1 Überblick 0.Vorbemerkungen N N0 N N0

Überblick
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Vorbemerkungen
Ideale Bose-Gas im großkanonischen Ensemble – Bose-Verteilungsfunktion
Makroskopische Besetzung des Grundzustandes
Übergangstemperatur Tc
Spezifische Wärme in der Umgebung von Tc
finit-size Effekt
Niedere Dimensionen
0.Vorbemerkungen
Ein Bose-Einstein-Kondensat stellt ein makroskopisches Quantensystem dar, bei dem sich unterhalb einer
Übergangstemperatur Tc ein endlicher Anteil der Atome im Grundzustand befindet. Die Atome im Grundzustand
verlieren ihre Einzelidentitäten und verhalten sich wie ein einziges „Superatom“, so regt z.B. einfallendes
Laserlicht immer das ganze Kondensat an.
1925 Einstein: Für ein ideales Bose-Gas ist in einer 3-dimensionalen Box gilt für die Temperatur Tc :
n λ3dB (Tc ) = ζ
(3 2 ) ≈ 2,612 ...
wobei die thermische de-Broglie Wellenlänge
 2πh 2 

λ dB = 
 mk B T 


1
(0.1)
λdB definiert ist als
2
(0.2)
und n die Teilchenzahldichte beschreibt.
Für den Anteil
T > Tc :
T < Tc :
N0
der Bosonen, die das Kondensat bilden und sich im Grundzustand befinden, gilt:
N
N0
N
? 0
N0
T 
? 1 -  
N
 Tc 
(0.3)
3
2
(0.4)
N0 kann in diesem Fall in der Größenordnung von N sein und damit makroskopisch. Diese Entartung der
Besetzungswahrscheinlichkeit des Grundzustandes ist die Schlüsseleigenschaft des Bose-Einstein-Kondensats.
1995 am JILA 1 : Cornell und Wieman gelingt erstmals die nachgewiesene Erzeugung eines BEC im Labor. (Etwa
2000 87 Rb Atome abgekühlt auf ca. 100nK)
Die Realisierung des BEC stellt hohe Ansprüche an die verwendeten Atome:
-
1
Wirkung als „effektive“ Bosonen durch geeignete Kopplung der Spins der Elektronen und Nukleonen
permanentes magnetisches Dipolmoment (Ermöglicht Einschluss im inhomogenen Magnetfeld)
großer elastischer Streuquerschnitt (wichtig für Verdampfungskühlung)
starker optischer Übergang im Sichtbaren (zur Laserkühlung stehen hier leistungsstarke kommerzielle
Halbleiterlaser zur Verfügung)
möglichst kleine inelastische Wechselwirkung (keine Bildung von Molekülen)
JILA: Joint Institut for Labaroratory Astrophysics in Boulder (Colorado)
1
Aber auch mit Atomen, die diese Forderungen bestmöglich erfüllen ist die experimentelle Erzeugung eines BEC
eine große Herausforderung. Die Phasenraumdichte ist zu Beginn des Experimentes etwa 19 Größenordnungen
von der kritis chen Phasenraumdichte entfernt. Um sie anwachsen zu lassen besteht nur die Möglichkeit die
Temperatur drastisch zu reduzieren. die Gasdichte sollte einen möglichst kleinen Wert besitzen um Drei-KörperStöße stark zu unterdrücken. Die benötigten Temperaturen liegen im Nanokelvinbereich. Man benutzt im
Experiment eine Kombination aus zwei Kühltechniken, die Laserkühlung und die Verdampfungskühlung. Die
Speicherung erfolgt in einer magnetischen Falle.
Laserkühlung
Die Laserkühlung beruht auf dem Impulsübertrag eines absorbierten Photons. Ein ideales Zwei-Niveau-Atom im
Grundzustand mit einer Geschwindigkeitskomponente v0 wechselwirkt mit einem Photon aus entgegengesetzter
Richtung. Wegen der Impulserhaltung erfährt das Atom eine Abbremsung. Bei der Rückkehr in den
Grundzustand emittiert es spontan ein Photon. Der zusätzliche Rückstoß hebt sich nach Mittelung über viele
Absorptions- und Emissionsprozesse heraus. Zusätzlich macht man sich den Dopplereffekt zu Nutzen die
benutzten Laserstrahlen sind um einige Linienbreiten von der Anregungsfrequenz rotverstimmt. Bewegt sich das
Atom auf den Laser zu, kommt die Frequenz des Lichts näher an die Resonanzfrequenz des Atoms heran, die
Absorptionsrate wird erhöht. Dadurch werden die Atome abgebremst und das Gas gekühlt. Begrenzt wird die
Nutzbarkeit dieser Technik durch das Aufheizen durch die Rückstoßimpulse der emittierten Photonen und durch
die räumliche Ausdehnung der Wolke. Mit zunehmender Dichte erhöht sich auch die Wahrscheinlichkeit der
