Formale Logik
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Formale Logik PD Dr. Markus Junker Abteilung für Mathematische Logik Universität Freiburg Wintersemester 16/17 Sitzung vom 26. Oktober 2016 I Informationen zur Veranstaltung http://home.mathematik.uni-freiburg.de/junker/ ws16/logik-philo.html I Beginn der Tutorate: 27. Oktober 2016 Mo 12-14 Uhr, R 205 Breisacher Tor Di 14-16 Uhr, R 1 Bismarckallee 22 Do 12-14 Uhr, R 204 Breisacher Tor Fr 14-16 Uhr, R 202 Breisacher Tor I Übungsblatt 2 kommt spätestens morgen Studienleistungen: I Eintrag in die Teilnehmerliste (bis spätestens 6.11.) und regelmäßige Teilnahme an der Vorlesung I Nacharbeiten der Vorlesung und Lesen der Lektüren I Schriftliches Bearbeiten der Übungsaufgaben in ordentlicher Qualität I Schriftliches Bearbeiten der Aufgaben zu den Lektüren (ohne Ausnahme) I Bestehen der Abschlussklausur (erster Termin oder Nachklausur) I Die regelmäßige Teilnahme wird nicht kontrolliert und ist nur eine „moralische“ Verpflichtung Formale Argumente (I) Das (intuitiv korrekte) Argument Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Griechen sind sterblich. Formale Argumente (I) Das (intuitiv korrekte) Argument Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Griechen sind sterblich. hat die gleiche Form Prämisse 1: Prämisse 2: Konklusion: wie Alle Italiener sind Menschen. Alle Menschen sind sterblich. Alle Italiener sind sterblich. Formale Argumente (I) Das (intuitiv korrekte) Argument Prämisse 1: Alle Griechen sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Griechen sind sterblich. hat die gleiche Form Prämisse 1: Prämisse 2: Konklusion: wie Alle Italiener sind Menschen. Alle Menschen sind sterblich. Alle Italiener sind sterblich. aber auch wie Prämisse 1: Alle Engel sind Menschen. Prämisse 2: Alle Menschen sind sterblich. Konklusion: Alle Engel sind sterblich. das ungültige Prämissen enthält. Formale Argumente (II) Zugrunde liegt die Form Prämisse 1: Alle X sind Y. Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. Formale Argumente (II) Zugrunde liegt die Form Prämisse 1: Alle X sind Y. Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. Dabei wird zwischen „inhaltstragenden“ Elementen unterscheiden, die ersetzt werden können („kategorematische Ausdrücke“), und funktionalen Elementen, die die Art und Weise der Verbindung bechreiben („synkategorematische Ausdrücke“). Diese funktionalen Elemente wiederum können ebenfalls symbolhaft ausgedrückt werden, z. B. Formale Argumente (II) Zugrunde liegt die Form Prämisse 1: Alle X sind Y. Prämisse 2: Alle Y sind Z. Konklusion: Alle X sind Z. Dabei wird zwischen „inhaltstragenden“ Elementen unterscheiden, die ersetzt werden können („kategorematische Ausdrücke“), und funktionalen Elementen, die die Art und Weise der Verbindung bechreiben („synkategorematische Ausdrücke“). Diese funktionalen Elemente wiederum können ebenfalls symbolhaft ausgedrückt werden, z. B. Prämisse 1: XaY Prämisse 2: YaZ Konklusion: XaZ Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Prämisse 1 Prämisse 2 .. . Konklusion (mit mehreren Prämissen, nur einer oder sogar keiner Prämisse) Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Prämisse 1 Prämisse 2 .. . Konklusion I Das Argument ist korrekt (engl. valid), wenn die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt (was noch zu präzisieren ist) Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Prämisse 1 Prämisse 2 .. . Konklusion I Das Argument ist korrekt (engl. valid), wenn die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt (was noch zu präzisieren ist) I Andernfalls ist es ein Fehlschluss oder Trugschluss (engl. fallacious argument) Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Prämisse 1 Prämisse 2 .. . Konklusion I Das Argument ist korrekt (engl. valid), wenn die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt (was noch zu präzisieren ist) I Andernfalls ist es ein Fehlschluss oder Trugschluss (engl. fallacious argument) I Das Argument/die Argumentation ist sound (dt. macnhmal gültig oder schlüssig), falls es korrekt ist und die Prämissen stimmen (wahr sind). Argumente Ein Argument hat üblicherweise die Gestalt Prämisse 1 Prämisse 2 .. . Konklusion I Das Argument ist korrekt (engl. valid), wenn die Konklusion logisch aus den Prämissen folgt (was noch zu präzisieren ist) I Andernfalls ist es ein Fehlschluss oder Trugschluss (engl. fallacious argument) I Das Argument/die Argumentation ist sound (dt. macnhmal gültig oder schlüssig), falls es korrekt ist und die Prämissen stimmen (wahr sind). Webseite: a list of fallacious arguments Leserbrief in der Badischen Zeitung vom 25. Oktober 20161 Gelassenheit statt Blockwartmentalität Konrad Adenauer hat einmal gesagt: „Einfach denken ist eine Gabe Gottes.