Gebiete hineinleckt,
in denen die potentielle Energie größer als die Gesamtenergie des Quantenteilchens
ist.
3
3
2
y2 [a. u.]
y [a. u.]
II
1
I
III
0
-1
2
I
II
III
1
0
0
2
4
x [a. u.]
6
0
2
4
6
x [a. u.]
Abb. 6.6. Die Gesamtwellenfunktion des Quantenteilchens ist aus drei Teilen entsprechend
der drei Regionen unterschiedlichen Potentials zusammengesetzt, hier gezeigt mit E ≤ V0
mit A1 = C1 = 0.
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
165
Die eben besprochene Methode des Aneinanderflickens von Wellenfunktionen ist
in der Literatur unter WKB-Methode bekannt (Wentzel, Kramers und Brillouin).
6.2.2 Eigenwerte der Energie
Bevor wir uns der Frage der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Quantenteilchens im
Potentialwall selbst zuwenden, wollen wir zunächst die Eigenwerte eines Quantenteilchens in einem symmetrischen Potentialtopf der Breite a und der Potentialhöhe V0 ,
die nicht notwendigerweise Unendlich sein soll, berechnen (Abb. 6.4). Dazu setzen wir
an
r
2m0 (V0 − E)
ψI = A1 eκx , x ≤ 0, κ =
, κ ε ℑ;
(6.13.1)
~2
r
2m0 E
;
(6.13.2)
ψII = B1 sin(kx + δ), 0 ≤ x ≤ a, k =
~2
r
2m0 (V0 − E)
, κ ε ℑ.
(6.13.3)
ψIII = C1 e−κx , x ≥ a, κ =
~2
Die Stetigkeitsbedingung an den Rändern des Potentialtopfes fordert als Kombination
der Gln. (6.9):
ψII′ ψI′ =
:
(6.14.1)
ψI x=0
ψII x=0
ψI′
ψ′
= κ ∧ II = k cot δ|x=0 ,
ψI
ψII
′ ψIII
ψII′ =
:
ψII x=a
ψIII x=a
ψII′
ψ′
= k cot(ka + δ)|x=a ∧ III = −κ,
ψII
ψIII
(6.14.2)
(6.14.3)
(6.14.4)
woraus sich
k cot δ = κ =
r
r
2m0
2m0
V0 − k 2 ∧ k cot(ak + δ) = −κ = −
V0 − k 2
2
~
~2
(6.15)
ergeben [(6.13.2) entweder in (6.13.1) oder (6.13.3)]. Es ist also sowohl die symmetrische Lösung ψ(x) = ψ(−x) wie die antisymmetrische Lösung ψ(x) = −ψ(−x)
möglich. Mit der Identität
sin α = √
1
2
cot α + 1
⇒ cot2 α =
1
−1
sin2 α
(6.16)
166
6 Tunneleffekt
werden aus den Gln. (6.15)
1
2m0 V0 − ~2 k 2 + ~2 k 2
=
~2 k 2
sin2 δ
sin δ = √
~k
~k
∧ sin(ka + δ) = − √
.
2m0 V0
2m0 V0
(6.17.1)
(6.17.2)
Eliminieren von δ
δ = arcsin √
~k
2m0 V0
(6.17.3)
führt zu
~k
sin ka + arcsin √
2m0 V0
= −√
~k
.
2m0 V0
(6.17.4)
Mit der Periodizität von π erhalten wir die transzendente Gleichung
~k
~k
= − arcsin √
+ nπ,
2m0 V0
2m0 V0
(6.18.1)
~k
~k
nπ − ka
= arcsin √
∨
,
2
2m0 V0
2m0 V0
(6.18.2)
ka + arcsin √
also
ka = nπ − 2 arcsin √
was durch Ausklammern von ka zu
nπ − ka
= arcsin
2
s
~2
ka
2m0 V0 a2
(6.18.3)
wird, wobei n = 1, 2, 3, . . . Dabei werden die Werte für die Arcusfunktionen zwischen
0 und 1/2 π genommen (Abb. 6.7), deren Argumente nur zwischen −1 und +1 liegen
(können).
Daher können auch die Werte für k nur in dem Intervall zwischen 0 und
p
2m0 V0 /~2 liegen. Die Wurzeln dieser Gleichung ergeben die Eigenwerte
der Energie, i. a. eine Wurzel für jedes n.1
Setzen wir für die Variable k
x=
ka
,
2
(6.19)
erhalten wir
nπ
− x = arcsin
2
s
2~2
· x.
a2 m0 V0
Setzen wir
1
Umgangssprachlich werden diese Wurzeln Nullstellen genannt.
(6.20.1)
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
167
90
60
arcsin (x)
30
0
-30
-60
-90
-1.0
-0.5
α=
s
2~2
0.0
X
s
0.5
2~2
·
m0
r
1.0
1
= 1, 56 · 10−19 ·
V0 a2
Abb. 6.7.
Die Funktion
x → arcsin x ist zwischen
x = −1 und x = +1 definiert;
ihre Funktionswerte liegen
zwischen −1/2 π und +1/2 π.
r
1 p 2
Jm ,
V0 a2
(6.20.2)
m0 V0 a2
√
was 0, 39 · 10−9 eV m2 ist — α ist also umgekehrt proportional zu der Topfbreite a
und umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Wandhöhe —, wird einfacher
=
nπ
− x = arcsin(α · x)
2
(6.20.3)
oder
sin
nπ
− x = α · x.
(6.20.4)
2
Hier müssen wir eine Fallunterscheidung treffen für ungerades und gerades n.
6.2.2.1 Ungerade n oder symmetrische Lösung. Für ungerades n wird
sin
nπ
2
− x = cos(x) = ±αx (⊕ : n = 1, ⊖ : n = 3, ⊕ : n = 5, ⊖ : n = 7, . . .),
(6.21.1)
da cos(−x) = cos(x), müssen die Wurzeln der Gl. (6.21.1) genommen werden, für die
cot α > 0 ist, was im ersten und dritten Quadranten der Fall ist:
1π
n = 1 : sin
− x = cos(x) = αx,
(6.21.1.1)
2
3π
n = 3 : sin
− x = − cos(x) = αx,
(6.21.1.2)
2
5π
− x = cos(x) = αx,
(6.21.1.3)
n = 5 : sin
2
7π
n = 7 : sin
− x = − cos(x) = αx.
(6.21.1.4)
2
168
6 Tunneleffekt
Beispiel 6.1. Beispielsweise ist für x = 30◦ der Funktionswert für n = 1 : 0, 5, was gleich
dem Cosinus-Wert des Arguments 90◦ − 30◦ ist (1. Quadrant), also Fall der Gl. (6.21.1.1),
und für n = 3 − 0, 5, was gleich dem Cosinus-Wert des Arguments 270◦ − 30◦ ist (3.
Quadrant).
6.2.2.2 Gerades n oder antisymmetrische Lösung. Für gerades n wird die
Sinusfunktion tatsächlich herangezogen, was aber mit der Phasenverschiebung um π
einen Vorzeichenwechsel bedeutet:
nπ
sin
− x = sin(x) = ±αx (⊕ : n = 2, ⊖ : n = 4),
(6.21.2)
2
für die cot α < 0:
2π
− x = sin(x) = αx,
(6.21.2.1)
n = 2 : sin
2
4π
n = 4 : sin
− x = − sin(x) = αx,
(6.21.2.2)
2
Derartige transzendente Gleichungen werden am einfachsten graphisch gelöst. Fragen
wir zunächst nach sinnvollen Lösungen der Gln. (6.21.1) und (6.21.2). In jenem Fall
ergeben sich die Lösungen als Schnittpunkte der Cosinus-Funktion mit der Geraden
für Bereiche, in denen die Cotangens-Funktion größer Null ist, also im ersten und
dritten Quadranten, in diesem Fall dagegen als Schnittpunkte der Sinus-Funktion mit
der Geraden für Bereiche, in denen die Cotangens-Funktion kleiner Null ist, also im
zweiten und vierten Quadranten. In den Abbn. 6.8 sind die entsprechenden Abschnitte
grün markiert.
1.0
1.0
a = 2/p
a = 1/p
0.0
a = 0.5/p
0.0
-0.5
-0.5
-1.0
0.0
a = 1/p
0.5
sin(x)
cos(x)
0.5
a = 2/p
a = 0.5/p
0.5
1.0
x [p]
1.5
2.0
-1.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
x [p]
Abb. 6.8. Zum Eigenwertproblem eines Quantenteilchens in einem symmetrischen Potentialtopf. Lks. die Bedingung für die Gl. (6.21.1) mit tan α > 0, re. die Bedingung für die Gl.
(6.21.3) mit tan α < 0, beide durch diese Nebenbedingung herausgehobenen Bereiche sind
grün markiert.
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
169
• Sinus-Funktion: Der erste brauchbare Schnittpunkt ergibt sich für ein α von
aus Abb. 6.8 bei x = π/2, wo
sin(x) = 1 ⇒ α
π
2
=1⇒α= ,
2
π
2
π
(6.22.1)
woraus sich mit (6.20.2) für die geringste notwendige Tiefe des Potentialtopfes
V0 =
~2 π 2
2m0 a2
(6.22.2)
ergibt. Das erste neu auftretende Niveau hat dann die Energie E = 0. Größere α
(kleinere V0 ) liefern keine Schnittpunkte. Die Mindesttiefe V0 ist um so größer,
je kleiner die Topfbreite a ist. Beispielsweise ist für 100 nm V0 = 37 µeV, aber
für 1 nm bereits V0 = 0, 37 eV. An dieser Stelle (bei x = 1/2 π) ist nach Gl. (6.19)
k = π/a.
• Cosinus-Funktion: Entsprechend ergibt sich der erste brauchbare Schnittpunkt
für ein α von π2 aus Abb. 6.8 bei x = 0, 297π, wo
cos(x) = 0, 595 ⇒ α · 0, 297 · π.
Mit den so ermittelten Wurzeln ergibt sich für E mit der Gl. (6.19)
2
2x
~2
~2 k 2
=
.
E=
2m0
2m0 a
(6.22.3)
(6.23)
6.2.2.3 Zu flacher Potentialtopf. Für den Fall
2~2
⇒α≫1
(6.24)
m 0 a2
haben die Gln. (6.21) evtl. überhaupt keine Wurzeln (Abbn. 6.9). Entwickeln wir die
Cosinus-Funktion nach
V0 ≪
x2
cos x ≈ 1 −
(6.25.1)
2
unter Beachtung der Tatsache, daß mit Gl. (6.21.1) für die Wurzeln der CosinusFunktion αx ≈ 1 gelten muß, dann ist
1
,
α
also mit Gln. (6.21.1 + 6.25.2) genauer für Gl. (6.25.1)
1
1
1
1− 2 ,
αx = 1 − 2 ⇒ x =
2α
α
2α
x≈
quadriert, entwickelt und das biquadratische Glied vernachlässigt:
(6.25.2)
(6.25.3)
6 Tunneleffekt
1.0
1.0
0.5
0.5
0.0
a = 300Å
V0 = 24meV
a = 2,66
-0.5
-1.0
f(x)
f(x)
170
0.0
a = 510 Å
V0 = 24 m eV
a = 1,56
-0.5
-1.0
0
1
x [p]
2
0
1
2
x [p]
Abb. 6.9. Für typische Quantentöpfe (a ≤ 1000 Å, V0 = 24 µ eV, α > 1) berechnete graphische Lösungen der Gln. (6.21). Für zu großes α (flachen Potentialtopf) hat die Gleichung
entweder überhaupt keine oder nur eine Wurzel. Das Energieniveau liegt für α = 1, 56 in
der Nähe des oberen Topfrandes.
1
x = 2
α
2
1
1
1
1
1− 2 + 4 ≈ 2 1− 2 ,
α
4α
α
α
(6.25.4)
womit für E mit den Gln. (6.19 + 6.25.3):
~2
~2 k 2
=
E=
2m0
2m0
2x
a
2
~2
≈
2m0
"
2
αa
2 1
1− 2
α
#
,
wird oder mit der Definition von α (6.20.2) schließlich
m 0 a2
E = V0 1 −
V0
2~2
(6.26.1)
(6.26.2)
wird: Für den Fall mittlerer α haben die Gln. (6.21) eine Wurzel (Abb. 6.9). Das
(eine) Energieniveau liegt mit
• α=
4
5
9
mit E = − 16
V0 knapp in der unteren Topfhälfte, für Werte bis
• knapp unter 1 in der oberen Topfhälfte und
• verschwindet bei α = 1.
6.2.2.4 Tiefer Potentialtopf. Für den Fall kleinerer α, die einem tiefen Potentialtopf äquivalent sind, dagegen kann es mehrere Wurzeln geben (Tab. 6.1 u. Abbn.
6.10). Auch in diesem Fall erhalten wir zwar einen quadratischen Zusammenhang
zwischen k und E, aber bei etwas variablem α (also nicht äquidistant wie im Falle
unendlich hoher Wände!). Der Grund dafür liegt eben in der Bildung der Wurzeln
6.2 Quantenteilchen im endlich hohen Potentialtopf
a = 5 nm, V0 = 0,6 eV,a = 0,1
1.0
f(x)
f(x)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
a = 5 nm, V0 = 0,6 eV,a = 0,1
1.0
0.5
171
0.0
-0.5
0
2
4
6
8
10
-1.0
0
2
4
x
6
8
10
x
Abb. 6.10. Für sehr kleines α (einen sehr tiefen Potentialwall) gibt es mehrere Wurzeln:
V0 = 0, 6 eV, a = 5 nm, α = 0, 1.
