Funktionen Teil 1

Klassenstufe 9/10
Funktionen
Teil 1
Funktionsbegriff
Potenzfunktionen
Datei Nr. 18010
Stand: 23. Februar 2008
Friedrich Buckel
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
Vorwort
Ich beginne in dieser Datei mit einem Kapitel, das sich auf zwei Beispiele der Datei
Wachstum (18200 bzw. 18210) bezieht. Ein Beispiel für lineares Wachstum
(Wasserzufluss) und eines für exponentielles Wachstum (Bakterienvermehrung)
spielen darin die Hauptrolle. In diesem Kapitel wird der Funktionsbegriff definiert.
Wer diesen Text liest und dieses Wachstum noch nicht behandelt hat, kann dennoch
ab dem 2. Kapitel erst beginnen und aus dem ersten nur die Definitionen
herauspicken.
Das Thema lineare Funktionen führt ja schnell zu Geradengleichungen.
Diese werden in 11711 bzw. in 20010 besprochen. Dort findet man
Details dazu.
Inhalt
1
Funktionsbegriff
1
2
Potenzfunktionen
9
2.1 Arbeitsblatt / Vorübung
2.2 Gerader natürlicher Exponent
2.3 Ungerader natürlicher Exponent
Symmetriearten14
2.4 Ungerader negativer Exponent
lim 1x = 0
9
11
13
2.5
2,6
2.7
2,8
20
22
23
IxI→∞
3
Gerader negativer Exponent
Kurven mit Streckfaktor
Gebrochene Exponenten
Übersicht über Potenzfunktionen mit ganzzahligem
Exponenten
Aufstellen von Gleichungen
16
18
28
31
18010
Funktionen Teil 1
1
Der Funktionsbegriff
In diesem Abschnitt werden nur einführende Beispiele vorgestellt und der Funktionsbegriff definiert
Beispiel 1: Eine lineare Funktion
(Siehe Datei „Wachstum“ 18200):
Aus einem Rohr fließen pro Minute d = 5 L (Liter) Wasser in ein Becken, das
anfänglich noch mit 25 Litern gefüllt war. Die (Mengen-)Durchflussgeschwindigkeit
L
ist somit v d = 5 min
.
Berechnung des zu einem bestimmten Zeitpunkt t vorhandenen Wasservolumens:
Nach 1 Minute sind zum Anfangsvolumen 25 L noch 5 L dazu geflossen:
Gesamtvolumen im Becken: V(1 min) = 25 L + 5 L = 30 L
Nach 2 Minuten sind zum Anfangsvolumen 25 L noch 10 L dazu geflossen:
Gesamtvolumen im Becken: V(2 min) = 25 L + 10 L = 35 L
Man verwendet hier günstigerweise die gegebene Durchflussgeschwindigkeit
L
v d = 5 min
. Sie gibt ja das pro Minute zufließende Volumen an.
Für 2 Minuten multipliziert man daher diesen Wert mit 2 min:
L
V ( 2 min ) = 25 L + 5 min
⋅ 2 min = 25 L + 10 L = 35 L
Die Einheit Minute kann man wegkürzen.
Nach 5 Minuten sind zum Anfangsvolumen 25 L noch 25 L dazugeflossen:
V ( 5 min ) = 25 L + 5
⋅ 5 min = 25 L + 25 L = 50 L
L
min
Nach 1 Stunde gilt:
V ( 60 min ) = 25 L + 5
L
min
⋅ 60 min = 25 L + 300 L = 325 L
Dahinter steckt diese Methode:
Addiert man zum Anfangsvolumen V ( 0 ) = 25 L die in der Zeit t (in Minuten)
zuströmende Menge, also vd ⋅ t , dann erhält man das zum Zeitpunkt t
vorhandene Volumen V(t):
V ( t ) = V ( 0 ) + vd ⋅ t :
bzw. mit den bekannten Werten:
L
V ( t ) = 25 L + 25 min
⋅t
Mit dieser Gleichung kann man Wassermengen zu beliebigen Zeitpunkten
berechnen.
1
18010
Funktionen Teil 1
2
Diesen Zusammenhang zwischen t und V kann man übersichtlich in einer Wertetabelle darstellen:
t in min
0
1
2
3
...
10
V in L
25
30
35
40
...
75
Eine andere Darstellungen in Form eines Pfeildiagramms (Mengendiagramm) sieht so aus:
0
25
1
30
2
35
...
...
10
75
Grundmenge G
Definitionsbereich D
(Definitionsmenge)
Man erkennt:
Zielmenge Z
Wertebereich W
(Wertmenge)
Jedem Zeitpunkt wird eindeutig eine Wasservolumen zugeordnet.
Hier geht es um vier Mengen, die so zusammenhängen:
Die Grundmenge gibt an, welche Zahlen überhaupt zugrunde gelegt werden.
In der Schule ist das fast immer die Menge der reellen Zahlen: G = R
Der Definitionsbereich enthält die Zahlen, denen man einen Wert zuordnet.
Das ist stets eine Teilmenge der Grundmenge. Oft sind sie identisch.
Die Zielmenge gibt an, welche Werte zugelassen werden. Meisten ist Z = R .
Der Wertebereich ist die Menge der tatsächlich zugeordneten Werte, sie ist
damit eine Teilmenge der Zielmenge.
In unserem Beispiel 1 kann der Definitionsbereich keine negativen Zahlen enthalten,
weil die Zeit ja erst ab t = 0 läuft. Und ebenso wenig können im Becken negative
Wassermengen enthalten sein. Also haben wir in diesem Beispiel D = R + und
W = R + . ( R + ist die Menge der positiven reellen Zahlen.)
Weil die Wassermenge von der Zeit abhängt, verwendet man meistens die
sogenannte Funktionsschreibweise V(t) und liest dies „V von t“. Damit kann man
beispielsweise die Zuordnungen informativer gestalten. Anstatt V = 40 schreibt
man dann V(3) =40. Dies sagt mehr aus, denn man weiß nun, dass zur Zeit
t = 3 (min) V = 40 (L) im Becken sind. Die Einheiten bleiben verabredungsgemäß
bei Berechnungen oft weg.
18010
Funktionen Teil 1
3
Eine weitere wichtige Darstellung ist das Schaubild dieser Zuordnung:
V (t)
P2
P1
Es entsteht dadurch, dass man die einander zugeordneten Werte zu Paaren zusammenfasst, etwa
so: P1 ( 2 min⏐35 L ) und P2 (10 min⏐75 L ) .
Diese beiden Paare enthalten an der ersten Stelle die Zeit, an der zweiten die Wassermenge.
Man nennt sie auch Zustandspunkte, weil sie eben zwei Zustände beschreiben.