“ In diesem Sinne: Wenn es eine Lutherkirchstraße und eine Richard-Wagner-Straße geben darf, dann darf es auch eine Alban-Stolz-Straße geben. Wenn es aber keine Alban-Stolz-Straße mehr geben darf, dann darf es erst recht keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße mehr geben. Zu wünschen wären statt der sich ausbreitenden Blockwartmentalität mehr Souveränität und Gelassenheit im Umgang mit der Geschichte. Kurt Bantle, Freiburg 1 online abgerufen Leserbrief in der Badischen Zeitung vom 25. Oktober 20161 Gelassenheit statt Blockwartmentalität Konrad Adenauer hat einmal gesagt: „Einfach denken ist eine Gabe Gottes.“ In diesem Sinne: Wenn es eine Lutherkirchstraße und eine Richard-Wagner-Straße geben darf, dann darf es auch eine Alban-Stolz-Straße geben. Wenn es aber keine Alban-Stolz-Straße mehr geben darf, dann darf es erst recht keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße mehr geben. Zu wünschen wären statt der sich ausbreitenden Blockwartmentalität mehr Souveränität und Gelassenheit im Umgang mit der Geschichte. Kurt Bantle, Freiburg 1 online abgerufen Zwei Argumente: Zwei Argumente: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Es darf (auch) eine Alban-Stolz-Straße geben. Zwei Argumente: Prämisse: Konklusion: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Es darf (auch) eine Alban-Stolz-Straße geben. Es darf keine Alban-Stolz-Straße (mehr) geben. Es darf (erst recht) keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße (mehr) geben. Zwei Argumente: Prämisse: Konklusion: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Es darf (auch) eine Alban-Stolz-Straße geben. Es darf keine Alban-Stolz-Straße (mehr) geben. Es darf (erst recht) keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße (mehr) geben. Fragen der Logik: I Sind die Argumente korrekt? Zwei Argumente: Prämisse: Konklusion: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Es darf (auch) eine Alban-Stolz-Straße geben. Es darf keine Alban-Stolz-Straße (mehr) geben. Es darf (erst recht) keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße (mehr) geben. Fragen der Logik: I Sind die Argumente korrekt? I Folgt ggf. die Korrektheit des zweiten aus der Korrektheit des ersten? Zwei Argumente: Prämisse: Konklusion: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Es darf (auch) eine Alban-Stolz-Straße geben. Es darf keine Alban-Stolz-Straße (mehr) geben. Es darf (erst recht) keine Lutherkirchstraße und keine Richard-Wagner-Straße (mehr) geben. Fragen der Logik: I Sind die Argumente korrekt? I Folgt ggf. die Korrektheit des zweiten aus der Korrektheit des ersten? Fragen des „täglichen Lebens“: I Stimmt die Konklusion? Vermutlich nicht korrekt: Prämisse: Konklusion: Es darf eine Merianstraße und eine Stefan-MeierStraße geben. Es darf eine Hitler-Straße geben. Vermutlich nicht korrekt: Prämisse: Es darf eine Merianstraße und eine Stefan-MeierStraße geben. Konklusion: Es darf eine Hitler-Straße geben. Es fehlen Prämissen! Versuch einer Rekonstruktion des Arguments: Versuch einer Rekonstruktion des Arguments: Prämisse 1: Prämisse 2: Prämisse 3: Prämisse 4: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Luther war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Richard Wagner war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Ab einem gewissen Grad an Antisemitismus darf eine Straße nicht nach einer Person benannt werden. Versuch einer Rekonstruktion des Arguments: Prämisse 1: Prämisse 2: Prämisse 3: Prämisse 4: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Luther war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Richard Wagner war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Ab einem gewissen Grad an Antisemitismus darf eine Straße nicht nach einer Person benannt werden. ZwischenLuthers Antisemitismus ist „straßenduldbar“. konklusion 1: ZwischenR. Wagners Antisemitismus ist „straßenduldbar“. konklusion 2: . . Versuch einer Rekonstruktion des Arguments: Prämisse 1: Prämisse 2: Prämisse 3: Prämisse 4: Es darf eine Lutherkirchstraße und eine RichardWagner-Straße geben. Luther war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Richard Wagner war ein ebenso großer Antisemit wie Alban Stolz. Ab einem gewissen Grad an Antisemitismus darf eine Straße nicht nach einer Person benannt werden. ZwischenLuthers Antisemitismus ist „straßenduldbar“. konklusion 1: ZwischenR. Wagners Antisemitismus