1 Topologische Räume

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Topologische Räume
Definition 1.1 (Topologie)
Seien X eine beliebige Menge und T ⊆ P(X) ein System von Teilmengen von X, so dass:
• Es gilt ∅ ∈ T und X ∈ T .
• Gilt Ui ∈ T für alle i ∈ I mit einer beliebigen Indexmenge I, so ist auch
• Sind U, V ∈ T , so ist auch U ∩ V ∈ T .
S
i∈I
Ui ∈ T .
Dann heißt T eine Topologie auf X.
Definition 1.2 (topologischer Raum)
Eine Menge X zusammen mit einer Topologie T auf X heißt ein topologischer Raum (X, T ).
Die Mengen U ∈ T heißen offen, die Komplemente A = X \ U mit offenem U heißen abgeschlossen.
Definition 1.3 (Umgebung)
Seien (X, T ) ein topologischer Raum und x ∈ X. Eine Menge M ⊆ X heißt eine Umgebung
von x, wenn es eine offene Menge U gibt, so dass x ∈ U ⊆ M . Eine offene Umgebung von x
ist eine Umgebung von x, die gleichzeitig offen ist.
Definition 1.4 (hausdorffsch)
Sei (X, T ) ein topologischer Raum. Besitzen je zwei verschiedene Punkte x ∈ X und y ∈ X
offene Umgebungen U und V mit U ∩ V = ∅, so heißt (X, T ) hausdorffsch oder ein (topologischer) Hausdorff-Raum.
Definition 1.5 (zweites Abzählbarkeitsaxiom)
Wir sagen, ein topologischer Raum (X, T ) erfülle das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn er eine
abzählbare Basis der Topologie besitzt, d. h. es gibt abzählbar viele Mengen Ui ∈ T , so dass
sich jede Menge V ∈ T als geeignete Vereinigung der (Ui )i∈N schreiben lässt.
R
Satz 1.6 ( m )
Der m , ausgestattet mit der euklidischen Topologie, ist ein Hausdorff-Raum, der das zweite
Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Die euklidische Topologie besteht aus allen Mengen U ⊆ m , die
mit jedem Punkt x ∈ U auch eine ganze offene Kugel Kε (x) mit geeignetem ε > 0 enthalten.
Eine abzählbare Basis ist durch {Kr (x) | r ∈ + , x ∈ m } gegeben.
R
R
Q
Q
Definition 1.7 (stetig)
Seien (X, TX ) und (Y, TY ) zwei topologische Räume und f : X → Y eine Funktion. f heißt (TX TY -)stetig in x ∈ X, wenn für jede Umgebung N ⊆ Y von f (x) die Menge M = f −1 (N ) ⊆ X
eine Umgebung von x ist. f heißt (TX -TY -)stetig (auf X), wenn f in jedem x ∈ X stetig ist.
Satz 1.8 (stetig)
Seien (X, TX ) und (Y, TY ) zwei topologische Räume. Eine Funktion f : X → Y ist genau dann
(TX -TY -)stetig (auf X), wenn für jedes offene V ⊆ Y auch U = f −1 (V ) ⊆ X offen ist. Anders
formuliert: Ist V ∈ TY , so ist f −1 (V ) ∈ TX .
Definition 1.9 (Homöomorphismus)
Seien (X, TX ) und (Y, TY ) zwei topologische Räume. Eine Funktion f : X → Y heißt ein
Homöomorphismus, wenn f bijektiv ist und sowohl f als auch f −1 stetig sind.
1
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Mannigfaltigkeiten
Definition 2.1 (Karte)
Seien (M, T ) ein topologischer Raum, m ∈ , U eine offene Teilmenge von M , V eine offene
Teilmenge des m (ausgestattet mit der euklidischen Topologie) und h : U → V ein Homöomorphismus. Dann heißen (U, h) eine (m-dimensionale) Karte von (M, T ) (um p ∈ U ), U
das zugehörige Kartengebiet und (U, h−1 ) eine (m-dimensionale) lokale Parametrisierung (um
p ∈ U ).
N
R
Definition 2.2 (lokal euklidisch)
Seien (M, T ) ein topologischer Raum und m ∈ . Dann heißt (M, T ) lokal euklidisch zur
Dimension m ∈ , falls es um jedes p ∈ M eine m-dimensionale lokale Parametrisierung gibt.
