Theoretische Physik III (Elektrodynamik)

Theoretische Physik III (Elektrodynamik)
Prof. Dr. Th. Feldmann
18. Juli 2013
Kurzzusammenfassung – Vorlesung 25 vom 12.7.2013
Fortsetzung: Proca-Modell
• Für freie elektromagnetische Wellen ergibt sich im Proca-Modell
1 2 ~2
ω2
Fourier-Trafo
2
∂
−
∇
+
µ
−→
−
+ k 2 + µ2 = 0
c2 t
c2
D.h. eine modifizierte Dispersionsrelation, ω 2 = c2 (k 2 + µ2 ).
+ µ2 =
• Im Vorgriff auf den Welle-Teilchen-Dualismus der Quantenmechanik assoziieren wir
Eγ = ~ω ,
⇒
pγ = ~k
Eγ2 = c2 (p2γ + µ2 ~2 )
Vergleich mit relativ. Energie-Impuls–Beziehung liefert “Photon-Masse”
mγ =
µ~
c
(Proca-Modell, im Vakuum)
Momentaner experimenteller Befund: kein Hinweis auf endliche Photonmasse.
Energie-Impuls–Tensor
• Anstelle der Hamiltonfunktion führt Legendre-Trafo nun auf Hamiltondichte,
P
∂φk
H = k ∂(∂∂L
− L|∂t φk =∂t φk (Π)
(1)
~
t φk ) ∂t
mit kanonischem Impulsfeld Πk ≡
∂L
,
∂(∂t φk )
Z
H=
so dass
d3 x H .
• Hamilton-Funktion H entspricht Energie, transformiert also wie nullte Komponente
eines Lorentz-Vektors. Dem räumlichen Volumenelement d3 x “fehlt” dagegen die
zeitliche Komponente, um Lorentz invariant zu sein (s.o.). Demnach muss Hamiltondichte wie “00”-Komponente eines Tensors 2. Stufe transformieren, H = T 00 .
1
• Das lässt sich zum sog. (kanon.) “Energie-Impuls–Tensor” verallgemeinern,
T αβ =
X
k
∂L
∂ β φk − g αβ L ,
∂(∂α φk )
(2)
welcher manifest wie ein Tensor transformiert, mit T 00 = H.
• Kanonischer Energie-Impuls-Tensor für freies elmg. Feld (φk → Aλ ):
T αβ =
1 αµ
∂L
β λ
αβ
∂
A
−
g
L
=
−
g Fµλ ∂ β Aλ − g αβ L
∂(∂α Aλ )
4π
In Komponenten ergibt sich z.B.
1 ~ 2 ~ 2
1 ~ ~
T 00 =
E +B +
∇ φE ,
8π
4π
1 ~
~ Ai E
~ + 1 ∇
~ ,
T 0i =
E×B
4π
4π i
1
∂
1 ~
i0
~ +
~ × (φB)
~
E×B
∇
−
(φEi ) .
T
=
4π
4π
∂x0
i
i
(3)
(4)
(5)
(6)
Für T 00 und T 0i tragen die jeweils 2. Terme auf der rechten Seite bei Integration mit
verschwindenden Feldern am Rand nicht bei, so dass sich die bekannten Ausdrücke
für die integrierte Feldenergie- und impulsdichte1 ergeben,
Z
Z
1
3
00
~2 + B
~2 ,
d3 x E
(7)
E=H =
d xT =
8π
Z
Z
1
i
3
0i
~
~ × B)
~ i,
c (P ) =
d xT =
d3 x (E
(8)
4π
was den Namen Energie-Impuls–Tensor rechtfertigt.
Erhaltungssätze aus Energie-Impuls–Tensor
Energie- und Impulserhaltung spiegelt sich in Kontinuitätsgleichungen wider.
Diese sollten sich auch aus Energie-Impuls–Tensor herleiten lassen.
• Betrachte dazu (der Einfachheit halbe für eine Feldkomponente φ)
∂L(φ(x), ∂φ(x)) β
αβ
∂ φ − ∂ β L(φ(x), ∂φ(x))
∂α T
= ∂α
∂(∂
φ)
α
∂L
∂L
∂L β
∂L
=
∂α
∂ β φ + (∂α ∂ β φ)
−
∂ φ−
∂ β ∂α φ
∂(∂α φ)
∂(∂α φ) ∂φ
∂(∂α φ)
1
Der vom elektromagnetischen Feld übertragene Impuls ist nicht mit dem kanonischen Impulsfeld Π(x)
zu verwechseln.
