Widerstandsmessung

Versuch 1
Widerstandsmessung
Daniela Schöttler und Franziska Hellmuth
9. November 2004
1
Brückenschaltungen
Wheatstone-Brücke/Widerstand
Aufgabe: Bestimmen Sie mit der Wheatstone-Brücke die Größe eines Widerstandes und
den Klemmwiderstand eines Netzwerkes.
Durchführung:
Geräte:
• Gleichspannungsquelle
• Galvanometer
• Multimeter
• Widerstandsdekade (mit Fehler:
ur
R
= 0.01)
• Schleifdraht(Länge l = 1m)
• unbekannter Widerstand (Rx )
• Widerstandswürfel mit jeweils R = 10 Ω als Kante
Um die Widerstände zu bestimmen, wird eine Wheatstone-Brücke aufgebaut(siehe Abb(1)).
Die Wiederstände R1 und R2 sind variabel, was über einen Schleifdraht (l = 1m) umgesetzt wird. Dieser Schleifdraht hat einen Gesamtwiderstand Rs , der mittels eines Ohmmeters bestimmt wurde (Rs = 8.64Ω). Dieser wird mittels eines Spannungsabnehmers in
zwei Widerstände R1 und R2 aufgeteilt, die sich dann zum Gesamtwiderstand Rs addieren. Vor Beginn der Messungen ist zunächst die Speisespannung so zu wählen, dass die
Widerstände nicht überlastet werden. Die Brücke sollte maximal eine Leistung von 2W
aufnehmen.
√
√
Umax = P · Rs = 2W · 8.64Ω = 4.16V .
Wir haben eine Speisespannung von 2V gewählt. Der Spannungsabgreifer wird so eingestellt, dass das Galvanometer (Nullinstrument) keinen Ausschlag mehr anzeigt. Dann wird
1
das Verhältnis l1 zu l2 = l −l1 bestimmt. Daraus lässt sich das Verhältnis der Widerstände
R1 und R2 ermitteln. Im Falle eines Abgleichs gilt:
R1
Rb
l1
Rb · l2
=
= =⇒ Rx =
R2
Rx
l2
l1
(1)
Weiterhin haben wir Rb mit Rx getauscht und die Messung wiederholt, um Inhomogenitäten des Drahtes herauszumitteln. Unabhängig davon haben wir den Widerstand Rx
mit einem Multimeter gemessen.
RX
RB
L2
L1
Abbildung 1: Dies ist unser Schaltplan für Aufgabe 1
l1 in cm
51.65
51.5
51.5
51.45
51.65
l2 in cm (berechnet)
48.35
48.5
48.5
48.55
48.35
R1 inΩ (berechnet)
4.46
4.45
4.45
4.45
4.46
R2 inΩ(berechnet)
4.18
4.19
4.19
4.19
4.18
Rx inΩ(berechnet)
53.41
53.09
53.09
52.99
53.41
Tabelle 1: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Widerstand Widerstände wie in
Zeichnung
l2 in cm (berechnet)
51.2
51.22
51.29
51.3
51.275
l1 in cm
48.8
48.78
48.71
48.7
48.735
R2 inΩ (berechnet)
4.424
4.425
4.432
4.432
4.430
R1 inΩ(berechnet)
4.216
4.215
4.209
4.208
4.211
Rx inΩ(berechnet)
52.46
52.50
52.65
52.67
52.61
Tabelle 2: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Widerstand Widerstände getauscht
2
Fehlerrechnung
Der Mittelwert der berechneten Widerstände Rx ergibt:
P10
Rx =
Rxi
= 52.89Ω
10
i=1
Die Standardabweichung SRx :
v
u
u
SRx = t
10
1 X
(Ri − Rxi )2 = 0.358Ω
n − 1 i=1
Die Standardabweichung vom Mittelwert SRx ergibt:
S
SRx = √Rx = 0.113Ω
10
Der zufällige Fehler uRx ergibt sich somit:
uRx = τ · SRx = 2.262 · 0.1131Ω = 0.26Ω
uR x
beträgt 0.0048 = 0.5%
Rx
Der Fehler des Holzlineals lässt sich wie folgt berechnen:
Der relative Fehler
ul = 4ls +4lz = ±0.5mm+a∗10−3 +0.5mm = ±0.5mm+558.25mm·10−3 +0.5mm = 1.56mm
ul
wobei a die größte gemessene Länge ist.