N
N
Definition 2.3 (Kartenwechsel)
Seien (M, T ) lokal euklidisch zur Dimension m und (U, h) und (V, k) zwei Karten von (M, T ).
Dann heißt die zwischen offenen Teilmengen des m stetige Abbildung
R
k ◦ h−1 |h(U ∩V ) : h(U ∩ V ) → k(U ∩ V )
der Kartenwechsel von h und k.
Definition 2.4 (Atlas)
Seien (M, T ) lokal euklidisch und
S A = {(Ui , hi )i∈I } mit einer Indexmenge I eine Familie von
Karten von (M, T ). Ist dann i∈I Ui = M , dann heißt A ein Atlas von (M, T ). Sind alle
bzw. beliebig oft
Kartenwechsel von Karten aus A ν-mal stetig differenzierbar für ν ∈
ν
stetig differenzierbar für ν = ∞, so heißt A ein C -Atlas.
N
Definition 2.5 (differenzierbare Struktur)
Ein bezüglich Mengeninklusion maximaler C ν -Atlas heißt eine C ν -differenzierbare Struktur.
Definition 2.6 (Mannigfaltigkeit)
Seien (M, T ) ein topologischer Hausdorff-Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt
und lokal euklidisch zur Dimension m ist, und D eine C ν -differenzierbare Struktur auf (M, T ).
Dann heißt (M, T , D) eine (C ν -differenzierbare) Mannigfaltigkeit (der Dimension m).
Satz 2.7 (abzählbarer Atlas)
Jede Mannigfaltigkeit besitzt einen abzählbaren Atlas.
R
Satz 2.8 (offene Teilmenge des m )
Seien m ∈ , U offen in m (ausgestattet mit der euklidischen Topologie) und A = {(U, idU )}.
Dann ist (U, T , D) eine C ∞ -differenzierbare Mannigfaltigkeit, wobei T die euklidische Topologie auf U und D diejenige differenzierbare Struktur auf (U, T ), die A enthält, sind.
N
R
Definition 2.9 (differenzierbare Funktion)
Seien (M, TM , DM ) und (N, TN , DN ) zwei C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeiten mit Dimensionen m und n und f : M → N eine stetige Funktion. Seien ferner p ∈ M , (V, k) eine Karte
von N um f (p) und (U, h) eine Karte von M um p so, dass f (U ) ⊆ V . Dann heißt f C ν differenzierbar in p, wenn
k ◦ f ◦ h−1 : h(U ) → k(V )
2
R
R
als Funktion zwischen Teilmengen des m und des n C ν -differenzierbar in h(p) ist.
Dies ist unabhängig von der Wahl der Karten, denn sind (Ũ , h̃) und (Ṽ , k̃) zwei weitere
Karten, so ist auch
k̃ ◦ f ◦ h̃−1 = k̃ ◦ (k−1 ◦ k) ◦ f ◦ (h−1 ◦ h) ◦ h̃−1 = (k̃ ◦ k−1 ) ◦ k ◦ f ◦ h−1 ◦ (h ◦ h̃−1 )
differenzierbar in h̃(p), weil die Klammern ganz links und ganz rechts differenzierbare Kartenwechsel sind.
3
Tangentialräume
Satz 3.1 (Tangentialvektor)
Seien (M, T , D) eine Mannigfaltigkeit, p ∈ M und (U, h) eine Karte um p. Auf der Menge
o
n
Kp M = a : ]−ε, ε[ → M a differenzierbar mit a(0) = p
der differenzierbaren Kurven durch p wird durch
a∼b
⇐⇒
(h ◦ a)′ (0) = (h ◦ b)′ (0)
eine Äquivalenzrelation definiert. Jede Äquivalenzklasse [a]∼ heißt dann ein Tangentialvektor
an M in p und a eine repräsentierende Kurve von [a]∼ .
Dies ist unabhängig von der Wahl der Karte, denn ist a ∼ b und (Ũ , h̃) eine weitere Karte,
so ist auch
(h̃ ◦ a)′ (0) = (h̃ ◦ h−1 ◦ h ◦ a)′ (0) = Jh̃◦h−1 h(p) (h ◦ a)′ (0)
= Jh̃◦h−1 h(p) (h ◦ b)′ (0) = (h̃ ◦ h−1 ◦ h ◦ b)′ (0) = (h̃ ◦ b)′ (0) .