Reabsorption von Photonen, was durch eine repulsive Kraft zwischen den Atomen beschrieben werden kann.
Die Grenze der mit Laserlicht erreichbaren Temperaturen liegt bei etwa 163 µK.
Magnetfalle
Zum Speichern der Atome kommt eine magnetische Falle zum Einsatz, die auf der Wechselwirkung des
magnetischen Dipolmoments mit einem inhomogen Magnetfeld beruht. Für den Hyperfeinzustand F, mit dem
magnetischen Zustand mF, ist die Energie eines Atoms in einer Magnetfalle nur vom lokalen Betrag des
magnetischen Feldes abhängig:
E (r) = − g F mF µ B B (r )
(0.5)
wobei gF der Landé g-Faktor ist und µB das Bohrsche Magneton ist. Zustände bei denen das Produkt gFmF
negativ ist, erniedrigen ihre Energie, je schwächer das Magnetfeld ist. Sie können damit in einem
Magnetfeldminimum gefangen werden. Im Experiment benutzt man Fallen mit einem harmonischen Potential,
das durch eine geeignete Spulenkonfiguration „leicht“ zu erzeugen ist.
Verdampfungskühlung
Für die in der Falle gespeicherten Atome kann nun durch Verdampfungskühlung die Phasenraumdichte in den
kritischen Bereich erhöht werden. Die Verdampfungskühlung beruht auf dem Prozess, dass durch das
„Verdampfen“ überdurchschnittlich energiereicher Atome die Temperatur der zurückbleibenden Atome gesenkt
wird. Im Experiment senkt man die Energie, oberhalb der die Teilchen entfernt werden, kontinuierlich ab. Eine
Methode, um die Potentialtiefe kontrolliert zu reduzieren, ist die Radiofrequenzinduzierte Verdampfung. Man
überführt die Zustände energiereicher Atome in magnetisch nicht fangbare Zustände. Der große Nachteil dieser
Kühlmethode ist der Teilchenverlust, der bis zu 99% beträgt.
Abbildungsmethoden
Zur Messung der Temperatur und der Dichteverteilung in einem gekühlten Gas benutzt man häufig die
Expansionsmethode. Dazu wird das Magnetfeld abgeschaltet, und die Wolke kann sich ungehindert ausdehnen.
Ein schwacher vertikaler Feldgradient wird angelegt, um der Gravitation entgegenzuwirken und nach weniger
als 100ms wird das Gas mit einem Laser beleuchtet, dessen Wellenlänge einer Absorptionsfrequenz der Atome
entspricht. Der Strahldurchmesser ist dabei größer als die Abmessungen der Gaswolke, und mit Hilfe der
Absorption des Lichtes durch die Atome entsteht auf einem Detektor hinter dem Gas ein Schatten. Dieser liefert
Aussagen über die Größe der Wolke nach der Expansion und erlaubt die Berechnung der ursprünglichen
Geschwindigkeitsverteilung. An jedem Punkt des Bildes ist die optische Dichte proportional zur Dichte der
Atome. Daher lassen sich aus einem einzigen Bild die Geschwindigkeit und die Phasenraumdichte und damit die
Temperatur bestimmen. Für eine Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Expansion werden mehrere Aufnahmen
von verschiedenen Kühlprozessen, bei denen die Verdampfungskühlung zu unterschiedlichen Zeitpunkten
abgebrochen wird, gemacht. Man geht dabei davon aus, dass der Ablauf des Versuchs immer gleich ist. Reiht
man die erhaltenen Bilder zeitlich hintereinander auf, erkennt man zuerst eine thermische Verteilung. Ab einem
bestimmten Zeitpunkt aber beginnt sich ein starker Peak über der Verteilung zu bilden, und nach noch weiterer
Kühlung sind nahezu alle Atome kondensiert.
2
1. Ideale Bose-Gase im großkanonischen Ensemble – Bose-Verteilungsfunktion
Die großkanonische Zustandsumme Z ist die Verallgemeinerung der kanonischen Zustandsumme Q auf
beliebige Teilchenzahlen N´:
Z (β , µ, V ) =
∞
∑ exp [βµ N´] ⋅QN ´
N ´= 0
mit β = 1 (k B T )
(1.1)
µ = chemisches Potential
QN ´ = ∑ exp [− βE k ]
(1.2)
k
⇒ Z (β , µ , V ) =
∞
∑∑ exp [− β (µN´− E k )]
N ´ =0 k
(1.3)
Für das ideale Bose-Gas nimmt der Hamiltonoperator die Form an:
N
Hˆ = ∑ Hˆ 1i
(1.4)
pˆ 2
Hˆ 1i = i + V ( rˆ )
2m
(1.5)
i =1
Unter dieser Voraussetzung geht Gl. 1.3 über in:
Z (β , µ ,V ) =
∑r n r = N
∞


