Thermodynamik, Carnot

Was ist Thermodynamik ?
• Theorie der Gleichgewichtszustände (Thermostatistik)
• phänomelogische Rahmentheorie
– Beschreibung makroskopischer Körper durch wenige Größen
– gibt Relationen zwischen makroskopischen Größen ohne quantitative
Spezifizierung
– quantitatve Aussagen durch statistische Physik
• als Rahmentheorie extrem robust:
hat alle Revolutionen überlebt, Quantenmechanik vorausgeahnt (Planck)
• im Rahmen empirisch gewonnener Axiome (Hauptsätze)
logisch abgeschlossene Theorie
• wird in der statistischen Physik begründet
– mikroskopisch: viele Freiheitsgrade
– Mechanik (Quantenmechanik, relativistische Mechanik)
– Elektrodynamik (Quantenelektrodynamik)
• makroskopisch: wenige Freiheitsgrade Æ Thermodynamik
E2p
E. Riedle
E. Riedle
PhysikLMU
E. Riedle
PhysikLMU
2007-05-11
System
ÅÆ Umgebung
Thermodynamik reversibler Prozesse
• Thermodynamisches Gleichgewicht
– stabiler [makroskopisch zeitlich konstanter] Zustand eines Systems unter
entsprechendenden Nebewnbedingungen
– nicht mikroskopisch konstant !!!!
• Erfahrungstatsache:
– ein isoliertes System geht nach mehr oder wenig langer Zeit in einen
Zustand über, in dem sich die Zustandsgrößen nicht mehr ändern
• Zustandsgrößen (thermodynamische Variablen)
– makroskopisch messbare Grössen im thermodynamischen
Gleichgewicht
E. Riedle
PhysikLMU
Beispiele für Zustandsgrößen = Variablen
E. Riedle
PhysikLMU
extensive und intensive Variablen
E. Riedle
PhysikLMU
Quasistatische und
reversible Zustandsänderung
E. Riedle
PhysikLMU
irreversibler Prozess
E. Riedle
PhysikLMU
Die Hauptsätze der Thermodynamik
• Der "Nulllte" Hauptsatz:
– Wärme fließt vom wärmeren System zum kälteren. Damit gleicht
sich die Temperatur bei "Kontakt" aus.
– Wenn sich das System A im thermischen Gleichgwicht mit System
B befindet, und B auch mit C, dann befindet sich auch A mit C im
Gleichgewicht.
Alle drei haben die gleiche Temperatur.
E. Riedle
PhysikLMU
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
1. Die Energie eines isolierten Systems ist konstant
2. Ein Perpetuum-Mobile 1. Art ist unmöglich
P-M 1: Maschine, die einen Wirkungsgrad über 100 % hat
3. Wärme ist Energieform
Wenn ein System vom Zustand 1 in den Zustand 2 überführt wird, ist die
Summe der zugeführten Wärme ∆Q und der zugeführten Arbeit ∆W
unabhängig vom Weg der Veränderung, also allein bestimmt durch die
beiden Zustände 1 und 2.
∆U = ∆Q + ∆W
Durch den Prozess ergibt sich
entsprechend eine Änderung
der inneren Energie U.
E. Riedle
PhysikLMU
E. Riedle
PhysikLMU
perpetuum mobile
1) Isochore Prozesse (V = const)
Für ideale Gase ist die Arbeit, die das System bei infinitesimaler Expansion um
dV gegen den äußeren Druck p leistet gleich
dW = −p i dV
Damit gilt
dU = dQ − p i dV
Für den isochoren Prozess gilt dV=0 und damit:
dQ = dU = CV i dT
dW = 0
Für die spezifische Wärme gilt
damit
⎛ ∂U ⎞
CV = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ V
E. Riedle
PhysikLMU
2) Isobare Prozesse (p = const)
Es gilt (1. HS):
dQ = dU + p i dV = Cp i dT
und mit der Enthalpie
H=U+piV
gilt
dH = dU + p i dV + V i dp = dQ + V i dp
und damit
dH = dU + p i dV = dQ
⎛ ∂H ⎞
Cp = ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠p
Für die geleistete Arbeit gilt
∆W = −p ( V2 − V1 )
E. Riedle
PhysikLMU
3) Isotherme Prozesse (T= const)
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab, nicht
vom Druck p oder dem Volumen V. Es gilt also dU = 0
Damit gilt für 1 Mol:
dQ = p i dV
Die dem System zugeführte Wärme wird vollständig in Arbeit umgewandelt.
Bei Ausdehnung von V1 auf V2 wird geleistet:
W = −∫
V2
V1
p i V = −R i T i
= −R i T i ln
V2
V1
V2 dV
∫V1
= R i T i ln
E. Riedle
V
=
V1
V2
PhysikLMU
4) Adiabatische Prozesse (dQ = 0)
Das System tauscht keine Wärme mit seiner Umgebung aus !
Dies tritt häufig bei schnellen Zustandänderungen auf.
dU = dQ − p i dV = −p i dV
Aus dem 1. HS und dQ = 0 folgt:
Die innere Energie U ist vollständig als
Funktion von T und V beschrieben.
