Lösung Blatt 4

Prof. Dr. Norbert Hampp Daniel Kehrlößer Sommersemester 2009 05.05.2009 Übung zur Vorlesung PC‐I „Chemische Thermodynamik“ B.Sc. Blatt 4 1. Ein zur Hälfte gefülltes zylindrisches Wasserglas (h=10 cm, Ø=7 cm) wird aus einem Kühlschrank dessen Temperatur 4 °C beträgt entnommen und auf Raumtemperatur erwärmt. Wie verändert sich der Wasserpegel im Glas. (Vernachlässigen sie das Wasser beim Erwärmen verdampft.) Es wird angenommen das es bis zum Jahr 2100 zu einem globalen Temperaturanstieg von 2 °C kommt, wie steigt bis zu diesem Zeitpunkt der Meeresspiegel? (Volumen der Weltmeere: 1,37∙109 km3, Fläche der Weltmeere: 3,61∙108 km2; Vernachlässigen sie eine Veränderung der Meeresoberfläche) Der Expansionskoeffizient ist: 1 ⎛ ∂V ⎞
∆V
α= ⎜ ⎟ ≈
V ⎝ ∂T ⎠ p V ∆T ∆V ≈ α ⋅ V ⋅ ∆T
Der Expansionskoeffizient von Wasser ist 2,1∙10‐4∙K‐1 Das Volumen an Wasser im Glas ergibt sich aus: V = π r 2h
V = π ⋅ 3,52 cm2 ⋅ 10cm V = 109,96cm3
∆V ≈ 2,1 ⋅ 10 −4 K −1 ⋅ 109,96cm3 ⋅ 21K
∆V ≈ 0,485cm3
Die Pegeländerung ergibt sich aus: ∆h =
∆V
∆V 0,485cm3
=
=
= 0,441mm A π ⋅ r 2 π ⋅ 3,5cm
Global gesehen ergibt sich für den Anstieg des Meeresspiegels ein Wert von 1,6m. 2. Ein Mol eines einatomigen idealen Gases wird bei konstantem Volumen von T1 = 25 °C auf T2 = 100 °C erhitzt. Der Anfangsdruck p1 beträgt 1 bar. Berechnen Sie a) den Enddruck p2. b) die Änderung der Inneren Energie. c) die dem System zugeführte Wärmemenge. d) die vom System geleistete Arbeit. Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der Übungsgruppen! Seite 1 von 4 Prof. Dr. Norbert Hampp Daniel Kehrlößer Sommersemester 2009 05.05.2009 Für ein ideales einatomiges Gas gilt CV,molar = 3/2∙R. Allgemein gilt für die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen idealer Gase CV,molar = F/2∙R, wobei F die Zahl der Freiheitsgrade ist. Ein einatomiges ideales Gas hat drei Freiheitsgrade der Translation, daher ist CV,molar = 3/2∙R. Ein zweiatomiges ideales Gas hat bei Raumtemperatur drei Freiheitsgrade der Translation und zwei der Rotation (die Schwingung ist bei Raumtemperatur in der Regel nicht angeregt). Die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen eines zweiatomigen idealen Gases ist also CV,molar = 5/2∙R. Weiterhin kann man für ideale Gase auch leicht die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck Cp,molar erhalten. Für ideale Gase gilt nämlich die einfache Relation Cp,molar = CV,molar + R. a) Aus der Zustandsgleichung für ideale Gase folgt: p nR
=
= const.
