Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) - IAP TU
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Übungen zur Vorlesung Naturwissenschaften II (B. Sc. Maschinenbau) Sommersemester 2008 Musterlösung 5 Professor Dr. G. Birkl, Dr. N. Herschbach Besprechung in der Woche vom 19.5 - 26.5.08 www.physik.tu-darmstadt/apq/naturwissenschaften 1. Kraft zwischen zwei stromführenden Leitern Zwei sehr lange Leiter sind parallel zueinander und im Abstand d voneinander angeordnet. Durch Leiter 1 fließt ein Strom I1 > 0, durch Leiter 2 ein Strom I2 > 0. I2 I1 d ~ 1 , welches Leiter 1 am Ort von Leiter 2 erzeugt, an. a) Geben Sie das Magnetfeld B Welche Kraft F~2 wirkt durch dieses Feld auf Leiter 2 pro Leiterstück der Länge l? ~ 2 , welches Leiter 2 am Ort von Leiter 1 erzeugt, b) Geben Sie auch das Magnetfeld B ~ 2 auf Leiter 1 pro Leiterstück der an. Welche Kraft F~1 wirkt durch das Feld B Länge l? c) Vergleichen Sie die Kräfte F~1 und F~2 . d) Was ändert sich, wenn man die Stromrichtung in einem der beiden Leiter umdreht? 1 e) Bestimmen Sie die Kraft die zwischen den beiden Leitern pro Meter wirkt, wenn ihr Abstand d = 1 m und die Ströme I1 = I2 = 1 A gewählt werden. Die Kraft, die unter diesen Bedingungen herrscht, dient auch zur offiziellen Definition der Einheit Ampère. J̀ ^ J́ I2 I1 B1 F2 d a) In der Vorlesung wurde die Formel für das Magnetfeld, das ein stromführender ~ 1 | = µ0 I1 . Der Vektor B ~ 1 steht Draht erzeugt, behandelt. Demnach erhalten wir |B 2πd dabei orthogonal zur Ebene, die beide Leiter enthält, in die Richtung, die durch die Stromrichtung mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt ist, also in der Abbildung ~ 1. nach links. Die Lorentzkraft für stromdurchflossene Leiter ergibt F~2 = lI~2 × B µ0 I 1 I 2 l ~ ~ Der Betrag der Kraft ist F2 = |F2 | = I2 l|B1 | = 2πd und ihr Vektor zeigt von Leiter 2 nach Leiter 1. ~ 2 | = µ0 I1 I2 l , wobei die ~ 2 | = µ0 I2 und F2 = |F~1 | = I1 l|B b) Analog zu a) ergibt sich |B 2πd 2πd Vektoren für Magnetfeld und Kraft hier ein umgekehrtes Vorzeichen bezüglich der Situation in a) haben. c) F~1 und F~2 sind betraglich gleich und stehen antiparallel zueinander. d) Die beiden Leiter stoßen sich ab anstelle dafür, dass sie sich anziehen. e) F1 = F2 = µ0 2π = 2 · 10−7 N. ≺./ •∞• ./ 2 2. Ampère’sches Gesetz angewendet auf ein Koaxialkabel Ein Koaxialkabel besteht aus einem zylindrischen Innenleiter und einem Hohlzylinder als Außenleiter, die konzentrisch angeordnet sind. Ein Querschnitt des Koaxialkabels ist in der Abbildung schematisch dargestellt. Der Innenleiter habe den Radius Rin . Ra1 Ra2 I r Rin I Der Außenleiter habe den inneren Radius Ra1 und den äußeren Radius Ra2 . Es fließe ein betraglich gleicher Strom I, jedoch in umgekehrter Richtung durch Außen- und Innenleiter. Man kann davon ausgehen, dass für jeden der beiden Leiter die Stromdichte über den Querschnitt homogen ist. a) Was können Sie ohne viel zu rechnen über das Magnetfeld außerhalb des Koaxialkabels aussagen, also für r > Ra2 ? Begründen Sie Ihre Aussage, indem Sie das Ampère’sche Gesetz auf den Querschnitt des Koaxialkabels und den Gesamtstrom der durch diesen fließt, anwenden. b) Hängt die Stärke des Magnetfeldes zwischen Innenleiter und Außenleiter (also für Rin < r < Ra1 ) vom Strom der durch den Außenleiter fließt ab? Begründen Sie wieder Ihre Aussage. c) Wie verlaufen die Feldlinien im Kabel? d) Bestimmen Sie die Stromdichte im Innenleiter und im Außenleiter. e) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B(r) als Funktion des Radius r in dem Bereich 0 ≤ r ≤ Rin , dann für Rin < r < Ra1 und schließlich für Ra1 ≤ r ≤ Ra2 . J̀ ^ J́ a) Der Gesamtstrom der durch den Querschnitt des Kabels fließt ist Null, deshalb erzeugen die Ströme im Koaxialkabel kein Magnetfeld außerhalb des Kabels (r > Ra2 ). Das geschloßene Pfadintegral des Magnetfeldes über den Rand jeder beliebigen Fläche durch die das Kabel geht ist Null. b) Nur der Strom im Innenleiter zählt. Man betrachte eine beliebige Fläche, durch die der Innenleiter geht, und deren Rand ganz im Zwischenraum liegt (zum Beispiel eine Kreisscheibe). Das Pfadintegral des Magnetfeldes über den Rand dieser 3 Fläche stellt dann ein Maß für die Feldstärke im Zwischenraum dar. Das Gesetz von Ampère besagt, dass das Pfadintegral proportional ist zum Strom durch diese Fläche, welcher nur der Strom durch den Innenleiter sein kann. c) Die magnetischen Feldlinien verlaufen auf konzentrischen Kreisen in der Ebene des Querschnitts des Koaxialkabels. Die Magnetfeldrichtung ist durch die Stromrichtung im Innenleiter mit der Rechte-Hand-Regel gegeben, also im Uhrzeigersinn für die in der Abbildung angegebene Stromrichtung. d) jin = I πR2in und ja = I . π(R2a2 −R2a1 ) e) Wegen der Zylindersymmetrie des Problems ist die magnetische Flussdichte nur vom Radius r abhängig. Bei der Anwendung des Gesetzes von Ampère betrachten wir konzentrische Kreise mit Radius r. Nach c) verläuft das Magnetfeld tangential ~ · d~s = |B|ds. ~ zu diesen, so dass B Das Pfadintegral des Magnetfeldes über einen solchen Kreis wird I ~ · d~s = B(r)2πr. B Kreis Nach dem Gesetz von Ampère ist dies gleich µ0 mal dem Strom I(r) der durch die Kreisscheibe fließt. Der Strom I(r) läst sich nun für jeden Bereich aus den in d) bestimmten Stromdichten berechnen: 2 j πr 2 = πRI 2 πr 2 = I Rr2 für 0 ≤ r ≤ Rin , in in in I(r) = I für Rin < r < Ra1 , I − ja π(r 2 − R2 ) = I 1 − r22 −R2a12 für Ra1 ≤ r ≤ Ra2 . a1 Ra2 −Ra1 Hieraus ergibt sich dann gleich µ0 Ir 2πR2in µ0 I(r) µ0 I B(r) = = 2πr 2πr µ0 I 1 − 2πr für 0 ≤ r ≤ Rin , r 2 −R2a1 R2a2 −R2a1 ≺./ •∞• ./ 4 für Rin < r < Ra1 , für Ra1 ≤ r ≤ Ra2 .