Verbindet man die Zustandspunkte, ergibt sich das Schaubild der Zuflussfunktion.
Dass es sich in diesem Falle um eine Gerade handelt erfährt man entweder, wenn man die Theorie
der linearen Funktionen behandelt, oder man ahnt es.
In dieses Diagramm ist eine weitere Zuordnung mit roten Pfeilen eingetragen. Von t = 20 aus geht ein
Pfeil senkrecht nach oben bis zur Geraden, und von dort nach links bis zu V = 125. Dies kann man
ziemlich gut ablesen, aber auch durch Rechnung nachprüfen:
L
V ( 20 ) = 25 L + 5 min
⋅ 20 min = 125 L
Wichtig zum merken:
MERKE:
Unter einer Funktion versteht man eine eindeutige
Zuordnung der Werte einer Zielmenge zu den
Werten der Definitionsmenge.
Daher schreibt man auch oft:
x ⎯⎯→ f(x)
Oft kürzt man den Funktionswert f(x) durch y ab und schreibt
dann auch y = f(x).
Bildet man aus x und Funktionswert f(x) bzw. y Paare und
trägt die im Achsenkreuz ab, erhält man das sogenannte
Schaubild oder den Graph der Funktion.
Doch Vorsicht: Dies ist dann nur die graphische Darstellung
der Funktion und nicht die Funktion selbst, die ist die
Zuordnung.
18010
Beispiel 2:
Funktionen Teil 1
4
Eine Quadratische Funktion
In der Physik wird die Fallbewegung besprochen.
Dazu gilt das Fallgesetz in dieser Form:
s = 21 gt 2
Dabei ist g die Fallbeschleunigung, die man zu g ≈ 9,81 m2
s
bestimmt hat. Man rechnet aber meistens mit g ≈ 10
m
s2
.
t ist die Fallzeit und s der zurückgelegte Weg.
In der Mathematik verwendet man in der Regel x und y
statt t und s, dann lautet die Gleichung so:
In der Funktionsschreibweise:
y = 5x .
2
f ( x ) = 5x 2
Das ist eine quadratische Funktion, deren Schaubild
eine Parabel ist: Für die physikalische Anwendung
kommt wiederum nur die rechte Halbparabel in Betracht,
weil eine negative Fallzeit keinen Sinn macht.
Anwendung:
Nach t = 2 s ist der Körper s = 5 ⋅ 22 = 20 ( m )
tief gefallen. Der rote gestrichelte Pfeil zeigt das an.
Quadratische Funktionen können auch viel kompliziertere Gleichungen ´haben. Sie werden in
mehreren Texten besprochen (18021 bis 18025)
Hier noch eine davon mit der Gleichung
y = f ( x ) = x 2 + 4x + 3
N1
N2
S
18010
Funktionen Teil 1
Beispiel 3:
5
Ein Kreis ist nie Schaubild einer Funktion
P1 ( 3⏐4 )
r
r
P2 ( 3⏐− 4 )
Zunächst überprüfen wir, dass die Punkte P1 ( 3⏐4 )
und P2 ( 3⏐− 4 ) auf dem Kreis
um den Ursprung mit Radius r = 5 liegen. Dies gelingt ganz einfach mit Hilfe des
Satzes von Pythagoras: Es gilt x12 + y12 = 9 + 16 = 25 = r 2 für P1 und
x 2 + y 2 = 9 + 16 = 25 = r
2
2
2
für P2 .
Nun betrachte man die beiden eingezeichneten Zuordnungen.
Der von x = 3 aus nach oben gehende (rote) Pfeil geht nach P1 und dann nach
y = 4. Und der von x = 3 aus nach unten gehende (blaue) Pfeil geht nach P2 und
von da aus nach – 4. Also wird durch diese Kreiskurve diese Zuordnung erzeugt:
y=4
x=3
y=-4
Man erkennt, dass der Zahl 3 nicht mehr eindeutig ein Wert zugeordnet wird,
sondern gleich zwei. Die Eindeutigkeit ist verletzt, also darf man diese Zuordnung
nicht mehr Funktion nennen. Man nennt sie eine Relation.
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Funktionen Teil 1
6
Beispiel 4
Schaubilder von Funktionen sind nur in Ausnahmefällen Geraden oder Parabeln. Wer mehr über das
Wachstum weiß, der erinnert sich vielleicht, dass es sich im Beispiel 1 um das gleichmäßige
Wachstum in Form eines konstanten Zuflusses gehandelt hat. Gleichmäßiges Wachstum ergibt
immer eine lineare Funktion (so nennt man diesen Funktionstyp) und als Schaubild eine Gerade.
Kommen wir jetzt zum prozentualen oder exponentiellen Wachstum, dann erinnert man sich vielleicht
daran, dass nun gekrümmte Kurven ins Spiel kommen. Das nun folgende Beispiel stammt aus der
Datei „18210“.
Ein Bakterienstamm vermehrt sich so dass er nach 1 Stunde 100 Individuen und
nach 1 Tag 40.000 Individuen hat. Die gesuchte Wachstumsfunktion ist eine.
Exponentialfunktion und hat die Form n ( t ) = a ⋅ bt , wobei n(t) die Anzahl der
Bakterien zur Zeit t in Stunden ist. Die Konstante a entpuppt sich schnell als
n ( 0 ) = a ⋅ b0 = a ⋅ 1 = a .
Startmenge, denn für t = 0 erhält man:
Daher schreibt man solche Wachstumsgleichungen auch gerne in dieser Form:
n ( t ) = n ( 0 ) ⋅ bt
In unsrer Aufgabe errechnen sich a = n ( 0 ) = 77
und b = 1,3.
Es sei noch kurz auf die Berechnung dieser Größen verwiesen:
Die Aufgabe liefert uns zwei Zustandsangaben: P1 ( 1 I 100 ) und P2 ( 24 I 40 000 ).
Mit beiden machen wir die Punktprobe d.h. wir setzen sie in die
Wachstumsgleichung ein:
1
P1 ( 1 I 100 )
eingesetzt:
100 = a ⋅ b = ab
(1)
24
24
P2 ( 24 I 40 000 ).
eingesetzt:
40 000 = a ⋅ b = ab
(2)
Für dieses Gleichungssystem gibt es einen Rechentrick. Dividiert man diese
Gleichungen durcheinander, fällt sofort a weg und man kann b berechnen:
(2)
a ⋅ b24
40000
:
=
⇒ b23 = 400 ⇒ b = 23 400 = 1,2975 ≈ 1,3
(1)
a ⋅b
100
100 100
in Gleichung (1) eingesetzt folgt: a =
=
≈ 77
b
1,3
Das Wachstumsgesetz lautet also n ( t ) = 77 ⋅ 1,3t
Nun haben wir hier also eine Wachstumsfunktion, bei der die Variable t im Exponenten steht, sie heißt
daher eine Exponentialfunktion. Sie hat die schöne Eigenschaft, dass hier die Werte in gleichen
Zeitspannen nicht um den gleichen Betrag, sondern um den gleichen Faktor, d.h. um denselben
Prozentsatz zunehmen.