exp − β ∑ n r (ε r − µ )
{nr }

r

∑ ∑
N ´ =0
Die Summationen kann man umgruppieren, es gilt:
∑ nr = N `
∞ r
∑ ∑ ... = ∑ ⋅ ∑ ⋅ ⋅ ⋅ ∑
N ´ =0
{nr }
n1
n2
(1.6)
(1.7)
nr
Die großkanonische Zustandssumme nimmt somit die Form an:


Z (β , µ, V ) = ∏  ∑ exp [− β nr (ε r − µ )]


r  n

(1.8)
r
Für Bosonen steht in der Klammer gerade die geometrische Reihe und somit:


1

Z (β , µ, V ) = ∏ 

r  1 − exp [− β (ε r − µ )] 
Das zur großkanonischen Zustandssumme gehörende Potential ist das großkanonische Potential Ω
(1.9)
Ω ( β , µ ,V ) = − k B T ln (Z ( β , µ, V ) )


1

= − k B T ln ∏ 

r  1 − exp [− β (ε r − µ )] 
= k B T ∑ ln{1 − exp [− β (ε r − µ )]}
(1.10)
r
Mit Hilfe des großkanonischen Potentials kann man, zu mindest im Prinzip, alle thermodynamischen Größen
ausrechen.
3
Die negative Ableitung des großkanonischen Potentials nach dem chemischen Potential liefert die mittlere
Gesamtzahl der Bosonen:
∂Ω
N=−
∂µ
=∑
r
1
exp [β (ε r − µ )] − 1
(1.11)
= ∑ nr
r
Diese kann als die Summe über die mittleren Besetzungszahlen
nr = −
∂
1
(ln (Z )) =
∂βε r
exp [β ( (ε r − µ )] − 1
(1.12)
jedes Einteilchenzustandes aufgefasst werden.
Das ist aber nichts anderes als die Bose-Verteilungsfunktion:
nr =
1
exp [β (ε r − µ )] − 1
(1.13)
2. Makroskopische Besetzung des Grundzustandes
Damit dieser Ausdruck für alle Besetzungszahlen gültig ist muss für das chemische Potential gelten µ < e0 .
Für Fall µ ? e0 erhält man für die Besetzungszahl des Grundzustandes (mit der Näherung ε 0 = 0 ) einen
makroskopischen Wert:
N 0 ≡ n0 =
1
exp [β (ε 0 − µ )] − 1
1
1
≈−
≈ γ ⋅ N mit γ ≈ 1
exp [− βµ] −1
βµ
≈
(2.1)
Für die Anzahl der Atome in angeregten Zuständen gilt NT = N – N0 und somit:
NT =
∑ exp [β (ε
r≠ 0
1
r
(2.2)
− µ )] − 1
Nun könnte man annehmen, dass nicht nur der Grundzustand sondern auch angeregte Zustände makroskopisch
besetzt sind. Das dies nicht der Fall ist kann man sich recht einfach am Modell der 3-dimensionalen Box
überlegen. Nach Gl. 2.2 gilt für die Besetzungszahl des ersten angeregten Zustandes:
n1 =
1
exp [β (ε1 − µ )] − 1
≈ ( βε1 − βµ )
−1
(2.3)
Für den zweiten Term in der Klammer kann man wieder die Abschätzung aus Gl. 2.1 benutzen, für den ersten
erhält man:
βε 1 =
(
)
 1
h 2 4π 2  h 2
1
1
β
=
4π 2 n 2 3 β 
= πλ 2db n2 3
=ϑ
23
 N2 3
2m V 2 3  2m
N
N2 3

