Magnetostatik: statische Magnetfelder (j = const.)

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E. Riedle
E2p
06.07.2007
Magnetostatik: statische Magnetfelder (j = const.)
Experimentelle Beobachtungen:
– es gibt elektrisch neutrale Körper (Eisen,
"Magnete", ...) die sich je nach Ausrichtung
anziehen oder abstoßen
– werden diese Permanentmagnete in der Mitte
auseinandergebrochen, so entstehen zwei
Teile mit den ebensolchen Eigenschaften
– es werden keine "magnetischen Monopole"
gefunden, sondern nur "Nordpol" und "Südpol"
im gleichen Objekt
–
Eisenpulver richtet sich in der Nähe von Magneten entlang Linien aus
–
ein Magnet, der an einem Faden aufgehängt ist, richtet sich aus
–
in der Nähe eines Strom-durchflossenen Leiters ist ebenfalls eine Ausrichtung
von Magneten zu finden
–
zwei Strom-durchflossene Leiter ziehen sich an oder stoßen sich ab.
E. Riedle
Prof. Paschos,
Paschos, Prof. Wille
SS 1999
Kompaßnadel
PhysikLMU
Dipol
Magnetstab
Zwischen Kompaßnadel
und Magnetstab wirkt
eine Kraft. Das ist ein
erster Nachweis des
magnetischen Kraftfeldes
Feldlinien eines
magnetischen
Dipols
Feldlinien an einem
Pol
Das magnetisches Feld
• Alle genannten Beobachtungen führen zu
der Folgerung, dass es eine zusätzliche
Kraft geben muss!
• Diese wird im magnetischen Feld
zusammengefasst
• die magnetischen Feldlinien sind immer
geschlossen
• Ähnlich zum Coulomb-Gesetz findet man
für zwei Pole
G
F
f<
p1< p2 Gˆ
r
r2
mit
f
1
4 SPo
wobei
Po
4S < 107
V <s
A <m
magnetische Permeabilitätskonstante
E. Riedle
PhysikLMU
Die magnetische Feldstärke
G
• Die Größe H
G
§ F
lim ¨
p2 of ¨© p2
·
¸¸ wird als magnetische Erregung bezeichnet
¹
• Die magnetische Feldstärke wird definiert durch
>[email protected] 1
A
m
>B @ 1
Vs
m2
1 Tesla
für 2 parallele Leiter gilt (Oersted):
1T
G
B
1 Gauß
G
F12
A
G
Po < H
1G
Po ,1 , 2 G
r
2S r
10 4 T
G
F21
A
Damit ergibt sich die Definition der Stromstärke:
1 A ist diejenige Stromstärke, die zwischen zwei unendlich langen, geraden
Leitern im Abstand von 1 m eine Kraft von 2•10-7 N pro m verursacht.
E. Riedle
PhysikLMU
Ampèresches Gesetz
Experimentell wird für einen Strom durch einen Leiter und das dadurch
erzeugte Magnetfeld gefunden:
G G
H
v³ < ds
G G
B
v³ < ds
,
Po < ,
Hierbei ist der Integrationsweg beliebig,
solange er geschlossen ist und eine
Fläche umschließt, die vom Strom
durchflossen wird.
Speziell bei symmetrischen
Anordnungen kann aus dem
Ampèreschen Gesetz das Magnetfeld
berechnet werden.
E. Riedle
Prof. Paschos,
Paschos, Prof. Wille
SS 1999
r
j
j
r
B
B
Die Richtung von Strom und
Magnetfeld kann einfach
durch die „rechte Hand“
demonstriert werden.
PhysikLMU
Veranschaulichung der
„Rechte-Hand-Regel“
Biot – Savart I
E. Riedle
PhysikLMU
Magnetfeld einer Stromverteilung
Das Fadenelement der Stromverteilung
erzeugt den Beitrag zum Magnetfeld
G G
dB r G G G
P o d, d A x r r ' G G 3
4S
r r'
Berücksichtigung der "Geometrie" ergibt:
d,
G G
G
j r ' < dA
G G
dB r G G
B r Po
4 S ³³³
G
d, d A
und
G G
G G
j r ' d A dA
G G
j r ' dV '
G G
G G
j r 'x r r '
dV '
G G 3
4S
r r'
Po
G G
G G
j r 'x r r '
dV '
G G 3
r r'
Bio-Savart'schesGesetz
E. Riedle
PhysikLMU
Analogie Elektrokstatik Magnetostatik
E. Riedle
aus
G G
B r Po
4S
³³³
folgt
umformen liefert
damit gilt
mit
G G
’ <B
0
G G
G G
G 1
j r 'Maxwell-Gleichung
x r r '
dV '
und
’
G G
G G 3
r r'
r r'
G G
B r Po
4S
G G
B r ³³³
G G
j r '
dV ' G G
r r'
Po G ª G
’< «’ x
4S ¬«
0
G G
r r'
G G
r r'3
G G
­ G 1 ½
dV ' j r ' x ® ’ G G ¾
r r' ¿
¯
Po G
’x
4S
G G G
’ <B r G G G
’ < ’ xa ³³³
PhysikLMU
³³³
G G
j r ' º
dV ' G G »
r r ' ¼»
folgt schließlich
Maxwell-Gleichung
es gibt keine magnetischen Monopole !!!