ist „straßenduldbar“. konklusion 2: Konklusion 1: Alban Stolz’ Antisemitismus ist „straßenduldbar“. Konklusion 2: Es darf eine Alban-Stolz-Straße geben. . . Klassische zweiwertige Aussagenlogik Einfachstes Beispiel einer formalen Logik. Klassische zweiwertige Aussagenlogik Einfachstes Beispiel einer formalen Logik. Grundobjekte sind Aussagensätze, also Sätze, von denen man sinnvollerweise sagen kann, dass sie stimmen oder nicht stimmen (unabhängig davon, ob man konkret entscheiden kann, was davon der Fall ist). Klassische zweiwertige Aussagenlogik Einfachstes Beispiel einer formalen Logik. Grundobjekte sind Aussagensätze, also Sätze, von denen man sinnvollerweise sagen kann, dass sie stimmen oder nicht stimmen (unabhängig davon, ob man konkret entscheiden kann, was davon der Fall ist). Betrachtet werden also zwei Wahrheitswerte Klassische zweiwertige Aussagenlogik Einfachstes Beispiel einer formalen Logik. Grundobjekte sind Aussagensätze, also Sätze, von denen man sinnvollerweise sagen kann, dass sie stimmen oder nicht stimmen (unabhängig davon, ob man konkret entscheiden kann, was davon der Fall ist). Betrachtet werden also zwei Wahrheitswerte I „wahr“ (kurz: W), falls der Satz stimmt / gilt / wahr ist I „falsch“ (kurz: F), falls der Satz nicht stimmt / nicht gilt / falsch ist Klassische zweiwertige Aussagenlogik Einfachstes Beispiel einer formalen Logik. Grundobjekte sind Aussagensätze, also Sätze, von denen man sinnvollerweise sagen kann, dass sie stimmen oder nicht stimmen (unabhängig davon, ob man konkret entscheiden kann, was davon der Fall ist). Betrachtet werden also zwei Wahrheitswerte I „wahr“ (kurz: W), falls der Satz stimmt / gilt / wahr ist I „falsch“ (kurz: F), falls der Satz nicht stimmt / nicht gilt / falsch ist Einfache Aussagensätze werden zu komplexeren Aussagensätzen zusammengesetzt, wobei nur „wahrheitsswertfunktionale“ Zusammensetzungen betrachtet werden. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Aussagenvariablen stehen für als nicht zerlegbar betrachtete Aussagensätze: A B C . . . (und Varianten: A0 A1 A0 . . . ) Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Aussagenvariablen stehen für als nicht zerlegbar betrachtete Aussagensätze: A B C . . . (und Varianten: A0 A1 A0 . . . ) Jede Aussagenvariable ist eine aussagenlogische Formel (ein aussagenlogischer Satz) A Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Aussagenvariablen stehen für als nicht zerlegbar betrachtete Aussagensätze: A B C . . . (und Varianten: A0 A1 A0 . . . ) Jede Aussagenvariable ist eine aussagenlogische Formel (ein aussagenlogischer Satz) A Einer Aussagenvariable kann der Wahrheitwert W oder der Wahrheitswert F zugewiesen werden. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Aussagenvariablen stehen für als nicht zerlegbar betrachtete Aussagensätze: A B C . . . (und Varianten: A0 A1 A0 . . . ) Jede Aussagenvariable ist eine aussagenlogische Formel (ein aussagenlogischer Satz) A Einer Aussagenvariable kann der Wahrheitwert W oder der Wahrheitswert F zugewiesen werden. Mit Hilfe von Symbolen (für sogenannte Junktoren) werden aus einfacheren aussagenlogischen Formeln komplexere Formeln gebaut. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Negation Wenn F eine aussagenlogische Formel ist, dann auch ¬F. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Negation Wenn F eine aussagenlogische Formel ist, dann auch ¬F. Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: A ¬A ¬¬A ¬¬¬A ¬B Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Negation Wenn F eine aussagenlogische Formel ist, dann auch ¬F. Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: A ¬A ¬¬A ¬¬¬A ¬B Das Zeichen ¬ heißt Negationszeichen oder Negationsjunktor und erinnert an ein Minuszeichen. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Negation Wenn F eine aussagenlogische Formel ist, dann auch ¬F. Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: A ¬A ¬¬A ¬¬¬A ¬B Das Zeichen ¬ heißt Negationszeichen oder Negationsjunktor und erinnert an ein Minuszeichen. Die Negation vertausche die Wahrheitswerte: F W F ¬F F W Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Negation Wenn F eine aussagenlogische Formel ist, dann auch ¬F. Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: A ¬A ¬¬A ¬¬¬A ¬B Das Zeichen ¬ heißt Negationszeichen oder Negationsjunktor und erinnert an ein Minuszeichen. Die Negation vertausche die Wahrheitswerte: F W F ¬F F W A also z. B. W F ¬A F W ¬¬A W F ¬¬¬A F W Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Disjunktion (Adjunktion) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∨ F2 ). Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Disjunktion (Adjunktion) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∨ F2 ). Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: (A ∨ B) (A ∨ ¬A) ((A ∨ ¬A) ∨ B) (B ∨ B) Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Disjunktion (Adjunktion) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∨ F2 ). Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: (A ∨ B) (A ∨ ¬A) ((A ∨ ¬A) ∨ B) (B ∨ B) Das Zeichen ∨ heißt Disjunktionszeichen oder Disjunktionsjunktor kommt vom lateinischen vel. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Disjunktion (Adjunktion) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∨ F2 ). Aussagenlogische Formeln sind also zum Beispiel: (A ∨ B) (A ∨ ¬A) ((A ∨ ¬A) ∨ B) (B ∨ B) Das Zeichen ∨ heißt Disjunktionszeichen oder Disjunktionsjunktor kommt vom lateinischen vel. Der Disjunktion hat folgendes Wahrheitswertverhalten („einschließendes Oder“): F1 W W F F F2 W F W F (F1 ∨ F2 ) W W W F Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Konjunktion Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∧ F2 ). Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Konjunktion Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∧ F2 ). Das Zeichen ∧ heißt Konjunktionszeichen oder Konjunktionsjunktor und ist ein umgedrehtes Disjunktionszeichen. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Konjunktion Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ∧ F2 ). Das Zeichen ∧ heißt Konjunktionszeichen oder Konjunktionsjunktor und ist ein umgedrehtes Disjunktionszeichen. Der Konjunktion hat folgendes Wahrheitswertverhalten: F1 W W F F F2 W F W F (F1 ∧ F2 ) W F F F Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Bi-Implikation (oder Äquivalenz) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ↔ F2 ). Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Bi-Implikation (oder Äquivalenz) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ↔ F2 ). Das Zeichen ↔ heißt Biimplikationszeichen oder Biimplikationsjunktor. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Bi-Implikation (oder Äquivalenz) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 ↔ F2 ). Das Zeichen ↔ heißt Biimplikationszeichen oder Biimplikationsjunktor. Die Biimplikation hat folgendes Wahrheitswertverhalten: F1 W W F F F2 W F W F (F1 ↔ F2 ) W F F W Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Implikation (Subjunktion, Konditional) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 → F2 ). Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Implikation (Subjunktion, Konditional) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 → F2 ). Das Zeichen → heißt Implikationszeichen oder Implikationsjunktor. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Die Implikation (Subjunktion, Konditional) Wenn F1 und F2 aussagenlogische Formeln sind, dann auch (F1 → F2 ). Das Zeichen → heißt Implikationszeichen oder Implikationsjunktor. Die Biimplikation hat folgendes Wahrheitswertverhalten: F1 W W F F F2 W F W F (F1 → F2 ) W F W W Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen > heißt Verum und kommt vom englischen True. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen > heißt Verum und kommt vom englischen True. Das Falsum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen > heißt Verum und kommt vom englischen True. Das Falsum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen ⊥ heißt Falsum und ist ein umgedrehtes Verum Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen > heißt Verum und kommt vom englischen True. Das Falsum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen ⊥ heißt Falsum und ist ein umgedrehtes Verum Das Verum bekommt stets der Wahrheitswert W und das Falsum stets den Wahrheitswert F zugewiesen. > ⊥ W F Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Das Verum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen > heißt Verum und kommt vom englischen True. Das Falsum ⊥ ist eine aussagenlogische Formel. Das Zeichen ⊥ heißt Falsum und ist ein umgedrehtes Verum Das Verum bekommt stets der Wahrheitswert W und das Falsum stets den Wahrheitswert F zugewiesen. > ⊥ W F Verum und Falsum heißen auch Aussagenkonstanten oder nullstellige Junktoren. Klassische zweiwertige Aussagenlogik: die formale Sprache Nur Zeichenketten, die aus den erlaubten Symbolen > A ⊥ B ¬ C ∨ ∧ → ⇐⇒ . . . A1 A2 . . . ( ) nach den angegebenen Regeln konstruiert werden können, sind aussagenlogische Formeln, alle anderen nicht. Klammern müssen (zunächst) so wie vorgeschrieben gesetzt werden!
