Anfänger-Praktikum I WS 11/12 Praktikumsbericht: Galton

Anfänger-Praktikum I WS 11/12
Michael Seidling
Timo Raab
Enrico Mank
Praktikumsbericht:
Galton-Brett
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I. Theoretische Grundlagen
2
1. Zentraler Grenzwertsatz
2
2. Binomialverteilung
2
3. Normalverteilung
2
4. Vertrauensbereich
4
5. Mittelwert
4
6. Varianz und Standardabweichung
4
II. Versuch
6
1. Durchführung
6
2. Aufbau eines Galton-Bretts
6
3. Wege der Kugeln
7
4. Messungen
9
III. Auswertung
10
IV. Fragen
14
V. Quellenverzeichnis
15
1. Tabellen- und Bilderverzeichnis
15
2. Quellen
15
1
3 NORMALVERTEILUNG
Teil I.
Theoretische Grundlagen
1. Zentraler Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe einer gro§en Zahl (n → ∞) von
unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, bei endlicher Varianz normalverteilt
ist. Da Messergebnisse auch als solche Zufallsvariablen angenommen werden können,
hat das zur Folge, dass eine Messreihe mit vielen Messwerten eine Normalverteilung
aufweist. Das ist auch der Grund für die besondere Bedeutung der Normalverteilung
beim wissenschaftlichen Arbeiten.
2. Binomialverteilung
Die Binomialverteilung beschreibt die Verteilung von unabhängigen Zufallsgrößen, die
jeweils nur zwei mögliche Ergebnisse haben. Solche Zufallsgrößen werden auch BernoulliVariablen genannt. Diese Bedingung ist gerade durch den Versuch des Galton-Bretts gegeben, da die Kugel an einer Wegkreuzung jeweils nur einen von zwei gleichwertigen Wegen nehmen kann. Durch den speziellen Versuchsaufbau sind die Ergebnisse rein zufällig
und unabhängig voneinander. Definiert ist die Funktion Binomialverteilung durch die
Parameter n für die Anzahl der Versuche, k für das k-malige eintreffen des Ereignisses
mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p.
n k
B(k) =
p (1 − p)n−k
k
(1)
3. Normalverteilung
Die Normalverteilung, in Deutschland oft auch Gauß-Verteilung (nach Carl Friedrich
Gauß) genannt, gibt die Verteilung einer großen Zahl von Zufallswerten (n → ∞) an,
da sie nach dem Zentralen Grenzwertsatz eben gerade normalverteilt sind. Sie lässt sich
ausdrücken durch
(x−µ)2
1
f (x) = √ e− 2σ2
σ 2π
(2)
wobei µ der Erwartungswert und σ die Standardabweichung ist. Abbildung (1) zeigt
eine Normalverteilung mit unterschiedlichen Standardabweichungen. Eine kleinere Standardabweichung bedeutet, dass die Messwerte in einem kleineren Bereich um den Erwartungswert (bei x = 0) gestreut sind.
2
3 NORMALVERTEILUNG
Abbildung 1: Normalverteilung mit unterschiedlicher Standardabweichung σ
Die folgende Abbildung (2) zeigt eine Normalverteilung mit verschiedenen markierten
Intervallen um den Erwartungswert. Diese Intervalle werden auch Vertrauensbereiche
genannt, da sie angeben mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable in einen
bestimmten Bereich um den Erwartungswert fällt.
Abbildung 2: Normalverteilung mit den Vertrauensbereichen µ ± σ und µ ± 2σ
Das Integral dieser Funktion muss ergibt 1, da die Gesamtwahrscheinlichkeit 100%
betragen muss. Hierbei ist σ√12π eine Integrationskonstante, die Fläche unter der Kurve
auf 1 normiert.
Z
+∞
−∞
1
f (x)dx = √
σ 2π
3
Z
+∞
−∞
e−
(x−µ)2
2σ 2
dx = 1
(3)
6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG
4. Vertrauensbereich
Der Vertrauensbereich ist der Bereich der Normalfunktion um den Erwartungswert µ,
in dem man ein Ergebnis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit erwartet. Er ergibt
sich durch Integration der Funktion f (x) (vgl. Gleichung (3)) nur mit anderen Integrationsgrenzen. So ergibt sich zum Beispiel eine Wahrscheinlichkeit von 68.27%, dass der
Wert innerhalb des Intervalls µ ± σ liegt.
