Kap. 4: Einige Grundtatsachen der Quantenmechanik

Kap. 4: Einige Grundtatsachen der Quantenmechanik
Quantenmechanik = lineare Algebra + eine Differentialgleichung 1. Ordnung
F Wie alles begann
F Vektoren → Hilbertraum
F Operatoren im Hilbertraum
F Dynamik: die Schrödingergleichung
F Der zweidimensionale Hilbertraum: Einzelne Qubits und Spins
F Zwei Qubits und die Dichtematrix
F Verschränkung
F Die Blochkugel
F EPR-Korrelationen und Bellsche Ungleichung
F Das No-Cloning-Theorem
F Der Messprozess
Wie alles begann
• Wollaston 1802, Fraunhofer 1814, Bunsen und Kirchoff 1859: Atome emittieren und absorbieren Licht mit charakteristischen Wellenlängen bzw. Frequenzen ν.
• Planck, Bohr, Einstein ca. 1900:
– Licht kommt in Quanten (Photonen), deren Energie proportional zur Frequenz ist:
E = hν =
h
(2πν) = ~ω
2π
– Atome existieren nur in bestimmten stationären Zuständen mit bestimmten Energien.
Die Differenzen dieser Energien sind die Energien der bei Übergängen absorbierten oder
emittierten Lichtquanten.
• Schrödinger 1926:
Zustände werden beschrieben durch Wellenfunktionen, deren zeitliche Entwicklung durch
die Schrödingergleichung beschrieben wird. Die möglichen Energiewerte ergeben sich als
Eigenwerte eines mit der Schrödingergleichung verknüpften Eigenwertproblems.
• Landau, Bloch 1927: Dichtematrix zur Beschreibung nicht abgeschlossener Systeme
Vektoren → Hilbertraum
Systeme mit einer endlichen Anzahl von Teilchen in einem endlichen Raumbereich (z.B. intakte
Atome) haben ein diskretes Spektrum von Energiewerten.
Analogie: Obertonspektrum einer gespannten (endlichen) Saite.
E
usw.
Es gibt auch ein kontinuierliches Spektrum. Wird ab sofort vernachlässigt.
(NB: Es wird sich noch früh genug lästig bemerkbar machen → Dissipation, Dekohärenz.)
Annahme: Anzahl d der möglichen Zustände ist endlich → mathematisch einfacher.
(d = 2 : Qubits.)
Postulat: Die Menge der möglichen Zustände bildet einen d-dimensionalen komplexen Vektorraum, den Hilbertraum.
• Stationäre Zustände eines Atoms kann man als Basisvektoren des Hilbertraums auffassen.
• Jede Linearkombination möglicher Zustände ist wieder ein möglicher Zustand. (Analogie:
Überlagerung zweier möglicher Schwingungsformen)
In einem Vektorraum gibt es Skalarprodukte,

 eine Norm, etc.:
a1
 a2 



d-dimensionaler (Spalten-)Vektor:  . 

 . 
ad
entsprechender (Zeilen-)Vektor (a∗1 , a∗2 , . . . , a∗d)
Physiker-Notation à la Dirac:
Spaltenvektor: |ai ( Ket-Vektor“)
” Pd
Skalarprodukt: ha|bi = i=1 a∗i bi
Norm: |||ai||2 = ha|ai > 0
(*: komplexe Konjugation)
Zeilenvektor: ha| ( Bra-Vektor“)
”
Es genügt, normierte Zustände |ψi zu betrachten, also hψ|ψi = 1. Außerdem sind die Zustände
|ψi und eiα|ψi(α reell) physikalisch äquivalent: ein Phasenfaktor vor dem gesamten Zustand ist
unwichtig. Hingegen sind relative Phasen zwischen Komponenten einer Zustands-Superposition
eminent wichtig: |φi + |ψi und |φi + eiα|ψi können sehr verschiedene Eigenschaften haben.
Operatoren im Hilbertraum
Operatoren bilden einen Zustand (linear) auf einen anderen ab:
d × d -Matrizen mit komplexen Elementen, die auf dem d-dimensionalen Hilbertraum operieren.
