Wiederholung zur Mathematischen Logik

Prof. Dr. H. Iwe
21. Februar 2002
Mathematische Logik
Bei der mathematischen Logik handelt es sich um eine formalisierte Theorie. Sie spielt in der
gesamten Informatik eine zentrale Rolle fü r die Beschreibung formaler Systeme wie Programmiersprachen, Datenmodelle oder Wissensrepräsentationsmodelle. Neben ihrer Verwendung zur Formalisierung kann Logik auch direkt dazu herangezogen werden, Wissen zu repräsentieren und
Schlussfolgerungen auf diesem Wissen zu ermöglichen. Logik ist somit auch ein Wissensrepräsentationsformat. Ihre Attraktivität liegt dabei in der schon eingefü hrten Syntax und Semantik sowie
in der Bereitstellung eines Schlussfolgerungsapparates.
Die wichtigsten Logikkalkü le der mathematischen Logik sind:
Mathematische Logik
Klassische Logik
Nichtklassische Logik
Aussagenlogik Prädikatenlogik
Modallogik Temporäre Logik Fuzzy-Logik
Grundbegriff und Basisobjekt der klassischen mathematischen Logik:
Aussage
Gegenstand der Logik sind Aussagen. Diese werden im sprachlichen Umgang in Aussagesätzen
formuliert. Eine Aussage drü ckt einen Tatbestand aus. Demzufolge sind alle aus der Umgangssprache bekannten Fragesätze, Aufforderungssätze, Befehlssätze, Wunschsätze, Zweifelssätze usw.
keine Aussagesätze.
Die Gesamtheit aller möglichen Aussagen a, die einen Tatbestand ausdrü cken, sollen zu der
Menge {a|a ist eine Aussage} zusammengefasst werden. Unter all diesen Aussagen a sind solche,
die entweder wahr oder falsch sind. Jene werden zu einer neuen Menge der zweiwertigen Aussagen M = {a|a ist zweiwertige Aussage} zusammengestellt. Durch diese Definition gehören
solche Aussagen wie z.B. die Bewertungen einer Klausur, die ja ü blicherweise mit den Wahrheitswerten (Zensuren) 1 bis 5 erfolgen, nicht zur neu definierten Menge.
Die charakteristische Eigenschaft des betrachteten Gebildes Aussage besteht darin, seiner inhaltlichen Bedeutung nach entweder wahr oder falsch zu sein. Jeder Aussage a mit a∈M kann man
eindeutig einen bestimmten Wahrheitswert w(a) zuordnen, nämlich W fü r wahr oder F fü r falsch,
wobei es eine dritte Möglichkeit nicht geben soll (Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten). Dieses
Zweiwertigkeitsprinzip fü hrt auf eine zweiwertige Logik mit den Wahrheitswerten W und F, die
die Wahrheitsmenge {W, F} bilden. Hierauf beruhen klassische und Prädikatenlogik. Die Ermittlung von Wahrheitswerten mathematischer Aussagen ist eine Aufgabe der Mathematik und keine
spezielle Aufgabe der Logik.
Beispiel: a = „ Dresden liegt an der Elbe“ w(a)=W,
a= „ 10 ist durch 3 teilbar“
w(a)=F
Die Festlegung auf die zweiwertige Logik bzw. die Reduzierung der Anzahl der Elemente der
Wahrheitsmenge bedeutet natü rlich eine eingrenzende Formalisierung der Wahrheitswerte der
Aussagen des täglichen Lebens. Fü r viele Fälle besser angepasst ist die Fuzzy-Logik, eine mehrwertige Logik mit einem Kontinuum von Wahrheitswerten.
Aussagenvariable:
Hierunter versteht man einen Platzhalter fü r Aussagen. Aussagenvariablen werden mit kleinen
lateinischen Buchstaben bezeichnet wie z.B. a. Durch Einsetzen einer konkreten Aussage fü r a
erhält diese Aussagenvariable a ihren Belegungswert |a| = w(a). Man sagt: a wird mit einer wahren oder falschen Aussage belegt: |a| = W, F.
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Aussagenlogischer Kalkü l
Jeder Satz der natü rlichen Sprache als Ganzes, der seiner inhaltlichen Bedeutung nach entweder
wahr oder falsch ist, stellt eine Aussage dar. Es interessiert dabei nicht der syntaktische Aufbau
(Subjekt - Prädikat - Objekt). Auch braucht man nicht zu wissen, ob die Aussagen wahr sind; es
besteht aber kein Zweifel, dass sie nur entweder wahr oder falsch sein können.
Sprachschichtung bei einer formalisierten Theorie:
Objekte des Aussagenkalkü ls: aussagenlogische Ausdrü cke
Objektsprache: Menge aller zulässigen aussagenlogischen Ausdrü cke
Metasprache: Sprachbeschreibungssprache, mit der man ü ber die Objektsprache spricht.
