Magnetostatik: statische Magnetfelder (j = const.)
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E. Riedle E2p 06.07.2007 Magnetostatik: statische Magnetfelder (j = const.) Experimentelle Beobachtungen: – es gibt elektrisch neutrale Körper (Eisen, "Magnete", ...) die sich je nach Ausrichtung anziehen oder abstoßen – werden diese Permanentmagnete in der Mitte auseinandergebrochen, so entstehen zwei Teile mit den ebensolchen Eigenschaften – es werden keine "magnetischen Monopole" gefunden, sondern nur "Nordpol" und "Südpol" im gleichen Objekt – Eisenpulver richtet sich in der Nähe von Magneten entlang Linien aus – ein Magnet, der an einem Faden aufgehängt ist, richtet sich aus – in der Nähe eines Strom-durchflossenen Leiters ist ebenfalls eine Ausrichtung von Magneten zu finden – zwei Strom-durchflossene Leiter ziehen sich an oder stoßen sich ab. E. Riedle Prof. Paschos, Paschos, Prof. Wille SS 1999 Kompaßnadel PhysikLMU Dipol Magnetstab Zwischen Kompaßnadel und Magnetstab wirkt eine Kraft. Das ist ein erster Nachweis des magnetischen Kraftfeldes Feldlinien eines magnetischen Dipols Feldlinien an einem Pol Das magnetisches Feld • Alle genannten Beobachtungen führen zu der Folgerung, dass es eine zusätzliche Kraft geben muss! • Diese wird im magnetischen Feld zusammengefasst • die magnetischen Feldlinien sind immer geschlossen • Ähnlich zum Coulomb-Gesetz findet man für zwei Pole G F f< p1< p2 Gˆ r r2 mit f 1 4 SPo wobei Po 4S < 107 V <s A <m magnetische Permeabilitätskonstante E. Riedle PhysikLMU Die magnetische Feldstärke G • Die Größe H G § F lim ¨ p2 of ¨© p2 · ¸¸ wird als magnetische Erregung bezeichnet ¹ • Die magnetische Feldstärke wird definiert durch >H@ 1 A m >B @ 1 Vs m2 1 Tesla für 2 parallele Leiter gilt (Oersted): 1T G B 1 Gauß G F12 A G Po < H 1G Po ,1 , 2 G r 2S r 10 4 T G F21 A Damit ergibt sich die Definition der Stromstärke: 1 A ist diejenige Stromstärke, die zwischen zwei unendlich langen, geraden Leitern im Abstand von 1 m eine Kraft von 2•10-7 N pro m verursacht. E. Riedle PhysikLMU Ampèresches Gesetz Experimentell wird für einen Strom durch einen Leiter und das dadurch erzeugte Magnetfeld gefunden: G G H v³ < ds G G B v³ < ds , Po < , Hierbei ist der Integrationsweg beliebig, solange er geschlossen ist und eine Fläche umschließt, die vom Strom durchflossen wird. Speziell bei symmetrischen Anordnungen kann aus dem Ampèreschen Gesetz das Magnetfeld berechnet werden. E. Riedle Prof. Paschos, Paschos, Prof. Wille SS 1999 r j j r B B Die Richtung von Strom und Magnetfeld kann einfach durch die „rechte Hand“ demonstriert werden. PhysikLMU Veranschaulichung der „Rechte-Hand-Regel“ Biot – Savart I E. Riedle PhysikLMU Magnetfeld einer Stromverteilung Das Fadenelement der Stromverteilung erzeugt den Beitrag zum Magnetfeld G G dB r G G G P o d, d A x r r ' G G 3 4S r r' Berücksichtigung der "Geometrie" ergibt: d, G G G j r ' < dA G G dB r G G B r Po 4 S ³³³ G d, d A und G G G G j r ' d A dA G G j r ' dV ' G G G G j r 'x r r ' dV ' G G 3 4S r r' Po G G G G j r 