Definition 3.2 (h∗ und (h−1 )∗ )
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, p ∈ M und
Tp M = Kp M / ∼ .
Ist (U, h) eine Karte um p, so sind
h∗ : Tp M →
und
(h−1 )∗ :
Rm
Rm → TpM
mit
mit
bijektive und zueinander inverse Abbildungen.
[a]∼ 7→ (h ◦ a)′ (0)
v 7→ t 7→ h−1 h(p) + tv ∼
Definition 3.3 (Tangentialraum)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit und p ∈ M . Dann wird für alle r, s ∈
und [a]∼ , [b]∼ ∈ Tp M durch
r[a]∼ + s[b]∼ = h∗ r (h−1 )∗ ([a]∼ ) + s (h−1 )∗ ([b]∼ )
R
eine Vektorraumstruktur auf Tp M definiert, so dass h∗ und (h−1 )∗ Isomorphismen sind und
dim Tp M = m
gilt. Mit dieser Struktur heißt Tp M der Tangentialraum von M in p.
3
Definition 3.4 (Koordinatenbasis)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, p ∈ M , (U, h) eine Karte um p und
(e1 , . . . , em ) die Standardbasis des m . Dann ist
(h)
(h)
(h) mit ∂j,p = (h−1 )∗ (ej )
∂1,p , . . . , ∂m,p
R
eine Basis von Tp M , die sogenannte Koordinatenbasis von Tp M bezüglich (U, h).
R
Satz 3.5 (offene Teilmenge des m )
Ist U offen im m , so identifizieren wir für jedes x ∈ U
R
und schreiben Tx U =
Rm.
Tx U =
b
Rm
via
[t 7→ x + tv]∼ =
bv
Definition 3.6 (Vektorfeld)
Sei (M, T , D) eine m-dimensionale C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann heißt eine Abbildung
[
v: M →
Tq M mit vp = v(p) ∈ Tp M
q∈M
ein Vektorfeld auf M . Es heißt stetig bzw. C ν -differenzierbar in p ∈ M , wenn für eine Karte
(U, h) um p die durch
m
X
(h)
vj ∂j
v|U =
j=1
definierten Komponentenfunktionen vj : U →
R stetig bzw. C ν -differenzierbar in p sind.
Definition 3.7 (Differential)
Seien (M, TM , DM ) und (N, TN , DN ) zwei Mannigfaltigkeiten und f : M → N eine differenzierbare Funktion. Für jedes p ∈ M ist dann das Differential von f in p gegeben durch
dfp : Tp M → Tf (p) N
mit
[a]∼ 7→ [f ◦ a]∼ .
Definition 3.8 (Kotangentialraum)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, p ∈ M , (U, h) eine Karte um p und
hi : U → für i = 1, . . . , m ihre Komponentenfunktionen. Dann wird durch
R
(h)
dxi,p = dhi,p : Tp M → Thi (p) hi (U ) =
R
ein Element des Dualraums (Tp M )∗ = Tp∗ M definiert, der Kotangentialraum von M in p
genannt wird.
Satz 3.9 (duale Basis)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, p ∈ M und (U, h) eine Karte um p.
Dann ist (dx1,p , . . . , dxm,p ) die duale Basis von (∂1,p , . . . , ∂m,p ), denn es gilt
dxi,p (∂j,p ) = dhi,p t 7→ h−1 h(p) + tej ∼ = t 7→ (hi ◦ h−1 ) h(p) + tej ∼
= t 7→ pri h(p) + tej ∼ = t 7→ hi (p) + tδij ∼ = δij ,
worin pri :
Rm → R die Projektion auf die i-te Komponente ist.
