vorhersagbar

Versuch:
Stochastik
1 Allgemeines
In der Signaltheorie unterscheidet man zwei Arten von Signalen: deterministische und stoĆ
chastische.
Deterministische Signale umfassen periodische und einmalige Verläufe, bei denen jeder AuĆ
genblickswerte vorhersagbar ist.
Stochastische Signale dagegen sind zufällig oder regellos, d.h. in ihrem Verlauf nicht völlig
vorhersagbar. Sie eignen sich beispielsweise zur Charakterisierung von Störsignalen, so das
thermische Eigenrauschen von Bauelementen, das atmosphärische Rauschen bei drahtloĆ
ser Nachrichtenübertragung oder das Nebensprechen auf vielpaarigen Kabeln als ÜberlaĆ
gerung vieler zufälliger Einzelsignale. Aber auch Signale, die Informationen übertragen
(z.B. Musik, Sprache, Daten), lassen sich damit beschreiben. Denn wäre ein solches Signal
völlig deterministisch, so könnte es auch der Empfänger vorhersagen, es würde für ihn
keine Information enthalten. Informationsübertragung ist somit stets mit stochastischen SiĆ
gnalen verbunden.
Des weiteren werden Systeme im allgemeinen nicht für ein deterministisches sondern für
eine Vielzahl möglicher Signale - eine Schar von Signalen - entworfen. Bedeutsam sind
deshalb nicht einzelne Verläufe sondern deren Ensemble-Eigenschaften. Diese Schar
lässt sich durch das Modell des Zufallsprozesses (stochastischer Prozess) beschreiben. Jedes
zu dieser Schar gehörende Signal ist somit eine Musterfunktion des Zufallsprozesses.
Zur Beschreibung von Zufallsprozessen benötigt man zunächst die Begriffe Zufallsereignis
und Zufallsvariable. Ein Zufallsexperiment liefert eine Menge möglicher Ergebnisse W,
wobei der aktuelle Ausgang des Experiments, das Zufallsergebnis hŮW, nicht vorhersagbar
ist. Beispielsweise entnimmt man aus einem Vorratskorb einen Transistor zufällig, oder das
Augenbild als Ergebnis eines Würfelwurfs ist zufällig. Eine Zufallsvariable S(h) ordnet jeĆ
dem Ergebnis des Zufallsexperimentes h eine reelle Zahl (z.B. Augenzahl beim WürfelĆ
wurf) oder eine physikalische Größe (z.B. Augenblickswert einer Rauschspannung) zu, deĆ
ren zufallsbedingter Wert in Form einer reellen Zahl gemessen werden kann. Man spricht
von einer Realisierung der Zufallsvariablen.
Um nun stochastische Zeitverläufe, also Signale wie z.B. Rauschspannungen, zu modellieĆ
ren, erweitert man dieses Konzept zum Zufallsprozess S(h,t). Dabei ist S(h0 ,t) eine FunkĆ
tion, die jedem Ergebnis h0 eines Zufallsexperimentes einen Signalverlauf (eine von t abĆ
hängige Funktion) zuordnet; für einen festen Zeitpunkt t0 entspricht S(h,t0 ) einer ZufallsĆ
variablen. Eine konkrete Realisierung, z.B. das durch einen bestimmten Transistors verurĆ
sachte Rauschsignal s(1)(t) in Bild 1, heißt Musterfunktion des stochastischen Prozesses S(t)
mit s(i)(t)ŮS(t) ∀i. Hätte man einen anderen baugleichen Transistor ausgewählt, würde
man eine andere Musterfunktion beobachtet, die aber die gleichen statistischen EigenĆ
schaften aufweist, z.B. s(2)(t) in Bild 1.
Als Erwartungswerte eines stochastischen Prozesses bezeichnet man Mittelwerte über der
gesamten Schar (Ensemble) der Musterfunktionen, z.B. der lineare Mittelwert der SpanĆ
1
nungen zu einem bestimmten Zeitpunkt t0 in Bild 1. Man bezeichnet dabei den Mittelwert
der m-ten Potenz der Zufallsvariablen als Mittelwert m-ter Ordnung. Von diesen ScharĆ
mittelwerten zu unterscheiden sind die Zeitmittelwerte einer Musterfunktion, z.B. der GleiĆ
chanteil oder die mittlere Leistung.
Man bezeichnet stochastische Prozesse als stationäre im engeren Sinne, wenn ihre statistiĆ
schen Eigenschaften sich nicht im Laufe der Zeit ändern, d.h. vom Zeitpunkt der Messung
unabhängig sind. Wenn bei einem stationären Prozess alle Zeitmittelwerte m-ter Ordnung
mit den zu einem beliebigen Zeitpunkt gebildeten Scharmittelwerten übereinstimmen (mit
einer gegen 1 gehenden Wahrscheinlichkeit!), dann nennt man den Prozess ergodisch.