U = U(T, V)
Damit gilt für das vollständige Differential
⎛ ∂U ⎞
⎛ ∂U ⎞
dU = ⎜
dT
i
+
⎟
⎜
⎟ i dV = C V i dT
⎝ ∂T ⎠ V
⎝ ∂V ⎠T
da die innere Energie als extensive Variable
nicht von V abhängt.
Also:
C V i dT = −p i dV
E. Riedle
PhysikLMU
Adiabatengleichungen
C V i dT = −p i dV = −RT i
Mit pV = RT folgt
CV i
also
Integration:
T
= −R i
TCV i V (
CV
T CV i V
V
dV
C V i ln T = − R i ln V + const.
R=Cp-CV:
κ = Cp/CV:
dT
dV
Cp − CV )
V
⇒
(
)
ln TCV i VR = const.
= const.
Cp − CV
CV
= T i V κ−1 = const.
p i V κ = const.
T=pV/R:
E. Riedle
PhysikLMU
E. Riedle
PhysikLMU
Vergleich Adiabten vs. Isothermen
Wegen κ > 1 kühlt sich ein
Gas bei adiabatischer
Expansion ab
Æ Clément-Desormes
Der Carnot'scheKreisprozess
Bei einem Kreisprozess
wird das thermodynamische
System wieder zu seinem
Ausgangszustand
zurückgeführt.
E. Riedle
Effizienz des Carnot-Prozesses I
PhysikLMU
(quasi-stationär)
Isotherme Zuführung von Wärme aus dem heißen Reservoir mit T1
Wegen ∆T = 0 folgt dU = 0 und damit
∆Q1 = − ∆W12 =
dQ = p i dV
⎛ V2 ⎞
p i dV = R i T1 i ln ⎜
⎟
1
⎝ V1 ⎠
∫
2
Adiabatische Expansion
dQ = 0
⇒
dU = −p i dV = ∆W23
Die nach außen
abgegeben
Ausdehnungsarbeit ist
gleich der Abnahme der
inneren Energie.
E. Riedle
PhysikLMU
Effizienz des Carnot-Prozesses II
Isotherme Kompression mit Abführung von Wärme zum kalten Reservoir mit T2
⎛ V3 ⎞
∆W34 = R i T2 i ln ⎜
⎟ = − ∆Q 2 > 0
⎝ V4 ⎠
Adiabatische Kompression
∆W41 = ∆U = U ( T1 ) − U ( T2 ) =
= − p i ( V1 − V2 )
E. Riedle
PhysikLMU
Effizienz des Carnot-Prozesses III
Wirkungsgrad der Wärmekraftmaschine:
η=
geleistete Arbeit
aufgenommene Wärme
=
∆W12 + ∆W23 + ∆W34 + ∆W41
∆Q1
Arbeit bei 2Æ3 ist gleich der bei 4Æ1
η=
⎛
∆W = ∆W12 + ∆W34 = R i T1 i ln ⎜
⎝
T1 i V2κ−1 = T2 i V3κ−1
V2
V1
=
V3
V4
⇒
und
⎛
ln ⎜
⎝
⎛
∆W = R i ( T1 − T2 ) i ln ⎜
⎝
∆W12 + ∆W34
∆Q1
V1 ⎞
⎛
⎟ + R i T2 i ln ⎜
V2 ⎠
⎝
V3 ⎞
⎟
V4 ⎠
T1 i V1κ−1 = T2 i V4κ−1
V3 ⎞
⎛ V1 ⎞
⎟ = − ln ⎜
⎟
V4 ⎠
⎝ V2 ⎠
V1 ⎞
⎟
V2 ⎠
E. Riedle
PhysikLMU
Effizienz des Carnot-Prozesses IV
⎛ V2 ⎞
R i ( T1 − T2 ) i ln ⎜
⎟
∆W
V1 ⎠ T1 − T2
⎝
η=
=
=
⎛ V2 ⎞
∆Q1
T1
R i T1 i ln ⎜
⎟
⎝ V1 ⎠
T −T
η= 1 2 <1
T1
Der Wirkungsgrad der Carnot-Maschine ist nur durch die Temperatur
der beiden Reserviors gegeben.
Er ist immer kleiner als 1 !!!!
Mit steigendem T1 und fallendem T2 steigt der Wirkungsgrad.
Die nicht in Arbeit verwandelte Wärme geht als Abwärme verloren.
Reale Maschinen haben einen schlechteren Wirkungsgrad.
E. Riedle
PhysikLMU
gibt es eine effizientere Maschine ????
Nein - es gibt keine periodisch arbeitende Wärmekraftmaschine, deren
Wirkungsgrad höher ist als der der Carnot-Maschine CM.
"Beweis":
Eine hypothetische Wundermaschine WM könnte mit einer in Rückwärtsrichtung
laufenden CM zusammengeschaltet werden und die WM so dimensioniert werden,
dass sie genau die Arbeitsleistung der CM, die als Wärmepumpe läuft, liefert.
Die CM transportiert dann ∆Q1 = ∆Q2 + ∆W in das wärmere Resorvoir. Die
WM benötigt aber, weniger Wärme für den Betrieb.
Das kombinierte System transportiert also ohne
Energiezufuhr Wärme vom kalten zum warmen
Reservoir.
Das wiederspricht aller Erfahrung
(2. Hauptsatz)
und daher kann es die WM nicht geben.
E. Riedle
PhysikLMU