= 0.003 = 0.3%
l
uR B
Der Fehler der Widerstandsdekade ist gegeben mit:
= 0.01 = 1%
RB
Daraus ergibt sich für den Gesamtfehler
u
uR x
uR
ul
= Rx + B +
= 0.5% + 1% + 0.3% = 1.8%
Rx
RB
l
Rx
Ergebnis:
Rx = (52.9 ± 0.9)Ω = 52.9(1 ± 1.8%)Ω
Der mit dem Ohmmeter gemessene Widerstand beträgt Rx = 53.64Ω. Ein Vergleich mit
unserem berechneten Wert ergibt, dass die Diskrepanz insignifikant ist.
3
Wheatstonebrücke/Klemmwiderstand
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
Abbildung 2: Ersatzschaltbild für einen Würfel
Nun soll der Widerstand eines Netzwerkes, hier der resultierende Widerstand der
Raumdiagonale eines Würfels, bei dem jede Kante durch einen Widerstand von 10Ω gegeben ist, bestimmt werden. Das Netzwerk kann durch ein Ersatzschaltbild dargestellt
werden.(siehe Abb.(2)) Der Würfel besteht also aus drei Widerständen, die in Reihe geschaltet sind. Diese wiederum bestehen aus parallel geschalteten Widertständen. Auf den
Kanten befindet sich jeweils ein 10Ω Widerstand. Der Widerstand des Würfels lässt sich
wie folgend berechnen:
Rges = R1 + R2 + R3 =
R R R
5R
50
+ + =
= Ω = 8.33Ω
3
6
3
6
6
Wir haben die Dekade mit dem Netzwerkwiderstand getauscht und die Messung wiederholt, um Ungenauigkeiten in der Beschaffenheit des Drahtes herauszumitteln. Unabhängig
davon wurde der Widerstand mit einem Multimeter gemessen.
l1 in cm
44.225
44.2
44.19
44.2
44.175
l2 in cm (berechnet)
55.775
55.8
55.81
55.8
55.825
R1 inΩ (berechnet)
3.821
3.819
3.818
3.819
3.817
R2 inΩ(berechnet)
4.819
4.821
4.82
4.821
4.823
Rx inΩ(berechnet)
7.9292
7.9211
7.9179
7.9211
7.9131
Tabelle 3: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Klemmwiderstand Widerstände
wie in Zeichnung
l2 in cm (berechnet)
44.525
44.50
44.51
44.52
44.50
l1 in cm
55.475
55.50
55.49
55.48
55.50
R2 inΩ (berechnet)
3.847
3.845
3.846
3.847
3.845
R1 inΩ(berechnet)
4.79
4.795
4.794
4.794
4.795
Rx inΩ(berechnet)
8.026
8.018
8.021
8.025
8.018
Tabelle 4: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Klemmwiderstand Widerstände
vertauscht
4
Fehlerrechnung
Die Fehlerrechnung erfolgt analog zu Aufgabe 1.1a.
