Grundlagen des Quantencomputers

Grundlagen des Quantencomputers:
Grundlegende und elementare
quantenmechanische Vorraussetzungen
Gabriela Herzog
November 2003
Universität Hamburg
Proseminar Quantenmechanik 2
Inhaltsverzeichnis
1 Der Begiff des Qubits
2
2 Multi-Qubit-System vs Klassisches Bit-System
4
3 Die Verschränkung
5
4 Umwelt und Dekohärenz
6
5 Das Problem der Messung
8
6 Literaturverzeichnis
9
1
1
Der Begiff des Qubits
Was ist ein Cbit? Was ist ein Qubit?
Die fundamentalste Grösse der Informationswissenschaft ist das Cbit (classical Bit). Im allgemeinen ist dies
ein System, das zwei mögliche Werte annehmen kann:
0“ und 1“. Physisch kann man sich ein solches Cbit
”
”
als einen Schalter vorstellen, der auf AN“ oder AUS“
”
”
steht, abstrakt durch einen Pfeil, der nach oben oder unten weist.
Das quantenmechanische Analogon dazu ist das Qubit,
Abb.1:Ein Cbit kann ein System, das einen reinen Zustand eines 2-dimensionalen
einen von zwei
Hilbertraumes annehmen kann. Jedes quantenphysikaliZuständen
sche 2-Zustands-System kann durch einen solchen Hilbereinnehmen.
traum beschrieben werden. Wie das klassische Bit kann
das Qubit auch die Zustände |0 > und |1 > einnehmen (Im Folgenden wird
stillschweigend angenommen, dass diese beiden Orthonormalbasis des Hilbertraumes bilden). In der Literatur findet man gleichberechtigt auch oft Spinund Matrixnotation:
1
(1)
|0 >= | ↑>z =
0
0
|1 >= | ↓>z =
(2)
1
Kurz gesagt:
Jedes quantenphysikalische System, welches zumindest zwei
Zustände hat, kann als Qubit dienen.
Einen generell normierten reinen Zustand des Systems kann man durch einen
Zustandsvektor beschreiben, welcher die kohärente Superposition von | ↑> und
| ↓> darstellt (der einfacheren Leseweise wegen bleiben wir jetzt in der SpinNotation):
|Ψ >
|α| + |β|2
2
= α| ↑> +β| ↓>
= 1 mit α, β ∈
(Normierung)
(3)
(4)
Das heisst: Im Unterschied zu einem Cbit kann ein Qubit auch noch andere
Zustände als 0“ und 1“ annehmen, undzwar auch Überlagerungen von 0 und
”
”
1!
2
Abb.2:Ein Qubit kann viele mögliche Zustände einnehmen:hier duch einen Pfeil dargestellt, der vom Mittelpunkt der Kugel auf deren
Oberfläche weist. Der Nordpol entspricht dem Zustand 1, der Südpol 0, und die
anderen Punkte auf der Oberfläche sind Superpositionen.
Eine andere Art der Darstellung eines Zustandes kann durch eine (2 × 2) Dichtematrix ρ̂ erfolgen. Für den Fall eines reinen Zustandes der Form (3) nimmt
ρ̂ die Form
|α|2 α∗ β
(5)
ρ̂rein := |Ψ >< Ψ| =
αβ ∗ |β|2
an. Mit dieser Art der Darstellung arbeitet es sich oft einfacher, bzw. (bei geeigneter Basiswahl) liest sich manches schneller ab. Beispiel: Wenn
Spurρ̂ = Spurρ̂2
(6)
gilt, stellt diese Matrix einen reinen Zustand dar, d.h. es gehört genau eine
Wellenfunktion dazu!
Beispiele für die Realisation eines Qubits:
Abb.3: Beispiele für Qubits (Quelle: Proseminar: Neueste Trends bei Hochleis”
tungsrechnern“, M.Emal Alekozai).