Z
Z
µ+σ
f (x)dx = 0.6827
(4)
f (x)dx = 0.9545
(5)
f (x)dx = 0.9973
(6)
µ−σ
µ+2σ
µ−2σ
Z µ+3σ
µ−3σ
(7)
Analog ergibt sich für das Intervall µ ± 2σ eine Wahrscheinlichkeit von 95.45%, im
Intervall µ ± 3σ befinden sich mit 99.73% fast alle Messwerte.
5. Mittelwert
Der arithmetische Mittelwert x̄ ist der Durchschnitt einer Messreihe (x1 , x2 , ..., xn ). Bei
N Messungen gilt:
N
1 X
x̄ =
xi
N i=1
(8)
Der Mittelwert gibt also den Schwerpunkt an, um den die Daten schwanken. Bei
Experimenten ist er sehr bedeutend, da er den beste Schätzwert der Messreihe für den
Erwartungswert µ, also den, als wahr oder richtig angenommenen Wert der zu messenden
Größe, angibt.
6. Varianz und Standardabweichung
Ebenfalls wichtig für Messreihe bei Experimenten ist die Varianz ; sie ist ein Maß für die
Streuung der Messergebnisse vom Mittelwert. Ist der Erwartungswert µ bekannt gilt:
N
1 X
(xi − µ)2
var =
N i=1
4
(9)
6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG
Da die Varianz jedoch die Einheit der Messgröße zum Quadrat hat, wird oft die
sogenannte Standardabweichung σ angegeben. Wegen var = σ 2 ist sie die Wurzel der
Varianz. Ist der Erwartungswert nicht bekannt, sondern nur der Mittelwert berechnet
sich die Standardabweichung wie folgt:
v
u
u
σ=t
N
1 X
(xi − x̄)2
N − 1 i=1
(10)
Sie bezeichnet die mittlere Abweichung der Einzelmessergebnisse vom Mittelwert; interessanter ist jedoch die Standardabweichung σ̄ des Mittelwerts selbst, den sie wird
als Fehler im Ergebnis mitangegeben. Oft liest man auch von der mittleren absoluten
Messungenauigkeit.
σx
σ̄ = √
N
v
u
u
σ̄ = t
(11)
N
X
1
(xi − x̄i )2
N (N − 1) i=1
5
(12)
2 AUFBAU EINES GALTON-BRETTS
Teil II.
Versuch
In dem Versuch soll die Binomialverteilung mit Hilfe eines Galton-Bretts gezeigt werden.
1. Durchführung
Wir lassen zehn mal 256 Kugeln durch ein Galton-Brett laufen und zählen am Ende
jeweils die Anzahl der Kugeln in jedem Fach. Auf die Besonderheiten des Galton-Bretts
und über die möglichen Wege der Kugel werden in den folgenden Kapitelen eingegangen.
2. Aufbau eines Galton-Bretts
Das Galton-Brett früher war ein Holzbrett, in welches Nägel so angebracht wurden, dass
bei jeder Wegentscheidung einer Kugel solange ein neuer Nagel getroffen wurde, bis die
Kugel in einem Fach landete.
Unser Galton-Brett besteht nun aus drei Teilen, einem Kugelspeicher, damit man die
Kugeln nicht einzeln in die Apparatur werfen muss, einem Labyrinth, das aus gefrästen
Sechsecken besteht, wobei in jeder Stufe ein Sechseck hinzukommt, bis am Ende zehn
Sechsecke sind und den Fächern am Ende des Labyrinths, in den die Kugeln dann fallen.
Abbildung 3: Darstellung eines Galtonbretts
6
3 WEGE DER KUGELN
3. Wege der Kugeln
Der Weg einer Kugel ist nur im Labyrinth des Galton-Bretts interessant, da er hier nicht
vorgegeben ist.