Diese Eigenschaft ist von großer praktischer Bedeutung, denn nur ergodische Prozesse lasĆ
sen sich messtechnisch mit vergleichsweise geringem Aufwand erfassen: in diesem Fall lieĆ
fern nämlich Zeitmittelwerte hinreichend genaue Aussagen über die stochastischen KennĆ
größen des Prozesses. Häufig kann die Ergodizität nicht bewiesen werden, man postuliert
dann oft einen Prozess als ergodisch (Ergodenhypothese).
s (1)(t)
t
s (2)(t)
t
Stochastischer Prozess S(t)
z.B. Rauschspannung
s (i)(t)
t
t0
Bild 1:
Analoges zufälliges Signal
1.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung PS (s)
Als Beispiel werde der stochastische Prozess aus Bild 1 betrachtet. Der Wert S(h,t0 ) ist hierĆ
bei eine Zufallsvariable, die zu einem gegebenen Zeitpunkt t0 irgendeinen Wert SŮ9 auf
einer kontinuierlichen Werteskala annehmen kann. Bei unendlich dichtem Wertebereich,
was bei kontinuierlichen Zufallsereignissen mit reellwertigen Zufallsvariablen der Fall ist,
geht die Auftrittswahrscheinlichkeit P(S(h)=s0 )für einen beliebigen aber festen Wert s0 i.a.
gegen Null. Ausnahmen hiervon sind Zufallsvariablen, die von einer diskreten EreignisĆ
menge herrühren, z.B. Digitalsignale oder der Würfelwurf.
Eine endliche und im allgemeinen von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit ergibt sich daĆ
für, dass die Zufallsvariable S(h)=S(h,t0 ) zum Zeitpunkt t0 eine vorgegebenen Schwelle s
nicht überschreitet, d.h. für P(S(h)s;Ăt0 ), abgekürzt auch PS (s) geschrieben.
Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Allgemein steigt
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Signal die Schwelle s nicht überschreitet, monoton
mit wachsendem s bis auf 1 an. Ist der Wertebereich der Zufallsvariablen auf das Intervall
[a, b] beschränkt, so steigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung innerhalb des Intervalls [a, b]
monoton von 0 auf 1, siehe Bild 2. Es gilt also stets
2
P(S t –R) + 0, P(S + s 1) v P(S + s2) ôs 1 v s 2, P(S t ) R) + 1.
(1)
Als Median wird der Wert M bezeichnet, bei dem die Wahrscheinlichkeitsverteilung 1/2 erĆ
reicht, d.h. P(SM)=1/2.
PS (s)
s(t)
b
1
1/2
t
s
a
M
b
a
Bild 2:
Stochastisches Signal und seine Wahrscheinlichkeitsverteilung
1.2 Wahrscheinlichkeitsdichte pS (s)
Die Wahrscheinlichkeitsdichte gibt an, welche Auftrittswahrscheinlichkeit eine ZufallsvaĆ
riable für einen infinitesimal kleinen Amplitudenbereich, bezogen auf die Bereichsbreite,
aufweist. Sie ist oftmals eine zweckmäßigere Größe als die Wahrscheinlichkeitsverteilung,
da sich mit ihr wichtige Kenngrößen eines stochastischen Prozesses berechnen lassen.
Dichte und Verteilung hängen über folgende Beziehung zusammen:
s
ŕ p (sȀ) dsȀ
P S(s) +
bzw.
S
p S(s) + d P S(s) .
ds
(2)
–R
Dies gilt nur dann, wenn PS (s) differenzierbar ist; springt die Verteilung an der Stelle Si um
die Wahrscheinlichkeit P(Si ), muss mit verallgemeinerten Ableitungen und d-DistributioĆ
nen gearbeitet werden. Man schreibt dann
p S(s) +
ȍ P(Si) @ d(s * Si).
(3)
i
Abgesehen von diesen Spezialfällen, die u.a. bei wertdiskreten Zufallsvariablen vorliegen,
ist die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen bestimmten Amplitudenwert gleich Null. Die
Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable innerhalb eines Amplitudenintervall s1 tSs2
liegt, ergibt sich zu
s2
P(s1 t S v s 2) +
ŕ p (s) ds .
(4)
S
s1
Wählt man die Intervallgrenzen zu -∞ und +∞, so muss das Integral der Dichte bzw. die
Summe der Auftrittswahrscheinlichkeiten gleich 1 sein:
)R
ŕp
S( s )
ds + 1 .
(5)
–R
3
Von praktischer Bedeutung sind bei diskreten Prozessen die Gleichverteilung über einem
endlichen Intervall und die Binominalverteilung. Für kontinuierliche stochastische Prozesse
spielen ebenfalls die Gleichverteilung, die Poisson-Verteilung, die Exponentialverteilung,
die Gauß- oder Normalverteilung sowie die Rayleigh-Verteilung wichtige Rollen.