Eine weitere Möglichkeit wäre ein Teilchen in einem symmetrischen DoppelBrunnen-Potential mit Temperatur unterhalb der Anregungsenergie(so ist gewährleistet, daß dieses Teilchen nicht über den Potentialwall hinweg“ den Brunnen
”
wechselt). Die Bewegung ist dahingehend beschränkt, dass sie in dem Hilbertraum liegt, der durch die beiden Grundzustände |R > und |L > (rechtes und
linkes Potential) aufgespannt wird.
Welche dieser Möglichkeiten Verwendung findet, hängt letztendlich von den
technischen Realisationsmöglichkeiten ab.
3
2
Multi-Qubit-System vs Klassisches Bit-System
Was ist nun der entscheidende Vorteil von Qubits gegenüber Cbits?
Man betrachte den fundamentalen Unterschied zwischen diesen beiden: Ein klassisches System mit zwei möglichen Zuständen ist zu jedem Zeitpunkt in einem
der beiden, und (in IT-Sprache ausgedrückt) codiert somit ein Bit“ an Infor”
mation.
Ein quantenphysikalisches
2-Zustands-System wird im Gegensatz dazu durch
eine komplexe Zahl α
β charakterisiert, die das Verhältnis der Amplituden der
zwei zu besetzenden Zustände angibt. Betrachtet man einen gesamten Satz an N
2-Zustands-Systemen wird dieser Unterschied spektakulärer: Im klassischen Fall
codieren N Systeme N Bits (Das gesamte ist exakt die Summe der Einzelteile).
Im quantenmechanischen Fall betrachten wir zunächst den Spezialfall eines Zustandes, welches das einfache Produkt der Wellenfunktionen von individuellen
Systemen ist, d.h.:
ψ(1, 2, . . . , N ) = χ1 (1)χ2 (2) . . . χN (N )
(7)
Eine solche Wellenfunktion wird durch N komplexe Koeffizienten αβii parametrisiert, das heisst, die Menge an Information“ ist nicht grösser als für ein
”
einzelnes System (ein Amplitudenverhältnis =
ˆ eine Information). Hier kommt
der Knackpunkt: Wenn wir die Sammlung von N-Qubit-Systemen als ein einzelenes System betrachten, dann ist der Hilbertraum 2N -dimensional. Es gibt
keinen Grund, warum wir uns nicht einen beliebigen Zustandsvektor in diesem
Raum überlegen können, denn dann können wir den allgemeinen Zustandsvektor als
ψ(1, 2, . . . , N ) =
C{ηi } ψ {ηi }
(8)
ηi
bezeichnen, wobei ηi den Basiszustand des Qubit i, Cηi = Cη1 η2 ...ηN die komplexen Koeffizienten angibt, und ψ {ηi } die Produktzustände sind. Da jedes ηi
2 mögliche Werte hat, ist die Anzahl an komplexen Koeffizienten Cη i 2N , eine
Zahl, die exponentiell mit N ansteigt! Dieser exponentielle Anstieg verleiht dem
Quantencomputer einen enormen Vorteil gegenüber dem klassischen Computer,
der nur einen linearen Anstieg des Informationsgehaltes besitzt. In der Anwendung hat dies zur Folge, dass man parallele Berechnungen durchführen kann:
Wendet man einen Rechenschritt auf ein präpariertes klassisches 5-Bit-Register
an, erhält man das Ergebnis dieser Rechenoperation auf die eine Zahl, die das
Register codiert hatte. Präpariert man dagegen ein 5-Qubit-Register so, dass es
alle 25 = 32 Zahlen gleichzeitig darstellt, so erhält man nach Ausführung der
Rechenoperation das Ergenbnis für alle 32 Zahlen! Oder andersherum ausgedrückt: Für eine mathematische Operation, die ein N-Qubit-Register in einem
Schritt durchführt, braucht ein klassischer Rechner 2N Rechenschritte, oder 2N
Prozessoren müssen gleichzeitig daran arbeiten.
Entscheidend für diesen Vorteil ist jedoch die Phasenkohärenz (ausgedrückt
durch die komplexen Koeffizienten Cηi ), diese muss während der Kalkulation
4
erhalten bleiben. Ist dies nicht der Fall, so verhält sich das N-Qubit-System so,
als ob“ es definitiv in der Konfiguration ηi wäre, also nicht anders, als ein klas”
sisches System:
Bei einem N-Qubit-System wächst die Zahl der gleichzeitig
darstellbaren Zustände exponentiell (2N ).