Dies erkennen wir an Hand einer Wertetafel:
t
0
n(t)
77
1
2
3
77 ⋅ 1,3 ≈ 100 77 ⋅ 1,32 = 100 ⋅ 1,3 = 130 77 ⋅ 1,33 = 130 ⋅ 1,3 = 169
In jeder Sekunde nimmt die Anzahl n(t) um den Faktor 1,3 also um 30 % zu.
Hier das Schaubild dieser Wachstumsfunktion. Die vier Zustandspunkte, die
zur Tabelle gehören, sind eingetragen.
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7
18010
Funktionen Teil 1
Beispiel 5
Die Funktion f1 , deren Werte man so berechnet
f1(x) = 41 x 4 − 32 x 3 − 112 x 2 + 12x
heißt ganzrationale Funktion. Hier Ihr Schaubild:
Beispiel 4
Nun eine Funktion vom Typ
gebrochen rationale Funktion:
f(x) =
x2 + 4
x 2 − 4x
Ihr Schaubild:
Beispiel 5
Das Schaubild einer Wurzelfunktion kann
z.B. so aussehen:
f (x) = x ⋅ 6 − x
Funktionen, wie sie auf dieser Seite
gezeigt wurden, sind Stoff der Oberstufe!
Im nächsten Abschnitt wollen wir
damit beginnen, einzelne Funktionsarten
etwas ausführlicher kennen zu lernen.
Dies sind Grundlagen für 9 oder 10!
8
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Funktionen Teil 1
2
9
Potenzfunktionen:
Sie haben diese Form: f ( x) = xn
wobei n irgend eine rationale Zahl (Bruchhochzahl) sein kann.
2.1 Vorübung / Arbeitsblatt
Folgende Funktionen sind durch ihre Gleichung gegeben.
a)
b)
c)
d)
f ( x) = x 3
f ( x) = x 4
f ( x ) = x −1
f ( x) = x−2
e)
f ( x) = x 2
f)
f ( x) = x
1
− 21
Ordne sie diesen Schaubildern zu !
6
6
2
1
4
5
5
3
2
3
Ein Tipp:
Berechne f(2) und f(-2) und versuche, das Zustandekommen der
Ergebnisse zu deuten und daraus auf den Verlauf des Schaubilds
zu schließen.
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10
Lösung:
a)
f ( x) = x 3 ergibt f (2) = 8 und f (−2) = −8 und f(0 = 0.
Das Schaubild geht durch den Ursprung und verläuft im 1. und 3. Feld.
Es handelt sich um die Kurve 2 .
b)
f ( x) = x 4 ergibt f(0) = 0 und f (±2) = 16 .
Für positive und negative Zahlen erhält man dieselben Werte, das ist
eine Symmetrie zur y-Achse und wir erhalten Kurve 6
c)
1
Da man durch 0 nicht dividieren kann, hat diese
x
Funktion für x = 0 keinen Funktionswert, also gibt es keinen
Kurvenpunkt mit der x-Koordinate 0, d.h. die Kurve schneidet die
y-Achse nicht !. Wegen f (2) = 21 und f (−2) = − 21 verläuft sie
f ( x ) = x −1 =
im 1. und 3. Feld. Es handelt sich um 3 .
d)
1
Da man durch 0 nicht dividieren kann, hat diese
x2
Funktion für x = 0 keinen Funktionswert, also gibt es keinen
Kurvenpunkt mit der x-Koordinate 0, d.h. die Kurve schneidet die
y-Achse nicht !. Wegen f (±2) = 41 verläuft sie im 1. und 2. Feld
f ( x ) = x −2 =
und zwar symmetrisch zur y-Achse: Es handelt sich um 5 .
1
e)
f ( x) = x 2 = x Zu negativen Zahlen gibt es keine Funktionswerte.
Die Kurve verläuft also nur im 1. Feld und geht durch den Ursprung.
Wegen f (4) = 4 = 2 ist es 1 .
f)
f ( x) = x
− 21
=
1
x
.
Es gibt nur zu positiven Zahlen Funktionswerte.
zu x = 0 gibt es keinen Kurvenpunkt. f (4) =
1
4
=
1
: Kurve 4 .
2
Auf den folgenden Seiten werden diese Funktionsarten ausführlich besprochen !
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2.2 n sei eine gerade natürliche Zahl: n ∈ {2 ; 4 ; 6 ;...}
Aufgabe / Arbeitsblatt
Berechne die Wertetafel für diese Funktionen (sinnvoll runden!)
f2 ( x ) = x 2 , f4 ( x ) = x 4 , f6 ( x ) = x 6 .
x
x2
0
±0,5
±1
±1,2
±1,5
±2
±3
±4
x4
x6
Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder der Funktionen f2 und f4
18010
Funktionen Teil 1
12
Lösung
±1
±1,2
±1,5
0,25
1
1,44
0
0,06
1
0
0,02
1
x
x2
0
0
x4
x6
±0,5
±3
±4
2,25
±2
4
9
16
2,1
5,1
16
81
256
3
11,4
64
729
4096
f2 ( x ) = x
2
f4 ( x ) = x
4
f6 ( x ) = x
6
Wir beobachten hier:
(1)
Jede dieser Kurven ist
symmetrisch zur y-Achse.
(2)
Alle diese Kurven gehen durch
O ( 0⏐0 ) , A (1⏐1) und B ( −1⏐1)
(3)
Je größer der Exponent n, desto
steiler verläuft die Kurve für x > 1.
P
P
f (−x1)
f ( x1 )
−x1
x1
Die Symmetrieeigenschaft kann man beweisen:
Spiegelt man den beliebigen Kurvenpunkt P ( x1⏐f ( x1 ) ) an der y-Achse, so wird x1 zu
–x1. Wenn dann auch noch f (−x1 ) = f ( x1 ) gilt, und zwar ausnahmslos für alle Zahlen
(Kurvenpunkte), dann ist das Schaubild K dieser Funktion f symmetrisch zur y-Achse.
Wir haben hier Potenzfunktionen mit geradem Exponenten. Dies ist der Grund dafür,
n
dass hier diese Tatsache erfüllt ist: f ( − x ) = ( − x ) = xn = f(x) .