Abbildung 4: Darstellung des Secksecks
Wenn die Kugel aus dem Lager fällt, trifft sie zunächst auf einen Prellstreuer. Aufgrund von Reibung und eines inelastischem Stoß kann die Kugel nicht nach oben zurück,
sondern muss sich für einen Weg entscheiden“. Dies kann man gut in Abbildung 4 se”
hen. Nach der Entscheidung“ fällt die Kugel dann in den sogenannten Prelltrichter,
”
wovon sie wieder auf einen Prellstreuer fällt. Dies geschieht bei unserem Galton-Brett
zehn mal, dann fällt die Kugel in ein Fach.
Theoretisch könnte man unter idealen Bedingungen ist die Bewegung der Kugel im
Labyrinth allein durch ihren Ort und ihren Impuls beim Eintritt vorherbestimmt. Praktisch ist dies aber nicht möglich, weshalb man auch keine Bewegungsgleichung aufstellen
kann.
Außerdem wachsen kleinste Störungen oder Unregelmäßigkeiten sehr schnell an, was
zusätzlich die Vorhersage der Bewegung der Kugel unmöglich macht. Bei vielen Versuchen lässt sich allerdings wieder ein Muster erkennen. Solch eine Bewegung nennt man
dann transcient chaotisch.
Aufgrund all dieser Umstände können wir die Ablenkung am Prellstreuer als zufällig
betrachten. Außerdem ist noch wichtig, dass die Ablenkung unabhängig vom bisherigen
Weg ist, d.h. wenn eine Kugel neun mal nach links abgelenkt wurde, ist es trotzdem
gleich wahrscheinlich, dass sie nach links oder rechts abgelenkt wird, wie wenn sie davor
neun mal nach rechts abgelenkt wurde. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nach
rechts abgelenkt wird, ist p, dass sie nach links abgelenkt wird ist (1-p). Im Idealfall gilt:
p = (1 − p) = 0, 5
(13)
Wir können den Weg einer Kugel sehr gut durch eine Bit-Folge darstellen. Hier gilt für
eine Ablenkung nach links das Bit =0, für eine Ablenkung nach rechts das Bit =1. Dies
7
3 WEGE DER KUGELN
ist vor allem sinnvoll, da wir dadurch sehr schnell feststellen können, in welches Fach
die Kugel fällt, da für jedes Fach nur eine Möglichkeit für die Anzahl der Rechts- und
Linksablenkungen, also eine genaue Anzahl an 1en und 0en. Dies lässt sich am besten
durch das folgende Bild (5) zeigen, indem ein möglicher Weg beschrieben wird.
Abbildung 5: Möglicher Weg einer Kugel
Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genau diesen Weg nimmt gilt dann:
pW eg = (1 − p)N −n · pn
(14)
wobei gilt:
N = Anzahl der Ablenkungen
n = Anzahl der Rechtsablenkungen
Da gilt (1-p) = p ist jeder Weg gleich wahrscheinlich, nämlich genau 1/1024.
Allerdings gibt es je nach Fach verschieden viele Wege für die Kugel, um in dieses zu
gelangen. So kann die Kugel nur in das Fach 0 kommen, wenn sie immer links abgelenkt
wird. Für das Fach 1, muss die Kugel einmal nach rechts abgelenkt werden. Hier ist
aber egal, wann dies geschieht, also gibt es für dieses Fach zehn mögliche Wege. Die
Wahrscheinlichkeit in ein Fach zu gelangen lässt sich dann beschreiben durch:
N
pF ach (n) =
· (1 − p)N −n · pn
(15)
n
wobei gilt:
N = Anzahl der Ablenkungen
n = Anzahl der Rechtsablenkungen bzw. Fachnummer
Für den Erwartungswert, also die erwartete Anzahl der Kugeln in einem Fach ergibt
sich dann:
Ebin (n) = M · pF ach (n)
wobei gilt: M = Anzahl der Kugeln
8
(16)
4 MESSUNGEN
4. Messungen
In Tabelle (1) finden sich die Anzahl der Kugeln in den verschiedenen Versuchen wieder.
Diese Messwerte werden in der Abbildung (6) dargestellt.