Tabelle 6.1. Erste Wurzeln der Gln. (6.21.1) und Eigenwerte nach Gl. (6.23) für V0 = 0, 6
eV, a = 5 nm, α = 0, 1. Zum Vergleich die nach Gl. (6.27.1) berechneten Werte für unendlich
hohen Potentialwall.
x
0
1,428
1
/2 π
2,852
1
/1 π
4,270
3
/2 π
5,678
4
/2 π
7,0686
5
/2 π
8,423
6
/2 π
9,680
x[π]
0
0,45
1
/2
0,91
1
1,36
3
/2
1,81
2
2,25
5
/2
2,68
3
3,08
sin x
0
1
0,285
0
-1
-0,569
0
1
0,842
0
cos x
0,142
0
-1
-0,428
0
1
0,706
0
-1
-0,968
αx
0
0,143
0
0,285
0
-0,427
0
-0,568
0
0,707
0
0,842
0
-0,968
E [meV]
0
12,44
15,00
49,6
60
111,2
135
196,7
240
304,9
375
432,8
540
571,6
über die Gln. (6.20.3) ff.: Nur im Falle V0 → ∞ ⇒ α → 0 liegen die Wurzeln auf
der x-Achse und sind äquidistant um π voneinander entfernt. Die so berechneten
Energieeigenwerte sind in der Abb. 6.11 gezeigt.
Der Grenzfall mit V0 → ∞ ∨ α → 0 dagegen ergibt mit den Gln. (6.21)
sin
nπ
2x
~2
− x = αx = 0 ⇒
= x ∧ kn =
⇒ En =
2
2
a
2m
nπ
2x
a
2
;
(6.27.1)
172
6 Tunneleffekt
600
E [meV]
450
E = (2h2 x2)/(4p2mea2)
300
a = 5 nm
V0 = 0,6 eV
a = 0,1
150
0
0
2
4
6
8
10
Abb. 6.11. Berechnete Modell-Energieeigenwerte für diesen Quantentopf.
x
En =
2~2 n2 π 2
2~2 2
x
=
,
ma2
ma2 4
(6.27.2)
was zu unserer bekannten Formel
En = n2
h2
8m0 a2
(6.27.3)
führt, ein Wert, den wir im vorigen Kapitel für den Fall unendlich hoher Wände
kennengelernt haben.
6.3 α-Teilchen im Potentialwall
In der Wellentheorie also entspricht einem negativen Wert der kinetischen Energie
(und damit ein imaginärer Wert des Impulses) nur einer exponentiellen Abhängigkeit
der Wellenfunktion von den Koordinaten. Weil die Wellenfunktion im Potentialwall
nicht den Wert Null annimmt, ist das Durchsickern“ eines Quantenteilchens durch
”
den Potentialberg möglich. Dieser Potentialberg entsteht für ein α-Teilchen dadurch,
daß es zwar durch die starke, langreichweitige Coulombsche Abstoßung gleichsinniger Ladung aus dem Kern gedrückt wird, es aber gleichzeitig durch die noch stärkeren, allerdings sehr kurzreichweitigen Kernkräfte, die nur bis zum Kernradius gehen
(Tröpfchenmodell von Weizsäcker), angezogen wird. Daher ist ein Überwinden des
Coulombwalls nur durch einen den Quantenteilchen vorbehaltenen Mechanismus des
Tunnelns“ möglich.
”
In diesem Abschnitt wollen wir der quantitativen Untersuchung der Frage nach
dem Transmissionskoeffizienten (im Wellenbild) oder Diffusionskoeffizienten (im Teilchenbild) nachgehen. Die Schrödinger-Gleichung muß überall stetig und differenzierbar sein, was besonders für die Nahtstellen x1 und x2 gelten muß (Abb. 6.12).
Beginnen wir mit dem Gebiet III, in dem nur eine sich vorwärts bewegende Welle
existiert. Der Impuls der de Broglieschen Welle ist hier
p=
p
2m0 (E − V (x)),
(6.28)
6.3 α-Teilchen im Potentialwall
173
Kurve des Potentialswalls
einfallende Welle
reflektierte Welle
durchgehende Welle
Energie [a.u.]
5.0
I
III
II
2.5
E
0.0
Abb. 6.12. Zur Beschreibung des
Tunneleffekts einer de Broglieschen
Welle.
V(x)
x1 = 0
x2 = a
x [a.u.]
und die Wellenfunktion selbst ist eine Linearkombination der Partikulärlösungen
ψIII = C1 eik(x−x2 ) + C2 e−ik(x−x2 ) ,
(6.29)
wobei C2 als Amplitude einer Welle, die sich, von rechts kommend, in Richtung negativer x-Werte ausbreiten würde, nicht existiert, und für k gilt
2m0 E
.
(6.30)
~2
Im Gebiet II mit x1 ≤ x ≤ x2 beobachten wir einen imaginären Wellenvektor und
damit einen reellen Exponenten mit dem zu bestimmenden Absorptionskoeffizienten
κ:
k2 =
ψII = B1 eiκx + B2 e−iκx ,
(6.31)
wobei
r
2m0
2m0
κ = 2 (V0 − E) ⇒ κ = ±i
(V0 − E)
(6.32)
~
~2
ist (V0 ist die Höhe des Potentialwalls). Im Gebiet I (x ≤ x1 ) schließlich ist mit dem
k aus Gl. (6.30)
2
ψI = A1 eikx + A2 e−ikx .
(6.33)
Die Bestimmung der Amplitudenkoeffizienten2 nutzt die Tatsache der Stetigkeit an
den Stellen x1 = 0 und x2 = a aus, d. h. man beginnt an der Nahtstelle x2 und
drückt die Amplitudenkoeffizienten B1 und B2 durch C1 aus und daran anschließend
A1 durch C1 . Unter der Voraussetzung, daß V0 ≫ E und damit κ(x − x2 ) ≫ 1 ist
(sehr steiler Potentialwall), gilt vereinfachend:
2
Die Intensität einer Welle ist dem Quadrat der Amplituden proportional, und deswegen ist
das Verhältnis der Amplitudenquadrate der einfallenden und der durchgehenden Welle unser
Transmissions- bzw. Absorptionskoeffizient.
174
6 Tunneleffekt
−κB2 e−κa + κ C1 − B2 e−κa = ikC1
1
1 k
1
B2 = C1 eiκa − i C1 eiκa =
2
2 κ
2
k
1−i
κ
C1 eiκa .
(6.34.1)
(6.34.2)
Der Faktor 1/2 rührt von der Überlegung her, daß die zwei Ausbreitungsrichtungen
zunächst gleichwahrscheinlich sind, entsprechend:
1 k
1
k −iκa
1
−iκa
−iκa
+ i C1 e
= C1 1 + i
e
(6.35.1)
B2 = C1 e
2
2 κ
2
κ
Beachtet man noch, daß die Wellenlänge des α-Teilchens ungefähr 10−15 m = 1 fm
beträgt, wird der Wellenvektor k = 2π/λ, damit wird ka ≫ 1 ⇒ e−ka → 0:
B2 = C1 e−iκa ≈ 0,
(6.35.2)
womit die Schwächung im Verhältnis k/κ Berücksichtigung findet. Zur Bestimmung
der Koeffizienten A1 und B1 machen wir mit
r
k
E
n= =
(6.36)
κ
V0 − E
von der Gleichheit von ψ1 = ψ2 sowie von ψ1′ = ψ2′ [Gln. (6.31) und (6.33)] an den
Stellen x1 = 0 und x2 = a Gebrauch:
1
A1 eikx + B1 e−ikx = (1 − in)C1 eκ(a−x)
2
ik A1 eikx − ik B1 e−ikx =
κ
(1 − in) C1 eκ(a−x) ,
2
(6.37.1)
(6.37.2)
woraus sofort für B1 folgt:
κ 1 − in
C1 eκ(a−x)+ikx + A1 e2ikx .
2 ik
Eliminierung von B1 aus (6.37.1) und (6.37.3) ergibt für A1 :
B1 =
A1 =
also an der Stelle x1 = 0
(6.37.3)
1
1
κ
(1 − in) ·
1−
C1 e−ikx+κ(a−x) ,
2
2
ik
(6.37.4)
i
1
C1 eκa .
A1 = (1 − in) 1 +
4
n
(6.37.5)
Daraus folgt schließlich für den Transmissionskoeffizienten
D=
16
|C1 |2
≈
e−2κa .
2
|A1 |
|(i/n + 1)2 ||(1 − in)2 |
Überführung in die absoluten Beträge ergibt für den Nenner
(6.38)
6.4 Die statistische Interpretation der Unbestimmtheitsrelation
(1 +
1
(n2 + 1)2
2
)(1
+
n
)
=
n2
n2
175
(6.39)
und somit für D
16n2
D = exp −2κx2 + ln
(1 + n2 )2
(6.40.1)
ist. Da der zweite Summand etwa gleich Eins ist, können wir ihn gegen die voraussetzungsgemäß große Größe vernachlässigen und finden schließlich
√
2a
(6.40.2)
D ≈ e− ~ 2m0 (V0 −E) .
Wenn ~ Null ist, ergibt sich das klassische Resultat D = 0. Ist der Energieberg
durchtunnelt, wird das α-Teilchen vom Coulomb-Wall abgestoßen und erhält die
kinetische Energie
2
Ekin = (Z − 2)e20 .
r
(6.41)
Aus Gl. (6.40.2) folgt, daß die Zerfallswahrscheinlichkeit eines Kerns um so größer
wird, desto höher das Kernniveau liegt, von dem aus die α-Emission erfolgt, weil
die Potentialbarriere V0 − E dann schrumpft. a wird zwar auch kleiner, darf aber
eigentlich nicht berücksichtigt werden, da bei der Ableitung ein rechteckiges Kastenpotential mit a = const angenommen wurde (Geiger-Nutallsche Regel). Bei der
α-Emission entsteht aus dem zerfallenden Element ein neues, das eine um 2 geringere
Ordnungszahl besitzt (1. radioaktiver Verschiebungssatz von Soddy und Fajans).
Der Tunneleffekt beschreibt aber auch die Emission von kalten Elektronen aus
einem Metall unter dem Einfluß des elektrischen Feldes, zudem die Kontaktpotentialdifferenz, ohne die pn-Übergänge unverständlich bleiben (Übungsaufgaben 6.1 +
6.2).
6.4 Die statistische Interpretation der
Unbestimmtheitsrelation
Makroteilchen regiert der sog. Virialsatz der Mechanik, nach dem für ein Zentralfeldproblem gilt (Ekin = T = p2 /2m; Epot = V (r) = e20 /r mit m der (reduzierten) Masse,
p dem Impuls des sich bewegenden Teilchens, e0 der Elementarladung, r dem Radius
des Systems):
1
E = T + V (r) = const ∧ T = − V (r).
(6.42)
2
Würden diese Gesetze auch in der Mikrowelt gelten, bestimmte sich danach das
aus den Elektronenspektrum ermittelte Niveau des Grundzustandes des Wasserstoffatoms zu −13, 6 eV, seine potentielle Energie zu −27, 2 eV und die kinetische Energie
zu +13, 6 eV, der erste angeregte Zustand zu −3, 4 eV. Diese Energiezustände sind
176
6 Tunneleffekt
scharf, wie man leicht aus den Spektrallinien der sog. Lyman- und Balmer-Serie
sieht (die ja den Energiedifferenzen entsprechen).
Nun kann man andererseits aus Messungen der Streuung von Elektronen an Atomen auf die Elektronendichte innerhalb der Atome schließen: danach befindet sich
ein erheblicher Anteil der Elektronen in einem solch großen Abstand vom Kern, daß
für diesen gelten würde, daß E ≤ V (r) oder |V (r) | < |E|. Das ist aber nur möglich
für kinetische Energien, für die gilt T ≤ 0, d. h. aber für einen Impuls, der entweder
Null oder sogar imaginär wäre! Folglich existiert ein derartiges Größenpaar in der
Quantenmechanik nicht.
Die Vorstellung, es könnte irgendein wie auch immer geartetes Experiment geben, mit dem man Impuls und Ort eines Quantenteilchens beliebig genau bestimmen
könnte, und die Unbestimmtheitsrelation
∆p∆x ≥ ~
(6.43)
sei nur durch unzulängliche Versuchsbedingungen gegeben, ist also definitiv falsch.
6.5 Unbestimmtheitsrelation und Tunneleffekt
Innerhalb des Potentialbergs ist die Amplitude
ψII = A2 eκx
(6.44)
mit κ dem Wellenvektor, der über die de Broglie-Beziehung mit der Wurzel aus
der Gesamtenergie zusammenhängt:
s
1 2(V − E)
κ=
= const.
(6.45)
~
m0
∆p = ~κ ∧ ∆p∆x = ~κ(l = x2 − x1 ).
(6.46)
κl ≫ 1.
(6.47)
Nach Voraussetzung (s. Abschn. 6.4) ist jedoch
Damit sind keine Aussagen über die Zustände der Teilchen innerhalb des Energiewalles selbst möglich, insbesondere keine, die einen imaginären Impuls des Quantenteilchens betreffen.
6.6 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 6.1 Bildkraft: Bestimmen Sie die Kraft, die ein α-Teilchen 1 nm vor der
Oberfläche eines metallischen Leiters erfährt! Wird das α-Teilchen angezogen oder
abgestoßen?
Lösung. Die Bildkraft auf eine positive Ladung ist gegeben durch
6.6 Aufgaben und Lösungen
177
1 Q1 Q2
,
(1)
4πε0 4l2
wobei die influenzierte Ladung Q2 gleich Q1 und l der Abstand der Ladung von der
Oberfläche sind, also ist
F =
F = 23 · 10−11 N.
(2)
Aufgabe 6.2 Skizzieren Sie den Verlauf der potentiellen Energie eines Elektrons im
Metall (Fermi-Energie εF , Austrittsarbeit WA ) ohne Feld und in einem äußeren elektrischen Feld mit und ohne Bildkraft! Wie hoch ist die zu durchtunnelnde Schichtdicke
bei einem Feld von 107 V/cm?