A|ψi = |φi
Besondere Klasse von Operatoren: Observablen, d.h. messbare Größen. Diesen entsprechen
selbstadjungierte (oder auch Hermitesche) Matrizen, d.h. solche mit
A† = A;
(A†)ij := (A)∗ji
Ein Eigenzustand |φq i (Eigenvektor) eines Operators Q hat die Eigenschaft:
Q|φq i = q|φq i
Die komplexe Zahl q heißt Eigenwert. Eigenwerte verschiedener Eigenzustände können gleich
sein (Trivialbeispiel: 1); Entartung.
Selbstadjungierte Operatoren haben reelle Eigenwerte (Messgrößen!); ihre Eigenzustände sind
paarweise orthogonal (cave Entartung), bilden also eine Basis im Hilbertraum.
A|aii = ai|aii (i = 1, . . . , d)
hai|aj i = 0 für i 6= j
... und mit Normierung gilt
hai|aj i = δij
( Kronecker-δ)
Eigenzustände und Eigenwerte beschreiben die Wirkung eines Operators vollständig, da ein
beliebiger Zustand aus Eigenzuständen von A linearkombiniert werden kann → Spektraldarstellung.
Weitere besondere Klasse von Operatoren: Projekt(ionsoperat)oren:
Pi := |aiihai|
Wirkung auf einen beliebigen Zustand |ψi
Pi|ψi = |aiihai|ψi = hai|ψi |aii
| {z }
Zahl
|hai|ψi|: Länge der Projektion von |ψi auf den Einheitsvektor |aii:
|ψ>
|a >
i
Für orthonormierte |aii (d.h. hai|aj i = δij ) gilt
PiPj = δij Pj ; insbesondere P2i = Pi
( Zweimal projizieren ist nicht besser als einmal.“)
”
Und da die Pi alle Richtungen“ des Hilbertraums erfassen:
”
d
X
Pi =
i=1
d
X
|aiihai| = 1
i=1
(Vollständigkeitsrelation).
Das war Vorarbeit für Spektraldarstellung von A:
A=
d
X
i=1
aiPi =
d
X
ai|aiihai|
i=1
Beliebiger Zustand wird nach Komponenten in Eigenrichtungen zerlegt, jede Komponente wird
entsprechend behandelt.
Wunsch: Operator, der die stationären Zustände als Eigenzustände und die möglichen Energiewerte als Eigenwerte besitzt.
Erfüllung: der Hamiltonoperator (Hamiltonian) H.
Postulat: Eine einzelne Messung der Observablen A im (normierten) Zustand
|ψi liefert einen
P
der Eigenwerte ai von A, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit |hai|ψi|2 ( i |hai|ψi|2 = 1 wg.
Normierung). Unmittelbar nach der Messung ist das System dann im (normierten) Zustand
Pi|ψi
.
||Pi|ψi||
Man spricht von der Reduktion oder dem Kollaps der Wellenfunktion.
Eine genaue Vorhersage des Ergebnisses einer Einzelmessung ist in der Regel nicht möglich. Eine
häufig wiederholte bzw. an einem Ensemble von gleichartig präparierten Systemen durchgeführte
Messung von A ergibt den Mittelwert (Erwartungswert)
hAi := hψ|A|ψi
mit Schwankungen beschrieben durch die Varianz
h(A − hAi)2i ≥ 0
( = “ für Eigenzustand )
”
Beachte: Zwei verschiedene Arten von Messungen !
Dynamik: die Schrödingergleichung
Postulat: Die Zeitentwicklung eines Zustands |ψ(t)i genügt der ( zeitabhängigen“)Schrödin”
gergleichung
d
i
|ψ(t)i = − H|ψ(t)i
dt
~
Mit dem Hamiltonoperator H. Sei nun |φii dessen Eigenzustand mit Energieeigenwert εi:
H|φii = εi|φii
( zeitunabhängige Schrödingergleichung“). Dann ist
”
εi t
|ψ(t)i = exp −i
|φii
~
eine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung zur Anfangsbedingung
|ψ(t = 0)i = |φii.
Offenbar tatsächlich ein stationärer Zustand: globaler Phasenfaktor hat keine Bedeutung.
Da man einen beliebigen Anfangszustand |ψ(t = 0)i aus den Eigenzuständen |φii von H
linearkombinieren kann, ist das Anfangswertproblem (im Prinzip) gelöst.
