PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2: Probeklausur

PN2 Einführung in die Physik für Chemiker 2
Prof. J. Lipfert
SS 2016
Probeklausur
Probeklausur
Name:
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Aufgabe Erreichte Punkte Mögliche Punkte
1
30
2
15
3
15
4
20
5
20
Σ
100
Einige nützliche Konstanten
Gravitationskonstante G = 6,67 ·10−11 m 3 /(kg · s2 )
Erdmasse ME = 5,97 ·1024 kg
Erdradius RE ≈ 6370 km
Dichte von Luft bei Normaldruck und T = 20◦ C: 1,2 kg/m3
Dichte von Wasser bei Normaldruck und T = 20◦ C: 1000 kg/m3
Normaldruck: 1 atm = 1013 mbar = 1,013·105 Pa
1
Name:
Aufgabe 1
Verständnisfragen (30 Punkte). Geben Sie kurze Antworten (1-2 Sätze, bzw. kurze Rechnung, bzw. einfache Skizze) auf die folgenden Fragen.
a) Ein Plattenkondensator (mit Luft zwischen den Platten) hat eine Kapaziät von 500 pF und hat
eine Ladung von 0,346 µC auf jeder Platte. Die Platten haben einen Abstand von 0,453 mm.
Was ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten?
Lösung:
U =
Q
0, 346 · 10−6 C
=
= 692 V
C
500 · 10−12 F
b) Was ist die Oberfläche jeder der Platten des Kondensators aus der letzten Teilaufgabe?
Lösung:
A
d
Cd
500 · 10−12 F · 0, 453 · 10−3 m Vm
A=
=
= 0, 0256 m2
0
8, 85 · 10−12 As
C = 0
c) Wie groß ist das elektrische Feld zwischen den Platten des Kondensators aus den letzten
Teilaufgaben?
Lösung:
E=
Q
0, 346 · 10−6 C Vm
V
=
= 1, 53 · 106
0 A
8, 85 · 10−12 As · 0, 0256 m2
m
d) Wie groß ist die Oberflächenladungsdichte auf den Platten des Kondensators aus den letzten
Teilaufgaben?
Lösung:
σ=
Q
0, 346 · 10−6 C
C
=
= 1, 35 · 10−5 2
2
A
0, 0256 m
m
oder
σ = E · 0 = 1, 53 · 106
V
As
C
· 8, 85 · 10−12
= 1, 35 · 10−5 2
m
Vm
m
e) Was passiert, wenn man den Zwischenraum der Platten bei angeschlossener Spannungsquelle
mit destilliertem Wasser füllt?
Lösung:
Die Kapazität des Kondensators erhöht sich, wenn man den Zwischenraum mit Wasser füllt.
Wenn die Spannungsquelle angeschlossen bleibt, muss also mehr Ladung auf die Platten
2
fließen, damit Q = C · U erfüllt ist. Das elektrische Feld bleibt unverändert, da sich Wasser
kürzen lässt:
Q
Wasser 0 A
C ·U
=
Wasser 0 A
Wasser 0 A
d ·U
=
Wasser 0 A
0 A · U
= d
0 A
E=
f) Nennen Sie die kirchhoffschen Regeln und erklären Sie, was diese besagen!
Lösung:
Die Kirchhoffschen Regeln sind wichtig zur Berechnung von elektrischen Netzwerken.
Die erste Kirchhoffsche Regel besagt, dass in einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes die Summe der zufließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist.
Die zweite Kirchhoffsche Regel besagt, dass sich in einem Netzwerk alle Teilspannungen eines
Umlaufs bzw. einer Masche zu null addieren.
g) Betrachten Sie eine kreisförmige Leiterschleife in der xy-Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung,
durch die ein konstanter Strom I fließe. Begründen Sie folgende Aussage: Das magnetische
Feld auf der z -Achse hat nur eine Komponente in z -Richtung.
Eine Rechnung ist hier nicht zwingend nötig.
