3. Dynamik 1 a F m = gm F

19
3. Dynamik
20
umgeformt:
Ursachen der Bewegung: Kräfte
3.1 Axiome
F = mt a
Die Einheit der Kraft ist Newton: [N] = [kg m/s2]
1. Trägheitsprinzip (lex prima)
„lex prima“ aus den Principia von Isaac Newton, London
1687. Vor Newton (1643-1727) auch schon formuliert
von Galilei Galileo (1564-1642).
Eine Kraft von 1 N beschleunigt 1kg in 1s auf 1m/s.
Nachrechnen:
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der
gleichförmigen linearen Bewegung, wenn er nicht durch
einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands
gezwungen wird.
(ohne Kraft keine Änderung der Bewegungsrichtung oder
Geschwindigkeit)
2. Aktionsprinzip (lex secunda)
Die Änderung der Bewegung ist proportional zur
einwirkenden Kraft, und geschieht in der Richtung,
in der diese Kraft wirkt.
Die Proportionalitätskonstante ist die inverse träge Masse
des Körpers:
1 a=
mt
F
a=
v 1m/s
=
= 1 m/s 2
t
1s
F = mt a = 1 kg 1 m/s 2 = 1 N
3.2 Schwere und träge Masse
Die Anziehung durch die Erde bewirkt eine Kaft Fg auf einen
Körper, die proportional zu seiner schweren Masse ist. Auf
der Erdoberfläche gilt:
ms
Fg = ms g
Fg
Gewichtskraft
21
22
3.3 Vektorielle Addition von Kräften
Dies bewirkt eine Beschleunigung
a=
Fg
=
mt
ms
g
mt
Kräft haben Richtung und Betrag. Mehrere an einem Punkt
angreifende Kräfte werden vektoriell addiert:
F
Experimente zeigen, dass die schwere Masse tatsächlich
gleich der trägen Masse ist
a=g
⇒
F = F1 + F2
Hierbei gilt:
F1
F2
F ≤ F1 + F2
Alle fallenden Körper beschleunigen mit g !
Experiment: Entkopplung von beschleunigter und
Kraft erzeugender Masse
Die Gesamtkraft ist immer kleiner oder gleich
der addierten Einzelkräfte
F
Beispiele:
spitzer
Winkel:
m2
Kraft
F1 = m1g
beschleunigt Masse m = m1 + m2
F
flacher
Winkel:
F2
F ≈ F1 + F2
F1
F2
F << F1 + F2
Beschleunigung:
Experiment:
F
m1 g
a= =
m m1 + m2
m1
Tabelle:
m1
m2
a
m0
m0
1/2 g
10 m0
m0
10/11 g
m0
10 m0
1/11 g
F1
Rechter Winkel wegen
Pythagoras:
F2
5 = 4 2 + 32
F3
hier:
F =
4m0 g
5m0 g
3m0 g
2 2
F1 + F2
F1
23
3.4 Aufteilung von Kräften
zurückgelegter Weg:
Ein Kraftvektor kann immer als Summe von Kraftvektoren
dargestellt werden, die an demselben Punkt
angreifen:
F1
F
=
F2
F = F1 + F2
Beispiel: schiefe Ebene
m
F
h
⊥
F
α
l
Fg = mg
F
m
=
Für kleine Winkel α gilt:
Damit:
a=
sin α ≈ tan α =
h
l
h
g
l
Bei kleinen Steigungen ist die Beschleunigung gleich
Erdbeschleunigung mal Steigung!
Gewichtskraft wird aufgeteilt
⊥ und
in anpressende Kraft F
beschleunigende Kraft F
(„Hangabtriebskraft“)
Es ist
|F | = F = Fg sin α
Beschleunigung:
a=
24
1
s = sin α gt 2
2
mg sin α
m
= g sin α
Entspricht freiem Fall mit verminderter Schwerkraft!
25
26
3.6 Kreisbewegung: Kräfte
3.5 Axiome (Fortetzung)
z
Kreisbewegung eines Körpers
um den Ursprung.
3. Reaktionsprinzip (lex tertia)
r
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die
Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich
entgegengesetzter Richtung
x
F2
y
a (t ) = vɺ (t ) = −ω 2 r (t )
Es wirkt also eine Kraft
Fzp = ma = −mω 2 r
Kraft gleich Gegenkraft: bei Wechselwirkungen zwischen
zwei Körpern wirken Kräfte auf die Körper, welche gleich