Der mittelwertfreie gaußverteilte stochastische Prozess (mittlere Leistung s2), dessen
Dichte in Bild 3 skizziert ist, weist eine Sonderstellung aufgrund des Zentralen GrenzwertsatĆ
zes der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf: Überlagern sich viele statistisch unabhängige
Prozesse gleicher Dichte additiv, so strebt die Dichte des Summensignals gegen die GaußĆ
verteilung.
p S(s) +
1 @ e *2ss22
Ǹ2p s
s
Bild 3:
Gaußsche Wahrscheinlichkeitsdichte
Hintergrund des Zentralen Grenzwertsatzes ist die Tatsache, dass die Addition zweier statiĆ
stisch unabhängige Signale ein Summensignal ergibt, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte
sich aus der Faltung der Dichten der beiden Einzelsignale berechnet.
1.3 Erwartungswerte
Beim linearen Erwartungswert s + E[s(h)], der üblicherweise als Mittelwert der ZufallsvaĆ
riablen S bezeichnet wird, handelt es sich um einen Scharmittelwert der sich zu
)R
~
S + E[S] +
ŕ s @ p (s) ds
(6)
S
–R
berechnet. Beim quadratischen Erwartungswert (mittlere Leistung) E[S2(h)] ist unter dem
Integral s durch s2 zu ersetzen Die Varianz s2 (Standardabweichung s ) bezeichnet den quaĆ
dratischen Erwartungswert der von ihrem Mittelwert befreiten Zufallsvariablen:
)R
ŕ (s * S) @ p
s 2 + Eƪ(S * S) 2ƫ +
~
~
2
S( s )
(7)
ds ,
–R
der sich auch berechnen lässt durch
2
s 2 + E[S 2] * (E[S]) .
(8)
In analoger Weise ergeben sich die Erwartungswerte bei einem stochastischen Prozess. Im
Falle ergodischer Prozesse stimmen die Scharmittelwerte mit den Zeitmittelwerten mit eiĆ
ner gegen 1 gehenden Wahrscheinlichkeit überein, d.h. bei einzelne Musterfunktionen
s(i)(t) können Abweichungen hiervon auftreten:
)R
E[S n] +
ŕ s @ p s ds
n
–R
S( )
T
P³1
+ lim 1
T³R T
ŕǒs Ǔ (t) dt
(i)
0
4
n
ôn, ôi.
(9)
1.4 Autokorrelationsfunktion
Die Autokorrelationsfunktion (AKF) beschreibt die inneren zeitlichen Bindungen eines SiĆ
gnals. Sie berechnet sich bei stochastischen Prozessen als Erwartungswert des Produktes
S(t) und dem um den Parameter τ verschobenen S(t+τ):
R R
ŕ ŕ x@y p
f SS(t 0, t) + E[S(t 0) @ S(t 0 ) t)] +
XY(y, y, t 0, t)
dx dy
(10)
–R –R
mit x + S(t 0), y + S(t 0 ) t).
Besteht lediglich eine Abhängigkeit von der Zeitverschiebung τ, nicht jedoch vom absoluĆ
ten Zeitpunkt t0 der Messung, d.h. āfSS (t0 ,τ)Ă= fSS (τ), dann wird ein Prozess als stationär im
weiteren Sinne oder kürzer als stationärer Prozess bezeichnet. Bei ergodischen Prozessen, die
stets stationär sind, ist der Zeitmittelwert des Produktes s (i)(t) @ s (i)(t ) t) einer MusterfunkĆ
tion mit Wahrscheinlichkeit 1 gleich der Schar-Autokorrelationsfunktion fSS (τ).
Tń2
P³1
f sSS(t) + s(t) @ s(t ) t) + lim 1
t³R T
ŕ s(t) s(t ) t) dt .
(11)
*Tń2
Auch von deterministischen Signalen kann eine AKF angegeben werden, wobei sich die InĆ
tegrationsdauer T bei zyklischen Vorgängen über eine volle Periode erstreckt.
Die Bildung der Autokorrelationsfunktion ist in Bild 4 am Beispiel zweier zueinander um
τ verschobenen Rechteckschwingungen dargestellt.
s(t)
1
t
s(t–t)
T
1
t
τ
s(t)s(t–t)
1
t
F SS(t)
1
4
t
T
Bild 4:
Bildung der Autokorrelationsfunktion φSS (τ)
5
Weitere Eigenschaften der Autokorrelationsfunktion
Die AKF ist achsensymmetrisch, es gilt also āfSS (τ) = fSS (-τ). Folglich kann zur ErmittĆ
lung der AKF auch das zeitverzögerte Signal s(t-τ) benutzt werden. Ein Signal hat mit sich
selbst die größte Ähnlichkeit, deshalb besitzt die Autokorrelationsfunktion ihr Maximum
bei τĂ=Ă0. Die Autokorrelationsfunktion eines stochastischen Signals geht mit zunehmenĆ
den τ gegen das Quadrat des Signalmittelwertes, d.h. gegen Null bei gleichanteilfreien
nichtperiodischen Signalen.