Lösung:
Aus Symmetriegründen heben sich die x- und y-Komponenten des Magnetfeldes Bx und By
auf der z-Achse auf, da die Leiterschleife kreisförmig ist, in der xy-Ebene liegt und ihren
Mittelpunkt im Ursprung hat.
(Berechnen kann man das mit dem Bio-Savart-Gesetz.)
h) Was passiert, wenn man den Abstand zwischen den Platten des Kondensator aus Aufgabenteil
a) bei angeschlossener Spannungsquelle vergrößert?
Lösung:
Die Kapazität des Kondensators wird kleiner. Deshalb verringert sich auch die auf dem
Kondensator gespeicherte Ladung, damit Q = C ·U weiterhin erfüllt ist. Auch das elektrische
Feld verringert sich.
i) Was passiert, wenn man den Kondensator aus Aufgabenteil a) von der Spannungsquelle
trennt und dann erst den Abstand zwischen den Platten des Kondensator vergrößert?
Lösung:
Die Kapazität des Kondensators wird kleiner. Da die Ladung nicht abfließen kann und konstant bleibt, erhöht sich nun die Potentialdifferenz zwischen den Platten, so dass Q = C · U
weiterhin erfüllt ist. Das elektrische Feld zwischend den Platten bleibt konstant.
j) Beschreiben Sie mit eigenen Worten den Hall-Effekt bzw. wann dieser auftritt.
Lösung:
Der Hall-Effekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem
Magnetfeld befindet. Es wird ein elektrisches Feld aufgebaut, das zur Stromrichtung und zum
3
Magnetfeld senkrecht steht, sodass die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft kompensiert
wird.
4
Name:
Aufgabe 2
Elektrisches Feld der Erde. Zwischen der Erdoberfläche und der Ionosphäre herrscht ein
natürliches elektrisches Feld mit einer Feldstärke von etwa 150 V/m in Bodennähe.
a) Benutzen Sie den Gaußschen Satz um die Gesamtladung der Erdoberfläche zu berechnen.
Für diese Aufgabe können Sie die Form der Erde als eine perfekte, homogene Kugel nähern.
Nehmen Sie an, dass die gesamte Ladung negativ und gleichmäßig auf der Oberfläche verteilt
ist und die 150 V/m direkt über der Erdoberfläche gemessenen werden können.
Lösung:
Gaußscher Satz:
I
~ · dA
~ = Qinnen
E
0
A
Das E-Feld einer perfekten, homogenen Kugel ist radialsysmmetrisch und kann daher als
~ = E r̂
E
geschrieben werden.
Eingesetzt in den Gaußschen Satz und integriert:
I
Z 2π Z π
Qinnen
~ =
E r̂ · d A
Er 2 sinΘd Θd Φ = 4πr 2 E =
0
A
0
0
Qinnen für die Werte E = 150 V/m und r = 6370 · 103 m:
Qinnen = 677.2 kAS = 677.2 kC
b) Wie hoch ist die Ladungsdichte der Erdoberfläche pro m2 ?
Lösung:
ρ=
Qinnen
Ainnen
C
nC
=
= 1.328 · 10−9 2 = 1.328 2
A
4πr 2
m
m
5
Name:
Aufgabe 3
Kondensatorknall. In der Vorlesung hatten wir einen Hochspannungskondensator (mit Kapazität von C = 1 µF) auf V = 1,5 kV aufgeladen. Der Kondensator wird nun von der Spannungsquelle getrennt.
a) Wie groß ist die im Kondensator gespeicherte Ladung?
Q = U · C = 1.5 mC
b) Wie groß ist die im Kondensator gespeicherte Energie?