E. Riedle
PhysikLMU
Rotation des Magnetfeldes
.... mit entsprechenden "trickreichen" Überlegungen lässt sich errechnen:
G G G
’ xB r G G
Po j r noch eine
Maxwell-Gleichung
Aus dieser Gleichung kann das experimentell gefundene AmpèrescheGesetz für zeitlich konstante Ströme hergeleitet werden.
Alternativ kann man die Maxwell-Gleichung leicht aus dem AmpèreschenG G
B < ds herleiten:
Gesetz Po ,
v³
Es wird der Satz von Stokes
Po
³
A
G G
j < dA
Po ,
v³
G G
f < ds
³
G
G G
’ x f < dA
benutzt
A
v³
G G
B < ds
G
G
G
³ ’ xB < dA
A
Dies gilt für alle Volumina Æ die Integranden stimmen überein Æ Maxwell
E. Riedle
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Elektromagnetische Felder und Relativitätstheorie
Zur Herleitung und Erläuterung siehe Lehrbücher oder handout von H. Lesch !
E. Riedle
PhysikLMU
Prof. Paschos,
Paschos, Prof. Wille
SS 1999
Feldlinien eines
stromdurchflossenen Torus
Feldlinien einer
stromdurchflossenen Spule
.
Magnetfelder in speziellen Anordnungen
"unendlich" lange Luft-Spule
N Windungen / Meter, Radius R, Strom I
a) Gibt es radiale Komponente Br?
Umkehrung von I würde zu einer Umkehrung von Br führen; dies ist äquivalent zur
Rotation der Spule um senkrechte Achse, die Br nicht ändert
o
Br = 0
Bo 2S r
b) Gibt es BO entlang Umfang?
v³
JJG G
B < ds
Po I
dies gilt strikt innerhalb, im Grenzwert N od auch außerhalb
c)
d)
"Beobachtung":
0
Ÿ
rof
> B " A " B "B " @ L
JG
B Spulenachse
Ÿ
v³
Bo0
JG G
B < ds
Po < I
0
Æ Feld außerhalb der Spule unabhängig vom Abstand
Æ
B=0
e)
o
B <L
JG
B
außerhalb
v³
JJG G
B < ds
Po NI zl
E. Riedle
Po < I ges
Po N I L
innerhalb
LMU
Physik
.
Für reale (endlich lange) Spulen treten Randeffekte auf, sowie leichte Einflüsse der diskreten
Wicklung. Trotzdem ist die Luftspule eine gute
Anordnung, über eine lange Strecke ein gleichförmiges Magnetfeld zu erzeugen.
Dies wird z.B. beim Faraday-Rotator in der Laseroptik genutzt.
Kreisförmige Stromschleife (in x-y-Ebene)
JG
B
0,0,Bz Ÿ
Bz
In x-y-Ebene:
es gilt:
G
e12 u ds
sin M ds
Po I
4S
v³
sin M
r122
ds
in Mittelpunkt gilt:
r12
R,
M
S
2
Ÿ
Bz z o Po I
2 <R
LMU
E. Riedle
.
JG
dB
auf Achse:
Physik
G G
Po I r u ds
r3
4S
B? = 0 wegen Symmetrie !
dBz
Bz
G
G
r u ds
dB < cos D
³
dBz
Po I
4 S r3
Bz x y 0 v³
R ds
r < ds
Po I R
4 S r3
R
cos D
ds
2S R
Po I R 2
2 z2 R2
3 2
Außerhalb der Symmetrieachse numerische Integration !
Feldlinien wie kurzer Stabmagnet
o magnetischer Dipol
E. Riedle
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Physik
.
Helmholtz - Spulenpaar
Abstand d = Radius R ; Strom I
§d
·
§ d
·
B1 ¨ z ¸ B2 ¨ z ¸
©2
¹
© 2
¹
1
­
½
°
°
3
2
ª d 2 z 2 R 2 º
°
°
2
Po < I < R ° ¬
¼
°
<®
¾
1
2
°
°
°
°
3
2
2
2
°¯ ¬ª d 2 z R º¼
°¿
B z Taylorentwicklung um z = 0 ergibt
B z Po < I < R 2
32
ª d 2 2 R 2 º
¬
¼
ª 1 A1 d,R < z A 2 d,R < z2
º
<«
»
«¬ A 3 d,R < z3 A 4 d,R < z 4 ....... »¼
E. Riedle
LMU
Physik
.