- Semantik(Bedeutung) der Zeichen
- Erklärungen zur Allgemeingü ltigkeit
- Erfü llbarkeit oder Unerfü llbarkeit von Ausdrü cken
- Beziehungen (Relationen) zwischen Ausdrü cken wie z.B. "⇔", "⇒"
- Aussagen zur Axiomatik des Kalkü ls
- Widerspruchsfreiheit
- Vollständigkeit
- Entscheidbarkeit
Syntax
Die Syntax umfasst die Gesamtheit von Konstruktionsvorschriften, auf welche Weise Zeichen aus
einer gegebenen Zeichenmenge (Zeichenvorrat) zu Ausdrü cken zusammengesetzt werden können,
die keinen Bezug zur inhaltlichen(semantischen) Bedeutung der Zeichen nehmen. Charakteristisch
fü r diese Vorschriften ist ihr rein formaler Aufbau. Die Trennung von Syntax und Semantik ist
typisch fü r jeden logischen Kalkü l.
Menger aller Ausdrü cke
zulässige Ausdrü cke (echte Teilmenge)
Die Ü berprü fung eines beliebigen Ausdruckes im Hinblick auf ihre syntaktische Korrektheit bedarf
keinerlei Ü berlegung, die an die Bedeutung der Zeichen geknü pft ist, sondern ist ein formaler
Prozess. Damit lässt sich die Trennung der Ausdrü cke mit den Eigenschaften "zulässig" und
"unzulässig" automatisieren, d.h. die Menge der zulässigen Ausdrü cke ist entscheidbar.
3
Aussagenverknü pfungen: Verknü pfungen sind Operationen
Eine Aussageform ist ein beliebiger Ausdruck, der aus Aussagevariablen und Verknü pfungssymbolen gebildet wird und nach dem Einsetzen von Aussagen an Stelle aller Variablen zu einer wahren oder falschen Aussage wird.
Verknü pfung
Junktor
Bindungsstärke
(Operation)
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Subjunktion
Bijunktion
(Verknü pfungssymbol)
¬ Negator
∧
Konjugator
∨
Disjunktor
→ Subjungator
↔ Bijungator
fallend

∧∨


↓
sprachlich
Verknü pfungs
ergebnis
nicht, es gilt nicht
Negat
und
Konjugat
oder
Disjungat
wenn ..., dann ...
Subjungat
genau dann, wenn ... Bijungat
- Verknü pfungszeichen stehen zwischen Wahrheitswerten, Aussagevariablen und Ausdrü cken.
- Aus Einzelaussagen entstehen zusammengesetzte Aussagen.
- Der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussagen hängt nur vom Wahrheitswert der
Einzelaussagen ab.
- Sätze der Umgangssprache werden auf vielfache Weise miteinander verknü pft. In der
Aussagenlogik steht nicht das gesamte natü rlichsprachliche, meist mehrdeutige Spektrum zur
Verfü gung.
- Wenn - dann - Aussage ( a → b ) ∧ ( ¬ a → c )
Wenn a, dann b
Ergänzung: und wenn nicht a, dann c
Wahrheitstafel
a
W
W
F
F
b
W
F
W
F
a ∧ b
W
F
F
F
a ∨ b
W
W
W
F
a → b
W
F
W
W
a↔ b
W
F
F
W
Bewertung aussagenlogischer Ausdrü cke(Interpretation)
Ein aussagenlogischer Ausdruck mit Variablen heißt aussagenlogische Aussageform.
Diese ist keine Aussage!
Die n-stellige Aussageform hat die Gestalt A( x1, ... , xn ) und besitzt genau 2n mögliche Belegungs-n-tupel. Die Berechnung des Wahrheitswertes erfolgt gemäß
| A( x1, ... , xn ) | = A( |x1| , ... , |xn | )
Analogie:
fü r die Belegung
|x1| , ... , |xn | ∈ {W, F}
f(x, y, z)=x ⋅ y ⋅ z ist keine reelle Zahl. Diese erhält man erst durch Wertezuweisung, z.B. f(1, 1, 1)=1.
Erfü llungsmenge: E[ A( x1, ... , xn ) ] = { ( |x1| , ... , |xn | ) | A( |x1| , ... , |xn | ) = W }
4
3 Typen von aussagenlogischen Aussageformen existieren.
Menge aller Ausdrü cke
Die Aussageform heißt
- allgemeingü ltig oder Tautologie, wenn sie fü r alle 2n
Kontingenz
Kontradiktion
Belegungen wahr ist.
Tautologie
- teilgü ltig oder eine Kontingenz (Neutralität), wenn sie
fü r m Belegungen ( 0< m < 2n ) wahr ist.
- ungü ltig oder eine Kontradiktion, wenn sie stets falsch sind.
Die Aussageformen sind erfü llbar(Tautologie und Kontingenz) oder unerfü llbar(Kontradiktion).
Die Bewertung kann als deterministisches Verfahren automatisiert werden, der nach endlich vielen
Schritten zum Ergebnis fü hrt. Die Allgemeingü ltigkeit aussagenlogischer Ausdrü cke ist also entscheidbar. Zur Ermittlung der Allgemeingü ltigkeit dienen folgende Verfahren:
- Wahrheitstafeln
- Methode der Normalformen.