Formale Schreibweise für diese Lösung des AWP (für zeitunabhängiges H:
|ψ(t)i = exp −i
Ht
|ψ(t = 0)i.
~
Dabei ist der Zeitentwicklungsoperator U(t) := exp
i) Potenzreihe
Ht
exp −i
~
Ht
= 1 + −i
~
−i H~t
auf zwei Arten interpretierbar:
2
3
1
Ht
1
Ht
+
−i
+
−i
+ ···
2
~
6
~
ii) Spektraldarstellung
Ht
exp −i
~
d
X
εi t
=
exp −i
|φiihφi|
~
i=1
(NB: Für zeitabhängige H(t) ist U(t) als Lösung einer Operator-DGl zu berechnen; für ganz
allgemeine Zeitabhängigkeit ist die Lösung nicht einmal für d = 2 bekannt.)
Die Eigenwerte exp −i ε~it von U(t) sind alle vom Betrag 1; solche Operatoren nennt man
unitär. Unter der Wirkung eines unitären Operators U bleiben alle Skalarprodukte erhalten, d.h.
das Skalarprodukt von |ψi und |χi ist gleich dem von U|ψi und U|χi; insbesondere bleiben
Normen erhalten. Unitäre Operatoren sind also Drehungen“ im Hilbertraum.
”
Allgemeine Definition von Unitarität:
U†U = 1 ⇔ U† = U−1.
Für zeitunabhängiges H gilt plausiblerweise:
−1
(U(t))
= U(−t)
Unitäre Zeitentwicklung ist reversibel.
Zwei Arten von Zustandsänderungen:
i) unitäre Zeitentwicklung: deterministisch und reversibel
ii) Messung: probabilistisch und irreversibel.
Warum ist eine Messung etwas Anderes als ein beliebiger anderer physikalischer Prozess?
→ Messprozess.
Der zweidimensionale Hilbertraum: Einzelne Qubits und Spins
Oft kann man ein System so kontrollieren, dass nur zwei Zustände eine Rolle spielen; z.B.
Grundzustand (Zustand niedrigster Energie) und erster angeregter Zustand; manche Systeme
(Spins 1/2) können überhaupt nur zwei Zustände einnehmen. Aus Gründen der Analogie zu
klassischen Bits ebenso wie aus solchen der Schreibökonomie (2×2-Matrizen...) bieten sich
solche Systeme für das Quantencomputing an.
Viele subatomare Teilchen besitzen einen Spin
(Eigendrehimpuls), verknüpft mit einem magnetischen Moment (Elementardipol), das in einem
~ Zustände unterschiedlicher
äußeren Magnetfeld B
Energie einnehmen kann.
Im Gegensatz zu einem klassischen magnetischen
Moment kann ein quantenmechanisches nur
endlich viele Energiewerte in einem äußeren Feld
annehmen, und damit nur endlich viele mögliche
~
Richtungen zu B.
(Klassisches) magnetisches Moment im Feld
Feld
Feld
Moment
E = E 0 minimal
E > E0
Spin-1/2“-Teilchen (e−, p+, n0
): nur
Einstellm
zwei öglichkeiten ⇒ zweidi”
1
0
mensionaler Hilbertraum, mit Basisvektoren
und
; synonym | ↑i und | ↓i.
0
1
Extremfall:
Nur vier Grundoperatoren in diesem Hilbertraum:
P↑ =
P↓ =
S+ =
S− =
1 0
0 0
0 0
0 1
0 1
0 0
0 0
1 0
= | ↑ih↑ |
= | ↓ih↓ |
= | ↑ih↓ |
= | ↓ih↑ |
Physikalisch zweckmäßigere Kombinationen
dieser Operatoren sind die Folgenden:
1=
1 0
0 1
= P↑ + P↓
1
= (P↑ − P↓)
2
1 +
1
= (S + S−)
0
2
i
−i
= (S− − S+)
0
2
1
= Sy 2 = Sz2 = 1.
4
1 1
Sz =
2 0
1 0
Sx =
2 1
1 0
Sy =
2 i
Sx2
0
−1
Mithilfe dieser Spinmatrizen“ läßt sich der Hamiltonoperator eines (ortsfesten) Teilchens mit
”
Spin 1/2 in einem äußeren Feld mit Komponenten Bx, By , Bz angeben:
~ · ~S = −(BxSx + By Sy + Bz Sz).