(2.4)
Quanteneffekte werden relevant, wenn die de-Broglie Wellenlänge in die Größenordnung des Teilchenabstandes
  V 1 3

 ~   = n−1 3  kommt. Die Zahl ϑ ist also auch in der Größenordnung von 1.
 N 



4
Das bedeutet:
n1 (βε 1 − βµ )−1
≈
n0
γ⋅N
 ϑ
1

+
23
γ
⋅N
N
=
γ ⋅N



−1
=
1
γϑ N
13
−1
≈ N −1 3
(2.5)
Die Besetzung des Grundzustandes ist als um einen riesigen Faktor größer als die Besetzung des ersten
angeregten Zustandes. Man kann also davon ausgehen, dass nur der Grundzustand makroskopisch besetzt ist.
3. Übergangstemperatur TC
Die Übergangstemperatur ist definiert als die höchste Temperatur, bei der die makroskopische Besetzung des
Grundzustandes auftritt. Wenn man sich auf ein „Hochtemperaturregime“ beschränkt für das, im Falle des
harmonischen Potentials, gilt k B T >> hω ; kann man Summe in Gl. 2.2 durch ein Integal über die
Zustandsdichte g(e) ersetzen. Der Ausdruck für NT geht dann über in:
NT =
∞
∑ nr → NT = ∫ g (ε )
r≠ 0
0
1
dε
exp [(ε − µ ) k B T ] − 1
(3.1)
Im folgenden bietet sich eine Fallunterscheidung für die zwei grundlegende Problemfelderan:
3-dimensionale Box
3-dimensionales harmonisches Oszillatorpotential
3


V (r) = ωi2 xi2 

i =1

32
1
Vm
g (ε ) =
ε2
g (ε ) =
ε1 2
3
12 2 3
2h ω1ω 2ω3
2 π h
(3.2)
(3.3)
Man kann erkennen, dass man die Formel für die Zustandsdichte verallgemeinern kann:
∑
g (ε ) = Cα ε α −1
(3.4)
Für die beiden Fälle entspricht das dann:
α =3
α =32
Cα =
Vm 3 2
Cα =
21 2 π 2 h3
1
2h ω1ω 2ω3
3
Für Temperaturen oberhalb der kritischen Temperatur TC ist die Anzahl der Bosonen im Grundzustand N0
gegenüber der Gesamtzahl N vernachlässigbar. Man kann dann annehmen:
NT (TC ,µ = ε 0 ) = N
(3.5)
Die maximale Anzahl von Atomen in angeregten Zuständen wird bei der Temperatur T = TC erreicht für µ = ε 0 .
Unter Vernachlässigung der Nullpunktsenergie (ε 0 = 0) ergibt sich dann:
∞
NT (TC , µ = ε 0 = 0) = N = ∫ g(ε )
0
1
dε
exp [ε k B TC ] − 1
(3.6)
Durch die Substitution x = ε k B TC lässt sich das Integral berechnen:
⇒ N = Cα Γ(α )ζ (α )(k B TC )α
(3.7)
5
∞
wobei: G(α) = Gamma-Funktion; ζ (α ) = ∑ n−α = Riemannsche Zeta-Funktion
0
Für das Energieäquivalent der Übergangstemperatur ergibt sich nach Gl. 3.10:
k BTC =
N 1α
(Cα Γ(α )ζ (α ))1 α
(3.8)
Für die oben gemachte Fallunterscheidung (3-d Box; Falle) erhält man:
k BTC =
2π
h 2n 2 3
h 2n 2 3
≈ 3,31
23
m
(ζ (3 2)) m
k BTC =
hω N 1 3
≈ 0,94hω N 1 3
(ζ (3))1 3
(ω = (ω ω ω ) )
13
1 2 3
(3.9)
(3.10)
Für Temperaturen unterhalb TC führt die Berechnung des Integrals Gl. 3.1 unter Verwendung von Gl. 3.8 auf
α
 T 
 N
NT = 