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Funktionen Teil 1
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2.3 n sei eine ungerade natürliche Zahl: n ∈ {1; 3 ; 5 ;...}
Aufgabe / Arbeitsblatt:
Berechne die Wertetafel für
f1 ( x ) = x , f3 ( x ) = x 3 , f5 ( x ) = x 5 .
x
x3
0
± 0,5
±1
± 1,2
± 1,5
±2
x5
Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder der Funktionen f1 und f3
18010
Funktionen Teil 1
Lösung
x
x3
0
0
± 0,5
x5
0
14
± 1,2
± 1,7
± 1,5
±2
±0,125
±1
±1
±3, 4
±8
±0,03
±1
± 2,5
±7,6
±32
f3 ( x ) = x
3
P
f5 ( x ) = x
5
Wir beobachten:
f ( x1 )
f1 ( x ) = x
(1)
Jede dieser Kurven ist
punktsymmetrisch zum Ursprung.
(2)
Alle gehen durch
O ( 0⏐0 ) , A (1⏐1) und B ( −1⏐− 1)
denn f ( 0 ) = 0n = 0 ,
n
und f ( ±1) = ( ±1) = ±1
wenn n ungerade ist
−x1
x1
f (−x1)
(3)
Je größer der Exponent n, desto
steiler verläuft die Kurve für x > 1.
Weil f ( − x ) = − f ( x ) ist, sind die Schaubilder bei
ungeradem Exponenten
punktsymmetrisch zum Ursprung
P
Die Symmetrieeigenschaft kann man beweisen:
Spiegelt man den beliebigen Kurvenpunkt P ( x1⏐f ( x1 ) ) am Ursprung, so wird x1 zu
–x1. Wenn dann auch noch f (−x1 ) = −f ( x1 ) gilt, und zwar ausnahmslos für alle
Zahlen (Kurvenpunkte), dann ist das Schaubild K dieser Funktion f punktsymmetrisch
zum Ursprung.
Wir haben hier Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten. Dies ist der Grund
n
dafür, dass hier diese Tatsache erfüllt ist: f ( − x ) = ( − x ) = − x n = − f(x) .
18010
Funktionen Teil 1
15
Merkblatt zur Symmetrie:
f ( x ) = 41 x
f ( x ) = 41 x
(
P1 -x1⏐41 x14
(
4
)
P2 -x 2⏐41 x 2 4
(
Q x1⏐41 x13
(
)
(
)
P1 x1⏐41 x14
)
P2 x 2⏐41 x 2 4
(
Q − x1⏐− 41 x13
Wegen der geraden Hochzahl hat die linke
Funktion, besser gesagt, deren Schaubild
die schöne Eigenschaft, dass die
Funktionswerte für 2 und –2 gleich sind.
)
Wegen der ungeraden Hochzahl hat die rechte
Funktion, besser gesagt, deren Schaubild
die schöne Eigenschaft, dass sich die
Funktionswerte für 2 und – 2 nur im
Vorzeichen unterscheiden.
f ( 2 ) = 41 ⋅ 24 = 41 ⋅ 16 = 4
f ( 2 ) = 41 ⋅ 23 = 41 ⋅ 8 = 2
f ( −2 ) = 41 ⋅ ( −2 ) = 41 ⋅ 16 = 4
f ( −2 ) = 41 ⋅ ( −2 ) = 41 ⋅ ( −8 ) = −2
Hier gilt also f ( − x ) = f ( x )
Hier gilt also f ( − x ) = −f ( x )
4
3
3
Dazu gehören die Punkte P1 und P1 , bzw. Q1 und Q1 die Spiegelbilder
zueinander sind. Man kann dies an jeder beliebigen Stelle nachrechnen,
etwa bei x2 und - x2 , also an den Punkten P2 und P2 bzw. Q2 und Q2
Es ist also jetzt .
MERKE:
Gilt für eine Funktion f ( − x ) = f ( x ) ,
dann ist ihr Schaubild symmetrisch zur y-Achse.
Die Funktion heißt dann eine gerade Funktion.
Gilt für eine Funktion f ( − x ) = −f ( x ) ,
dann ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Funktion heißt dann eine ungerade Funktion.
Achtung:
Eine Funktion hat nie eine Symmetrieeigenschaft, dies
kann nur bei einem Schaubild vorkommen !!!!!!!
Also bitte richtig formulieren
)
18010
Funktionen Teil 1
16
2.4 n sei eine ungerade negative Zahl: n ∈ {−1; − 3 ; − 5 ;...}
Aufgabe / Arbeitsblatt:
Berechne die folgende Wertetafel
f−1 ( x ) = x −1 =
1
,
x
f−3 ( x ) = x −3 =
1
,
x3
f−5 ( x ) = x −5 =
1
.
x5
Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder der Funktionen f-1 und f-3
x
x-1
x-3
x-5
0
±
1
4
±
1
2
±1
±2
±3
±4
18010
Funktionen Teil 1
17
Lösung
f−1 ( x ) = x −1 =
f−3 ( x ) = x −3 =
1
2
±1
±4
±2
±1
---
±64
±8
±1
±
1
8
---
±1024
±32
±1
±
1
32
0
±
x-1
---
x-3
x-5
x
1
,
x
±
1
4
1
,
x3
f−5 ( x ) = x −5 =
±2
±
1
2
= ±0,5
= ±0,125
≈ ±0,03
±3
±
±
1
3
1
27
±
±4
≈ ±0,3
±
1
4
≈ ±0,04
±
1
64
1
243
f−5 ( x ) = x
−5
−3
f−1 ( x ) = x
−1
f−3 ( x ) = x
−3
f−5 ( x ) = x
−5
= ±0,25
≈ ±0,02
1
± 1024
≈0
≈0
f−3 ( x ) = x
f−1 ( x ) = x
1
.
x5
−1
18010
Funktionen Teil 1
Beginnen wir mit der wichtigen Grundfunktion
18
f (x) = x =
−1
1
x
Da man nicht durch 0 dividieren kann, lässt sich der Zahl 0 auch kein Funktionswert
zuordnen, d. h. der Definitionsbereich ist nicht mehr die Menge der reellen Zahlen,
sondern es gilt: D = R \ {0} .
Diese Kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil f ( − x ) = −f ( x ) gilt.
Die zweite Eigenschaft ist das Verhalten für x → ∞ .
Je größer x ist, desto kleiner wird der Kehrwert, und für x → ∞ folgt f ( x ) =
Wir schreiben dies so auf:
Dasselbe gilt nach links:
lim
x →∞
1
=0
x
1
=0
x→ − ∞ x
lim
Nimmt man beide Verhalten zusammen:
Die Funktion
Die Kurve
1
→0.
x
1
= 0 oder
x→ ± ∞ x
lim
1
=0
x →∞ x
lim
hat also die Grenzwerte 0.
hat die waagerechte Asymptote y = 0 (die x-Achse).