Lösung. Es muß zumindest die Austrittsarbeit zugeführt werden:3
/2 me v 2 = ~ω − WA ;
1
(1)
Wird normal zur Oberfläche des Metalls ein elektrisches Feld E angelegt, dann nimmt
die potentielle Energie die Form
V (x) = WA − e0 E x
(2),
wozu noch die Bildkraft ergänzt werden muß:
1 e20
1 e20
∧
V
(x)
=
W
−
e
E
x
−
.
A
0
4πε0 4x2
4πε0 4x
Das Maximum dieser Funktion liegt bei
r
e0
1 e20
:
= 0 ⇒ x0 =
−e0 E +
2
4πε0 4x
16πε0 E
F (x) = e0 E −
(3)
(4)
V (x) ist also stets kleiner als WA (Abb. 6.13), da sich Vmax bei x = x0 ergibt zu
r
1
1 3
Vmax = WA −
e E.
(5)
4 πε0 0
Durch Berücksichtigung der Bildkraft verringert sich zwar die Austrittsarbeit, die
kalte Emission läßt sich dadurch jedoch nicht erklären. Dieser Effekt heißt nach einem
seiner Entdecker Schottky-Effekt. Dadurch wird die Austrittsarbeit der Elektronen
aus einer Glühkathode bei hoher Anodenspannung reduziert, und man erreicht einen
exponentiell ansteigenden Anodenstrom.
3
Hier sieht man sehr schön den Einfluß der unterschiedlichen Bezugspunkte. Während die Austrittsarbeit vom Vakuumlevel (U = 0V ) gemessen wird, ist der Ausgangspunkt der Fermi-Energie 0
V, und es wird etwas draufgesattelt“. Leider sind noch verschiedene andere Energien mit im Spiel,
”
so daß wir die beiden Energien nur theoretisch miteinander vergleichen können.
178
6 Tunneleffekt
potentielle Energie ohne Feld
V
Vakuum
EF
potentielle Energie
im Feld E
(strichliert: mit Bildkraft)
Metall
0
x0
x1
x
Abb. 6.13. Die potentielle Energie eines Elektrons im Metall ohne Feld und im Vakuum
mit äußerem elektrischen Feld.
Aufgabe 6.3 Bestimmen Sie den Transmissionskoeffizienten D bei vernachlässigbarer Bildkraft, der Fermi-Energie εF und einer Feldstärke E!
Lösung. Aus der graphischen Darstellung zur Aufgabe 6.2 ist ersichtlich, daß das
äußere Feld einen Potentialberg erzeugt, der von Elektronen durchtunnelt werden
kann:
√
√
2me ´ x1
−2 ~
V (x)−ε dx
0
,
(1)
D=e
wobei der Punkt x1 am Bergende (die Länge des Tunnels) sich auf Grund der Beziehung
εF − e0 E x1 = ε ⇒ x1 =
ergibt. Das Integral
ˆ
0
ergibt
x1
p
V (x) − ε dx =
ˆ
0
x1
p
εF − ε
e0 E
εF − e0 E x − ε dx
3
2p
/
e0 Ex1 2 ;
3
Einsetzen von Beziehung (2) in Gl. (4) ergibt für D:
3
4 √ e
(εF −ε) /2
− /3 e 2m
~
E
0
D=e
(2)
(3)
(4)
,
hängt also
• für eine Dreieckschwelle exponentiell mit 4/3 sowie
• exponentiell von der inversen Feldstärke und der Fermi-Energie ab.
(5)
6.6 Aufgaben und Lösungen
179
Aufgabe 6.4 Bestimmen Sie die Eigenwerte eines Quantenteilchens in einem symmetrischen Potentialtopf der Breite 10 nm und der Potentialhöhe 0,6 eV.
Lösung. Als erstes bestimmen wir α. Das ergibt sich nach Gln. (6.20.2 + 6.20.3)
zu 0,05. Dann bestimmen wir die Wurzeln (Abbn. 6.14) und daraus schließlich den
Energieigenwert mit Gl. (6.23) (Abb. 6.15). Die Konstante ~2 /2m0 ist 6, 1 × 10−39
J m2 .
1.0
1.0
0.5
0.0
a = 5 nm
V0 = 0,6 eV
a = 0,1
-0.5
-1.0
f(x)
f(x)
0.5
a = 5 nm
V0 = 0,6 eV
a = 0,1
0.0
-0.5
-1.0
0
1
x [p]
2
0
1
2
x [p]
Abb. 6.14. Für sehr kleines α (einen sehr tiefen Potentialwall) gibt es mehrere Wurzeln:
V0 = 0, 6 eV, a = 10 nm, α = 0, 10.
Tabelle 6.2. Erste Wurzeln der Gln. (6.21.1) und Eigenwerte nach Gl. (6.23) für V0 = 0, 6
eV, a = 10 nm, α = 0, 05.
x
0
1,495
2,99
4,49
5,98
7,470
8,96
10,445
11.925
13,40
14,876
16,32
17,76
19,15
x[π]
0
0,476
0,952
1,43
1,90
2,38
2,85
3,33
3,80
4,27
4,74
5,20
5,65
6,10
sin x
0
cos x
0,076
0,151
-0,224
-0,298
0,374
0,448
-0,523
-0,594
0,672
0,743
-0,818
-0,886
0,955
αx
0
0,075
0,150
-0,224
-0,299
0,374
0,448
-0,522
-0,596
0,670
0,744
-0,816
-0,888
0,958
E [meV]
0
3,40
13,59
30,64
54,36
84,82
122,03
165,83
216,15
272,93
336,37
404,84
479,43
557,42
180
6 Tunneleffekt
30
E [eV]
20
E = (2h2 x2)/(mea2)
a = 1 nm
V0 = 3 eV
a = 0,044
10
0
0
5
10
x
15
Abb. 6.15. Berechnete Modell-Energieeigenwerte für diesen Quantentopf.
7 Potentialkurven von Molekülen
Die Bestimmung der Eigenwerte der Energie eines Systems ist eine zentrale
Aufgabe in der Quantenmechanik. Dies wird daher in diesem Kapitel für
das Modell des harmonischen Oszillators exekutiert und daran anschließend
Potentialkurven real existierender Molekeüle behandelt.
7.1 Harmonischer Oszillator
Der Operator der potentiellen Energie setzt sich aus der Wechselwirkung des Atoms
mit seinen Nachbarn zusammen:
V (r → ∞) = 0 ∧ V (r → 0) = ∞.
(7.1)
Wegen der Stabilität des Systems existiert ein bestimmter endlicher Abstand r = a,
bei dem die potentielle Energie negativ ist und einen bestimmten minimalen Wert
erreicht. Für kleine Abweichungen um a wird das Potential entwickelt:
x2
x3
x1 ′
V (a) + V ′′ (a) + V ′′′ (a) . . .
1!
2!
3!
′
′′
Die Harmonische Näherung mit V (a) = 0 und V (a) > 0 liefert
V (r) = V (a + x) = V (a) +
V (r) = −D + 1/2 mred ω02 x2 .
(7.2)
(7.3)
Dabei ist
V ′′ (a) = mred ω02
(7.4.1)
V (a) = −D
(7.4.2)
der sog. Elastizitätskoeffizient und
die Dissoziationsenergie. Da man das Potentialminimum frei wählen kann, wird es
zweckmäßigerweise auf Null gelegt:
x = 0 ⇒ r = a : V (a) = 0,
woraus
181
(7.5)
182
7 Potentialkurven von Molekülen
V (x) = 1/2 mred ω02 x2 = 1/2 V ′′ (x)x2
(7.6)
folgt: Die (Kreis-)Frequenz der Schwingung hängt folglich in einfacher Weise vom
Potential ab, so daß die Schrödinger-Gleichung lautet:
~2
mred ω02 x2
2
−
ψ = En ψn .
(7.7)
∇ +
2mred
2
Substituiert man
p
2mred E
α
mred ω0
α=
β=x
∧
λ
=
∧
ξ
=
x
∧
β
=
~2
~
β
erhält man die Eigenwert-Gleichung
ψ ′′ + (λ − ξ 2 )ψ = 0,
r
mred ω0
,
~
(7.8)
(7.9)
und die Energieeigenwerte im parabolischen Potentialtopf ergeben sich dann zu
1
~ω
(7.10)
En = n +
2
Energie [a. u.]
und sind äquidistant (Abb. 7.1), die Wellenfunktionen sind die Hermiteschen Polynome (Abb. 7.2)
E3 = (3 + 1/2) hn
E2 = (2 + 1/2) hn
E1 = (1 + 1/2) hn
Abb. 7.1. Parabolisches Potential mit äquidistanten Eigenwerten der Energie.
E0 = 1/2 h n
d [a. u.]
1
mit
ψn = Cn e− /2 ξ H(ξ)
(7.11.1)
H0 (ξ) = 1
H1 (ξ) = 2ξ
2
H2 (ξ) = 4ξ − 2 H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ,
(7.11.2)
2
ψ0 transformiert totalsymmetrisch. Der Normierungsfaktor ist
sr
2mω0 1
N=
.
~ 2v v!
(7.12)
7.1 Harmonischer Oszillator
183
15
Amplitude [a. u.]
Amplitude [a. u.]
v=4
v=3
v=2
v=1
12
v=4
9
v=3
6
v=2
3
v=0
-10
v=1
v=0
-5
0
5
0
-10
10
Auslenkung [a. u.]
-5
0
5
Auslenkung [a. u.]
10
Abb. 7.2. Die ersten fünf Wellenfunktionen. Die Grundschwingung mit v = 0 hat die im
System gebundene Nullpunktsenergie (sog. Nullpunktsschwingung). Re. ist dieses System
eingelagert in ein Parabelpotential. Die Auslenkungen werden mit steigendem v größer.
Amplitudenquadrat [a. u.]
Wie aus Abb. 7.3 hervorgeht, unterscheiden sich die Wahrscheinlichkeitsdichten des
quantenmechanischen Oszillators wesentlich von denen des klassischen Oszillators.
Diese sind proportional der Zeit, während der sich das schwingende Teilchen in einem gegebenen Punkt aufhält, bzw. umgekehrt proportional seiner Geschwindigkeit
und sind somit an den Umkehrpunkten am größten und im Nullpunkt am kleinsten.
Nur bei großen Quantenzahlen bekommen wir die Annäherung an den klassischen
Grenzfall (Bohrsches Korrespondenzprinzip).
-10
v=4
v=3
v=2
v=1
v=0
-5
0
5
10
Abb. 7.3. Die Quadrate der
ersten fünf Wellenfunktionen,
die die Wahrscheinlichkeitsdichte des Systems beschreiben.
Auslenkung [a. u.]
Es sei darauf hingewiesen, daß der parabolische Ansatz für die potentielle Energie
auch für ein Elektron im Parabel-Potential verwendet werden kann. Daher hat die
184
7 Potentialkurven von Molekülen
Hermitesche DGl mit m0 = me auch Lösungen, die für dieses Problem genutzt
werden können.
7.2 Symmetrie
Wir sehen erneut, daß die Reihenfolge der Wellenfunktionen alternierend symmetrisch/antisymmetrisch ist. Dies ist kein Zufall, sondern eine Folge der Struktur des
Hamilton-Operators. Dieser lautet in einer Dimension
~ 2 d2
m0 ω02 2
+
x
(7.13)
2m0 dx2
2
und ist dadurch, daß die erste Ableitung fehlt, und der Hamilton-Operator quadratisch in Impuls und Ort ist, gegenüber einer Ortsumkehr x → −x invariant:
H=−
H(x) = H(−x).
(7.14)
Das heißt also für unsere Wellenfunktionen, wenn wir x durch −x substituieren:
H(x)ψ(x) = Eψ(x) ∧ H(−x)ψ(−x) = Eψ(−x),
(7.15)
H(x)ψ(−x) = Eψ(−x)
(7.16)
woraus auch
folgt. Wenn aber ψ(−x) eine Eigenfunktion von H ist, die den gleichen Eigenwert E
wie ψ(x) liefert, dann müssen die beiden Eigenfunktionen entweder gleich sein oder
dürfen sich nur um eine (multiplikative) Konstante unterscheiden:
ψ(x) = aψ(−x).
(7.17)
Vertauschen wir wieder das Vorzeichen (oder spiegeln am Ursprung), ergibt sich
ψ(−x) = aψ(x),
(7.18)
was beim Einsetzen in Gl. (7.17) für x aber
ψ(x) = a2 ψ(x)
(7.19)
und für −x
ψ(−x)
= aψ(−x) ⇒ ψ(−x) = a2 ψ(−x)
a
ergibt, woraus aus beiden Gleichungen sofort
a2 = 1 ⇒ a = ±1
folgt, d. h. aber Gl. (7.17) hat die beiden Lösungen
(7.20)
(7.21)
7.3 Anharmonischer Oszillator
185
ψ(x) = ψ(−x) ∨ ψ(x) = −ψ(−x) :
(7.22)
entweder sind die Funktionen bzgl. der Vertauschung der Raumkoordinaten symmetrisch oder antisysmmetrisch.
7.3 Anharmonischer Oszillator
Tatsächlich ist die Potentialkurve anharmonisch, was durch Berücksichtigung von V ′′′
in der Reihenentwicklung des Potentials und Einsetzen in die Energie-Eigenwertgleichung beschrieben wird. Damit werden die Energie-Eigenwertemit der Anharmonizitätskonstanten ωe xe , hier geschrieben als sog. Schwingungsterme (in eV):
2
1
1
− ωe xe v +
, xe > 0,
(7.23)
G(v) = ωe v +
2
2
wobei ωe xe ≪ ωe , oder Morse-Potential (Abb. 7.4)
V (x) = D 1 − e
−αx 2
,α =
r
k
,
2D
(7.24)
G(v) [cm-1]
30000
v
20000
6
5
4
3
2
1
0
10000
0
0
1
2
3
4
5
Abb. 7.4. Morse-Kurve für
HCl. Stark asymmetrisches
Potential mit beginnender Anharmonizität, die bereits für
v = 6 erkennbar ist.
x [Å]
wobei k der Elastizitätskoeffizient und D die Dissoziationsenergie sind. Für xe =
0 wären die Obertöne ganzzahlige Vielfache der Grundschwingung. Wie aus Abb.