groß und entgegengesetzt sind
F1
Die Beschleunigung ist
Zentripetalkraft
v
F2 = − F1
Fzp
Die Zentripetalkraft ist die Kraft,
die notwendig ist, um die
Bewegungsrichtung des Körpers
ständig zu ändern.
Allgemein: in einem (Inertial-) System ohne äußeren
Kräfte gilt für die wirkenden Kräfte:
N
∑ Fi = 0
„Mikroskopische“ Betrachtung
dv
i =1
v'
F
v
ϕ
Für sehr kleine Zeitintervalle dt ist
die Richtung der Kraft konstant. Es
wirkt die Beschleunigung
1 a= F
m
27
28
3.7 Zentrifugalkraft
Dies bewirkt eine Geschwindigkeitsänderung:
1 dv = adt = Fdt
m
Drehachse
Fzf
Führt zu neuer Geschwindigkeit:
v ' = v + dv
mit einem Winkel ϕ gegenüber
Es gilt:
dv 1
tan dϕ ≈ dϕ = =
v
m
dϕ =
also
⇒
F
F
dt
dt =
v
mv
Wagen auf Drehtisch, im
System des Tischs betrachtet
FZf = mω 2 r⊥
F
dt
mv
Führt im rotierenden System zu „künstlicher Schwerkraft“
dϕ F
ω=
=
dt mv
⇒
Mit
v
Im rotierenden System
wirkt auf eine Masse eine
Kraft, die radial nach
außen gerichtet ist:
F = mvω
v = rω
m
Zentripetalkraft
Fg
2
Kraft
Beschleunigung
v
F = mrω = m
r
2
F
v2
2
a = = rω =
m
r
Fges
g
Fges = Fg + Fzf = mg + mω 2 r⊥
= m( g + ω 2 r⊥ ) = mg '
Fzf
g'
Wie bei normaler Schwerkraft wirkt
auf alle Körper eine Kraft
proportional ihrer Masse
(aber
nicht in Richtung von g )
Die Richtung der „künstlichen Schwerkraft“ hängt von
dem Abstand zu Drehachse ab!
29
30
Beispiel: Waschmaschine, Schleudergang
Experiment: rotierende Flüssigkeit
ω
1600
1
= 26.7
60s
s
1
ω = 2π f = 168
s
f =
Flüssigkeitsoberflächen sind immer
senkrecht ausgerichtet zu den
wirkenden Kräften
h
⇒ Oberfläche zeigt die Richtung der
lokalen „Schwerkraft“ an
Zentrifugalbeschleunigung damit:
a = rω 2 = 7018
Flüssigkeit in
rotierendem Gefäß
Flüssigkeit
α
h
aZf
aZf rω 2
dh
= tan α = =
dr
g
g
dh ω 2
=
r
dr g
g
r
m
= 715 g
s2
(Menschen überleben kurzzeitig 20 g!)
Berechnung der Steigung der Oberfläche
α
1600 Umdrehungen/min:
Radius: 0.25 m
⇒
h(r ) = h0 +
ω2
2g
Differentialgleichung!
Die Zentrifugalkraft ist eine „Scheinkraft“, da sie nicht auf der
Wechselwirkung zwischen Objekten beruht; sie hat aber die
gleiche Wirkung wie eine „reale“ Kraft.
Merkregel:
bei Beschreibung der Kraft in
einem rotierenden System
• Beobachter ruht: Zentripetalkraft
• Beobachte rotiert mit: Zentrifugalkraft
r
2
Eine Flüssigkeit in einem rotierenden Gefäß bildet
eine perfekt parabelförmige Oberfläche aus!
31
3.8 Bezugssysteme, Trägheitskräfte
Das Koordinatensystem („Bezugssystem“) zur Beschreibung
eines physikalischen Vorgangs ist frei wählbar. Der
Wechsel zwischen verschiedenen Bezugssystemen
geschieht durch Koordinaten-Transformation.
32
Die wirkenden Kräfte in gleichförmig zueinander bewegten
Bezugsystemen sind identisch.
Definition:
Ein Inerialsystem ist ein Bezugssystem, in die
Newton‘schen Axiome gelten (insbesondere
Kraft=Gegenkraft, d.h. es gibt keine
Scheinkräfte)
3.8.1 Galilei-Transformation
Wechsel zwischen Bezugssystemen, die sich gleichförmig
zueinander bewegen.
z‘
z
v
r'
r0
r = r0 + vt + r '
(r ' = r − r0 + vt )
vw
Damit gilt für die Kräfte auf einen Körper mit Bahnkurve
:
F = ma = mrɺɺ = mrɺɺ ' = F '
Bahnkurve im System
des Wagens:
1
r '(t ) = v0t + gt 2
2