 TC 
und damit entsprechend für N0 (T) = N - NT
(3.11)
  T α 
N 0 (T ) = N 1 −   
  TC  
Für α = 3 2 (Bose-Gas in der Box) erhält man die Gl. 0.4 aus den Vorbemerkungen.
(3.12)
4. Spezifische Wärme
Neben der Teilchenzahl und der Übergangstemperatur ist auch die Spezifisch Wärme eine interessante
thermodynamische Größe. Wir werden sehen, dass diese für den Fall des harmonischen Potentials beim
Überschreiten der Übergangstemperatur einen Sprung aufweist, der für den Fall des Gases in der Box nicht
vorhanden ist. Zur Untersuchung dieser Diskontinuität betrachtet man Temperaturen knapp oberhalb der
Übergangstemperatur und berechnet die Änderung des chemischen Potentials.
Die Energie E des Bose-Gases kann durch die Bose-Verteilungsfunktion bestimmt werden:
∞
1
(4.1)
exp [(ε − µ ) k B T ] − 1
0
Die spezifische Wärme erhält man aus der Ableitung der Energie nach der Temperatur bei konstant gehalterner
Teilchenzahl N. Es gilt:
E = Cα ∫ ε α
E = E (T , µ (T , N ))
(4.2)
Das chemische Potential ist also selber wieder eine Funktion der Temperatur und der Teilchenzahl. Somit ergibt
sich für die spezifische Wärme:
CN =
∂E
∂T
=
N
∂E
∂T
+
µ
∂E ∂µ
⋅
∂µ T ∂T
(4.3)
N
Für das Verhalten in der Umgebung der kritischen Temperatur gilt für eine kleine Änderung von E = E(T,µ),
wenn man die Gesamtteilchenzahl N als konstant betrachtet:
6
δE =
∂E
∂E
δT +
δµ
∂T
∂µ
(4.4)
Der Beitrag des Terms dT ist kontinuierlich beim Überschreiten der Übergangstemperatur. Die Ursache des
diskontinuierlichen Verhaltens der Spezifischen Wärme ist der Term proportional zu dµ, da das chemische
Potential unterhalb der Übergangstemperatur gleich Null und oberhalb negativ ist. Zur Untersuchung der
Diskontinuität betrachtet man Temperaturen knapp oberhalb un unterhalb der Übergangstemperatur und
berechnet die Änderung des chemischen Potentials dµ in der kleinsten Ordnung von T – TC. Der Wert µ ≠ 0
trägt zur Änderung der Energie in der Form (∂E ∂µ )δµ bei.
Die Ableitung kann man aus Gl. 4.1 berechnen:
∂E
= αN
∂µ
(4.5)
wenn man die für T > Tc gültige Beziehung für die Gesamtteilchenzahl
∞
N = Cα ∫ ε α − 1
0
1
exp [(ε − µ ) k B T ] − 1
(4.6)
benutzt.
Damit kann man den Sprung der spezifischen Wärme angeben:
∆C N = C N (TC + ) − C N (TC − )
=
∂E ∂µ
⋅
∂µ T ∂T
−
N T =T
c+
∂E ∂µ
⋅
∂µ T ∂T
(4.7)
N T =T
c−
Der zweite Term trägt zu dieser Differenz nichts bei, da unterhalb der kritischen Temperatur konstant µ = 0 gilt.
Es gilt die Identität
ζ (α )
 ∂µ 
 ∂ N   ∂N 
 = −α