7.4 ersichtlich, rücken mit steigendem v die Eigenwerte der Energie immer näher
zusammen, und man bestimmt xe aus der Abweichung von der Äquidistanz. So ist
schließlich die Differenz der Eigenwerte vDiss + 1 und vDiss Null:
0 = G(vDiss + 1) − G(vDiss ),
also mit v = vDiss
ωe
3
v+
2
− ωe xe
3
v+
2
2
2
1
1
− ωe v +
= 0.
+ ωe xe v +
2
2
(7.25)
(7.26)
186
7 Potentialkurven von Molekülen
Daraus errechnet man z. B. ein vDiss von
vDiss =
1
− 1.
2xe
(7.27)
Die Energie vom Potentialminimum zur Dissoziationsgrenze ist entsprechend
De = ωe
woraus
1
v+
2
De = ωe
− ωe xe
1
xe
−
4xe
4
1
v+
2
≈ ωe
2
,
1
4xe
(7.28)
(7.29)
folgt. Die Dissoziationsenergie D0 ist dieser Betrag, verringert um die Energie der
inhärenten Nullpunktsschwingung
xe 1 xe
1
1
,
(7.30)
− +
−
D0 = De − (ωe − ωe xe ) = ωe
2
4xe
4
2
4
damit einfacher
D0 = ωe
1
1
−
4xe 2
.
(7.31)
Da die Anharmonizität bei größeren v größer wird, nehmen die Funktionswerte entsprechend ab. Auftrag von v → ∆ω (Birge-Sponer-Plot) ergibt eine fallende Gerade, und die Gerade schneidet die v-Achse bei
vDiss +
1
1
1
=
− .
2
2xe 2
(7.32)
Aus Gl. (7.29) ergibt sich umgekehrt für die Anharmonizität
xe ≈
ωe
.
4 De
(7.33)
7.4 Wechselwirkung mit Strahlung
Wir wollen das bisher Gelernte nun anwenden, um die Anregung in optische Niveaus
von Elektronen in Atomen, aber auch von Molekülen zu Schwingungen, zu verstehen.
Schreiben wir die vollständige Schrödinger-Gleichung
~ ∂ψ(t)
~2 2
−
= V (x)ψ(t) −
∇ ψ(t)
(7.34)
i ∂t
2m0
nieder, was unter Benutzung des Hamilton-Operators gleich
Hψ(t) = −
~ ∂ψ(t)
i ∂t
(7.35)
7.4 Wechselwirkung mit Strahlung
187
ist. Existieren zwei Zustände, z. B. ein Grundzustand mit der Wellenfunktion l und
der Energie εl und ein angeregter mit der Wellenfunktion m und der Energie εm ,
wobei
Ψl = ψl e−iεl t/~
(7.36.1)
Ψm = ψm e−iεm t/~ .
(7.36.2)
Da die beiden Wellenfunktionen orthogonal und normiert (= orthonormiert) sind,
sind für die beiden stationären Zustände die Mischungskoeffizienten aik entweder Null
oder Eins:
X
Ψ=
aik δik Ψi ,
(7.37)
i
wobei die δik die Kronecker-Deltas sind. Der stabile Ausgangszustand zur Zeit t = 0
wird durch l = 1, m = 0, der angeregte Zustand zur Zeit t = t durch l = 0, m = 1
beschrieben, und die Gl. (7.35) sieht für t = 0 demnach folgendermaßen aus:
∂Ψm (t)
∂Ψl (t)
+ (am = 0)
(al = 1)
.
∂t
∂t
(7.38)
Für dipolare Strahlungsübergänge allerdings sind diese Koeffizienten Zeitfunktionen.
Die Eigenwerte werden mit dem Ansatz (7.37) einer Linearkombination der beiden
(ungestörten) Wellenfunktionen mit zeitabhängigen Koeffizienten berechnet:
~
H [(al = 1)Ψl (t) + (am = 0)Ψm (t)] = −
i
0
~∂
(H0 + H′ )(al Ψl + am Ψm ) = −
(al Ψl + am Ψm ) ⇒
(7.39.1)
i ∂t
∂am
∂Ψl
∂Ψm
~
∂al
0
0
′
′
al H Ψl +am H Ψm +al H Ψl +am H Ψm = −
+ Ψm
+ al
+ am
Ψl
.
i
∂t
∂t
∂t
∂t
(7.39.2)
Die ersten beiden und die letzten beiden Terme verschwinden, da sie die ungestörten
Wellenfunktionen darstellen [s. Gln. (7.35 + 5.38):]:
~
∂am
∂al
′
′
al H Ψl + am H Ψm = −
+ Ψm
Ψl
.
(7.40)
i
∂t
∂t
Wir interessieren uns im folgenden für den Gewichtskoeffizienten am , die Diskussion
für al läuft gleich ab. Nach dem zeitabhängigen Koeffizienten am kann durch Multiplikation mit der konjugiert-komplexen Wellenfunktion Ψ∗m (t) und anschließende
Integration aufgelöst werden,1
1
Die Integrale auf der rechten Seite sind entweder 0 oder 1:
ˆ
Ψ∗m Ψm dx = 1;
ˆ
Ψ∗m Ψl dx = 0.
188
7 Potentialkurven von Molekülen
so daß
−~ ∂am
= al
i ∂t
ˆ
∞
−∞
Ψ∗m H′ Ψl dx
+ am
ˆ
∞
−∞
Ψ∗m H′ Ψm dx
(7.41)
übrig bleiben. Mit den Anfangsbedingungen al = 1 und am = 0 bleibt bei Einsetzen
der Gln. (7.36), also Separation in den zeit- und ortsabhängigen Anteil, verschwindet
der zweite Summand auf der rechten Seite (al = 1):
ˆ
∂am
i −i/~(εm −εl )t ∞ ∗ ′
=− e
ψm H ψl dx.
(7.42)
∂t
~
−∞
Mit dieser Gleichung können wir die Ratenkoeffizienten bestimmen, mit denen das
System von einem stabilen Zustand l in den anderen stabilen Zustand m unter dem
Einfluß eines Störfeldes übergeht. Als Störfeldoperator H′ dient natürlich ein elektromagnetisches Wechselfeld
Ex (t) = 2 Ex0 cos ωt = Ex0 eiωt + e−iωt .
(7.43)
H′ = Ex µx = Ex0 eiωt + e−iωt µx ,
(7.44)
∗
µx ψl e−i/~(εm −εl +~ω)t + e−i/~(εm −εl −~ω)t dx,
ψm
(7.45)
Dieses Wechselfeld kann nun z. B. mit dem Dipolmoment des Moleküls in Wechselwirkung treten, d. h. unser Störoperator ist
was, in Gl. (7.42) eingesetzt,
i
∂am
= − Ex0
∂t
~
ˆ
∞
−∞
ergibt, wobei das Integral über die Ortskoordinate (bzw. das dreidimensionale Volumenelement d3 x) als Matrixelement
ˆ ∞
∗
ψm
µx ψl dx
(7.46)
< m|µx |l >=
−∞
bezeichnet wird. So erhalten wir schließlich für die Ratenkoeffizienten selbst2
am (t) =< m|µx |l >
Ex0
1 − e−i/~(εm −εl +~ω)t 1 − e−i/~(εm −εl −~ω)t
+
εm − εl + ~ω
εm − εl − ~ω
.
(7.47)
In beiden Fällen finden Übergänge von l nach m statt. Wenn εm < εl , dann wird der
Nenner Null für εl = εm + ~ω (erster Term), und es findet eine Emission statt. Wenn
dagegen εm > εl , wird εl = εm − ~ω, und wir können den zweiten Term mit einer
Absorption identifizieren, für die der Nenner bei εm = εl + ~ω verschwindet. Folglich
2
−
ˆ
t
e
0
iat
t
1
1 iat dt = − e =
1 − eiat .
ia
ia
0
7.4 Wechselwirkung mit Strahlung
189
wird der erste Term groß für Emission, der zweite für Absorption. Damit ergibt sich
für die Wahrscheinlichkeit
W = a∗l al + a∗m am ,
(7.48)
was ausgeführt ergibt (hier gezeigt für die Absorption)
a∗m am
2
=< m|µx |l >
2
Ex0
2 − ei/~(εm −εl −~ω)t − e−i/~(εm −εl −~ω)t
(εm − εl − ~ω)2
.
(7.49)
Schreiben wir für den Zähler im Bruch statt
2 − ei/~(εm −εl −~ω)t − e−i/~(εm −εl −~ω)t
(7.50.1)
2 − e2i/~(εm −εl −~ω)t/2 − e−2i/~(εm −εl −~ω)t/2 ,
(7.50.2)
erkennen wir das Quadrat der sin-Funktion:
2
sin x =
mit
x=
eix − e−ix
2i
2
.
(7.50.3)
1
(εm − εl − ~ω) t,
2~
(7.50.4)
somit also
und damit für das Produkt a∗m am
−4 sin2 x
|a∗m am | = 4 < m|µx |l >2 Ex0
oder
(7.51)
2 sin2 x
,
2~x 2
(7.52)
t
2
1
2
0 2 2 sin x
<
m|µ
|l
>
(7.53)
E
t
x
x
~2
x2
womit wir die Zeitabhängigkeit der Gewichtskoeffizienten für eine Frequenz bestimmt
haben. Das muß jetzt noch über alle Frequenzen integriert werden, wobei der Einfluß
der Resonanzfrequenz durch (7.50.4) klar dominiert. Der Verlauf der Kurve x →
sin2 x/x2 , des Quadrats des Integralsinus sinc, kann der Abb. 7.5 entnommen werden,
eine Kurve, die für hinreichend große Zeitintervalle der δ-Funktion nahekommt [16,
17, 18], und das Integral von sinx x über alle Frequenzen selbst ist π:
|a∗m am | =
|a∗m am | =
π2
2
0 2 2
<
m|µ
|l
>
E
t
x
x
~2
(7.54)
190
7 Potentialkurven von Molekülen
1
1.0
0.8
0.1
f(x)
f(x)
0.6
0.4
0.01
0.2
1E-3
0.0
-180
-90
0
90
-36
180
-18
0
18
36
DE - hn [a.u.]
DE - hn [a.u.]
sin2 x
x2
Abb. 7.5. Kurvenverlauf von x →
∨
sin x 2
,
x
bei x = 0 geht der Quotient gegen Eins.
und kann direkt mit den Termen aus Kapitel 1 verglichen werden, nach denen die
Energiedichte eines Strahlungsfeldes gegeben ist durch die Gln. (1.3) und (1.24), wonach die integrale und differentielle Energiedichte
1
u = (ε0 E 2 + µ0 H 2 )
2
(1.3.2)
du
1
~ω 3
= 2 3 ~ω/k T
.
(1.24)
B
dω
π c e
−1
betragen. Gleichsetzen mit den Einsteinschen Koeffizienten ergibt für den hier
betrachteten Fall der induzierten Absorption (bei einer isotropen Verteilung wird
< m|µx |l >= 1/3 < m|µ|l >):
ρω =
d ∗
(7.55)
a am = Blm ρω ,
dt m
wobei der Koeffizient B durch Vergleich mit der klassischen Elektrodynamik, die
die Abstrahlung elektromagnetischer Energie von einem sich beschleunigt bewegten
Elektron untersucht, sich ergibt zu
4π 2
|µlm |2 .
(7.56)
3~2
Damit haben wir erstens (zusammen mit dem Beerschen Gesetz) eine Meßvorschrift
gewonnen, um die zeitabhängigen Mischungskoeffizienten bestimmen zu können:
Blm =
−dI = α(ν) I n dl
(7.57)
mit I der Lichtintensität, α(ν) des frequenzabhängigen Absorptionskoeffizienten, n
der Teilchenzahldichte, integriert
α(ν) =
I0
1
ln .
nl
I
(7.58)
7.5 Auswahlregeln
191
Die vollständige Absorption über eine Bande ist dann
ˆ ∞
A=
α(ν) dν.
(7.59)
−∞
Nach (7.56) und (1.31) ist dann
−dI = Blm ρ hνlm n dl,
(7.60)
wobei I = cρ(ω, T ).
7.4.1 Fermis Goldene Regel
Gl. (7.56) suggeriert, daß Blm für alle Dipolübergänge gleich oder zumindest ähnlich
groß sein sollte. Mit der Gl. (1.37.3) können wir die Lebensdauer τ des angeregten
Zustandes mit Gl. (7.56) in Beziehung setzen und erhalten
Blm =
3 ~c3 1
.
4 ω 3 |µlm |2
(7.61)
Schätzt man das für sichtbares Licht ab mit ω 4 · 1015 sec−1 mit µ e0 a mit a dem
Atomradius, so daß µlm ≈ 2 · 10−29 Coul m, findet man τ zu etwa 10 nsec, d. h. aber
τlm ≫ Tlm = 2π/ωlm ≈ 10−15 sec: Die angeregten Atomzustände dürfen als stationär
betrachtet werden.3
Diese Abschätzung geht auf P.A.M. Dirac zurück, ihren klangvollen Namen
erhielt sie aber durch E. Fermi [19].