H = −B
~ hier in extrem unüblichen (teilchenspezifischen) Einheiten.
B
1
.
0
~
entlang einer der
Bestimme den Zeitentwicklungsoperator U(t) für den Fall eines B-Feldes
Koordinatenrichtungen α = x, y, z.


iB
t
B
t
B
t
iHt
α
α
α

= exp 
2S
=
cos
1
+
i
sin
2Sα.
U(t) = exp −
α
|{z}
~
2~
2~
2~
Ein paar kleine Fingerübungen: Der Anfangszustand sei | ↑i =
Quadrat=1
Für α = z ist
U(t) =
exp
i B2α~t
0
0
Bα t
exp −i 2~
⇒
Bα t
|ψ(t)i = exp i
|ψ(0)i
2~
also stationär; kein Wunder: Anfangszustand = Eigenzustand von Sz (und damit von H).
Anders α = x:
Bα t
2~ Bα t
2~
Bα t
2~ Bα t
2~
cos
i sin
,
i sin
cos
also
Bα t
Bα t
Bα t
cos 2~ =
cos
|
↑i
+
i
sin
| ↓i.
|ψ(t)i =
Bα t
i sin 2~
2~
2~
Durchläuft also periodisch ein Kontinuum von Zuständen : Rotation im Hilbertraum“. (α = y:
”
ähnlich.)
U(t) =
Der allgemeinste Zustand eines Qubits ist eine beliebige normierte Linearkombination von | ↑i
und | ↓i, z.B. parametrisiert durch zwei Winkel:
ϕ
ϕ
θ
θ
|θ, ϕi = exp −i
cos | ↑i + exp i
sin | ↓i
2
2
2
2
(0 ≤ θ ≤ π; 0 ≤ ϕ ≤ 2π).
Das Qubit kann also zwei (beschränkte) reelle Zahlen speichern. Die Frage ist, wie man diese
Information lesen / schreiben / manipulieren kann (→ Rest der Vorlesung).
Man rechnet leicht nach, dass obiges Qubit ein Eigenzustand zum Operator
cos θSz + sin θ cos ϕSx + sin θ sin ϕSy
zum Eigenwert +1/2 ist. Man muss also nur“ mit einem hinreichend starken Magnetfeld in der
”
(θ, ϕ)-Richtung den Spin ausrichten, um das Qubit zu präparieren.
z
θ
y
ϕ
x
Zwei Qubits und die Dichtematrix
Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering
”
the properties of the quantum states of two qubits.“ (John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98)
Zwei Qubits und die Dichtematrix
Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering
”
the properties of the quantum states of two qubits.“ (John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98)
Quantensysteme der realen Welt koppeln immer an die Umgebung“, die wir in aller Regel
”
nicht in die quantenmechanische Betrachtung aufnehmen können / wollen: Wenn wir aber ein
Quantensystem betrachten, welches in Wirklichkeit nur Teil eines größeren Systems ist, dann
sind, im Gegensatz zu unseren bisherigen Glaubenssätzen
• Zustände nicht mehr Vektoren im Hilbertraum
• Messungen nicht mehr orthogonale Projektionen auf den Endzustand
• Zeitentwicklungen nicht mehr unitär.
Zwei Qubits und die Dichtematrix
Much that is weird and wonderful about quantum mechanics can be appreciated by considering
”
the properties of the quantum states of two qubits.“ (John Preskill, Physics 229, Caltech 97/98)
Quantensysteme der realen Welt koppeln immer an die Umgebung“, die wir in aller Regel
”
nicht in die quantenmechanische Betrachtung aufnehmen können / wollen: Wenn wir aber ein
Quantensystem betrachten, welches in Wirklichkeit nur Teil eines größeren Systems ist, dann
sind, im Gegensatz zu unseren bisherigen Glaubenssätzen
• Zustände nicht mehr Vektoren im Hilbertraum
• Messungen nicht mehr orthogonale Projektionen auf den Endzustand
• Zeitentwicklungen nicht mehr unitär.