'x r r ' dV ' G G 3 r r' Bio-Savart'schesGesetz E. Riedle PhysikLMU Analogie Elektrokstatik Magnetostatik E. Riedle aus G G B r Po 4S ³³³ folgt umformen liefert damit gilt mit G G <B 0 G G G G G 1 j r 'Maxwell-Gleichung x r r ' dV ' und G G G G 3 r r' r r' G G B r Po 4S G G B r ³³³ G G j r ' dV ' G G r r' Po G ª G < « x 4S ¬« 0 G G r r' G G r r'3 G G ­ G 1 ½ dV ' j r ' x ® G G ¾ r r' ¿ ¯ Po G x 4S G G G <B r G G G < xa ³³³ PhysikLMU ³³³ G G j r ' º dV ' G G » r r ' ¼» folgt schließlich Maxwell-Gleichung es gibt keine magnetischen Monopole !!! E. Riedle PhysikLMU Rotation des Magnetfeldes .... mit entsprechenden "trickreichen" Überlegungen lässt sich errechnen: G G G xB r G G Po j r noch eine Maxwell-Gleichung Aus dieser Gleichung kann das experimentell gefundene AmpèrescheGesetz für zeitlich konstante Ströme hergeleitet werden. Alternativ kann man die Maxwell-Gleichung leicht aus dem AmpèreschenG G B < ds herleiten: Gesetz Po , v³ Es wird der Satz von Stokes Po ³ A G G j < dA Po , v³ G G f < ds ³ G G G x f < dA benutzt A v³ G G B < ds G G G ³ xB < dA A Dies gilt für alle Volumina Æ die Integranden stimmen überein Æ Maxwell E. Riedle PhysikLMU Elektromagnetische Felder und Relativitätstheorie Zur Herleitung und Erläuterung siehe Lehrbücher oder handout von H. Lesch ! E. Riedle PhysikLMU Prof. Paschos, Paschos, Prof. Wille SS 1999 Feldlinien eines stromdurchflossenen Torus Feldlinien einer stromdurchflossenen Spule . Magnetfelder in speziellen Anordnungen "unendlich" lange Luft-Spule N Windungen / Meter, Radius R, Strom I a) Gibt es radiale Komponente Br? Umkehrung von I würde zu einer Umkehrung von Br führen; dies ist äquivalent zur Rotation der Spule um senkrechte Achse, die Br nicht ändert o Br = 0 Bo 2S r b) Gibt es BO entlang Umfang? v³ JJG G B < ds Po I dies gilt strikt innerhalb, im Grenzwert N od auch außerhalb c) d) "Beobachtung": 0 rof > B " A " B "B " @ L JG B Spulenachse v³ Bo0 JG G B < ds Po < I 0 Æ Feld außerhalb der Spule unabhängig vom Abstand Æ B=0 e) o B <L JG B außerhalb v³ JJG G B < ds Po NI zl E. Riedle Po < I ges Po N I L innerhalb LMU Physik . Für reale (endlich lange) Spulen treten Randeffekte auf, sowie leichte Einflüsse der diskreten Wicklung. Trotzdem ist die Luftspule eine gute Anordnung, über eine lange Strecke ein gleichförmiges Magnetfeld zu erzeugen. Dies wird z.B. beim Faraday-Rotator in der Laseroptik genutzt. Kreisförmige Stromschleife (in x-y-Ebene) JG B 0,0,Bz Bz In x-y-Ebene: es gilt: G e12 u ds sin M ds Po I 4S v³ sin M r122 ds in Mittelpunkt gilt: r12 R, M S 2 Bz z o Po I 2 <R LMU E. Riedle . JG dB auf Achse: Physik G G Po I r u ds r3 4S B? = 0 wegen Symmetrie ! dBz Bz G G r u ds dB < cos D ³ dBz Po I 4 S r3 Bz x y 0 v³ R ds r < ds Po I R 4 S r3 R cos D ds 2S R Po I R 2 2 z2 R2 3 2 Außerhalb der Symmetrieachse numerische Integration ! Feldlinien wie kurzer Stabmagnet o magnetischer Dipol E. Riedle LMU Physik . Helmholtz - Spulenpaar Abstand d = Radius R ; Strom I §d · § d · B1 ¨ z ¸ B2 ¨ z ¸ ©2 ¹ © 2 ¹ 1 ­ ½ ° ° 3 2 ª d 2 z 2 R 2 º ° ° 2 