Aussagenlogische Gesetze
Diese beziehen sich auf allgemeingü ltige Aussageformen. Die beiden wichtigsten Typen von
Tautologien sind:
- Ä quivalenz (Sie bedeutet immer zwei Implikationen, nämlich in beide Richtungen)
- Implikation (Sie ist zugleich Hauptbestandteil der aussagenlogischen Schlussregeln)
Äquivalenz
Zwei aussagenlogische Ausdrü cke A und B heißen gleichwertig oder ä quivalent, wenn sie bei
jeder Belegung der in ihnen vorkommenden Aussagevariablen denselben Wert annehmen, d.h. die
gleichen Erfü llungsmengen haben. Diese Eigenschaft der Aussageformen wird durch das
metasprachliche Ä quivalenlzzeichen "⇔" charakterisiert, das aber kein Verknü pfungszeichen des
Kalkü ls darstellt, sondern eine Aussage ü ber den Ausdruck A ↔ B macht.
Ä quivalenz A ⇔ B (lies: A äquivalent B)
♦ |A| = |B| fü r alle Belegungen
A
B
♦ E[A] = E[B]
♦ A ↔ B ist allgemeingü ltig
E[A]=E[B]
♦A↔B ⇔W
♦ ⇔ ist eine algebraische Ä quivalenz-Relation
Ä quivalenzerhaltende Umformungen:
- Variablenersetzung:
In der Ä quivalenz A( x1, ... , xn ) ⇔ B( x1, ... , xn ) wird beiderseits
die gleiche Variable durch einen beliebigen Ausdruck ersetzt.
- Teilausdruckersetzung: A( x1, ... , xn, T( x1, ... , xn ) ) ⇔ A( x1, ... , xn, S( x1, ... , xn ) )
mit T( x1, ... , xn ) ⇔ S( x1, ... , xn )
Implikation
Fü r einen allgemeingü ltigen aussagenlogischen Ausdruck der Gestalt A → B ⇔ W gilt: Die zwei
aussagenlogische Ausdrü cke A und B stehen in der Implikation A ⇒ B genau dann, wenn die
Erfü llungsmenge E[A] des Vordersatzes eine Teilmenge der Erfü llungsmenge E[B] des Hintersatzes ist.
Implikation A ⇒ B (lies: A impliziert B)
♦ Fü r alle Belegungen |A| = |B| = W oder |A| = F, |B| ∈{W, F}
♦ E[A] ⊆ E[B]
♦ A → B ist allgemeingü ltig
♦A→B ⇔W
♦ ⇒ ist eine algebraische Ordnungsrelation
A
B
E[A]
E[B]
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Praxisrelevante Gesetze:
¬ ¬a
a ∧ a
a ∧¬a
a ∧W
a ∧ F
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Ä quivalenzen in eine Aussagenvariable
a
a
a
a
F
a
a
a
F
a
Konjunktionsgesetze
a∧b ⇔ b∧a
a ∧ (b ∧ c) ⇔ (a ∧ b ) ∧ c
a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
c)
a ∧ (a ∨ b) ⇔ a
¬(a ∧ b ) ⇔ ¬a ∨ ¬b
a ∧ b ⇔ ¬(a → ¬b)
Kommutativität
Assoziativität
Distributivität
Absorption
de Morgan-Gesetz
→a
∨ a
∨ ¬a
∨W
∨ F
⇔W
⇔ a
⇔W
⇔W
⇔ a
Disjunktionsgesetze
a∨b ⇔ b∨a
a ∨ (b ∨ c) ⇔ (a ∨ b ) ∨ c
a ∨ (b ∧ c) ⇔ (a ∨ b) ∧ (a ∨
a ∨ (a ∧ b) ⇔ a
¬(a ∨ b ) ⇔ ¬a ∧ ¬b
a ∨ b ⇔ ¬a → b
Subjunktionsgesetze
a
a
a
a
→ b ⇔ ¬b → ¬a
→ b ⇔ ¬a ∨ b
→ (b ∧ c) ⇔ (a → b) ∧ (a →c)
→ (b ∨ c) ⇔ (a → b) ∨ (a →c)
a → (b → c)
a → (b → c)
(a ∧ b) → c
(a ∨ b) → c
⇔
⇔
⇔
⇔
b → (a →c)
(a ∧ b) → c
(a → c) ∨ (b →c)
(a → c) ∧ (b →c)
Bijunktionsgesetze
a ↔ b ⇔ b ↔ a
a ↔ b ⇔ ( a ∧ b) ∨ (¬a ∧ ¬b)
a ↔ (b ↔ c) ⇔ (a ↔ b) ↔ c
a ↔ b ⇔ (¬a ∨ b) ∧ ( a ∨ ¬b)
a ↔ b ⇔ ¬a ↔ ¬b
a ↔ b ⇔ ( a → b) ∧ ( b → a)
Implikationen
a ∧ ( a → b) ⇒ b
¬b ∧ ( a → b) ⇒ ¬a
(a→b) ∧ (b→c)
⇒ a→c
(a ∨ b) ∧ ((a→c)∧(b →c)) ⇒ c
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Darstellung in Normalformen
Jede aussagenlogische Aussageformen A( x1, ... , xn ) lässt sich in eine disjunktive oder konjunktive Normalform umformen, wobei die Variablen in beliebiger Reihenfolge, wiederholt, negiert
und nicht-negiert auftreten können. Zu jedem Ausdruck gibt es unendlich viele disjunktive und
konjunktive Normalformen, die untereinander alle äquivalent sind.