0

=
0
v0t − 12 gt2

ɺɺ
r = ɺɺ
r'
(diese ist gleich in beiden Bezugssystemen!)
bzw.
Kugel
v0 '
rɺ = v + rɺ '
Für die Beschleunigung:
r '(t )
Experiment:
Für die Geschwindigkeit gilt:
y‘
y
r (t )
⇒ alle gleichförmig relativ zu einem Inertialsystem
bewegten Bezugssysteme sind auch Inertialsysteme
Transformiert in das System des Hörsaals:
r (t ) = 0 + vwt + r '(t )
=
vwt
0
 

vwt
0
=

0
0
+
v0t − 12 gt2
v0t − 12 gt2

33
Bahnkurve Wagen:

vw t
rw (t) = 0 + vw t =  0 
0

Die x-Koordinaten von Kugel und Wagen sind zu jeder
Zeit identisch ⇒ die Kugel trifft auf den Wagen auch im
Bezugssytem des Hörsaals.
(d.h. der physikalische Vorgang – Kugel entfernt sich vom
Wagen und kehrt zu ihm zurück – wird in beiden
Bezugssystemen korrekt beschrieben)
34
Auf einen Körper mit Masse m wirken also die Kräfte
F = mrɺɺ(t ) = ma + ɺɺ
r '(t ) = ma + F '
beziehungsweise
F ' = F − ma
Im beschleunigten Bezussystem wirkt eine zusätzliche
Kraft in Gegenrichtung der Beschleunigung!
(Schein- bzw. Trägheitskraft)
3.8.2 Linear beschleunigte Bezugssysteme
Beispiel: Fahrstuhl
z
z‘
Die Bezugssysteme verändern
ihre Relativgeschwindigkeit
v0 + at
Damit ist
y‘
1
r (t ) = r0 + v0t + at 2 + r '(t )
2
y
Für die Geschwindigkeit gilt:
und die Beschleunigung:
rɺ (t ) = v0 + at + rɺ '(t )
ɺɺ
r (t ) = a + ɺɺ
r '(t )
a
g
F'
Bewegung des Fahrstuhls:
1
r (t ) = at 2
2
Kraft auf Person im Bezussystem
des Fahrstuhls:

 