Ähnlich der Wahrscheinlichkeitsdichte versteht man unter dem Leistungsdichtespektrum
FSS (f) eines stationären Prozeses S(t) den Erwartungswert der mittleren Leistung eines infiĆ
nitesimal kleinen Frequenzintervalls bei der Frequenz f bezogen auf die Intervallbreite. Es
kann gezeigt werden (z.B. [4]), dass das Leistungsdichtespektrum FSS (f) mit der AKF
fSS (t) über die Fouriertransformation verknüpft ist:
F SS(f) + F[f SS(t)].
(12)
Mit Hilfe der AKF lassen sich in einem scheinbar regellosem Signal zeitliche Bindungen
aufdecken, wie sie beispielsweise zyklischen Komponenten verursachen. Periodische VorĆ
gänge äußern sich im Leistungsdichtespektrum FSS (f) als Spektrallinien, in der AKF als peĆ
riodischer Anteil.
2 Messtechnik
2.1 Messverfahren für Dichte und Verteilung
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Signal S(t)
eine bestimmte vorgegebene Schwelle s nicht überschreitet. Bei ergodischen Prozessen ist
diese Wahrscheinlichkeit durch die Summe der auf den gesamten Beobachtungszeitraums
T bezogenen Zeitintervalle gegeben, für die S(t)Ă≤Ăs gilt, siehe Bild 5.
P S(s) + lim 1 @
T+R T
ȍ
k+R
Dt k
(13)
k | S(t)ts
S(t)
s
T
Dt 1
Bild 5:
Dt 2
Dt 3
Zur Ermittlung der Verteilungsfunktion
6
t
Um die Wahrscheinlichkeitsdichte angeben zu können, müsste man den DifferentialquoĆ
tienten der Verteilung ermitteln. Da dies schaltungstechnisch nur sehr schwer durchzufühĆ
ren ist, ermittelt man stattdessen die Häufigkeit dafür, dass das Signal zwischen den SchwelĆ
len sx und sx Ă+Ă∆x liegt, siehe Bild 6. Dabei gilt: je kleiner ∆x, um so genauer die Messung
der Dichte.
S(t)
∆x
sx +Dx
sx
t
τ1
Bild 6:
τ2
τ3 τ4
Ermitteln der Dichte
Aus dieser Überlegung folgt das Messprinzip für Dichte und Verteilung nach Bild 7: Das
Signal muss mit der Schwelle sx bzw. einem Amplitudenfenster der Breite ∆x verglichen
werden, und die Zeiten der Schwellunterschreitung bzw. die Zeiten, in denen sich das SiĆ
gnal im Amplitudenfenster befindet, müssen aufintegriert werden. Die Komparatoren soĆ
wie das Und-Glied schalten dabei zwischen 0V und der festen aufzuintegrierenden SpanĆ
nung.
+
Schwelle 1
–
Verteilung
S1
Signal
–
&
+
Schwelle 2
Bild 7:
Dichte
+
–
Prinzipschaltung
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Verläufe von Verteilung und Dichte zu ermitteln: Zum
einen kann in der Anordnung nach Bild 7 die Schwelle in kleinen Stufen wachsen. Für jede
dieser Stufen wird die aufintegrierte Spannung ausgegeben und von einem X,Y-Schreiber
über der Schwellenspannung aufgezeichnet. Anschließend wird der Integrierer zurückgeĆ
setzt. Diese Funktionalität wird im Versuch durch ein Stochastikmessgerät bereitgestellt.
Die erforderlichen Steuersignale (Stufensignal und Taktsignal) liefert ein Steuergerät. (Es
wird an anderer Stelle als sogenanntes Wobbelsteuergerät eingesetzt, um die Frequenz eiĆ
nes Sinusgenerators oder eines frequenzselektiven Pegelmessers zu steuern, wodurch man
z.B. den Frequenzgang eines Verstärkers oder das Amplitudenspektrum eines Signals erĆ
mitteln kann; man spricht von "durchwobbeln".) Bei dem hier zu verwendenden Gerät ist
die Zeitdauer je Stufe (=ĂSchrittzeit) auf 66 ms einzustellen (siehe Bild 8). Das StufensiĆ
gnal (5 mV je Stufe) wird zur Steuerung des X,Y-Schreibers genutzt.
7
Takt–
signal
t
33 ms
Stufen–
signal
5 mV
t
66 ms
(Schrittzeit)
Bild 8:
Signale des Steuergerätes
Da das Steuergerät nur positive Spannungen erzeugt (0 V bis 10 V), wird im StochastikĆ
messgerät eine Spannung von -2,1 V addiert, so dass die niedrigste Schwelle, bei der das
Messgerät zu vergleichen beginnt, bei -2,1 V liegt, siehe Bild 9. (Setzt man das Steuergerät
zum Wobbeln ein, so entspricht das Stufensignal 0 V der Frequenz 0 Hz und 10 V der FreĆ
quenz 20 kHz.)