Disjunktive Normalform:
A ⇔ K1 ∨ K2 ∨ ... ∨ Kr
Konjunktive Normalform:
A ⇔ D1 ∧ D2 ∧ ... ∧ Ds
Unter all diesen Darstellungsmöglichkeiten gibt es eine ausgezeichnete Form, die so genannte
kanonische Form, die u.a. den Vergleich mit anderen Aussageformen ermöglichen.
Jede gü ltige aussagenlogische Aussageform A( x1, ... , xn ), die keine Kontradiktion ist, lässt sich
eindeutig als kanonische disjunktive Normalform darstellen. Die auftretenden Konjunktionsterme
Mi( x1, ... , xn ) , die Minterme, enthalten alle Variablen (negiert oder nicht-negiert) genau einmal
in ausschließlich konjunktiver Verknü pfung. Fü r einen gegebenen Minterm existiert genau eine
Belegung, fü r die M wahr und fü r jede andere falsch ist. Damit entspricht jedem Minterm genau
ein Element der Erfü llungsmenge und ist fü r dieses wahr. Hat der Ausdruck A alle seine 2n Minterme, so ist er allgemeingü ltig.
kanonische disjunktive Normalform
A ⇔ M1 ∨ M2 ∨ ... ∨ Ms
Die Minterme Mi enthalten
nur Konjunktionen.
Außer Tautologien lässt sich jede nicht-allgemeingü ltige Aussageform A( x1, ... , x n ) eindeutig als
kanonische konjunktive Normalform darstellen. Die auftretenden Disjunktionsterme Ni( x1, ... , xn
) , die Maxterme, enthalten alle Variablen (negiert oder nicht-negiert) genau einmal in ausschließlich disjunktiver Verknü pfung. Fü r einen gegebenen Maxterm existiert genau eine Belegung, fü r die N falsch und fü r jede andere wahr ist, d.h. A wird damit falsch.
kanonische konjunktive Normalform
A ⇔ N1 ∧ N2 ∧ ... ∧ Nk
Die Maxterme Ni enthalten
nur Disjunktionen.
Die beiden Normalformen können selbstverständlich ineinander ü berfü hrt werden, sofern es sich
um teilgü ltige Aussagen handelt. Von den beiden Normalformen wird die disjunktive Normalform bevorzugt, da man sich leichter den Aufbau von Mintermen vorstellen kann. Die umkehrbar
eindeutige Zuordnung zwischen W-Werten und Mintermen bzw. F-Werten und Maxtermen erlaubt
es, bei gegebenem Wahrheitswerteverlauf sofort wenigstens eine der kanonischen Normalformen
niederzuschreiben.
7
Aussagenlogisches Schließen
Schlussregeln (Vorschriften zur Ausfü hrung eines logischen Schlusses) basieren auf den Gesetzen
der Aussagenlogik, sind selbst aber metasprachlicher Natur. Sie beschreiben verbal und formal,
wie man aus einer oder mehreren Prämissen auf den Folgesatz schließt. Auch hierbei wird stets
von wahren Prämissen auf eine wahre Konklusion geschlossen. Die Feststellung der Richtigkeit
der Prämissen erfolgt durch inhaltliche Ü berlegungen. Nur der Schluss selbst ist logisch im Sinne
des aussagenlogischen Schließens. Ein wichtiger Aspekt ist die Tatsache, dass der Vorgang rein
syntaktisch, also völlig unabhängig von der Bedeutung der herangezogenen Aussageformen ist.
Die Aussageform A( x1, ... , xn ) heißt eine aussagenlogische Folgerung aus den aussagenlogischen Aussageformen A1( x1, ... , xn ), A2( x1, ... , xn ), ... , Am( x1, ... , xn ), wenn fü r jede
Belegung |x1| , ... , |xn | ∈ {W, F} folgendes gilt:
Bezeichnung
A1 ( |x1| , ... , |xn | ) = W
A2 ( |x1| , ... , |xn | ) = W
.
.
Am( |x1| , ... , |xn | ) = W
Prämissen,
Voraussetzung,
Vordersätze
A ( |x1| , ... , |xn | ) = W
Konklusion,
Schluss-Satz, Folgesatz
Kurzform
A1
A2
.
.
Am
A
Unter diesen Bedingungen ist A eine Folgerung der A1,..., Am genau dann, wenn das Subjungat
A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ Am → A allgemeingü ltig ist, d.h. die Implikation
A1 ∧ A2 ∧ ... ∧ Am ⇒ A besteht. Wenn das Konjugat der Ai keine Kontradiktion ist, heißt
die Prämissenmenge { A1,..., Am } konsistent. Eine triviale Folgerung liegt vor, wenn es sich bei
A um eine Tautologie handelt. Ä quivalenzen lassen sich als zwei Implikationen verstehen, die man
in beide Richtungen lesen kann.