7.5 Auswahlregeln
Gln. (7.41 + 7.42) sowie (7.46) bestimmen über die Definition des Matrixelements die
Auswahlregeln. Da alle Wellenfunktionen orthonormiert sind, ist das Volumenintegral
über zwei Wellenfunktionen entweder Eins oder Null:
< i∗ |j >= δij
(7.62)
mit δij dem Kronecker-Delta. Für Kreisfunktionen, also Lösungen des EigenwertProblems Elektron im Kasten“ bedeutet das nach Abb. 7.6, daß mit steigender
”
Hauptquantenzahl gerade (achsensymmetrische) und ungerade (punktsymmetrische)
Funktionen in der Hierarchie abwechseln. Das Matrixelement einer punktsymmetrischen Funktion ist jedoch immer Null. Das Matrixelement zweier benachbarter Funktionen ist daher immer Null, denn es ist nur endlich, wenn wir das Volumenintegral
über ein Produkt zweier gerader Funktionen bilden. Ein Übergang ist also nur dann
möglich ( erlaubt“), wenn wir einen zusätzlichen Operator haben, der aus einer unge”
raden eine gerade Funktion macht. Dies ist genau unser Operator des Dipolmoments.
3
Um vom Intensitätsverlust (Intensität = Bestrahlungsstärke) zum Leistungsverlust zu kommen,
muß mit dem Flächenelement ∆ = ∆Ω multipliziert werden.
192
7 Potentialkurven von Molekülen
Energie [a.u.]
15
n=4
n=3
n=2
n=1
10
5
Abb. 7.6. Für das Elektron
”
im Kasten“ wechseln hierarchiemäßig gerade und ungerade Funktionen einander ab.
0
0
45
90
135
180
Phasenwinkel [Grad]
7.5.1 Dipolmoment
Ein Dipolmoment liegt dann vor, wenn Massenschwerpunkt und Ladungssschwerpunkt eines Moleküls nicht zusammenfallen. Obwohl die Bindung zwischen C und O
im CO2 also durchaus polaren Charakter hat, ist CO2 dennoch ohne Dipolmoment,
weil obige Bedingung nicht erfüllt ist. Nehmen wir für HCl eine vollständige Ladungsseparation an (Elektron ist vollständig am Cl-Atom lokalisiert), dann berechnete sich
das Dipolmoment mit der Formel
µ = e0 d
(7.63)
und dem Abstand von 1,28 Å zu 6,14 D.4 Tatsächlich mißt man aber nur 1,08 D,5
und aus dem Verhältnis schließt man auf eine Ionizität von 17,6 %.
Wie sieht die Abhängigkeit des Dipolmoments vom Abstand aus? Eine quantitative Messung ist schwierig, aber wir finden für den Abstand 0 (united atom) und
den Abstand ∞ (Moleküle sind in ihre kleinsten Fragmente, die Atome, dissoziiert,
die kein Dipolmoment aufweisen), daß µ verschwinden muß. Also ist der prinzipielle
Verlauf wie in Abb. 7.7 gezeichnet.
Entwickeln wir das Dipolmoment um den Gleichgewichtsabstand re in eine
Taylor-Reihe,
dµ
µ = µr=re +
(r − re ) + . . . ,
(7.64)
dr r=re
sehen wir, daß das konstante Dipolmoment nichts zum Matrixelement (7.46) beiträgt,
da die beteiligten Wellenfunktionen orthonormiert sind. Ein von Null verschiedenes
Matrixelement kann aber durch den zweiten Term in Gl. (7.64) entstehen, da die
Funktion q = r − re eine ungerade Funktion ist, denn die Gerade ist eine ungerade
4
5
1 D = 3, 336 · 10−30 Coul m
Messungen des Brechungsindex oder der Dielektrizitätskontstanten
7.5 Auswahlregeln
193
dm/dr
mobs.
m [a.u.]
Abb. 7.7. Die Steigung der
Kurve Dipolmoment gegen
Abstand
beim
Gleichgewichtsabstand re bestimmt
die Stärke des Übergangs
entscheidend mit.
re
r [a.u.]
Funktion. Damit wird das Produkt zweier benachbarter Eigenfunktionen, zusammen
mit der Funktion der Verschiebung q, immer eine gerade Funktion werden, so daß das
Integral endlich wird und sich die Auswahlregel
∆n = ±1
(7.65)
ergibt. ∆n = 0 geht nicht, da wir aus einer geraden (ungeraden) Funktion dann etwas
Ungerades machen, ∆n = 2 geht deswegen auch nicht.
Genauer müssen wir das Matrixelement
2
< m|x|l > =
ˆ
∞
ψm xψl dx
(7.66)
−∞
für alle passenden Funktionen ausrechnen, wonach sich die in (7.65) geäußerte Vermutung bestätigt — allerdings nach ziemlicher Rechnerei!
Für das Elektron im Kasten“ mit Sinus-Funktionen ergibt sich z. B.
”
ˆ a mπ lπ
< m|x|l >=
x sin
x sin x dx,
(7.67)
a
a
0
was mit der Relation
1
sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)]
2
(7.68)
zu
ˆ
1 ah
π i
π
< m|x|l >=
x cos(l − m) x − x cos(l + m) x dx
a 0
a
a
´
wird. Die Integration mit x cos x dx = cos x + x sin x führt zu
a cos(l − m)π − 1 cos(l + m)π − 1
< m|x|l >= 2
−
.
π
(l − m)2
(l + m)2
(7.69)
(7.70)
194
7 Potentialkurven von Molekülen
Für 1 → 2 ergibt sich −2 + 29 , für ungerade Übergänge ist die Differenz oder die
Summe immer gerade Vielfache von π, deren Cosinus immer +1 ist, so daß die beiden
Zähler immer verschwinden, so daß sich als Auswahlregel
m=l±1
(7.71)
ergibt. Entsprechend sind für die Übergänge im Harmonischen Oszillator die Hermiteschen Polynome einzusetzen, für die sich ebenfalls
m=l±1
(7.72)
ergibt.
7.5.1.1 Elektronische Übergänge. Für elektronische Übergänge ist die erste Ableitung in Gl. (7.64) mit Gl. (7.63)
dµ
= e0 = const :
(7.73)
dr r=re
Für alle Elektronenübergänge sollte die Intensität immer gleich groß sein. Daraus ist
ersichtlich, daß hierfür die Entwicklung weiter als bis nur zum ersten Glied getrieben
werden muß.
7.6 Aufgaben und Lösungen
Aufgabe 7.1 Das Virialtheorem verlangt, daß
1
< Ekin >= s < V > fürV ∝ rs .
2
Zeigen Sie die Richtigkeit für das H-Atom und den harmonischen Oszillator!
Lösung.
Für das Zentralfeldproblem (H-Atom) gilt V ∝
1
.
r1
(1)
s ist also −1, und damit
1
< Ekin >= − < V > .
2
2
Beim harmonischen Oszillator ist V ∝ r , s ist also 2, und damit
1
< Ekin >= 2 < V >=< V > .
2
(2)
(3)
Aufgabe 7.2 Unter einem harmonischen Oszillator versteht man ein System, in dem
sich ein Teilchen der Masse m unter dem Einfluß des Potentials V (x) = (k/2)x2
bewegt, so daß es bei Auslenkung um den Betrag x aus der Ruhelage x = 0 eine
rücktreibendep
Kraft F = −kx erfährt. Die Eigenfrequenz des klasisschen Oszillators
beträgt ω0 = k/m. Der Operator lautet:
7.6 Aufgaben und Lösungen
195
H=−
~ 2 d2
k 2
x.
+
2m dx2 2
(1)
Zeigen Sie, daß die Funktionen
ψ0 = N0 e−αx
2
(2)
und
ψ1 = N1 · x · e−αx
√
2
(3)
1
mit α = 2~
m · k Eigenfunktionen des Operators H sind. Bestimmen Sie außerdem
die Energie-Eigenwerte E0 und E1 .
Lösung.
Eψ = Hψ.
(4)
Einsetzen z. B. der Gl. (2) zeigt, daß H die Funktion mit dem √
Energieeigenwert E0
1
reproduziert; dieser beträgt nach der Substitution durch α = 2~ m · k:
~ √
k k
2
E0 =
mk + x
−
;
(5)
2m
2 2
was mit
r
k
m
(6)
E0 =
~ω0
2
(7)
E1 =
3~ω
.
2
(8)
ω0 =
zu
wird. Entsprechend für Gl. (3):
Aufgabe 7.3 Wie hoch ist die mittlere kinetische Energie des harmonischen Oszillators in seinem Grundzustand? Die Eigenfunktion ist
Glockenkurve mit ψ =
q eine
1
α√
α2 x 2
ψ exp{− 2 } mit N der Normierungskonstanten
π. Stimmt die AbhängigN 0
2
keit zwischen < V > und < T >, wie sie das Virialtheorem verlangt?
Lösung.
Der Mittelwert wird bestimmt aus
< Ekin >= −
1
N
2
~2
2me
ˆ
∞
−∞
Zweimalige Differentiation der Exp-Funktion liefert
ψ
d2
ψ dx.
dx2
(1)
196
7 Potentialkurven von Molekülen
α 2 x2 2 2
α exp{−
} α x −1 .
(2)
2
√
Das
Fehlerintegral mit Vorfaktor α2 liefert α2 π, das andere mit Vorfaktor α4
√
1
α2 π; insgesamt also mit Normierungsfaktoren 14 ~ω. Damit beträgt die mittlere
2
kinetische Energie die Hälfte der Nullpunktsenergie. In diesem Fall ist also die mittlere kinetische Energie gleich der mittleren potentiellen Energie. Das Virialtheorem
verlangt, daß die kinetische Energie ausgedrückt werden kann nach
2
1
< T >= s < V >,
(3)
2
wenn V ∝ rs . Im Wasserstoffatom ist V ∝ 1r , damit ist s = −1 und < T >= − 21 < V >.
Im Harmonischen Oszillator ist V ∝ r2 , s = 2, damit wird auch hier das Virialtheorem
erfüllt.
Aufgabe 7.4 Bestimmen Sie für die Valenzkraftkonstante k = 328, 6 N/m die Frequenz der Nullpunktsschwingung im reinisotopigen Molekül 35 Cl2 !
Lösung. Auslenkung xi zweier gleich schwerer Massen um einen Schwerpunkt mit
der Koordinate r0 , der unveränderlich bleibt:
m 1 x1 = m 2 x2 ,
(1)
r = x1 + x2
(2)
mit
der Bindungslänge zu diesem Zeitpunkt.
m2
m1
r ∧ x2 =
r
m1 + m2
m1 + m2
Da wir von einem Parabelpotential am Boden des Potentialtopfes ausgehen
x1 =
1
V (r) = k(r − r0 )2 ,
2
bekommen wir zwei DGls für die beiden Massen
m1 x¨1 = −k(r − r0 ) ∧ m2 x¨2 = −k(r − r0 ).
(3)
(4)
(5)
Kreuzweises Einsetzen von (3) in (6) liefert
m1 m2
r̈ = −k(r − r0 ),
m1 + m2
was die Schwingungsgleichung einer Masse µ
m35 Cl2
m1 m2
=
.
m1 + m2
2
ist, die mit der Eigenfrequenz ω0 schwingt:
µ=
(6)
(7)
7.6 Aufgaben und Lösungen
197
ω0 =
s
k
.
µ
(8)
m35 Cl2 = 34, 969 · 1841 · 9, 1 · 10−31 = 5, 807 · 10−26 kg.
(9)
ω0 = 1, 064 · 1014 Hz.
(10)
E0 = 0, 070 eV;
(11)
damit ist E0 größer als kB T bei Raumtemperatur (RT).
Aufgabe 7.5 Das Morse-Potential zwischen zwei Atomen wird beschrieben mit der
Potentialgleichung U (r) = De {1−exp[−a(r−re )]}2 (Abb. 7.5), wobei De die Tiefe des
Potentialminimums und a die sog. Anharmonizitätskonstante, die die Abweichungen
des tatsächlichen Abstandes r vom Abstand re im Potentialminimum beschreibt.
• Welche Näherung gilt im Potentialminimum?
• Wie lautet folglich hier die Bewegungsgleichung?
• Wie hoch ist die Eigenfrequenz?
• Zeigen Sie, daß die Funktion die Lage des Minimums korrekt beschreibt!
• Bestimmen Sie aus der 2. Ableitung an der Stelle r = re die Größe a!
2
Abb. 7.8. Morse-Kurve bis
zu verschwindendem Potential
für große Abstände r.
E [eV]
0
-2
-4
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
r [Å]
Lösung. Wir starten mit der Gleichung für die Morsekurve
U (r) = De {1 − exp[−a(r − re )]}2
und linearisieren den Exp.-Term in Gl. (1):
(1)
198
7 Potentialkurven von Molekülen
U (r) = De {1 − 1 + a(r − re )}2 ⇒ U (r) = De [a(r − re )]2 :
(2)
Als Näherung erhalten wir für kleine Auslenkungen ein Parabelpotential, und die
zweimalige Ableitung liefert
U ′′ (r) = 2De a2 ,
(3)
einen Wert für die Dissoziationsenergie. Die für kleine Auslenkungen geltende harmonischep
Näherung wird mit der Bewegungsgleichung mẍ+kx = 0 mit der Eigenfrequenz
ω0 = k/m gut beschrieben. Gl. (1), ein- und zweimal abgeleitet, liefert:
U ′ (r) = De {2a exp[−a(r − re )] − 2a exp[−2a(r − re )]},
(4)
U ′′ (r) = De {−2a2 exp[−a(r − re )] + 4a2 exp[−2a(r − re )]}.
(5)
Für r = re ergibt Gl. (5) Null, und für diesen Fall stimmt die exakte Lösung mit der
Näherung (3) überein. Die zweite Ableitung an der Stelle r = re liefert auch hier
U ′′ (r) = De {−2a2 + 4a2 } = 2De a2 .