X–Eingang
= Channel
X, Y–Schreiber
Stufensignal
Y–Eingang
= Chart
Steuergerät
Taktsignal
Takt–
verarbeitung
–2,1 V
Nullsetzen
Schwelle 1
+
–
Signalquelle
Verteilung
S&H–
Takt
Integrieren
–
Signal
&
+
Schwelle 2
Dichte
S&H
+
–
Stochastikmeßgerät
Bild 9:
Messanordnung für Wahrscheinlichkeitsverteilung und –dichte
Wesentlich komfortabler arbeitet das ebenfalls eingesetzte digitale KlassenhäufigkeitsĆ
messgerät, bei dem die in Bild 7 skizzierte Anordnung mehrfach vorhanden ist, hier 4096
mal mit jeweils äqudistant nebeneinanderliegendem Messfenstern. Ersetzt man den InteĆ
grierer durch einen Zähler und tastet das zu analysierende Signal zu äquidistanten ZeitĆ
8
punkten ab, dann repräsentieren am Ende der Messzeit die auf die Anzahl der Abtastwerte
bezogenen Zählerstände die Klassenhäufigkeiten. Graphisch aufgetragen erhält man wieĆ
der eine Näherung für die Wahrscheinlichkeitsdichte.
(Man überlege sich, wie mittels A/D-Wandler, Rechner (Mikroprozessor mit Speicher
etc.) zweier D/A-Wandler und einem X,Y-Schreiber ein solches KlassenhäufigkeitsĆ
messgerät aufgebaut ist.)
2.2 Messverfahren für die Autokorrelation
Messtechnisch kann die AKF eines stationären und ergodischen Zufallsprozesses mit Hilfe
eines steuerbaren Laufzeitgliedes, eines Multiplizierers und eines Integrierers ermittelt
werden. Das Messprinzip der Autokorrelationsfunktion in Bild 10 folgt unmittelbar aus der
Gleichung
T
f SS(t) + f SS(* t) + y(t, t) + s(t) @ s(t–t) + 1
T
ŕ s(t) @ s(t–t) dt
(14)
0
und wird für den Versuch im Stochastikmessgerät realisiert.
s(t)
Bild 10:
τ
s(t–t)
f SS(t)
–
y(t, t) + s(t) @ s(t–t)
+
Messprinzip für die Autokorrelationsfunktion
Durch Variation der Verzögerungszeit τ kann man die AKF für verschiedene τ bestimmen.
Weil analoge Verzögerungsglieder in der Realisierung aufwendig sind, wurde für den LaĆ
borversuch eine digitale Signalverzögerungsschaltung entwickelt. (Aus Kausalitätsgründen
sind nur Zeitverzögerungen realisierbar. Wie sieht die AKF für negative τ aus?) Die ZeitĆ
verzögerung ist dabei proportional zu einer von außen angelegten Gleichspannung. In dieĆ
sem Versuch wird τ durch das Stufensignal des Steuergerätes eingestellt, siehe Bild 11.
X–Eingang
= Channel
Stufensignal
X, Y–Schreiber
Steuergerät
Y–Eingang
= Chart
Taktsignal
Takt–
verarbeitung
Nullsetzen
τ
Signalquelle
S&H–
Takt
Integrieren
–
Signal
+
Stochastikmeßgerät
Bild 11:
Anordnung zum Ermitteln der Autokorrelationsfunktion
9
S&H
2.3 Messverfahren für das Leistungsdichtespektrum
Das Leistungsdichtespektrum eines ergodischen Prozesses kann analog der WahrscheinĆ
lichkeitsdichte ermittelt werden, wenn das Amplitudenfenster in Bild 7 durch einen
schmalbandigen Bandpass mit nachfolgendem Quadrierer ersetzt wird. Um den Aufwand
gering zu halten, setzt man keine Filterbank sondern einen Bandpass mit durchstimmbarer
Mittenfrequenz ein, d.h. einen selektiven Pegelmesser und ein Wobbelsteuergerät, siehe
Bild 12.
X–Eingang
= Channel
Fremdabstimmung
X, Y–Schreiber
Steuergerät
Y–Eingang
= Chart
Taktsignal
Takt–
verarbeitung
Nullsetzen
f
Signalquelle
Signal
S&H–
Takt
Integrieren
Selektiver
Pegelmesser
–
+
S&H
Stochastikmeßgerät
Bild 12:
Anordnung zum Ermitteln des Leistungsdichtespektrums
Da aussagekräftige Spektrogramme für jede Frequenz eine lange Messzeit erfordern, arĆ
beiten moderne Leistungsdichte-Analysatoren nach dem Prinzip der gemittelten KurzĆ
zeitspektren. Diese erhält man aus der diskret Fouriertransformierten von geeignet gefenĆ
sterten und äquidistant abgetasteten Signalabschnitte. Diese Geräte werden auch als
FFT-Analyzer bezeichnet, da die diskrete Fouriertransformation mit dem Fast Fourier
Transform (FFT)-Algorithmus berechnet wird.