Unter einer Asymptote versteht man eine Gerade, der sich eine Kurve
beliebig gut annähert.
18010
Funktionen Teil 1
19
Das Schaubild zeigt an der Stelle 0 ein besonderes Verhalten: Die Kurve scheint
sich der y-Achse zunähern und dabei von rechts nach oben gegen Unendlich zu
gehen und von links nach unten gegen Unendlich.
Wir wollen beweisen, dass für x → 0 + (das + heißt „von rechts“) die
Funktionswerte gegen Unendlich gehen:
Dazu wählen wir eine beliebig große positive Zahl M und zeigen, dass die
Funktionswerte größer werden können:
Wir betrachten nur positive x und fragen: Wann gilt also 1x > M ?
Wir nehmen den Kehrwert und erhalten x < M1 .
Wenn also M = 1.000.000 sein soll, dann wissen wir ab x <
ist der Funktionswert f ( x ) = 1x größer als M.
1
1.000.000
Da wir mit jedem beliebig großen M so umgehen können, ist gezeigt, dass
für x → 0 + der Funktionswert f ( x ) → ∞ geht.
Nun nützen wir aus, dass das Schaubild symmetrisch zum Ursprung ist, dann
erhalten wir die analoge Aussage für die Annäherung an x = 0 von links:
Für x → 0 - gehen die Funktionswerte gegen Minus Unendlich !
Merke:
Eine Stelle mit der Eigenschaft, daß bei Annäherung an sie
die Funktionswerte nach Unendlich oder Minus Unendlich
gehen, heißt eine Polstelle der Funktion.
Dort wo die Funktion eine Polstelle besitzt, hat die Kurve,
das Schaubild der Funktion, eine senkrechte Asymptote !
MERKE:
Das Schaubild der Funktion f ( x ) =
1
,
x
also die Kurve mit der Gleichung y =
1
hat die
x
1
x
= 0 ist) und die
waagerechte Asymptote y = 0 (weil xlim
→∞
senkrechte Asymptote x = 0 (weil f bei 0 eine Polstelle hat).
1
1
Die Schaubilder der Funktionen f ( x ) = x −3 = 3 und f ( x ) = x −5 = 5 haben auf
x
x
Grund ihrer ungeraden Hochzahlen auch Punktsymmetrie zum Ursprung
Sie haben alles drei dieselben Asymptoteneigenschaften und gehen alle durch
A (1⏐1) und B ( −1⏐− 1) . Kurven dieses Typs nennt man auch Hyperbeln.
18010
Funktionen Teil 1
20
2.5 n sei eine gerade negative Zahl: n ∈ {−2 ; − 4 ; − 6 ;...}
Berechne die folgende Wertetafel
f−2 ( x ) = x −2 =
1
,
x2
f−4 ( x ) = x −4 =
1
.
x4
Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder dieser Funktionen.
x
0
±
1
4
±
1
2
x-2
x-4
Welche Symmetrien ist erkennbar ?
Durch welche Punkte gehen alle Kurven.
Gibt es Asymptoten ?
±1
±2
±3
±4
18010
Funktionen Teil 1
21
Lösung
f−2 ( x ) = x −2 =
1
,
x2
f−4 ( x ) = x −4 =
1
,
x4
f−6 ( x ) = x −6 =
1
.
x6
Fülle dazu diese Wertetafel aus:
x
0
±
±
x-2
---
16
4
1
1
4
= 0,25
1
9
≈ 0,11
x-4
---
256
16
1
1
16
≈ 0,06
1
81
≈ 0,01
1
4
1
2
±1
±2
f(x) =
f(x) =
1
x
±3
±4
1
16
1
x
2
6
f(x) =
1
x
4
Die Schaubilder sind symmetrisch zur y-Achse und
gehen alle durch A (1⏐1) und B ( −1⏐1) .
Ferner haben sie die Asymptoten x = 0 (y-Achse) und y = 0 (x-Achse).
≈ 0,06
≈0
18010
Funktionen Teil 1
2.6
22
Kurven mit Streckfaktor
Mit f ( x ) = k ⋅ a x haben wir nun die Potenzfunktionen mit einem Streckfaktor k
versehen. Sehen wir uns zwei Beispiele an:
Das linke Schaubild stellt die Funktion f ( x ) = 101 x 5 dar.
Im Vergleich zu f ( x ) = x 5 werden dort die Funktionswerte durch 10 dividiert, was für
das Schaubild eine Stauchung mit dem Faktor 101 in y-Richtung darstellt.
Das rechte Schaubild zeigt die Funktion g ( x ) = 4 ⋅ x −2 =
4
.
x2
1
werden jetzt die Funktionswerte mit 4 multipliziert,
x2
was für das Schaubild eine Streckung mit dem Faktor 4 in y-Richtung darstellt.
Im Vergleich zu g ( x ) = x
−2
=
Man kann dies bei vielen Funktionswerten überprüfen:
f (1) =
1
10
⋅ 15 =
1
10
statt 1
oder f ( 2 ) = 101 ⋅ 25 = 101 ⋅ 32 = 3,2 statt 32.
4
4 4
1
−2
= 0,25 .
g (1) = 4 ⋅ 1 = 2 = 4 statt 1 oder g ( 2 ) = 2 = = 1 statt
4
4
1
2
18010
Funktionen Teil 1
23
2.7 Potenzfunktionen mit gebrochenen Exponenten.
Gebrochene Hochzahlen stellen Wurzeln dar, und Wurzeln kann man nur aus nicht
negativen Zahlen ziehen, also aus 0 und positiven Zahlen. Daher gibt es hier stets
einen eingeschränkten Definitionsbereich.
1. Fall: Positive Brüche als Exponenten:
Aufgabe: Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder der Funktionen
f1,5 ( x ) = x1,5 = x 2 = x 3 = x ⋅ x ,
3
5
f2,5 ( x ) = x 2,5 = x 2 = x 5 = x 2 ⋅ x ,
f0,8 ( x ) = x 0,8 = x 5 = 5 x 4 , f0,5 ( x ) = x 0,5 = x 2 = x , f0,25 ( x ) = x 0,25 = x 4 = 4 x
4
1
1
Fülle dazu diese Wertetafel aus:
x
0
1
2
1
2
x-1,5
x-2,5
x-0,8
x-0,5
x-0,25
Gibt es gemeinsame Punkte?
Sind Asymptoten erkennbar ?
Was haben diese Funktionen für Definitionsbereiche ?