4
4
Differentialformen
Definition 4.1 (Multilinearform)
Seien V ein -Vektorraum, k ∈ und
R
N
α: V k = V × . . . × V →
|
{z
}
R
k mal
eine Abbildung, die in jedem der k Einträge linear ist, d. h. für jedes i = 1, . . . , k und fest
gewählten Vektoren v1 , . . . , vi−1 , vi+1 , . . . , vk ∈ V ist die Abbildung
V →
R
mit
v 7→ α(v1 , . . . , vi−1 , v, vi+1 , . . . , vk )
linear. Dann heißt α eine k-Multilinearform auf V , und die Menge aller k-Multilinearformen
Multk V ist ein -Vektorraum. Wir setzen Mult0 V = .
R
R
Definition 4.2 (alternierende Multilinearform)
Eine Multilinearform α ∈ Multk V heißt alternierend, wenn für alle v1 , . . . , vk ∈ V und alle
Indizes 1 ≤ i < j ≤ k
α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −α(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk )
gilt. Die Menge aller alternierenden k-Multilinearformen Altk V ist ein
zwar ein Unterraum von Multk V . Wir setzen Alt0 V = .
R
R-Vektorraum, und
Definition 4.3 (Pullback)
Seien V und W zwei -Vektorräume, λ : V → W eine lineare Abbildung und α ∈ Altk W eine
alternierende k-Multilinearform auf W . Dann wird mit Hilfe des Pullbacks durch
λ∗ α : V k →
mit (λ∗ α)(v1 , . . . , vk ) = α λ(v1 ), . . . , λ(vk )
R
R
eine alternierende k-Multilinearform auf V definiert, die man – wie man sagt – durch Zurückziehen von α entlang λ erhält.
Definition 4.4 (Dachprodukt)
Seien V ein -Vektorraum und α ∈ Altk V und β ∈ Altℓ V zwei alternierende Multilinearformen auf V . Dann wird durch
1 X
(sgn σ) α vσ(1) , . . . , vσ(k) β vσ(k+1) , . . . , vσ(k+ℓ)
(α ∧ β)(v1 , . . . , vk+ℓ ) =
k! ℓ!
R
σ∈Sk+ℓ
eine alternierende Multilinearform α ∧ β ∈ Altk+ℓ V definiert.
Satz 4.5 (Dachprodukt)
(a) Das Dachprodukt ist bilinear, d. h.
(rα + sβ) ∧ γ = r(α ∧ γ) + s(β ∧ γ)
und
α ∧ (rβ + sγ) = r(α ∧ β) + s(α ∧ γ) .
(b) Das Dachprodukt ist assoziativ, d. h.
(α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ) .
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(c) Das Dachprodukt ist graduiert schiefsymmetrisch, d. h.
α ∧ β = (−1)kℓ β ∧ α
α ∈ Altk V und β ∈ Altℓ V .
für
(d) Das Dachprodukt vertauscht mit dem Pullback, d. h.
λ∗ (α ∧ β) = (λ∗ α) ∧ (λ∗ β) .
Definition 4.6 (Form)
Seien (M, T , D) eine Mannigfaltigkeit und k ∈ 0 . Dann heißt eine Abbildung
[
ω: M →
Altk Tq M mit ωp = ω(p) ∈ Altk Tp M
N
q∈M
eine k-Form auf M .
Es gelten die Aussagen des vorigen Satzes ganz analog punktweise für alle p ∈ M für drei
Formen ω, η und ξ auf M anstelle der drei alternierenden Multilinearformen α, β und γ.
Satz 4.7 (Koordinatenbasis)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit, p ∈ M , (U, h) eine Karte um p und
k ∈ . Ist dann (dx1,p , . . . , dxm,p ) die Basis von Tp∗ M = Alt1 Tp M bezüglich (U, h), dann ist
durch
(h)
(h)
dxi1 ,p ∧ . . . ∧ dxik ,p
N
1≤i1 <...<ik ≤m
eine Basis von Altk Tp M gegeben, die wir ebenfalls Koordinatenbasis nennen.
Definition 4.8 (Differentialform)
Sei (M, T , D) eine m-dimensionale C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine k-Form ω auf M
heißt stetig bzw. C ν -differenzierbar in p ∈ M , wenn für eine Karte (U, h) um p die durch
X
ω|U =
ωi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik
1≤i1 <...<ik ≤m
R
definierten Komponentenfunktionen ωi1 ,...,ik : U → stetig bzw. C ν -differenzierbar sind.