(6)
Daraus folgt einfach
′′
2
U (r) = 2a De =
me ω02
⇒ a = ω0
r
m
.
2De
(7)
Aufgabe 7.6 Das Schema für die Schwingungsniveaus des I2 -Moleküls besteht aus
einem System nahezu äquidistanter Niveaus mit einem Abstand von 215 cm−1 . Bestimmen Sie das Besetzungsverhältnis zweier benachbarter Energieniveaus!
Lösung. Wir wissen nicht, wie groß E0 ist, aber die Differenz zwischen zwei Energieniveaus ist uns bekannt. Also ist E2 − E1 = 215 cm−1 , und zwischen E3 und E2
ist die Differenz ebenfalls 215 cm−1 . Die Nullpunktsenergie ist E0 = 21 ~ω, also 215/2
cm−1 . Die Umrechnung ergibt
E = h · c · ν̄ = 0, 027 eV.
(1)
kB T bei RT ist 0,025 eV. Also ist z. B.
E1 = 1/2 E = 0, 0135 eV.
(2)
E2 = 3/2 E = 0, 0385 eV.
(3)
Egal wie, die Differenz ist immer die gleiche. Also wird das Verhältnis RT :
N2
0, 027
= exp −
= 0, 35
N1
0, 025
(4)
8 Dipole
Im ersten Teil werden wir uns mit dem statischen Dipol beschäftigen und die
Ähnlichkeit der Feldverteilung mit den winkelabhängigen Atombahnfunktionen erkennen. Dabei wird mit der cartesischen Multipolentwicklung gearbeitet. Im zweiten Teil geht es um die Abstrahlung elektromagnetischer Strahlung von bewegten Ladungen, die unvereinbar sind mit einem dynamischen
Atommodell nach Rutherford. Weiterhin lösen wir noch die Gleichung für
die Plancksche Strahlungsdämpfungskraft, die für die ursprüngliche Herleitung des Schwarzen Strahlers erforderlich ist und auch in der Theorie
des Lasers bei der Absolutbestimmung der Einsteinschen Koeffizienten eine wichtige Rolle spielt. Schließlich werden das Nah- und das Fernfeld eines
strahlenden Dipols untersucht.
8.1 Dipolpotential
Unter Verwendung der aus der Elektrostatik bekannten Gleichungen
Φ(r1 ) =
X 1 qj
4πε0 r1j
j
(8.1)
bzw. für eine Ladungsdichte
1
Φ(r1 ) =
4πε0
ˆ
ρ(2)dV2
r12
(8.2)
wird für zwei Ladungen +Q und −Q, die um d voneinander getrennt sind, das Potential an der Stelle (x, y, z) (Abb. 8.1):
#
"
−Q
1
+Q
p
+p
.
Φ(x, y, z) =
4πε0
[(z − (1/2 d)]2 + x2 + y 2
[(z + (1/2 d)]2 + x2 + y 2
(8.3)
Dieser Fall eines Ladungsensembles ist wichtig für das Potential zweier gegensätzlicher Ladungen, die um einen Abstand getrennt sind, der klein ist gegen die Entfernung, an der das Potential bestimmt wird. Man spricht von einem Dipol, z. B. Wasser
oder Ammoniak, aber auch der Hertzsche Dipol, der zur Abstrahlung von Rundfunkwellen benutzt wird.
199
200
8 Dipole
z
P(x,y,z)
Abb. 8.1. Das elektrische
Feld an der Stelle P (x, y, z)
eines weit entfernten Dipols
µ, der aus zwei Ladungen
+e0 und −e0 im Abstand d
besteht.
y
q
x
d
8.1.1 Approximatives Dipolpotential
Für den Fall, daß die beiden Ladungen immer näher aneinanderrücken, so daß d →
0, löschen die Ladungen sich aus, und das Potential verschwindet. Für sehr kleine
Abstände (r ≫ d) allerdings kann man Gl. (8.3) entwickeln, wobei wir zunächst von
einer Binomial-Entwicklung Gebrauch machen und Glieder höherer Ordnung in h
vernachlässigen:
2
d
≈ z 2 − zd.
z−
2
(8.4)
r 2 = x2 + y 2 + z 2
(8.5)
Wegen der Kugelgleichung
wird
d
z−
2
2
2
2
2
+ x + y ≈ r − zd = r
2
zd
1− 2
r
,
(8.6)
und damit wird für die Formel
1
1
1
p
p
≈
=
,
r 1 − (zd/r2 )
r2 [1 − (zd/r2 )]
[(z − (1/2 d)]2 + x2 + y 2
√
die nach erneuter Entwicklung von 1/ 1 + x ≈ 1 − 1/2 x
1
1 zd
1+
r
2 r2
1
p
ergibt. Entsprechend für die andere Hälfte der Gl. (8.3)
1
1 zd
1
≈−
1−
−p
r
2 r2
[(z + (1/2 d)]2 + x2 + y 2
ergibt. Damit ergibt sich als Summe für das skalare Potential eines Dipols
(8.7.1)
(8.7.2)
(8.7.3)
8.1 Dipolpotential
201
Φ(x, y, z) =
1 z
Qd :
4πε0 r3
(8.8)
das Potential eines Dipols ist proportional dem Produkt aus Ladung und Abstand,
dem Dipolmoment µ = Qd. Beachten wir noch, daß
z = r cos θ,
(8.9)
wobei θ der Winkel zwischen der Dipolachse und dem Radiusvektor zum Punkt
(x, y, z) ist, können wir Gl. (8.8) schreiben als
Φ(x, y, z) =
1 µ cos θ
:
4πε0 r2
(8.10)
Das Potential eines Dipols fällt mit 1/r2 von der Dipolachse ab, das elektrische Feld
folglich mit 1/r3 . Gl. (8.9) eröffnet uns noch den Weg einer besonders eleganten,
vektoriellen Schreibweise für das Potential des Dipols, ist doch
q
P
-
m q
er
q+
Abb. 8.2. Der Dipol in vektorieller Schreibweise.
µ cos θ = µ · er
(8.11)
mit er dem Einheitsvektor des Radiusvektors, wenn der Punkt (x, y, z) durch r charakterisiert wird. Damit erhalten wir für das Potential eines Dipols (Abb. 8.2):
Φ(r) =
1 µ · er
1 µ·r
=
,
4πε0 r2
4πε0 r3
(8.12.1)
eine Formel, die für jede beliebige Orientierung der Dipolachse zum Radiusvektor gilt.
Danach ist das Potential auf der Symmetrieebene des Dipols Null, nicht aber das Feld
E (Abb. 8.3).
Da wegen ∇ 1r = − rr3 gilt, kann man für das Potential eines Dipols auch
1
Φ(r) = −
µ·∇
4πε0
e 1
1
0
∇
=d·−
= −d · ∇φ(r)
r
4πε0
r
(8.12.2)
schreiben: Das Potential eines Dipols ist der Gradient des Potentials einer Punktladung, φ(r), skalar multipliziert mit dem Abstand der beiden den Dipol konstituierenden Teilladungen, was eine Manifestation des Superpositionsprinzips ist.
202
8 Dipole
Abb. 8.3. Elektrischer Dipol:
Äquipotentialflächen, aus denen der elektrische Feldstärkevektor als Flächennormale
(Gradient) entsteht. Die Feldlinien beginnen auf den Oberflächen der positiven Ladungen und enden auf denen der
negativen, so daß das Potential
auf der Dipolachse Null wird.
Äquipotentialfläche
Linien des
elektrischen Feldes
8.1.2 Das elektrische Feld eines Dipols
ermitteln wir komponentenweise aus Gl. (8.8) (zkµ) unter Beachtung von r3 = (x2 +
p
3
y 2 + z 2 ) /2 und r = x2 + y 2 + z 2 , so daß
∂ z r3 − 3/2 zr2z
=
,
∂z r3
r6
∂ z −3zr2x
=
,
∂x r3
2r6
∂ z −3zr2y
=
,
∂y r3
2r6
woraus mit Gl. (8.8)
(8.13.1)
(8.13.2)
(8.13.3)
∂Φ
µ
µ 3 cos2 θ − 1
µ ∂ z
1
3z 2
Ez = Ek = −
=
−
=
=−
·
·
1
−
,
∂z
4πε0 ∂z r3
4πε0 r3
r2
4πε0
r3
(8.14.1)
wird, sowie
µ 3zx
µ 3zy
∧
E
=
,
(8.14.2)
y
4πε0 r5
4πε0 r5
die zusammengefaßt eine Komponente ergeben, die senkrecht zur z-Achse (und damit zur Dipolachse) in der xy-Ebene orientiert ist, und die daher die transversale
Komponente genannt wird (Abb. 8.4):
Ex =
E⊥ =
da
q
Ex2 + Ey2 =
µ 3z p 2
µ 3 cos θ sin θ
,
x + y2 =
5
4πε0 r
4πε0
r3
p
√
x2 + y 2 = r 2 − z 2 = r
r
1−
√
z2
= r 1 − cos2 θ = r sin θ.
2
r
(8.14.3)
(8.15)
8.1 Dipolpotential
203
E
E
Q
E
Abb. 8.4. Elektrischer Dipol.
Eingezeichnet sind Ek und E⊥ .
vz
Für θ = 0◦ und θ = 90◦ ist nach der Gl. (8.14.3) die transversale Komponente
Null; das Feld besteht hier nur aus einer axialen Komponente, wobei das Feld für
θ = 0◦ doppelt so groß und entgegengesetzt dem Feld bei θ = 90◦ gerichtet ist. Der
Gesamtbetrag der elektrischen Feldstärke ergibt sich zu
q
µ √
3 cos2 θ + 1.
|E| = Ez2 + E⊥2 =
(8.16)
4πε0 r3
Die Komponenten Er und Eθ finden wir durch Ableitung der Potentialgleichung (8.10)
zu1
1 2µ cos θ
∂Φ(r, θ)
=
,
∂r
4πε0 r3
(8.17.1)
1 µ sin θ
1 ∂Φ(r, θ)
=−
.
r ∂θ
4πε0 r3
(8.17.2)
Er = −
Eθ = −
Eine sehr viel elegantere Ableitung ergibt sich direkt aus Gl. (8.12.1) mit der Produktregel zu
1
1
1
E = −∇Φ(r) = −
∇µ · r + µ · r ∇ 3 .
(8.18.1)
4πε0 r3
r
Ausdifferenzieren ergibt z. B. für den ersten Term der Summe
∂
(µx x) = µx i,
∂x
also für drei (kartesische) Komponenten:
∇(µ · r) =
∇(µ · r) = µx i + µy j + µz k = µ,
während der zweite Term, z. B. in x-Richtung, ergibt:
1
In Polarkoordinaten ist die Ableitung
∂
∂
∂
1 ∂
+
=
+
.
∂x ∂y
∂r
r ∂θ
(8.18.2)
(8.18.3)
204
8 Dipole
∂ 1
∂r
= −3r−4 ·
.
3
∂x r
∂x
oder
∂r
1
2x
= p
i,
2
∂x
2 x + y2 + z2
1 2x
∂r
=
i,
∂x
2 r
so daß insgesamt sich für die x-Komponente
∂ 1
3
= − 5 xi,
3
∂x r
r
und für die drei Komponenten sich entsprechend
3
1
=
−
r,
r3
r5
ergeben. Damit folgt für das elektrische Feld
3(µ · r) r
1
E=
−µ .
4πε0 r3
r2
∇
(8.18.4)
(8.18.5)
(8.18.6)
(8.18.7)
(8.18.8)
(8.19)
Diese einzelnen Komponenten sind in den Polarkoordinatendarstellungen des
Abb. 8.5 explizit dargestellt.
8.1.3 Zusammenfassung
Das Potential eines Feldes mit verschwindender Gesamtladung ist in großen Entfernungen dem Quadrat und die Feldstärke der dritten Potenz der Entfernung umgekehrt
proportional. Es besitzt Axialsymmetrie um die Achse d, die auch die z-Achse des
Koordinatensystems darstellt.
8.2 Multipolentwicklung
Natürlich ist die Entwicklung des Potentials für r → 0 wegen der auftretenden Singularität besonders interessant. Dabei muß beachtet werden, daß der Ort r, an dem
das Potential tatsächlich bestimmt wird, von dem Ort der Erzeugung des Potentials,
nämlich der Ladungsverteilung, die durch einzelne Momente i an den Orten m Ort
r i erzeugt wird, verschieden ist.
Man unterscheidet zwei unterschiedliche Entwicklungen, nämlich die cartesische
und die sphärische Multipolentwicklung, die mit den Kugelfunktionen behandelt wird.
Die Funktion Φ = Φ(x, y, z) lautet
n
1 X Qi
Φ(r) =
4πε0 i=1 |r − r i |
(8.20)
8.2 Multipolentwicklung
205
90
120
2
1
90
60
150
Eparallel
120
2
30
1
0
Esenkrecht
30
150
0
-1 180
0
-1 180
0
0
0
210
1
2
330
240
1
210
2
300
330
240
270
90
4
120
300
270
60
150
90
E2parallel
3
2
60
120
2.0
30
1.5
1.0
1
60
2
E senkrecht
150
30
0.5
0 180
0
0.0 180
1
2
1.0
330
210
1.5
3
4
0
0.5
240
210
2.0
300
270
330
240
300
270
90
2.0
120
60
1.5
1.0
150
(E2parallel + E2senkrecht)1/2
30
0.5
0.0 180
0
0.5
1.0
210
330
1.5
2.0
240
300
270
Abb. 8.5. Oben: Die Komponenten der Feldstärke eines Dipols. Für θ = 0◦ (Sender und
Empfänger stehen parallel) und θ = 90◦ (Sender und Empfänger stehen senkrecht zueinander) ist nach Gl. (8.14.3) die transversale Komponente Null; das Feld besteht hier nur aus
einer axialen Komponente (lks.), wobei das Feld für θ = 0◦ doppelt so groß und entgegengesetzt dem Feld bei θ = 90◦ gerichtet ist; re.o.: das transversale Feld. M. Lks.: Das Quadrat
der Komponente der axialen Feldstärke, M.re.: das Quadrat der transversalen Komponente.