3 Literaturhinweise
[1] Litz, L.
Grundlagen und Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Vorlesungsskript, TU Kaiserslautern
[2] Urbansky, R. Nachrichtentheorie. Vorlesung an der TU Kaiserslautern
[3] Hänsler, E.
Grundlagen der Theorie statistischer Signale. Springer
[4] Papoulis, A.
Probability, Random Variables and Stochastic Processes.
McGraw-Hill
10
4 Versuchsdurchführung
4.1
Vorbereitende Aufgaben
Vor Versuchsbeginn (zu Hause) sind zwingend folgende Aufgaben zu lösen:
1)
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungs eines Sinussignals der PeriodenĆ
dauer T und der Amplitude A und daraus dessen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
2)
Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion einer Sinus- und einer RechteckĆ
schwingung der Periodendauer T.
3)
Geben Sie anhand der Literatur, z.B. [3] oder [4], die Wahrscheinlichkeitsdichte von
Gauß-verteiltem und Rayleigh-verteiltem Rauschen abhängig vom Mittelwert und
Varianz an. Gibt es eine geschlossene Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung?
4)
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte am Ausgang eines Betragbildners ( Ǹs2 ),
an dessen Eingang Gaußrauschen anliegt.
5)
Das Schwellensignal des Steuergerätes soll bei -2,1 V starten und bei +2,1 V stopĆ
pen. Berechnen Sie die erforderlichen Einstellungen, d.h. Startfrequenz und StoppĆ
frequenz. (siehe Abschnitt 2.1)
6)
Zeigen Sie, dass man mit Hilfe eines Drehspul- und eines Effektivwert-MessgeräĆ
tes die Varianz messen kann. Welche Voraussetzungen sind an den zugrundeliegenĆ
den stochastischen Prozess zu stellen.
4.2 Messgeräte zur Versuchsdurchführung
1 Analoges Stochastikmessgerät
1 Steuergerät
1 Digitales Klassenhäufigkeitsmessgerät
1 Signalverzögerungsgerät
1 Elektronischer Vollweg–Gleichrichter
1 Signalgenerator/Rauschgenerator
1 Zweikanaloszilloskop
1 X,Y– Schreiber
1 Kassettenrecorder mit 2 Kassetten
1 Digital–Voltmeter
1 Efektivwert–Messgerät
1 Netzgerät 0...15V
1 Frequenzanalysator
4.3 Versuchsaufgaben
Grundsätzlich gilt:
Für jede Aufgabe ist ein Messschrieb mit dem X,Y–Schreiber zu erstellen.
n.
Markieren Sie erledigte Teilaufgaben Die Bearbeitung optionaler Aufgaben [...] legt der Betreuer fest.
11
1)
Inbetriebnahme des analogen Stochastikmessgerätes
Das analoge Stochastikmessgerät ist über ein fünfpoliges Kabel mit dem Steuergerät verbunden,
es bezieht von dort seine Spannungsversorgung. Man schalte das Steuergerät ein und drücke die
PAUSE–Taste (um den Durchlauf zu unterbrechen). Nun ist auch das Stochastikmessgerät aktiviert und der Nullabgleich des Integrierers kann vorgenommen werden.
-
Buchse AUSGANG INTEGRIERER mit Oszilloskop verbinden (DC–Kopplung),
-
Schalter neben dieser Buchse auf EIN.
-
Das Potentiometer ABGLEICH so einstellen, dass das Ausgangssignal des Integrierers Nullpotential aufweist oder nur langsam davon wegdriftet.
-
Danach Schalter wieder auf AUS.
Anschliessend wird das Stochastikmessgerät mit der Signalquelle und dem Plotter verbunĆ
den:
- Ausgang des Funktionsgenerators mittels T–Stück mit Oszilloskop und Buchse EINGANG
SIGNAL des Stochastikmessgerätes verbinden,
-
Ausgang PLOTTERSTEUERUNG des Steuergerätes (Rückseite) an Buchse EINGANG
SCHWELLE des Stochastikmessgerätes anschiessen.
-
Buchse AUSGANG des Stochastikmessgerätes mit Eingang CHART des X,Y–Schreibers
verbinden,
-
Buchse AUSGANG SCHWELLE an Eingang CHANNEL des X,Y–Schreibers anschliessen.
-
Schalter rechts am Stochastikmessgerät auf Position DICHTE/VERTEILUNG.
Hinweis: Der Messvorgang wird durch Drücken des Tasters SETZEN und anschliessendes Drükken des Tasters DURCHLAUF am Steuergerät gestartet.