T V
daraus ergibt sich:
p1 p2
=
T1 T2
T
298,15K
p2 = 2 p1 =
⋅ 1bar = 1,25bar
373,15K
T1
b) Eine Änderung der Temperatur ruft eine Änderung der Inneren Energie hervor. Der Proportionalitätsfaktor ist die Wärmekapazität bei konstantem Volumen CV. ∆U = nCV ,molar ∆T
3
∆U = 1mol ⋅ ⋅ 8,31447 Jmol −1K −1 ⋅ (373,15K − 298,15K ) 2
∆U = 935 J = 0,935kJ
c) Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt: q = ∆U − w
q = 935 J − 0 = 935 J = 0,935kJ
d) Da das Volumen konstant ist (∆V = 0) ist w = 0 weil gilt: w = − p∆V = 0 3. Ein Mol eines idealen Gases bei 1,00 atm und 273,15 K (Cp,m= 7/2 R) durchläuft folgenden Kreisprozess: a) Erwärmung bei konstantem Volumen bis auf das Doppelte der Anfangstemperatur; b) Reversible, adiabatische Expansion, bis die ursprüngliche Temperatur wieder erreicht ist; c) Reversible, isotherme Kompression bis zum Anfangsdruck von 1,00 atm. Berechnen Sie für den Gesamtprozess und jeden einzelnen Teilschritt q, w, ∆U und ∆H. Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der Übungsgruppen! Seite 2 von 4 Prof. Dr. Norbert Hampp Daniel Kehrlößer Sommersemester 2009 05.05.2009 2
2,0
Druck / atm
1,5
(a)
(b)
1,0
1
0,5
3
(c)
0,0
20
40
60
80
100
120
140
3
Volumen / dm
Das Diagramm zeigt den vollständigen Kreisprozess. Die Ausgangstemperatur beträgt 273,15 K a) Wegen des konstanten Volumens ist w = 0. Somit können wir zunächst ∆U berechnen, da ∆T bekannt ist (∆T = 273,15 K). ∆U = nCV ,molar ∆T ;
7
5
CV ,molar = C p ,molar − R = R − R = R
2
2
5
∆U = 1mol ⋅ ⋅ 8,31447 JK −1mol −1 ⋅ 273,15K = 5,677 ⋅ 103 J = 5,677kJ
2
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ergibt sich: q = ∆U − w = 5,677kJ − 0 = 5,667kJ ∆H = ∆U + ∆(pV ) = ∆U + ∆(nRT ) = ∆U + nR∆T
∆H = 5,667kJ + 1mol ⋅ 8,31447 ⋅ 10−3 kJ ⋅ K −1mol −1 ⋅ 273,15K ∆H = 7,938kJ
b) Für einen adiabatischen Prozess gilt q = 0 Es gilt ∆T(b) = ‐∆T(a) Da die Energie und die Entahlpie eines idealen Gases nur von der Temperatur abhängen gilt: ∆U(b) = −∆U(a) = −5,667kJ
∆H(b) = −∆H(a) = −7,938kJ
Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt: q = ∆U − w ; mit q = 0
w = ∆U
w = −5,667kJ
Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der Übungsgruppen! Seite 3 von 4 Prof. Dr. Norbert Hampp Daniel Kehrlößer Sommersemester 2009 05.05.2009 c) Für einen isothermen Prozess bei einem idealen Gas ist ∆U = ∆H = 0. Aus dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik folgt mit ∆U = 0, q = ‐w. w ergibt sich aus: w = −nRT1 ln
V2 = V1 =
V1
V3
nRT1 1mol ⋅ 0,08206dm3atm ⋅ K −1mol −1 ⋅ 273,15
=
= 22,41dm3
p1
1atm
c
C
⎛T ⎞
V3 = V2 ⎜ 2 ⎟ ; mit: c = v ,molar
R
⎝ T3 ⎠
5
⎛ 2 ⋅ 273,15K ⎞ 2
V3 = 22,41dm ⋅ ⎜
= 126,79dm3
⎟
⎝ 273,15K ⎠
⎛ 22,41dm3 ⎞
−1
−1
w = −1mol ⋅ 8,31447 JK mol ⋅ 273,15K ⋅ ln ⎜
3 ⎟
⎝ 126,79dm ⎠
w = 3,935kJ
q = −3,935kJ
3
4. Eine Dampfmaschine arbeitet mit Dampf von 100 °C, der bei 65 °C wieder abgegeben wird. a) Wie hoch ist ihr maximaler thermodynamischer Wirkungsgrad? b) Berechnen Sie die maximale Arbeit, die man pro 1 kJ zugeführter Wärme gewinnen kann. c) Wie viel Wärme wird pro 1 kJ aus dem warmen Reservoir entnommener Wärme an das kalte Reservoir abgegeben, wenn der Prozess reversibel verläuft? Der thermodynamische Wirkungsgrad wird meist zur Beschreibung von Wärmekraftmaschinen benutzt. Thermische Energie (Wärme) kann nicht vollständig in andere Energieformen (z.B. mechanische Energie) umgewandelt werden. Der thermodynamische Wirkungsgrad gibt an welcher Teil der thermischen Energie umgewandelt werden kann. Die restliche Energie muss als thermische Energie verbleiben. Der Wirkungsgrad einer realen Wärmekraftmaschine ist immer kleiner oder gleich dem der idealen Wärmekraftmaschine. η=
Twarm − Tkalt
T
= 1 − kalt Twarm
Twarm
Wo bei die Wärmebäder, an denen die Wärmekraftmaschine angeschlossen ist, die Temperaturen Twarm und Tkalt haben. a) η = 1 −
338,15K
= 0,094 9,4% 373,15K
b)
wmax = η ⋅ qW = 0,094 ⋅ 1kJ = 0,094kJ c)
wmax = qw − qk ⇒ qk = qw − wmax = 1kJ − 0,094 = 0,906kJ Das Lesen dieses Lösungsblatts ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der Übungsgruppen! Seite 4 von 4