Dies hat zur Folge, dass man parallele Berechnungen
durchführen kann.
Entscheidend für die Durchführung paralleler Berechnungen ist
die Erhaltung der Phasenkohärenz
In Abschnitt 4 werden wir darauf zurückkommen. An dieser Stelle soll ein
weiteres wichtiges Phänomen vorgestellt werden:
3
Die Verschränkung
Verschränkte Systeme verhalten sich über beliebige Entfernungen so, als ob sie
miteinander verbunden wären. Am einfachsten lässt sich dieses Phänomen an
einem Beispiel erläutern: Man betrachte ein System aus zwei Elektronen, die
sich in dem Zustand
1
|ψ >= √ (| ↑>1 | ↓>2 −| ↓>1 | ↑>2 )
(9)
2
befinden. Diese beiden Elektronen sind miteinander verschränkt: Eine Messung
des Spins des einen Elektrons legt den Spinzustand des anderen fest. Falls das
Ergenbnis der Messung des ersten Teilchens Spin up ergibt, so ist das zweite im
Zustand Spin down, und umgekehrt. Charakteristisch für einen verschränkten
Zustand ist, daß er sich nicht faktorisieren lässt. Auch dies sei an diesem Beispiel
gezeigt: Ließe sich dieser Zustand faktorisieren, so könnte man ihn folgendermaßen darstellen:
|ψ >
= |e1 > |e2 >
(10)
Mit dem Ansatz
|e1 >
=
α1 | ↑>1 +β1 | ↓>1
(11)
|e2 >
=
α2 | ↑>2 +β2 | ↓>2
(12)
folgt
|e1 > |e2 >=
(10.a)
α1 α2 | ↑>1 | ↑>2 +α1 β2 | ↑>1 | ↓>2 +β1 α2 | ↓>1 | ↑>2 +β1 β2 | ↓>1 | ↓>2
Wenn der Zustand |ψ > allerdings fakotisierbar wäre, müsste gelten:
, α1 β2 = √12
α1 α2 = 0
β1 α2 = − √12 , β1 β2 = 0
5
Dies lässt sich jedoch nicht gleichzeitig erfüllen, und somit ist der Zustand nicht
faktorisierbar, also verschränkt. Dieses Phänomen kann nicht nur für Rechenoperationen ausgenutzt werden, sondern findet auch in der Kryptographie und
in der Teleportation seine Verwendung.
Für den Quantencomputer werden die kohärente Superposition
und die Verschränkung als quantenphysikalische Effekte
ausgenutzt.
4
Umwelt und Dekohärenz
Betrachten wir einmal den Aufbau eines Quantencomputers. Schematisch besteht er aus drei Teilen:
S - Das System. Dies ist nichts anderes als unser Sortiment an N Qubits,
die man durch die verschiedenen Zustände der Form (8) führt.
C - Die Kontrolle (control) bezeichnet das externe Gerät, das vom Experimentator dazu beauftragt wird, das System durch diese Zustände zu führen.