4
6
8
18010
Funktionen Teil 1
24
Lösung
5
f2,5 ( x ) = x 2,5 = x 2 = x 5 = x 2 ⋅ x ,
f1,5 ( x ) = x1,5 = x 2 = x 3 = x ⋅ x ,
3
f0,8 ( x ) = x 0,8 = x 5 = 5 x 4 , f0,5 ( x ) = x 0,5 = x 2 = x , f0,25 ( x ) = x 0,25 = x 4 = 4 x
4
1
1
Fülle dazu diese Wertetafel aus:
0
1
2
1
2
4
6
8
1,5
x
0
0,35
1
2,8
8
14,7
22,6
x2,5
0
0,18
1
5,7
32
88,2
181,0
0,8
0
0,57
1
1,7
3,0
4,2
5,3
0,5
0
0,71
1
1,4
2
2,4
2,8
0,25
0
0,84
1
1,2
1,4
1,6
1,7
x
x
x
x
f2,5 (x) = x
f4,2 (x) = x
4,2
2,5
1
1,5
f1,5 (x) = x
f1(x) = x
f0,8 (x) = x
f0,5 (x) = x
0,8
0,5
f0,25 (x) = x
0,25
Ist der Exponent eine Zahl zwischen 0 und 1, dann zeigt die Kurve Rechtskrümmung
und hat vermutlich im Ursprung eine senkrechte Tangente.
Ist der Exponent größer als 1, dann zeigt das Schaubild Linkskrümmung und hat im
Ursprung offenbar eine waagerechte Tangente.
Schließlich gehen alle Kurven durch den Punkt A (1⏐1) .
Je größer der Exponent, desto steiler verlaufen die Kurven rechts von A
Asymptoten sind keine zu beobachten.
Diese Aussagen kann man später mit den Mitteln der Analysis beweisen !
18010
Funktionen Teil 1
25
ACHTUNG: Falle
Alle diese Funktionen haben den Definitionsbereich D = [ 0 ; ∞ [ .
Es gibt jedoch ein Problem. In der Algebra lernt man folgendes:
f (x) = x = (x
5
also scheint
5
4
x4 = ( 5 x )
)
1
4 5
=x
4
5
und g ( x ) =
( x)
5
4
4
4
⎛ 1⎞
= ⎜ x5 ⎟ = x5
⎝ ⎠
4
zu sein.
Diese Regel gilt nur für nicht negative Zahlen
(5 x )
4
Sie kann für negative Zahlen nicht gelten, weil man den Term
nicht berechnen kann.
für negatives x
f (−1) = 5 (−1) = 5 1 = 1
4
Beispiel: Für x = - 1 folgt:
g(−1) = ( 5 −1)
4
aber
5
weil
Die Funktion g mit g ( x ) =
( x)
5
4
existiert nicht,
−1 keine reelle Zahl ist.
4
4
⎛ 1⎞
= ⎜ x 5 ⎟ = x 5 hat D = [ 0 ; ∞ [ , denn der Radikand
⎝ ⎠
x darf nicht negativ werden.
( )
Die Funktion f mit f ( x ) = 5 x 4 = x 4
1
5
4
= x 5 hat jedoch D = R , denn der Radikand
x4 wird nie negativ.
f ( x ) = 5 x4
g(x) = ( 5 x )
4
Das Schaubild von f ( x ) = 5 x 4 ist symmetrisch zur y-Achse und verläuft im 1. und
im 2. Feld.
Das Schaubild von g besteht nur aus dem rechten Ast des Schaubildes von f.
MERKE:
Umformungen wie
5
x4 = ( 5 x )
4
gelten somit nur für x ≥ 0 !!!
18010
Funktionen Teil 1
26
2. Fall: Negative Brüche als Exponenten:
Aufgabe: Zeichne in das Koordinatensystem die Schaubilder der Funktionen
f−0,5 ( x ) = x
−1
2
1
=
f−4,2 ( x ) = x −4,2 = x
−
x
21
5
f−0,2 ( x ) = x −0,2 = x
,
1
=
x
1
4+
5
=
1
x ⋅ x
4
5
,
−
1
5
=
1
5
x
,
f−1 ( x ) = x =
−1
1
x
Fülle dazu diese Wertetafel aus:
x
0
1
2
1
2
4
6
x-0,5
x-0,2
x-4,2
x-1
Bestimme gemeinsame Punkte, Definitionsbereich und Asymptoten
8
18010
Funktionen Teil 1
f−0,5 ( x ) = x
Lösung
−1
2
=
−4,2
=x
f−4,2 ( x ) = x
1
, f−0,2 ( x ) = x −0,2 = x
x
−
27
21
5
1
=
x
1
4+
5
=
1
x ⋅ x
4
5
,
−
1
5
=
1
5
x
,
f−1 ( x ) = x −1 =
1
x
Fülle dazu diese Wertetafel aus:
0
1
2
1
2
4
6
8
x-0,5
----
1,41
1
0,7
0,5
0,4
0,35
x-0,2
----
1,1
1
0,9
0,76
0,7
0,66
x-4,2
----
18,4
1
0,05
≈0
≈0
≈0
x-1
----
2
1
0,5
0,25
0,17
0,125
x
Übrigens ist f−0,5 ( 21 ) = ( 21 )
− 21
1
= 2 2 = 2 ≈ 1,414
f−4,2 ( x ) = x −4,2
f−0,2 ( x ) = x
f−1 ( x ) = x −1 = 1x
f−0,5 ( x ) = x
−
1
2
−0,2
= 1x
Alle diese Funktionen haben den Definitionsbereich D =] 0 ; ∞ [ .
Im Gegensatz zu den Beispielen mit positiven Brüchen ist jetzt die Null
ausgeschlossen, weil nach der Termumformung x im Nenner steht und eine Division
durch 0 nicht möglich ist.
Alle diese Schaubilder scheinen die beiden Koordinatenachsen als Asymptoten zu
haben, denen sie sich beliebig gut annähern, d.h. es gilt
a
−
1
b
lim x = lim a = 0
x →∞
x →∞
xb
und für x → 0 folgt f ( x ) → ∞ .
18010
Funktionen Teil 1
2.8
28
Übersicht zu Potenzfunktionen f ( x ) = xn
mit ganzen Exponenten
n ungerade
n gerade
n positiv
x3
x4
x −3
x −2
n negativ
18010
Funktionen Teil 1
29
3. Aufstellen von Gleichungen für Potenzkurven
AUFGABE 1
Bei welcher Potenzfunktion geht das Schaubild durch A ( 3⏐18 ) und B ( 2⏐163 ) ?
Lösung
n
Wir beginnen mit dem Ansatz y = f ( x ) = a ⋅ x und machen zwei Punktproben:
Punktprobe für A ( 3⏐18 ) :
18 = a ⋅ 3
Punktprobe für B ( 2⏐163 ) :
16
3
= a⋅2
n
n
(1)
(2)
Eine sehr gute Methode ist es, jetzt die Gleichung (1) durch (2) zu dividieren, weil
dann a wegfällt:
18
16
3
n
a⋅3
18 ⋅ 3 3
9⋅3 ⎛ 3 ⎞
⇔
= n ⇔
=⎜ ⎟ .
n
⎝2⎠
16
8
a⋅2
2
n
=
n
Man erkennt jetzt, dass diese Gleichung für n = 3 gelöst wird.