Fach
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
12
22
49
62
55
29
14
7
1
2
1
2
11
32
46
51
66
29
12
2
4
3
0
0
11
35
57
55
58
28
9
2
1
Versuchsreihe
4 5 6 7
0 0 0 0
6 2 3 5
11 17 12 17
28 31 37 29
51 51 53 50
55 66 49 56
53 44 52 58
34 29 31 24
13 15 14 13
5 1 5 4
0 0 0 0
8
0
4
10
23
46
75
57
20
17
4
0
9 10
0
1
7
1
14 12
38 35
54 37
52 59
52 53
24 42
11 13
4
2
0
1
Tabelle 1: Messergebnisse des Versuchs
Abbildung 6: Anzahl der Kugeln pro Fach in den Versuchsreihen
9
4 MESSUNGEN
Teil III.
Auswertung
Hier werden zunächst Formeln gezeigt, mit denen wir verschiedene Sachen berechnen.
Die Ergebnisse der Berechnungen werden in einer Tabelle am Ende des Formelblocks
dargestellt.
Zunächst berechnen wir die Mittelwerte der einzelnen Fächer nach dieser Formel:
K
1 X
m(n) =
T (k, n)
K k=1
(17)
wobei gilt:
K = Anzahl der Versuche
k = Anzahl der Kugeln im Fach
n = Fach
Der Vertrauensbereich wird durch diese Formel angegeben:
v
u
K
u
X
1
t
[T (k, n) − m(n)]2
σm (n) =
K(K − 1) k=1
(18)
wobei alles wie oben gilt.
Den Erwartungswert kann man entweder durch die Binomialverteilung nach Gleichung
(16) oder durch die Normalverteilung nach folgender Gleichung angeben.
(n−µ)2
1
EN or (n) = M · √ · e− 2σ2
σ 2π
(19)
σ 2 = N · p(1 − p)
µ=N ·p
(20)
(21)
wobei gilt:
M = Anzahl der Kugeln
n = Nummer des Faches
N = 10 Stoßkantenzeilen
In der folgenden Tabelle werden nun alle Daten zusammengefasst dargestellt:
Die Daten der Tabelle (2) werden in diesem Histogramm dargestellt.
Für die experimentelle Wahrscheinlichkeit benötigen wir zunächst die Anzahl der insgesamt möglichen Ablenkungen. Hierfür gilt, dass wir 256 Kugeln 10 mal durch das
10
4 MESSUNGEN
Fach
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m(n) σm (n) Ebin EN or
0,4
0,22 0,25 0,44
3,3
0,7
2,5 2,63
12,7
0,79 11,25 10,68
31,0
1,75
30 29,02
49,4
1,75 52,5 52,88
58,0
2,49
63 64,59
54,8
1,79 52,5 52,88
29,0
1,91
30 29,02
13,1
0,69 11,25 10,68
3,6
0,58
2,5 2,63
0,7
0,4 0,25 0,44
Tabelle 2: Auswertung der Daten
Labyrinth geschickt haben und diese jeweils 10 mal abgelenkt werden konnten. Dadurch
gilt für die Gesamtzahl der Ablenkungen:
T = 256 · 10 · 10 = 25600
Für die Anzahl der Rechtsablenkungen summieren wir alle Kugeln in den jeweiligen
Fächern bei jedem Versuch auf und multiplizieren diese dann mit der Fachnummer, da
diese ja genau die Zahl der Rechtsablenkungen angibt. Es gilt dann für die Formel:
!
