6 4 AC= 0 6 ∗ 8 BC= 0 6 ∗ 8
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13. Jahrgangsstufe Abiturvoberteitung Lehrtext Ausgewählte Aufgabentypen der analytischen Geometrie Rechnerischer Nachweis für besondere Dreiecke Beispiel: Abiturprüfung 2002 V In einem karthesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(-1|3|-2), B(-1|-3|4) und C(7|-5|2) gegeben. Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist. Lösung: Derartige Nachweise für besondere Dreieckseigenschaften führen über die folgenden Betrachtungen zum Erfolg: • Länge der Vektoren zwischen den einzlenen Punkten • Winkel zwischen den Vektoren zwischen den einzelnen Eckpunkten (wird über das Skalarprodukt erledigt) Konkrete Lösung mit Hilfe der angesprochenen Punkte für diese Aufgabe: Man bestimmt zunächst die Koordinaten der Vektoren zwischen den jeweiligen Eckpunkten −11 0 AB= −3−3 = −6 42 6 71 8 AC = −5−3 = −8 22 4 71 8 BC = −53 = −2 −2 −2 Im zweiten Schritt bestimmt man die Länge dieser drei Vektoren: 2 2 2 AB= 0 −6 6 = 72=6 2 2 2 2 AC = 8 −8 4 = 646416= 144=12 BC = 82−22−22= 6444= 72=6 2 Man erkennt, dass die Vektoren zwischen den Punkten A und C und A und B die gleiche Länge aufweisen. Daher ist das Dreieck definitionsgemäß schon gleichschenklig. Nun ist noch zu zeigen, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist. Dazu bildet man die Skalarprodukte der bereits berechneten Vektoren und zeigt, dass ein Sklarprodukt den Wert 0 besitzt. Dies bedeutet, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, also einen rechten Winkel miteinander bilden. 0 8 AB∗ AC = −6 ∗ −8 =04824=72 6 4 0 8 AB∗ BC = −6 ∗ −2 =012−12=0 6 −2 Damit ist auch der Nachweis erbracht, dass das betrachtete Dreieck ABC rechtwinklig ist und der rechte Winkel hat seinen Scheitel im Punkt B. Damit ist das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig, wie behauptet wurde. © Markus Baur Staffelsee- Gymnasium 2006/2007 13. Jahrgangsstufe Abiturvoberteitung Lehrtext Zusatzaufgabe: Volumen einer Pyramide Gegeben ist zusätzlich der Punkt S(5|8|10). Durch die Punkte ABCS wird eine Pyramide im dreidimensionalen Raum bestimmt. Berechne das Volumen dieser Pyramide. Zur Erläuterung der Lösungsstrategie wird hier eine systematische, aber nicht maßstabsgetreue Zeichnung die Lösung illustriert. Zunächst benötigt man die rot eingezeichnete Lotgerade l durch due Spitze S auf die Ebene ABC. Diese erhält man dadurch, indem man den Punkt S als Aufpunkt benützt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene ABC verwendet. •Bestimmung des Normalenvektors: −1 0 8 E : X = 3 m −6 n −2 −2 6 −2 Bestimmung des Normalenvektors über ein unterbestimmmtes lineares Gleichungssystem: n1 n1 0 8 ∗ ∗ =0 −n n =0 n2 −2 =0 4 n1−n 2−n 3 =0 n2 −6 2 3 −2 6 n3 n3 Zunächst wählt man n2=2 damit folgt aus der ersten Gleichung n 3=2 und aus der zwieten Gleichung n1=1 © Markus Baur Staffelsee- Gymnasium 2006/2007 13. Jahrgangsstufe Abiturvoberteitung Lehrtext Damit lautet der Normalenvektor: 1 n = 2 2 •Die Lotgerade hat damit folgende Gleichung: 5 1 l : X = 8 r 2 10 2 •Den Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene ABC berechnet man über das zeilenweise Einsetzen der Lotegerade in die Koordinatenform der Ebene ABC. Die Koordinatenform erzeugt man am einfachsten über die Hesse- Normalform: n ° X − A =0 x 11 1 2 ° x 2−3 =0 x 12 x 22 x 3−1=0 2 x 32 Einsetzen in der Zeilen der Lotgeraden in die Koordinatenform ergibt die Bestimmung des Parameter r für den Schnittpunkt mit der Ebene: 41 5r 2⋅82 r 2⋅102 r =0 9 r41=0 r= 9 •Schnittpunkt mit der Ebene: 86 9 5 41 1 154 8 2 = 9 9 10 2 172 9 •Damit ist der Vektor von dem Schnittpunkt P mit der Ebene und der Spitze S der Pyramide: 41 9 PS = 82 9 82 9 •Die Höhe der Pyramide ist dann die Länge dieses Vektors, also: 2 2 2 41 82 82 1 1 41 h= = 15129= ⋅123= 9 9 9 9 9 9 •Bestimmung der Fläche der Grundfläche: Da die Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck ist, gilt: 1 G= ⋅6 2⋅6 2=36 2 •Volumen V der Pyramide ist damit berechenbar über: 1 1 41 V = Gh V = ⋅36⋅ =54.67 3 3 9 © Markus Baur Staffelsee- Gymnasium 2006/2007