Schlussregeln
Modus ponens (Abtrennungsregel)
A
Gilt mit dem Subjungat das Vorderglied, ist auch das Hinterglied wahr, d.h.
A → B
man benötigt A nicht weiter; es kann abgetrennt werden. Je nach Umfang
— — — —
und Komplexität der Herleitung wird man den modus ponens in
B
Teilschlü sse zerlegen:
A ⇒ B1 ⇒ B2 ⇒ ... ⇒ Bn ⇒ B
Modus tollens (Widerlegungsregel)
A → B
Aus einem wahren Subjungat mit falschem Hinterglied schließt man auf ein
¬B
falsches Vorderglied. Diese Widerlegungsregel findet vornehmlich beim
— — — —
indirekten Beweis Verwendung.
¬A
Kontrapositionsregel
A → B
Eine Aussage A gelte. Um die Aussage B zu beweisen, zeigt man die
— — — — —
Gü ltigkeit von
¬B → ¬A.
¬B → ¬A
Kettenschluss
(A → B1) ∧ (B1 → B2) ∧ (B2 → B3) ∧ ... ∧ (Bn → B)
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
A → B
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Prädikatenlogik
Die Aussagenlogik ist weder fü r eine logische Grundlegung der Mathematik noch fü r eine Darstellung der realen Welt ausreichend, da diese Logik die Aussagen als unteilbares Ganzes behandelt.
Gegenstand einer ausdrucksreicheren Logik, nämlich der Prä dikatenlogik, ist die Formalisierung
der Subjekt - Prädikat - Strukturen, etwa solcher Beispiele wie
die Zahl ... ist gerade; ... ist wertvoll; die Zahl ... und die Zahl ... sind Teiler von 6;
Person ... ist mit Person ... verheiratet.
Setzt man an Stelle von Punkten die Namen der entsprechenden Subjekte ein, so erhält man verschiedene Aussagen. In der Praxis ist es bequemer, die Stellen, an denen man Namen einsetzen
kann, mit Symbolen die Variablen und die Beziehungen nach Möglichkeit mit vereinbarten Symbolen zu bezeichnen. Die Variablen, deren Werte die Namen der Elemente einer Menge sind,
heißen Subjektvariablen. Bei der Einfü hrung einer Subjektvariablen ist stets ihr Bereich zu definieren, d.h. die Menge der Elemente, deren Namen an Stelle dieser Subjektvariablen eingesetzt werden dü rfen.
Auf diese Weise erfolgt die Formalisierung der Satzstrukturen ü ber die Einfü hrung von Subjektvariablen x, y, z, ... sowie Prä dikatvariablen P, Q, R, .... Erstere stehen als Platzhalter fü r
Gegenstände, Subjekte, Individuen, letztere erfassen Eigenschaften der Subjekte. Die Formalisierung der Satzstruktur fü hrt dann auf Px mit der Bedeutung, dass das Subjekt x die Eigenschaft
(das Prädikat) P besitzt. Es entstehen dadurch prädikatenlogische (prädikative) Aussageformen.
Eine prädikatenlogische Aussageform trifft auf eine Menge von Individuen zu oder nicht zu.
Eine Aussageform lässt sich also als ein Ausdruck mit einer bestimmten Anzahl von Aussagevariablen definieren, so dass man, wenn man statt aller dieser Variablen Namen einsetzt, die zu
den entsprechenden Bereichen der Variablen gehören, eine wahre oder falsche Aussage erhält.
Dabei werden einstellige Prädikate mit Eigenschaften, mehrstellige mit Beziehungen identifiziert:
einstellig:
zweistellig:
n-stellig:
Px
Pxy
Px1...xn
x besitzt die Eigenschaft P.
x steht mit y in Beziehung P oder x und y stehen in der Relation P.
Synonym: Pn x1...xn
Zwischen Prädikaten und Relationen besteht eine sehr einfache Verbindung. Einstellige Prädikate
beschreiben Eigenschaften der Elemente der zugrunde liegenden Menge M. Ü ber die Elemente
einer Menge werden gewisse Aussagen gemacht, die je nach gewählten Elementen wahr oder
falsch ist, d.h. ein Element x∈M hat genau die durch das Prädikat beschriebene Eigenschaft, wenn
Px = W gilt.
Eine Aussage ü ber einzelne Elemente, ü ber Paare von Elementen oder allgemeiner ü ber n-Tupel
von Elementen wird als Prä dikat ü ber eine entsprechende Menge bezeichnet. Zweistellige Prädikate entsprechen den binären Relationen in M, die aus all den geordneten Paaren aufgebaut sind,
fü r die der Funktionswert gleich W ist. Um ein n-stelliges Prädikat handelt es sich, wenn es Aussagen ü ber je n Elemente macht. In jedem Fall nimmt in Abhängigkeit von den gewählten Elementen ein Prädikat den Wahrheitswert W oder F an. Durch Hinzunahme solcher Relationen und
Quantoren zur Aussagenlogik gelangt man zur Prädikatenlogik.