Einfachstes Beispiel zur Veranschaulichung : ein Qubit A = System“, zugänglich; ein Qubit B
”
= Umgebung“, unzugänglich.
”
{| ↑iA, | ↓iA} und {| ↑iB , | ↓iB } sind orthonormale Basen für die beiden Teilsysteme.
Ein korrelierter (verschränkter, entangled) Zustand von 2 Qubits:
|ψi = a| ↑iA ⊗ | ↑iB + b| ↓iA ⊗ | ↓iB .
Messung des Zustands (Projektion auf die A-Basis) an Qubit A liefert
| ↑iA ⊗ | ↑iB mit Wahrscheinlichkeit |a|2
| ↓iA ⊗ | ↓iB mit Wahrscheinlichkeit |b|2.
In beiden Fällen liegt nach der Messung an A der Zustand von B fest: Verschränkung.
Messe nun eine Observable, die nur auf A wirkt:
MA ⊗ 1B .
Erwartungswert davon im Zustand |ψi:
hMAi = hψ|MA ⊗ 1B |ψi =
a∗Ah↑ | ⊗B h↑ | + b∗Ah↓ | ⊗B h↓ | MA ⊗ 1B a| ↑iA ⊗ | ↑iB + b| ↓iA ⊗ | ↓iB = · · ·
1B tut nichts an |...iB -Zuständen; B h↑ | ↓iB = 0 ⇒ nur zwei Terme überleben.
··· =
|a|2Ah↑
|MA| ↑iA +
|b|2Ah↓
2
2
|MA| ↓iA = Tr |a| P↑AMA + |b| P↓AMA =
2
2
= Tr |a| P↑A + |b| P↓A MA = Tr (ρAMA)
Dabei sind
P↑A =
1 0
0 0
P↓A =
0 0
0 1
Projektoren auf die ↑, ↓-Unterräume von A; Tr: Spur (trace) = Summe der Diagonalelemente
einer Matrix, also hier
Tr X =A h↑ |X| ↑iA +A h↓ |X| ↓iA.
2
|a|
0
ρA = |a|2P↑A + |b|2P↓A =
0 |b|2
ist der Dichteoperator (Dichtematrix); ist hermitesch, positiv und hat Spur 1.
Jeder Operator mit diesen Eigenschaften ist ein denkbarer Dichteoperator; ob er nun bezgl. der
gerade gewählten Basis diagonal sei oder nicht !
Jeder Dichteoperator ist eine Konvexkombination von eindimensionalen orthogonalen Projektoren:
X
X
ρ=
piPi, pi ≥ 0,
pi = 1; Tr Pi = 1 PiPj = δij Pi
i
i
2
⇒ Tr ρ =
X
i,j
p i pj Pi Pj =
X
i
p2i
≤
X
pi = 1
i
Gleichheit nur, wenn alle pi = 0 oder 1 (⇒ p2i = pi).
Dann ist ρ gleich einem eindimensionalen Projektor und es gilt ρ2 = ρ.
Ist ρ2A = ρA (z.B. für |a| = 1 und b = 0 in unserem Beispiel, also einen unverschränkten
Zustand), so ist ρA ein Projektor auf einen Hilbertraumvektor: reiner Zustand (sonst: gemischter
Zustand, inkohärente Superposition“).
”
Dann ist also ρ = |ψihψ| und damit
hAi = Tr ρA = Tr |ψihψ|A =
X
hi|ψihψ|A|ii =
X
i
also das, was wir aus der elementaren“ QM gewohnt sind.
”
i
hψ|A|iihi|ψi = hψ|A|ψi,
Rückblick: |ψi = a| ↑iA ⊗ | ↑iB + b| ↓iA ⊗ | ↓iB war ein Vektor im großen“ Hilbertraum;
”
beide Untersysteme korreliert (verschränkt, entangled). Bei Messung nur an A ist über alle
Möglichkeiten für B zu summieren ( partielle Spurbildung über Hilbertraum von B“).
”
Hier gehen die Phasen von a, b verloren und es bleiben die Wahrscheinlichkeiten |a|2, |b|2.
Der allgemeinste unverschränkte Zustand hat die Gestalt
|φi =
a| ↑iA + b| ↓iA ⊗ c| ↑iB + d| ↓iB ,
|a|2 + |b|2 = |c|2 + |d|2 = 1.
