Interferometrie

Technische Universität Bergakademie Freiberg
Fakultät Maschinenbau, Verfahrens- und Energietechnik
Institut für Mechanik und Fluiddynamik
Praktikum - Meßtechnik
Verfasser: Dr. H. Chaves
Interferometrie
(Interferenz-optische Messung des Wärmeübergangskoeffizienten an einer beheizten Wand)
0 Einleitung
Der, in diesem Versuch vorgestellte Differential-Interferometer1 ist nur eine von hunderten von möglichen Ausführungen und Möglichkeiten optische Interferenz für Messaufgaben, d.h. Interferometrie zu nutzen.
Interferenz darf man auch nicht mit einem Wollaston-Prisma gleichsetzen. Dieses optische Bauteil wird beim vorliegenden Versuch lediglich genutzt um eine der vier Bedingungen für Interferenz: die räumliche Überlagerung von Lichtstrahlen, die in einem definierten Abstand das Messvolumen durchqueren (Differential) zu bewerkstelligen. Zwei
weitere notwendige Voraussetzungen für Interferenz nämlich ein schmales Farbspektrum, d.h. monochromatisch (deutsch: einfarbig) und die Kohärenz des benutzten Lichtes
werden durch die Lichtquelle erfüllt. Die letzte Vorraussetzung nämlich die gleiche Polarisationsebene der interferierenden Lichtstrahlen wird durch ein Polfilter erreicht. Interferenz setzt im Allgemeinen keine bestimmte Phasenbeziehung zwischen den interferierenden Lichtstrahlen voraus. Nur in bestimmten Fällen wie z.B. konstruktive Interferenz,
d.h. gleichphasig, Verstärkung oder destruktive Interferenz, d.h. gegenphasig, Auslöschung ist die Phase festgelegt.
1 Aufgabenstellung
Entlang einer senkrechten, beheizten Metallwand entsteht eine vertikale Konvektionsströmung. Der Wärmeübergangskoeffizient  der Wand ist für verschiedene Höhen experimentell zu bestimmen. Dazu wird die Wand in den Strahlengang eines DifferentialInterferometers mit Wollaston-Prisma gebracht. Die Dichteunterschiede in der strömenden Luft machen sich durch Verschiebung der Interferenzstreifen bemerkbar. Das Interferenzbild ist aufzunehmen und auszuwerten.
1
Differential-Interferometer werden auch Schlieren-Interferometer genannt obwohl dies streng
genommen eine falsche Bezeichnung ist. Bei einem Schlierenaufbau wird die Ablenkung der
Lichtstrahlen durch den Brechungsindexgradienten genutzt und die Interferenz kann sogar störend sein. Beim Differential-Interferometer wird die Strahlablenkung vernachlässigt.
2 Grundlagen
2.1 Differential-Interferometer mit Wollaston-Prisma
2.1.1 Versuchsaufbau
Dichteunterschiede in Gasen kann man mit optischen Methoden sichtbar machen, weil
der Brechungsindex2 von der Gasdichte abhängt; beschrieben durch die GladstoneDale-Gleichung:
n 1 K  
(1)
Der Proportionalitätsfaktor K, die Gladstone-Dale-Konstante, ist von der Lichtwellenlänge und der Gasart abhängig.
Das Zweistrahlinterferometer nutzt diesen Umstand, und ermöglicht eine Dichtebestimmung über eine Brechungsindexmessung. Ein Zweistrahlinterferometer ist z.B. das Differential-Interferometer mit Wollaston-Prisma, dessen Schema in Bild 1 dargestellt ist
2
Bild 1: Versuchsaufbau mit
1 Halbleiter-Laser (0,2 mW )
5 plankonvexe Linse 3, f3 = 400 mm (f = f3 )
6 Wollaston-Prisma, Divergenzwinkel = 15´
2 Bikonvexe Linse 1, f1=10 mm mit Blende
3 plankonvexe Linse 2, f2 = 400 mm
7 Polarisator
4 beheizte Platte, Länge L
8 Beobachtungsschirm
Bemerkung: bei optischen Strahlengängen werden oft nur die Randstrahlen eines Lichtstrahlbündels gezeichnet, wie in diesem Fall.
Der Halbleiter-Laser liefert einen kohärenten, linear polarisierten Lichtstrahl mit der Wellenlänge 0 = 0,66 µm. Der Strahl wird durch eine Linse 1 und eine nachfolgende Blende, die sich im Brennpunkt der Linse 1 befindet zusammen mit Linse 2, aufgeweitet.
Dadurch entsteht ein paralleles Lichtstrahlbündel zwischen den Linsen 2 und 3. Er
durchstrahlt die Luft entlang der beheizten Wand senkrecht zur Konvektionsströmung.
Die Linse 3 refokussiert das Licht. Knapp vor oder hinter dem Brennpunkt der dritten
Linse befindet sich ein Wollaston-Prisma, das die Überlagerung von Lichtstrahlen auf
dem Beobachtungsschirm bewirkt.
Beim Aufbau sollte folgendes beachtet werden:
 Der Laserstrahl ohne Aufweitungsoptik bildet die optische Achse und wird parallel
zur optischen Bank ausgerichtet.
 Der Polarisator sollte unter 45° zur Strahltrennungsrichtung des WollastonPrismas angeordnet sein, um maximalen Kontrast zu erhalten.
2
Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist als das Verhältnis von Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c0 zu Lichtgeschwindigkeit Medium cm definiert: n = c0/cm
2.1.2 Das Wollaston – Prisma
Das Wollaston-Prisma ist aus zwei optisch einachsigen (doppel-brechenden, z.B. Feldspat) Kristallen zusammengeklebt, deren Hauptachsen senkrecht zueinander stehen (s.
Bild 2). Die Kristallgitterstuktur bewirkt, dass der Brechungsindex für die parallel zur
Hauptachse polarisierte Komponente eines Lichtstrahles größer ist als für die senkrecht
polarisierte Komponente eines Lichtstrahles.