Unten die für die vom Dipol abgestrahlte Energie wichtige gesamte Feldstärke, berechnet
nach Gl. (8.16).
und wird in eine Taylor-Reihe entwickelt, deren erste beide Ordnungen lauten:
)
( n
n
X Qi X
1
1
Φ(r) =
Qi ∇
(8.21.1)
+
· r′ ,
4πε0 i=1 |r| i=1
|r| i
in Komponenten zerlegt
206
8 Dipole
Φ(r) =
( n
X Qi
1
4πε0
i=1
|r|
−
n
X
i=1
∂
Qi
∂x
1
|r|
x′i −
n
X
i=1
∂
Qi
∂y
1
|r|
yi′ −
n
X
i=1
∂
Qi
∂z
1
|r|
)
zi′ ,
(8.21.2)
wobei
∇
1
r
= − 3.
|r|
r
(8.21.3)
Sehen wir uns das erste Glied an:
n
1X
Qi ,
r i=1
(8.21)
stellen wir fest, daß es für eine neutrale Molekel, aber auch für ein Ensemble von Ladungen, die sich gegenseitig kompensieren, verschwindet. Für eine Überschußladung,
also einen Monopol, fällt das Potential mit 1/r ab. In großer Entfernung wirkt jede
Ladungsverteilung wie eine Punktladung. Die nächsten drei, die die erste Ableitung
enthalten, lauten
−
was
n
X
i=1
∂
Qi
∂x
n
n
X
X
∂ 1
∂ 1
1
′
′
Qi
Qi
xi −
yi −
zi′ ,
r
∂y
r
∂z
r
i=1
i=1
1
r3
(
x
n
X
Qi x′i
i=1
+y
n
X
Qi yi′
i=1
+z
n
X
Qi zi′
i=1
)
(8.22.1)
(8.22.2)
ergibt. Das sind die Dipolmomente. Die nächste Näherung umfaßt die Quadrupolmomente
n
n
∂2
1 XX
Qij xi yi
2 i j
∂Xi ∂Yi
1
+ ...
r
(8.23)
mit Qij dem Tensor des Quadrupolmoments. Dabei sind die xi , yi die Komponenten
des Vektors r i , die Xi , Yi aber die Komponenten des Vektors r.
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
8.3.1 Intensität des Strahlungsfeldes in großen Entfernungen (Fernfeld)
Es soll das Feld, das durch ein Ensemble bewegter Ladungen in Entfernungen erzeugt wird, die groß im Verhältnis zu dessen Ausdehnung sind, bestimmt werden. Aus
Gründen der Rationalität und der Ästhetik wird in diesem Abschnitt das Gausssche
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
207
System verwendet.2 Im speziellen betrachten wir einen Aufpunkt P , seinen Radiusvektor vom Ursprung mit R = Rn, der Radiusvektor des Ensembles de = ρd3 r sei r,
und der von der Ladungsverteilung zum Aufpunkt P gerichtete Vektor sei x, dann
ist (Abb. 8.6)
a3
P
x
d
r
R= Rn
a1
Abb. 8.6. Zur Nomenklatur eines Ladungsensembles, das um den Abstand
x vom Aufpunkt P entfernt ist.
a2
x=R−r
(8.24)
und für große Entfernungen vom Ensemble (R ≫ r) gilt dann näherungsweise
x = |R − r| ≈ R − r · n
(8.25)
mit r · n der Projektion des Vektors r auf den Vektor R. Damit ist bei einer Ausbreitungsgeschwindigkeit c das Potential der Ladungsverteilung mit dem Radiusvektor r
am Aufpunkt P mit dem R zur Zeit t
1
x
= t′ + (R − r · n)
(8.26)
c
c
angekommen, oder umgekehrt: Die Ladungsverteilung zur Zeit t′ am Punkt r bestimmt das Potential am Punkt P zum späteren Zeitpunkt t. Damit ergeben sich die
beiden Potentialgleichungen zu
ˆ
1
(8.27.1)
Φ=
ρt− 1 (R−r·n) dV,
c
R
t = t′ +
2
In diesem System haben E und H dieselbe Einheit, weil sie verschiedene Komponenten des
elektromagnetischen Feldstärketensors sind, und sie lassen sich durch die Lorentz-Transformation
elegant ineinander überführen. Die relativistische Struktur der Elektrodynamik kommt darüber hinaus durch die 1/c-Faktoren besser zum Ausdruck. So ist der Zusammenhang zwischen H und B
durch B = Hc gegeben. Die Einheit der magnetischen Flußdichte ist [B] 1 G(auss), was 10−4 T im
SI-System sind; die Einheit der magnetischen Feldstärke aber [H] = 1 Oe = 1000
4π A/m ≈ 80A/m.
208
8 Dipole
1
A=
cR
ˆ
j t− 1 (R−r·n) dV.
c
(8.27.2)
Die Ausbreitung des Feldes erfolgt in hinreichend großem Abstand vom Ensemble
der Ladungsträger durch ebene Wellen (sog. Fernzone), in der zusätzlich auch die
Länge der vom Ensemble abgestrahlten (Kugel-)Welle klein gegen die Entfernung
zwischen Ladungsträgerensemble und Aufpunkt sein muß:
kx ≫ 2π
(8.28)
mit k dem Wellenvektor oder skalar der Wellenzahl
2π
2π
∨k =
n,
(8.29)
λ
λ
wobei n der zum Wellenvektor parallele Einheitsvektor ist. — In einer ebenen Welle
sind übrigens die beiden Vektoren E und H betragsmäßig gleich groß und stehen
senkrecht aufeinander, so daß
k=
H = E × n ∧ |B| =
|E|
.
c
(8.30)
Wir erinnern uns, daß die Coulomb-Eichung
∇·A=0
(8.31)
für quellenfreie Felder Anwendung findet, wenn das betrachtete Volumenelement also
frei von Ladungen ist, und daß sich das E-Feld errechnen läßt nach dem Faradayschen Gesetz
∇×E =−
1 ∂H
c ∂t
(8.32.1)
und der Tatsache, daß
H = ∇ × A,
(8.32.2)
woraus umgekehrt für die Abhängigkeit von E von A
∇×E =−
1∂
∇×A
c ∂t
(8.32.3)
folgt und für das Feld E selbst
1 ∂A
.
(8.32.4)
c ∂t
Daraus ergibt sich sofort mit Gl. (8.30) H als von A zeitabhängige Größe zu
E=−
1 ∂A
×n
(8.33)
c ∂t
mit n dem Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung. Damit ist ersichtlich, daß H ⊥
E ⊥ k. Für die x-Achse des (eindimensionalen) Nabla-Operators muß im Prinzip die
H=−
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
209
retardierte Zeit aus Gl. (8.26) Berücksichtigung finden. Ändert sich aber die Ladungsverteilung mit dem Durchmesser d während des Zeitraums T = 1c (r · n) jedoch nur
geringfügig (Abb. 8.6), kann man diesen Term vernachlässigen. Dazu muß offenbar
sein:
d≪r·n
(8.34.1)
oder
1
d
(r · n) ≫ .
(8.34.2)
c
c
Wir bemerken, daß das Produkt aus c und T die Wellenlänge der vom System ausgesandten Strahlung ist ( νc = λ), so daß (8.34.2) auch in die Form
T =
λ≫d
(8.35)
gekleidet werden kann: Der Durchmesser der Ladungsverteilung muß klein gegen die
Länge der abgestrahlten Wellen sein. Aus Gl. (8.34.2) geht noch hervor, daß die
Geschwindigkeit, mit der eine Änderung der Ladungsverteilung erfolgt, klein sein
muß gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c:
T ≫
d
d
⇒c≫ .
c
T
(8.36)
Damit wird aus Gl. (8.27.2)
1
A=
cR
ˆ
j t′ dV,
(8.37)
weil wegen r·n ≪ 1 die Zeit t′ = t − 1c (R − r · n) nicht mehr von der von der Integrationsvariablen abhängt. Mit der Beziehung j = ρv und übergehend zu Punktladungen
können wir schreiben:
A=
1 X
e0 v i ,
cR i
(8.38)
wobei alle Größen auf der rechten Seite zur Zeit t′ zu nehmen sind, um das Potential
A zur Zeit t am Ort x zu ermitteln. In der Summe ist das sich ändernde Dipolmoment
enthalten:
X
e0 v i =
i
d X
e0 xi = µ̇
dt i
(8.39)
mit µ dem Dipolmoment des Gesamtsystems. Damit folgt für das Magnetfeld mit
den Gln. (8.30) + (8.33):
1
µ̈ × n.
(8.40)
c2 R
Bei Vernachlässigung höherer Momente ist folglich die Intensität der Abstrahlung
durch die zweiten Ableitung des Dipolmomentes
H=
210
8 Dipole
µ̈ =
X
e0 ẍi ,
(8.41)
i
nach der Zeit gegeben: Ladungen strahlen, wenn sie sich beschleunigt bewegen.
Gleichförmig bewegte Ladungen strahlen nicht, was auch aus dem Inertialprinzip
hervorgeht. Eine gleichförmig bewegte Ladung ist danach von einer ruhenden nicht
zu unterscheiden; eine ruhende Ladung strahlt aber nicht.
Der Energietransport einer ebenen Welle ist durch den Poynting-Vektor gegeben:
c
E × H.
4π
Mit den Gln. (8.33), (8.38) und (8.39) wird für die beiden Feldvektoren:
S=
H=
1
c2 R
E=
µ̈ × n,
1
(8.42)
(8.43.1)
µ̈;
(8.43.2)
2
1
[µ̈ × µ̈ × n]
R
(8.44.1)
2
1
[µ̈(µ̈ · n) − [n(µ̈ · µ̈)]
R
(8.44.2)
c2 R
und damit für S
1
S=
4πc3
was mit dem Entwicklungssatz
1
S=
4πc3
ergibt. Der erste Term verschwindet, da µ̈ ⊥ n, und der zweite steht senkrecht auf
der Dipolachse, in der die Abstrahlung Null ist. Für die Intensität folgt
I = P = S · dA
(8.45)
in Einheiten von Energie pro in der Zeiteinheit durchstrahltes Flächenelement dA,
das in Kugelkoordinaten
dA = doR2 = 2π sin θdθR2
(8.46)
mit dem auf der Oberfläche o senkrecht stehenden Normalenvektorelement, so daß
I=
ˆ
0
I
dI =
ˆ
0
A
2
R S · do = 2π
ˆ
π
S R2 sin ϑdϑ
(8.47)
0
mit ϑ dem Winkel zwischen den Vektoren o und n. Wir erhalten für die Intensität
selbst mit den Gln. (8.44.2) + (8.46)
ˆ π
1
I=
µ̈2 sin2 ϑ sin ϑ2πdϑ;
(8.48)
4πc3 0
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
211
mit dem Integral
ˆ
0
π
4
sin3 ϑdϑ = − cos ϑ + 1/3 cos3 ϑ|π0 = ,
3
(8.49)
bekommen wir für die Intensität (= abgestrahlte Leistung)
2 2
µ̈ ,
3c3
was mit der im SI- System erhaltenen Formel
I=
I=
1
µ̈2
6πε0 c3
(8.50.1)
(8.50.2)
genau übereinstimmt, da ε0 = 1/4π.
Wir ersehen daraus, daß nach der klassischen Theorie ein atomares Planetensystem instabil sein muß, da das sich beschleunigt bewegende Elektron, gleichgültig,
ob es sich um eine (kreisförmige) Umlaufbahn noch eine Pendeltrajektorie handeln
würde, Energie abstrahlen würde.
8.3.2 Nahfeld
Für λ ≈ R oder kR ≈ π müssen die Feldgleichungen genauer untersucht werden.
Insbesondere kann das Feld nicht mehr als ebene Welle angesehen werden, weswegen
die Gln. (8.4) nicht mehr anwendbar sind. Dies gilt jedoch nicht für die Gln. (8.38)
und (8.39) für das Vektorpotential, da hier nur vorausgesetzt wird, daß R ≫ µ ist.
Insbesondere ergibt sich die Näherung der Lösung der beiden Potentialgleichungen als
ebene Welle nur wegen der Quellenfreiheit (8.31). Wir beginnen mit den Gln. (8.38)
und (8.39), die
A=
µ̇t′
cR
(8.51)
ergeben, wobei alle Größen auf der rechten Seite zur Zeit t′ = t − Rc zu nehmen sind,
um das Potential A zur Zeit t am Ort x zu ermitteln, und der Lorentz-Eichung
∇·A+
1 ∂Φ
=0
c ∂t
(8.52)
erhalten wir bei Integration über die Zeit
∇ · µ̇t′ 1 ∂Φ
+
= 0,
cR
c ∂t
(8.53)
also
Φ = −∇ ·
Weiters gilt für die beiden Felder
µt′
.
R
(8.54)
212
8 Dipole
1
µ̇ ′
H =∇×A⇒H = ∇× t
c
R
µt′ µ̈t′
1 ∂A
− ∇Φ ⇒ E = ∇ ∇ ·
− 2 .
E=−
c ∂t
R
cR
µt′
In Gl. (8.55.2) können wir, da für R die Wellengleichung
1 ∂ 2 µt′
µ′
=∆ t
2
c ∂t R
R
(8.55.1)
(8.55.2)
(8.56)
gelten muß, den Subtrahenden auch schreiben als
1 µt′
∆ ,
c2 R
womit wir für das elektrische Feld
µ′
µ ′
E =∇ ∇· t −∆ t ,
R
R
(8.57)
erhalten, was aber leicht umgeschrieben werden kann zu
E =∇×∇×
µ′t
R
.