2)
Wahrscheinlichkeitsverteilung
-
Stellen Sie das Steuergerät auf eine Schrittzeit von 66 ms ein.
-
Das Schwellensignal soll bei –2,1 V starten und bei +2,1 V stoppen. Stellen Sie die in der Vorbereitenden Aufgabe 5) berechneten Werte für Startfrequenz und Stoppfrequenz am Steuergerät ein.
-
Schalter in der Mitte des Stochastikmessgerätes auf VERTEILUNG
-
X,Y–Schreiber–Einstellungen:
Y–Kanal
X–Kanal
Span = 0.5 V/cm
Span = 0.25 V/cm
Verniere: Pfeil in
obere Mittelstellung
Zero: Anpassen an
Papierposition
2.a) Bezugsmessung
Nehmen Sie bei ausgeschaltetem Funktionsgenerator die Verteilung auf.
Erklären Sie den Sprung der Verteilungskurven bei 0V.
12
2.b) Verteilung eines Sinussignals
Messen Sie die Verteilung eines Sinussignals (USS = 2 V) bei 100 Hz und bei 1000 Hz (Einstellung MODE am Signalgenerator auf FUNC).
Wodurch kommen die Schwankungen in der Verteilung bei 100 Hz zustande?
Erklären Sie diesen prinzipiellen Fehler des Messverfahrens, indem Sie den AUSGANG INTEGRIERER am Stochastikmessgerät mit dem Oszilloskop beobachten.
3)
Wahrscheinlichkeitsdichte
-
Potentiometer FENSTERBREITE am Stochastikmessgerät auf minimal (Linksanschlag)
-
Schalter am Stochastikmessgerätes auf DICHTE,
-
am X,Y–Schreiber CHART SPAN auf 0,5 V/cm einstellen, sonst wie bei Verteilung.
3.a) Dichte eines Sinussignals
Messen Sie die Dichte eines Sinussignals [und eines Dreiecksignals] (f = 1000 Hz, USS = 2 V).
Vergleichen Sie das Messergebnis mit dem in 3.2.1. berechneten Verlauf. Begründen Sie die Unterschiede.
3.b) Dichte gestörter Rechtecksignale
Im weiteren Verlauf der Messungen wird die Dichte mit dem digitalen KlassenhäufigkeitsĆ
messgerät bestimmt. Die Bedienungsanleitung liegt am Laborplatz aus.
-
Ermitteln Sie Varianz und Dichte eines Rechtecksignals (f = 100 Hz, USS = 2 V)
-
sowie eines stochastischen Signals (Drehschalter NOISE FREQ Rechtsanschlag, AmĆ
plitudeneinstellung unverändert).Welche Wahrscheinlichkeitsdichte vermuten Sie?
-
Ermitteln Sie die Dichte und die Standardabweichung eines mit Rauschen additiv überĆ
lagerten Rechtecksignals (Einstellung MODE am Signalgenerator auf S/N, DrehschalĆ
ter S/N auf 10 dB, USS [ 2 V, Frequenzeinstellung unverändert).
-
Diskutierten Sie für jedes der drei Signale die Ergebnisse.
-
Erklären Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des gestörten Rechtecksignals anhand der
Dichten der beiden Einzelsignale.
3.c) Dichte von Musik- und Sprachsignalen
Messen Sie die Dichte verschiedener Musiksignale und eines Sprachsignals mit dem digitalen
Klassenhäufigkeitsmessgerät. Wählen Sie die Eingangsabschwächung am Klassenhäufigkeitsmessgerät so, dass die Übersteuerungsanzeige sicher erlischt.
-
Verbinden Sie den PHONE–Ausgang des Kassettenrecorders mit dem Eingang des Klassenhäufigkeitsmessgerätes und stellen Sie den Lautstärkeregler des Kassettenrecorders auf ca.
3/4 der vollen Lautstärke.
13
-
Nehmen Sie die Dichte des Popmusiksignals [, des Klassikmusiksignals und des Sprachsignals] jeweils auf einem eigenen Blatt auf.
-
Ermitteln Sie messtechnisch die Varianz der Signale.
-
Charakterisieren Sie die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsdichten und versuchen Sie
diese anhand der verschiedenen Signaleigenschaften zu erklären.
4)
Gleichgerichtetes Gaußrauschen
Messen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte des Ausgangssignals einer Vollweggleichrichterschaltungen (Betragbildner), an dessen Eingang mittelwertfreies Gaußrauschen anliegt:
-
Stellen Sie Rauschen (Drehschalter NOISE FREQ Rechtsanschlag, AmplitudeneinstelĆ
lung unverändert) am Funktionsgenerator ein und speisen Sie das Signal in den elektroĆ
nischen Vollweggleichrichter.
-
Bestimmen Sie die Mittelwerte und die Standardabweichungen des Eingangs– und des Ausgangssignals.
-
Nehmen Sie die Dichte des Ausgangssignals auf und vergleichen sie die das Ergebnis mit der
Vorbereitenden Aufgabe 4).