In der Aussagenlogik spielen Aussagevariable die zentrale Rolle, in der Prädikatenlogik sind es
die Subjektvariablen. Fü r alle Aussageformen gilt jedoch: Belegt man ihre Variablen, so gehen sie
in Aussagen ü ber. Prädikatenlogik und Aussagenlogik bestehen aber nicht einfach nebeneinander,
sondern die Prädikatenlogik umfasst die Gesetze der Aussagenlogik. Darü ber hinaus ist sie
ungleich vielfältiger und weitreichender als die Aussagenlogik.
Notation: Px, Pxy, Px1...xn Präfixnotation wie z.B. < xy
Die Lesbarkeit von umfangreichen Ausdrü cken wird verbessert.
xPy
Infixnotation wie z.B. x<y (die in der Mathematik ü blich ist)
9
Syntax
Bezü glich Syntax gilt das unter der Aussagenlogik gesagte. Die beiden syntaktischen Grundelemente der Prädikatenlogik sind Terme und Ausdrücke(auch Formeln genannt). Die Menge der
prädikatenlogisch zulässigen Ausdrü cke heißt die Sprache der Prädikatenlogik.
Term
Terme ti sind entweder Subjektvariablen oder n-stellige Funktorenvariable
f (t1, t2, ...,tn).
Atomarer Ausdruck Sind t1, t2, ...,tn Terme, so ist Pt1, t2, ...,tn ein atomarer Ausdruck. P heißt
dann eine n-stellige Prädikatenvariable. Damit ist t1=t2 als spezielle zweistellige Relation, nämlich der Identitätsrelation, ein atomarer Ausdruck,
wobei das Gleichheitszeichen als Name der Identitätsrelation auftritt.
Prädikatenlogischer Hierunter versteht man jeden atomaren Ausdruck. Sind α, und β Ausdrü cke,
Ausdruck
so sind es auch die Verknü pfungen α ↔ β, α → β, α ∨ β, α ∧ β, ¬α
sowie
∧ α, ∨ α (in der Reihenfolge zunehmender Bindungsstärke). Das
x
x
Ergebnis ist stets eine prädikatenlogische Aussageform!
Quantisieren von Aussagen
Neben den in der Aussagenlogik eingefü hrten Junktoren, die Operationen definieren, verwendet
man in der Prädikatenlogik weitere Operationen, um prädikatenlogische Aussagen zu quantisieren.
Zum Zwecke der Formalisierung sind dies der Allquantor und der Existenzquantor.
Allquantor
( ......................................... )
lies: "Fü r alle x gilt"
1444442444443
x
∧
Gültigkeitsbereich des Allquantors
Interpretation: Mit dem Allquantor
∧
x
wird angezeigt, dass sich eine Eigenschaft oder Beziehung
auf alle jene Gebilde erstrecken, die x enthalten. ∧ hat die Bedeutung eines verallgemeinerten
Konjugators und lautet fü r den Subjektbereich {x1, ..., x2} demnach
(Px)=Px1∧...∧Pxn.
∧
Beispiel: Px: x hat die Eigenschaft Metall; Qx: x leitet den Strom;
∧ (Px→Qx):
x
Existenzquantor
x
Px → Qx: Wenn x ein Metall ist, leitet x den Strom
Fü r alle x gilt: Px→Qx oder umgangssprachlich: Alle Metalle leiten den Strom.
)
∨ ( ...............................................
14444442444444
3
x
Gültigkeitsbereich des Existenzquantors
∨ hat die Bedeutung eines verallgemeinerten Disjugators
lies: "Es gibt ein x"
oder
"Es gibt mindestens ein x"
∨ (Px)=Px1∨...∨Pxn.
x
Beziehungen zwischen Allquantor und der Existenzquantor:
Jeder dieser beiden Quantoren kann durch den jeweils anderen ausgedrü ckt werden ü ber den
Zusammenhang: Die Negation einer Allaussage fü hrt auf eine Existenzaussage, die Negation einer
Existenzaussage ergibt eine Allaussage.
∧ (Px) ↔ ¬∨ (¬Px)
x
x
Alle x haben die Eigenschaft P.
⇔ Mindestens ein x hat nicht die Eigenschaft P.
∨ (Px) ↔ ¬∧ (¬Px)
x
x
Es gibt ein x mit der Eigenschaft P.
⇔ Es trifft nicht zu, dass alle x die Eigenschaft P nicht haben.
Freie und gebundene Variable
Durch die Quantisierung durchläuft die Variable x die Menge aller zum Bereich gehörenden
Namen, d.h. durch den Quantor wird die Variable x gebunden. Sie ist nicht mehr mit einem anderen Gegenstand belegbar. Aus der Aussageform ist eine Aussage geworden!! Man sagt, dass der
Quantifikator die Subjektvariable x bindet, wenn sie unter diesem Quantifikator und in seinem
Wirkungsbereich auftritt. Subjektvariablen, die von keinem Quantifikator gebunden werden, hei-
10
ßen freie Variablen. Ein Ausdruck, in dem alle Variablen gebunden sind, heißt abgeschlossener
Ausdruck und ist demzufolge eine Aussage, d.h. er besitzt einen Wahrheitswert.
Spezielle prädikatenlogische Aussageformen
¬P
x hat nicht die Eigenschaft P.