Die einfachste Form der Kontrolle ist ein Satz von zeitabhängigen Magnetfeldern, die unabhängig auf die einzelnen Qubits wirken. Dies entspricht einem
Hamilton der Form
N
Ĥ(t) = −
1
Hi (t) · σi
2 i=1
(13)
wobei die Grössen Hi (t) als klassisch und unter der Kontrolle des Experimentators angesehen werden können. Ein Hamilton dieser Form jedoch wäre von nicht
sehr großem Interesse. Man kann sich davon überzeugen, daß er einen Ausgangszustand der Form (7) wieder in einen Produktzustand überführt. Interessanter
wäre ein Verschränkung generierender Hamilton der Form
Ĥ(t) = −
N
αβ
Jij
(t) · σiα σjβ
(14)
i,j=1
wobei i und j die verschiedenen Qubits, α und β kartesische Komponenten
bezeichnen. Offensichtlich sind Terme, die drei oder mehr Qubits miteinander
verschränken möglich, aber in der Praxis sind sie um einiges schwerer umzusetzen als der obige. Dieser ist in der Regel schon genug, um einen Grad an
Verschränkung zu generieren, der im Kontext eines Quantencomputers von Interesse ist. Ein bekannter Spezialfall dieses Hamiltons ist der sogenannte Heisenberg Hamilton, definiert durch die Wahl
αβ
= Jij δαβ
Jij
(15)
Ein solcher Hamilton entwickelt einen Zustand | ↑>1 | ↓>2 in einen verschränkten Zustand des Form α| ↑>1 | ↓>2 +β| ↓>1 | ↑>2 . An dieser Stelle sei noch
6
angemerkt, daß auch die Vorbereitung des Anfangszustandes, sowie die Messung
des Endzustandes unter Kontrolle“ fallen.
”
E - Die Umwelt (environment) ist ein Sammelbegriff für alle Komponenten des Universums, mit denen das System in Laufe seiner Entwicklung
ungewollt wechselwirkt. Und das ist leider unvermeidlich. Typische Beispiele
wären, im Falle eines Kernspins die Schwarzkörperstrahlung, für Ionen in einer
Ionenfalle könnte es eine Wechselwirkung mit den Leitungselektronen in den
Wänden der Falle sein. Letzteres stellt sehr anschaulich dar, daß die Ursache
dieser Störungen“ physikalisch nicht unbedingt ausserhalb des Quantencompu”
ters liegen muss, sie kann durchaus durch bestimmte Teile der Kontrolle induziert werden!
Nun wollen wir ein Gedankenexperiment machen: Angenommen wir haben
zwei Systeme. System 1 ist ein Qubit, System 2 wollen wir nicht näher spezifizieren. Im ersten Durchgang sei die Wechselwirkung zwischen ihnen abgeschaltet“
”
und wir nehmen an, daß die Beschreibung des Anfangszustandes faktorisierbar
ist:
ψ(1, 2) = | ↑>1 χ(2)
(16)
mit χ(2) als irgendeinen normierten Zustand des Systems 2. Nun präparieren
wir System 1 durch geeignete Kontrollpulse Hi in eine kohärente Superposition:
ψ(1, 2) = (α| ↑>1 +β| ↓>2 )χ(2)
(17)
Durch Messung, beispielweise der Erwartungswertes von σx des Systems 1,
können wir zeigen, daß es sich in einer Überlagerung befindet.
Nun schalten wir die Wechelwirkung ein: Im allgemeinen Fall ist der Zustand
(17) kein Eigenzustand des Wechselwirkungshamilton ĤW W , so daß der resultierende Zustandsvektor des Systems von der Zeit und der speziellen Form von
ĤW W abhängt. Der entscheidende Punkt ist: Ausser unter sehr speziellen Voraussetzungen, werden wir durch die Wechselwirkung keinen Produktzustand
erhalten, sondern eine Verschränkung der Systeme. Der allgemeinste Fall des
resultierenden Zustandsvektor können wir schreiben als
ψ(1, 2(t)) = α(t)χ↑ (2(t))| ↑> +β(t)χ↓ (2(t))| ↓>
(18)
mit zwar normierten Zuständen χ↑,↓ des Systems 2, aber ansonsten in keiner
speziellen Relation zueinander (im allgemeinen nicht unbedingt orthogonal oder
identisch). Es ist leicht zu ersehen, daß eine Messung des Erwartungswertes von
σx des Systems 1 hier im allgemeinen ein anderes Ergenbnis liefert, als im obigen
Fall. Führt man die Rechnung explizit durch, so erhält man als Ergebnis für den
Erwartungswert
< σx >= 2Re {α∗ β(χ↑ (2), χ↓ (2))}
(19)
mit ( , ) als dem üblichen Skalarprodukt im Hilbertraum. Man sieht: sind die
beiden Zustände χ↑ (2), χ↓ (2) orthogonal zueinander, so ist der Erwartungswert
0. Genau dieses Ergebnis erhält man auch bei der Betrachtung eines Mischzustandes! In anderen Worten: Das System 1 hat seine Phasenkohärenz verloren.