Mittelwert: Rx = 7.971Ω
Standardabweichung: SRx = 0.0536Ω
Standardabweichung vom Mittelwert: SRx = 0.0170Ω
Der absolute Fehler uRx = 0.04Ω
Der relative Fehler
uR
x
Rx
= 0.5%
Fehler des Holzlineals beträgt:
ul
l
= 0.003 = 0.3%
Der Fehler der Widerstandsdekade ist gegeben mit:
uRB
RB
= 0.01 = 1%
Daraus ergibt sich für den Gesamtfehler
u
uR x
uR
ul
= Rx + B +
= 0.5% + 1% + 0.3% = 1.8%
Rx
RB
l
Rx
Ergebnis:
Rx = (7.97 ± 0.14)Ω = 7.97(1 ± 1.8%)Ω
Der mit dem Ohmmeter gemessene Widerstand beträgt Rx = 8.20Ω. Ein Vergleich mit
unserem berechneten Wert ergibt, dass die Diskrepanz signifikant ist. Das Einzige was
wir hier im Vergleich zum vorigen Versuch anderst gemacht haben ist, das Verhältniss der
Widerstände. Wir vermuten somit, dass dies der Grund für die Signifikanz ist.
Wechselstrombrücke
Aufgabe: Ermitteln Sie mit einer Wechselstrombrücke die Kapazität eines Kondensators.
Durchführung:
Geräte:
• Wechselstromquelle
• Oszillograph
• Multimeter
• Kapazitätsdekade (mit Fehler:
uc
C
= 0.01)
• Schleifdraht (Länge l = 1m)
• Kondensator unbkannter Kapazität (Cx )
5
CB
CX
L2
L1
Abbildung 3: Dies ist unser Schaltplan für Aufgabe 1.2
Da Kondensatoren sich im Wechselstromkreis wie Widerstände verhalten, kann zum Bestimmen der Kapazität hier dieselbe Schaltung benutzt werden, nur das statt des Galvanometers ein Oszillograph und statt einer Widerstandsdekade eine Kondensatordekade
benutzt wird. Die Messung wird wie Aufgabe 1.1 analog durchgeführt. Auch hier werden
in den Messungen die Kondensatoren getauscht, um Inhomogenitäten des Drahtes auszugleichen. Messwerte siehe Tabelle(5)und Tabelle(6). Die allgemeine Abgleichbedingung
l1 in cm
52.78
52.65
52.71
52.2
52.5
l2 in cm (berechnet)
47.22
47.35
47.29
47.8
47.5
R1 inΩ (berechnet)
4.5602
4.549
4.5541
4.5101
4.536
R2 inΩ(berechnet)
4.0798
4.091
4.0859
4.1299
4.104
Cx inΩ(berechnet)
1.1177e-008
1.1119e-008
1.1146e-008
1.0921e-008
1.1053e-008
Tabelle 5: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Kondensator wie in Zeichnung
l2 in cm (berechnet)
47.5
47.575
47.45
47.51
47.59
l1 in cm
52.5
52.425
52.55
52.49
52.41
R2 inΩ (berechnet)
4.104
4.1105
4.0997
4.1049
4.1118
R1 inΩ(berechnet)
4.536
4.5295
4.5403
4.5351
4.5282
Cx inΩ(berechnet)
9.0476e-009
9.0749e-009
9.0295e-009
9.0512e-009
9.0803e-009
Tabelle 6: Messwerte von Aufgabe 1 Wheatstonebrücke/Kondensator Kondensatoren vertauscht
für Brückenschaltungen lautet (siehe auch Praktikumsheft):
Z1
Z3
=
Z2
Z4
6
Z3 und Z4 sind hier die Kondensatoren. Der Widerstand eines Kondensators ist
χC =
R1
=
R2
i
ωL
i
ωCb
i
ωCx
daraus ergibt sich für Cx :
Cx =
=
Cx
Cb
R1 ∗ C b
R2
(2)
Fehlerrechnung
Auch hier erfolgt die Fehlerrechnung analog zum 1. Aufgabenteil.