¬Px1...xn
x1...xn stehen nicht in Beziehung P zueinander.
Px ∨ Py
x oder y hat die Eigenschaft P.
Px ∨ Qx
x hat die Eigenschaft P oder Q.
Px → Qx
Wenn x die Eigenschaft P besitzt, dann hat y die Eigenschaft Q.
Pxy ↔ Qxz x steht mit y in Beziehung P genau dann, wenn x mit z in Beziehung Q steht.
Bewertung prädikatenlogischer Ausdrü cke (Interpretation, Deutung)
Bei der Einfü hrung der Prädikatenlogik wurde eine Grundmenge G von konkreten Subjekten
(Individuen) als Subjektbereich (Individuenbereich) angenommen, so dass Prädikate fü r
Relationen in G und Subjektvariable fü r Elemente aus G stehen. Dabei war die formale Bildung
eines Ausdruckes unabhängig von seiner Bedeutung ü ber einem Subjektbereich, d.h. man kann bei
einem Ausdruck die inhaltliche Bedeutung der Symbole von der konstruktiven Seite des
Ausdruckes trennen. Um zu einer Interpretation (Deutung) eines Ausdruckes zu gelangen, mü ssen
die verschiedenen im Ausdruck vorkommenden Variablentypen (die 4 in der Tabelle aufgezählten)
mit Werten aus dem Weltausschnitt belegt werden, ü ber den der Ausdruck eine Aussage darstellt.
In diesem Zuordnungsprozess, d.h. Interpretation genannten Abbildung, wird ihnen damit eine
konkrete Bedeutung gegeben, die durch den so genannten δ-Wert des Variablentyps bestimmt ist („
δ“ soll an „ Deutung“ , also Interpretation, erinnern.):
- Jeder Subjektvariablen x wird mit der δ - Funktion ein konkretes Subjekt δ(x), nämlich ein ganz
bestimmtes, konkret gegebenes Element aus dem Subjektbereich G, zugeordnet. δ(x) liegt damit
fest und ist eine Konstante.
- Jeder n-stelligen Prädikaktvariablen P wird mit der δ - Funktion eine konkrete n-stellige Relation
δ(P) als Funktionswert zugeordnet, die stets Teilmenge von Gn+1 ist.
- Jeder Aussagevariablen A wird mit der δ - Funktion ein Wahrheitswert δ(A)=A ∈ {W, F}
zugeordnet.
- Jeder n-stelligen Funktorenvariablen f wird mit der δ - Funktion eine konkrete n-stellige Funktion
( δ(x1), ..., δ(xn), δ(f(x1, ...,xn)) ) ∈ δ(f) ⊆ Gn+1 durch δ( f(x1, ...,xn) ) = δ(f) ( δ(x1), ..., δ
(xn) ) zugeordnet. In dem Ausdruck δ(f) ( ... ) weist die Bezeichnung δ(f) auf die zugeordnete
Funktion hin, deren Variablen in den Klammern ( ... ) stehen und ihrerseits durch die konkreten
Subjektvariablen δ(x1), ..., δ(xn) gegeben sind.
Syntaktischer Begriff
Subjektvariable
Prädikatenvariable
Aussagenvariable
C
Funktorenvariable
Semantischer Begriff
x, y, z Subjekt, Individuum
P, Q, R Prädikat (Relation, Attribut)
A, B, Aussagen (Wahrheitswert)
f, g, h
Funktion (Abbildung,
funktionelle Relation)
δ - Wert
x a δ(x), δ(x) ∈ G
P a δ(P), δ(P) ⊆ Gn
A a δ(A), δ(A) ∈ {W,F}
f a δ(f),
δ(f) ⊆ Gn+1
Erfü llbarkeit eines prädikatenlogischen Ausdruckes
Bei jeder Deutung eines Ausdruckes ü ber eine Menge G wird aus dem Ausdruck eine Aussage,
die jeweils wahr oder falsch ist. Dies läuft im Prinzip darauf hinaus, auf einen solchen Ausdruck
die Funktion der Deutung δ anzuwenden und damit den δ-Wert des Ausdruckes zu berechnen, d.h.
den Funktionswert von δ, der nur einen der Wahrheitswerte W oder F sein kann. Voraussetzung
dieser Berechnung ist die vollständige Interpretation aller im Ausdruck vorkommenden Variablen
auf der Grundlage des Subjektbereiches G. Diese Berechnung ist die prädikatenlogische
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Verallgemeinerung der Bestimmung des Wahrheitswertes eines aussagenlogischen Ausdruckes.
Wenn δ eine Interpretation ü ber den Subjektbereich G ist, gilt:
δ erfü llt A
genau dann, wenn δ(A)= A =W.
δ erfü llt Pt1 ... tn genau dann, wenn δ(Pt1 ... tn) =W
bzw. ( δ(t1), ..., δ(tn) ) ∈ δ(P) .
δ erfü llt α * β
genau dann, wenn δ( α * β ) =δ (α) * δ (β) mit ∧, ∨, →, ↔ fü r * .
