Koeffizient

Experimentelle Physik II
Sommersemester 08
Vladimir Dyakonov
(Lehrstuhl Experimentelle Physik VI)
VL#15
04-06-2008
Tel. 0931/888 3111
[email protected]
Experimentelle Physik II
5. Das freie Elektronengas
5.1
Freie Elektronen
5.2
Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac Statistik
5.3
Spezifische Wärme von Metallelektronen
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Vergleich von klassischem Gas und Metallelektronen
Klassisches Gas mit Teilchendichte n:
jeder Freiheitsgrad nimmt thermische Energie ½kBT auf
3
⇒ Energiedichte u = nk BT
2
!u 3
c
=
= nk B
⇒ spezifische Wärme
!T 2
Dulong-Petit
Metallelektronen (experimentell):
• spez. Wärme ~100-mal kleiner als Dulong-Petit-Wert !
• spez. Wärme ist temperaturabhängig: c ~ T für kleine T !
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Berechnung der spezifischen Wärme
&
#u
#
c=
=
d" "D(" ) f (" , T )
%
#T #T 0
&
= % d" "D(" )
0
#
f (" , T )
#T
&
$ D( E F ) % d" "
0
#
f (" , T )
#T
M
!2
=
D( E F )k B2T
3
also:
c = !T
mit Sommerfeld-Koeffizient
! 2 k B2
"=
D( EF )
3
d.h. spez. Wärme hängt nur von D(EF) ab !!
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Fermi-Dirac-Verteilung und ihre Ableitungen
)
) ! # EF & &
f (! , T ) = '1 + exp'
$$
( kT % %
(
#1
df
1
) ! # EF & )
) ! # EF & &
= # exp'
$ " '1 + exp'
$$
d!
kT
kT
kT
(
% (
(
%%
df ! # E F
) ! # EF
=
exp
'
dT
( kT
kT 2
#2
& )
) ! # EF & &
"
1
+
exp
$ '
'
$$
% (
( kT % %
#2
=#
! # E F df
"
T
d!
f, df/dE, df/dT
1
0
-1
0.0
f(E,T)
df/dE x 0.04
df/dT x 4
0.5
1.0
E/EF
Rechnung für kT = 0.01EF
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
!
= EF
!T
Berechnung der spezifischen Wärme
'
c=
#u
#
=
d" "D(" ) f (" , T )
#T #T &0
'
+#
" d$ D($ ) f ($ , T ) = EF
0
'
#
#
= & d" "D(" )
f (" , T ) + & d" EF D(" )
f (" , T )
#
T
#
T
0
0
'
= & d" (" $ EF ) D(" )
0
'
#
f (" , T )
#T
#
% D( EF ) & d" (" $ EF )
f (" , T )
#
T
0
f, df/dE, df/dT
1
M
f(E,T)
df/dE x 0.04
df/dT x 4
-1
0.0
2
!
D( EF )k B2T
3
also:
0.5
1.0
E/EF
=
c = !T
0
mit Sommerfeld-Koeffizient
! 2 k B2
"=
D( EF )
3
d.h. spez. Wärme hängt nur von D(EF) ab !!
!
n=0
!T
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Einfache Abschätzung
temperaturabh. Anteil der Energiedichte:
u (T ) =
3k T
2 B
!
mittlere therm.
Energie eines
Elektrons
3k T
2 B
! D( E F ) = 94 k B2T 2 D( E F )
Anteil der
Elektronen, die
unter Beachtung
des PauliPrinzips übrhaupt
nur angeregt
werden können
!u 9
"c=
= 2 D( E F )k B2T
!T
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Vergleich mit Dulong-Petit
Zustandsdichte: D ( E F )
=
3 n
2 k BTF
⇒ spez. Wärme:
2
'T
(2
(
c=
D( E F )k B2T =
nk B %%
3
2
& TF
$ (2' T
"" =
%%
# 3 & TF
T << TF für Metalle !!
$
""cDulong ! Petit
#
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Experimentelle Überprüfung
im Experiment misst man die Summe der spezifischen Wärmen von
Elektronen und Gitter:
cexp = cel + cGitter
= "T + !T 3
Gitterbeitrag für Metalle T <<θDebye (FK-Physik Ia)
also:
cexp
T
= " + !T 2
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte
! 2 k B2
"=
D( EF )
3
Sommerfeld-Koeffizienten
einfacher Metalle
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte
! 2 k B2
"=
D( EF )
3
Sommerfeld-Koeffizienten
einfacher Metalle
Zustandsdichte von Ni und Cu
5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen
Sommerfeld-Koeffizient und "effektive Masse"
Sommerfeld-Koeffizient ist proportional zur Masse der Ladungsträger:
! 2 k B2
( kB %
"=
D( EF ) = m ) & #
3
' h $
Man findet häufig:
! exp > ! 0
2
3
3! 2 n
bzw.