Die Terme A1 d,R und A 3 d,R verschwinden aufgrund der Symmetrie des Problems.
B z ª
º
3
d2 R2
15 d4 2 3d2R2 R 4 4
«
»
2
< «1 <z < z ... »
3
2
2
4
2 ª d2 4 R2 º
8
ª d 2 2 R 2 º
ª d2 4 R2 º
«¬
¬
¼
¬
¼
¼»
¬
¼
Po < I < R 2
Damit gilt für d = R :
B z |
ª
144 z 4 º
«1 »
32 «
4»
125
R
R¬
¼
Po I
54
für z / R = 0,3 gilt noch
B z B 0 0,01< B 0 Durch ein Helmholtz-Spulenpaar lässt sich also ein sehr homogenes Magnetfeld erzeugen,
das auch "zugänglich" ist.
Kompensation eines beliebig gerichteten Magnetfelds kann durch 3 Paare erreicht werden.
E. Riedle
LMU
Physik
Einführung in die Beschleunigerphysik
WS 2002/03
Ablenkmagnete
Fokussierungsmagnete
„Quadrupole“
Ein
Quadrupol
wirkt
ähnlich
wie eine
Linse
Teil der Magnetstruktur des Speicherrings
Kräfte zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
G
Leiter (2) erzeugt am Leiterelement d A1 das Feld
G
B2
G
G
G
d A2 x r1 r 2 G
G 3
4 S (2)
r1 r 2
Po , 2
v³
Die Kraft auf das Leiterelement ist
G
dF1
G G
,1 d A1 xB2
G
G
G
Po ,1 , 2 G ­° d A 2 x r1 r 2 ½°
d A1 x ®
G
G 3 ¾
4S
r1 r 2
¯° (2)
¿°
v³
Die Kraft auf den gesamten Leiter (1) ist
G
F12
Po , 1 , 2
4S
G
G
G
G
d A1 x d A 2 x r 1 r 2 G
G 3
r1 r 2
(1) (2)
v³ v³
Po , 1 , 2
4S
G G
G
G
d
A1 d A 2 r 1 r 2 G
G 3
r1 r 2
(1) (2)
v³ v³
E. Riedle
PhysikLMU
.
Kräfte auf bewegte Ladungen im
Magnetfeld
-
Ablenkung von stromdurchflossenem
Leiter im Magnetfeld
-
Anziehung / Abstoßung zweier
stromdurchflossener Leiter
-
Ablenkung eines Elektronenstrahls
im Magnetfeld
G G
JG
Kraft F A v und B , proportional zu beiden
JG
JG JG
Ÿ
F
JJG
G
F
allgemein:
JJG JJG
q v uB
F
Im SI-System:
k < q v uB
JG G JG
q E v uB
Lorentz-Kraft
LMU
E. Riedle
Physik
.
Fadenstrahlrohr
v
2 e <U
m
G
vo
v x ,0,0 JG
B
0,0,Bz o Kreisbewegung in x-y-Ebene
e < v <B
m v2
R
Ÿ
R
mv
m
2 e <U
1
2m < U
eB
eB
m
B
e
Sichtbarkeit durch Stöße mit Restgas.
E. Riedle
LMU
Physik
G
JG
Spiralbahnen von Elektronen für v A B
.
m vr
R
't
'z
vr
eB
2 SR
2 Sm
vr
eB
v z < 't
2 Sm
e <B
v x2 v y2
Umlaufzeit
vz
Steighöhe
Elektronen- und Ionenoptik
Magnetische Elektronenlinse
Optische Linse sammelt Licht aus einem Punkt im Abstand 4 f
vz | v
4f
2 Sm
2 eU
eB
m
Ÿ
f
S
mU
B
2e
Prof. Paschos,
Paschos, Prof. Wille
SS 1999
Experiment: Strahlablenkung in
der Oszillographenröhre
Kathode
Anode
+Ua
I
Magnetspule
Man muß jetzt noch den Biegeradius
R bestimmen. Aus der Gleichheit von
Lorentzkraft und Zentrifugalkraft
folgt
v02
r r
e v0 × B = m
R
1 eB
⇒
=
R m v0
Dann ist der Ablenkwinkel
I
α ≈
Glaskolben
Leuchtschirm
l e Bl
=
R m v0
.
Wienfilter
G
F
JG G JG
q E v uB
0 für v
E
B
JG JG
und E A B
Selektion "monochromatischer" Elektronen
Sektorfilter (Massenspektrometer)
Beschleunigung von Ionen mit U
Ablenkung mit homogenem Magnetfeld um 180°
R
1
2mU
B
e
Abbildung von verschiedenen Massen auf verschiedene
Punkte
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