Eine C ν -differenzierbare k-Form auf M heißt eine Differential-k-Form auf M , und Ω k M
sei der Vektorraum aller Differential-k-Formen auf M . Wir setzen Ω 0 M = C ν (M, ).
R
Definition 4.9 (Pullback)
Seien (M, TM , DM ) und (N, TN , DN ) zwei C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeiten, f : M → N
eine C ν -differenzierbare Funktion und ω ∈ Ω k N eine Differential-k-Form auf N . Dann wird
mit Hilfe des Pullbacks durch
f ∗ ω : M → Altk Tp M
mit
(f ∗ ω)p = (dfp )∗ ωf (p)
eine Differential-k-Form auf M definiert, die man – wie man sagt – durch Zurückziehen von
ω entlang f erhält. Ausgeschrieben gilt
(f ∗ ω)p (v1 , . . . , vk ) = (dfp )∗ ωf (p) (v1 , . . . , vk ) = ωf (p) dfp (v1 ), . . . , dfp (vk ) .
6
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Orientierung und Zerlegung der Eins
Definition 5.1 (Orientierung eines Vektorraums)
Seien V ein m-dimensionaler -Vektorraum und B die Menge aller geordneten Basen von V .
Dann wird durch
(v1 , . . . , vm ) ∼ (w1 , . . . , wm ) ⇐⇒ det λ > 0 ,
R
worin λ : V → V die lineare Abbildung mit λ(vi ) = wi ist, eine Äquivalenzrelation auf B
definiert. Die Wahl einer der beiden Äquivalenzklassen heißt eine Orientierung von V und
(V, or) mit einer Orientierung or von V ein orientierter Vektorraum. Jede Basis aus or heißt
dann positiv orientiert und jede Basis aus B \ or negativ orientiert.
Definition 5.2 (Orientierung einer Mannigfaltigkeit)
Sei (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. Eine Familie (orp )p∈M , worin orp eine
Orientierung von Tp M ist, heißt eine Orientierung von M , wenn die Abbildung p 7→ orp stetig
ist, das heißt: Zu jedem p ∈ M gibt es eine Karte (U, h) um p, so dass für jedes q ∈ U
(h)
(h) die Basis ∂1,q , . . . , ∂m,q von (Tq M, orq ) positiv orientiert ist. Die Mannigfaltigkeit M heißt
orientierbar, wenn es eine Orientierung auf ihr gibt. Ist or : p 7→ orp eine Orientierung auf M ,
dann heißt (M, T , D, or) eine orientierte Mannigfaltigkeit.
Definition 5.3 (orientierbarer Atlas)
Sei (M, T , D) eine Mannigfaltigkeit. Ein Atlas {(Ui , hi )i∈I } heißt orientierbar, wenn jeder
Kartenwechsel ψ = hj ◦ h−1
die Eigenschaft det Jψ (x) > 0 für alle x ∈ hi (Ui ∩ Uj ) besitzt.
i
Satz 5.4 (Orientierbarkeit)
Eine Mannigfaltigkeit ist genau dann orientierbar, wenn sie einen orientierbaren Atlas besitzt.
Definition 5.5 (Zerlegung der Eins)
Seien (M, T , D) eine C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeit und (Ui )i∈I eine offene Überdeckung
von M . Eine Familie (λj )j∈J von C ν -differenzierbaren Funktionen λj : M → heißt eine der
Überdeckung (Ui )i untergeordneten Zerlegung der Eins, wenn:
R
• Für alle j ∈ J und p ∈ M ist 0 ≤ λj (p) ≤ 1.
• Für alle j ∈ J gibt es ein i ∈ I mit supp λj ⊂ Ui .
• Für alle p ∈ M gibt es eine offene Umgebung V um p, so dass λj |V = 0 für alle außer
endlich vielen j ∈ J.
P
• Für alle p ∈ M gilt j∈J λj (p) = 1.
Satz 5.6 (abzählbare Zerlegung der Eins)
Jede Mannigfaltigkeit besitzt einen abzählbaren Atlas und eine dem Atlas untergeordnete
abzählbare Zerlegung der Eins.
Satz 5.7 (Orientierbarkeit)
Sei (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dann ist M genau dann orientierbar,
wenn es eine Differential-m-Form ω ∈ Ω m M mit ωp 6= 0 ∈ Altm Tp M für alle p ∈ M gibt.
