Koeffizient
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Experimentelle Physik II Sommersemester 08 Vladimir Dyakonov (Lehrstuhl Experimentelle Physik VI) VL#15 04-06-2008 Tel. 0931/888 3111 [email protected] Experimentelle Physik II 5. Das freie Elektronengas 5.1 Freie Elektronen 5.2 Pauli-Prinzip und Fermi-Dirac Statistik 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Vergleich von klassischem Gas und Metallelektronen Klassisches Gas mit Teilchendichte n: jeder Freiheitsgrad nimmt thermische Energie ½kBT auf 3 ⇒ Energiedichte u = nk BT 2 !u 3 c = = nk B ⇒ spezifische Wärme !T 2 Dulong-Petit Metallelektronen (experimentell): • spez. Wärme ~100-mal kleiner als Dulong-Petit-Wert ! • spez. Wärme ist temperaturabhängig: c ~ T für kleine T ! 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Berechnung der spezifischen Wärme & #u # c= = d" "D(" ) f (" , T ) % #T #T 0 & = % d" "D(" ) 0 # f (" , T ) #T & $ D( E F ) % d" " 0 # f (" , T ) #T M !2 = D( E F )k B2T 3 also: c = !T mit Sommerfeld-Koeffizient ! 2 k B2 "= D( EF ) 3 d.h. spez. Wärme hängt nur von D(EF) ab !! 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Fermi-Dirac-Verteilung und ihre Ableitungen ) ) ! # EF & & f (! , T ) = '1 + exp' $$ ( kT % % ( #1 df 1 ) ! # EF & ) ) ! # EF & & = # exp' $ " '1 + exp' $$ d! kT kT kT ( % ( ( %% df ! # E F ) ! # EF = exp ' dT ( kT kT 2 #2 & ) ) ! # EF & & " 1 + exp $ ' ' $$ % ( ( kT % % #2 =# ! # E F df " T d! f, df/dE, df/dT 1 0 -1 0.0 f(E,T) df/dE x 0.04 df/dT x 4 0.5 1.0 E/EF Rechnung für kT = 0.01EF 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen ! = EF !T Berechnung der spezifischen Wärme ' c= #u # = d" "D(" ) f (" , T ) #T #T &0 ' +# " d$ D($ ) f ($ , T ) = EF 0 ' # # = & d" "D(" ) f (" , T ) + & d" EF D(" ) f (" , T ) # T # T 0 0 ' = & d" (" $ EF ) D(" ) 0 ' # f (" , T ) #T # % D( EF ) & d" (" $ EF ) f (" , T ) # T 0 f, df/dE, df/dT 1 M f(E,T) df/dE x 0.04 df/dT x 4 -1 0.0 2 ! D( EF )k B2T 3 also: 0.5 1.0 E/EF = c = !T 0 mit Sommerfeld-Koeffizient ! 2 k B2 "= D( EF ) 3 d.h. spez. Wärme hängt nur von D(EF) ab !! ! n=0 !T 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Einfache Abschätzung temperaturabh. Anteil der Energiedichte: u (T ) = 3k T 2 B ! mittlere therm. Energie eines Elektrons 3k T 2 B ! D( E F ) = 94 k B2T 2 D( E F ) Anteil der Elektronen, die unter Beachtung des PauliPrinzips übrhaupt nur angeregt werden können !u 9 "c= = 2 D( E F )k B2T !T 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Vergleich mit Dulong-Petit Zustandsdichte: D ( E F ) = 3 n 2 k BTF ⇒ spez. Wärme: 2 'T (2 ( c= D( E F )k B2T = nk B %% 3 2 & TF $ (2' T "" = %% # 3 & TF T << TF für Metalle !! $ ""cDulong ! Petit # 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Experimentelle Überprüfung im Experiment misst man die Summe der spezifischen Wärmen von Elektronen und Gitter: cexp = cel + cGitter = "T + !T 3 Gitterbeitrag für Metalle T <<θDebye (FK-Physik Ia) also: cexp T = " + !T 2 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte ! 2 k B2 "= D( EF ) 3 Sommerfeld-Koeffizienten einfacher Metalle 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und Zustandsdichte ! 2 k B2 "= D( EF ) 3 Sommerfeld-Koeffizienten einfacher Metalle Zustandsdichte von Ni und Cu 5.3 Spezifische Wärme von Metallelektronen Sommerfeld-Koeffizient und "effektive Masse" Sommerfeld-Koeffizient ist proportional zur Masse der Ladungsträger: ! 2 k B2 ( kB % "= D( EF ) = m ) & # 3 ' h $ Man findet häufig: ! exp > ! 0 2 3 3! 2 n bzw. m* > m0 "Massenrenormierung" Ursachen: - WW mit dem periodischen Kristallgitter - Elektron-Phonon-Wechselwirkung - Elektron-Elektron-Wechselwirkung Es gibt Materialien, in denen die "effektive" Masse, die aus dem Sommerfeld-Koeffizient bestimmt wird, einer bis zu 1000fachen Elektronenmasse entspricht: "SCHWERE-FERMIONEN-SYSTEME" z.B. CeCu2Si2, CeAl3, UBe13 Experimentelle Physik II 6. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit 6.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 6.3 Thermische Letfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 6.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells Experimentelle Physik II 6. Metallelektronen in äußeren Feldern (Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modell) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit 6.2 Elektronen im Magnetfeld: Hall-Effekt 6.3 Thermische Letfähigkeit: Wiedemann-Franz-Gesetz 6.4 Grenzen des Drude-Sommerfeld-Lorenz-Modells 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Effekt eines elektrischen Felds im k-Raum r E kx besetzte Zustände ("Fermi-Kugel") 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Dissipative Streuprozesse Fermikugel wird nicht beliebig weit verschoben (d.h. Elektronen nicht unbegrenzt beschleunigt), da die Elektronen dissipative Streuprozesse erleiden. Elektronen erleiden Stöße an: (1) statischen Gitterfehlern* (Fremdatome, Leerstellen, Leerstellen, Defekte) (2) dynamischen Gitterfehlern* (Phononen) (3) anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung) ____________________________________________ *für Kristallelektronen stellen Atome auf idealen Gitterplätzen keine Streuzentren dar ! (Begründung: Kapitel 6) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Streuung an statischen Gitterfehlern 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Streuung an dynamischen Gitterfehlern (Phononen) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Streuung an anderen Elektronen (Coulomb-Wechselwirkung) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Streurate τ-1 phänomenologische Beschreibung der Streuprozesse: Elektronen erleiden im Mittel alle τ Sekunden einen dissipativen Stoß # v r r r k " k0 d e k =" E" dt h ! im stationären Gleichgewicht gilt: r r r e r "k = k # k0 = # E! h d.h. die gesamte Fermi-Kugel wird im k-Raum um δk konstant verschoben. 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Stationäre Verschiebung der Fermi-Kugel r E kx r e r "k = # E! h 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Stromdichte im elektrischen Feld Leitungselektronendichte n Ladung q = -e r r & h)k # 'e r # & ⇒ Stromdichte j = nqv = n( 'e)$$ !! = n('e)$ E( ! m m % " % " d.h. r r j = !E Ohm´sches Gesetz ne 2! mit der spezifischen Leitfähigkeit: " = m bzw. spezifischer Widerstand: # =" $1 = m ne 2! 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Spezifischer Widerstand verschiedener Metalle Metall ρ [µΩcm] bei 295 K Cu 1.70 Ag 1.61 Au 2.20 Al 2.74 Na 4.75 Fe 9.8 Ni 7.0 Ti 43.1 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand " (T ) = m ne 2! (1) Defektstreuung: (2) Streuung an Phononen: (3) Elektron-Elektron-Streuung: 1 1 1 1 = + + ! ! imp ! ph ! ee mit 1 " imp 1 # ph 1 " ee "MatthiessenRegel" ! nimp = const d.h. T-unabhängig "T T > ! Debye "T5 T << ! Debye ! T 2 (Pauli-Prinzip) 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand " (T ) = m ne 2! mit 1 1 1 1 = + + ! ! imp ! ph ! ee 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands spez. Widerstand " (T ) = Restwiderstand #0 ! 1 " imp ! nimp m ne 2! mit 1 1 1 1 = + + ! ! imp ! ph ! ee Tiefe Temperaturen " (T ) # " 0+ AT 2 + !T 5 1 1 ! ee ! ph 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands Anwendung der T-Abhängigkeit: Pt100-Widerstand als Temperatursensor 6.1 Elektrische Leitfähigkeit Temperaturabhängigkeit des Widerstands Beispiel: CeAl3 "Schweres Fermionen-System" Tiefste Temperaturen " (T ) ! " 0+ AT 2 Restwiderstand #0 ! 1 " imp ! nimp 1 ! ee