 = −
 
kB
ζ (α − 1)
 ∂T  N
 ∂T  µ  ∂µ  T
−1
(4.8)
die für feste Teilchenzahl N gültig ist.
Die benötigten Ableitungen erhält man aus den Gl. 4. Damit ergibt sich für den Sprung der spezifischen Wärme
im Falle des harmonischen Oszillatorpotentials (a = 3):
ζ (α )
ζ (3)
Nk B = −9
Nk B ≈ −6,58 Nk B
(4.9)
ζ (α − 1)
ζ (2)
Für α ≤ 2 die hier gewählte Berechnung nicht möglich. Die Diskontinuität für α = 3 zeigt sich in Abb.1 [1].
∆ C = −α 2
7
5. Finite-size Effekt
Die Anzahl der Atome die in der Falle sein können ist experimentell begrenzt auf maximal etwa 107 Atome.
Aus diesem Grund ist der thermodynamische Limes nie wirklich erreicht. Eine Konsequenz ist das Fehlen einer
wirklichen Diskontinuität in den thermodynamischen Funktionen. Aus diesem Grund ist die Bose-EinsteinKondensation von gefangenen Gasen nicht wirklich ein Phasenübergang. In der Praxis aber tritt die
makroskopische Besetzung des Grundzustandes ziemlich plötzlich auf, wenn die Temperatur verringert wird
(vgl. Abb. 2 [3]). Der Übergang ist gegenüber dem Limes N → ∞ abgerundet, aber der Effekt ist klein genug,
dass man auch in diesem Fall von einer Übergangstemperatur sprechen kann.
Im großkanonischen Ensemble ist die mittlere Besetzungszahl durch die Summe in Gl 1.11 gegeben, wobei es
nicht nötig ist N → ∞ gehen zulassen. Die Summation kann numerisch [4] ausgeführt werden, für den
kondensierten Anteil erhält man in diesem Fall, einen kleineren Wert als im thermodynamischen Grenzfall und
der Übergang ist abgerundet. Mit der numerischen Berechnung zeigt sich, dass finit-size Effekte nur deutlich zu
erkennen sind wenn N < 104 ist. Berechnet man auch die Anzahl der Atome im ersten angeregten Zustand, so
finden man, das der Anteil der Atome in diesem Zustand für N → ∞ gegen Null geht und auch schon für N =
100 sehr klein ist.
Abb. 2: [3]
Anteil der kondensierten Atome.
Die Kreise entsprechen dem
Experiment [2], während die
durchgezogene Linie Gl. 3.11
(mit a = 3) entspricht.
Die Korrektur von Gl. 1.11 kann auch analytisch bestimmt werden. Ausgangspunkt hierfür ist eine zu Gl 2.2
alternative Schreibweise für die Anzahl der Atome in angeregten Zuständen einer symmetrischen, harmonischen
Falle:
∞


NT = ∑ r∑r exp − kβ hω ∑ lα 


r
k =1l ≠0
α
wobei:
l
= (l x , l y , l z ); lα = 0,1,2 ,3,..; (α = x, y, z )
(5.1)
3

∞ 
1

 − 1
= ∑ 

k =1 1 − exp [− β hωk ] 

Der Ausdruck in der Klammer lässt sich für kleine x entwickeln:
3



1

 = 1 + 3 + ...