1
E = CU 2 = 1.125 J
2
c) Nun wird der Kondensator über zwei Drähte und eine Kupferplatte kurzgeschlossen. Die
Drähte und Kupferplatte sollen zusammen einen Widerstand von R = 10 Ω haben. Der
Schaltkreis für den kurzgeschlossenen Kondensator ist in der Skizze unten gezeigt. Stellen
Sie eine Differentialgleichung für die Ladung im Kondensator als Funktion der Zeit nach dem
Kurzschluss auf (Hinweis: Nutzen Sie Kirchhoffs Maschenregel, sowie die Definitionen von
Strom und Kapazität).
d) Aus der Maschenregel folgt:
UR + UC = IR +
Q
=0
C
da I = Q̇:
Q̇ +
Q
=0
RC
6
Name:
e) Geben Sie eine Lösung der in der letzten Teilaufgabe aufgestellten Differentialgleichung an.
Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator.
Q̇ +
Q
=0
RC
Als Lösungsansatz wählen wir
Q(t) = Q0 e αt
und erhalten dadurch:
1
Q0 e αt = 0
RC
1
α=−
RC
αQ0 e αt +
und somit:
t
Q(t) = Q0 e − RC
Q0
t
f) Was ist die charakteristische Zeitkonstante τ der Entladung? Wenn wir näherungsweise davon
ausgehen, dass der Kondensator in etwa in der Zeit τ entladen wird und dabei seine gesamte
Energie abgibt, was ist die freigesetzte Leistung?
t
t
Q(t) = Q0 e − RC = Q0 e − τ
τ = RC = 10 µs
P=
E
= 112.5 kW
τ
7
Aufgabe 4
Wasserstoff-Brückenbinding in DNA. Zwei DNA-Einfachstränge hybridisieren (bilden
einen Doppelstrang), weil die Basen Adenin und Thymin sowie die Basen Guanin und Dytosin über Wasserstoffbrückenbindungen zusammenhalten. Schätzen Sie die Bindungsstärke einer
solchen Wasserstoffbrückenbindung am Beispiel N −H ···O = C ab. Nehmen Sie dabei an, dass
die N − H Bindung und die C = O Bindung stabil sind und die Längen 1,0 Å bzw. 1,2 Å haben.
Da der Stickstoff die Bindungselektronen etwas stärker bindet, gibt es am Ort des Stickstoffmoleküls eine geringe Überschussladung qN = -0,19 e und beim Wasserstoff eine entsprechende
positive Überschussladung. Im C = O System besitzt der Sauerstoff eine Überschussladung von
-0,42 e.
N
H
O
C
2,9 Å
a) Berechnen Sie die Coulomb-Energie dieser Wasserstoffbrückenbindung in Elektronenvolt.
Lösung:
q1 · q2
4π0 r
qH · qO
qH · qC
1
+
+
·
= −0.118 eV
rHO
rHC
4π0
EC =
EC =
qN · qO
qN · qC
+
rNO
rNC
8
b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Bindungsenergie eines NaCl Kristalls. Schätzen Sie
die Bindungsstärke eines solchen Kristalls ab, indem Sie die Bindungslänge zwischen den
einzelnen Ionen als 5,46 Å und eine negative Überschussladung der Cl− Ionen von -1,0 e und
eine positive Überschussladung der Na+ Ionen von +1,0 e annehmen. Betrachten Sie hierfür
nur die jeweils nächstliegenden Na+ und Cl− Ionen.
Hinweis: Gehen Sie von einem Na+ Ion aus und überlegen Sie wie viele Na+ Ionen und Cl−
Ionen in unmittelbarer Nähe positioniert sind.
Lösung:
EC =
qNa · qCl
qNa · qNa
6·
+ 12 ·
rNaCl
rNaNa
9
·
1
= −4.63 eV
4π0
Name:
Aufgabe 5
Potentiometer.
a) Zwischen den Enden einer Bleistiftmine aus Graphit wird ein elektrischer Widerstand von
50 Ω gemessen. Die zylinderförmige Mine ist 8 cm lang und hat einen Durchmesser von 2 mm.
Berechnen Sie daraus den spezifischen Widerstand. (Wir vernachlässigen, dass Graphit ein
anisotropes Material ist.)
