Universität Tübingen, WS15/16 Analysis I Prof. Dr. C. Hainzl, M

Universität Tübingen, WS15/16
Analysis I
Prof. Dr. C. Hainzl, M. Laux, T. Tzaneteas
Blatt
10
Abgabe am 14.01.2016
Aufgabe 10.1 – Oberhalbstetigkeit
Sei f : R → R oberhalbstetig, d.h. für jede konvergente reelle Folge (xn ) mit xn → x ∈ R
gelte
lim sup f (xn ) ≤ f (x) .
n
Sei K ⊂ R nichtleer und kompakt, d.h. jede Folge in K habe eine konvergente Teilfolge
mit Grenzwert in K. Zeigen Sie, dass f ein Maximum auf K besitzt.
Aufgabe 10.2 – Fixpunktiteration
Sei f : [0, 1] → [0, 1] eine Funktion und L < 1. Für alle x, y ∈ [0, 1] gelte
|f (x) − f (y)| ≤ L |x − y| .
Ferner sei x1 ∈ [0, 1] beliebig und xn+1 = f (xn ) für alle n ∈ N.
a) Zeigen Sie, dass f stetig ist.
b) Zeigen Sie, dass (xn ) eine Cauchy-Folge ist, die gegen einen Fixpunkt von f konvergiert. Zeigen Sie dann, dass dieser Fixpunkt eindeutig ist.
c) Zeigen Sie, dass man für f (x) = e−x/2 die Konstante L = 1/2 wählen kann. Illustrieren Sie die Konvergenz von (xn ) für dieses Beispiel anhand einer Skizze.
Aufgabe 10.3 – Additionstheoreme
Überprüfen Sie für ϕ, ψ ∈ [0, π/4] die Additionstheoreme
cos(ϕ + ψ) = cos(ϕ) cos(ψ) − sin(ϕ) sin(ψ)
sin(ϕ + ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + cos(ϕ) sin(ψ)
geometrisch anhand folgender Skizze:
ϕ
ψ
ϕ
Aufgabe 10.4 – Formulierung von Stetigkeit
Eine Menge M ⊆ C heißt offen (in C), falls für jedes x ∈ M ein δ > 0 existiert, sodass
{z ∈ C : |z − x| < δ} ⊆ M . Sei f : C → C. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent
sind:
(A) ∀ z ∈ C : zn → z ⇒ f (zn ) → f (z)
(B) ∀ z ∈ C ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∀ x ∈ C : |x − z| < δ ⇒ |f (x) − f (z)| < ε
(C) Urbilder offener Mengen sind offen.
Aufgabe 10.5 – komplexe Zahlen
Zu jedem z ∈ C \ {0} existiert genau eine Zahl ϕ ∈ (−π, π], sodass z = |z|eiϕ . Diese
Zahl heißt Argument von z und man schreibt arg(z) = ϕ. Ferner setzt man arg(0) := 0.
Skizzieren Sie jeweils die Menge M ⊆ C in der komplexen Zahlenebene:
a) M = {z ∈ C : z 5 = 2}
e) M = {z ∈ C : |ez | = e}
b) M = {z ∈ C : | arg(z)| < π/3}
f) M = {z ∈ C : arg(ez ) = π/4}
c) M = {z ∈ C \ {0} : 3/z = z}
g) M = {z ∈ C : z 4 =
d) M = {z ∈ C : |z + i| ≤ |z − 1|}
h) M = {z ∈ C : arg(z 3 ) ≤ arg(z)}
1+i
√ }
2
Aufgabe 10.6 – komplexer Logarithmus
Sei S := {z ∈ C : −π < Im(z) ≤ π}. Zeigen Sie, dass log : C \ {0} → S mit log(z) =
log(|z|) + i arg(z) die Inverse von exp : S → C \ {0} ist.
Aufgabe 10.7 – Reihenkonvergenz
Entscheiden Sie (jeweils mit Beweis), für welche reellen Zahlen α > 0 die Reihe konvergiert:
a)
P∞
b)
P∞
1
n=1 nα
1
n=2 n(log(n))α
Aufgabe 10.8 – gleichmäßige Stetigkeit
a) Ist die Funktion f : [−1, 1] → R mit
( sin(x)
f (x) =
x
1
falls x 6= 0
falls x = 0
gleichmäßig stetig auf [−1, 1]?
b) Seien A, B ⊆ R2 nichtleer und f : A → B gleichmäßig stetig. Zeigen Sie: Ist (xn )
eine Cauchy-Folge in A, so ist (f (xn )) eine Cauchy-Folge in B.