−
1


 1 − exp [− x ] 
 x3 2x2


(5.2)
Einsetzen in Gl. 5.1 liefert:
3
2
k T
3k T 
NT =  B  ζ (3) +  B  ζ ( 2) + ...
h
ω
2  hω 


(5.3)
8
3
k T0 
Division durch N =  B C  ζ (3) (vgl. Gl. 3.10) liefert
 hω 


3
2
 T 
N 0 N − NT
N
3ζ ( 2)  T 
=
= 1− T ≈ 1−  0  −
N −1 3
2 3 0 


N
N
N
T
T
2
[
ζ
(
3
)
]
 C
 C
(5.4)
die Ergebnisse dieser Gleichung sind in Abbildung 3 [3] dargestellt.
Finite-size Effekte reduzieren den Anteil der Atome im Grundzustand und das führt zu einer Verringerung der
Übergangstemperatur im Vergleich zum thermodynamischen Limes. Wenn man die linke Seite von Gl. 5.4 bei
T = TC (die verschobene Übergangstemperatur) gleich Null setzt erhält man, dass die relative Verschiebung in
der Größenordnung von N −1 3 ist [4]:
δTC
TC0
=
ζ (2)
2[ζ (3)]2 3
N −1 3 ≈ − 0,73 N −1 3
(5.5)
Abb. 3: [3]
Die durchgezogene Linie stellt die
berechnete Verschiebung nach Gl.
5.1 dar, während die gestrichelte
dem thermodynamischen Limes
entspricht.
6. Niedere Dimensionen
Die Betrachtung der Eigenschaften erfolgte bisher für 3-dimensionale Probleme, für alle Raumrichtungen war
die Bedingung kBT >> h? gültig. Zur Behandlung niederdimensionaler Effekte lässt man diese Bedingung für
eine oder zwei Raum dimensionalen fallen und behandelt damit 2- bzw. 1-dimensionale Probleme. Für diese
Fälle ist es nur möglich ein BEC in einer harmonischen Falle zu erzeugen.
2-dimensionale Falle:
Für das Energieäquivalent der Übergangstemperatur gilt:
12
 N 
k B T2 D = hω2 D 

 ζ (2 ) 
(ω
= (ω x ω y )
1 2
2D
)
(6.1)
Für die Frequenz in der z-Richtung muss gelten:
hω 2 D << k BT < hω z
(6.2)
1-dimensionale Falle
9
In einer Dimension kann die Übergangstemperatur nicht in der üblichen Weise berechnet werden, weil das
auftretende Integral in diesem Fall divergiert. Ketterle hat aber gezeigt (vgl. [4]), dass für endliche N
näherungsweise gilt:
k B T1D = hω1D
N
ln(2 N )
(ω 1D = ω z )
Für endliche Systeme tritt hier ein zusätzlicher Effekt auf. Die Kondensation erfolgt in zwei Schritten, wenn
sowohl T1 D < T 3 D als auch hω ⊥ < k B T3 D erfüllt ist. Im Temperaturintervall T1 D < T < T 3 D sind nur die radialen
Freiheitsgrade eingefroren, während in z-Richtung keine Kondensation auftritt. Unterhalb von T3D tritt
vollständige Kondensation ein.
Abbildung 5 [3] zeigt den
dargestellten Effekt für ein BoseGas aus N=106 Atomen und einem
Frequenzverhältnis von
ω⊥
= 5, 6 ⋅ 10 4 .
ωz
Die gestrichelte Linie gilt für
n x = n y = 0 , nz ≠ 0 ; die
durchgezogene für
n x = ny = nz = 0 .
Literatur:
[1]
C. J. Pethick und H. Smith, 2002, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University
Press, Cambridge
[2]
J. R. Ensher, D. S. Jin, M.R. Matthews, C.E.Wieman und E.A. Cornell, 1996, Physical Reviews, Lett.
77
[3]
F. Dalfovo, S. Giorgini, L.P. Pitaevski und S. Stringari, Reviews of Modern Physics, Vol. 71, The
American Physical Society; Artikel Nr. 3, Seiten 463-512
[4]
W. Ketterle und N.J. van Druden, 1996a, Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, Vol. 37;
Academic, San Diego; Seite 181
10