Carrol, pp 21-62

1.6 Tensoren
Tensor vom Typ (k,l) = multilineare Abb. nach R
x bedeutet kartesisches Produkt (geordnetes Paar)
Multilinear heißt: linear in jedem Argument: Beispiel (1,1) Tensor
Skalar:
Type (0,0)
Vektor:
Type (1,0)
Dualvektor:
Type (0,1)
Tensoren vom Type (k,l) bilden Vektoraum (Tensoren können addiert werden und
mit reellen Zahlen multipliziert werden)
Um Basis zu konstruieren brauchen wir neue Operation: Tensorprodukt
Tensorprodukt
: Sei T ein (k,l) Tensor und S ein (m,n) Tensor
definiere (k+m,l+n) Tensor
durch
Beachte, dass das Tensorprodukt nicht kommutiert:
Konstruiere Basis durch alle Tensorprodukte der Basisvektoren und Basisdualvektoren
In der vier-dimensionalen Raumzeit sind dies 4k+l Basistensoren ! bel. Tensor
Alternative: betrachte Wirkung der Basisvektoren und dualen Basisvektoren:
Wirkung eines Tensor auf Satz von Vektoren und dualen Vektoren:
Lorentz Trafo folgt aus dem Trafoverhalten der Vektoren und dualen Vektoren
wichtiges Beispiel eines (0,2) Tensors: Metrik (inneres Produkt, Skalarprodukt)
Norm: (anders als für Euklidischen Raum)
Anderes Beispiel: Kronecker delta
vom Type (1,1):
bildet Vektoren in Vektoren und duale Vektoren in duale Vektoren ab.
inverse Metrik
:
Levi-Civita Symbol: (0,4) “Tensor”
und
sind nicht typisch: Komponenten gleich in allen Koordinatensystemen
Typischer Tensor: elektromagnetischer Feldstärketensor
E-dynamik Vorlesung:
ist das korrekte Lorentz-invariante Objekt
1.7 Tensormanipulationen
Kontraktion:
Achtung:
Metrik: heben von Indizes
inverse Metrik: senken von Indizes
und damit
Vorsicht:
Euklidisch: Komponenten von Vektoren und Dualvektoren identisch
(daher kann Gradient auch als Vektor gesehen werden)
Lorentz:
hier nicht !!!
Symmetrien:
symmetrisch in den ersten beiden Argumenten:
symmetrisch in allen drei Argumenten:
Antisymmetrisch im ersten und dritten Argument:
Vollständig (anti)symmetrisch: (anti)symmetrisch in allen Indizes
(Anti)symmetrisierung:
Beispiel:
Symmetrisierung von nicht direkten Nachbarindizes:
Übungsaufgabe:
Für 2 Indizes:
allgemein:
Normierung 1/n! so gewählt, dass
Spur:
und für (0,2) Tensor
Spur der Metrik ist nicht –1 + 1 + 1 + 1 = 2, sondern
im Minkowski-Raum: partielle Ableitung (k,l) Tensor ! (k,l+1) Tensor
ist anständiger Tensor (transformiert korrekt unter Lorentztrafos), aber dies gilt nicht
mehr für allgemeinere Raumzeit (mit Krümmung) ! kovariante Ableitung
Ausnahme: Gradient
ist auf beliebigen Mannigfaltigkeit ok !
1.8 Maxwellsche Gleichungen
bekannte Notation (19. Jahrhundert):
elektrisches Feld E
magnetisches Feld B
Stromdichte j
Ladungsdichte
im flachen dreidimensionalen Raum ist die Metrik
(also, ob Indizes oben oder unten stehen ist egal)
Komponentenschreibweise
Definiere 4-Stromvektor
plus Definition von
Übungsaufgaben:
aus
wird
bzw.
ganz analog:
aus
wird
bzw.