I
I

0
0
Bild 2: Wollaston-Prisma
Für die Komponente parallel zur Hauptachse des ersten Kristalls ‘0’ bedeutet der Übergang vom ersten Kristall in den zweiten Kristall einen Übergang vom optisch dichteren in
das optisch dünnere Medium. Für die Komponente senkrecht zur Hauptachse des ersten Kristalls ist es dagegen ein Übergang vom optisch dünneren in das optisch dichtere
Medium. Daraus folgt, dass die Richtung der Lichtbrechung für beide Komponenten eines Lichtstrahles unterschiedlich ist. Sie treten deshalb mit einem um  unterschiedlichen Winkel aus dem Wollaston-Prisma aus. Nach dem Gesetz von Snellius gilt3
  2  nl  n0  .
Der Dispersionswinkel  ist i.a. von der Größenordnung einiger Winkel-Minuten.
2.1.3 Die Entstehung von Interferenzstreifen beim Differential-Interferometer
Bild 3: Die Überlagerung der Lichtstrahlen
3
Wegen sehr kleiner Winkel gilt die Näherung  ≈ sin ().
Zur Erläuterung der Interferenz wählen wir aus dem aufgeweiteten Laserstrahl einen
Teilstrahl 1, dessen Komponenten 1I und 10 das Wollaston-Prisma mit unterschiedlichem Winkel verlassen. Im aufgeweiteten Laserstrahl gibt es u.a. einen Teilstrahl 2, der
nach der Linse mit dem Teilstrahl 1 den Winkel  bildet. Die Strahlkomponenten 2I mit 10
fallen demzufolge nach dem Durchqueren des Wollaston-Prismas zusammen, d.h. sie
werden überlagert. Nach dem Passieren eines Polarisators unter 45° können die Komponenten 2I sowie 10 interferieren, weil sie nun alle Bedingungen für Interferenz erfüllen.
Zu Interferenzstreifen kommt es aber nur, wenn die Teilstrahlen 1 und 2 mit dem Abstand4 d    f unterschiedliche optische Wege zurückgelegt haben und ihre Phasen
gegeneinander verschoben sind. Auf dem Beobachtungsschirm ist immer dann ein heller Streifen zu sehen, wenn diese Phasenverschiebung ein Vielfaches der Wellenlänge
l  n   beträgt. Ist die untersuchte Luft ohne Dichteunterschiede und befindet sich
das Wollaston-Prisma genau im Brennpunkt der dritten Linse, so sind zwar keine Interferenzstreifen auf einem Schirm zu sehen, weil alle dort ankommenden Strahlenpaare
die gleiche Phase haben. Es handelt sich trotzdem um Interferenz aber ausschließlich
um konstruktive. Beim normalen Betrieb des Differential-Interferometers dagegen wird
das Wollaston-Prisma geringfügig aus dem Brennpunkt verschoben, so dass bereits
ohne Dichteunterschiede in der Luft sog. ungestörte parallele Interferenzstreifen mit
dem Abstand S erscheinen, weil die beiden interferierenden Teilstrahlen unterschiedliche optische Wege im Prisma zurückgelegt haben.
Die Richtung der Streifen kann man ändern, indem man das Prisma einschließlich des
Polarisators um die optische Achse dreht. Die Richtung und der Abstand der ungestörten Interferenzstreifen sind also nur von der Lage und Drehrichtung des WollastonPrismas incl. Polarisator abhängig.
2.1.4 Die Streifenverschiebung
Wird die Gasdichte der Luft zwischen den Linsen inhomogen ( z. B. durch Erwärmung ),
so wird der Brechungsindex ebenfalls inhomogen und die ungestörten Interferenzstreifen verschieben sich um ∆S (s. Bild 4).
Die relative Streifenverschiebung (∆S/S) ist ein Maß für den Brechungsindexgradienten
im Punkt der Interferenz.  ist die Richtung der Strahltrennung des Wollaston-Prismas
und verläuft senkrecht zu den ungestörten Interferenzstreifen.
Bei einem zweidimensionalen Testobjekt, in dem sich die Dichte nicht entlang des aufgeweiteten Laserstrahls (z-Richtung) sondern nur senkrecht dazu ändert, (x,y), gilt für
die optische Wegdifferenz ∆l (optische Weglänge = Brechungsindex mal geometrische
Weglänge) der beiden Teilstrahlen 1 und 2 mit dem Abstand d in Richtung 
z2
l  x, y   d  
z1
n  x, y 