K
1
X
X
T (k, n)
(22)
0 n·
TR =
n=0
k=1
wofür gilt:
n = Fachnummer
k = Versuchsreihe
K = Anzahl der Versuche = 10
Bei uns gilt für TR = 12853
Für die experimentell ermittelte Wahrscheinlichkeit gilt dann:
TR
12853
pR =
=
= 0, 502
(23)
T
25600
Für die Varianz der Wahrscheinlichkeit gilt unter der Beachtung von T(T-1) ≈ T 2 , da
T sehr groß ist:
T
σp2
X
1
=
(xt − p)2
T (T − 1) t=1
TL (0 − p)2 + TR (1 − p)2
(TL + TR )2
TL · TR
=
(TL + TR )3
≈
11
4 MESSUNGEN
Abbildung 7: Histogramm
Durch die Annäherung TL ≈ TR ≈ T /2 vereinfacht sich dieser Ausdruck zu
1
σp ≈ √
2 T
= 0, 003
(24)
Für den wahren Wert von p können wir nun mit 68% Wahrscheinlichkeit angeben, dass
er in dem Bereich:
p = 0, 502 ± 0, 003
liegt
Mit 95% Wahrscheinlichkeit können wir sagen, dass er im Bereich
p = 0, 502 ± 0, 006
liegt.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass p > p + σp , gilt, da es mit 68% Wahrscheinlichkeit
in diesem Bereich liegt und wir nur die eine Hälfte der Glockenkurve betrachten müssen:
100% − 68%
= 16%
2
12
4 MESSUNGEN
Nun betrachten wir, wie viele Versuche wir ausführen müssten, um mit 95% Sicherheit
einen Vertrauensbereich von p ± 0, 001 angeben zu können. Es gilt also:
p = p + 2σp = p + 0, 001
Daraus folgt für σp = 0,001/2 = 0,0005
Nun können wir die Anzahl der dafür benötigten Ablenkungen nach Gleichung (24)
berechnen:
T =
1
= 106
4(σp )2
(25)
Da gilt
T =K ·N ·M
können wir nun die Gleichung nach K umstellen und die Anzahl der benötigten Versuche
Berechnen.
K=
T
= 390, 625 ⇒ 391
N ·M
(26)
Man muss also den Versuch 391 mal ausführen.
Als letzten Teil der Auswertung sollen wir noch den Mittelwert µ und die Standardabweichung σ der Binomialverteilung unter Beachtung der Fehlerfortpflanzung aus unserer
gemessenen Wahrscheinlichkeit p berechnen.
Für µ gilt nach Gleichung (21):
µ=N ·p
= N · (pR ± σpR )
= 10 · (0, 502 ± 0, 003)
= 5, 02 ± 0, 03
Für die Standardabweichung gilt nach Gleichung (20):
p
σ = N · pR · (1 − pR ) = 1, 581 ± δσ
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
Für den Fehler von σ gilt dann:
δσ =
√
10 ·
1 σpR
σpR
·(
+
2 pR
1 − pR
= 0, 030
Es gilt also:
σ = 1, 581 ± 0, 030
13
(32)
4 MESSUNGEN
Teil IV.
Fragen
Ein Versuch mit dem Galton-Brett liefert eine Verteilung der M = 256 Kugeln auf die
N +1 = 11 Fächer. Wie viele solche Versuchsergebnisse sind möglich, wenn man
a) die Kugeln unterscheidet bzw.
b) die Kugeln nicht unterscheidet.
a) Wenn man die Kugeln unterscheidet, gibt es insgesamt
11256 = 3.949366159022448 · 10266 , da es 11 Möglichkeit für jede der 256 Kugeln gibt.
b) Wenn man die Kugeln nicht unterscheidet, also nur zählt, wie viele Kugeln in einem Fach sind, kann man dies berechnen durch:
M +N
266
=
= 4, 12 · 1017
(33)
N
10
14
2 QUELLEN
Teil V.
Quellenverzeichnis
1. Tabellen- und Bilderverzeichnis
• Abbildung 1 Selbsterstellt
• Abbildung 2 Abbildung Lohse, Tobias Praktikumsbericht: Gakton- Brett WS09/10
• Abbildung 3 Aus Anleitung übernommen, bzw. eigenes Foto
• Abbildung 4 Aus Anleitung übernommen
• Abbildung 5 Aus Anleitung übernommen
• Abbildung 6 Selbsterstellt
• Abbildung 7 Selbsterstellt
• Tabelle 1 Selbsterstellt
• Tabelle 2 Selbsterstellt
2. Quellen
• Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1, 5. Auflage, Springer Verlag, 2008
• Fehlerrechnung des Anfänger Praktikums
• Versuchsanleitung Galton-Brett
15