Hier liefert Spurbildung über B (Übung!)
ρA =
2
|a|
a∗b
∗
b a
|b|2
= ρ2A
also einen reinen Zustand (Übung: verifizieren!)
Die Phasen von a und b bleiben in den Nichtdiagonalelementen erhalten; deshalb heißen diese
z.B. in der NMR auch Kohärenzen, während die Diagonalelemente aus naheliegenden Gründen
Populationen heißen.
NB: Diese Unterscheidung hängt ab von der benutzten Basis im Hilbertraum; im Experiment
gibt es aber oft eine natürliche“ Basis.
”
Verlust der in den Phasen gespeicherten Information (welche die QM gegenüber einer probabi”
listischen klassischen Mechanik“ auszeichnet) : Dekohärenz.
Typischer Verlauf:
Am Anfang sind System A und Umwelt B nicht verschränkt ⇒ A ( allein betrachtet“) ist in
”
einem reinen Zustand.
Wechselwirkungen führen zu Verschränkung zwischen System und Umwelt ⇒ A ist in einem
gemischten Zustand.
Genauere Quantifizierung von Verschränkung bzw. Reinheit als ja/nein ist möglich; später.
Verschränkung
Verschränkung
Verschränkter Apfelkuchen:
Verschränkung
Verschränkter Apfelkuchen:
Verschränkung im Schrank:
Ein Zustand eines aus zwei Teilsystemen A und B bestehenden Systems heißt verschränkt
(entangled), wenn er nicht als Produktzustand |ψiA ⊗ |φiB dargestellt werden kann.
Es gibt viele Maße für die Verschränkung von Zuständen: für zwei oder mehr Untersysteme,
reine und gemischte Zustände....
Zwei Qubits, reine Zustände:
|χi = α| ↑iA ⊗ | ↑iB + β| ↑iA ⊗ | ↓iB + γ| ↓iA ⊗ | ↑iB + δ| ↓iA ⊗ | ↓iB
(|α|2 + |β|2 + |γ|2 + |δ|2 = 1, Normierung). Definiere die Concurrence (Mitwirkung, Übereinstimmung, Zusammentreffen)
C := 2|αδ − βγ| ≥ 0
Übungsaufgabe: Ist diese Größe abhängig von der Ein-Qubit-Basis? Schreibe den Zustand |χi
um unter Benutzung der Basiszustände |±i = √12 (| ↑i ± | ↓i) und drücke C aus durch die
entsprechenden Entwicklungskoeffizienten.
Übungsaufgabe: C ≤ 1; C = 0 ⇔ |χi ist ein Produktzustand.
Beispiel: |ψi = a | ↑iA ⊗ | ↑iB + b | ↓iA ⊗ | ↓iB
p
Für diesen Zustand ist C = 2|ab| = 2|a| 1 − |a|2 ≤ 1;
für a = ±b = √12 ist |ψi maximal verschränkt.
Die vier maximal verschränkten Zustände
1
√ | ↑iA ⊗ | ↑iB ± | ↓iA ⊗ | ↓iB
2
1
√ | ↑iA ⊗ | ↓iB ± | ↓iA ⊗ | ↑iB
2
heißen Bell-Zustände; sie bilden die Bell-Basis im Hilbertraum zweier Qubits. In jedem BellZustand ergibt eine Messung eines einzelnen Qubits völlig zufällige Ergebnisse; die vier Zustände
können durch Messungen an Einzel-Qubits nicht unterschieden werden.
Concurrence kann auf gemischte Zustände verallgemeinert werden.
N Qubits, reine Zustände:
Definition für globale Verschränkung (Wei et al. ArXiv quant-ph/0405162) eines Zustands Ψ:
durch den maximalen Überlapp mit einem Produktzustand
Λmax(Ψ) = max |hΦ|Ψi|
Φ
wobei Φ ein beliebiger (reiner) N -Qubit-Zustand sein kann. Die Verschränkung (E für entanglement) wird dann definiert durch entanglement as
Elog2 (Ψ) = − log2 Λ2max(Ψ).
Diese Größe wird 0 für Produktzustände und 1 für N = 2 und Bell-Zustände; ebenso für die so
genannten GHZ-Zustände.