7
Diesen Verlust der Phasenkohärenz eines Systems nennt man Dekohärenz.
Das größte Problem bei der Realisierung eines
Quantencomputers ist die Verhinderung der Wechselwirkung mit
der Umwelt, oder anders ausgedrückt, die Dekohärenz.
5
Das Problem der Messung
Der Ausgangspunkt unserer Betrachtungen waren die unterschiedlichen Möglichkeiten von Qubit und Cbit: Ein Qubit vermag sich in einer Superposition der
beiden möglichen Zustände befinden, in | ↑> UND | ↓>. Aber dennoch: Wenn
man eine Messung durchführt, so ergibt sie immer | ↑> ODER | ↓>! Dies ist das
fundamentale Messparadoxon der Quantenmechanik. Wie wird aus einem UND
ein ODER? Dieses Problem kann auf 1936 mit dem Auftritt von Schrödingers
”
Katze“ datiert werden. Seit diesem Zeitpunkt sind viele Erklärungen, bzw. Erklärungsversuche gemacht worden. An dieser Stelle seien lediglich zwei davon
vorgestellt:
Zunächst die sogenannte statistische-Interpretation“. Sie vertritt die Ansicht,
”
daß die einzig legitime Interpretation des QM-Formalismus diejenige sei, formale Rechnungen durchzuführen, und deren alleinige Funktion sei die Vorhersage
der Wahrscheinlichkeit einen bestimmten makroskopischen Zustand (Erbgebnis)
zu bekommen. Abgesehen davon habe dieser Formalismus keine Aussage.
Eine andere Möglichkeit der Erklärung gibt die Dekohärenz-Lösung“. Bei dem
”
Messprozess erfolgt eine Verschränkung der (mikroskpisch unterscheidbaren)
Zuständen des Qubits mit den (makroskopisch unterscheidbaren) Zuständen
|E↑↓ > der Umwelt durch den Messapparat:
ψges = α| ↑> |E↑ > +β| ↓> |E↓ >
oder als Dichtematrix des Qubits ausgedrückt:
|α|2
α∗ β < E↑ |E↓ >
.
ρ̂ =
αβ ∗ < E↓ |E↑ > |β|2
(20)
(21)
Wenn |E↑ > und |E↓ > gegenseitig orthogonal sind, hat das zur Folge, daß
die Nicht-diagonal-Elemente der Dichtematrix verschwinden, und die Messung
genau dasselbe Ergebnis wie die eines Mischzustandes liefert, nämlich nichts
anderes als mit einer Wahscheinlichkeit |α|2 den einen und mit |β|2 den anderen
Zustand.
Bei einer Messung wird das zu messende System mit dem
Messgerät/der Umwelt verschränkt und kollabiert auf einen
Zustand.
8
Abb.4: Dekohärenz durch Messung.(Quelle: Hauptseminarvortrag, Grundlagen
der Quanteninformationsverarbeitung, Michael Eckart, Universität Ulm)
6
Literaturverzeichnis
• Fundamentals of quantum information: Quantum computation, commu”
nication, decoherence and that all“, Dieter Heiss, Springer Verlag
• The Physics of Quantum Information. Quantum Cryptography, Quan”
tum Teleportation, Quantum Computation“, Dirk Bouwmeester, Artur
K. Ekert, Anton Zeilinger, Artur Ekert, Cambridge University Press
• Quantenkorrelationen und die Bellschen Ungleichungen“, Gernot Alber
”
und Matthias Freyberger, Physikalische Blätter 55 (1999) Nr.10
• Etwas leichtere Kost“: Spielregeln für Quantencomputer“, Michael A.
”
”
Nielsen, Spektrum der Wissenschaft, Ausgabe April 2003
• Mit Spintronik auf dem Weg zum Quantencomputer“, David D. Awscha”
lom, Michael E. Flatté und Nitin Samarth, Spektrum der Wissenschaft,
Ausgabe August 2002
9