(8.58)
Diese Gleichung bestimmt das Feld in Entfernungen, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind.
8.3.2.1 Fourier-Komponenten. Die Fourier-Komponenten H ω und µω in Gl.
(8.55.1) werden durch
′
H → H ω e−iωt
(8.59.1)
und
′
µ → µω e−iωt
ersetzt, wobei t′ = t −
R
c
und c =
ω
k
oder
ω
c
(8.59.2)
= k sind:
H → H ω e−iω(t− c )
(8.60.1)
µ → µω e−iω(t− c ) ,
(8.60.2)
R
und
R
und wir erhalten für die Zeitableitung selbst
µ̇ω = −iωµω ei(kR−ωt) .
(8.61)
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
213
H-Feld. Also folgt für H ω e−iωt :
Hω e
−iωt
iω
ei(kR−ωt)
= − ∇ × µω
.
c
R
ω
c
Kürzen durch e−iωt und Beachtung von k =
(8.62)
liefert nun wunderschön
eikR
H ω = −ik∇ × µω
R
.
(8.63)
Die Rotation ergibt zwei Terme:
eikR
eikR
eikR
∇ × µω − µω × ∇
,
=
∇ × µω
R
R
R
(8.64)
von denen der erste wegen der fehlenden Ortsabhängigkeit von µω Null ist. Somit
folgt für H ω :
eikR
H ω = ik µω × ∇
R
.
(8.65)
Ausführen der Ableitung ergibt (n = R/R)
H ω = ikµω × n
ik
1
− 2
R R
eikR ,
(8.66.1)
ikR
e
1
−1
,
ikR
R
(8.66.2)
bzw. nach Ausklammern von k 2 :
2
H ω = k µω × n
oder {Jackson, Gl. (9.18.1) [20]}:
2
H ω = k n × µω
bzw. in SI-Einheiten (H → B, Faktor
1
1−
ikR
eikR
R
(8.66.3)
1
)
4πε0 c
ikR
k2
1
e
Bω =
n × µω 1 −
.
4πε0 c
ikR
R
(8.66.4)
Die magnetische Feldstärke steht immer auf dem Radiusvektor (oder dem Wellenvektor) senkrecht. Von den zwei Termen repräsentiert der erste das Fernfeld mit einer
1/R-Abhängigkeit, der zweite dagegen das Nahfeld mit 1/R2 , der um 90◦ gegenüber
dem Fernfeld phasenverschoben ist. Also ist die Phasengeschwindigkeit von H ω Rabhängig — im Gegensatz zu A, das immer parallel zu µω steht.
214
8 Dipole
E-Feld. Aus Gl. (8.55.2) folgt für E ω e−iωt :
µω ei(kR−ωt)
1 ∂2
−iωt
Eω e
=∇ ∇·
µω ei(kR−ωt) .
− 2
2
R
c R ∂t
(8.67)
Ausführen der Zeitableitung unter Beachtung von k = ωc und nachfolgendes Kürzen
von e−iωt liefert
µω eikR
k2
Eω = ∇ ∇ ·
(8.68)
+ µω eikR .
R
R
Natürlich ist der erste Term der interessantere:
ikR
e
eikR
µω eikR
∇ · µω + µω · ∇
=∇
,
∇ ∇·
R
R
R
(8.69)
davon ist der erste Term wegen Konstanz von µω wie oben Null, und der zweite Term
ergibt analog zu Gl. (8.66.1) mit n = R/R:
ik
1
eikR
= µω · n
−
µω · ∇
eikR
(8.70.1)
R
R R2
oder
eikR
= µω · R
µω · ∇
R
ik
1
− 3
2
R
R
eikR .
Davon ist nun der Gradient zu bilden:
ik
1
ikR
−
∇ (µω · R)
e
.
R2 R3
(8.70.2)
(8.71)
Term (1) liefert
k2
2ik ikR
ik ikR
= 2 e µω + (µω · R)n − 2 − 3 e .
R
R
R
(8.72.1)
2
k
2ik ikR
ik ikR
= 2 e µω + (µω · n)n − − 2 e ,
R
R
R
(8.72.2)
ik
∇ (µω · R) 2 eikR
R
oder
ik
∇ (µω · R) 2 eikR
R
Term (2) aber
eikR
∇ (µω · R) 3
R
=
eikR
eikR
∇(µ
·
R)
+
(µ
·
R)∇
.
ω
ω
R3
R3
Der Gradient von µω · R ist aber µω [Gln. (8.18)], so daß wir erhalten:
(8.73)
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
eikR
∇ (µω · R) 3
R
215
eikR
= 3 µω + (µω · R)n
R
ik
3
−
R3 R4
eikR
(8.74.1)
eikR .
(8.74.2)
bzw. nach Division durch R:
eikR
∇ (µω · R) 3
R
eikR
= 3 µω + (µω · n)n
R
ik
3
−
R2 R3
Damit sind wir fertig. Wir fassen zusammen und erhalten mit unserem lange nicht
mehr beachteten zweiten Term aus Gl. (8.68)
E ω = µω
ik
1
k2
+ 2− 3
R
R
R
e
ikR
k 2 3ik
3
+ (µω · n)n − − 2 + 3
R
R
R
eikR .
(8.75)
Das ist Gl. (9.18.2) aus dem Jackson [20], wenn man beachtet, daß das dreifache
Kreuzprodukt dort leicht umgeschrieben werden kann (hier gleich in SI-Einheiten
1
mit dem unvermeidlichen Faktor 4πε
):
0
k2
eikR
Eω =
[n × µω ] × n
+ (3n(n · µω ) − µω )
4πε0
R
ik
1
− 2
3
R
R
eikR .
(8.76)
• Das elektrische Feld hat Komponenten parallel und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
• Der erste Term repräsentiert die Fernzone:
H ω = k 2 n × µω
eikR
,
R
E ω = k 2 [n × µω ] × n eikR = H ω × n :
(8.77.1)
(8.77.2)
E ω ⊥ n ⊥ H ω , beide Felder sind in Phase.
• Der zweite Term ist nicht transversal, für sehr kurze Abstände mit kR ≪ 2π
dominiert der Term mit R13 — ein reines elektrisches Dipolfeld:
H ω = ik[n × µω ]
eikR
R2
eikR
E ω = (3n(µω · n) − µω ) 3 .
R
(8.78.1)
(8.78.2)
Für k → 0, also im statischen Limit, verschwindet der magnetische Term, und
die Nahzone erstreckt sich bis nach Unendlich.
216
8 Dipole
8.3.3 Strahlungsdämpfungskraft
Wir wissen, daß nach dem 2. Newtonschen Axiom eine geladene Partikel mit der
Masse m sich unter dem Einfluß einer externen Kraft F ext beschleunigt bewegt. Dabei strahlt sie eine bestimmte Leistung nach Gln. (8.49/50) ab, die algebraisch in
der Bewegungsgleichung dem Einfluß einer Dämpfungskraft bei einer mechanischen
Schwingung gleichgesetzt werden kann [21]:
mv̇ = F ext + F rad .
(8.79)
Die Arbeit, die durch F rad verrichtet wird, soll dem Wert der Energie, die in dieser
Zeit vom System abgestrahlt wurde (daher negativ zu werten ist), gleich sein (µ =
qd, µ̈ = q v̇). Auf der linken Seite steht das Integral für die Arbeit, auf der rechten
Seite das Leistungsintegral:
ˆ t2
ˆ
2 t2 e20
F rad · v dt = −
v̇ · v̇ dt,
(8.80)
3 t1 c3
t1
was mit partieller Integration
2
3
ˆ
t2
t1
t2
2 e20
e20
v̈
·
v
dt
−
v
·
v̇
c3
3 c3
t1
(8.81)
ergibt. Bei einer periodischen Bewegung ist T = t2 − t1 und damit verschwindet das
Produkt v · v̇ an den Umkehrpunkten und im Nulldurchgang, woraus
ˆ t2
ˆ
2 t2 e20
F rad · v dt =
v̈ · v dt,
(8.82)
3 t1 c3
t1
folgt, so daß wir für die Strahlungsdämpfungskraft selbst den Wert von
2 e20
v̈
(8.83)
3 c3
erhalten, und es ergibt sich die Bewegungsgleichung von Abraham-Lorentz:
F rad =
F ext = m(v̇ − τ v̈).
(8.84)
Wenn die äußere Kraft verschwindet, hat Gl. (8.84) zwei Lösungen, eine triviale (v̇ =
0) und eine zweite, die sich aus
d dv
dv
=τ
dt
dt dt
(8.85)
dv̇
t
dt
=
= d ln v̇ ⇒ ln v̇ = + const
τ
v̇
τ
(8.86)
ergibt:
mit
8.3 Abstrahlung von bewegten Ladungen
217
2 e20
.
(8.87)
3 mc3
Diese Gleichung also den einmaligen Fall mit einer dritten Zeitableitung, und damit
erhalten wir für verschwindende externe Kraft die zwei Lösungen
0
v̇ =
;
(8.88)
aet/τ
τ=
wobei a die Beschleunigung zum Zeitpunkt t = 0 ist. Entsprechend unserer Ableitung
aber wäre im Nulldurchgang v · v̇ verschieden von Null. Entweder ist also v̇ Null und
damit v const, oder die Beschleunigung wächst unbeschränkt mit der Zeit. Daher
kann diese Gleichung nur eine kleine Korrektur sein.
Die Lösung dieser Schwierigkeit liegt aber in Wirklichkeit in der unendlich großen
elektromagnetischen Eigenmasse der Elektronen.
218
8 Dipole
Literaturverzeichnis
[1] F.W. Dyson, A.S. Eddington, C. Davidson: A Determiantion of the Deflection of Light
by the Sun’s Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May
29, 1919, Phil. Transact. Royal Soc. A 220, 291 (1920)
[2] E. Raisig: Eddingtons Expedition macht Einstein zum Superstar, DLF, Forschung aktuell, 16. 06. 2015
[3] A.H. Compton, Phys. Rev. 21, 483 (1923)
[4] C. Schäfer: Einführung in die theoretische Physik, III, 2: Quantentheorie, Walter de
Gruyter, Berlin, 1937, S. 17 ff.
[5] R. Bachmann: Temperaturabhängigkeit der Austrittsarbeit von Silizium, Phys. kondens.
Materie 8, 31 (1968)
[6] W. Finckelnburg: Einführung in die Atomphysik, 5. + 6. Auflage, Springer-Verlag,
Berlin, 1958, S. 167
[7] J. Franck, G. Hertz: Über Zusammenstöße zwischen Elektronen und den Molekülen des
Quecksilberdampfs und die Ionisierungsspannung desselben. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 16, 457 − 467 (1914), zitiert in: Pioniere der Wissenschaft bei Siemens, herausgegeben von E. Feldtkeller und H. Goetzeler, Publicis MCD
Verlag, Erlangen, 1994, S. 78 − 83
[8] W.B. Nottingham, Phys. Rev. 55, 203 (1939), zitiert von S.C. Brown: Introduction to
Electron Discharges in Gases, J. Wiley & Sons, 1966, S. 85
[9] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, AddisonWesley, Reading, Mass., 6th ed., 1972, Vol. II, Kap. 28
[10] J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 1st ed., J. Wiley & Sons, Inc., New York,
N.Y., 1962, Abschn. 17.4, S. 589
[11] A. Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes, Ann.
Phys. 35, 898 (1911)
[12] U. Keller et al., Nature Physics 4, 565 (2008)
[13] E. Schrödinger: Die gegenwärtige Situation der Quantenmechanik ¶5. Sind die Variablen wirklich verwaschen? Naturwiss. 48, 52 (1935)
[14] R.
Müller:
Dekohärenz
—
vom
Erscheinen
der
klassischen
Welt,
http://homepages.physik.uni-muenschen.de/ milq/kap6/images/decoher.pdf
[15] L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik III: Quantenmechanik, 5. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1974, Kap. 36, Gln. (36.16)
[16] A.A. Sokolow, J.M. Loskutow, L.M. Ternow: Quantenmechanik, Akademie-Verlag, Berlin, 1964, S. 519
[17] A.A. Sokolow, J.M. Loskutow, L.M. Ternow, ibid, S. 536
[18] L.D. Landau, E.M. Lifschitz: ibid, Kap. 42
219
220
Literaturverzeichnis
[19] E. Fermi: Nuclear Physics, University of Chicago Press, 1950, S. 142
[20] J.D. Jackson: ibid, Absn. 9.2, S. 271
[21] J.D. Jackson: ibid, Kap. 17, S. 582 ff.
Außerdem wurde auf folgende Bücher — aber auch meine eigenen Aufzeichnungen —
zurückgegriffen:
• D.I. Blochinzew: Grundlagen der Quantenmechanik, 6. Auflage, Verlag Harri
Deutsch, Frankfurt am Main und Zürich, 1972
• M. Born: Optik, 3. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, 1972
• F. A. Cotton: Chemical Applications of Group Theory, 2nd edition, J. WileyInterscience, New York/London, 1971
• R. Eisberg, R. Resnick: Quantum Physics, 2. Auflage, John Wiley, New York,
N.Y., 1985
• H. Haken, H.C. Wolf: Atomphysik und Quantenphysik, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000
• L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik III: Quantenmechanik, 5. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin, 1974
• A.A. Sokolow, J.M. Loskutow, L.M. Ternow: Quantenmechanik, AkademieVerlag, Berlin, 1964
• P.A. Tipler, R. Llewellyn: Modern Physics, 5th ed., Bedford, Freeman & Worth
Publishing Group, LLC, New York, N.Y., 2008