2
=
∂L
∂L β Euler-Lagrange
∂α
−
∂ φ
=
0.
∂(∂α φ) ∂φ
Daraus erhält man allgemein die Kontinuitätsgleichungen in der Form
Z
Z
Z
3
αβ
3
0β
d x ∂α T
= ∂0
d x T + d3 x ∂i T iβ .
• Für die zeitliche Komponente (β = 0) ergibt sich
Z
Z
3
00
∂0
d x T + ∂i T i0 = 0 .
(9)
(10)
(11)
Für abgeschlossene Systeme (triviale Randbedingungen) verschwindet der 2. Term,
da er die Form einer räumlichen Divergenz hat. Somit ist das äquivalent zur Energieerhaltung, dH
= 0.
dt
• Entsprechend folgt für räumliche Komponenten (β = i) die Impulserhaltung,
Z
Z
dP~
3
0i
∂0
= 0.
d x T + ∂j T ji = 0
⇒
dt
(12)
• Voraussetzung bei der Herleitung war hierbei jeweils, dass die Lagrangedichte nicht
explizit von Zeit- oder Ortskoordinaten abhängt, sondern nur implizit über die entsprechenden Felder und deren Ableitungen. Das entspricht der zeitlichen bzw. räumlichen
Translationsinvarianz des physikalischen Systems. Dies spiegelt allgemeines theoretisches Prinzip wider (welches in der Lagrangedichte am einfachsten abzulesen ist):
(kontinuierliche) Symmetrie ↔ Erhaltungsgröße
Der so über die Lagrangedichte konstruierte Tensor T αβ wird “kanonischer” EnergieImpuls–Tensor genannt. Er hat zwei Nachteile:
• unsymmetrisch in den Indizes α, β;
~ ab).
• in der E-Dynamik nicht eichinvariant (hängt von φ und A
Symmetrischer Energie-Impuls–Tensor
Energie-Impuls–Tensor lässt sich durch Hinzufügen geeigneter Terme symmetrisieren:
• Definiere symmetrischen E-I-Tensor,
!
Θαβ = Θβα = T αβ − ∆T αβ
mit Bedingungen an zu konstruierendes ∆T ,
Z
!
αβ !
∂α ∆T = 0 ,
d3 x ∆T 0β = 0 ,
so dass H, P~ unverändert, und ∂α Θαβ = 0.
3
(13)
(14)
• Lässt sich in der E-Dynamik realisieren durch
∆T αβ =
1
∂λ (F λα Aβ ) ,
4π
(15)
(denn aus Antisymmetrie des Feldstärketensors folgen obige Bedingungen an ∆T ).
• Einsetzen ergibt (→ Übung)2
αβ
Θ
1
=
4π
1 αβ
αµ βν
µν
−gµν F F + g Fµν F
4
In Komponenten ergibt sich für das elmg. Feld im Vakuum:
√
1 ~ 2 ~ 2
Θ00 =
E + B = ωf
8π
√
1 ~
~ ∝ Si
E×B
Θ0i = Θi0 =
4π i
1
1
ij
2
2
Θ = −
Ei Ej + Bi Bj − δij (E + B )
4π
2
→ “Maxwellscher Spannungstensor”
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Die Gleichung ∂α Θαβ ergibt dann die bereits vorher disktuierten Kontinuitätsgleichungen
für Energie- und Impulsdichte.
• Zusätzlich kann mit Θαβ den Felddrehimpuls definieren,
M αβγ ≡ Θαβ xγ − Θαγ xβ .
(21)
Aus der Symmetrie von Θαβ und ∂α Θαβ = 0 folgt sofort
∂α M αβγ = (∂α Θαβ )xγ + Θαβ δαγ − (γ ↔ β) = 0 ,
(22)
was gerade Drehimpulserhaltung und der dazugehörigen Kontinuitätsgleichung entspricht.
2
Für das freie elmg. Feld gilt offensichtlich Θα
α = Spur[T ] = 0. Was ergibt sich für das Proca-Modell?
4