Lösung:
A
l
π · 12 mm2
Ωmm2
ρ = 50 Ω
= 1987, 5
= 1, 9875 · 10−3 Ωm
0, 08 m
m
ρ=R·
b) Beim Schreiben mit dem Bleistift werden Graphitschichten auf Papier abgetragen, sodass
die Mine immer kürzer wird. Wie verändert sich dadurch der elektrische Widerstand der
Bleistiftmine?
Lösung: Der elektrische Widerstand ist proportional zur Länge der Mine. Verkürzt sich die
Länge, wird also auch der elektrische Widerstand entsprechend kleiner.
c) Ein Fahrradlämpchen hat eine Leistung von 3 W, wenn es an eine Spannungsquelle mit 6 V
angeschlossen wird. Berechnen Sie den elektrischen Widerstand des Lämpchens.
Lösung:
3W
P
=
= 0, 5 A
U
6V
U
6V
RL =
=
= 12 Ω
I
0, 5 A
I =
d) Der Bleistift wird nun an eine 9 V Blockbatterie angeschlossen. Ans Ende und in der Mitte
des Bleistifts wird nun das Fahrradlämpchen aus Aufgabenteil c) angeschlossen. Berechnen
Sie welche Spannung am Lämpchen anliegt. Wie viel Strom fließt durch das Lämpchen?
Welche Leistung liefert das Lämpchen?
(Hinweis: Sie können die Bleistiftmine als zwei in Reihe geschaltete elektrische Widerstände
annehmen. Das Lämpchen ist dann parallel zum zweiten Widerstand geschaltet.)
10
Lösung:
50 Ω
= 25 Ω
2
1 −1 300
1
R2+L = (
+
) =
Ω
R2 RL
37
Rgesamt = R1 + R2+L = 33, 11 Ω
Ugesamt
= 0, 272 A
I1 =
Rgesamt
R1 = R2 =
U1 = R1 · I1 = 6, 796 V
U2,L = Ugesamt − U1 = 2, 204 V
UL
IL =
= 0, 184 A
RL
PL = UL · IL = 0, 41 W
Kontrolle:
U2
= 0, 088 A
R2
I2 + IL = I1
I2 =
e) Was passiert, wenn man den Kontakt mit dem das Lämpchen an der Mitte der Bleistiftmine
befestigt ist, so verschiebt, dass man den Abstand zum anderen Kontakt vergrößert?
Lösung: Die am Lämpchen anliegende Spannung wird größer. Dadurch fließt mehr Strom
durch das Lämpchen. Die Leistung wird größer. Es leuchtet heller.
f) Wie groß muss der Abstand zwischen den beiden Kontakten sein, damit das Lämpchen eine
Leistung von 3 W liefert? (Hinweis: Berechnen Sie zunächst, welche Spannung am Lämpchen
anliegen muss und wie viel Strom durch dasselbe fließt. Stellen Sie dann Gleichungen für die
Widerstände R1 , R2 und RL auf und die Ströme I1 , I2 und IL . Berechnen Sie daraus den
Abstand zwischen den Kontakten.)
Lösung:
U =R·I
P = U · I = R · I2
r
P
IL =
= 0, 5 A
R
UL = R · I = 6 V
U1 = 9 V − UL = 3 V
11
Rgesamt = R1 + R2 = 50 Ω
(1)
I1 = I2 + 0, 5 A
3V
R1 =
I1
6V
R2 =
I2
(2)
(3)
(4)
Setze (3) und (4) in (1) ein:
3V 6V
+
= 50 Ω
I1
I2
Verwende (2):
3V
6V
+
= 50 Ω
I1
I1 − 0, 5 A
Umformen:
50 ΩI12 − 25 VI1 + 1, 5 W = 0
Mitternachtsformel:
I1 =
34 V ±
p
1156 V2 − 300 V2
= 0, 633 A
100 Ω
(Das andere Ergebnis können wir ignorieren, da wir sonst mit negativen Widerständen rechnen
müssten, was unphysikalisch ist.)
I2 = 0, 133 A
3V
R1 =
= 4, 74 Ω
I1
6V
= 45, 11 Ω
R2 =
I2
A
l2 = R2 = 7, 26 cm
ρ
12