-
Ermitteln Sie mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung den Median des Ausgangssignals.
Wie verändern sich Mittelwert und Median durch die Gleichrichtung?
5)
Autokorrelationsfunktionen und Leistungsdichtespektren
5a) Ermitteln der Spannungsabhängigkeit der Sinalverzögerungsschaltung
-
Verbinden Sie eine variable Gleichspannungsquelle mit VZZ_IN der Verzögerungsschaltung.
-
Geben Sie über ein T–Stück eine Sinusspannung von 1kHz auf den Y1–Eingang des Oszilloskops und auf SIG_IN des Verzögerungsgerätes.
-
Stellen Sie SIG_OUT des Verzögerungsgerätes über den Y2–Eingang des Oszilloskops dar.
-
Ermitteln Sie die Verzögerungskonstante ν = . . . . . . . . ms/V
-
Sie möchten Signale der Grundfrequenz 100 Hz (Periodendauer 10 ms) über zwei Perioden
autokorrelieren. Berechnen Sie die erforderliche Einstellung des Steuergerätes.
5b) Autokorrelation deterministischer Signale
-
Stellen Sie die in Teilaufgabe 5a) berechnete Stoppfrequenz am Wobbelsteuergerät ein.
-
Stellen Sie am Stochastikmessgerät den rechten Schalter auf KORRELATION.
-
Stellen Sie am Signalgenerator die Frequenz 100 Hz und die Spannung USS = 2 V ein.
-
Verbinden über ein T–Stück den Signalgenerator mit SIG_IN der Signalverzögerungsschaltung und EINGANG SIGNAL rechts oben am Stochastikmessgerät,
-
geben Sie das verzögerte Signal von SIG_OUT der Verzögerungsschaltung auf EINGANG
VERZ. SIGNAL des Stochastikmessgerätes.
-
Verbinden Sie das Signal PLOTTERSTEUERUNG des Steuergerätes mit dem Eingang
VZZ_IN der Verzögerungsschaltung und mit dem X–Eingang des X,Y–Schreibers.
14
-
Verbinden Sie das Signal AUSGANG mit dem Y–Eingang des X,Y–Schreibers.
-
X,Y–Schreiber–Einstellungen:
Y–Kanal
X–Kanal
Span = 0.5 V/cm
Span = 0.5 V/cm
Verniere: Pfeil in
obere Mittelstellung
Zero: Anpassen an
Papierposition
-
Eventuell muss der Nullpunkt des X–Kanals (Potentiomater ”Zero”) nachjustiert werden.
-
Messen Sie die Autokorrelationsfunktion einer Sinus– und einer Rechteckschwingung der Periodendauer T und vergleichen Sie die Messungen mit den in der vorbereitenden Aufgabe 2)
berechneten Ergebnissen. Wählen Sie T geeignet, vgl. Teilaufgabe 5a).
5c)
Autokorrelation verrauschter deterministischer Signale
Das Geräusch einer rotierenden Maschine wird analysiert, um deren Drehzahl abzuschätĆ
zen. Messen Sie die Autokorrelationsfunktion des Geräusches, das auf einer Audiokassette
aufgezeichnet wurde.
- Verbinden Sie den Ausgang des Kassettenrecorders über ein T–Stück mit SIG_IN der Verzögerungsschaltung und der Buchse EINGANG SIGNAL rechts oben am Stochastikmessgerät.
-
Spielen Sie die Kassette mit der Aufschrift ”Maschine” bei mittlerer Lautstärke ab und nehmen Sie die Autokorrelationsfunktion auf.
-
Dabei sind folgende Einstellungen zu beachten:
Y–Kanal
X–Kanal
Span = 0.5 V/cm
Span = 0.5 V/cm
Verniere: Pfeil in
obere Mittelstellung
Zero: Anpassen an
Papierposition
-
Steuergerät: Startfrequenz = 0 Hz, Stoppfrequenz = 19990 Hz
-
Bestimmen Sie aus dem Messschrieb die Grundfrequenz im Maschinengeräusch. Auf welche
Drehzahl schließen Sie?
5d) Leistungsdichtespektrum eines verrauschten deterministischen Signals
Ermitteln Sie das Leistungsdichtespektrum des Signals aus Aufgabe 5c) mit dem FFT-FreĆ
quenzanalysator.
- Einstellung FFT–Analysators: FREQ: span: 780 Hz ... 97,5 Hz; AVERAGE: 4, exponential;
MEAS: Window: Hanning; AUTOSCALE; mit Marker Frequenz und Leistung ausmessen.
-
Charakterisieren Sie die spektralen Komponenten des Signals.
-
Drucken Sie [ mit Betreuerunterstützung ] das Spektrogramm aus.
-
Vergleichen Sie die aus dem Spektrogramm ableitbaren Ergebnisse mit denen der TeilĆ
aufgabe 5c).
4.13
15