Definition 5.8 (orientierierungserhaltende Karte)
Sei (M, T , D, or) eine m-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit. Eine Karte (U, h) heißt
orientierungserhaltend, wenn dhp : Tp M → Th(p) h(U ) = m für alle p ∈ U eine orientierungserhaltende lineare Abbildung ist, d. h. sie bildet positiv orientierte Basen von Tp M auf positiv
orientierte Basen von m ab.
R
R
7
6
Integration
Definition 6.1 (messbar, Nullmenge)
Seien (M, T , D) eine m-dimensionale Mannigfaltigkeit und {(Ui , hi )i∈I } ein Atlas. Eine Teilmenge B ⊆ M heißt dann messbar bzw. eine Nullmenge, wenn die Mengen hi (B ∩ Ui ) für alle
i ∈ I Lebesgue-messbar bzw. Lebesgue-Nullmengen im m sind.
R
Satz 6.2 (Zerlegung)
Sei (M, T , D) eine Mannigfaltigkeit. Dann gibt es einen abzählbaren Atlas {(Ui , hi )i∈N }, und
das durch
k
[
Zi für k ∈
Z1 = U1 und Zk+1 = Uk+1 \
N
i=1
definierte Mengensystem (Zi )i∈N ist eine abzählbare messbare Mengenzerlegung von M mit
Zi ⊆ Ui .
Definition 6.3 (Integral mit Mengenzerlegung)
Seien (M, T , D, or) eine m-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, {(Ui , hi )i∈N } ein abzählbarer Atlas aus orientierungserhaltenden Karten und (Zi )i∈N die zugehörige Zerlegung
aus dem letzten Satz. Eine Differential-m-Form ω ∈ Ω m M heißt integrierbar, wenn für jedes
i ∈ die zurückgezogene Komponentenfunktion
N
ai : hi (Ui ) →
über hi (Zi ) ⊆
R
mit
(hi )
(hi ) ∗
ai (x) = (h−1
worin p = h−1
i ) ω x (e1 , . . . , em ) = ωp ∂1,p , . . . , ∂m,p
i (x)
Rm Lebesgue-integrierbar ist und
∞ Z
X
i=1
gilt. In diesem Fall heißt
Z
hi (Zi )
ω=
M
ai (x) dλm (x) < ∞
∞ Z
X
i=1
ai (x) dλm (x)
hi (Zi )
das Integral von ω (über M ) und
Z
ω=
B
∞ Z
X
i=1
ai (x) dλm (x)
hi (Zi ∩B)
das Integral von ω über B für eine messbare Teilmenge B ⊆ M .
Definition 6.4 (Integral mit Zerlegung der Eins)
Seien (M, T , D, or) eine m-dimensionale orientierte Mannigfaltigkeit, {(Ui , hi )i∈N } ein abzählbarer Atlas aus orientierungserhaltenden Karten und (λi )i∈N eine untergeordnete Zerlegung
der Eins. Eine Differential-m-Form ω ∈ Ω m M heißt integrierbar, wenn für jedes i ∈
die
zurückgezogene Komponentenfunktion
N
ai : hi (Ui ) →
R
mit
(hi )
(hi ) ∗
worin p = h−1
ai (x) = (h−1
i (x)
i ) (λi ω) x (e1 , . . . , em ) = (λi ω)p ∂1,p , . . . , ∂m,p
8
über hi (Ui ) Lebesgue-integrierbar ist und
∞ Z
X
i=1
gilt. In diesem Fall heißt
Z
hi (Ui )
ω=
M
ai (x) dλm (x) < ∞
∞ Z
X
i=1
ai (x) dλm (x)
hi (Ui )
das Integral von ω (über M ) und
Z
ω=
B
∞ Z
X
i=1
ai (x) dλm (x)
hi (Ui ∩B)
das Integral von ω über B für eine messbare Teilmenge B ⊆ M .