Durch Einsetzen in (1) folgt:
Ergebnis:
f ( x ) = 32 ⋅ x
18 = a ⋅ 3
3
⇔ a=
18 2
=
27 3
3
Hierzu noch das Schaubild:
B
18010
Funktionen Teil 1
30
AUFGABE 2
Bei welcher Potenzfunktion geht das Schaubild durch A ( 4⏐41 ) und B (1⏐2 ) ?
Lösung
Wir beginnen mit dem Ansatz y = f ( x ) = a ⋅ xn und machen zwei Punktproben:
Punktprobe für A ( 4⏐41 ) :
1
4
= a ⋅ 4n
(1)
Punktprobe für B (1⏐2 ) :
2 = a ⋅ 1n
(2)
In diesem Falle folgt aus (2) direkt a = 2, denn 1n = 1.
1
= 2 ⋅ 4n .
Eingesetzt in (1) ergibt:
4
=4
1 ( 2 )n
= 2
d.h. 2−3 = 22n
3
2
2n = −3 ⇒ n = − 32
Nun alles als Zweierpotenzen schreiben:
Durch Vergleich der Exponenten folgt
Ergebnis: f ( x ) = 2 ⋅ x
− 32
=
2
x
3
2
=
n
1
8
Ich empfehle folgende Umformung:
2
x⋅ x
B
A
AUFGABE 3
Löse genauso:
a)
A ( 2⏐8 ) , B ( −3⏐81
2 )
b)
c)
A ( 4⏐4 ) , B ( 9⏐6 )
d) A 2⏐21 2 , B ( 4⏐2 )
e)
A ( 4⏐1) , B (1⏐2 )
f)
A ( 2⏐1) , B ( 4⏐41 )
(
)
A ( 2⏐6 ) , B ( −3⏐− 81
4 )
18010
Funktionen Teil 1
31
LÖSUNGEN Aufgabe 3
a)
Ansatz:
Punktprobe für A ( 2⏐8 ) :
.
Punktprobe für B ( −3⏐81
2 )
Wertetafel für die Zeichnung:
f ( x ) = a ⋅ xn
n
8 = a⋅2
81
2
f (0) = 0
(1)
= a ⋅ ( −3 )
n
b)
f ( x ) = 21 ⋅ x
Ansatz:
Punktprobe für A ( 2⏐1) :
f (x) = a ⋅ x
1 = a ⋅ 2n
Punktprobe für B ( 4⏐41 ) .
1
4
= a⋅4
n
n
4
=
1
32
1
2
f ( ±1,5 ) =
≈ 0,03 !!
⋅1 =
4
1
2
5
1
2
4
⋅ 1,5 ≈ 2,5
!!
Die Zwischenwerte bei
0,5 und 1,5 sind wichtig !
1
2
A ist bekannt !
4
n
(1)
(2)
1 ⎛4⎞
1
= ⎜ ⎟ ⇔ 2n =
4 ⎝2⎠
4
Diese Gleichung wird durch n = - 2 gelöst.
1 = a ⋅ 2−2 = a ⋅ 41 | ⋅4
Eingesetzt in (1):
a=4
4
f ( x ) = 4 ⋅ x −2 = 2
Ergebnis:
x
(2) dividiert durch (1):
) = 21 ⋅ ( 21 ) = ( 21 )
f ( ±1) =
(2) dividiert durch (1):
Ergebnis:
1
2
(2)
n
81 ⎛ −3 ⎞
=⎜ ⎟
16 ⎝ 2 ⎠
Diese Gleichung wird durch n = 4 gelöst.
8 = a ⋅ 24 ⇔ a =
Eingesetzt in (1):
f (±
Wertetafel für die Zeichnung:
Polstelle bei x = 0 !!
f (±
1
2
)=
f ( ±1) =
f ( ±3 ) =
4
= 16
1/ 4
4
1
1
1
2
2
4
≈ 0, 44
9
⋅
=
A und B sind bekannt !
x- und y-Achse sind
Asymptoten!
A
f(x) = 21 x 4
f(x) = 4x −2
A
B
Wegen der geraden Exponenten sind beide Kurven symmetrisch zur y-Achse !
18010
c)
Funktionen Teil 1
f (x) = a ⋅ x
Ansatz:
32
n
Punktprobe für A ( 4⏐4 ) :
4 = a ⋅ 4n
(1)
Punktprobe für B ( 9⏐6 ) .
6 = a ⋅ 9n
(2)
(2) dividiert durch (1):
6 ⎛9⎞
3 ⎛9⎞
=⎜ ⎟ ⇔
=⎜ ⎟
4 ⎝4⎠
2 ⎝4⎠
n
Man erkennt:
=(
9
4
9
4
)
1
2
=
3
2
4 = a⋅4
Eingesetzt in (1):
⇒
n=
⇔a=
4
=2
2
!
1
2
n
f (1) = 2 ⋅ 1 = 2
f (6) = 2 ⋅
1
d)
f (x) = a ⋅ x
Ansatz:
(
)
Punktprobe für A 2⏐21 2 :
1
2
Punktprobe für B ( 4⏐2 ) .
2
(2) dividiert durch (1):
1
2
Ergibt
n=
2 = a⋅4
2 = a ⋅ 4n
(2)
4
2
= 2n
=2
n
3
2
⇔ 2 = a ⋅ (2
a=
Also
(1)
n
2
In (1):
n
⎛4⎞
=⎜ ⎟ ⇔
2 ⎝2⎠
Alles als Potenzen von 2:
3
2
n
2 = a⋅2
2− 21
6 ≈ 4,9
Dann noch A und B verwenden!
f (x) = 2 ⋅ x2 = 2 x
Ergebnis:
Wertetafel:
f (0) = 0
1
2
Wertetafel:
3
2 2
) = a ⋅ 23 = 8a
f (0) = 0
f (1) =
f (6) =
1
4
1
4
1
4
⋅1 =
1
4
⋅ 6 ⋅ 6 ≈ 3,7
Dann noch A und B verwenden!
3
f ( x ) = 41 ⋅ x 2 = 41 x x
Ergebnis:
B
f(x) = 2 x
A
f(x) = x x
1
4
B
A
Für beide
Funktionen ist
D = R0+
18010
e)
Funktionen Teil 1
f (x) = a ⋅ x
Ansatz:
n
Wertetafel:
Punktprobe für A ( 4⏐1) :
n
1= a⋅ 4
(1)
Punktprobe für B (1⏐2 ) .