Mittelwert von Cx = 1.007 ∗ 10−8 F
Standardabweichung SCx = 1.0703 ∗ 10−9 F
Standardabweichung vom Mittelwert SCx = 3.384 ∗ 10−10 F
Der absolute Fehler uCx = 7.656 ∗ 10−10 F
Der relative Fehler
uC
x
Cx
Fehler des Holzlineals:
= 0.076 = 7.6%
ul
l
= 0.003 = 0.3%
Der Fehler der Kondensatordekade ist gegeben mit:
uRB
RB
= 0.01 = 1%
Daraus ergibt sich für den Gesamtfehler
u
uC x
uR
ul
= Cx + B +
= 7.6% + 1% + 0.3% = 8.9%
Cx
RB
l
Cx
Ergebnis:
Cx = (10.1 ± 0.9)nF = 10.1(1 ± 8.9%)nF
Die Kapazität des Kondensators beträgt Cx = 10nF . Ein Vergleich mit dem vom Kondensator abgelesenen Wert(Cx = 10nF ) ergibt, dass die Diskrepanz insignifikant ist.
2
Kondensatorentladung
Isolationswidterstände von versch. Materialien
Aufgabe: Bestimmen Sie den Isolationswiderstand von mindestens 3 Materialien indem
Sie die Funktion U = U (U0 , R, C, t) aufnehmen, aufzeichnen und auswerten.
Durchführung:
7
Mittels eines Spannungsverdreifachers wird ein Kondensator (C = 970 nF ± 3%) auf
1000V aufgeladen. Danach wird er über einen Widerstand entladen, wobei die Entladekurve aufgenommen wird. Den Entladewiderstand stellt ein Probehalter mit verschiedenen
Materialien gefüllt dar.
Theorie:
Die Kapazität, genau wie die Ausgangsspannung, ist bei allen Messungen konstant, nur
jeweils der Widerstand ändert sich, abhängig von der eingelegten Probe. Ist der Wiederstand der Probe sehr hoch, so wird die Zeitkonstante größer werden, was letztlich einen
langsameren Abfall der Entladekurve zur Folge hat. Ist der Widerstand klein, wird die
Entladekurve schneller und steiler abfallen, in allen Fällen ist aber eine Expotentialfunktion zu erwarten.
Isolationswiderstand der Messeinrichtung
Aufgabe: Ermitteln Sie den Einfluß des endlichen Isolationswiderstandes Ihrer Messeinrichtung auf die Resultate von 2.1, indem Sie die Entladekurve über Luft aufnehmen.
t in s
0
15.8
37.5
59
69
82
94
106
120
137
150
167
184
203
221
241
262
288
310
337
364
397
465
552
650
806
990
U in V
1000
950
900
850
825
800
775
750
725
700
675
650
625
600
575
550
525
500
475
450
425
400
350
300
250
200
150
ln U
6.9078
6.8565
6.8024
6.7452
6.7154
6.6846
6.6529
6.6201
6.5862
6.5511
6.5147
6.477
6.4378
6.3969
6.3544
6.3099
6.2634
6.2146
6.1633
6.1092
6.0521
5.9915
5.8579
5.7038
5.5215
5.2983
5.0106
Tabelle 7: Messwerte von Aufgabe 2 Kondensatorentladung mit Linoleum
Mittels linearer Regression, kann man den Widerstand der einzelnen Proben bestimmen:
t
U = U0 · e− R∗C
ln(U ) = ln(U0 ) −
8
1
∗t
R·C
Entladukurven
1000
900
800
Spannung in Volt
700
600
500
400
ungewaschener Stoff
gewaschener Stoff
Luft
Linoleum
300
200
100
0
1000
2000
3000
Zeit in Sekunden
4000
5000
6000
Abbildung 4: Dies sind die Entladekurven für alle Stoffe
Entladukurven
1000
ungewaschener Stoff
gewaschener Stoff
Linoleum
900
800
Spannung in Volt
700
600
500
400
300
200
100
0
100
200
300
400
500
600
Zeit in Sekunden
700
800
900
1000
Abbildung 5: Dies sind die Entladekurven für alle Materialien außer Luft
9
t in s
0
148
508
869
1091
1289
1502
1698
1932
2231
2388
2600
2850
3050
3303
3520
3818
4088
4441
4750
5078
5372
U in V
1000
990
970
950
940
930
920
910
900
890
880
870
860
850
840
830
820
810
800
790
780
770
ln U in V
6.91
6.90
6.88
6.86
6.85
6.84
6.82
6.81
6.80
6.79
6.78
6.77
6.76
6.75
6.73
6.72
6.71
6.70
6.68
6.67
6.66
6.65
Tabelle 8: Messwerte von Aufgabe 2 Kondensatorentladung mit Luft
t in s
11
17
23
30
38
45
56
65
79
94
110
155
184
U in V
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
300
250
ln U in V
6.802
6.745
6.685
6.620
6.551
6.477
6.397
6.310
6.215
6.109
5.992
5.704
5.522
Tabelle 9: Messwerte von Aufgabe 2 Kondensatorentladung mit ungewaschenem Stoff
Trägt man nun ln(U) gegen die Zeit auf, kann man aus dem Anstieg die Zeitkonstante
und damit (die Kapazität ist gegeben) den Widerstand ermitteln.