R
Satz 6.5 (offene Teilmenge des m )
Seien U offen im m , B ⊆ U messbar und ω ∈ Ω m U eine Differential-m-Form auf U . Dann
ist ω = f dx1 ∧ . . . ∧ dxm mit einer C ν -differenzierbaren Funktion f : U →
und dxi,x =
1 m
, wobei (δ1 , . . . , δm ) die duale Basis zu (e1 , . . . , em ) ist. ω ist genau dann über B
δi ∈ Alt
integrierbar, wenn f es ist, und es gilt
Z
Z
Z
m
f (x) dλm (x) .
f (x) (δ1 ∧ . . . ∧ δm )(e1 , . . . , em ) dλ (x) =
ω=
R
R
R
7
B
B
B
Riemannsche Mannigfaltigkeiten
Definition 7.1 (Riemannsche Mannigfaltigkeit)
Seien (M, T , D) eine C ν -differenzierbare m-dimensionale Mannigfaltigkeit und gp : Tp M ×
Tp M → für jedes p ∈ M ein Skalarprodukt auf Tp M , so dass p 7→ gp C ν -differenzierbar ist,
d. h. für jede Karte (U, h) ist die Funktion
R
gU,ij : U →
R
mit
(h)
(h) gU,ij (p) = gp ∂i,p , ∂j,p
C ν -differenzierbar für alle i, j = 1, . . . , m. Dann heißt (M, T , D, (gp )p∈M ) eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit.
R
Satz 7.2 (offene Teilmenge des
Ist U offen im m , so definieren wir
R
gx : Tx U × Tx U =
m)
Rm × Rm → R
mit
worin h·, ·iRm das euklidische Skalarprodukt auf dem
scher Weise zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit.
gx (v, w) = hv, wiRm ,
Rm bezeichne. Damit wird U in kanoni-
Definition 7.3 (Orthonormalbasis)
Sei (V, h·, ·i) ein m-dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt. Eine Basis (v1 , . . . , vm ) von
V heißt eine Orthonormalbasis von V , wenn
hvi , vj i = δij
∀ i, j = 1, . . . , m .
9
Satz 7.4 (Determinante)
Sei (V, h·, ·i, or) ein m-dimensionaler orientierter Vektorraum mit Skalarprodukt. Dann gibt es
genau eine alternierende m-Multilinearform
volV = detV ∈ Altm V
von V , die jeder positiv orientierten Orthonormalbasis von V den Wert 1 zuordnet. Sie heißt
die kanonische Volumenform bzw. die Determinante von V .
Satz 7.5 (kanonische Volumenform)
Sei (M, T , D, g, or) eine m-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann gibt
es genau eine Differential-m-Form ωM ∈ Ω m M von M , so dass
ωM,p (v1 , . . . , vm ) = 1
für jede positiv orientierte Orthonormalbasis (v1 , . . . , vm ) von Tp M für jedes p ∈ M . Diese
heißt die kanonische Volumenform auf M .
Satz 7.6 (offene Teilmenge des
Sei U offen im m . Dann sind
R
R
m)
detTx U = δ1 ∧ . . . ∧ δm ∈ Altm Tx U
ωU = x 7→ δ1 ∧ . . . ∧ δm ∈ Ω m U
und
die Determinante von Tx U und die kanonische Volumenform auf U .
Satz 7.7 (kanonische Volumenform)
Seien (M, T , D, g, or) eine m-dimensionale orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit, ωM ihre
kanonische Volumenform und (U, h) eine orientierungserhaltende Karte. Dann gilt
√
(h)
(h)
ωM |U = G dx1 ∧ . . . ∧ dxm ,
worin
(h) (h) G(p) = detTp M gp ∂i,p , ∂j,p
i,j
∀p ∈ U .
Definition 7.8 (Volumen)
Seien (M, T , D, g, or) eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Volumenform ωM und
B ⊆ M messbar. Dann heißt
Z
ωM
vol B =
B
das Volumen von B.
8
Untermannigfaltigkeiten des
R
n
Definition 8.1 (Teilraumtopologie)
Seien (X, TX ) ein topologischer Raum und Y ⊆ X irgendeine Teilmenge. Dann ist
TY = {Y ∩ U | U ∈ TX }
eine Topologie auf Y , die sogenannte von TX auf Y induzierte Teilraumtopologie (auch Relativtopologie oder Spurtopologie), und (Y, TY ) heißt ein (topologischer) Teilraum von X.