Tensorgleichung: transformiert korrekt unter Lorentztrafos (kovariante Formulierung)
1.9 Energie und Impuls
Weltlinie eines Teilchens gegeben durch Abb. R " M, M Mannigfaltigkeit (Raumzeit)
parametrisierte Kurve:
Eigenzeit:
!
!
!
Tangentialvektor = Vierergeschwindigkeit
Vierergeschwindigkeit automatisch normiert, da
verwandte Größe: Viererimpulsvektor
m = Ruhemasse (unabhängig vom Inertialsystem)
Energie:
im Ruhesystem des Teilchens
(c = 1) !
im bewegten System: Lorentztrafo für Teilchen mit dreier-Geschwindigkeit
mit
kleine Geschwindigkeiten:
allg. gilt:
Newton:
und
mit
#!
SRT:
Beispiel Lorentzkraft
!"mm$t&i$n)sc,&-n.$n)/012ic,.$it$n)st3&.)$in)444
Das war ein einzelnes Teilchen. Nun viele Teilchen: Fluidbeschreibung
!Energie-Impuls Tensor: T
allg. Definition von T !"
!"
(symmetrischer (0,2) Tensor)
: Fluss von Viererimpuls p
!
"
durch Fläche mit x #const
(später genauer: Ableitung nach der Metrik)
Suchen also rel. Verallgemeinerung von Erhaltungsgrößen
% t $ & ' ( ! $ v" # 0
Ruhesystem: T 00
% t $ v & ' ( ! $ vv & " p" # 0
= Energiedichte
(ideale Flüssigkeit)
$
Staub, Materie: Ansammlung von Teilchen, die relativ zueinander in Ruhe sind
!
Geschwindigkeit dieser „526ssi1.$it7 ist U ! x" = Geschwindigkeit jedes Teilchens
Energiedichte
$ # mn im Ruhesystem, n und m sind 0-Komponenten eines Vektors
N ! # nU ! # !n$ 0$ 0$ 0" $ p ! # !m$ 0$ 0$ 0"
Tensor p ) N :
!"
Tdust
# p ! N " # mnU !U " # $U !U "
ideale Flüssigkeit: Ruheenergie und isotroper Druck ! im Ruhesystem
rel. Verallgemeinerung:
Erhaltungsgröße:
1.10 Klassische Feldtheorie
Klassische Mechanik: kritische Punkte der Wirkung S:
!
Lagrange-Funktion L! q$ q " , typisch L)9):); <
Euler-Lagrange Gln.
Beispiel:
Feldtheorie: ersetze
!
durch Raumzeit-abhängige Felder
Wirkung nun Funktional dieser Felder:
natürliche Einheiten:
Euler-Lagrange: Wirkung konstant unter kleinen Variationen
Lagrangian
Wirkung
partielle Integration
Randbedingungen
Also
mit Definition der Funktionalableitung
!Euler-Lagrange
Beispiel: skalares Feld (Spin 0, z.B. neutrales "-Meson)
und
nicht Lorentzinvariant, aber Kombination
und damit
harmonischer Oszillator
(Klein-Gordon Gln.)
Noch ein Beispiel: Elektromagnetismus
Vektorpotential
A!
mit
A0
* +$
Ai
* A !B # ' , A "
Eich-Trafo
invariant
Lagrangian
erster Term
Euler-Lagrange
zweiter Term
mit
rechnen:
also
und damit
Die homogene Gln. folgt aus Symmetrie:
Warum Lagrangian? Ableiten der Wirkung nach der Metrik ! Energie-Impuls Tensor
Skalares Feld:
Maxwell:
allgemeinere Fälle: speziell rel. Feldtheorien ! 6. Etage Süd
2. Mannigfaltigkeiten
2.1 Äquivalenzprinzip
Newton:
und
Weak Equivalence Principle (WEP):
“Beschleunigung = Gravitation”
andere Form des WEP:
Die Bewegung eines frei-fallenden Körpers sind identisch in einem Gravitationsfeld und
in einem gleichförmig beschleunigten Bezugssystem
lokal, kleine Körper, kleine Testmassen (Selbstwechselwirkung)
Einstein Equivalence Principle (EEP):
Man kann die Existenz eines Gravitationsfeldes nicht durch lokale Experimente
feststellen (Experimente umfassen Gravitation nicht).