Mittels linearer Regression erhält man für die Isolationsiderstände:
R=−
1
a·C
wobei a der Anstieg und aLuf t der Anstieg der Regressionsgerade von Luft ist.
Bei sehr niedrigen Isolationswiderständen spielt der Widerstand von Luft keine Rolle, da
sich der Kondensator dann fast ausschließlich über den kleineren Widerstand entlädt. In
unserem Falle liegt nur der Widerstand von Linoleum in der Größenordnung der Luft. Der
Widerstand von Luft ist parallel geschaltet. Hier wird dann der Widerstand wie folgend
berechnet:
1
1
1
=
+
R
RLuf t RM
10
t in s
8
17
27
37
48
59
72
87
102
121
141
166
193
228
266
327
U in V
950
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
350
300
250
200
ln U in V
6.857
6.802
6.745
6.685
6.620
6.551
6.477
6.397
6.310
6.215
6.109
5.992
5.858
5.704
5.522
5.298
Tabelle 10: Messwerte von Aufgabe 2 Kondensatorentladung mit gewaschenem Stoff
wobei R der aus der Regression berechnete Wert und RM der Widerstand des Materials,
dass zwischen den Platten liegt, ist.
1
1
1
= −
= a · C − aLuf t · C
RM
R RLuf t
RM =
1
a · C − aLuf t · C
Für das Linoleum ergibt sich dann:
RLin =
(1.95 ·
10−3
1
Ω = 5.42 · 108 Ω
−5
−9
− 4.87 · 10 ) · 907 · 10
Der Fehler lässt sich wie folgt berechnen:
uR
ua uC
=
+
R
a
C
uC
wobei C gegeben ist mit 3% und der Fehler des Anstiegs kann aus der Linearen Regression entnommen werden.
2.0.1
Ergebnisse
Luft:
R = (21.3 ± 1.27)GΩ = 21.3(1 ± 6.0%)GΩ
Linoleum:
R = (0.42 ± 0.04)GΩ = 0.422(1 ± 7.29%)
ungewaschener Stoff:
R = (139, 2 ± 11, 69)M Ω = 139.2(1 ± 8.4%)M Ω
gewaschener Stoff:
R = (206, 3 ± 14, 56)M Ω = 206.3(1 ± 7.06%)M Ω
Zu erkennen ist, dass Luft, im Gegensatz zu den anderen Materialien, einen äußerst hohen
11
Isolationswiderstand besitzt. Eine Entladung über Luft findet demnach nur sehr langsam
statt.Der Isolator mit dem größten Widerstand ist Linoleum. Ungewaschener Stoff hat
einen deutlich geringeren Widerstand als gewaschener, was daran liegen kann, dass zwischen den Fasern z.B Fett- oder Schweißreste als Ladungsträger und damit als leitendes
Medium fungieren. Zudem hat der gewaschene Stoff viel Luft zwischen den Fasern.
12