0
0
F = F ma =  0  +  0 
−mg
−ma
Die Gewichtskraft ist scheinbar erhöht!
35
36
= R −1rɺ '+ ω × ( x ' ex ' + y ' ey ' + z ' ez ' )
3.8.3 Rotierende Bezugssysteme
z
z‘
Richtung der Achsen des
rotierenden Systems:
y‘
ex ' , ey ' , ez '
x‘
y
x
= R −1rɺ '+ ω × R −1r '
Für die Beschleunigung gilt:
ɺɺ
r = ɺɺ
x ' ex ' + ɺɺ
y ' ey ' + ɺɺ
z ' ez ' + 2( xɺ ' eɺx ' + yɺ ' eɺy ' + zɺ ' eɺz ' )
+ x ' eɺɺx ' + y ' eɺɺy ' + z ' eɺɺz '
= R −1ɺɺ
r '+ 2(ω × R −1rɺ )
+ x '(ω × eɺx ' ) + y '(ω × eɺy ' ) + z '(ω × eɺz ' )
Transformation ins ruhende
System:
r = x ' ex ' + y ' ey ' + z ' ez '
= (ex ' , ey ' , ez ' ) ⋅ r ' = R −1r '
Also
r = R −1r '
r ' = Rr
Rotationsmatrix
= R −1ɺɺ
r '+ 2(ω × R −1rɺ ) + x '(ω × (ω × eɺx ' ))
+ y '(ω × (ω × eɺy ' )) + z '(ω × (ω × eɺz ' ))
= R −1ɺɺ
r '+ 2(ω × R −1rɺ ) + ω × (ω × eɺx ' )
R
Falls das gestrichene System mit Kreisfrequenz ω
rotiert, ist:
eɺx ' = ω × ex ' (Bahngeschwindigkeit
der Vektorspitze)
Für die Geschwindigkeit im ruhenden System gilt damit:
⇒
Rrɺɺ = ɺɺ
r '+ 2(ω × rɺ ') + ω × (ω × r ')
rɺ = xɺ ' ex ' + yɺ ' ey ' + zɺ ' ez ' + x ' eɺx ' + y ' eɺy ' + z ' eɺz '
⇒
ɺɺ
r ' = Rrɺɺ − 2(ω × rɺ ') − ω × (ω × r ')
= R −1rɺ '+ x '(ω × ex ' ) + y '(ω × ey ' ) + z '(ω × ez ' )
Beschl. im
ruhenden
System
CoriolisBeschleunigung
ZentrifugalBeschleunigung
37
38
Kräfte:
F ' = RF − 2m(ω × rɺ ') − mω × (ω × r ')
Im rotierenden System wirken zwei Trägheitskräfte:
Zentrifugal- und Corioliskraft.
∆ϕ
ω
∆v
r1
r2 vr
3.8.4 Corioliskraft
∆v = vr sin ∆ϕ ≈ vr sin ∆ϕ = vrω∆t
Anschauliche Herleitung: es gibt zwei Beiträge
also einer Beschleunigung von
ω
r1 v1
r2
2. In der Zeit ∆t, in der man das Objekt von
r2 nach r1 gebracht hat, hat sich das System
um den Winkel ω∆t weitergedreht
⇒ die anfängliche Radialgeschwindigkeit vr
ist nicht mehr parallel zum Radius, sondern
weicht um den Winkel ∆ϕ=ω∆t davon ab. Dies
führt zu einer zusätzlichen Bahngeschwindigkeit
von
v2
1. Orte im rotierenden System haben im ruhenden
System eine Bahngeschwindigkeit rω. Bringt man
ein Objekt von Radius r2 nach Radius r1, hat es
eine höhere Bahngeschwindigkeit als die lokale
Bahngeschwindigkeit bei r1 ⇒ es erfährt also eine
scheinbare Beschleunigung
a=
Beide Beiträge zusammen ergeben:
ac = 2vrω
Geschwindigkeitsunterschied:
∆v = (r2 − r1 )ω = ∆r ⋅ ω
Experiment: Pendel auf Drehtisch
Falls der Vorgang in der Zeit ∆t geschieht, ergibt sich
eine Beschleunigung:
a=
Triviale Behandlung: Pendel merkt nichts
von der Drehung des Tisches
⇒ Pendelebene dreht im rotierenden
System mit ωT
∆v ∆r ⋅ ω
=
= vrω
∆t
∆t
Radialgeschwindigkeit
∆v
= vrω
∆t
ωT
39
Tatsächlich muß die Rückstellkraft des Pendels
in y-Richtung berücksichtigt werden (reduziert ∆y):
Betrachtung im rotierenden System:
∆y
Pendelbewegung ohne Corioliskraft
x(t ) = r0 cos ω p t
Fc
ωT
40
∆y = r0π
vx (t ) = −ω p r0 sin ω p t
v
In der Zeit τp verändert die Pendelebene ihren Winkel um
⇒ Corioliskraft
Fc = −2m ω
×v 
T
Pendel
y

vx
0
= −2m  0  ×  0
0
ωT

0

2m ωT ωp r0 sin ωp t
=
0
x
ωT
ωp


∆ϕ =
Die Winkelgeschwindigkeit der Pendelebene ist also
ωE =


ω
2∆y
= 2π T
r0
ωp
∆ϕ
τ
=
ωp
ω
2π T = ωT
2π
ωp
Korrekte Winkelgeschwindigkeit auch bei Behandlung
im rotierenden System!
Vereinfacht gerechnet ergibt dies die Ablenkung:
t
v y (t ) = ∫
Fy
m
0
τ p /2
∆y =
∫
0
dt = 2ωT r0 (1 − cos ω p t )
ω
v y (t )dt = ωT r0τ p =r0 2π T
ωp
Experiment: Foucault-Pendel
Erde
ω
Pendel
α
ωeff
Breitengrad
g
Bei dem Versuch wirkt
die auf g projizierte
Winkelgeschwindigkeit
ωeff = ω sin α
41
In Freiburg (α = 48°) dreht sich die Ebene des FoucaultPendel mit
ωeff =
2π
sin α = 54 ⋅10−6 s −1
24 ⋅ 3600 s
⇒ eine volle Umdrehung in 1.35 Tagen
bzw.
0.18° pro Minute
11.1° pro Stunde
3.8.5 Einfluß der Corioliskraft
auf die atmosphärische Luftbewegung
Auf der Erdoberfläche bewegen sich die Luftmassen in
Richtung von Bereichen niedriegen Drucks; durch die
Corioliskraft werde sie auf der Nordhalbkugel „nach rechts“
abgelenkt, auf der Südhalbkugel „nach links“.
⇒ auf der Nordhalbkugel bewegen sich die Luftmasse um
Tiefdruckgebiete entgegen des Uhrzeigersinns (von oben
gesehen),
T
Erde