EEP
WEP,
EEP
Feinstrukturkonstante und Massenverhältnis Protonen/Elektronen ist konstant
Strong Equivalence Principle (SEP): Wie EEP + Experimente umfassen Gravitation
Gravitationskonstante ist konstant
Info:
http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_principle#The_strong_equivalence_principle
EEP: Gravitation ist unausweichlich, keine gravitativ-neutralen Körper, daher definiere:
nicht-beschleunigt = frei fallend
Saturday Morning
gekrümmte Raumzeit
2.2 Was ist eine Mannigfaltigkeit
n-dim Mannigfaltigkeit sieht lokal aus wie
Beispiele:
•
, klar
• n- Sphäre
, fester Radius in
Mannigfaltigkeiten
• n-Torus:
• Riemannsche Fläche vom Geschlecht g
Jede kompakte orientierbare randlose 2-dim. Mannigfaltigkeit ist Riemannsche Fläche
• Lie Gruppe: Mannigfaltigkeit mit Gruppenstruktur
Beispiel:
SO (2) identisch zu S 1
• direktes Produkt zweier Mannigfaltigkeiten
M und M´ Mannigfaltigkeiten der Dimensionen n und n´
neue Mannigfaltigkeit M x M´ bestehend aus geordnetem Paar (p,p´) mit
p M und p´ M´
Was ist keine Mannigfaltigkeit ?
Ein Punkt, der nicht lokal wie
R 2 aussieht.
nicht glatt genug
Mannigfaltigkeit mit Rand
Abbildungen: zwei Mengen M,N, Abbildung
genau ein Element aus N zuordnet.
Verknüpfung:
mit
:M
N , die jedem Element aus M
injektiv:
jedes Element aus N hat höchstens ein Urbild
surjektiv:
jedes Element aus N hat mindestens ein Urbild
Menge M: Gebiet von , Gebiet: (N) , Urbild:
-1(N)
Wenn Abbildung injektiv und surjektiv ist, dann existiert inverser Abb.
Stetigkeit bekannt für Abb.
: Rm
Rn
Komponentenfunktionen stetig
Funktion heißt Cp, wenn p-te Ableitung existiert und stetig ist.
C Abb.: unendlich oft differenzierbar, glatt
Beispiel:
( x)
x3
, unendlich of diff.bar bis auf x=0, dort nur zweimal, also C2
offene Kugel: Menge aller Punkte x
Rn , x y
r für festes y R n , r
R
offene Menge: Vereinigung offener Kugeln,
n
also: V R ist offen, wenn für jedes y
vollständig in V liegt.
V eine offene Kugel um y existiert, die
Eine Karte (oder Koordinatensystem) besteht aus einer Untermenge U
und einer injektiven Abb.
Damit ist U offen in M.
:U
n
R n , so dass (U ) offen in R ist.
M
Ein C Atlas ist eine Vereinigung von Karten
U ,
, die folgende 2 Bed. erfüllen:
1.
Die Vereinigung
2.
U
0. Dann bildet die Abb.
Übergangsabb. sind C : Sei U
Punkte in
n
n
U ) R auf eine offene Menge
(U
U ) R ab, und zwar C für
(U
alle , .
U
M
1
Eine C n-dim. Mannigfaltigkeit ist eine Menge M mit einem maximalen Atlas, der alle
kompatiblen Karten enthält.
Analog wird eine Cp Mannigfaltigkeit definiert.
Beispiele:
benötige zwei Karten
S1
1.
Kreis
2.
S2 : stereographische Projektion
vom Nordpol
Übergangsabb. für
-1 < x3 < +1
vom Südpol