dz  d 
n  x, y 

L
Da eine Streifenverschiebung um genau einen Streifenabstand einer Phasenverschiebung von  entspricht, ergibt sich mit l  S für den Brechungsindexgradienten
S

4
Auch hier die Annahme kleiner Winkel.
n
 S

 d  L S
Bild 4 : ungestörte Interferenzstreifen im Abstand S und um ∆S verschobener Streifen an einer senkrechten beheizten Wand
Für den Dichtegradienten ergibt sich mit n  1  K   (1) und d    f    0.00435 
  n

S



 n    f  L  K S
(2)
Durch Ausmessen der Interferenzstreifenverschiebung und durch Drehen des Wollaston-Prismas kann man somit den Dichtegradienten in beliebiger Richtung bestimmen.
Die Gladstone-Dale-Konstante K kann aus K   n  1  mit der Idealgas Gleichung
  p  RT  und der folgenden empirischen Dispersionsgleichung5 (3) für n als Funktion
der Wellenlänge  (Achtung!  in m) rechnerisch ermittelt werden. Sie gilt für Luft bei
einem Druck von p=1.0132 bar, einer Temperatur von t=15°C und ist in / 3 / angegeben:
 n  1  106 
5
57918.17
238.0185 
1
2

1679.09
1
57.362  2
(3)

Dispersion ist die Änderung des Brechungsindexes in Abhängigkeit von der Wellenlänge. Die Dispersion
wird zur Spektralzerlegung von Weißlicht benutzt, z. B. mit einem Prisma.
2.2 Bestimmung von  aus der Verschiebung der Interferenzstreifen
Der Wärmeübergangskoeffizient  an der Wand ist definiert zu:

qW
1
 T 
 L 

TW  T
 x Wand TW  T
(4)
Dabei ist qW die Wärmestromdichte an der Wand, L die Wärmeleitfähigkeit der Luft und
 T
x Wand der Temperaturgradient in x-Richtung an der Wand. Für unseren Fall der
senkrechten, beheizten Wand sind in der Definition von  alle Größen bekannt bis auf
den Temperaturgradienten. Da p nicht von x abhängt, ergibt sich mit p    R  T bzw.
T  p / R :
p   
R  T 2   
 T 
 x    R   2  x    p  x 

p 
p

p


da
p2
  2 2
R T
2
(5)
T 
Der Dichtegradient   in einer beliebigen Richtung  lässt sich nach Gl. (2) aus der
Verschiebung der Interferenzstreifen messen. Sei Θ der Winkel zwischen der y - und
der  - Richtung ( Bild 4 ), so ist:


 sin   

x
(6)
Mit den Gleichungen (2), (4), (5) und (6) ergibt sich der Wärmeübergangskoeffizient zu:

L  R  TW2  
 S 

TW  T   p  sin      f  K  L  S Wand
(7)
Als fehlerbehaftet sind dabei die Größen TW ,T , p, , S, S anzusehen.
2.3  als Funktion von Ähnlichkeitskenngrößen
Der Wärmeübergangskoeffizient ist kein einfacher Stoffwert, sondern eine Funktion des
steilen Temperaturgradienten in der Nähe der Wand (s. Gleichung 4) und deshalb eine
verwickelte Funktion der Eigenschaften der bewegten Luft und des Temperatur- und
Geschwindigkeitsfeldes in Wandnähe. Eine exakte theoretische Berechnung des Wärmeübergangskoeffizienten ist in der Regel nicht möglich. Im Allgemeinen ist man bei der
Bestimmung von  auf den Versuch und seine Auswertung auf der Basis der Ähnlichkeitstheorie angewiesen. Die Ähnlichkeitsbetrachtungen gestatten, Wärmeübergangskoeffizienten als Funktion von wenigen kombinierten Kenngrößen an Stelle einer großen
Zahl von Veränderlichen darzustellen.
Die Luftschicht in der Nähe der beheizten Wand wird erwärmt, (Kennzahl Prandtl-Zahl)
dadurch nimmt seine Dichte ab, weil der Druck konstant und dem barometrischen Druck
entspricht. Auf Grund der verringerten Dichte erfährt die erwärmte Luft eine Auftriebskraft, der allerdings die Reibungskraft an der Platte entgegen wirkt, (Kennzahl Grashof
Zahl) so dass sich eine Geschwindigkeits- und Temperaturverteilung entsprechend der
Darstellung in Bild 5 einstellt. Die Gastemperatur nimmt innerhalb der Grenzschicht der
Dicke T von TW an der Wand bis auf T am äußeren Rand ab.
v(x)
T(x)
TW
s
T
T
x
x
Bild 5: Geschwindigkeits- und Temperaturprofile
Für natürliche, konvektive Strömungen existiert eine Ähnlichkeitskennzahl Nu, die das
Verhältnis von ‘Wärmestromdichte bei Konvektion’ zu ‘Wärmestromdichte bei reiner
Wärmeleitung’ beschreibt. Diese dimensionslose Kenngröße Nu nennt man ‘NusseltZahl’. Sie ist definiert als Nu    y L und kann mit (4) umgeformt werden:
qW
L
Q
y
y
y
 T 
(8)
  






L QL TW  T  L TW  T   x W L T
y ist die von der Plattenunterkante aus gemessene senkrechte Koordinate. Die NusseltZahl ist somit ortsabhängig. Für die Nusselt-Zahl kann man im Fall der senkrechten, beheizten Wand einen wichtigen Zusammenhang ableiten, in dem man den folgenden
Vergleich der Kräfte bzw. des Energietransports anstellt.
In der Strömungsgrenzschicht mit der Dicke  s sind die Auftriebskräfte von gleicher Größenordnung wie die Trägheitskräfte:
y
Nu   
    TW  T   g  L   s  y    2   s  L   2   TW  T   g  y


 





1
mit
2
(9)
3
 - Dichte der Luft in großem Wandabstand

 - thermischer Ausdehnungskoeffizient für ideale Gase   1/ V   V T  p  1 T
g - Erdbeschleunigung
v - Geschwindigkeit eines kleinen Gasvolumens in der Höhe y in y – Richtung.




Term 1 stellt den Dichteunterschied der Luft in der Grenzschicht zur Umgebungsluft dar,
Term 2 das Volumen in der Grenzschicht,
Term 3 die Beschleunigungskraft, die auf das Volumen mit der Geschwindigkeit v
in y-Richtung wirkt.
Außerdem ist innerhalb der thermischen Grenzschicht der Energietransport durch Wärmeleitung von gleicher Größenordnung wie der Energietransport durch Konvektion:
TW  T
L  y
L2  y 2
2

Q  L  L
y 
   4 2 2 (10)
   L  T    c p  TW  T     2


 
T
T    c p
T    c p
1
3



4
2
mit c p - spez. Wärme der Luft bei konstantem Druck.




Term 1 repräsentiert die Fläche, durch die der Wärmestrom hindurchtritt,
Term 2 den treibenden Temperaturgradienten,
Term 3 den Volumentransport und
Term 4 die spezifische Wärmemenge.
Nach Einsetzen von (9) in (10) und unter Verwendung der dimensionslosen Kenngrößen
Pr    c p   L (Prandtl - Zahl), und
Gr  g  v  y 3 TW  T  /  2 (Grashof - Zahl)
(11)
folgt:
T4 
L2  y
c p2   2  g  TW  T   

L2  y 4
y4

c p2   2  Gr   2 Pr 2  Gr
(12)
mit  - kinematische Zähigkeit der Luft.
Und nach Einsetzen von (12) in (8) ergibt sich schließlich
Nu  
y
L