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Satz 8.2 (Untermannigfaltigkeit)
Seien M ⊆ n , T die von der euklidischen Topologie des n induzierte Teilraumtopologie auf
M und m ∈ mit m ≤ n. Für jedes p ∈ M gebe es eine offene Menge U ⊆ m und eine C ν differenzierbare Funktion ϕ : U → n , so dass:
R
N
R
R
R
• Es gilt p ∈ ϕ(U ) ⊆ M .
• ϕ ist injektiv, und ϕ−1 : ϕ(U ) → U ist stetig.
• Für alle x ∈ U hat Jϕ (x) ∈
Rn×m maximalen Rang, nämlich m.
Dann ist (ϕ(U ), ϕ−1 ) eine Karte von M um p, all diese Karten zusammen bilden einen C ν Atlas, (M, T , D) ist eine m-dimensionale C ν -differenzierbare Mannigfaltigkeit, wobei die C ν differenzierbare Struktur D diesen Atlas enthält, und
o
n
b Bild Jϕ (x) worin x = ϕ−1 (p) .
Tp M = t 7→ p + tJϕ (x)v ∼ v ∈ m =
R
R
Wir fassen Tp M als m-dimensionalen Unterraum des n auf. Die Mannigfaltigkeit wird durch
gp (v, w) = hv, wiRn in kanonischer Weise zu einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Eine solche
Mannigfaltigkeit nennen wir eine Untermannigfaltigkeit des n .
R
Definition 8.3 (Normalenfeld)
Sei (M, T , D, g) eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
N: M →
Rm+1
Rm+1 . Eine stetige Funktion
N (p) ∈ (Tp M )⊥ \ {0}
mit
heißt ein stetiges Normalenfeld auf M . Es heißt ein Normaleneinheitsfeld, wenn kN (p)k = 1
für alle p ∈ M .
Satz 8.4 (Orientierbarkeit)
Eine m-dimensionale Untermannigfaltigkeit des
ein Normaleneinheitsfeld besitzt.
Rm+1 ist genau dann orientierbar, wenn sie
Definition 8.5 (Einsetzen)
Seien (M, T , D) eine Mannigfaltigkeit, v ein Vektorfeld auf M und ω ∈ Ω k M eine Differentialk-Form auf M für k ∈ . Dann wird durch
N
ω)p (w1,p , . . . , wk−1,p ) = ωp (vp , w1,p , . . . , wk−1,p )
für alle Vektorfelder w1 , . . . , wk−1 und p ∈ M eine Differential-(k − 1)-form v
auf M definiert.
(v
ω ∈ Ω k−1 M
Satz 8.6 (kanonische Volumenform)
Seien (M, T , D, g, or) eine m-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit des m+1 und N
ein Normaleneinheitsfeld mit der Eigenschaft, dass (N (p), v1 , . . . , vm ) eine positiv orientierte
Basis des m+1 für jede positiv orientierte Basis (v1 , . . . , vm ) von Tp M für alle p ∈ M ist.
Dann ist
ωM = ι∗ N detRm+1
R
R
mit der Einbettung ι : M →
Rm+1 die kanonische Volumenform auf M .
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Satz 8.7 (Volumen)
Seien (M, T , D, g, or) eine m-dimensionale orientierte Untermannigfaltigkeit des m+1 , (U, h)
eine orientierungserhaltende Karte und B ⊆ U eine messbare Teilmenge von M , die ganz in
einem Kartengebiet liegt. Mit N und ωM des vorigen Satzes folgt dann
Z
Z
Z
(h)
(h) ι∗ N detRm+1 =
ωM =
ι∗ N detRm+1 p ∂1,p , . . . , ∂m,p dλm (x) .
vol B =
R
B
B
h(B)
R
Wegen der Identifikation der Tangentialvektoren als Vektoren im m+1 kann man das ι weglassen und ∂i,p = Jh−1 (x)ei mit x = h(p) setzen. Damit ergibt sich
Z
N detRm+1 h−1 (x) Jh−1 (x)e1 , . . . , Jh−1 (x)em dλm (x)
vol B =
h(B)
Z
∂h−1 (x)
∂h−1 (x)
det Nh−1 (x) ,
=
,...,
∂x1
∂xm
h(B)
12
dλm (x) .