δ erfü llt ¬α
genau dann, wenn δ(¬α) = ¬δ (α) .
x
δ erfü llt
α
genau dann, wenn δ (α) = W fü r alle x ∈G,
mit δ xx ( z ) = x fü r z = x,
x
x

x
ansonsten δ x ( z ) = δ ( z )
x
δ erfü llt
α
genau dann, wenn δ (α) = W fü r ein x ∈G
x
x
∧
∨
Mit diesen Definitionen gilt:
Ein Ausdruck α heißt erfüllbar ü ber die Menge G, wenn es eine Interpretation von α ü ber G gibt,
bei der α in eine wahre Aussage ü bergeht.
Ein Ausdruck α heißt gültig in der Menge G, wenn er bei jeder Interpretation ü ber G in eine wahre
Aussage ü bergeht.
Ein Ausdruck α heißt allgemeingültig oder ein Gesetz der Prädikatenlogik , wenn er in jeder
Menge G gü ltig ist oder anders formuliert: wenn er bei jeder beliebigen Interpretation in eine
wahre Aussage ü bergeht, d.h. δ (α)=W.
Prädikatenlogische Gesetze
Die beiden wichtigsten Typen allgemeingü ltiger prädikatenlogischer Ausdrü cke sind Ä quivalenzen und Implikationen.
Äquivalenz
Implikation
β ⇔ γ (lies: β ist äquivalent zu γ)
β ⇒ γ (lies: β impliziert γ)
♦ α in der Form β ↔ γ ist allgemeingü ltig
♦ α in der Form β → γ ist
allgemeingü ltig
♦ δ( β ↔ γ ) = W
♦ δ( β → γ ) = W
♦ δ(β) = δ(γ) : β und γ sind beide erfü llbar oder
nicht
α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn ⇒ β genau dann, wenn
α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αn a β (lies: β folgt aus α1 , α2 , ..., αn),
wenn fü r jede Deutung δ(α1)=W,..., δ(αn)=W auch δ(β)=W gilt.
αi ... Prämissen; β ... Konklusion oder Schluss
Prädikatenlogische Folgerung
Praxisrelevante Gesetze:
Nachfolgend stehen die wichtigsten Typen praxisrelevanter Gesetze, aus denen man durch
geschicktes Einsetzen (z.B. A statt Qx; Px * Py statt Pxy, wenn * fü r ∧, ∨, → steht) unmittelbar
weitere ablesen kann.
∧ (Px) ⇒ Px
Px ⇒
x
∧ (Px → Qx) ⇒ ∧ (Px) → ∧ (Qx)
x
Χ Χ (Pxy) ⇔ Χ Χ (Pxy)
x
y
y
x
x
x
∨ (Px) ⇔ ¬∧ (¬Px)
x
x
∧ (Px) ⇒∨ (Px)
x
∧ (Px) ⇔ ¬∨ (¬Px)
x
∨ (Px)
x
fü r
Χ :=
x
∧ oder ∨
x
∧ (Px → Qx) ⇒ ∨ (Px) → ∨ (Qx)
∨∧ (Pxy) ⇒ ∧∨ (Pxy)
x
x
x
y
y
x
x
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Χ (Px * Qx) ⇔ Χ (Px) * Χ (Qx)
x
x
x
fü r
* := ∧, ∨;
Χ :=
∧
oder
∨
Feststellung der Allgemeingü ltigkeit
Aussagenlogik:
• Der Nachweis der Allgemeingü ltigkeit ist algorithmisch lösbar.
Der Aussagekalkü l ist entscheidbar!
• Sämtliche Gesetze können aus einem Axiomensystem ü ber Deduktionsregeln (Inferenz-, Ableitungsregeln) hergeleitet werden. Deduktionen fü hren stets zu Tautologien, d.h. der Aussagekalkü l
bildet ein formales System, das widerspruchsfrei, vollständig und unabhängig ist.
Prä dikatenlogik:
• Alle ableitbaren Ausdrü cke sind allgemeingü ltig und alle allgemeingü ltigen Ausdrü cke sind ableitbar. Ableiten heißt in diesem Zusammenhang, einen Zielausdruck ü ber eine Kette von Ausdrü cken zu erhalten, wobei am Anfang ein Axiom oder ein bereits bewiesener Ausdruck steht,
und jeder Schritt in dieser Kette durch Verweis auf Sätze, Gesetze (Axiome) und Regeln
gerechtfertigt werden kann.
• Es existiert kein Algorithmus zur Entscheidung auf Allgemeingü ltigkeit, d.h. die Prädikatenlogik
ist nicht entscheidbar (Satz von Church)!!
Der Grund besteht darin, dass die Allgemeingü ltigkeit der Prädikatenlogik hohe Anforderungen
stellt, nämlich beliebige Subjektbereiche mit beliebigen Deutungen darü ber. Daher existieren nur
Vorgehensweisen zur Ü berprü fung eines Ausdruckes auf Allgemeingü ltigkeit:
- Methode des δ-Operators
- Methode der Ä quivalenzumwandlungen
- Methode der Beschränkung auf einen endlichen Subjektbereich.
• Der Prädikatenkalkü l ist syntaktisch nicht vollständig: Die Wahrheit ist mächtiger als das
Beweisbare.