Gravitation

Compendio „Mechanik“ - Teil D: Gravitation
Aufgaben
1) Die Erde (Masse 5.976⋅1024 kg) läuft praktisch auf einer Kreisbahn (Radius 1.496⋅
1011 m) um die Sonne (Masse 1.989⋅1030 kg). Berechne, mit welcher Kraft sich die beiden Himmelskörper anziehen.
2) An welchen Orten der Erde zeigt die Badezimmerwaage am meisten an, am Aequator,
in unseren Breiten oder an den Polen ? Grund ?
3) Berechne den Wert der Fallbeschleunigung g (r und mErde aus Fundamentum).
4) Bestimme die Masse der Erde aus g = 9.81 m/s2 und dem Erdradius.
5) Die Erde kurvt auf einer Kreisbahn um die Sonne. Die notwendige Zentripetalkraft wird
durch die Gravitationskraft „geliefert“. Bestimme die Masse der Sonne aus der Dauer
des Erdenjahres T = 365 d 6 h 9 min 10 s und der Entfernung der Erde von der Sonne
r = 149.6 Millionen km.
6) Einer der Jupitermonde läuft auf einer Kreisbahn mit dem Radius 420'000 km in 1.77 d
um den grössten Planeten. Ein anderer Jupitermond hat einen Bahnradius von
670'000 km. Berechne dessen Umlaufszeit.
7) Die Erde umläuft die Sonne in 1 Jahr in einem Abstand von ≈149.6 Millionen km
(= 1 AE = 1 astronomische Einheit = 1x Distanz Erde-Sonne). Der bekannteste Komet
Halley hat eine Umlaufszeit von 76.1 Jahren um die Sonne. a) Berechne seine grosse
Halbachse. b) Seine Bahnellipse ist dabei sehr stark in die Länge gezogen (grosse Exzentrizität), seine maximale Entfernung von der Sonne beträgt deshalb ungefähr gerade
2a. Bis zu welchem Planeten verschwindet Halley in den Weltraum hinaus, bevor er
wieder zurückkehrt ?
8) Die Umlaufszeit der Mondfähre im Abstand von 1848 km vom Mondmittelpunkt war
7130 s. Berechne daraus die Mondmasse.
9) Welche Geschwindigkeit hat ein Erdsatellit, der in 1000 km Höhe eine Kreisbahn beschreibt ? Wie gross ist seine Umlaufszeit ?
10) Die Milchstrasse enthält ca. 140 Milliarden Sonnen. Unser Sonne ist etwa 32'000
Lichtjahre (1 Lichtjahr = Distanz, die das Licht in einem Jahr zurücklegt, Lichtgeschwindigkeit: 300'000 km/s) vom Mittelpunkt der Galaxie entfernt. Die Sonne bewegt
sich auf einer Kreisbahn um die Mitte unserer Galaxie.
Welche Umlaufszeit besitzt sie, wenn innerhalb der Sonnenbahn 100 Milliarden Sonnen sind ? (Anmerkung: Alle Sonnen ausserhalb der Kreisbahn haben keinen Einfluss
auf die Umlaufszeit; alle inneren Sonnen haben die gleiche Wirkung wie ein zusammengeballter Körper aus ihnen im Galaxiezentrum)
Compendio „Methoden der Physik, Mechanik“ – Teil D: Gravitation - Aufgaben
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11) „Bastle“ Dir Deinen speziellen Planeten:
a) Bestimme den Radius einer „neuen“ Erde, damit die Fallbeschleunigung an der Oberfläche die Hälfte des aktuellen Wertes (= 9.81 m/s2) betragen würde (bei konstanter Masse).
b) Wir pressen die Erde auf die halbe Grösse zusammen. Auf welchen Wert steigt die
Fallbeschleunigung g ?
Lösungen/Lösungswege:
1) Einsetzen in Gravitationsgesetz → F = 3.54⋅1022 N
2) An den Polen, Badezimmerwaage zeigt eigentlich die Gewichtskraft (in N) an. An den
Polen ist man näher am Erdmittelpunkt (r kleiner) → stärkere gravitative Wirkung
3) Formeln gleichsetzen → g = G ⋅
mErde
→ gÄquator = 9.80 m/s2
2
r
4) Resultat aus 3) umformen → mErde = 5.97⋅1024 kg
5) Fr = FG →
→ mSonne =
mErde ⋅ v 2
⋅m
m
= G ⋅ Sonne 2 Erde Mit v = 2⋅r⋅π/T
r
r
4 ⋅ π 2 ⋅ r3
= 1.989 ⋅ 10 30 kg
G ⋅ T2
6) 3.Kepler’sches Gesetz: a13/T12 = a23/T22 → T2 = 3.57 d
7) a) wie Aufgabe 6) mit 3.K-G., auflösen nach unbekannter Halbachse a → a = 18 AE
b) siehe Planetentafeln im Fundamentum S.109 → zwischen Neptun und Pluto
8) siehe Aufgabe 5) oder 3.K-G. → mMond = 7.34⋅1022 kg
9)
mSat ⋅ v 2
m ⋅m
= G ⋅ Sat Erde
→ v = 7352 m/s, Aus v = 2⋅r⋅π/T → T = 6305 s = 1 std 45'
(rErde + h)
(rErde + h)2
10) 3.K-G. nach T auflösen mit mZ = 100⋅109 Sonnenmassen → T = 288 Millionen Jahre
g
m
= G ⋅ Erde
→ rneu = 9013 km = 2 ⋅ ralt
2
rneu 2
m
= G ⋅ Erde2 → gneu = 39.2 m/s2 = 4⋅galt
r
2
11) a) gneu =
b) gneu
( )
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