2 = a ⋅ 1n
(2)
Aus (2) folgt sofort
a=2
Eingesetzt in (1) ergibt
1= 2⋅ 4 ⇔
f ( 21 ) =
f(
n
1
2
( )
n
= ( 4)
n
f (x) = 2 ⋅ x
Ergebnis:
1
−
2
=
Punktprobe für A ( 2⏐6 ) :
6 = a⋅2
2
x
(1)
Punktprobe für B ( −3⏐− 81
− 81
= a ⋅ ( −3 )
4
4 )
n
Kürzen:
n=3
6 = a⋅2 ⇔ a =
Ergebnis:
f ( x ) = 34 ⋅ x 3
3
1
2
2
1
2
= 4 !!!!
≈ 0,8
Wertetafel:
f ( 21 )
⋅ ( 21 ) =
3
=
3
4
=
3
32
f (1) =
=
B
A
2
x
6
8
⋅
3
4
3
4
3
4
⋅ 1,53 ≈ 2,5
Dann noch A und die
Punktsymmetrie zu O
verwenden !
(2)
A
=
3
4
1
8
≈ 0,1!!!!
3 n
2
Ergibt
Eingesetzt in (1):
−
= 2 ≈ 1,4 !!!
=
2 ≈ 2,8
)
n
− 278 = ( − 32 )
(2) dividiert durch (1):
f ( x) = 2 ⋅ x
2
2
3
6
f (1,5 ) =
n
− 481⋅ 6 = ( −
f (6) =
= 2⋅
= 22n
f ( x ) = a ⋅ xn
Ansatz:
)=
2
1
2
2
1
4
Dann noch A und B !
2n = −1 ⇒ n = − 21
Daraus folgt
1
4
f ( 2) =
Als Potenzen von 2 schreiben: 2−1 = 22
f)
33
f ( x ) = 34 ⋅ x 3
18010
Funktionen Teil 1
34
AUFGABEN
(4)
Gegeben ist die Funktion f ( x ) = 101 x 4
(a)
Zeichne das Schaubild K von f für −3 ≤ x ≤ 3 .
(b)
, B ( − 83⏐2048
Überprüfe durch Rechnung, ob die Punkte A ( 54⏐125
128 )
405 )
auf K liegen.
(5)
(c)
Berechne die fehlenden Koordinaten, so dass C und D Punkte von K sind:
128
C (1,3⏐y C ) und D ( xD⏐3125
)
(d)
Schneide die Kurve K mit der Geraden mit der Gleichung y = 10.
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte.
Gegeben ist die Funktion f ( x ) = 3x −3
(a)
Zeichne das Schaubild K von f für −5 ≤ x ≤ 5 .
(b)
Überprüfe durch Rechnung, ob die Punkte A ( 32⏐91 ) , B ( − 125⏐− 125
576 )
auf K liegen.
(6)
(c)
Berechne die fehlenden Koordinaten, so dass C und D Punkte von K sind:
C ( − 34⏐y C ) und D ( xD⏐81
8 )
(d)
Schneide die Kurve K mit den Geraden mit der Gleichung y = 10
bzw. y = 83 . Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte.
Zeichne die Schaubilder der folgenden Funktionen
Berechne dazu einige wichtige Funktionswerte !
(a)
f ( x ) = − 401 x 4
(b)
f (x) =
(c)
f ( x ) = 16 ⋅ x
(d)
f ( x ) = 21 x x
8
x4
für −3 ≤ x ≤ 3
für −4 ≤ x ≤ 4
−
3
2
für
0<x≤9
für
0 < x ≤ 9.
18010
Funktionen Teil 1
35
LÖSUNGEN
(4)
a)
f ( x ) = 101 x
4
Wertetafel:
S1
f ( ±1) = 0,1
f ( ±2 ) = 1,6
f ( ±3 ) = 8,1
b)
f ( 54 ) = 101 ⋅ ( 54 ) = 10625
=
⋅256
125
2⋅256
f ( − 83 ) = 101 ⋅ ( − 38 ) =
=
4
=
125
512
nicht auf K.
Also liegt A ( 54⏐125
128 )
4
4096
10⋅81
2048
5⋅81
=
auf K.
Also liegt B ( − 83⏐2048
405 )
c)
y C = f (1,3 ) = 101 ⋅ 1,3 = 0,28561
4
128
3125
= 101 ⋅ xD 4
⋅10
⋅2
xD = 128
= 128
=
3125
625
4
xD = ± 4
d)
2048
405
256
625
256
625
= ± 54 = ±0,8 .
Schnittpunkte:
1
10
x = 10
4
x = 100 = 10
4
2
2
1
x = ± 4 100 = ± 4 102 = ±10 4 = ±10 2 = ± 10
Ergebnis: S1
(
10⏐10
)
(
)
und S2 − 10⏐10 .
S1
18010
(5)
Funktionen Teil 1
3
x3
f ( x ) = 3x −3 =
a) Wertetafel:
3
81
f ( ± 32 ) = 8 = ±
≈ ±10,1
± 27
8
3
f ( ±1) = ± = ±3
1
3
f ( ±2 ) = ± ≈ ±0,4
8
3
24
f ( ±5 ) = ±
=±
= ±0,024
125
1000
3
b) f ( 32 ) =
9
8
=
3⋅8 8
=
9
27
Also ist A ( 32⏐91 ) ∉ K
3
f ( − 125 ) =
=−
⋅12⋅12
− 12125
3 ⋅ 125
125
=−
12 ⋅ 144
576
Also ist B ( − 125⏐− 125
∈K
576 )
3
3 ⋅ 64
64
=−
=−
27
− 64
27
9
c) y C = f ( − 34 ) =
also ist C ( − 34⏐− 649 )
Aus yD =
81
8
folgt
und D ( 32⏐81
.
8 )
Also ist xD = 32 :
d)
Schnitt mit y =10:
S1
(
3
0,3⏐10
(
1 3
2
9⏐38
)
3
3
= 10 ⇔ x 3 =
⇔ x1 = 3 0,3 ≈ 0,67
3
10
x
)
Schnitt mit y =
S2
3
81
3⋅8 8
3
=
⇔ xD =
=
3
8
81 27
xD
8
3
:
3 8
9
1
3
=
⇔ x =
⇔ x 2 = ⋅ 3 9 ≈ 1,04
3
3
8
2
x
36
18010
(6)
(b)
Funktionen Teil 1
f ( x ) = − 401 x
f ( x) =
8
x4
4
37
18010
Funktionen Teil 1
−
(c)
f ( x ) = 16 ⋅ x
(d)
f ( x ) = 21 x x
3
2
für
0<x≤9
38