Po < I < R ° ¬ ¼ ° <® ¾ 1 2 ° ° ° ° 3 2 2 2 °¯ ¬ª d 2 z R º¼ °¿ B z Taylorentwicklung um z = 0 ergibt B z Po < I < R 2 32 ª d 2 2 R 2 º ¬ ¼ ª 1 A1 d,R < z A 2 d,R < z2 º <« » «¬ A 3 d,R < z3 A 4 d,R < z 4 ....... »¼ E. Riedle LMU Physik . Die Terme A1 d,R und A 3 d,R verschwinden aufgrund der Symmetrie des Problems. B z ª º 3 d2 R2 15 d4 2 3d2R2 R 4 4 « » 2 < «1 <z < z ... » 3 2 2 4 2 ª d2 4 R2 º 8 ª d 2 2 R 2 º ª d2 4 R2 º «¬ ¬ ¼ ¬ ¼ ¼» ¬ ¼ Po < I < R 2 Damit gilt für d = R : B z | ª 144 z 4 º «1 » 32 « 4» 125 R R¬ ¼ Po I 54 für z / R = 0,3 gilt noch B z B 0 0,01< B 0 Durch ein Helmholtz-Spulenpaar lässt sich also ein sehr homogenes Magnetfeld erzeugen, das auch "zugänglich" ist. Kompensation eines beliebig gerichteten Magnetfelds kann durch 3 Paare erreicht werden. E. Riedle LMU Physik Einführung in die Beschleunigerphysik WS 2002/03 Ablenkmagnete Fokussierungsmagnete „Quadrupole“ Ein Quadrupol wirkt ähnlich wie eine Linse Teil der Magnetstruktur des Speicherrings Kräfte zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern G Leiter (2) erzeugt am Leiterelement d A1 das Feld G B2 G G G d A2 x r1 r 2 G G 3 4 S (2) r1 r 2 Po , 2 v³ Die Kraft auf das Leiterelement ist G dF1 G G ,1 d A1 xB2 G G G Po ,1 , 2 G ­° d A 2 x r1 r 2 ½° d A1 x ® G G 3 ¾ 4S r1 r 2 ¯° (2) ¿° v³ Die Kraft auf den gesamten Leiter (1) ist G F12 Po , 1 , 2 4S G G G G d A1 x d A 2 x r 1 r 2 G G 3 r1 r 2 (1) (2) v³ v³ Po , 1 , 2 4S G G G G d A1 d A 2 r 1 r 2 G G 3 r1 r 2 (1) (2) v³ v³ E. Riedle PhysikLMU . Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld - Ablenkung von stromdurchflossenem Leiter im Magnetfeld - Anziehung / Abstoßung zweier stromdurchflossener Leiter - Ablenkung eines Elektronenstrahls im Magnetfeld G G JG Kraft F A v und B , proportional zu beiden JG JG JG F JJG G F allgemein: JJG JJG q v uB F Im SI-System: k < q v uB JG G JG q E v uB Lorentz-Kraft LMU E. Riedle Physik . Fadenstrahlrohr v 2 e <U m G vo v x ,0,0 JG B 0,0,Bz o Kreisbewegung in x-y-Ebene e < v <B m v2 R R mv m 2 e <U 1 2m < U eB eB m B e Sichtbarkeit durch Stöße mit Restgas. E. Riedle LMU Physik G JG Spiralbahnen von Elektronen für v A B . m vr R 't 'z vr eB 2 SR 2 Sm vr eB v z < 't 2 Sm e <B v x2 v y2 Umlaufzeit vz Steighöhe Elektronen- und Ionenoptik Magnetische Elektronenlinse Optische Linse sammelt Licht aus einem Punkt im Abstand 4 f vz | v 4f 2 Sm 2 eU eB m f S mU B 2e Prof. Paschos, Paschos, Prof. Wille SS 1999 Experiment: Strahlablenkung in der Oszillographenröhre Kathode Anode +Ua I Magnetspule Man muß jetzt noch den Biegeradius R bestimmen. Aus der Gleichheit von Lorentzkraft und Zentrifugalkraft folgt v02 r r e v0 × B = m R 1 eB ⇒ = R m v0 Dann ist der Ablenkwinkel I α ≈ Glaskolben Leuchtschirm l e Bl = R m v0 . Wienfilter G F JG G JG q E v uB 0 für v E B JG JG und E A B Selektion "monochromatischer" Elektronen Sektorfilter (Massenspektrometer) Beschleunigung von Ionen mit U Ablenkung mit homogenem Magnetfeld um 180° R 1 2mU B e Abbildung von verschiedenen Massen auf verschiedene Punkte E. Riedle LMU Physik