m* > m0
"Massenrenormierung"
Ursachen: - WW mit dem periodischen Kristallgitter
- Elektron-Phonon-Wechselwirkung
- Elektron-Elektron-Wechselwirkung
Es gibt Materialien, in denen die "effektive" Masse,
die aus dem Sommerfeld-Koeffizient bestimmt wird,
einer bis zu 1000fachen Elektronenmasse
entspricht:
"SCHWERE-FERMIONEN-SYSTEME"
z.B. CeCu2Si2, CeAl3, UBe13
Experimentelle Physik II
6. Metallelektronen in äußeren Feldern
(Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell)
6.1
Elektrische Leitfähigkeit
6.2
Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt
6.3
Thermische Letfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz
6.4
Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells
Experimentelle Physik II
6. Metallelektronen in äußeren Feldern
(Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell)
6.1
Elektrische Leitfähigkeit
6.2
Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt
6.3
Thermische Letfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz
6.4
Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Effekt eines elektrischen Felds im k-Raum
r
E
kx
besetzte Zustände
("Fermi-Kugel")
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Dissipative Streuprozesse
Fermikugel wird nicht beliebig weit verschoben (d.h. Elektronen nicht
unbegrenzt beschleunigt), da die Elektronen dissipative Streuprozesse
erleiden.
Elektronen erleiden Stöße an:
(1) statischen Gitterfehlern* (Fremdatome, Leerstellen, Leerstellen, Defekte)
(2) dynamischen Gitterfehlern* (Phononen)
(3) anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung)
____________________________________________
*für Kristallelektronen stellen Atome auf idealen Gitterplätzen keine Streuzentren dar !
(Begründung: Kapitel 6)
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Streuung an statischen Gitterfehlern
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Streuung an dynamischen Gitterfehlern (Phononen)
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Streuung an anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung)
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Streurate τ-1
phänomenologische Beschreibung der Streuprozesse:
Elektronen erleiden im Mittel alle τ Sekunden einen dissipativen Stoß
#
v r
r
r
k " k0
d
e
k =" E"
dt
h
!
im stationären Gleichgewicht gilt:
r r r
e r
"k = k # k0 = # E!
h
d.h. die gesamte Fermi-Kugel wird im k-Raum um δk konstant verschoben.
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Stationäre Verschiebung der Fermi-Kugel
r
E
kx
r
e r
"k = # E!
h
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Stromdichte im elektrischen Feld
Leitungselektronendichte n
Ladung q = -e
r
r
& h)k #
'e r #
&
⇒ Stromdichte j = nqv = n( 'e)$$
!! = n('e)$
E( !
m
m
%
"
%
"
d.h.
r
r
j = !E
Ohm´sches Gesetz
ne 2!
mit der spezifischen Leitfähigkeit: " =
m
bzw. spezifischer Widerstand:
# ="
$1
=
m
ne 2!
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Spezifischer Widerstand verschiedener Metalle
Metall
ρ [µΩcm] bei
295 K
Cu
1.70
Ag
1.61
Au
2.20
Al
2.74
Na
4.75
Fe
9.8
Ni
7.0
Ti
43.1
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
spez. Widerstand " (T ) =
m
ne 2!
(1) Defektstreuung:
(2) Streuung an Phononen:
(3) Elektron-Elektron-Streuung:
1
1
1
1
=
+
+
! ! imp ! ph ! ee
mit
1
" imp
1
# ph
1
" ee
"MatthiessenRegel"
! nimp = const d.h. T-unabhängig
"T
T > ! Debye
"T5
T << ! Debye
! T 2 (Pauli-Prinzip)
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
spez. Widerstand " (T ) =
m
ne 2!
mit
1
1
1
1
=
+
+
! ! imp ! ph ! ee
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
spez. Widerstand " (T ) =
Restwiderstand
#0 !
1
" imp
! nimp
m
ne 2!
mit
1
1
1
1
=
+
+
! ! imp ! ph ! ee
Tiefe Temperaturen
" (T ) # " 0+ AT 2 + !T 5
1
1
! ee
! ph
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
Anwendung der T-Abhängigkeit:
Pt100-Widerstand als Temperatursensor
6.1 Elektrische Leitfähigkeit
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
Beispiel: CeAl3 "Schweres Fermionen-System"
Tiefste Temperaturen
" (T ) ! " 0+ AT 2
Restwiderstand
#0 !
1
" imp
! nimp
1
! ee