 Pr 2  Gr

14
 Gr 1 4
(13)
mit Pr  1 für Gase unter den Versuchsbedingungen. Diese Gleichung stellt den Zusammenhang zwischen Wirkung, ausgedrückt durch die Nusselt-Zahl, d.h. den Wärmeübergang und die Ursache, die Grashof-Zahl, d.h. die Auftriebskräfte in dimensionloser
Form dar.
3 Versuchsdurchführung
Man stellt die Interferenzstreifen unter der Neigung von 45° zur Wand ein und misst auf
dem Beobachtungsschirm die relative Streifenverschiebung S / S an der Wand. Die
Temperatur TW ist über die ganze Wand annähernd konstant und wird mit Thermosensoren gemessen. Somit läßt sich der Wärmeübergangskoeffizient  mit Gleichung (7)
bestimmen.
Folgende Maßnahmen sind durchzuführen:
1. Überprüfen der Vollständigkeit des Interferometers.
2. Einschalten des Halbleiter-Lasers. (Achtung: Nicht direkt in den Laserstrahl blicken!)
3. Einschalten der Platte mit einer Solltemperatur von ca. 50° C.
4. Wollaston-Prisma so positionieren, dass auf dem Beobachtungsschirm etwa 8 Interferenzstreifen zu beobachten sind.
5. Durch Drehen von Wollaston-Prisma und Polarisator die Interferenzstreifen in einen Winkel von ca. 45° zur Platte bringen.
6. Nach dem Erreichen der Solltemperatur Aufnahme der Interferenzstreifenverschiebung mit dem Videodrucker. Während der Aufnahme darauf achten, dass
um die beheizte Platte keine störenden Luftbewegungen entstehen.
7. Notieren der Temperaturwerte und des barometrischen Luftdruckes:
- TW in Grad C, umrechnen in K
- T∞ ( T Raum ) in Grad C, umrechnen in K
- p ( Luftdruck ) in mbar, umrechnen in Pa
8. Ausschalten des Lasers und der Stromversorgung des Temperaturmoduls.
4 Versuchsauswertung
Bestimmen Sie
1. den Abbildungsmaßstab M = D/D’ (s.Bild 4) aus der bekannten Plattendicke (12,5
mm),
2. den Winkel  zwischen Strahltrennungsrichtung und y-Achse (für Berechnungen
ist der Mittelwert  zu verwenden),
3. den Streifenabstand S in x-Richtung (für Rechnungen ist der Mittelwert S zu verwenden),
4. die Streifenverschiebung S in und den dazugehörigen y’-Wert (s.Bild 4).
Tabelle zum Ausmessen der Interferenzstreifen
 /Grad
S/mm
N
S /mm
1
2
3
4
5
6
7
8
Mittelw.
Danach sind
- die Gladstone-Dale-Konstante K,
- die Wärmeübergangskoeffizienten   y  , Gl. 7
S / S
y’/mm
- die Nusselt-Zahlen Nu(y), erste Teilgleichung 8 und die
- Grashof-Zahlen Gr(y), Gl. 11
zu berechnen und in die folgende Tabelle einzutragen.
N
y  M  y  in m
 in W/m2K
Nu
ln(Nu)
Gr
ln(Gr)
1
2
3
4
5
6
7
8
-
Die Auswertung ist mit folgenden Schritten abzuschließen:
o Graphische Darstellung der Werte-Paare lnNu/lnGr (lnNu-Ordin., lnGr-Absz.)
o Lineare Regression zur Bestimmung der Geradengleichung lnNu = f (lnGr)
o Vergleich des Exponentes mit der Theorie, Gl. 13.
Zur Auswertung benötigte Messwerte:
Wandtemperatur
Raumtemperatur
therm. Ausdehnungskoeff.
Luftdruck
Wanddicke auf dem Bild
Wanddicke der Platte
Abbildungsmaßstab
Zur Auswertung benötigte Konstanten:
Temperaturumrechnung
Plattenbreite
TW  .................K
T  ..................K
v  1/ T  .......K 1
p  ...................Pa
D   .................mm
D  12,5
mm
M  .....................
0C
L
 273,15 K
 90 mm
kin. Zähigkeit bei 25 ° C

 16,473  10 6 m 2 / s
Wärmeleitf. bei 25 ° C
L
 27,125  10 3 W / mK
Erdbeschleunigung
g
 9,81m / s 2
Wellenlänge des Laser
0
 0,66  m
Dispersionswinkel
Brennweite der Linse
Gaskonstante

f
R
 4,35  10 3
 0,4 m
 287 J / kgK
5 Literaturhinweise
1. Zurmühl : Praktische Mathematik für Ingenieure und Physiker, Springer-Verlag, 1963
2. Merzkirch, W.: Flow Visualization; 2. Ed.; Academic Press, New York und London, 1987
3. Peck, B.: Dispersion of Air; J. Opt. Soc. of Am., 62 ( 1972 ) 8, S.958 - 962